Články

5.1: Približné oblasti


Učebné ciele

  • Na výpočet súčtov a mocností celých čísel použite zápis sigma (súčet).
  • Na priblíženie oblasti pod krivkou použite súčet obdĺžnikových plôch.
  • Na približnú plochu použite Riemannovo súčet.

Archimedes bol fascinovaný výpočtom plôch rôznych tvarov - inými slovami, množstva priestoru uzavretého tvarom. Použil proces, ktorý sa stal známym ako spôsob vyčerpania, ktorá používala čoraz menšie tvary, ktorých plochy bolo možné presne vypočítať, na vyplnenie nepravidelnej oblasti a tým na získanie bližších a bližších priblížení k celkovej ploche. V tomto procese je oblasť ohraničená krivkami vyplnená obdĺžnikmi, trojuholníkmi a tvarmi s presnými vzorcami oblasti. Tieto oblasti sa potom sčítajú, aby sa priblížila plocha zakrivenej oblasti.

V tejto časti vyvíjame techniky na aproximáciu oblasti medzi krivkou definovanou funkciou (f (x), ) a osou x v uzavretom intervale ([a, b]. ) Rovnako ako Archimedes, najskôr aproximujeme plochu pod krivkou pomocou tvarov známej oblasti (menovite obdĺžniky). Používaním menších a menších obdĺžnikov sa dostávame čoraz bližšie k oblasti. Získanie limitu nám umožňuje vypočítať presnú plochu pod krivkou.

Začnime zavedením poznámky, ktorá uľahčí výpočty. Potom zvážime prípad, keď (f (x) ) je spojitý a nezáporný. Ďalej v tejto kapitole uvoľňujeme niektoré z týchto obmedzení a vyvíjame techniky, ktoré sa uplatňujú vo všeobecnejších prípadoch.

Sigma (súčtová) notácia

Ako už bolo spomenuté, na priblíženie oblasti nepravidelnej oblasti ohraničenej krivkami použijeme tvary známej oblasti. Tento proces často vyžaduje sčítanie dlhých reťazcov čísel. Aby sme si uľahčili zápis týchto zdĺhavých súčtov, pozrieme sa na nový zápis, ktorý sa volá sigma notácia (taktiež známy ako súčtový zápis). Grécke veľké písmeno (Σ ), sigma, sa používa na vyjadrenie veľkých súčtov hodnôt v kompaktnej podobe. Napríklad, ak chceme pridať všetky celé čísla od 1 do 20 bez notácie sigma, musíme napísať

[1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20.]

Pravdepodobne by sme mohli preskočiť písanie niekoľkých výrazov a písať

[1+2+3+4+⋯+19+20,]

čo je lepšie, ale stále ťažkopádne. So zápisom sigma tento súčet zapíšeme ako

[ sum_ {i = 1} ^ {20} i ]

čo je oveľa kompaktnejšie. Typicky je sigma notácia prezentovaná vo forme

[ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i ]

kde (a_i ) popisuje výrazy, ktoré sa majú pridať, a (i ) sa nazýva (index ). Vyhodnotí sa každý člen, potom spočítame všetky hodnoty, počnúc hodnotou keď (i = 1 ) a končiac hodnotou keď (i = n. ) Napríklad výraz ako ( Displaystyle sum_ {i = 2} ^ {7} s_i ) sa interpretuje ako (s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6 + s_7 ). Upozorňujeme, že index sa používa iba na sledovanie výrazov, ktoré sa majú pridať; nezapočítava sa do výpočtu samotnej sumy. Index sa preto nazýva a atrapa premennej. Pre index môžeme použiť ľubovoľné písmeno, ktoré sa nám páči. Matematici zvyčajne používajú pre indexy (i, , j, , k, , m ) a (n ).

Skúsme niekoľko príkladov použitia notácie sigma.

Príklad ( PageIndex {1} ): Použitie notácie Sigma

  1. Napíšte sigma notáciu a vyhodnotte súčet výrazov (3 ^ i ) pre (i = 1,2,3,4,5. )
  2. Súčet napíšeme do sigma zápisu:

[1+ dfrac {1} {4} + dfrac {1} {9} + dfrac {1} {16} + dfrac {1} {25}. nonumber ]

Riešenie

  1. Napíšte [ sum_ {i = 1} ^ {5} 3 ^ i = 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + 3 ^ 4 + 3 ^ 5 = 363. nonumber ]
  2. Menovateľ každého výrazu je dokonalý štvorec. Pomocou sigma notácie možno tento súčet zapísať ako ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ 5 dfrac {1} {i ^ 2} ).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Napíšte sigma notáciu a vyhodnotte súčet výrazov (2 ^ i ) pre (i = 3,4,5,6. )

Pomôcka

Ako pomôcku použite kroky riešenia v príklade ( PageIndex {1} ).

Odpoveď

( Displaystyle sum_ {i = 3} ^ {6} 2 ^ i = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 = 120 )

Vlastnosti spojené s procesom sčítania sú uvedené v nasledujúcom pravidle.

Pravidlo: Vlastnosti notácie Sigma

Nech (a_1, a_2, ..., a_n ) a (b_1, b_2, ..., b_n ) predstavujú dve postupnosti výrazov a nech (c ) predstavuje konštantu. Nasledujúce vlastnosti platia pre všetky kladné celé čísla (n ) a pre celé čísla (m ), s (1≤m≤n. )

  1. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ n c = nc )
  2. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ n ca_i = c sum_ {i = 1} ^ na_i )
  3. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ n (a_i + b_i) = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1} ^ nb_i )
  4. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ n (a_i − b_i) = sum_ {i = 1} ^ na_i− sum_ {i = 1} ^ nb_i )
  5. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ na_i = sum_ {i = 1} ^ ma_i + sum_ {i = m + 1} ^ na_i )

Dôkaz

Tu preukazujeme vlastnosti 2. a 3. a ďalšie vlastnosti nechávame na Cvičeniach.

2. Máme

[ sum_ {i = 1} ^ nca_i = ca_1 + ca_2 + ca_3 + ⋯ + ca_n = c (a_1 + a_2 + a_3 + ⋯ + a_n) = c sum_ {i = 1} ^ na_i. ]

3. Máme

[ begin {align} sum_ {i = 1} ^ {n} (a_i + b_i) & = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + (a_3 + b_3) + ⋯ + (a_n + b_n) [4pt] & = (a_1 + a_2 + a_3 + ⋯ + a_n) + (b_1 + b_2 + b_3 + ⋯ + b_n) [4pt] & = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1 } ^ nb_i. end {align} ]

Niekoľko ďalších vzorcov pre často nájdené funkcie ešte viac zjednodušuje proces sčítania. Tieto sú zobrazené v nasledujúcom pravidle pre súčty a mocniny celých čísela použijeme ich v nasledujúcej skupine príkladov.

Pravidlo: Súčty a právomoci celých čísel

1. Súčet celých čísel (n ) je daný

[ sum_ {i = 1} ^ n i = 1 + 2 + ⋯ + n = dfrac {n (n + 1)} {2}. label {sum1} ]

2. Súčet po sebe idúcich celých čísel na druhú je daný

[ sum_ {i = 1} ^ n i ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ⋯ + n ^ 2 = dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}. label {sum2} ]

3. Súčet po sebe idúcich celých čísel kubických je daný znakom

[ sum_ {i = 1} ^ n i ^ 3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + ⋯ + n ^ 3 = dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4}. label {sum3} ]

Príklad ( PageIndex {2} ): Vyhodnotenie pomocou zápisu Sigma

Píšte pomocou sigma notácie a vyhodnoťte:

  1. Súčet výrazov ((i − 3) ^ 2 ) pre (i = 1,2, ..., 200. )
  2. Súčet výrazov ((i ^ 3 − i ^ 2) ) pre (i = 1,2,3,4,5,6 )

Riešenie

a. Vynásobením ((i − 3) ^ 2 ) môžeme výraz rozdeliť na tri členy.

[ begin {align *} sum_ {i = 1} ^ {200} (i − 3) ^ 2 & = sum_ {i = 1} ^ {200} (i ^ 2−6i + 9) [4 b.]
& = sum_ {i = 1} ^ {200} i ^ 2− sum_ {i = 1} ^ {200} 6i + sum_ {i = 1} ^ {200} 9 [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ {200} i ^ 2−6 sum_ {i = 1} ^ {200} i + sum_ {i = 1} ^ {200} 9 [4 pt]
& = dfrac {200 (200 + 1) (400 + 1)} {6} −6 doľava [ dfrac {200 (200 + 1)} {2} doprava] +9 (200) [4 body ]
& = 2 686 700 -120 600 + 1 800 [4 body]
& = 2 567 900 end {align *} ]

b. Použite sigma notačnú vlastnosť iv. a pravidlá pre súčet štvorcových výrazov a súčet výrazov v kockách.

[ begin {align *} sum_ {i = 1} ^ {6} (i ^ 3 − i ^ 2) & = sum_ {i = 1} ^ 6 i ^ 3− sum_ {i = 1} ^ 6 i ^ 2 [4 body]
& = dfrac {6 ^ 2 (6 + 1) ^ 2} {4} - dfrac {6 (6 + 1) (2 (6) +1)} {6} [4pt]
& = dfrac {1764} {4} - dfrac {546} {6} [4 b.]
& = 350 end {align *} ]

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Nájdite súčet hodnôt (4 + 3i ) pre (i = 1,2, ..., 100. )

Pomôcka

Na vyriešenie problému použite vlastnosti zápisu sigma.

Odpoveď

(15,550)

Príklad ( PageIndex {3} ): Nájdenie súčtu hodnôt funkcií

Nájdite súčet hodnôt (f (x) = x ^ 3 ) nad celými číslami (1,2,3, ..., 10. )

Riešenie

Pomocou rovnice ref {sum3} máme

[ sum_ {i = 0} ^ {10} i ^ 3 = dfrac {(10) ^ 2 (10 + 1) ^ 2} {4} = dfrac {100 (121)} {4} = 3025 nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Vyhodnoťte súčet označený zápisom ( displaystyle sum_ {k = 1} ^ {20} (2k + 1) ).

Pomôcka

Použite pravidlo pre súčet a mocniny celých čísel (Rovnice ref {sum1} - ref {sum3}).

Odpoveď

(440)

Približná plocha

Teraz, keď máme potrebnú notáciu, sa vrátime k problému, ktorý máme po ruke: aproximovať plochu pod krivkou. Nech (f (x) ) je spojitá, nezáporná funkcia definovaná na uzavretom intervale ([a, b] ). Chceme aproximovať oblasť (A ) ohraničenú (f (x) ) vyššie, osou (x ) dole, priamkou (x = a ) vľavo a priamkou (x = b ) vpravo (Obrázok ( PageIndex {1} )).

Ako aproximujeme plochu pod touto krivkou? Prístup je geometrický. Rozdelením oblasti na mnoho malých tvarov, ktoré majú známe vzorce oblastí, môžeme tieto oblasti sčítať a získať primeraný odhad skutočnej oblasti. Začneme rozdelením intervalu ([a, b] ) na (n ) podintervaly rovnakej šírky, ( dfrac {b − a} {n} ). Urobíme to tak, že vyberieme rovnako rozložené body (x_0, x_1, x_2,…, x_n ) s (x_0 = a, x_n = b, ) a

[x_i − x_ {i − 1} = dfrac {b − a} {n} ]

pre (i = 1,2,3, ..., n. )

Šírku každého podintervalu označíme zápisom (Δx, ) tak (Δx = frac {b − a} {n} ) a

[x_i = x_0 + iΔx ]

pre (i = 1,2,3, ..., n. ) Tento pojem rozdelenia intervalu ([a, b] ) na podintervaly výberom bodov z daného intervalu sa pomerne často používa pri aproximácii plochy pod krivka, tak si poďme definovať príslušnú terminológiu.

Definícia: Priečky

Sada bodov (P = {x_i} ) pre (i = 0,1,2,…, n ) s (a = x_0 prepážka z ([a, b] ). Ak majú všetky podintervaly rovnakú šírku, množina bodov tvorí a bežná priečka (alebo jednotné rozdelenie) intervalu ([a, b]. )

Túto regulárnu priečku môžeme použiť ako základ metódy pre odhad plochy pod krivkou. Ďalej skúmame dve metódy: aproximáciu ľavého a pravého koncového bodu.

Pravidlo: Aproximácia ľavého koncového bodu

Z každého podintervalu ([x_ {i − 1}, x_i] ) (pre (i = 1,2,3, ..., n )) vytvorte obdĺžnik so šírkou (Δx ) a výškou rovnou (f (x_ {i − 1}) ), čo je hodnota funkcie v ľavom koncovom bode podintervalu. Potom je plocha tohto obdĺžnika (f (x_ {i − 1}) Δx ). Po pridaní oblastí všetkých týchto obdĺžnikov získame približnú hodnotu pre (A ) (Obrázok ( PageIndex {2} )). Používame notáciu (L_n ) na označenie, že ide o a aproximácia ľavého koncového bodu z (A ) pomocou (n ) podintervalov.

[A≈L_n = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + ⋯ + f (xn − 1) Δx = sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx ]

Druhou metódou na aproximáciu oblasti pod krivkou je aproximácia pravého koncového bodu. Je to takmer to isté ako aproximácia ľavého koncového bodu, ale teraz sú výšky obdĺžnikov určené hodnotami funkcií vpravo od každého podintervalu.

Pravidlo: Aproximácia pravého koncového bodu

Zostrojte obdĺžnik z každého podintervalu ([x_ {i − 1}, x_i] ), ibaže výška obdĺžnika je určená hodnotou funkcie (f (x_i) ) v pravom koncovom bode podintervalu. . Potom je plocha každého obdĺžnika (f (x_i) , Δx ) a aproximácia pre (A ) je daná vzťahom

[A≈R_n = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + ⋯ + f (x_n) Δx = sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx. ]

Zápis (R_n ) označuje, že ide o a aproximácia pravého koncového bodu pre (A ) (Obrázok ( PageIndex {3} )).

Grafy na obrázku ( PageIndex {4} ) predstavujú krivku (f (x) = dfrac {x ^ 2} {2} ). Na obrázku ( PageIndex {4b} ) rozdelíme oblasť predstavovanú intervalom ([0,3] ) na šesť podinterválov, každý so šírkou (0,5 ). Teda (Δx = 0,5 ). Potom vytvoríme šesť obdĺžnikov nakreslením zvislých čiar kolmých na (x_ {i − 1} ), ľavý koncový bod každého podintervalu. Výšku každého obdĺžnika určíme výpočtom (f (x_ {i − 1}) ) pre (i = 1,2,3,4,5,6. ) Intervaly sú ([0,0,5 ], [0,5,1], [1,1,5], [1,5,2], [2,2,5], [2,5,3] ). Plochu každého obdĺžnika nájdeme vynásobením výšky šírkou. Potom sa súčet obdĺžnikových plôch priblíži ploche medzi (f (x) ) a (x ) - osou. Keď sa na výpočet výšky použijú ľavé koncové body, máme aproximáciu ľavého koncového bodu. Teda

[ begin {align *} A≈L_6 & = sum_ {i = 1} ^ 6f (x_ {i − 1}) Δx = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx + f (x_5) Δx [4 body]
& = f (0) 0,5 + f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + f (1,5) 0,5 + f (2) 0,5 + f (2,5) 0,5 [4pt]
& = (0) 0,5+ (0,125) 0,5+ (0,5) 0,5+ (1,125) 0,5+ (2) 0,5+ (3,125) 0,5 [4 body]
& = 0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 [4 body]
& = 3,4375 , text {jednotiek} ^ 2 end {zarovnať *} ]

Na obrázku ( PageIndex {4b} ) nakreslíme zvislé čiary kolmé na (x_i ) tak, že (x_i ) je pravý koncový bod každého podintervalu a vypočítame (f (x_i) ) pre (i = 1,2,3,4,5,6 ). Násobením každého (f (x_i) ) číslom (Δx ) nájdeme obdĺžnikové oblasti a potom ich pridáme. Toto je aproximácia oblasti pod (f (x) ) v pravom koncovom bode. Teda

[ begin {align *} A≈R_6 & = sum_ {i = 1} ^ 6f (x_i) Δx = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx + f (x_5) Δx + f (x_6) Δx [4 body]
& = f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + f (1,5) 0,5 + f (2) 0,5 + f (2,5) 0,5 + f (3) 0,5 [4pt]
& = (0,125) 0,5+ (0,5) 0,5+ (1,125) 0,5+ (2) 0,5+ (3,125) 0,5+ (4,5) 0,5 [4 body]
& = 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 + 2,25 [4 body]
& = 5,6875 , text {units} ^ 2. End {align *} ]

Príklad ( PageIndex {4} ): Aproximácia oblasti pod krivkou

Na priblíženie oblasti pod krivkou (f (x) = x ^ 2 ) na intervale ([0,2] ) použite aproximácie ľavého aj pravého konca; použite (n = 4 ).

Riešenie

Najskôr rozdeľte interval ([0,2] ) na (n ) rovnaké podintervaly. Pomocou (n = 4, , Δx = dfrac {(2−0)} {4} = 0,5 ). Toto je šírka každého obdĺžnika. Intervaly ([0,0,5], [0,5,1], [1,1,5], [1,5,2] ) sú zobrazené na obrázku ( PageIndex {5} ). Pri použití aproximácie ľavého koncového bodu sú výšky (f (0) = 0, , f (0,5) = 0,25, , f (1) = 1, ) a (f (1,5) = 2,25. ) Potom,

[ begin {align *} L_4 & = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx [4pt] & = 0 (0,5) +0,25 (0,5) +1 (0,5) +2,25 (0,5) [4pt] & = 1,75 , text {jednotky} ^ 2 end {zarovnať *} ]

Aproximácia pravého koncového bodu je zobrazená na obrázku ( PageIndex {6} ). Intervaly sú rovnaké, (Δx = 0,5, ), ale teraz použite pravý koncový bod na výpočet výšky obdĺžnikov. Máme

[ begin {align *} R_4 & = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx [4pt] & = 0,25 (0,5) +1 (0,5) +2,25 (0,5) +4 (0,5) [4pt] & = 3,75 , text {jednotky} ^ 2 end {zarovnať *} ]

Aproximácia ľavého koncového bodu je (1,75 , text {jednotky} ^ 2 ); aproximácia pravého koncového bodu je (3,75 , text {jednotky} ^ 2 ).

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Načrtnite aproximácie ľavého a pravého koncového bodu pre (f (x) = dfrac {1} {x} ) v ([1,2] ); použite (n = 4 ). Približujte oblasť pomocou obidvoch metód.

Pomôcka

Postupujte podľa stratégie riešenia v príklade ( PageIndex {4} ) krok za krokom.

Odpoveď

Aproximácia ľavého koncového bodu je (0,7595 , text {units} ^ 2 ). Aproximácia pravého koncového bodu je (0,6345 , text {units} ^ 2 ). Pozrite si médiá uvedené nižšie.

Pri pohľade na obrázok ( PageIndex {4} ) a grafy v príklade ( PageIndex {4} ) vidíme, že keď použijeme malý počet intervalov, ani aproximácia ľavého koncového bodu, ani pravý aproximácia koncového bodu je obzvlášť presný odhad oblasti pod krivkou. Zdá sa však logické, že ak zvýšime počet bodov v našom oddiele, náš odhad (A ) sa zlepší. Budeme mať viac obdĺžnikov, ale každý obdĺžnik bude tenší, takže budeme môcť obdĺžniky presnejšie prispôsobiť krivke.

Zlepšenú aproximáciu získanú prostredníctvom menších intervalov môžeme demonštrovať na príklade. Poďme preskúmať myšlienku zväčšenia (n ), najskôr v aproximácii ľavého koncového bodu so štyrmi obdĺžnikmi, potom ôsmimi obdĺžnikmi a nakoniec (32 ) obdĺžnikmi. Potom urobme to isté v aproximácii pravého koncového bodu rovnakej zakrivenej oblasti pomocou rovnakých množín intervalov. Obrázok ( PageIndex {7} ) zobrazuje oblasť regiónu pod krivkou (f (x) = (x − 1) ^ 3 + 4 ) na intervale ([0,2] ) pomocou aproximácia ľavého koncového bodu, kde (n = 4. ) Šírka každého obdĺžnika je

[Δx = dfrac {2−0} {4} = dfrac {1} {2}. Nonumber ]

Plocha je aproximovaná sčítanými plochami obdĺžnikov, príp

[L_4 = f (0) (0,5) + f (0,5) (0,5) + f (1) (0,5) + f (1,5) 0,5 = 7,5 , text {jednotky} ^ 2 nonumber ]

Obrázok ( PageIndex {8} ) zobrazuje rovnakú krivku rozdelenú do ôsmich podinterválov. Ak porovnáme graf so štyrmi obdĺžnikmi na obrázku ( PageIndex {7} ) s týmto grafom s ôsmimi obdĺžnikmi, môžeme vidieť, že pod krivkou je menej bieleho priestoru, keď (n = 8.) oblasť pod krivkou nedokážeme zahrnúť pomocou našej aproximácie. Plocha obdĺžnikov je

[L_8 = f (0) (0,25) + f (0,25) (0,25) + f (0,5) (0,25) + f (0,75) (0,25) + f (1) (0,25) + f (1,25) (0,25) ) + f (1,5) (0,25) + f (1,75) (0,25) = 7,75 , text {jednotky} ^ 2 nonumber ]

Graf na obrázku ( PageIndex {9} ) zobrazuje rovnakú funkciu s (32 ) obdĺžnikmi vpísanými pod krivku. Zdá sa, že zostalo málo bieleho miesta. Plocha zaberaná obdĺžnikmi je

[L_ {32} = f (0) (0,0625) + f (0,0625) (0,0625) + f (0,125) (0,0625) + ⋯ + f (1,9375) (0,0625) = 7,9375 , text {jednotiek} ^ 2. nečíslo ]

Podobný proces môžeme uskutočniť aj pri metóde aproximácie pravého koncového bodu. Aproximácia pravej krivky tej istej krivky pomocou štyroch obdĺžnikov (obrázok ( PageIndex {10} )) poskytne plochu

[R_4 = f (0,5) (0,5) + f (1) (0,5) + f (1,5) (0,5) + f (2) (0,5) = 8,5 , text {jednotiek} ^ 2. Nonumber ]

Rozdelenie oblasti na interval ([0,2] ) na osem obdĺžnikov vedie k (Δx = dfrac {2−0} {8} = 0,25. ) Graf je znázornený na obrázku ( PageIndex { 11} ). Táto oblasť je

[R_8 = f (0,25) (0,25) + f (0,5) (0,25) + f (0,75) (0,25) + f (1) (0,25) + f (1,25) (0,25) + f (1,5) (0,25) ) + f (1,75) (0,25) + f (2) (0,25) = 8,25 , text {jednotky} ^ 2 nonumber ]

Posledná aproximácia pravého koncového bodu s (n = 32 ) je blízko skutočnej oblasti (obrázok ( PageIndex {12} )). Rozloha je približne

[R_ {32} = f (0,0625) (0,0625) + f (0,125) (0,0625) + f (0,1875) (0,0625) + ⋯ + f (2) (0,0625) = 8,0625 , text {jednotiek} ^ 2 nečíslo ]

Na základe týchto čísel a výpočtov sa zdá, že sme na dobrej ceste; obdĺžniky vyzerajú, že lepšie aproximujú oblasť pod krivkou, pretože (n ) sa zväčšuje. Ďalej, ako sa (n ) zvyšuje, zdá sa, že aproximácia ľavého aj pravého konca sa približuje k oblasti (8 ) štvorcových jednotiek. Tabuľka ( PageIndex {15} ) zobrazuje číselné porovnanie metód ľavého a pravého koncového bodu. Myšlienka, že aproximácie oblasti pod krivkou sa čoraz viac zväčšujú (n ), je veľmi dôležitá a teraz túto myšlienku skúmame podrobnejšie.

Tabuľka ( PageIndex {15} ): Konvergencia hodnôt aproximácií ľavého a pravého koncového bodu, pretože (n ) sa zvyšuje
Hodnota (n )Približná plocha (L_n )Približná plocha (R_n )
(n = 4 )(7.5)(8.5)
(n = 8 )(7.75)(8.25)
(n = 32 )(7.94)(8.06)

Formovanie Riemannovych súm

Doteraz sme na priblíženie oblasti pod krivkou používali obdĺžniky. Výšky týchto obdĺžnikov boli určené vyhodnotením funkcie buď na pravom, alebo na ľavom koncovom bode podintervalu ([x_ {i − 1}, x_i] ). V skutočnosti nie je dôvod obmedzovať hodnotenie funkcie iba na jeden z týchto dvoch bodov. Funkciu by sme mohli vyhodnotiť v ktoromkoľvek bode (x ^ ∗ _ i ) v podintervale ([x_ {i − 1}, x_i] ) a ako výšku ( f (x ^ ∗ _ i) ) použiť nášho obdĺžnika. Takto získame odhad oblasti formulára

[A≈ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx. ]

Súčet tejto formy sa nazýva Riemannova suma, pomenovaná pre matematika 19. storočia Bernharda Riemanna, ktorý túto myšlienku rozvinul.

Definícia: Riemannova suma

Nech (f (x) ) je definované v uzavretom intervale ([a, b] ) a nech (P ) je ľubovoľný oddiel ([a, b] ). Nech (Δx_i ) je šírka každého podintervalu ([x_ {i − 1}, x_i] ) a pre každé (i ), nech (x ^ ∗ _ i ) je akýkoľvek bod v ([x_ {i − 1}, , x_i] ). Riemannova suma je definovaná pre (f (x) ) ako

[ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx_i. ]

V tomto okamihu vyberieme bežný oddiel (P ), ako je to uvedené v našich príkladoch vyššie. Toto prinúti, aby sa všetky (Δx_i ) rovnali (Δx = dfrac {b-a} {n} ) pre ľubovoľný prirodzený počet intervalov (n ).

Pripomeňme, že s aproximáciami ľavého a pravého koncového bodu sa odhady zdajú byť čoraz lepšie, pretože (n ) sú čoraz väčšie. To isté sa deje s Riemannovými sumami. Riemannov súčet poskytuje lepšiu aproximáciu pre väčšie hodnoty (n ). Teraz sme pripravení definovať oblasť pod krivkou v zmysle Riemannovych súčtov.

Definícia: Oblasť pod krivkou

Nech (f (x) ) je spojitá, nezáporná funkcia na intervale ([a, b] ), a nech ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx ) je Riemannova suma pre (f (x) ) s bežným oddielom (P ). Potom plocha pod krivkou (y = f (x) ) na ([a, b] ) je dané

[A = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx. ]

Pozrite si grafickú ukážku konštrukcie Riemannovej sumy.

Niektoré jemnosti tu stoja za diskusiu. Najskôr si všimnite, že branie limitu súčtu sa trochu líši od limitu funkcie (f (x) ), keď (x ) ide do nekonečna. Limitom súm sa podrobne venujeme v kapitole Sekvencie a série; zatiaľ však môžeme predpokladať, že výpočtové techniky, ktoré sme použili na výpočet limitov funkcií, je možné použiť aj na výpočet limitov súčtov.

Po druhé, musíme zvážiť, čo robiť, ak výraz konverguje k rôznym limitom pre rôzne voľby ({x ^ ∗ _ i}. ) Našťastie sa to nestalo. Aj keď dôkaz presahuje rámec tohto textu, je možné preukázať, že ak je (f (x) ) spojitý na uzavretom intervale ([a, b] ), potom ( displaystyle lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx ) existuje a je jedinečný (inými slovami, nezávisí to od voľby ({x ^ ∗ _ i} )).

V krátkosti sa pozrieme na niektoré príklady. Ale skôr, ako tak urobíme, poďme si chvíľu povedať niečo o konkrétnych možnostiach pre ({x ^ ∗ _ i} ). Aj keď nám ľubovoľná voľba pre ({x ^ ∗ _ i} ) dáva odhad oblasti pod krivkou, nevyhnutne nevieme, či je tento odhad príliš vysoký (nadhodnotený) alebo príliš nízky (podhodnotený). Ak je dôležité vedieť, či je náš odhad vysoký alebo nízky, môžeme zvoliť našu hodnotu pre ({x ^ ∗ _ i} ), aby sme zaručili jeden alebo druhý výsledok.

Ak chceme napríklad nadhodnotiť, môžeme zvoliť ({x ^ ∗ _ i} ) také, že pre (i = 1,2,3, ..., n, ) (f (x ^ ∗ _ i) ≥f (x) ) pre všetky (x∈ [x_i − 1, x_i] ). Inými slovami, zvolíme ({x ^ ∗ _ i} ) tak, že pre (i = 1,2,3, ..., n, ) (f (x ^ ∗ _ i) ) je maximálna funkcia hodnota na intervale ([x_ {i − 1}, x_i] ). Ak zvolíme ({x ^ ∗ _ i} ) týmto spôsobom, potom sa Riemannova suma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx ) nazýva horná suma. Podobne, ak chceme podceniť, môžeme zvoliť ({x ∗ i} ), takže pre (i = 1,2,3, ..., n, ) (f (x ^ ∗ _ i) ) je minimálna hodnota funkcie na intervale ([x_ {i − 1}, x_i] ). V tomto prípade sa súvisiaca Riemannova suma nazýva a nižšia suma. Všimnite si, že ak (f (x) ) v intervale ([a, b] ) stúpa alebo klesá, potom sa maximálna a minimálna hodnota funkcie vyskytnú v koncových bodoch podinterválov, teda horná a nižšie sumy sú rovnaké ako aproximácie ľavého a pravého koncového bodu.

Príklad ( PageIndex {5} ): Hľadanie dolných a horných súm

Nájdite nižší súčet pre (f (x) = 10 − x ^ 2 ) na ([1,2] ); nech (n = 4 ) podintervaly.

Riešenie

S (n = 4 ) v intervale ([1,2], , Δx = dfrac {1} {4} ). Intervaly môžeme uviesť ako ([1,1,25], , [1,25,1,5], , [1,5,1,75], ) a ([1,75,2] ). Pretože funkcia klesá v intervale ([1,2], ), obrázok ukazuje, že nižší súčet sa získa použitím správnych koncových bodov.

Riemannova suma je

[ begin {align *} sum_ {k = 1} ^ 4 (10 − x ^ 2) (0,25) & = 0,25 [10− (1,25) ^ 2 + 10− (1,5) ^ 2 + 10− ( 1,75) ^ 2 + 10− (2) ^ 2] [4 body]
& = 0,25 [8,4375 + 7,75 + 6,9375 + 6] [4 body]
& = 7,28 , text {jednotiek} ^ 2. End {zarovnať *} ]

Plocha (7.28 ) ( text {jednotky} ^ 2 ) je nižší súčet a podceňuje sa.

Cvičenie ( PageIndex {5} )

  1. Nájdite hornú sumu pre (f (x) = 10 − x ^ 2 ) na ([1,2] ); nech (n = 4. )
  2. Načrtnite aproximáciu.
Pomôcka

(f (x) ) klesá k ([1,2] ), takže maximálne funkčné hodnoty sa vyskytujú v ľavých koncových bodoch podintervalov.

Odpoveď

a. Horná suma = (8,0313 , text {jednotiek} ^ 2. )

b.

Príklad ( PageIndex {6} ): Nájdenie dolnej a hornej sumy pre (f (x) = sin x )

Nájdite nižšiu sumu pre (f (x) = sin x ) v intervale ([a, b] = doľava [0, frac {π} {2} doprava] ); nech (n = 6. )

Riešenie

Najprv sa pozrime na graf na obrázku ( PageIndex {14} ), aby sme získali lepšiu predstavu o záujmovej oblasti.

Intervaly sú ( vľavo [0, frac {π} {12} vpravo], , vľavo [ frac {π} {12}, frac {π} {6} vpravo], , left [ frac {π} {6}, frac {π} {4} right], , left [ frac {π} {4}, frac {π} {3} right], , left [ frac {π} {3}, frac {5π} {12} right] ) a ( left [ frac {5π} {12}, frac {π} {2 }správny]). Všimnite si, že (f (x) = sin x ) sa na intervale zväčšuje ( left [0, frac {π} {2} right] ), takže aproximácia ľavého koncového bodu nám dáva nižšiu súčet. Aproximácia ľavého koncového bodu je Riemannova suma ( sum_ {i = 0} ^ 5 sin x_i left ( tfrac {π} {12} right) ). Máme

[A≈ sin (0) left ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {π} {12} right) left ( tfrac {π} {12 } right) + sin left ( tfrac {π} {6} right) left ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {π} {4} vpravo) doľava ( tfrac {π} {12} doprava) + sin doľava ( tfrac {π} {3} doprava) doľava ( tfrac {π} {12} doprava) + sin left ( tfrac {5π} {12} right) left ( tfrac {π} {12} right) cca 0,863 , text {units} ^ 2. nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Pomocou funkcie (f (x) = sin x ) v intervale ( left [0, frac {π} {2} right], ) nájdeme horný súčet; nech (n = 6. )

Pomôcka

Postupujte podľa pokynov z príkladu ( PageIndex {6} ).

Odpoveď

(A≈1,125 , text {jednotiek} ^ 2 )

Kľúčové koncepty

  • Použitie sigma (súčtu) zápisu tvaru je užitočné na vyjadrenie dlhého súčtu hodnôt v kompaktnom tvare. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ na_i )
  • Pre spojitú funkciu definovanú v intervale ([a, b], ) je proces rozdelenia intervalu na (n ) rovnakých častí, rozšírenia obdĺžnika až po graf funkcie, výpočet oblastí série obdĺžniky a potom so súčtom plôch sa získa aproximácia rozlohy daného regiónu.
  • Pri použití bežného oddielu je šírka každého obdĺžnika (Δx = dfrac {b − a} {n} ).
  • Riemannov súčet je vyjadrením tvaru ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx, ) a dá sa pomocou neho odhadnúť plocha pod krivkou (y = f (x). ) Aproximácie ľavého a pravého koncového bodu sú špeciálne druhy Riemannovych súčtov, kde hodnoty ({x ^ ∗ _ i} ) sú vybrané ako ľavý alebo pravý koncový bod podintervalu.
  • Riemanove súčty umožňujú veľkú flexibilitu pri výbere množiny bodov ({x ^ ∗ _ i} ), pri ktorých sa funkcia hodnotí, často s ohľadom na získanie nižšej alebo vyššej sumy.

Kľúčové rovnice

  • Vlastnosti zápisu Sigma

[ begin {align *} sum_ {i = 1} ^ nc & = nc [4pt]
sum_ {i = 1} ^ nca_i & = c sum_ {i = 1} ^ na_i [4 pt]
sum_ {i = 1} ^ n (a_i + b_i) & = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1} ^ nb_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ n (a_i − b_i) & = sum_ {i = 1} ^ na_i− sum_ {i = 1} ^ nb_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ na_i & = sum_ {i = 1} ^ ma_i + sum_ {i = m + 1} ^ na_i end {zarovnať *} ]

  • Súčty a právomoci celých čísel

[ sum_ {i = 1} ^ ni = 1 + 2 + ⋯ + n = dfrac {n (n + 1)} {2} nonumber ]

[ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ⋯ + n ^ 2 = dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} nonumber ]

[ sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + ⋯ + n ^ 3 = dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} nonumber ]

  • Aproximácia ľavého koncového bodu

(A≈L_n = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + ⋯ + f (x_ {n − 1}) Δx = displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx )

  • Aproximácia pravého koncového bodu

(A≈R_n = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + ⋯ + f (x_n) Δx = displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx )

Glosár

aproximácia ľavého koncového bodu
aproximácia oblasti pod krivkou vypočítaná pomocou ľavého koncového bodu každého podintervalu na výpočet výšky vertikálnych strán každého obdĺžnika
nižšia suma
súčet získaný použitím minimálnej hodnoty (f (x) ) pre každý podinterval
prepážka
množina bodov, ktorá rozdeľuje interval na podintervaly
bežná priečka
oblasť, v ktorej majú všetky podintervaly rovnakú šírku
Riemannova suma
odhad plochy pod krivkou tvaru (A≈ displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx )
aproximácia pravého koncového bodu
aproximácia pravého koncového bodu je aproximácia oblasti obdĺžnikov pod krivkou pomocou pravého koncového bodu každého podintervalu na vytvorenie vertikálnych strán každého obdĺžnika.
sigma notácia
(tiež, súčtový zápis) grécke písmeno sigma ( (Σ )) označuje pridanie hodnôt; hodnoty indexu nad a pod sigmou označujú, kde sa má začať súčet a kde sa má skončiť
horná suma
súčet získaný použitím maximálnej hodnoty (f (x) ) pre každý podinterval

Oblasti Brodmann

Pôvodne definovaný a očíslovaný do 52 oblastí nemeckým anatómom Korbinianom Brodmannom začiatkom 20. rokov 20. storočia Oblasti Brodmann mozgovej kôry sú definované jej cytoarchitektúrou (histologická štruktúra a bunková organizácia).

Je dôležité mať na pamäti, že rovnaké počty Brodmannových oblastí u ľudí a primátov sa často neprekladajú do iných druhov. Tieto oblasti Brodmann boli navyše široko predefinované, diskutované, diskutované a podrobne zdokonalené na základe cytoarchitektúry, kortikálnych funkcií a plasticity mozgu.

Základné fakty o Brodmannových oblastiach
Plochy 1, 2, 3 Primárna somatosenzorická kôra (postcentrálny gyrus)
Oblasť 4 Primárna motorická kôra (precentrálny gyrus)
Oblasť 5 Somatosenzorická asociačná kôra
Oblasť 6 Premotorická a doplnková motorická kôra
Oblasť 9 Dorsolaterálna / predná prefrontálna kôra (motorické plánovanie a organizácia)
Oblasť 10 Predná prefrontálna kôra (vyhľadávanie pamäte)
Oblasť 17 Primárna vizuálna kôra
Plocha 22 Primárna sluchová kôra
Oblasť 37 Occipitotemporálny (vretenovitý) gyrus
Plochy 22, 39, 40 Wernickeho oblasť (porozumenie jazyka)
Plochy 44, 45 Brocova oblasť (programovanie motorickej reči)

V tomto článku sa budeme zaoberať Brodmannovými oblasťami a ich funkciami.


Definícia a notácia

The určitá integraZovšeobecňujem koncept oblasti pod krivkou. Dvíhame požiadavky, ktoré byť spojité a nezáporné a definitívny integrál definovať nasledovne.

Definícia

Ak je funkcia definovaná na intervale jednoznačný integrál od do je daný

za predpokladu, že limit existuje. Ak tento limit existuje, funkcia je údajne integrovateľný do alebo je integrovateľná funkcia.

Integrovaný symbol v predchádzajúcej definícii by mal vyzerať dobre. Podobný zápis sme videli v kapitole Aplikácie derivátov, kde sme použili neurčitý integrálny symbol (bez znaku a zhora a zdola), aby predstavovali primitívne fungovanie. Aj keď zápis pre neurčité integrály môže vyzerať podobne ako zápis pre určitý integrál, nie sú rovnaké. Definitívnym integrálom je číslo. Neurčitý integrál je skupina funkcií. Ďalej v tejto kapitole skúmame, ako tieto pojmy súvisia. Vždy by sa však mala venovať značná pozornosť notácii, aby sme vedeli, či pracujeme s jednoznačným alebo neurčitým integrálom.

Integrálna notácia siaha do konca sedemnásteho storočia a je jedným z príspevkov Gottfrieda Wilhelma Leibniza, ktorý je spolu s Isaacom Newtonom často považovaný za spoluobjaviteľa počtu. Symbol integrácie ∫ je predĺžený S, čo naznačuje sigmu alebo súčet. Na určitom integrále sú nad a pod súčtovým symbolom hranice intervalu, Čísla a -hodnoty a konkrétne sa nazývajú limity integrácie, je dolná hranica a je horná hranica. Na objasnenie používame toto slovo limit dvoma rôznymi spôsobmi v kontexte určitého integrálu. Najskôr hovoríme o limite sumy ako Po druhé, hranice regiónu sa nazývajú limity integrácie.

Voláme funkciu the integranda dx naznačuje to je funkcia vo vzťahu k , nazvaný premenná integrácie. Všimnite si, že rovnako ako index v súčte, premenná integrácie je atrapa premennej a nemá žiadny vplyv na výpočet integrálu. Ako premennú integrácie by sme mohli použiť ľubovoľnú premennú, ktorá sa nám páči:

Predtým sme diskutovali o tom, že ak je nepretržite zapnuté potom limit existuje a je jedinečný. To vedie k nasledujúcej vete, ktorú uvádzame bez dôkazov.

Nepretržité funkcie sú nedeliteľné

Ak je nepretržite zapnuté potom je integrovateľný

Funkcie, ktoré nie sú neustále zapnuté môžu byť stále integrovateľné, v závislosti od povahy diskontinuít. Napríklad funkcie s konečným počtom nespojitostí skokov v uzavretom intervale sú integrovateľné.

Tu tiež stojí za zmienku, že sme si ponechali používanie pravidelného oddielu v Riemannovych súčtoch. Toto obmedzenie nie je nevyhnutne potrebné. Akýkoľvek oddiel je možné použiť na vytvorenie Riemannovej sumy. Ak sa však na definíciu konečného integrálu použije neregulárny oddiel, nestačí brať limit, pretože počet podintervalov ide do nekonečna. Namiesto toho musíme brať limit, pretože šírka najväčšieho podintervalu klesá k nule. Toto zavádza trochu zložitejšiu notáciu do našich limitov a sťažuje výpočty bez toho, aby skutočne získalo oveľa viac informácií, takže pre Riemannov súčty zostaneme pri bežných oddieloch.

Vyhodnotenie integrálu pomocou definície

Use the definition of the definite integral to evaluate Use a right-endpoint approximation to generate the Riemann sum.

We first want to set up a Riemann sum. Based on the limits of integration, we have a Pre nechajme be a regular partition of Potom

Since we are using a right-endpoint approximation to generate Riemann sums, for each i, we need to calculate the function value at the right endpoint of the interval The right endpoint of the interval is and since P is a regular partition,

Thus, the function value at the right endpoint of the interval is

Then the Riemann sum takes the form

Using the summation formula for máme

Now, to calculate the definite integral, we need to take the limit as We get

Use the definition of the definite integral to evaluate Use a right-endpoint approximation to generate the Riemann sum.


What Is Simpson’s 1/3 Rule?

Simpson’s Rule is named after the English mathematician Thomas Simpson who was from Leicestershire England. But for some reason, the formulas used in this method of area approximation were similar to Johannes Kepler’s formulas used over 100 years prior. That is the reason why many mathematicians call this method the Kepler’s Rule.

Simpson’s Rule is considered as a very diverse numerical integration technique. It is entirely based on the type of interpolation you will use. Simpson’s 1/3 Rule or Composite Simpson’s Rule is based upon a quadratic interpolation while Simpson’s 3/8 Rule is based upon a cubic interpolation. Among all methods of area approximation, Simpson’s 1/3 Rule gives the most accurate area because parabolas are used to approximate each part of the curve, and not rectangles or trapezoids.

Area Approximation Using Simpson&aposs 1/3 Rule

Simpson&aposs 1/3 Rule states that if y0, r1, r2. r3 (n is even) are the lengths of a series of parallel chords of uniform interval d, the area of the figure enclosed above is given approximately by the formula below. Note that if the figure ends with points, then take y0 = yn = 0.


Example: Configuring OSPF Stub and Totally Stubby Areas

This example shows how to configure an OSPF stub area and a totally stubby area to control the advertisement of external routes into an area.

Requirements

  • Configure the device interfaces. See the Interfaces Feature Guide for Security Devices.
  • Configure the router identifiers for the devices in your OSPF network. See Example: Configuring an OSPF Router Identifier.
  • Control OSPF designated router election. See Example: Controlling OSPF Designated Router Election
  • Configure a multiarea OSPF network. See Example: Configuring a Multiarea OSPF Network.

Prehľad

The backbone area, which is 0 in Figure 2, has a special function and is always assigned the area ID 0.0.0.0. Area IDs are unique numeric identifiers, in dotted decimal notation. Area IDs need only be unique within an autonomous system (AS). All other networks or areas (such as 3, 7, and 9) in the AS must be directly connected to the backbone area by area border routers (ABRs) that have interfaces in more than one area.

Stub areas are areas through which or into which OSPF does not flood AS external link-state advertisements (Type 5 LSAs). You might create stub areas when much of the topology database consists of AS external advertisements and you want to minimize the size of the topology databases on the internal routers in the stub area.

The following restrictions apply to stub areas:

  • You cannot create a virtual link through a stub area.
  • A stub area cannot contain an AS boundary router.
  • You cannot configure the backbone as a stub area.
  • You cannot configure an area as both a stub area and an not-so-stubby area (NSSA).

In this example, you configure each routing device in area 7 (area ID 0.0.0.7) as a stub router and some additional settings on the ABR:

  • stub —Specifies that this area become a stub area and not be flooded with Type 5 LSAs. You must include the stub statement on all routing devices that are in area 7 because this area has no external connections.
  • default-metric —Configures the ABR to generate a default route with a specified metric into the stub area. This default route enables packet forwarding from the stub area to external destinations. You configure this option only on the ABR. The ABR does not automatically generate a default route when attached to a stub. You must explicitly configure this option to generate a default route.
  • no-summaries —(Optional) Prevents the ABR from advertising summary routes into the stub area by converting the stub area into a totally stubby area. If configured in combination with the default-metric statement, a totally stubby area only allows routes internal to the area and advertises the default route into the area. External routes and destinations to other areas are no longer summarized or allowed into a totally stubby area. Only the ABR requires this additional configuration because it is the only routing device within the totally stubby area that creates Type 3 LSAs used to receive and send traffic from outside of the area.

In Junos OS Release 8.5 and later, the following applies:

  • A router-identifier interface that is not configured to run OSPF is no longer advertised as a stub network in OSPF LSAs.
  • OSPF advertises a local route with a prefix length of 32 as a stub link if the loopback interface is configured with a prefix length other than 32. OSPF also advertises the direct route with the configured mask length, as in earlier releases.

Figure 2: OSPF Network Topology with Stub Areas and NSSAs

Configuration

CLI Quick Configuration

  • To quickly configure an OSPF stub area, copy the following command and paste it into the CLI. You must configure all routing devices that are part of the stub area.

Step-by-Step Procedure

To configure OSPF stub areas:

Poznámka: To specify an OSPFv3 stub area, include the ospf3 statement at the [edit protocols] hierarchy level.

Results

Confirm your configuration by entering the show protocols ospf command. If the output does not display the intended configuration, repeat the instructions in this example to correct the configuration.

Configuration on all routing devices:

Configuration on the ABR (the output also includes the optional setting):

To confirm your OSPFv3 configuration, enter the show protocols ospf3 command.

Verification

Confirm that the configuration is working properly.

Verifying the Interfaces in the Area

Účel

Verify that the interface for OSPF has been configured for the appropriate area. Confirm that the output includes Stub as the type of OSPF area.

Akcia

From operational mode, enter the show ospf interface detail command for OSPFv2, and enter the show ospf3 interface detail command for OSPFv3.

Verifying the Type of OSPF Area

Účel

Verify that the OSPF area is a stub area. Confirm that the output displays Normal Stub as the Stub type.

Akcia

From operational mode, enter the show ospf overview command for OSPFv2, and enter the show ospf3 overview command for OSPFv3.


Russia threatened to vaporize US cities — here are the areas in the US most likely to be hit in a nuclear attack

Russian state media on Sunday made a shocking threat, even by its own extreme standards, that detailed how Moscow would annihilate US cities and areas after a nuclear treaty collapsed and put the Cold War rivals back in targeting mode.

Russian President Vladimir Putin has threatened a new Cuban Missile Crisis with deployments near the US's borders and to aim missiles at the cities that command armed forces — but Russia's media took it a step further by naming their new targets.

Hyping up a new hypersonic nuclear-capable missile, Russian state TV on Sunday evening said the Pentagon, Camp David, Jim Creek Naval Radio Station in Washington, Fort Ritchie in Maryland, and McClellan Air Force Base in California, would be targets, according to Reuters .

But the latter two have been closed for about two decades, making them strange choices for targets.

With most everything from the Russia or its heavily censored media, it's best to take its claims with a grain of salt. Instead of taking Russia's word for it when it comes to nuclear targets, Business Insider got an expert opinion on where Moscow would need to strike.

Since the Cold War, the US and Russia have drawn up plans on how to best wage nuclear war against each other and while large population centers with huge cultural impact may seem like obvious choices, a smarter nuclear attack would focus on countering the enemy's nuclear forces.

So although people in New York City or Los Angeles may see themselves as being in the center of the world, in terms of nuclear-target priorities, they're not as important as states like North Dakota or Montana.

According to Stephen Schwartz, the author of "Atomic Audit: The Costs and Consequences of US Nuclear Weapons Since 1940," as the Cold War progressed and improvements in nuclear weapons and intelligence-collection technologies enabled greater precision in where those weapons were aimed, the emphasis in targeting shifted from cities to nuclear stockpiles and nuclear war-related infrastructure.

This map shows the essential points Russia would have to attack to wipe out the US's nuclear forces, according to Schwartz:

This map represents targets for an all-out attack on the US's fixed nuclear infrastructure, weapons, and command-and-control centers, but even a massive strike like this wouldn't guarantee anything.

"It's exceedingly unlikely that such an attack would be fully successful," Schwartz told Business Insider. "There's an enormous amount of variables in pulling off an attack like this flawlessly, and it would have to be flawless. If even a handful of weapons escape, the stuff you missed will be coming back at you."

Even if every single US intercontinental ballistic missile silo, stockpiled nuclear weapon, and nuclear-capable bomber were flattened, US nuclear submarines could — and would — retaliate.

According to Schwartz, at any given time, the US has four to five nuclear-armed submarines "on hard alert, in their patrol areas, awaiting orders for launch."

Even high-ranking officials in the US military don't know where the silent submarines are, and there's no way Russia could chase them all down before they fired back, which Schwartz said could be done in as little as 5 to 15 minutes.

But a strike on a relatively sparsely populated area could still lead to death and destruction across the US, depending on how the wind blew. That's because of fallout.

The US has strategically positioned the bulk of its nuclear forces, which double as nuclear targets, far from population centers. But if you happen to live next to an ICBM silo, fear not.

There's a "0.0% chance" that Russia could hope to survive an act of nuclear aggression against the US, according to Schwartz. So while we all live under a nuclear "sword of Damocles," Schwartz added, people in big cities like New York and Los Angeles most likely shouldn't worry about being struck by a nuclear weapon.


What is PMBOK Knowledge Areas?

The overarching piece of our matrix are the Knowledge Areas. Each Knowledge Area is made up of a set of processes, each with inputs, tools and techniques, and outputs. These processes, together, accomplish proven project management functions and drive project success. Thus, the Knowledge Areas as shown in Figure 2, are formed by grouping the 47 processes of project management into specialized and focused areas. Knowledge Areas also assume specific skills and experience in order to accomplish project goals.


16 U.S. Code § 1133 - Use of wilderness areas

Except as otherwise provided in this chapter, each agency administering any area designated as wilderness shall be responsible for preserving the wilderness character of the area and shall so administer such area for such other purposes for which it may have been established as also to preserve its wilderness character. Except as otherwise provided in this chapter, wilderness areas shall be devoted to the public purposes of recreational, scenic, scientific, educational, conservation, and historical use.

Except as specifically provided for in this chapter, and subject to existing private rights, there shall be no commercial enterprise and no permanent road within any wilderness area designated by this chapter and, except as necessary to meet minimum requirements for the administration of the area for the purpose of this chapter (including measures required in emergencies involving the health and safety of persons within the area), there shall be no temporary road, no use of motor vehicles, motorized equipment or motorboats, no landing of aircraft, no other form of mechanical transport, and no structure or installation within any such area.

Within wilderness areas designated by this chapter the use of aircraft or motorboats, where these uses have already become established, may be permitted to continue subject to such restrictions as the Secretary of Agriculture deems desirable. In addition, such measures may be taken as may be necessary in the control of fire, insects, and diseases, subject to such conditions as the Secretary deems desirable.

Nothing in this chapter shall prevent within national forest wilderness areas any activity, including prospecting, for the purpose of gathering information about mineral or other resources, if such activity is carried on in a manner compatible with the preservation of the wilderness environment. Furthermore, in accordance with such program as the Secretary of the Interior shall develop and conduct in consultation with the Secretary of Agriculture, such areas shall be surveyed on a planned, recurring basis consistent with the concept of wilderness preservation by the United States Geological Survey and the United States Bureau of Mines to determine the mineral values, if any, that may be present and the results of such surveys shall be made available to the public and submitted to the President and Congress .

Notwithstanding any other provisions of this chapter, until midnight December 31, 1983 , the United States mining laws and all laws pertaining to mineral leasing shall, to the same extent as applicable prior to September 3, 1964 , extend to those national forest lands designated by this chapter as “wilderness areas” subject, however, to such reasonable regulations governing ingress and egress as may be prescribed by the Secretary of Agriculture consistent with the use of the land for mineral location and development and exploration, drilling, and production, and use of land for transmission lines, waterlines, telephone lines, or facilities necessary in exploring, drilling, producing, mining, and processing operations, including where essential the use of mechanized ground or air equipment and restoration as near as practicable of the surface of the land disturbed in performing prospecting, location, and, in oil and gas leasing, discovery work, exploration, drilling, and production, as soon as they have served their purpose. Mining locations lying within the boundaries of saidDecember 31, 1983 , except for the valid claims existing on or before December 31, 1983 . Mining claims located after September 3, 1964 , within the boundaries ofJanuary 1, 1984 , the minerals in lands designated by this chapter as (4) Water resources, reservoirs, and other facilities grazing

Within wilderness areas in the national forests designated by this chapter, (1) the President may, within a specific area and in accordance with such regulations as he may deem desirable, authorize prospecting for water resources, the establishment and maintenance of reservoirs, water-conservation works, power projects, transmission lines, and other facilities needed in the public interest, including the road construction and maintenance essential to development and use thereof, upon his determination that such use or uses in the specific area will better serve the interests of the United States and the people thereof than will its denial and (2) the grazing of livestock, where established prior to September 3, 1964 , shall be permitted to continue subject to such reasonable regulations as are deemed necessary by the Secretary of Agriculture.

Commercial services may be performed within the wilderness areas designated by this chapter to the extent necessary for activities which are proper for realizing the recreational or other wilderness purposes of the areas.

Nothing in this chapter shall constitute an express or implied claim or denial on the part of the Federal Government as to exemption from State water laws.

Nothing in this chapter shall be construed as affecting the jurisdiction or responsibilities of the several States with respect to wildlife and fish in the national forests.


Different areas can spawn different kinds of leaves. (Note: Fruits and Seeds can spawn in all areas.)

Currently available areas include:

  • Home Garden - Free (Starting Area). Types of leaves: ,
  • Neighbors' Garden - 5 Coins. Types of leaves: , ,
  • Mountain - 10 Coins. Types of leaves: , , ,
  • Space - 50 Coins. Types of leaves: , , , ,
  • The Void - 2500 Coins. Types of leaves: , , , , ,
  • The Abyss - 1m Strange Flasks. Types of leaves: ,
  • The Celestial Plane - 1m BLC Coins, Types of leaves: ,
  • The Mythical Garden - 50m BLC Coins, Types of leaves: , ,
  • The Volcano (!)- 500m BLC Coins, Types of leaves: , , ,
  • The Abandoned Research Station - 1b BLC coins, Types of leaves: , , ,
  • The Hidden Sea (!) - Water Seal Artifact, Types of leaves: , , , ,
  • The Moon - 50b BLC coins and floor 120 on the leaf tower,
  • Leafsink Harbor - 15b BLC coins, Types of leaves:, , , ,
  • The Cheese Pub - 500 Borbs, Types of leaves: None
  • The Leaf Tower (!) - 100b BLC coins, Types of leaves: , , , , , ,
  • Your House - 300 Cheese, Types of leaves: None

Dangerous Areas (!) - Areas marked with (!) actually deal damage to the player while they are in the area. Such inhospitable places take special upgrades and skills to navigate safely. If your health is reduced to 0 in one of these areas, you will be sent back to Home Garden or Teleported to any selected Area in the Areas tab if the "Area Teleport Bot" upgrade has been purchased in the BLC shop.


5.1: Approximating Areas



Urban population growth from now to 2030
Capital cities
World's largest cities
and their mayors 2010
World's largest cities 2007
Fastest growing cities 2007
Largest cities in the world
Largest urban areas
Richest cities in th world
Largest European cities
Largest US cities
Largest Canadian cities
Largest Brazilian cities
Largest German cities
Largest French cities
Largest French urban areas
Largest UK cities
Largest Italian cities
Largest Spanish cities
Largest Indian cities
Largest Japanese cities
Top US eCities
Top European eCities
Directories
Urbanisation 2008 to 2030


Worldwide | Elections | North America | Latin America | Europe | Asia | Africa |


























The world&rsquos largest cities and urban areas in 2020 Urban areas ranked 1 to 100

The tables provide population figures for cities and their surrounding urban areas. Most such agglomerations are economically, socially and culturally dominated by one city at their centre. Occasionally however, several cities of similar status and their suburbs make up an urban area. The 2020 population figures were calculated using the 2006 data as base and applying annual rates of population changes. The average annual rates of population changes are assumptions based on past growth/decline and forecasts by international and national statistics organisations.

THE LARGEST CITIES IN THE WORLD AND THEIR MAYORS 2010
Úvod
Cities by size: 1 to 150 | 151 to 300 | 301 to 450 | 451 to 550 |
Cities in alphabetical order: A to D | E to L | M to R | S to Z |
Cities by countries: A to D | E to L | M to R | S to Z |


Pozri si video: Как включить колонки креатив 5100 без пульта??? Запускаем систему Creative inspire 5100. (November 2021).