Články

3.1: Nerovnosti v jednej premennej


Keď ste sa učili o doméne a rozsahu, dozvedeli ste sa o nerovnostiach a na ich reprezentáciu ste použili zostavovač súborov a intervalové zápisy. Proces je veľmi podobný riešeniu rovníc, ale namiesto toho, aby riešenie bolo jedinou hodnotou, riešením bude nerovnosť.

Všimnite si, že ak je nerovnosť pravdivá, napríklad 2 <5, potom výsledkom týchto operácií bude rovnako ako pri rovniciach pravdivý výrok:

Pridanie čísla na obe strany:

2 + 4 <5 + 4 6 <9 Pravda

Odčítanie čísla na oboch stranách:

2 - 3 <5 - 3 -1 <2 Pravda

Násobenie kladného čísla na oboch stranách:

2 (3) <5 (3) 6 <15 Pravda

Delíme kladným číslom na oboch stranách:

2/2 <5/2 1 <2,5 Pravda

Tieto operácie môžeme použiť rovnako ako pri riešení rovníc.

Príklad ( PageIndex {1} )

Vyriešiť [3x + 7 geq 1 nonumber ]

Riešenie

[3x + 7 geq 1 nonumber ]

Odčítajte 7 od oboch strán

[3x geq - 6 nonumber ]

Rozdelte obe strany o 3

[x geq - 2 nonumber ]

Táto nerovnosť predstavuje množinu riešení. Hovorí nám, že všetky čísla väčšie alebo rovné -2 uspokoja pôvodnú nerovnosť. Toto riešenie by sme mohli napísať aj v intervalovom zápise ako ([- 2, infty) ).

Aby sme pochopili, čo sa deje, mohli by sme problém zvážiť aj graficky. Ak by sme mali nakresliť rovnicu (y = 3x + 7 ), potom riešenie (3x + 7 geq 1 ) by zodpovedalo požiadavke „pre aké hodnoty (x ) je (y geq 1 ) “. Všimnite si, že časť grafu, kde je to pravda, zodpovedá kde (x geq - 2 ).

Zatiaľ čo väčšina operácií pri riešení nerovností je rovnaká ako pri riešení rovníc, narazíme na problém pri vynásobení alebo vydelení oboch strán záporným číslom. Všimnite si napríklad:

2(-3) < 5(-3) -6 < -15 Nie Pravdaže

Aby sme to zohľadnili, pri vynásobení alebo vydelení záporným číslom musíme obrátiť znamienko nerovnosti.

Pravidlá riešenia lineárnych nerovností

  1. Na obidve strany nerovnosti môžete pridať alebo odčítať kladné alebo záporné číslo.
  2. Obe strany nerovnosti môžete vynásobiť alebo vydeliť kladným číslom.
  3. Obe strany nerovnosti môžete vynásobiť alebo vydeliť záporným číslom, musíte však obrátiť smer nerovnosti.

Príklad ( PageIndex {2} )

Vyriešiť [12 - 4x <6 nonumber ]

Riešenie

[12 - 4x <6 nonumber ]

Odčítajte 12 od oboch strán

[- 4x <- 6 nonumber ]

Rozdeľte obe strany o -4 a otočte smer nerovnosti

[x> frac {- 6} {- 4} nonumber ]

Zjednodušiť

[x> frac {3} {2} nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vyriešiť: [6 + 2x leq 18 + 5x nonumber ]

Odpoveď

[x geq - 4 nonumber ]

Príklad ( PageIndex {3} )

Spoločnosť utráca za prácu a prácu 1200 dolárov za deň a každá vyrobená položka stojí 5 dolárov za materiál. Ak predajú tieto položky po 15 dolárov, koľko kusov budú musieť každý deň predať, aby boli ich zisky kladné?

Riešenie

Aj keď by sme tento problém mohli vyriešiť pomocou rovníc, dá sa použiť aj na nerovnosti, pretože chceme, aby bol zisk pozitívny: (P> 0 ).

Náklady: (C (q) = 1200 + 5q )

Výnos: (R (q) = 10q )

Zisk: (P (q) = 10q - (1200 + 5q) = 5q - 1200 )

Riešenie (P (q)> 0 ):

[ begin {align *} 5q - 1200 &> 0 5q &> 1200 q &> 240 end {align *} ]

Spoločnosť bude musieť dosiahnuť zisk najmenej 240 položiek denne.

Zložené nerovnosti

Zložené nerovnosti sú nerovnosti, ktoré sa skladajú z viacerých častí. Najbežnejší typ sa nazýva trojstranná nerovnosť. Základná verzia vyzerá takto:

[- 1 <3x + 5 <14 nonumber ].

Keď ich píšeme, je dôležité, aby obidve nerovnosti smerovali rovnakým smerom a aby platila aj „vonkajšia“ nerovnosť - v tomto prípade (- 1 <14 ) je pravdivá, takže to platí. Výrazy ako (10 ​​ 5 ) sú nie platný zápis.

Najuniverzálnejší spôsob riešenia trojstrannej nerovnosti je:

  1. Rozdeľte to na dve samostatné nerovnosti
  2. Každú nerovnosť riešte osobitne
  3. Ak je to možné, riešenia skombinujte.

Príklad ( PageIndex {4} )

Vyriešiť [- 1 <- 3x + 5 <14 nonumber ]

Riešenie

Najskôr to rozdelíme na dve nerovnosti:

[- 1 <- 3x + 5 quad text {a} quad - 3x + 5 <14 nonumber ]

Teraz vyriešime všetky:

[- 6 <- 3x quad text {a} quad -3x <9 nonumber ]

[2> x nonumber quad text {a} quad x> - 3 nonumber ]

Teraz môžeme tieto sady riešení kombinovať. Čísla, kde (2> x ) a (x> - 3 ) sú pravdivé, sú množiny:

[2> x> - 3 nečíslo ]

Aj keď je toto riešenie platné a správne, je bežnejšie písať riešenie trojstranných nerovností s menším počtom vľavo. Riešenie by sme mohli prepísať ako:

[- 3

To má tiež tú výhodu, že lepšie zodpovedá odpovedi v intervalovom zápise: ((- - 3, 2) )

S touto konkrétnou nerovnosťou by bolo tiež možné preskočiť krok jej rozdelenia a namiesto toho iba odpočítať 5 od všetkých troch „častí“ nerovnosti. Toto funguje na jednoduché problémy, ako je tento, ale môže zlyhať, ak má nerovnosť premenné vo viac ako jednej „časti“ nerovnosti.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vyriešiť: [4 leq 2x + 6 <16 nonumber ]

Odpoveď

[- 1 leq x <5 nonumber ]

V intervalovom zápise je to ([-1, 5) ).

Absolútna hodnota

Zatiaľ sme sa v tejto časti zaoberali lineárnymi nerovnosťami. Teraz sa obrátime k nerovnostiam absolútnej hodnoty. Funkcia absolútnej hodnoty je po častiach definovaná funkcia zložená z dvoch lineárnych funkcií.

Absolútna hodnota funkcie

Funkciu absolútnej hodnoty je možné definovať ako

[f (x) = vľavo | x vpravo | = left { begin {array} {* {20} {c}} x & text {if} & x geq 0 - x & text {if} & x <0 end {pole} vpravo. nonumber ]

Graf absolútnej hodnoty vyzerá ako V:

Funkcia absolútnej hodnoty sa bežne používa na určenie vzdialenosti medzi dvoma číslami na číselnej čiare. Vzhľadom na dve hodnoty (a ) a (b ), potom ( doľava | a - b doprava | ) dá vzdialenosť, kladnú veličinu, medzi týmito hodnotami bez ohľadu na to, ktorá hodnota je väčšia.

Príklad ( PageIndex {5} )

Popíšte všetky hodnoty (x ) vo vzdialenosti 4 od čísla 5.

Riešenie

Chceme, aby vzdialenosť medzi (x ) a 5 bola menšia alebo rovná 4. Vzdialenosť môže byť znázornená pomocou absolútnej hodnoty, ktorá dáva výraz

[ doľava | x - 5 vpravo | leq 4 nonumber ]

Príklad ( PageIndex {6} )

Prieskum z roku 2010 uviedol, že 78% Američanov je presvedčených, že ľudia, ktorí sú homosexuálmi, by mali byť schopní slúžiť v americkej armáde, pričom údajná chybovosť je 3% [1]. Miera chyby nám hovorí, ako ďaleko môže byť skutočná hodnota od hodnoty prieskumu [2]. Množinu možných hodnôt vyjadrte pomocou absolútnych hodnôt.


[1] http://www.pollingreport.com/civil.htm, načítané 4. augusta 2010

[2] Technicky, miera chyby zvyčajne znamená, že inšpektori sú 95% presvedčení, že skutočná hodnota spadá do tohto rozsahu.

Riešenie

Pretože chceme, aby veľkosť rozdielu medzi skutočným percentom (p ) a uvádzaným percentom bola menšia ako 3%,

[ doľava | p - 78 vpravo | leq 3 nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Testom prejdú študenti, ktorí skórujú do 20 bodov z 80. Napíšte to ako vzdialenosť od 80 pomocou zápisu absolútnej hodnoty.

Odpoveď

Pomocou premennej (p ), na odovzdanie, [ doľava | {str - 80} vpravo | leq 20 nonumber ]

Riešenie rovníc absolútnej hodnoty

Na vyriešenie rovnice ako (8 = doľava | 2x - 6 doprava | ) si môžeme všimnúť, že absolútna hodnota sa bude rovnať ôsmim, ak bude veličina vo vnútri absolútna hodnota bola 8 alebo -8. To vedie k dvom rôznym rovniciam, ktoré môžeme vyriešiť nezávisle:

[ begin {align *} 2x - 6 & = 8 2x & = 14 x & = 7 end {align *} ]

alebo

[ begin {align *} 2x - 6 & = - 8 2x & = - 2 x & = - 1 end {align *} ]

Riešenie rovníc absolútnej hodnoty

Rovnica tvaru ( doľava | A doprava | = B ) s (B geq 0 ), bude mať riešenie, keď

[A = B quad text {alebo} quad A = -B nonumber ]

Príklad ( PageIndex {7} )

Riešiť: (0 = doľava | 4x + 1 doprava | - 7 )

Riešenie

[0 = vľavo | {4x + 1} vpravo | - 7 nečíslo ]

Izolujte absolútnu hodnotu na jednej strane rovnice

[7 = vľavo | {4x + 1} vpravo | nonumber ]

Teraz to môžeme rozdeliť na dve samostatné rovnice:

[ begin {align *} 7 & = 4x + 1 6 & = 4x x & = frac {6} {4} = frac {3} {2} end {align *} ]

alebo

[ begin {align *} - 7 & = 4x + 1 - 8 & = 4x x & = frac {- 8} {4} = - 2 end {align *} ]

Existujú dve riešenia: (x = frac {3} {2} ) a (x = -2 ).

Príklad ( PageIndex {8} )

Vyriešiť (1 = 4 vľavo | x - 2 vpravo | + 2 )

Riešenie

Izolácia absolútnej hodnoty na jednej strane rovnice,

[ begin {align *} 1 & = 4 left | x - 2 vpravo | + 2 -1 & = 4 vľavo | x - 2 vpravo | - frac {1} {4} & = doľava | x - 2 vpravo | end {zarovnať *} ]

V tomto bode si všimneme, že táto rovnica nemá riešenie - absolútna hodnota vždy vráti kladnú hodnotu, takže je nemožné, aby sa absolútna hodnota rovnala zápornej hodnote.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Nájdite vodorovné a zvislé zachytenie funkcie (f (x) = - doľava | {x + 2} doprava | + 3 )

Odpoveď

Horizontálne: ((1,0) ) a ((- 5,0) )

Vertikálne: ((0,1) )

Riešenie nerovností absolútnej hodnoty

Keď sa nerovnosti absolútnych hodnôt zapisujú tak, aby popisovali množinu hodnôt, napríklad nerovnosť ( left | x - 5 right | leq 4 ), ktorú sme napísali skôr, je niekedy žiaduce vyjadriť túto množinu hodnôt bez absolútnej hodnoty , buď pomocou nerovností, alebo pomocou intervalového zápisu.

Preskúmame dva prístupy k riešeniu nerovností absolútnej hodnoty:

  1. Pomocou grafu
  2. Pomocou testovacích hodnôt

Príklad ( PageIndex {9} )

Vyriešiť [ doľava | {x - 5} vpravo | leq 4 nonumber ]

Riešenie

Pri oboch prístupoch budeme musieť najskôr vedieť, kde sú zodpovedajúce rovnosť je pravda. V takom prípade najskôr nájdeme kde ( doľava | {x - 5} doprava | = 4 ). Robíme to preto, lebo absolútna hodnota je príjemná priateľská funkcia bez prerušenia, takže jediný spôsob, ako sa môžu hodnoty funkcií prepnúť z hodnoty menšej ako 4 na hodnotu vyššiu ako 4, je prechod cez miesto, kde sa hodnoty rovnajú 4. Vyriešiť ( left | {x - 5} vpravo | = 4 ),

[ begin {align *} x - 5 & = 4 x & = 9 end {align *} ]

alebo

[ begin {align *} x - 5 = - 4 x = 1 end {align *} ]

Aby sme mohli použiť graf, môžeme načrtnúť funkciu (f (x) = left | {x - 5} right | ). Aby sme zistili, kde sú výstupy 4, mohol by sa tiež načrtnúť riadok (g (x) = 4 ).

Na grafe vidíme, že skutočne sú výstupné hodnoty absolútnej hodnoty rovné 4 pri (x = 1 ) a (x = 9 ). Na základe tvaru grafu môžeme určiť, že absolútna hodnota je medzi týmito dvoma bodmi menšia alebo rovná 4, keď (1 leq x leq 9 ). Pri intervalovom zápise by to bol interval ([1,9] ).

Ako alternatívu ku grafom vieme, že po určení, že absolútna hodnota sa rovná 4 pri (x = 1 ) a (x = 9 ), sa graf môže zmeniť iba z toho, že bude menší ako 4 až väčší ako 4 v tieto hodnoty. Týmto sa číselný rad rozdelí na tri intervaly: (x <1, 1 9 ). Aby sme určili, kedy je funkcia menšia ako 4, mohli by sme zvoliť hodnotu v každom intervale a zistiť, či je výstup menší alebo väčší ako 4.

[ begin {array} {llll}
text {Interval} & text {Test} x & f (x) & <4 text {or}> 4?
hline x <1 & 0 & | 0-5 | = 5 & text {väčší}
1 x> 9 a 11 & | 11-5 | = 6 & text {väčší}
end {pole}
nonumber ]

Pretože (1 leq x leq 9 ) je jediný interval, v ktorom je výstup pri testovacej hodnote menší ako 4, môžeme uzavrieť riešenie ( left | {x - 5} right | leq 4 ) je (1 leq x leq 9 ).

Príklad ( PageIndex {10} )

Na základe funkcie (f (x) = - frac {1} {2} doľava | {4x - 5} doprava | + 3 ) určite, pre aké hodnoty (x ) sú hodnoty funkcií záporné.

Riešenie

Pokúšame sa určiť, kde (f (x) <0 ), čo je vtedy, keď (- frac {1} {2} doľava | {4x - 5} doprava | + 3 <0 ). Začneme izoláciou absolútnej hodnoty:

[- frac {1} {2} vľavo | {4x - 5} vpravo | <- 3 nonumber ]

Keď vynásobíme obe strany číslom -2, obráti sa nerovnosť,

[ doľava | {4x - 5} vpravo | > 6 nonumber ]

Ďalej riešime rovnosť ( doľava | {4x - 5} doprava | = 6 )

[ begin {align *} 4x - 5 & = 6 4x & = 11 x & = frac {11} {4} end {align *} nonumber ]

alebo

[ begin {align *} 4x - 5 & = - 6 4x & = - 1 x & = frac {- 1} {4} end {align *} ]

Teraz môžeme vybrať testovacie hodnoty alebo načrtnúť graf funkcie, aby sme určili, v ktorých intervaloch je pôvodná hodnota funkcie záporná. Všimnite si, že ani nie je úplne dôležité, ako presne ten graf vyzerá, pokiaľ vieme, že pretína vodorovnú os pri (x = frac {- 1} {4} ) a (x = frac { 11} {4} ) a že graf bol otočený.

Z grafu funkcie vidíme, že hodnoty funkcií sú záporné naľavo od prvého vodorovného úseku na (x = frac {- 1} {4} ) a záporné hodnoty na pravej strane druhého úseku na (x = frac {11} {4} ). Toto nám dáva riešenie nerovnosti:

[x < frac {-1} {4} quad text {alebo} quad x> frac {11} {4} nonumber ]

V intervalovom zápise by to bolo ( left (- infty, frac {- 1} {4} right) cup left ( frac {11} {4}, infty right) )

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Vyriešiť (- 2 doľava | k - 4 doprava | leq - 6 )

Odpoveď

(k <1 ) alebo (k> 7 ); v intervalovom zápise by to bolo ( ľavé (- infty, 1 pravé) cup ľavé (7, infty pravé) )

Existuje tretí prístup k riešeniu absolútnych hodnotových nerovností, ktorý je formálny. Aj keď to funguje a môžete ich používať, je oveľa pravdepodobnejšie, že si spomeniete na ďalšie prístupy.

Riešenie nerovností absolútnej hodnoty

Ak chcete vyriešiť ( doľava | A doprava |

Ak chcete vyriešiť ( ľavé | A pravé |> B ), vyriešte: (A> B ) alebo (A <- B )

Príklad ( PageIndex {11} )

Vyriešiť (3 doľava | x + 4 doprava | - 2 geq 7 )

Riešenie

Musíme začať izolovaním absolútnej hodnoty:

[3 vľavo | {x + 4} vpravo | - 2 geq 7 nonumber ]

Pridajte 2 na obe strany

[3 vľavo | {x + 4} vpravo | geq 9 nonumber ]

Rozdelte obe strany o 3

[ doľava | {x + 4} vpravo | geq 3 nonumber ]

Teraz to môžeme rozdeliť a vyriešiť každý kúsok zvlášť:

[ begin {align *} x + 4 & geq 3 nonumber x & geq - 1 end {align *} ]

alebo

[ begin {align *} x + 4 & leq - 3 x & leq - 7 end {align *} ]

Pri intervalovom zápise by to bolo ((- infty, -7] cup [-1, infty) ).

Dôležité témy tejto časti

Vlastnosti funkcie absolútnej hodnoty

Riešenie rovníc absolútnej hodnoty

Hľadanie záchytiek

Riešenie absolútnych hodnotových nerovností


NEROVNOSŤ V JEDNEJ PREMENNEJ

V oddieloch 1.1 a 2.1 sme videli, že z dvoch rôznych čísel leží graf menšieho čísla vľavo od grafu väčšieho čísla na číselnej čiare. Tieto poradové vzťahy je možné vyjadriť pomocou nasledujúcich symbolov:

& le znamená „je menší alebo rovný“

& ge znamená „je väčšie alebo rovné“.

„1 je menej ako 3“ možno zapísať ako 1 -5.

„2 je menšie alebo rovné x“ možno zapísať ako 2 & le x.

„4 je väčšie alebo rovné y“ možno písať ako 4 a viac r.

Výroky, ktoré zahŕňajú niektorý z vyššie uvedených symbolov, sa nazývajú nerovnosti. Nerovnosti ako napr

sa hovorí o opačnom poradí alebo opačnom zmysle, pretože v jednom prípade je ľavostranný člen menší ako pravostranný člen a v druhom prípade je ľavostranný člen väčší ako pravostranný člen.

VLASTNOSTI NEROVNOSTI

V časti 3.1 sme videli, že rovnica prvého stupňa v jednej premennej má iba jedno riešenie. Nerovnosť prvého stupňa má ale nekonečné množstvo riešení. Napríklad grafy nekonečného počtu riešení celých čísel nerovnosti x> 3 sú zobrazené na obrázku 3.1.

Niekedy nie je možné určiť riešenie danej nerovnosti jednoduchou kontrolou. Ale pomocou nasledujúcich vlastností môžeme vytvoriť ekvivalentné nerovnosti (nerovnosti s rovnakými riešeniami), v ktorých je riešenie zrejmé inšpekciou.

1. Ak sa k rovnakému výrazu pridá alebo odčíta každý člen nerovnosti, výsledkom bude ekvivalentná nerovnosť v rovnakom poradí.

a Príklad 1 a. Pretože 3 Príklad 2 a. Pretože 2 0,

5 (z) Príklad 3 a. Pretože 3 5 (-2) alebo -6> -10

Tri vyššie uvedené vlastnosti platia aj pre nerovnosti tvaru a> b, ako aj pre riešenie príkladu 4 , kde x je celé číslo.

Riešenie Vynásobením každého člena číslom 2 (kladným číslom) máme

Potom vydelíme každého člena 3, dostaneme

Graf tejto nerovnosti je

V uvedenom príklade boli všetky nerovnosti v rovnakom poradí, pretože sme vyššie použili iba vlastnosť 2. Teraz zvážte nasledujúcu nerovnosť.

Príklad 5 Riešiť - 3x + 1> 7, kde x je celé číslo.

Pridanie riešenia - 1 pre každého člena, máme

Teraz použijeme Vlastnosť 3 a každého člena vydelíme -3. V takom prípade musíme obrátiť poradie nerovnosti.

Pri riešení slovných úloh obsahujúcich nerovnosti postupujeme podľa šiestich krokov uvedených na strane 115, ibaže slovná rovnica bude nahradená slovom nerovnosť.


3.1: Nerovnosti v jednej premennej

Tento kurz je určený pre študentov, ktorí chcú vytvoriť pevný algebraický základ základných matematických konceptov, z ktorých môžu absolvovať pokročilejšie kurzy využívajúce koncepty z precalculus, calculus, probability a statistics. Tento kurz pomôže upevniť vaše výpočtové metódy, skontrolovať algebraické vzorce a vlastnosti a aplikovať tieto koncepty na modelovanie situácií v reálnom svete. Tento kurz je určený pre všetkých študentov, ktorí využijú algebraické zručnosti v budúcich kurzoch matematiky. Témy zahŕňajú: reálne čísla, rovnosti, nerovnosti, polynómy, racionálne výrazy a rovnice, grafy, vzťahy a funkcie, radikály a exponenty a kvadratické rovnice.

Modul 3: Riešenie nerovností

Relatívna poloha dvoch bodov na súradnicovej čiare sa používa na definovanie vzťahu nerovnosti na množine reálnych čísel. Hovoríme, že a je menšie ako b, a & ltb, keď skutočné číslo a leží vľavo od skutočného čísla b na súradnicovej čiare. Z tejto definície prirodzene vyplývajú ďalšie nerovnosti.


Lineárne rovnice a nerovnice v jednej premennej

Poznámka: Tieto súbory PDF sú zahrnuté, aby uľahčili tlač. Odkazy nie sú zverejnené v tomto formáte. Ak chcete získať najaktuálnejšiu verziu materiálov a pracovných odkazov, posuňte zobrazenie nadol na položku Veľké nápady a otvorte verzie dokumentu Google, ktoré sa neustále aktualizujú.

Zdroje jednotiek:

Počiatočné úlohy Pozrieť 2 položky Skryť 2 položky

Úvodná úloha pre jednotku je zameraná na ukážku pripravovanej matematiky pre študenta a pomoc učiteľom zistiť, ako ich študenti rozumejú matematike pred uskutočnením jednotky.

Komentujte nižšie otázky, spätnú väzbu, návrhy alebo popis svojich skúseností s používaním tohto zdroja so študentmi.

Lineárne rovnice a nerovnice v jednej premennej

Táto stránka obsahuje pokyny, ako použiť počiatočnú úlohu, Mystery Letters, na zistenie toho, čo už vaši študenti vedia o formovaní a riešení rovníc.

Komentujte nižšie otázky, spätnú väzbu, návrhy alebo popis svojich skúseností s používaním tohto zdroja so študentmi.

Lineárne rovnice a nerovnice v jednej premennej

Veľký nápad 1: Rovnice možno odvodiť z funkcií. Zobraziť 2 položky Skryť 2 položky

Zdroje pre Big Idea 1 sa zameriavajú na analýzu veličín zo situácie a ich použitie na napísanie rovnice alebo nerovnosti. Skúma sa tiež rozlíšenie medzi funkciou a rovnicou.

Komentujte nižšie otázky, spätnú väzbu, návrhy alebo popis svojich skúseností s používaním tohto zdroja so študentmi.

Lineárne rovnice a nerovnice v jednej premennej

Veľký nápad 2: Sada riešení robí rovnicu alebo nerovnosť pravdivými. Zobraziť 2 položky Skryť 2 položky

Zdroje pre program Big Idea 2 sa zameriavajú na riešenie rovníc a nerovností a na použitie vizuálnych modelov a vlastností na vysvetlenie každého kroku v procese riešenia rovníc a nerovností.

Komentujte nižšie otázky, spätnú väzbu, návrhy alebo popis svojich skúseností s používaním tohto zdroja so študentmi.

Lineárne rovnice a nerovnice v jednej premennej

Veľký nápad 3: Rovnice a nerovnosti je možné znázorniť viacerými ekvivalentnými spôsobmi. Zobraziť 2 položky Skryť 2 položky

Zdroje pre program Big Idea 3 sa zameriavajú na analýzu veličín zo situácie a ich použitie na písanie a riešenie rovníc alebo nerovností s premennou na oboch stranách znaku rovnosti alebo nerovnosti.

Komentujte nižšie otázky, spätnú väzbu, návrhy alebo popis svojich skúseností s používaním tohto zdroja so študentmi.

Lineárne rovnice a nerovnice v jednej premennej

Lekcia formálneho hodnotenia Pozri 1 položku Skryť 1 položku

Hodina formatívneho hodnotenia (známa tiež ako výzva v triede) je starostlivo navrhnutá hodina, ktorá podporuje učiteľov v porozumení toho, ako majú študenti zmysel pre matematiku jednotky, a ponúka študentom príležitosti na opätovné preskúmanie a prehĺbenie porozumenia tejto matematike.

A Výzva v triede (alias lekcia formatívneho hodnotenia) je lekcia pripravená na vyučovanie, ktorá podporuje formatívne hodnotenie. Prístup k lekcii umožňuje študentom najskôr preukázať svoje predchádzajúce pochopenie a schopnosti uplatniť matematické postupy a potom študentov zapojiť do riešenia svojich problémov a mylných predstáv prostredníctvom štruktúrovanej diskusie.

Komentujte nižšie otázky, spätnú väzbu, návrhy alebo popis svojich skúseností s používaním tohto zdroja so študentmi.

Lineárne rovnice a nerovnice v jednej premennej

Opätovné zapojenie Pozri 1 položku Skryť 1 položku

Opätovné zapojenie znamená vrátiť sa k známemu problému alebo úlohe a pozrieť sa na ňu znova rôznymi spôsobmi, s novým objektívom alebo ísť hlbšie do matematiky. To sa často deje tak, že sa ukážu príklady práce študentov a poskytnú sa výzvy, ktoré pomôžu študentom premýšľať o matematických myšlienkach inak. Táto príručka poskytuje viac informácií o tom, ako navrhnúť hodiny opätovného zapojenia študentov, ktoré môžete použiť kedykoľvek počas vyučovania, kde si myslíte, že by bolo užitočné, keby si študenti preštudovali konkrétnu matematickú myšlienku skôr, ako sa posunú ďalej.

Opätovné zapojenie znamená vrátiť sa k známemu problému alebo úlohe a pozrieť sa na ňu znova rôznymi spôsobmi, s novým objektívom alebo ísť hlbšie do matematiky. To sa často deje tak, že sa ukážu príklady práce študentov a poskytnú sa výzvy, ktoré pomôžu študentom premýšľať o matematických myšlienkach inak. Táto príručka poskytuje viac informácií o tom, ako navrhnúť hodiny opätovného zapojenia pre vašich študentov, ktoré môžete použiť kedykoľvek počas vyučovania, kde si myslíte, že by bolo užitočné, keby si študenti preštudovali konkrétny matematický nápad skôr, ako sa posunú ďalej.

Komentujte nižšie otázky, spätnú väzbu, návrhy alebo popis svojich skúseností s používaním tohto zdroja so študentmi.

Lineárne rovnice a nerovnice v jednej premennej

Koniec hodnotenia jednotky Zobraziť 3 položky Skryť 3 položky

Cieľom záverečného hodnotenia jednotky je objasniť, ako študenti chápu matematiku vo vzťahu ku koncoročnému cieľu skúšky Regents. Na podporu retencie je koniec hodnotení jednotiek zámerne navrhnutý so špirálovitými otázkami z predchádzajúcich jednotiek.

Ako sú po tejto jednotke pripravení vaši študenti na záverečnú skúšku Regents? Koniec hodnotenia jednotky je navrhnutý tak, aby objasnil, ako študenti chápu matematiku v jednotke. Zahŕňa špirálové otázky s možnosťou výberu z viacerých odpovedí a zostavené otázky s odpoveďami, porovnateľné s tými, ktoré sa nachádzajú na konci skúšky Regents. Pre niektoré jednotky môže byť k dispozícii bohatá úloha, ktorá umožňuje viac vstupných bodov a autentické hodnotenie výučby študentov, a môže byť zahrnutá ako súčasť ukončenia hodnotenia jednotky. Všetky prvky konca hodnotenia jednotky sú zosúladené s prioritizáciou Matematických učebných štandardov NYS a Prioritou modelových rámcov PARCC.

Komentujte nižšie otázky, spätnú väzbu, návrhy alebo popis svojich skúseností s používaním tohto zdroja so študentmi.


Grafické nerovnosti v jednej premennej

Riešenie nerovností je možné znázorniť na číselnej čiare ako lúče. Ak je nerovnosť „prísna“ (& lt alebo & gt), použijeme znak otvorená bodka čo naznačuje, že koncový bod lúča nie je súčasťou riešenia. Pre ostatné typy nerovností ( & le a & ge ), používame a uzavretá bodka .

Stiahnite si naše bezplatné aplikácie učebných nástrojov a otestujte prípravné knihy

Názvy štandardizovaných testov sú vlastnené držiteľmi ochranných známok a nie sú spojené so spoločnosťou Varsity Tutors LLC.

Hodnotenie spokojnosti 4,9 / 5,0 za posledných 100 000 relácií. K 27.4.18.

Ochranné známky mediálnych výstupov sú majetkom príslušných médií a nie sú spojené s firmou Varsity Tutors.

Ocenená žiadosť založená na cenách CBS Local a Houston Press.

Varsity Tutors nemá vzťah k univerzitám uvedeným na svojej webovej stránke.

Varsity Tutors spája študentov s odborníkmi. Inštruktori sú nezávislí dodávatelia, ktorí prispôsobujú svoje služby každému klientovi pomocou ich vlastného štýlu, metód a materiálov.


Sčítanie a odpočítanie nerovností

Rovnako ako v prípade rovníc existuje aj niekoľko Vlastnosti nerovnosti Sada pravidiel pre nerovnosti, ktoré popisujú, ako je možné sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie uplatňovať na obe strany nerovnosti, aby sa vytvorila ekvivalentná nerovnosť. ktoré nám pomáhajú pracovať s týmito typmi vzťahov.

Vlastnosti sčítania a odčítania nerovnosti

Poďme & rsquos začať sčítaním a odčítaním a jednoduchou nerovnosťou `a & gtb`. Ak chceme pridať množstvo `c` na ľavú stranu, musíme ho pridať aj na pravú stranu, aby bola nerovnosť pravdivá. Túto vlastnosť môžeme napísať ako:

Ľudia a vekové skupiny slúžia ako dobrý príklad z reálneho života pri modelovaní tejto vlastnosti. Predstavte si napríklad, že poznáte dvoch ľudí: Adama a Bernarda. Viete, že Adam je starší ako Bernard (aj keď neviete, o koľko starší). Bude Adam o istý počet rokov stále starší ako Bernard? Samozrejme! Adam je na začiatok starší a starnú o rovnaké množstvo. Algebraickým spôsobom by ste túto nerovnosť mohli reprezentovať ako:

potom Adam & # 39s age `+` niekoľko rokov „& gt` Bernardov vek # 39 `+` rovnaký počet rokov.

Podobná je vlastnosť Odčítanie. Ak začneme znova nerovnosťou `a & gtb` a odčítame` c` od `a`, potom kvôli zachovaniu vzťahu musíme tiež odpočítať` c` od `b`. Túto vlastnosť môžeme napísať ako:

Príklad veku vám môže pomôcť porozumieť aj tomuto vzťahu: ak je Adam teraz starší ako Bernard, potom pred piatimi rokmi bol Adam tiež starší ako Bernard (pretože Bernard bol tiež o päť rokov mladší). Túto nerovnosť môžete reprezentovať ako:


Unit 3: Linear Expressions & amp Single-Variable Equations / Nerovnosti

Identifikujte vlastnosti operácií, ktorých výsledkom sú ekvivalentné lineárne výrazy.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Použite vlastnosti rovníc na analýzu a zápis ekvivalentných rovníc.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Riešenie lineárnych rovníc s jednou premennou pomocou vlastností rovnosti.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Riešime rovnice s premennou v menovateli.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Riešime premennú v rovnici alebo vzorci.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Téma B: Modelovanie pomocou lineárnych rovníc s jednou premennou

Píšte rovnice pomocou definovaných premenných, aby ste vyjadrili kontextovú situáciu.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Definujte zápis premenných a riešenie rovníc tak, aby predstavovali kontextovú situáciu.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Píšte a riešte rovnice tak, aby predstavovali kontextové situácie, v ktorých sú potrebné odhady a prevody jednotiek.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Modelujte kontextovú situáciu a na základe modelu urobte informované rozhodnutie.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Téma C: Vlastnosti a riešenia lineárnych nerovností s jednou premennou

Riešiť neobmedzené nerovnosti jednej premennej v kontextových a nekontextových situáciách.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Napíšte a nakreslite zložené nerovnosti jednej premennej, aby ste opísali riešenie kontextových a nekontextových situácií.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.

Riešte a grafujte zložené nerovnosti, kde je algebraická manipulácia nevyhnutná v kontextových a nekontextových situáciách.

Vytvorte si bezplatný účet a získajte prístup k tisícom plánov lekcií.


Porozumenie

Študenti si osvoja zmysel pre pohyby „zachovávajúce poriadok a riešenie“, ktoré sa dajú použiť na nerovnosti, a ako tieto pohyby súvisia s riešením nerovnosti.

Čo treba hľadať

Študenti sa stretnú s tým, že znásobenie oboch strán nerovnosti záporným číslom nezachová poriadok.

Hodnotenie vzorky

Aké sú všetky možné celé čísla, vďaka ktorým je hodnota 8 -___> 3 pravdivá?

a. 0, 1, 2, 3, 4, 5
b. 0, 1, 2, 3, 4
c. 0, 1, 2
d. 5

Veľký nápad

Nájsť riešenie nerovnosti v jednej premennej zahŕňa štyri nápady:
1. Menšie z dvoch čísel je naľavo od väčšieho
2. ak je jedno číslo menšie ako iné, (a & lt b ), potom nejaké kladné (c ) pridané do (a ) sa bude rovnať (b ) ((a + c = b) )
3. bod rovnosti (hraničný bod) rozdeľuje množinu hodnôt na hodnoty väčšie a menšie ako tento bod a
4. niektoré operácie na oboch stranách nerovnosti zachovávajú poriadok a niektoré nie (najmä násobenie alebo vydelenie nenulovým číslom).

Čo robia študenti?

Študenti uvažujú o krokoch zachovávajúcich poriadok a zachovávajúcich riešenie pri použití interaktívnych vizuálov na číselnom rade.

Čo robí učiteľ?

Povzbuďte študentov, aby premýšľali o spôsoboch, ktoré sa naučili riešiť rovnice, ktoré platia podobne pri riešení nerovností.


Pozri si video: Урок по теме РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (December 2021).