Články

7.3: Eliminácia Gaussa Jordana a forma sledu vrstiev


Vyššie uvedené video vynechalo špeciálny prípad pre formu Reduced Row Echelon. Napríklad nasledujúce položky sú vo forme zmenšeného sledu vrstiev:

[ begin {split}
doľava [
begin {matrix}
1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4 \
0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 7 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
end {matrix}
správny]
end {split} nonumber ]

[ begin {split}
doľava [
begin {matrix}
1 & 2 & 0 & 0 & 4 \
0 & 0 & 1 & 0 & 6 \
0 & 0 & 0 & 1 & 5
end {matrix}
správny]
end {split} nonumber ]

Otázka

Aké sú tri kroky v algoritme eliminácie Gauss-Jordan?


Eliminácia Gauss Jordan prostredníctvom otočenia

Systém lineárnych rovníc je možné umiestniť do maticového tvaru. Každá rovnica sa stáva riadkom a každá premenná stĺpcom. Pre pravú stranu je pridaný ďalší stĺpec. Je zobrazený systém lineárnych rovníc a výsledná matica.

Systém lineárnych rovníc.

sa stáva rozšírenou maticou.

X r z rhs
3 2 -4 3
2 3 3 15
5 -3 1 14

Cieľom pri riešení sústavy rovníc je umiestniť, pokiaľ je to možné, zväčšenú maticu do formy so zníženým počtom riadkov.

Existujú tri základné riadkové operácie, ktoré môžete použiť na umiestnenie matice do zmenšenej formy riadkových vrstiev.

Každá z požiadaviek na maticu so zníženým počtom riadkov môže byť splnená pomocou elementárnych operácií s riadkami.

  • Ak existuje rad všetkých núl, potom je v spodnej časti matice.
    Zamieňajte dva riadky matice, aby sa riadok všetkých núl presunul nadol.
  • Prvý nenulový prvok v ľubovoľnom riadku je jeden. Tento prvok sa nazýva hlavný.
    Vynásobte (vydelte) riadok nenulovou konštantou a vytvorte prvý nenulový prvok do jedného.
  • Vedúci v ktoromkoľvek riadku je napravo od vedúceho v predchádzajúcom riadku.
    Vynásobte riadok nenulovou konštantou a pridajte ho do iného riadku a tento riadok nahraďte. Zmyslom tejto operácie s elementárnymi riadkami je urobiť čísla z núl. Tým, že sa čísla pod vedúcimi stanú nulovými, vynúti to, že sa prvý nenulový prvok ľubovoľného riadku nachádza napravo od prvého z predchádzajúcich riadkov.
  • Všetky prvky nad a pod vedúcim sú nulové.
    Vynásobte riadok nenulovou konštantou a pridajte ho do iného riadku a tento riadok nahraďte. Zmyslom tejto operácie s elementárnym riadkom je premeniť čísla na nulu. Rozdiel je v tom, že čistíte (vynulovávate) prvky nad vedúcim prvkom namiesto tesne pod ním.

Forma matice so zníženým počtom riadkov

Vytvorte maticu a vypočítajte formulár zmenšeného sledu vrstiev. V tejto podobe má matica počiatočné 1 s v otočnej polohe každého stĺpca.

Magická štvorcová matica 3 x 3 je úplná, takže forma sledu redukovaného radu je matica identity.

Teraz vypočítajte redukovanú formu riadku echelon matice štvorcových magických štvorcov 4 x 4. Zadajte dva výstupy, ktoré vrátia nenulové kontingenčné stĺpce. Pretože je táto matica nedostatočná, výsledkom nie je matica identity.

Redukcia riadkov rozšírených matíc

Použite Gauss-Jordanovu elimináciu na rozšírených maticiach na riešenie lineárneho systému a výpočet inverzie matice. Tieto techniky majú predovšetkým akademický význam, pretože existujú efektívnejšie a číselne stabilnejšie spôsoby výpočtu týchto hodnôt.

Vytvorte magickú štvorcovú maticu 3 x 3. Pridajte ďalší stĺpec na koniec matice. Táto rozšírená matica predstavuje lineárny systém Ax = b, pričom stĺpec navyše zodpovedá b.

Vypočítajte formu A so zníženou úrovňou sledu. Indexujte do R, aby ste extrahovali položky v extra (rozšírenom) stĺpci, ktorý obsahuje riešenie lineárneho systému.

Účinnejším spôsobom riešenia tohto lineárneho systému je operátor spätnej lomky, x = A b.

Vytvorte podobnú magickú štvorcovú maticu, ale do koncových stĺpcov tentokrát pripojte maticu identity rovnakej veľkosti.

Vypočítajte formu A so zníženou úrovňou sledu. V tejto forme obsahujú stĺpce navyše inverznú maticu pre maticu magických štvorcov 3 x 3.

Efektívnejší spôsob výpočtu inverznej matice je pomocou inv (A).

Riešiť systém rovníc

Uvažujme o lineárnom systéme rovníc so štyrmi rovnicami a tromi neznámymi.

x 1 + x 2 + 5 x 3 = 6 2 x 1 + x 2 + 8 x 3 = 8 x 1 + 2 x 2 + 7 x 3 = 10 - x 1 + x 2 - x 3 = 2.

Vytvorte rozšírenú maticu, ktorá predstavuje systém rovníc.

Použite rref na vyjadrenie systému vo forme redukovaného radu.

Prvé dva riadky R obsahujú rovnice, ktoré vyjadrujú x 1 a x 2 v zmysle x 3. Druhé dva riadky naznačujú, že existuje aspoň jedno riešenie, ktoré zapadá do pravého vektora (inak by jedna z rovníc mala hodnotu 1 = 0). Tretí stĺpec neobsahuje pivot, takže x 3 je nezávislá premenná. Preto existuje nekonečne veľa riešení pre x 1 a x 2 a x 3 je možné zvoliť ľubovoľne.

x 1 = 2 - 3 x 3 x 2 = 4 - 2 x 3.

Napríklad ak x 3 = 1, potom x 1 = - 1 a x 2 = 2.

Z číselného hľadiska je efektívnejší spôsob riešenia tohto systému rovníc s x0 = A b, ktoré (pre obdĺžnikovú maticu A) počíta riešenie s najmenšími štvorcami. V takom prípade môžete skontrolovať presnosť riešenia s normou (A * x0-b) / normou (b) a jedinečnosť riešenia kontrolou, či sa poradie (A) rovná počtu neznámych. Ak existuje viac riešení, potom majú všetky tvar x = x 0 + nt, kde n je prázdny priestor null (A) at je možné zvoliť ľubovoľne.


7.3: Eliminácia Gaussa Jordana a forma sledu vrstiev

    Sčítajte krát tretiu rovnicu s druhou rovnicou (alebo).

  1. je už v riadku zmenšená forma
  2. Riadky pozostávajúce zo všetkých núl prichádzajú pod všetky nenulové riadky a
  3. vedúce výrazy sa zobrazujú zľava doprava v následných riadkoch. To znamená, že nech je vedúci stĺpec riadku. Potom

Eliminačný proces použitý na získanie riadkovo redukovanej echelónovej formy rozšírenej matice sa nazýva Gauss-Jordanova eliminácia.

To znamená, že eliminačná metóda Gauss-Jordan pozostáva z eliminácie smerom dopredu a dozadu.

Metóda na získanie riadkovo redukovanej echelónovej formy danej matice
Dovoliť byť maticou. Potom sa použije nasledujúca metóda na získanie riadku redukovaného sledu z matice. Krok 1: Zvážte prvý stĺpec matice.

Ak sú všetky položky v prvom stĺpci nulové, prejdite do druhého stĺpca.

Inak vyhľadajte riadok, povedzme riadok, ktorý v prvom stĺpci obsahuje nenulovú položku. Teraz vymeňte prvý riadok s riadkom. Predpokladajme, že nenulová položka v polohe je Deliť celý riadok tak, aby -entry novej matice bol Teraz, pomocou klávesov urobte všetky položky pod touto rovné

Krok 2: Ak sú všetky položky v prvom stĺpci po prvom kroku nulové, zvážte pravú submaticu matice získanú v kroku 1 a postupujte ako v kroku 1.

Inak zabudnite na prvý riadok a prvý stĺpec. Začnite od dolnej podmatice matice získanej v prvom kroku a postupujte ako v kroku 1.

  1. PRVÝ NENULOVÝ VSTUP V KAŽDOM RIADKU z je Toto sú úvodné výrazy a stĺpce obsahujúce tieto úvodné výrazy sú úvodné stĺpce.
  2. PRIHLÁŠKY MATHEND000 # NIŽŠIE VEDÚCE OBDOBIE SÚ NULA.

Konečná matica je riadkovo redukovaná echelónová forma matice

Dôkaz nasledujúcej vety je nad rámec tejto knihy a je vynechaný.


Obsah (kliknutím posuňte)

Pojem hodnosť v lineárnej algebre súvisí s dimenzionálnosťou. Všetky matice majú určitú veľkosť $ m krát n $, kde $ m $ je počet riadkov a $ n $ počet stĺpcov.

Matrix Rank

  1. Poradie $ 1 $: Keď je matica čiara, má poradie $ 1 $.
  2. Rank $ 2 $: Keď je matica rovina, má hodnotenie $ 2 $.
  3. Hovorí sa, že matica Úplné hodnotenie práve vtedy, ak matica neobsahuje stĺpec ako lineárnu kombináciu dvoch stĺpcov, pretože to znamená

Každá daná matica môže mať iba také vysoké hodnotenie ako počet stĺpcov $ n $ pre túto maticu. Ale matica s $ n = 3 $ môže mať iba poradie $ 2 $, pretože nejaká transformácia môže rozdrviť vektory stĺpcov na rovinu - a poradie by sa mohlo dokonca znížiť na poradie $ 1 $, ak transformácia rozdrví vektory na rovnú riadok.

Poďme preskúmať, čo to znamená.

Lineárne kombinácie

Definujeme tri vektory $ vec$, $ vec$ a $ vec$ a kombinujeme ich ako vektory stĺpcov v matici $ A $.

Ak vykonáme sčítanie vektorov na $ vec$ a $ vec$, potom výsledkom bude vektor $ vec$. To znamená, že $ vec$ je lineárna kombinácia $ vec$ a $ vec$, t. j. matica $ A $ nemá celé poradie.

Podobne, ak odčítate $ vec$ a $ vec$, potom zistíte, že sú lineárnou kombináciou $ vec$.

Geometrická interpretácia lineárnych kombinácií je taká, že my stratiť informácie keby sme mali použiť tú konkrétnu transformáciu spojenú s maticou $ A $, pretože výsledná matica transformácie už nepokrýva celé tri rozmery priestoru.

Vyššie uvedená matica $ A $ má poradie $ 2 $ a ako uvidíme neskôr, môžeme vypočítať poradie matice pokusom zmenšiť maticu na forma redukovaného radu. Zatiaľ však môžeme zistiť, či je možné maticu prevrátiť, zistením determinantu.

Výpočet determinantu

Keď je determinant matice nula, poradie matice nie je úplné poradie, čo znamená, že maticu nemôžeme prevrátiť. Podobne existuje 23 ďalších vlastností, ktoré môžete ekvivalentne použiť na kontrolu, či je matica invertovateľná.

Pre maticu 3x3 je to vzorec:

Pripojme teda číslo a nájdime riešenie.

Tam to máme, matica $ A $ je neinvertibilná, pretože determinant je nula, aj keď ak by sme namiesto toho mali inverznú maticu, determinant je nenulová. Inými slovami, nemôžeme nájsť inverziu pre maticu $ A $, ale ak by sme namiesto toho mali inú maticu $ B $, kde $ det (B) ne 0 $, dokázali by sme inverziu nájsť.

Upozorňujeme, že výpočet determinantu je možný iba pre štvorcové matice, t. J. Matice, kde sa počet riadkov $ m $ rovná počtu stĺpcov $ n $.


Forma matice so zníženým počtom riadkov

Vytvorte maticu a vypočítajte formulár zmenšeného sledu vrstiev. V tejto podobe má matica počiatočné 1 s v otočnej polohe každého stĺpca.

Magická štvorcová matica 3 x 3 je úplná, takže forma sledu redukovaného radu je matica identity.

Teraz vypočítajte redukovanú formu riadku echelon matice štvorcových magických štvorcov 4 x 4. Zadajte dva výstupy, ktoré vrátia nenulové kontingenčné stĺpce. Pretože je táto matica nedostatočná, výsledkom nie je matica identity.

Redukcia riadkov rozšírených matíc

Použite Gauss-Jordanovu elimináciu na rozšírených maticiach na riešenie lineárneho systému a výpočet inverzie matice. Tieto techniky majú predovšetkým akademický význam, pretože existujú efektívnejšie a číselne stabilnejšie spôsoby výpočtu týchto hodnôt.

Vytvorte magickú štvorcovú maticu 3 x 3. Pridajte ďalší stĺpec na koniec matice. Táto rozšírená matica predstavuje lineárny systém Ax = b, pričom stĺpec navyše zodpovedá b.

Vypočítajte formu A so zníženou úrovňou sledu. Indexujte do R, aby ste extrahovali položky v extra (rozšírenom) stĺpci, ktorý obsahuje riešenie lineárneho systému.

Účinnejším spôsobom riešenia tohto lineárneho systému je operátor spätnej lomky, x = A b.

Vytvorte podobnú magickú štvorcovú maticu, ale do koncových stĺpcov tentokrát pripojte maticu identity rovnakej veľkosti.

Vypočítajte formu A so zníženou úrovňou sledu. V tejto forme obsahujú stĺpce navyše inverznú maticu pre maticu magických štvorcov 3 x 3.

Efektívnejší spôsob výpočtu inverznej matice je pomocou inv (A).

Riešiť systém rovníc

Uvažujme o lineárnom systéme rovníc so štyrmi rovnicami a tromi neznámymi.

x 1 + x 2 + 5 x 3 = 6 2 x 1 + x 2 + 8 x 3 = 8 x 1 + 2 x 2 + 7 x 3 = 10 - x 1 + x 2 - x 3 = 2.

Vytvorte rozšírenú maticu, ktorá predstavuje systém rovníc.

Použite rref na vyjadrenie systému vo forme redukovaného radu.

Prvé dva riadky R obsahujú rovnice, ktoré vyjadrujú x 1 a x 2 v zmysle x 3. Druhé dva riadky naznačujú, že existuje aspoň jedno riešenie, ktoré zapadá do pravého vektora (inak by jedna z rovníc mala hodnotu 1 = 0). Tretí stĺpec neobsahuje pivot, takže x 3 je nezávislá premenná. Preto existuje nekonečne veľa riešení pre x 1 a x 2 a x 3 je možné zvoliť ľubovoľne.

x 1 = 2 - 3 x 3 x 2 = 4 - 2 x 3.

Napríklad ak x 3 = 1, potom x 1 = - 1 a x 2 = 2.

Z číselného hľadiska je efektívnejší spôsob riešenia tohto systému rovníc s x0 = A b, ktoré (pre obdĺžnikovú maticu A) počíta riešenie s najmenšími štvorcami. V takom prípade môžete skontrolovať presnosť riešenia s normou (A * x0-b) / normou (b) a jedinečnosť riešenia kontrolou, či sa poradie (A) rovná počtu neznámych. Ak existuje viac riešení, potom majú všetky tvar x = x 0 + nt, kde n je prázdny priestor null (A) at je možné zvoliť ľubovoľne.


Ako vyriešite použitie gaussovskej eliminácie alebo eliminácie gauss-jordana, # 2x-y-z = 9 #, # 3x + 2y + z = 17 #, # x + 2y + 2z = 7 #?

Najskôr to poďme do rozšírená matica, kde posledný stĺpec obsahuje odpovede na systém predstavované ľavými stĺpcami.

Poďme na to Vylúčenie Gauss-Jordan, pretože to pokrýva obidve rady echelonových a redukovaných radových foriem.

Cieľ pre forma riadkového sledu je získať prvý nenulový záznam v každom riadku ako číslo # 1 a položky pod každým # 1 # ako # 0 #, zatiaľ čo ľubovoľný vynulovaný riadok je v dolnej časti a vedúci # 1 # v každom nasledujúcom riadku je na najmenej jeden stĺpec napravo od vedúceho # 1 # v predchádzajúcom riadku.

Pre forma redukovaného radu, choďte ďalej a dosiahnite nad a pod úrovňou všetkých vedúcich # 1 # #.

Môžeme použiť základné riadkové operácie aby sme to dosiahli. Bežné sú:

  • Zmena mierky riadku
  • Zamieňajte dva riadky
  • Sčítanie / odčítanie dvoch riadkov, aj keď je rovnako zmenšený aj jeden riadok

Použijem zápis, kde je riadok úplne vpravo na mieste, kde sa operácia vyskytuje.


Eliminácia Gaussa Jordana (redukovaná forma sledu vrstiev)

❖ Tento videonávod o lineárnej algebre poskytuje základný úvod do eliminácie Gauss-Jordan, čo je proces, ktorý zahŕňa základné operácie s riadkami s maticami 3x3, čo vám umožňuje vyriešiť systém lineárnych rovníc s 3 premennými (x, y, z).

Takže je potrebné previesť systém lineárnych rovníc do rozšírenej matice [A | b] a pomocou operácií s riadkami matice preveďte maticu 3x3 na formulár RREF (Reduced Row Echelon Form). Odpovede môžete ľahko určiť, akonáhle prevediete rozšírenú maticu na formulár RREF (Reduced Row Echelon Form).

❖ Systém Ax = b sme vyriešili nasledujúcim spôsobom:

[A | b] až [REFF | vektor c] b sa zmenil na vektor c, pretože sme vykonali RREF pre rozšírenú maticu [A | b].

#GaussJordanElimination #GaussJordanReductionMethod #ReducedRowEchelonForm #RREF #OneSolution #UniqueSolution #InfinitelyManySolutions #InfiniteSolutions #ManySolutions #AugmentedMatrix #Matrices #ElementaryRowOperations #LemearinLearin #LearinLearin #Learn #Element


4 odpovede 4

Gaussova eliminácia pomáha vkladať maticu do riadkovej vrstvy, zatiaľ čo Gaussova-Jordanova eliminácia dáva maticu do zmenšenej rady. Pre malé systémy (alebo ručne) je zvyčajne pohodlnejšie použiť Gauss-Jordanovu elimináciu a explicitne vyriešiť každú premennú zastúpenú v maticovom systéme. Samotná Gaussova eliminácia je však pre počítače občas výpočtovo efektívnejšia. Gaussova eliminácia je tiež všetko, čo potrebujete na stanovenie poradia matice (dôležitá vlastnosť každej matice). Prechádzanie problémom s vložením matice do zmenšenej echelonovej formy nestojí za to, aby ste vyriešili iba maticovú hodnosť.

UPRAVIŤ: Tu je niekoľko skratiek, ktoré treba na začiatok použiť: REF = "Formulár riadku Echelon". RREF = "Znížená forma sledu vrstiev."

Vo svojej otázke hovoríte, že redukujete maticu A na diagonálnu maticu, kde sa každá nenulová hodnota rovná 1. Aby sa to stalo, musíte vykonať riadkové operácie „otočiť“ pozdĺž každého vstupu pozdĺž uhlopriečky. Takéto operácie s riadkami zvyčajne zahŕňajú vynásobenie / vydelenie nenulovými skalárnymi násobkami riadku alebo sčítanie / odčítanie nenulových skalárnych násobkov jedného riadku od druhého riadku. Moja interpretácia REF robí iba operácie s riadkami tak, aby sa zabránilo deleniu riadkov podľa ich pivotných hodnôt (aby sa pivot stal 1). Ak prejdete každým pivotom (čísla pozdĺž uhlopriečky) a vydelíte tieto riadky ich vedúcim koeficientom, skončíte v RREF. Pracovné príklady nájdete v týchto videách Khan Academy.

V systéme $ Ax = B $ možno $ x $ vyriešiť, iba ak je $ A $ invertibilný. Invertovateľné matice majú niekoľko dôležitých vlastností. Najužitočnejšou vlastnosťou pre vašu otázku je, že ich RREF je matica identity (matica s iba 1 na uhlopriečke a 0 kdekoľvek inde). Ak riadok zmenšíte maticou a nestane sa maticou identity v RREF, potom bola táto matica nezvratná. Neinvertovateľné matice (tiež známe ako jednotné číslo matice) nie sú také užitočné, keď sa pokúšate presne vyriešiť systém.


Pozri si video: Wyznaczanie macierzy odwrotnej stopnia 3 klasyczną metodą bezwyznacznikową Gaussa-Jordana (December 2021).