Články

1.7: Inverzné funkcie - matematika


Učebné ciele

  • Overte inverzné funkcie.
  • Určte doménu a rozsah inverznej funkcie a obmedzte doménu funkcie tak, aby bola v pomere jedna k jednej.
  • Nájdite alebo vyhodnotte inverznú funkciu funkcie.
  • Použite graf funkcie jedna k jednej na vykreslenie jej inverznej funkcie na rovnakých osiach.

Reverzibilné tepelné čerpadlo je klimatizačný systém, ktorým je klimatizácia a kúrenie v jednom prístroji. Pracuje v jednom smere a na chladenie odčerpáva teplo z domu. Pri opačnom chode pumpuje teplo do budovy zvonku, a to aj za chladného počasia, aby zabezpečilo kúrenie. Ako ohrievač je tepelné čerpadlo niekoľkonásobne účinnejšie ako bežné elektrické odporové vykurovanie.

Ak niektoré fyzické stroje môžu bežať v dvoch smeroch, môžeme sa opýtať, či niektoré z funkčných „strojov“, ktoré sme študovali, môžu bežať aj dozadu. Obrázok ( PageIndex {1} ) poskytuje vizuálne znázornenie tejto otázky. V tejto časti zvážime opačný charakter funkcií.


Obrázok ( PageIndex {1} ): Môže funkcia „stroja“ pracovať opačne?

Overenie, či sú dve funkcie inverzné

Predpokladajme, že módny návrhár cestujúci na módnu prehliadku do Milána chce vedieť, aká bude teplota. Nie je oboznámený s Celzia mierka. Ak chcete získať predstavu o tom, ako súvisia merania teploty, požiada svoju asistentku Betty o premenu 75 stupňov Fahrenheita na stupne Celzia. Nájde vzorec

[C = dfrac {5} {9} (F − 32) ]

a nahradí 75 za (F ) na výpočet

[ dfrac {5} {9} (75−32) približne 24 ^ { circ} ]

Vediac, že ​​pohodlných 75 stupňov Fahrenheita má asi 24 stupňov Celzia, pošle svojej asistentke týždennú predpoveď počasia z Obrázku ( PageIndex {2} ) na Miláno a požiada ju, aby prepočítala všetky teploty na stupne Fahrenheita.

Betty spočiatku zvažuje, že na dokončenie konverzií použije vzorec, ktorý už našla. Koniec koncov, pozná svoju algebru a po nahradení hodnoty (C ) môže ľahko vyriešiť rovnicu pre (F ). Napríklad na prevod 26 stupňov Celzia mohla písať

[ begin {align} 26 & = dfrac {5} {9} (F-32) 26⋅ dfrac {9} {5} & = F − 32 F & = 26⋅ dfrac {9} {5} +32 cca79 end {zarovnať} ]

Po krátkom zvážení tejto možnosti si však uvedomuje, že riešenie rovnice pre každú z teplôt bude strašne zdĺhavé. Uvedomuje si, že keďže hodnotenie je jednoduchšie ako riešenie, bolo by oveľa pohodlnejšie mať iný vzorec, ktorý bude brať teplotu Celzia a bude mať teplotu Fahrenheita.

Vzorec, ktorý Betty hľadá, zodpovedá myšlienke inverzná funkcia, čo je funkcia, pre ktorú sa vstup pôvodnej funkcie stane výstupom inverznej funkcie a výstup pôvodnej funkcie sa stane vstupom inverznej funkcie.

Pri danej funkcii (f (x) ) reprezentujeme jej inverznú hodnotu ako (f ^ {- 1} (x) ), čítanú ako „ (f ) inverznú voči (x ).“ Zdvihnuté -1 je súčasťou zápisu. Nie je to exponent; to neznamená mocninu −1. Inými slovami, (f ^ {- 1} (x) ) neznamená ( frac {1} {f (x)} ), pretože ( frac {1} {f (x)} ) ) je prevrátená hodnota (f ), a nie inverzná.

Zápis „ako exponent“ pochádza z analógie medzi zložením funkcie a násobením: rovnako ako (a ^ {- 1} a = 1 ) (1 je identitný prvok pre násobenie) pre akékoľvek nenulové číslo (a ) , takže (f ^ {- 1} { circ} f ) sa rovná funkcii identity, to znamená,

[(f ^ {- 1} { circ} f) (x) = f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (y) = x ]

To platí pre všetky (x ) v doméne (f ). Neformálne to znamená, že inverzné funkcie sa navzájom „vracajú“. Rovnako ako nula však nemá a obojstranný, niektoré funkcie nemajú inverzie.

Na základe funkcie (f (x) ) môžeme overiť, či je niektorá iná funkcia (g (x) ) inverznou hodnotou (f (x) ), a to tak, že skontrolujeme, či je buď ​​(g (f (x) )) = x ) alebo (f (g (x)) = x ) je pravda. Môžeme otestovať, s ktorou rovnicou je výhodnejšie pracovať, pretože sú logicky ekvivalentné (to znamená, že ak je jedna pravdivá, potom aj druhá).

Napríklad (y = 4x ) a (y = frac {1} {4} x ) sú inverzné funkcie.

[(f ^ {- 1} { circ} f) (x) = f ^ {- 1} (4x) = dfrac {1} {4} (4x) = x ]

a

[(f { circ} f ^ {- 1}) (x) = f Big ( dfrac {1} {4} x Big) = 4 Big ( dfrac {1} {4} x Veľké) = x ]

Niekoľko párov súradníc z grafu funkcie (y = 4x ) je ((- 2, −8) ), ((0, 0) ) a ((2, 8) ) . Niekoľko párov súradníc z grafu funkcie (y = frac {1} {4} x ) je ((- 8, -2) ), ((0, 0) ) a ((8, 2) ). Keby sme vymenili vstup a výstup každého súradnicového páru funkcie, zamenené súradnicové páry by sa objavili na grafe inverznej funkcie.

Definícia: Inverzná funkcia

Pre akékoľvek funkcia one-to-one (f (x) = y ), funkcia (f ^ {- 1} (x) ) je inverzná funkcia z (f ), ak (f ^ {- 1} (y) = x ). Toto možno tiež zapísať ako (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) pre všetky (x ) v doméne (f ). Z toho tiež vyplýva, že (f (f ^ {- 1} (x)) = x ) pre všetky (x ) v doméne (f ^ {- 1} ), ak (f ^ {- 1} ) je inverzná hodnota (f ).

Zápis (f ^ {- 1} ) sa číta „ (f ) inverzný.“ Ako každá iná funkcia, aj ako vstup pre (f ^ {- 1} ) môžeme použiť akýkoľvek názov premennej, takže často napíšeme (f ^ {- 1} (x) ), ktoré čítame ako „ (f ) inverzná k (x ). “ Pamätajte na to

[f ^ {- 1} (x) neq dfrac {1} {f (x)} ]

a nie všetky funkcie majú inverzie.

Príklad ( PageIndex {1} ): Identifikácia inverznej funkcie pre daný pár vstup-výstup

Ak pre konkrétnu funkciu jedna k jednej (f (2) = 4 ) a (f (5) = 12 ), aké sú zodpovedajúce vstupné a výstupné hodnoty pre inverznú funkciu?

Riešenie

Funkcia inverzie obráti vstupné a výstupné veličiny, takže ak

[f (2) = 4, text {then} f ^ {- 1} (4) = 2; f (5) = 12, text {potom} f ^ {- 1} (12) = 5 ].

Prípadne, ak chceme pomenovať inverznú funkciu (g ), potom (g (4) = 2 ) a (g (12) = 5 ).

Analýza

Všimnite si, že ak ukážeme dvojice súradníc vo forme tabuľky, vstup a výstup sú zreteľne obrátené. Pozri tabuľku ( PageIndex {1} ).

Tabuľka ( PageIndex {1} )
((x, f (x)) ) ((x, g (x)) )
((2,4))((4,2))
((5,12))((12,5))

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Ak vezmeme do úvahy, že (h ^ {- 1} (6) = 2 ), aké sú zodpovedajúce vstupné a výstupné hodnoty pôvodnej funkcie (h )?

Odpoveď

(h (2) = 6 )

Ako: Vzhľadom na dve funkcie (f (x) ) a (g (x) ), otestujte, či sú funkcie navzájom inverzné.

  1. Určte, či (f (g (x)) = x ) alebo (g (f (x)) = x ).
  2. Ak sú oba výroky pravdivé, potom (g = f ^ {- 1} ) a (f = g ^ {- 1} ). Ak je ktorékoľvek tvrdenie nepravdivé, potom sú obidve nepravdivé a (g { neq} f ^ {- 1} ) a (f { neq} g ^ {- 1} ).

Príklad ( PageIndex {2} ): Testovanie inverzných vzťahov algebraicky

Ak (f (x) = frac {1} {x + 2} ) a (g (x) = frac {1} {x} −2 ), je (g = f ^ {- 1} )?

Riešenie

[ begin {align} g (f (x)) & = dfrac {1} {( frac {1} {x + 2}) - 2} & = x + 2−2 & = x end {align} ]

tak

[g = f ^ {- 1} text {and} f = g ^ {- 1} ]

To je dosť na to, aby sme odpovedali kladne na otázku, ale môžeme overiť aj ďalší vzorec.

[ begin {align} f (g (x)) & = dfrac {1} { frac {1} {x} -2 + 2} & = dfrac {1} { frac {1} {x}} & = x end {align} ]

Analýza

Všimnite si, že inverzné operácie sú v opačnom poradí ako operácie z pôvodnej funkcie.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Ak (f (x) = x ^ 3−4 ) a (g (x) = sqrt [3] {x + 4} ), je (g = f ^ {- 1} )?

Odpoveď

Áno

Príklad ( PageIndex {3} ): Určenie inverzných vzťahov pre výkonové funkcie

Ak (f (x) = x ^ 3 ) (kocková funkcia) a (g (x) = frac {1} {3} x ), je (g = f ^ {- 1} )?

Riešenie

[f (g (x)) = dfrac {x ^ 3} {27} { neq} x ]

Nie, funkcie nie sú inverzné.
Analýza

Správna inverzná hodnota kocky je samozrejme koreň kocky ( sqrt [3] {x} = x ^ { frac {1} {3}} ), to znamená, že jedna tretina je exponent , nie multiplikátor.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Ak (f (x) = (x − 1) ^ 3 ) a (g (x) = sqrt [3] {x} +1 ), je (g = f ^ {- 1} )?

Odpoveď

Áno

Vyhľadanie domény a rozsahu inverzných funkcií

Výstupy funkcie (f ) sú vstupmi do (f ^ {- 1} ), takže rozsah (f ) je tiež doménou (f ^ {- 1} ). Rovnako tak, pretože vstupy do (f ) sú výstupmi (f ^ {- 1} ), doména (f ) je rozsah (f ^ {- 1} ). Situáciu môžeme vizualizovať ako na obrázku ( PageIndex {3} ).


Obrázok ( PageIndex {3} ): Doména a rozsah funkcie a jej inverzná oblasť.

Ak funkcia nemá žiadnu inverznú funkciu, je možné vytvoriť novú funkciu, kde táto nová funkcia v obmedzenej doméne má inverznú funkciu. Napríklad inverzná hodnota (f (x) = sqrt {x} ) je (f ^ {- 1} (x) = x ^ 2 ), pretože druhá mocnina „vráti“ druhú odmocninu; ale druhá mocnina je iba inverzná odmocnina z domény ( left [0, infty right) ), pretože to je rozsah (f (x) = sqrt {x} ).

Na tento problém sa môžeme pozrieť z druhej strany, počnúc štvorcovou (sada nástrojov kvadratická) funkciou (f (x) = x ^ 2 ). Ak chceme postaviť inverzný signál k tejto funkcii, narazíme na problém, pretože pre každý daný výstup kvadratickej funkcie existujú dva zodpovedajúce vstupy (okrem prípadov, keď je vstup 0). Napríklad výstup 9 z kvadratickej funkcie zodpovedá vstupom 3 a –3. Ale výstup z funkcie je vstupom do jej inverznej hodnoty; ak tento inverzný vstup zodpovedá viacerým inverzným výstupom (vstup pôvodnej funkcie), potom „inverzný“ nie je vôbec funkcia! Aby sme to povedali inak, kvadratická funkcia nie je funkciou one-to-one; neuspeje v teste vodorovnej čiary, takže nemá inverznú funkciu. Ak má mať funkcia inverznú funkciu, musí to byť funkcia jedna k jednej.

V mnohých prípadoch, ak funkcia nie je jedna k jednej, môžeme funkciu stále obmedziť na časť svojej domény, na ktorej je jedna k jednej. Napríklad môžeme vytvoriť obmedzenú verziu štvorcovej funkcie (f (x) = x ^ 2 ) s rozsahom obmedzeným na ( left [0, infty right) ), čo je jedna- funkcia jedna (prejde testom vodorovnej čiary) a ktorá má inverznú funkciu (druhá odmocnina).

Ak (f (x) = (x − 1) ^ 2 ) na ([1, ∞) ), potom je inverzná funkcia (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x}. +1 ).

  • Doména (f ) = rozsah (f ^ {- 1} = doľava [1, infty doprava) ).
  • Doména (f ^ {- 1} ) = rozsah (f = doľava [0, infty doprava) ).

Je možné, aby funkcia mala viac ako jednu inverznú funkciu?

Nie. Ak dve údajne odlišné funkcie, povedzme (g ) a h, obidve zodpovedajú definícii inverzie inej funkcie (f ), môžete to dokázať (g = h ). Práve sme videli, že niektoré funkcie majú inverzie iba vtedy, ak obmedzíme doménu pôvodnej funkcie. V týchto prípadoch môže existovať viac ako jeden spôsob obmedzenia domény, čo vedie k rôznym inverziám. V ktorejkoľvek doméne má však pôvodná funkcia stále iba jednu jedinečnú inverznú hodnotu.

Poznámka: Doména a rozsah inverzných funkcií

Rozsah funkcie (f (x) ) je doménou inverznej funkcie (f ^ {- 1} (x) ).

Doménou (f (x) ) je rozsah (f ^ {- 1} (x) ).

Ako: Podľa danej funkcie nájdite doménu a rozsah jej inverznej hodnoty.

  1. Ak je funkcia jedna k jednej, zapíšte rozsah pôvodnej funkcie ako doménu inverzie a doménu pôvodnej funkcie napíšte ako rozsah inverzie.
  2. Ak je potrebné obmedziť doménu pôvodnej funkcie, aby bola z jednej strany na druhú, potom sa táto obmedzená doména stane rozsahom inverznej funkcie.

Príklad ( PageIndex {4} ): Nájdenie inverzií funkcií súpravy nástrojov

Identifikujte, ktoré z funkcií sady nástrojov okrem kvadratickej funkcie nie sú jedna k jednej, a vyhľadajte obmedzenú doménu, na ktorej je každá funkcia jedna k jednej, ak existujú. Funkcie sady nástrojov sú preskúmané v tabuľke ( PageIndex {2} ). Doménu obmedzujeme takým spôsobom, že funkcia predpokladá všetky hodnoty y presne raz.

Tabuľka ( PageIndex {2} )
NeustáleIdentitaKvadratickýKubickýObojstranný
(f (x) = c ) (f (x) = x ) (f (x) = x ^ 2 ) (f (x) = x ^ 3 ) (f (x) = frac {1} {x} )
Recipročné na druhúKockový koreňOdmocninaAbsolútna hodnota
(f (x) = frac {1} {x ^ 2} ) (f (x) = sqrt [3] {x} ) (f (x) = sqrt {x} ) (f (x) = | x | )

Riešenie

Konštantná funkcia nie je jedna k jednej a neexistuje žiadna doména (okrem jedného bodu), v ktorej by mohla byť jedna k jednej, takže konštantná funkcia nemá žiadnu zmysluplnú inverziu.

Funkciu absolútnej hodnoty je možné obmedziť na doménu ( left [0, infty right) ), kde sa rovná funkcii identity.

Funkciu recipročných štvorcov je možné obmedziť na doménu ((0, infty) ).

Analýza

Vidíme, že tieto funkcie (ak sú neobmedzené) nie sú porovnávané medzi štyrmi očami, a to tak, že sa pozrieme na ich grafy zobrazené na obrázku ( PageIndex {4} ). Obaja by v teste vodorovnej čiary neuspeli. Ak je však funkcia obmedzená na určitú doménu tak, aby prešla testom vodorovnej čiary, potom v tejto obmedzenej doméne môže mať inverznú funkciu.


Obrázok ( PageIndex {4} ): (a) Absolútna hodnota (b) Recipročný štvorcový

( PageIndex {4} ): Doména funkcie (f ) je ((1, infty) ) a rozsah funkcie (f ) je ((- infty, −2) ). Nájdite doménu a rozsah inverznej funkcie.

Riešenie

Doména funkcie (f ^ {- 1} ) je ((- infty, −2) ) a rozsah funkcie (f ^ {- 1} ) je ((1, infty ) ).

Vyhľadanie a vyhodnotenie inverzných funkcií

Keď máme funkciu jedna k jednej, môžeme vyhodnotiť jej inverziu na konkrétnych vstupoch inverznej funkcie alebo v mnohých prípadoch zostaviť úplnú reprezentáciu inverznej funkcie.

Invertovanie tabuľkových funkcií

Predpokladajme, že chceme nájsť inverznú funkciu funkcie reprezentovanej vo forme tabuľky. Pamätajte, že doménou funkcie je rozsah inverzie a rozsah funkcie je doménou inverzie. Musíme teda vymeniť doménu a rozsah.

Každý riadok (alebo stĺpec) vstupov sa stáva riadkom (alebo stĺpcom) výstupov pre inverznú funkciu. Podobne sa každý riadok (alebo stĺpec) výstupov stáva riadkom (alebo stĺpcom) vstupov pre inverznú funkciu.

Príklad ( PageIndex {5} ): Interpretácia inverznej funkcie tabuľky

Funkcia (f (t) ) je uvedená v tabuľke ( PageIndex {3} ) a zobrazuje vzdialenosť v kilometroch, ktorú auto urazilo za (t ) minút. Nájsť a interpretovať (f ^ {- 1} (70) )

Tabuľka ( PageIndex {3} )

(t ) (minúty)

30507090

(f (t) ) (míle)

20406070

Inverzná funkcia vezme výstup (f ) a vráti vstup pre (f ). Takže vo výraze (f ^ {- 1} (70) ) je 70 výstupná hodnota pôvodnej funkcie, ktorá predstavuje 70 míľ. Inverzia vráti zodpovedajúci vstup pôvodnej funkcie (f ), 90 minút, takže (f ^ {- 1} (70) = 90 ). Interpretácia je taká, že kým ste najazdili 70 míľ, trvalo to 90 minút.

Prípadne si pripomeňme, že inverzná definícia bola taká, že ak (f (a) = b ), potom (f ^ {- 1} (b) = a ). Podľa tejto definície, ak dostaneme (f ^ {- 1} (70) = a ), hľadáme hodnotu (a ) tak, aby (f (a) = 70 ). V tomto prípade hľadáme (t ), takže (f (t) = 70 ), čo je kedy (t = 90 ).

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Pomocou tabuľky ( PageIndex {4} ) nájdite a interpretujte (a) (f (60) ) a (b) (f ^ {- 1} (60) ).

Tabuľka ( PageIndex {4} )

(t ) (minúty)

3050607090

(f (t) ) (míle)

2040506070
Odpoveď

(f (60) = 50 ). Za 60 minút je prejdených 50 míľ.
(f ^ {- 1} (60) = 70 ). Cesta 60 míľ bude trvať 70 minút.

Vyhodnotenie inverznej funkcie danej grafom pôvodnej funkcie

Videli sme dovnútra Funkcie a notácia funkcií že doménu funkcie je možné prečítať pozorovaním horizontálneho rozsahu jej grafu. Doménu inverznej funkcie nájdeme pozorovaním vertikálne rozsah grafu pôvodnej funkcie, pretože to zodpovedá horizontálnemu rozsahu inverznej funkcie. Podobne nájdeme rozsah inverznej funkcie pozorovaním horizontálne rozsah grafu pôvodnej funkcie, pretože ide o vertikálny rozsah inverznej funkcie. Ak chceme vyhodnotiť inverznú funkciu, nájdeme jej vstup v rámci jej domény, ktorá je celou alebo časťou vertikálnej osi grafu pôvodnej funkcie.

Na základe grafu funkcie vyhodnoťte jej inverziu v konkrétnych bodoch.

  1. Vyhľadajte požadovaný vstup na osi y daného grafu.
  2. Prečítajte si výstup inverznej funkcie z osi x daného grafu.

Príklad ( PageIndex {6} ): Vyhodnotenie funkcie a jej inverzie z grafu v konkrétnych bodoch

Funkcia (g (x) ) je uvedená na obrázku ( PageIndex {5} ). Nájdite (g (3) ) a (g ^ {- 1} (3) ).
.

Riešenie

Na vyhodnotenie (g (3) ) nájdeme 3 na osi x a zodpovedajúcu výstupnú hodnotu nájdeme na osi y. Bod ((3,1) ) nám hovorí, že (g (3) = 1 ).

Ak chcete vyhodnotiť (g ^ {- 1} (3) ), nezabudnite, že podľa definície (g ^ {- 1} (3) ) znamená hodnotu (x ), pre ktorú (g (x) = 3 ). Hľadaním výstupnej hodnoty 3 na zvislej osi nájdeme v grafe bod ((5,3) ), čo znamená (g (5) = 3 ), teda podľa definície (g ^ {-1} (3) = 5. ) Viď obrázok ( PageIndex {6} ).

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Pomocou grafu na obrázku ( PageIndex {6} ), (a) nájdite (g ^ {- 1} (1) ) a (b) odhad (g ^ {- 1} (4) ).

Odpoveď a

3

Odpoveď b

5.6

Nájdenie inverzií funkcií predstavovaných vzorcami

Niekedy budeme potrebovať poznať inverznú funkciu pre všetky prvky jej domény, nielen pre niektoré. Ak je pôvodná funkcia uvedená ako vzorec - napríklad (y ) ako funkcia (x ) - inverznú funkciu môžeme často nájsť tak, že dostaneme (x ) ako funkciu ( y ).

Ako: Vzhľadom na funkciu predstavovanú vzorcom, vyhľadajte inverznú hodnotu.

  1. Uistite sa, že (f ) je funkcia jedna k jednej.
  2. Riešiť pre (x )
  3. Výmena (x ) a (y ).

Príklad ( PageIndex {7} ): Inverzia funkcie od Fahrenheita po Celzia

Nájdite vzorec pre inverznú funkciu, ktorý dáva teplotu Fahrenheita ako funkciu teploty Celzia.

[C = dfrac {5} {9} (F − 32) ]

Riešenie

[ begin {align} C & = frac {5} {9} (F-32) C { cdot} frac {9} {5} & = F − 32 F & = frac {9 } {5} C + 32 end {zarovnať} ]

Riešením všeobecne sme odkryli inverznú funkciu. Ak

[C = h (F) = dfrac {5} {9} (F − 32) ],

potom

[F = h ^ {- 1} (C) = dfrac {9} {5} C + 32. ]

V tomto prípade sme zaviedli funkciu (h ), ktorá predstavuje prevod, pretože vstupné a výstupné premenné sú popisné a zápis (C ^ {- 1} ) môže byť mätúci.

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Riešiť pre (x ) z hľadiska (y ) daného (y = frac {1} {3} (x − 5) )

Odpoveď

(x = 3y + 5 )

Príklad ( PageIndex {8} ): Riešenie hľadania inverznej funkcie

Nájdite inverznú hodnotu funkcie (f (x) = frac {2} {x − 3} +4 ).

Riešenie

[ begin {align} y & = dfrac {2} {x − 3 + 4} & text {Nastaviť rovnicu.} y − 4 & = dfrac {2} {x − 3} & text {Odčítajte 4 od oboch strán.} x − 3 & = dfrac {2} {y − 4} & text {Vynásobte obe strany x − 3 a vydelte y − 4.} x & = dfrac { 2} {y − 4} +3 & text {Pridať 3 na obe strany.} End {zarovnať} ]

Takže (f ^ {- 1} (y) = frac {2} {y − 4} +3 ) alebo (f ^ {- 1} (x) = frac {2} {x − 4} +3 ).

Analýza

Doména a rozsah (f ) vylučujú hodnoty 3, respektíve 4. (f ) a (f ^ {- 1} ) sú si v dvoch bodoch rovné, ale nie sú rovnakou funkciou, ako môžeme vidieť pri vytváraní tabuľky ( PageIndex {5} ).

Tabuľka ( PageIndex {5} )

(X)

125 (f ^ {- 1} (y) )

(f (x) )

325 (y )

Príklad ( PageIndex {9} ): Riešenie hľadania inverznej situácie s radikálmi

Nájdite inverznú hodnotu funkcie (f (x) = 2 + sqrt {x − 4} ).

Riešenie

[ begin {align} y & = 2 + sqrt {x-4} (y-2) ^ 2 & = x-4 x & = (y-2) ^ 2 + 4 end {align} ]

Takže (f ^ {- 1} (x) = (x − 2) ^ 2 + 4 ).

Doména (f ) je ( ľavé [4, infty pravé) ). Všimnite si, že rozsah (f ) je ( left [2, infty right) ), takže to znamená, že doména inverznej funkcie (f ^ {- 1} ) je tiež ( doľava [2, infty doprava) )

Analýza

Vzorec, ktorý sme našli pre (f ^ {- 1} (x) ), vyzerá, že by bol platný pre všetky skutočné (x ). Samotné (f ^ {- 1} ) však musí mať inverznú hodnotu (konkrétne (f )), takže musíme obmedziť doménu (f ^ {- 1} ) na ( left [ 2, infty right) ), aby (f ^ {- 1} ) bola funkcia jedna k jednej. Táto doména (f ^ {- 1} ) je presne v rozsahu (f ).

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Aká je inverzná funkcia funkcie (f (x) = 2- sqrt {x} )? Uveďte domény funkcie aj inverznej funkcie.

Odpoveď

(f ^ {- 1} (x) = (2 − x) ^ 2 ); doména (f ): ( doľava [0, infty doprava) ); doména (f ^ {- 1} ): ( vľavo (- infty, 2 vpravo] )

Hľadanie inverzných funkcií a ich grafov

Teraz, keď môžeme nájsť inverznú funkciu, preskúmame grafy funkcií a ich inverzné hodnoty. Vráťme sa ku kvadratickej funkcii (f (x) = x ^ 2 ) obmedzenej na doménu ( left [0, infty right) ), na ktorej je táto funkcia one-to-one, a vytvorte graf ako na obrázku ( PageIndex {7} ).


Obrázok ( PageIndex {7} ): Kvadratická funkcia s doménou obmedzenou na ([0, infty) ).

Obmedzenie domény to ( left [0, infty right) ) urobí funkciu one-to-one (bude samozrejme vyhovieť testu vodorovnej čiary), takže má inverziu na tejto obmedzenej doméne.

Už vieme, že inverzná funkcia kvadratickej funkcie sady nástrojov je druhá odmocnina, to znamená (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} ). Čo sa stane, ak obidve (f ) a (f ^ {- 1} ) nakreslíme na rovnakú skupinu osí pomocou osi x pre vstup do (f ) aj (f ^ { -1} )?

Všimli sme si zreteľný vzťah: Graf (f ^ {- 1} (x) ) je graf (f (x) ) odrážajúci sa okolo diagonálnej čiary (y = x ), ktorú budeme zavolajte na identifikačnú linku, ktorá je znázornená na obrázku ( PageIndex {8} ).

.
Obrázok ( PageIndex {8} ): Funkcia druhá a druhá odmocnina na nezápornej doméne

Tento vzťah sa bude dodržiavať pri všetkých individuálnych funkciách, pretože je výsledkom funkcie a jej inverzného zamieňania vstupov a výstupov. Toto je rovnocenné s výmenou rolí vertikálnej a horizontálnej osi.

Príklad ( PageIndex {10} ): Nájdenie inverznej hodnoty funkcie pomocou odrazu nad riadkom identity

Na základe grafu (f (x) ) na obrázku ( PageIndex {9} ) nakreslite graf (f ^ {- 1} (x) ).

Toto je funkcia jedna k jednej, takže budeme môcť načrtnúť inverznú hodnotu. Upozorňujeme, že zobrazený graf má zjavnú doménu ((0, infty) ) a rozsah ((- infty, infty) ), takže inverzná oblasť bude mať doménu ((- infty) , infty) ) a rozsah ((0, infty) ).

Ak premietneme tento graf cez čiaru (y = x ), bod ((1,0) ) sa bude odrážať k ((0,1) ) a bod ((4,2) ) odráža do ((2,4) ). Náčrt inverzie na rovnakých osiach ako pôvodný graf dáva obrázok ( PageIndex {10} ).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Z príkladu ( PageIndex {8} ) nakreslite grafy funkcií (f ) a (f ^ {- 1} ).

Odpoveď

Existuje nejaká funkcia, ktorá sa rovná vlastnej inverznej hodnote?

Áno. Ak (f = f ^ {- 1} ), potom (f (f (x)) = x ), a môžeme uvažovať o niekoľkých funkciách, ktoré majú túto vlastnosť. Funkcia identity

robí, a robí to aj recipročná funkcia, pretože

[ dfrac {1} { frac {1} {x}} = x ]

Akákoľvek funkcia (f (x) = c - x ), kde (c ) je konštanta, sa rovná aj vlastnej inverznej hodnote.

Kľúčové koncepty

  • Ak (g (x) ) je inverzná hodnota (f (x) ), potom (g (f (x)) = f (g (x)) = x ).
  • Každá z funkcií sady nástrojov má inverznú hodnotu.
  • Ak má mať funkcia inverznú funkciu, musí byť pomer jedna k jednej (prejsť testom vodorovnej čiary).
  • Funkcia, ktorá nie je pomerom jedna k jednej v celej svojej doméne, môže byť v pomere jedna k jednej v jej doméne.
  • Pre tabuľkovú funkciu vymeňte vstupný a výstupný riadok, aby ste získali inverznú hodnotu.
  • Inverziu funkcie je možné určiť v konkrétnych bodoch jej grafu.
  • Ak chcete nájsť inverznú hodnotu vzorca, vyriešte rovnicu (y = f (x) ) pre (x ) ako funkciu (y ). Potom vymeňte štítky (x ) a (y ).
  • Graf inverznej funkcie je odrazom grafu pôvodnej funkcie cez čiaru (y = x ).

1.7 Integrály, ktorých výsledkom sú inverzné trigonometrické funkcie

V tejto časti sa zameriavame na integrály, ktorých výsledkom sú inverzné trigonometrické funkcie. S týmito funkciami sme pracovali už skôr. Pripomeňme si z funkcií a grafov, že trigonometrické funkcie nie sú individuálne, pokiaľ nie sú obmedzené domény. Pri práci s inverziami trigonometrických funkcií musíme vždy brať ohľad na tieto obmedzenia. Aj v deriváciách sme vyvinuli vzorce pre deriváty inverzných trigonometrických funkcií. Z vyvinutých vzorcov vychádzajú priamo z integračných vzorcov zahŕňajúcich inverzné trigonometrické funkcie.

Integrály, ktorých výsledkom sú inverzné sínusové funkcie

Začnime túto poslednú časť kapitoly tromi vzorcami. Spolu s týmito vzorcami používame substitúciu na hodnotenie integrálov. Dokážeme vzorec pre inverzný sínusový integrál.

Pravidlo: Integračné vzorce, ktorých výsledkom sú inverzné trigonometrické funkcie

Nasledujúce integračné vzorce poskytujú inverzné trigonometrické funkcie. Predpokladajme & gt 0 a & gt 0:


1.7: Inverzné funkcie - matematika

V poslednom príklade z predchádzajúcej časti sme sa pozreli na dve funkcie (f ľavá (x pravá) = 3x - 2 ) a (g ľavá (x pravá) = frac <3> + frac <2> <3> ) a videl to

[ doľava ( right) left (x right) = left ( right) left (x right) = x ]

a ako je uvedené v tejto časti, znamená to, že ide o veľmi špeciálne funkcie. Pozrime sa, čo ich robí takými výnimočnými. Zvážte nasledujúce hodnotenia.

V prvom prípade sme zapojili (x = - 1 ) do (f doľava (x doprava) ) a dostali sme hodnotu -5. Potom sme sa otočili a zapojili (x = - 5 ) do (g doľava (x doprava) ) a dostali sme hodnotu -1, číslo, ktorým sme začali.

V druhom prípade sme urobili niečo podobné. Tu sme zapojili (x = 2 ) do (g doľava (x doprava) ) a dostali sme hodnotu ( frac <4> <3> ), otočili sme sa a zapojili sme to do ( f left (x right) ) a dostal hodnotu 2, čo je opäť číslo, s ktorým sme začali.

Všimnite si, že tu skutočne robíme zloženie funkcií. Prvý prípad je naozaj,

[ doľava ( right) left (<- 1> right) = g left [ right)> right] = g left [<- 5> right] = - 1 ]

a druhý prípad je naozaj,

Tiež si všimnite, že obidve tieto skutočnosti súhlasia s vzorcom pre kompozície, ktorý sme našli v predchádzajúcej časti. Z vyhodnotenia funkcie dostaneme späť číslo, ktoré sme pôvodne zapojili do kompozície.

Takže, čo sa tu deje? Nejakým spôsobom si môžeme myslieť, že tieto dve funkcie vrátia to, čo druhá s číslom. V prvom prípade sme zapojili (x = - 1 ) do (f doľava (x doprava) ) a potom sme výsledok z tohto vyhodnotenia funkcie zapojili späť do (g doľava (x doprava) ) a nejakým spôsobom (g doľava (x doprava) ) zrušil to, čo (f doľava (x doprava) ) urobil (x = - 1 ) a vrátil nám pôvodný (x ) s ktorými sme začali.

Funkčné páry, ktoré prejavujú toto správanie, sa nazývajú inverzné funkcie. Pred formálnym definovaním inverzných funkcií a zápisom, ktorý pre ne použijeme, musíme definíciu vylúčiť z cesty.

Volá sa funkcia jeden na jedného ak žiadne dve hodnoty (x ) neprodukujú to isté (y ). Toto je pomerne jednoduchá definícia čísla jedna k jednej, ale vyžaduje si príklad funkcie, ktorá nie je jedna k jednej, aby ukázala, čo to znamená. Predtým by sme si však mali uvedomiť, že táto definícia dvojice nie je v skutočnosti matematicky správnou definíciou dvojice. Je identická s matematicky správnou definíciou, nepoužíva iba zápis z formálnej definície.

Pozrime sa teraz na príklad funkcie, ktorá nie je individuálna. Funkcia (f doľava (x doprava) = ) nie je one-to-one, pretože obaja (f ľavý (<- 2> pravý) = 4 ) a (f ľavý (2 pravý) = 4 ). Inými slovami, existujú dve rôzne hodnoty (x ), ktoré vytvárajú rovnakú hodnotu (y ). Všimnite si, že môžeme otočiť (f doľava (x doprava) = ) do funkcie one-to-one, ak sa obmedzíme na (0 le x & lt infty ). To sa dá niekedy urobiť pomocou funkcií.

Ukázať, že funkcia je jedna k jednej, je často namáhavý a náročný proces. Vo väčšine prípadov budeme predpokladať, že funkcie, ktorým sa budeme v tejto časti venovať, sú individuálne. Museli sme hovoriť o individuálnych funkciách, pretože iba dvojstranné funkcie môžu byť inverzné.

Teraz formálne definujme, čo sú to inverzné funkcie.

Inverzné funkcie

Dané dve individuálne funkcie (f doľava (x doprava) ) a (g doľava (x doprava) ), ak

potom hovoríme, že (f ľavé (x pravé) ) a (g ľavé (x pravé) ) sú inverzie navzájom. Konkrétnejšie povieme, že (g left (x right) ) je inverzný z (f doľava (x doprava) ) a označte to

[g doľava (x doprava) = > doľava (x doprava) ]

Rovnako by sme mohli tiež povedať, že (f left (x right) ) je inverzný z (g doľava (x doprava) ) a označte to

[f doľava (x doprava) = > doľava (x doprava) ]

Značka, ktorú používame, skutočne závisí od problému. Vo väčšine prípadov je buď prijateľné.

Pre dve funkcie, ktorými sme začali túto časť, sme mohli napísať ktorúkoľvek z nasledujúcich dvoch množín notácie.

Teraz buďte opatrní pri notácii pre inverzné reklamy. „-1“ NIE je exponent napriek tomu, že určite vyzerá ako jeden! Pri práci s inverznými funkciami si to musíme pamätať

Toto je jedna z najbežnejších chýb, ktoré študenti robia pri prvom štúdiu inverzných funkcií.

Proces hľadania inverznej funkcie funkcie je pomerne jednoduchý, aj keď existuje niekoľko krokov, ktoré môžu byť niekedy trochu chaotické. Tu je postup

Nájdenie inverznej funkcie

Vzhľadom na funkciu (f doľava (x doprava) ) chceme nájsť inverznú funkciu, (> dolava (x doprava) ).

  1. Najskôr nahraďte (f doľava (x doprava) ) za (y ). To sa deje preto, aby sa uľahčil zvyšok procesu.
  2. Nahraďte každé (x ) za (y ) a každé (y ) nahraďte (x ).
  3. Vyriešte rovnicu z kroku 2 pre (y ). Toto je krok, kde sa najčastejšie robia chyby, takže pri tomto kroku buďte opatrní.
  4. Nahraďte (y ) za (> dolava (x doprava) ). Inými slovami, v tomto okamihu sa nám podarilo nájsť inverziu!
  5. Overte svoju prácu začiarknutím políčka ( vľavo ( >> right) left (x right) = x ) and ( left (<> circ f> right) left (x right) = x ) sú obidve pravdivé. Táto práca môže byť niekedy nepríjemná, takže je ľahké robiť chyby, takže buďte opäť opatrní.

To je postup. Väčšina krokov nie je až taká zlá, ale ako už bolo spomenuté, existuje niekoľko krokov, pri ktorých musíme byť naozaj opatrní.

V kroku overenia technicky skutočne musíme skontrolovať, či obidva ( left ( >> right) left (x right) = x ) and ( left (<> circ f> right) left (x right) = x ) sú pravdivé. Ak je jedna z funkcií pravdivá pre všetky funkcie, na ktoré sa v tejto časti pozrieme, bude platiť aj druhá. Existujú však funkcie (sú však ďaleko nad rámec tohto kurzu), pre ktoré je možné, aby platila iba jedna z nich. Toto je uvedené, pretože pri všetkých problémoch tu budeme iba kontrolovať jeden z nich. Musíme si vždy pamätať, že technicky by sme mali skontrolovať oboje.

Teraz už vieme, čo je inverzná hodnota tejto funkcie, pretože sme s ňou už vykonali určitú prácu. Bolo by však pekné s tým začať, pretože vieme, čo by sme mali dostať. Bude to fungovať ako pekné overenie procesu.

Tak poďme na to. Najskôr nahradíme (f ľavé (x pravé) ) znakom (y ).

Ďalej nahraďte všetky (x ) za (y ) a všetky y’s s (x ).

Nakoniec nahraďte (y ) za (> dolava (x doprava) ).

Teraz musíme overiť výsledky. O to sme sa už postarali v predchádzajúcej časti, ale mali by sme postupovať skutočne podľa toho, čo urobíme tu. Nezáleží na tom, ktoré z tých dvoch, ktoré kontrolujeme, musíme skontrolovať iba jedného z nich. Tentokrát skontrolujeme, či ( left ( >> right) left (x right) = x ) je pravda.

Skutočnosť, že teraz používame (g left (x right) ) namiesto (f left (x right) ), nič nemení na tom, ako tento proces funguje. Tu je prvých pár krokov.

Teraz, aby sme vyriešili (y ), budeme musieť najskôr zarovnať obe strany na druhú a potom postupovať ako obvykle.

Nakoniec to overíme a tentokrát použijeme ten druhý, aby sme mohli povedať, že sme sa niekde dostali príkladom.

Takže sme prácu vykonali správne a skutočne máme inverzný stav.

Než prejdeme ďalej, mali by sme tiež uznať obmedzenia (x ge 0 ), ktoré sme uviedli vo vyhlásení o probléme, ale nikdy s nimi zjavne nič neurobili. Toto obmedzenie sa vyžaduje, aby sa zaistilo, že inverzný znak (> left (x right) ) uvedené vyššie je v skutočnosti dvojstranné.

Bez tohto obmedzenia by inverzná situácia nebola individuálna, ako je zrejmé z niekoľkých rýchlych hodnotení.

Z tohto dôvodu je potrebné obmedzenie, aby sa zabezpečilo, že inverzná hodnota je jedna k jednej.

Nasledujúci príklad môže byť trochu chaotický, takže pri práci tu buďte opatrní.

The first couple of steps are pretty much the same as the previous examples so here they are,

Now, be careful with the solution step. With this kind of problem it is very easy to make a mistake here.

[začaťxleft( <2y - 5> ight) & = y + 4 2xy - 5x & = y + 4 2xy - y & = 4 + 5x left( <2x - 1> ight)y & = 4 + 5x y & = frac<<4 + 5x>><<2x - 1>>end]

So, if we’ve done all of our work correctly the inverse should be,

Finally, we’ll need to do the verification. This is also a fairly messy process and it doesn’t really matter which one we work with.

Okay, this is a mess. Let’s simplify things up a little bit by multiplying the numerator and denominator by (2x - 1).

Wow. That was a lot of work, but it all worked out in the end. We did all of our work correctly and we do in fact have the inverse.

There is one final topic that we need to address quickly before we leave this section. There is an interesting relationship between the graph of a function and its inverse.

Here is the graph of the function and inverse from the first two examples. We’ll not deal with the final example since that is a function that we haven’t really talked about graphing yet.

In both cases we can see that the graph of the inverse is a reflection of the actual function about the line (y = x). This will always be the case with the graphs of a function and its inverse.


An inverse function is a function which does the “reverse” of a given function. More formally, if (f) is a function with domain (X), then (^<-1>) is its inverse function if and only if (^<-1>left(fleft(x ight) ight)=x) for every (x in X).

A function must be a one-to-one relation if its inverse is to be a function. If a function (f) has an inverse function (f^<-1>), then (f) is said to be invertible.

Given the function (f(x)), we determine the inverse (f^<-1>(x)) by:

  • interchanging (x) and (y) in the equation
  • making (y) the subject of the equation
  • expressing the new equation in function notation.

Poznámka: if the inverse is not a function then it cannot be written in function notation. For example, the inverse of (f(x) = 3x^2) cannot be written as (f^<-1>(x) = pm sqrt<3>x>) as it is not a function. We write the inverse as (y = pm sqrt<3>x>) and conclude that (f) is not invertible.

If we represent the function (f) and the inverse function (^<-1>) graphically, the two graphs are reflected about the line (y=x). Any point on the line (y = x) has (x)- and (y)-coordinates with the same numerical value, for example ((-3-3)) and (left( frac<4><5> frac<4> <5> ight)). Therefore interchanging the (x)- and (y)-values makes no difference.

This diagram shows an exponential function (black graph) and its inverse (blue graph) reflected about the line (y = x) (grey line).

Dôležité: for (^<-1>), the superscript (- ext<1>) is not an exponent. It is the notation for indicating the inverse of a function. Do not confuse this with exponents, such as (left( frac<1> <2> ight)^<-1>) or (3 + x^<-1>).

Be careful not to confuse the inverse of a function and the reciprocal of a function:


Inverse Functions Contents: This page corresponds to § 1.7 (p. 150) of the text. Suggested Problems from Text p.158 #1-4, 5, 8, 9, 12, 13, 15, 18, 21, 22, 27, 31, 34, 37, 46, 48, 51, 71, 74, 83 Definition of Inverse Function

Before defining the inverse of a function we need to have the right mental image of function.

Consider the function f(x) = 2x + 1. We know how to evaluate f at 3, f(3) = 2*3 + 1 = 7. In this section it helps to think of f as transforming a 3 into a 7, and f transforms a 5 into an 11, etc.

Now that we think of f as "acting on" numbers and transforming them, we can define the inverse of f as the function that "undoes" what f did. In other words, the inverse of f needs to take 7 back to 3, and take -3 back to -2, etc.

Let g(x) = (x - 1)/2. Then g(7) = 3, g(-3) = -2, and g(11) = 5, so g seems to be undoing what f did, at least for these three values. To prove that g is the inverse of f we must show that this is true for any value of x in the domain of f. In other words, g must take f(x) back to x for all values of x in the domain of f. So, g(f(x)) = x must hold for all x in the domain of f. The way to check this condition is to see that the formula for g(f(x)) simplifies to x.

g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1 -1)/2 = 2x/2 = x.

This simplification shows that if we choose any number and let f act it, then applying g to the result recovers our original number. We also need to see that this process works in reverse, or that f also undoes what g does.

f(g(x)) = f((x - 1)/2) = 2(x - 1)/2 + 1 = x - 1 + 1 = x.

Letting f -1 denote the inverse of f, we have just shown that g = f -1 .

Let f and g be two functions. Ak

f(g(x)) = x and g(f(x)) = x,

then g is the inverse of f and f is the inverse of g.

(a) Open the Java Calculator and enter the formulas for f and g. Note that you take a cube root by raising to the (1/3), and you do need to enter the exponent as (1/3), and not a decimal approximation. So the text for the g box will be

(x - 2)^(1/3)

Use the calculator to evaluate f(g(4)) and g(f(-3)). g is the inverse of f, but due to round off error, the calculator may not return the exact value that you start with. Try f(g(-2)). The answers will vary for different computers. However, on our test machine f(g(4)) returned 4 g(f(-3)) returned 3 but, f(g(-2)) returned -1.9999999999999991, which is pretty close to -2.

The calculator can give us a good indication that g is the inverse of f, but we cannot check all possible values of x.

(b) Prove that g is the inverse of f by simplifying the formulas for f(g(x) and g(f(x)).

Graphs of Inverse Functions

We have seen examples of reflections in the plane. The reflection of a point (a,b) about the x-axis is (a,-b), and the reflection of (a,b) about the y-axis is (-a,b). Now we want to reflect about the line y = x.


The reflection of the point (a,b) about the line y = x is the point (b,a) .

Let f(x) = x 3 + 2. Then f(2) = 10 and the point (2,10) is on the graph of f. The inverse of f must take 10 back to 2, i.e. f -1 (10)=2, so the point (10,2) is on the graph of f -1 . The point (10,2) is the reflection in the line y = x of the point (2,10). The same argument can be made for all points on the graphs of f and f -1 .

The graph of f -1 is the reflection about the line y = x of the graph of f.

Existence of an Inverse

Some functions do not have inverse functions. For example, consider f(x) = x 2 . There are two numbers that f takes to 4, f(2) = 4 and f(-2) = 4. If f had an inverse, then the fact that f(2) = 4 would imply that the inverse of f takes 4 back to 2. On the other hand, since f(-2) = 4, the inverse of f would have to take 4 to -2. Therefore, there is no function that is the inverse of f.

Look at the same problem in terms of graphs. If f had an inverse, then its graph would be the reflection of the graph of f about the line y = x. The graph of f and its reflection about y = x are drawn below.

Note that the reflected graph does not pass the vertical line test, so it is not the graph of a function.

This generalizes as follows: A function f has an inverse if and only if when its graph is reflected about the line y = x, the result is the graph of a function (passes the vertical line test). But this can be simplified. We can tell before we reflect the graph whether or not any vertical line will intersect more than once by looking at how horizontal lines intersect the original graph!

Horizontal Line Test

Let f be a function.

If any horizontal line intersects the graph of f more than once, then f does not have an inverse.

If no horizontal line intersects the graph of f more than once, then f does have an inverse.

The property of having an inverse is very important in mathematics, and it has a name.

Definition : A function f is one-to-one if and only if f has an inverse.

The following definition is equivalent, and it is the one most commonly given for one-to-one.

Alternate Definition : A function f is one-to-one if, for every a and b in its domain, f(a) = f(b) implies a = b.

Graph the following functions and determine whether or not they have inverses.

(a) f(x) = (x - 3) x 2 . Odpoveď

(b) f(x) = x 3 + 3x 2 +3x. Odpoveď

(c) f(x) = x ^(1/3) ( the cube root of x). Odpoveď

Finding Inverses

Example 1. First consider a simple example f(x) = 3x + 2 .

The graph of f is a line with slope 3, so it passes the horizontal line test and does have an inverse.

There are two steps required to evaluate f at a number x. First we multiply x by 3, then we add 2.

Thinking of the inverse function as undoing what f did, we must undo these steps in reverse order.

The steps required to evaluate f -1 are to first undo the adding of 2 by subtracting 2. Then we undo multiplication by 3 by dividing by 3.

Therefore, f -1 (x) = (x - 2)/3.

Steps for finding the inverse of a function f.

  1. Replace f(x) by y in the equation describing the function.
  2. Interchange x and y. In other words, replace every x by a y and vice versa.
  3. Solve for y.
  4. Replace y by f -1 (x).

Krok 1 y = 6 - x/2.
Krok 2 x = 6 - y/2.
Krok 3 x = 6 - y/2.

y = 12 - 2x.

Krok 4 f -1 (x) = 12 - 2x.

Step 2 often confuses students. We could omit step 2, and solve for x instead of y, but then we would end up with a formula in y instead of x. The formula would be the same, but the variable would be different. To avoid this we simply interchange the roles of x and y before we solve.

This is the function we worked with in Exercise 1. From its graph (shown above) we see that it does have an inverse. (In fact, its inverse was given in Exercise 1.)

Krok 1 y = x 3 + 2.
Krok 2 x = y 3 + 2.
Krok 3 x - 2 = y 3 .

(x - 2)^(1/3) = y. Krok 4 f -1 (x) = (x - 2)^(1/3).

Graph f(x) = 1 - 2x 3 to see that it does have an inverse. Find f -1 (x). Odpoveď


MAT 112 Ancient and Contemporary Mathematics

Sometimes it is possible to “undo” the effect of a function. In these cases, we can define a function that reverses the effects of another function. A function that we can “undo” is called invertible.

In the video in Figure 7.5.1 we introduce inverse functions and give examples. For details and examples, see our treatment of inverse

We give the formal definition of an invertible function and of the inverse of an invertible function.

Definition 7.5.2 .

Let (A) and (B) be non-empty sets. We say that a function (f:A o B) is if for every (bin B) there is exactly one (ain A) such that (f(a)=b ext<.>) The of an invertible function (f:A o B ext<,>) denoted by (f^<-1> ext<,>) is the function (f^<-1>:B o A) that assigns to each element (b in B) the unique element (a in A) such that (f(a) = b ext<.>)

In other words, a function (f:A o B) is invertible if every (bin B) has exactly one preimage (ain A ext<.>) So if (f(a) = b ext<,>) then (f^<-1>(b) = a ext<.>)

Confirm your understanding of the definition by completing it in the exercise.

Checkpoint 7.5.3 . Definition of invertible function.

We investigate whether the two functions (mathrm ) and ( ext) are invertible.

Example 7.5.5 . Are (mathrm ) and ( ext) invertible ?

We use the functions (mathrm colon N o I) and (mathrm colon I o G) from Example 7.1.5 and Example 7.1.7 given by the tables in Figure 7.1.4 and Figure 7.1.6 respectively.

The function (mathrm colon N o I) where (I) is the set of student identification numbers and (N) is the set of student names is invertible as long as every student has a different name. The function (mathrm^<-1>: I o N) is the function that tells us the student's name for a given identification number. With the table in Figure 7.1.4 we get

Recall the function grade from Example 7.1.7. The function (mathrm colon I o G) where (I) is the set of identification numbers and (G) is the set of grades is not invertible since many students may earn the same grade in a class. Both the students with the identification number 1007 and 1008 earn an A in MAT 112. We have (mathrm ( ext < 1007 >) = ext) and ( ext ( ext < 1008 >) = ext ext<,>) and we would not be able to uniquely define (mathrm^<-1>(A) ext<.>)

In Figure 7.5.6 we give an example of an invertible function from (_5) to (_5) and its inverse. The function (e) in Figure 7.5.9 illustrates that for an invertible function the domain and codomain do not have to be the same.


Sťažnosť DMCA

Ak sa domnievate, že obsah dostupný prostredníctvom webových stránok (ako je definované v našich Podmienkach služby) porušuje jedno alebo viac vašich autorských práv, oznámte nám to písomným oznámením („Oznámenie o porušení“) obsahujúcim nižšie popísané informácie určené osobe. agent uvedený nižšie. Ak Varsity Tutors podnikne kroky v reakcii na Oznámenie o porušení, bude sa v dobrej viere snažiť kontaktovať stranu, ktorá takýto obsah sprístupnila, pomocou najnovšej e-mailovej adresy, ak takáto strana poskytuje Varsity Tutors.

Vaše oznámenie o porušení môže byť postúpené strane, ktorá sprístupnila obsah, alebo tretím stranám, ako je napríklad ChillingEffects.org.

Please be advised that you will be liable for damages (including costs and attorneys’ fees) if you materially misrepresent that a product or activity is infringing your copyrights. Thus, if you are not sure content located on or linked-to by the Website infringes your copyright, you should consider first contacting an attorney.

Please follow these steps to file a notice:

You must include the following:

A physical or electronic signature of the copyright owner or a person authorized to act on their behalf An identification of the copyright claimed to have been infringed A description of the nature and exact location of the content that you claim to infringe your copyright, in sufficient detail to permit Varsity Tutors to find and positively identify that content for example we require a link to the specific question (not just the name of the question) that contains the content and a description of which specific portion of the question – an image, a link, the text, etc – your complaint refers to Your name, address, telephone number and email address and A statement by you: (a) that you believe in good faith that the use of the content that you claim to infringe your copyright is not authorized by law, or by the copyright owner or such owner’s agent (b) that all of the information contained in your Infringement Notice is accurate, and (c) under penalty of perjury, that you are either the copyright owner or a person authorized to act on their behalf.

Send your complaint to our designated agent at:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105


Math: How to Find the Inverse of a Function

The inverse function of a function f is mostly denoted as f -1 . A function f has an input variable x and gives then an output f(x). The inverse of a function f does exactly the opposite. Instead it uses as input f(x) and then as output it gives the x that when you would fill it in in f will give you f(x). To be more clear:

If f(x) = y then f -1 (y) = x. So the output of the inverse is indeed the value that you should fill in in f to get y. So f(f -1 (x)) = x.

Not every function has an inverse. A function that does have an inverse is called invertible. Only if f is bijective an inverse of f will exist. But what does this mean?

The easy explanation of a function that is bijective is a function that is both injective and surjective. However, for most of you this will not make it any clearer.

A function is injective if there are no two inputs that map to the same output. Or said differently: every output is reached by at most one input.

An example of a function that is not injective is f(x) = x 2 if we take as domain all real numbers. If we fill in -2 and 2 both give the same output, namely 4. So x 2 is not injective and therefore also not bijective and hence it won&apost have an inverse.

A function is surjective if every possible number in the range is reached, so in our case if every real number can be reached. So f(x)= x 2 is also not surjective if you take as range all real numbers, since for example -2 cannot be reached since a square is always positive.

So while you might think that the inverse of f(x) = x 2 would be f -1 (y) = sqrt(y) this is only true when we treat f as a function from the nonnegative numbers to the nonnegative numbers, since only then it is a bijection.

This does show that the inverse of a function is unique, meaning that every function has only one inverse.


More Questions with Solutions

Use the table below to find the following if possible:
1) g -1 (0) , b) g -1 (-10) , c) g -1 (- 5) , d) g -1 (-7) , e) g -1 (3)

Riešenie
a) According to the the definition of the inverse function:
a = g -1 (0) if and only if g(a) = 0
Which means that a is the value of X taký g(x) = 0.
Using the table above for x = 11, g(x) = 0. Hence a = 11 and therefore g -1 (0) = 11
b) a = g - 1 (- 5) if and only if g(a) = - 5
The value of x for which g(x) = - 5 is equal to 0 and therefore g -1 ( - 5) = 0
c) a = g -1 (-10) if and only if g(a) = - 10
There is no value of x for which g(x) = -10 and therefore g -1 (-10) is undefined.
d) a = g -1 (- 7) if and only if g(a) = - 7
There no value of x for which g(x) = - 7 and therefore g -1 (- 7) is undefined.
e) a = g -1 (3) if and only if g(a) = 3
The value of x for which g(x) = 3 is equal to - 2 and therefore g -1 (3) = - 2


Questions on Inverse Functions with Solutions and Answers

Analytical and graphing methods are used to solve maths problems and questions related to inverse functions. Detailed solutions are also presented. Several questions involve the use of the property that the graphs of a function and the graph of its inverse are reflection of each other on the line y = x.


1) Sketch the graph of the inverse of f in the same system of axes.
2) Find the inverse of and check your answer using some points.
Riešenie
1) Locate few points on the graph of f. Here is a list of points whose coordinates (a , b) can easily be determined from the graph:
(1 , 1) , (0 , -1) , (-1 , -3)
On the graph of the inverse function, the above points will have coordinates (b , a) as follows:
(1 , 1) , (-1 , 0) , (-3 , -1)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


1) Sketch the inverse of f in the same graph.
2) Find the inverse of and check your answer using some points.
Riešenie
1) Locate few points on the graph of f. A possible list of points whose coordinates (a , b) is as follows:
(1.5 , 0) , (2 , 1) , (6 , 3)
On the graph of the inverse function, the above points will have coordinates (b , a) as follows:
(0 , 1.5) , (1 , 2) , (3 , 6)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


2) Write the given function f(x) = √(2 x - 3) as an equation in two unknowns.
y = √(2 x - 3)
Vyriešte vyššie uvedené pre x. First square both sides
2 x - 3 = y 2
2 x = y 2 + 3
x = (y 2 + 3) / 2
Interchange x and y and write the equation of the inverse function f -1 and write the domain of the inverse.
y = (x 2 + 3) / 2
f -1 (x) = (x 2 + 3) / 2 , x ≥ 0 (domain which is the range of f from its graph above)
We now verify that the points (0 , 1.5) , (1 , 2) and (3 , 6) used to sketch the graph of the inverse function are on the graph of f -1 .
f -1 (0) = (0 2 + 3) / 2 = 1.5
f -1 (1) = (1 2 + 3) / 2 = 2
f -1 (3) = (3 2 + 3) / 2 = 6


Riešenie
1) Use the graph to find points on the graph of f. A possible list of points whose coordinates (a , b) is as follows:
(0 , 3) , (2 , -1) , (5 , - 3)
On the graph of the inverse function, the above points will have coordinates (b , a) as follows:
(3 , 0) , (- 1 , 2) , (- 3 , 5)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


2) We now determine f -1 (x). For -3 ≤ x ≤ - 1 , f -1 (x) has a linear expression with slope m1 through the points (- 1 , 2) , (- 3 , 5) given by
m1 = (5 - 2) / (-3 - (-1)) = - 3 / 2
For -3 ≤ x ≤ - 1, f -1 (x) is given by:
f -1 (x) = - (3 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (3 / 2)(x + 1) + 2
For - 1 < x ≤ 3 , f -1 (x) has a linear expression with slope through the points (- 1 , 2) , (3 , 0) given by
m2 = (0 - 2) / (3 - (-1)) = - 1 / 2
For - 1 < x ≤ 3, f -1 (x) is given by:
f -1 (x) = - (1 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (1 / 2)(x + 1) + 2


1) What is the domain and range of f?
2) Sketch the graph of f -1 .
3) Find f -1 (x) (include domain).
Riešenie
1) f(x) is defined as a real number if the radicand 2 / x - 1 is greater than or equal to 0. Hence we need to solve the inequality:
2 / x - 1 ≥ 0
(2 - x) / x ≥ 0
The expression on the left of the inequality changes sign at the zeros of the numerator and denominator which are x = 2 and x = 0. See table below.


Domain: (0 , 2]
Range: (-∞ , 0]
2) Points on the graph of f
(2 , 0) , (1 , -1)
The above points on the graph of the inverse function, will have coordinates (b , a) as follows:
(0 , 2) , (- 1 , 1)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


3) Write f(x) as an equation in y and x.
( y = -sqrt-1> )
Solve the above equation for x. Square both sides of the above equation
( y^2 = dfrac<2>-1 )
( dfrac<2> = y^2 + 1 )
( x = dfrac<2> )
Interchange x and y and write the inverse function
( y = dfrac<2> )
( f^<-1>(x) = dfrac<2> )
Domain and range of f -1 are the range and domain of f . Hence
Domain of f -1 : (-∞ , 0]
Range of f -1 : (0 , 2]


Riešenie
For each graph, select points whose coordinates are easy to determine. Use these points and also the reflection of the graph of function f and its inverse on the line y = x to skectch to sketch the inverse functions as shown below


Pozri si video: Derivácia funkcie (December 2021).