Články

3.E: Symbolická logika a dôkazy (cvičenia)


3.1: Výroková logika

1

Zvážte vyhlásenie o večierku: „Ak máte narodeniny alebo bude torta, potom bude aj torta.“

  1. Preložte vyššie uvedené tvrdenie do symbolov. Jasne uveďte, ktorý výrok je (P ) a ktorý je (Q text {.} )
  2. Vytvorte pravdivú tabuľku tvrdenia.
  3. Za predpokladu, že je tvrdenie pravdivé, z čoho (ak vôbec) môžete vyvodiť záver, či bude koláč?
  4. Za predpokladu, že tvrdenie je pravdivé, čo (ak vôbec) môžete urobiť záver, ak nebude koláč?
  5. Predpokladajme, že ste zistili, že vyhlásenie bolo klamstvom. Čo môžete urobiť na záver?
Riešenie
  1. (P text {:} ) máš narodeniny; (Q text {:} ) bude koláč. ((P vee Q) imp Q )
  2. Rada: mali by ste dostať tri T a jedno F.
  3. Jedine, že bude koláč.
  4. NIE SÚ Tvoje narodeniny!
  5. Máte narodeniny, ale torta je lož.

Symbolické logické cvičenia

Pokyn: Nasledujúce argumenty opatrne symbolizujte a pomocou metódy pravdivostnej tabuľky zistite, či sú platné alebo nie.

  1. Ak je prítomný poltergeist, znamená to, že buď sa neživé objekty budú správať zvláštne, alebo dôjde k nevysvetliteľným zvukom. Prítomný je poltergeist. Z toho vyplýva, že buď sa neživé objekty budú správať čudne, alebo dôjde k nevysvetliteľnému hluku. (P, I, U)
  1. Nie je to pravda: spelunkeri sa rozhodli stretnúť na úpätí hory, len ak balvan v noci neskĺzol do ústia jaskyne. Lucerny budú potrebné iba vtedy, ak sa spelunkeri rozhodli stretnúť na úpätí hory len a len vtedy, ak balvan v noci neskĺzol do ústia jaskyne. Lucerny preto nebudú potrebné. (S, B, L)


Praktický test 2

Pokyn: Nasledujúce argumenty opatrne symbolizujte a pomocou metódy tabuľky čiastočnej pravdy určite, či sú platné, alebo nie.

  1. Kongres buď zníži výdavky, alebo sa bude naďalej zvyšovať štátny dlh. Ak Kongres zníži výdavky, nebudú sa vynakladať žiadne ďalšie prostriedky na existujúce programy a ak sa bude naďalej zvyšovať štátny dlh, dôjde k vážnej recesii. Ak Kongres zníži výdavky, program podpory poľnohospodárskych cien bude vylúčený a ak sa bude naďalej zvyšovať štátny dlh, bude nedostatok peňazí. Ak by bol vylúčený program podpory poľnohospodárskych podnikov alebo by nastal nedostatok peňazí, do mesta by sa presťahovalo veľké množstvo vidieckych rodín. Samozrejme, ak sa do mesta presťahuje veľký počet vidieckych rodín, bude sa viac peňazí míňať na programy sociálnej starostlivosti. Ak sa na sociálne programy vynakladá viac peňazí, je nepravdivé, že sa na existujúce programy nevynaložia žiadne ďalšie prostriedky. Ak Kongres zníži výdavky a dôjde k ďalšiemu zvyšovaniu štátneho dlhu, dôjde preto k vážnej recesii. (R, N, A, S, F, M, L, W)
  1. Buď príbehom o UFO obsadených mužmi z Marsu možno uveriť, iba ak existujú vyškolení vedeckí pozorovatelia, alebo ak je veľké množstvo ľudí presvedčených, že videli mužov z Marsu, potom je treba dospieť k záveru, že existujú aj muži z Marsu. Nie je to pravda: ak je veľké množstvo ľudí presvedčených, že videli mužov z Marsu, potom je treba dospieť k záveru, že existujú aj muži z Marsu. Existujú ľudia z Marsu, iba ak táto planéta bude podporovať život a bytosti z tejto planéty budú mať technické možnosti na medziplanetárne cestovanie. Buď sú všetky údaje týkajúce sa Marsu chybné, alebo sú nepravdivé tak v tom zmysle, že táto planéta bude podporovať život, tak aj to, že bytosť z tejto planéty má technické možnosti pre medziplanetárne cestovanie. Nie je pravda, že všetky údaje týkajúce sa Marsu sú chybné. Buď sú to muži z Marsu, alebo neexistujú vyškolení vedeckí pozorovatelia. Preto príbehom o UFO obsadených mužmi z Marsu nemožno uveriť, ak neexistujú vyškolení vedeckí pozorovatelia a veľké množstvo ľudí je presvedčených, že videli mužov z Marsu. (S, T, L, C, M, P, B, D)

Praktický test 3

Pokyn: Symbolizujte argument a zostavte formálne dôkazy platnosti.

  1. NORECO malo výpadok prúdu iba v prípade, že im došlo zásoby plynu a kone odmietli pracovať na bežeckých pásoch. Ich dodávka plynu sa minula, iba ak sa výrazne zvýšil počet autobusov, a počet autobusov sa výrazne zvýšil, iba ak sa výrazne znížil počet džípov. Iba v prípade, že by bolo v tomto roku viac vodičov autobusov ako v minulom roku, počet džípov sa výrazne znížil. Ak kone odmietli pracovať na bežeckých pásoch, úradníci NORECO budú mať absurdné vysvetlenie. Buď nebudú mať predstavitelia NORECO nejaké absurdné vysvetlenie, alebo v tomto roku nebolo vodičov autobusov viac ako v minulom roku. Ak kone buď neodmietli pracovať na bežeckých pásoch, alebo sa nevyčerpala dodávka plynu, je nepravdivé, že došlo k vyčerpaniu dodávky plynu a kone odmietli pracovať na bežeckých pásoch. Zrejme preto NORECO nemalo výpadok prúdu. (N, S, H, B, J, D, A.) 2. Con Edison mal výpadok prúdu iba v prípade, že by im došla mrkva a kozy odmietli pracovať na bežiacich pásoch. Ich zásoba mrkvy sa minula, iba ak sa populácia králikov výrazne zvýšila a populácia králikov sa výrazne zvýšila, iba ak sa populácia líšok výrazne znížila. Iba keby bolo tento rok viac lovcov líšok ako v minulom roku, populácia líšok sa výrazne znížila. Ak kozy odmietli pracovať na bežeckých pásoch, potom budú mať úradníci Con Edison nejaké absurdné vysvetlenie. Buď nebudú mať predstavitelia Con Edison nejaké absurdné vysvetlenie, alebo tento rok nebolo lovcov líšok viac ako minulý rok. Ak kozy neodmietli pracovať na bežiacich pásoch alebo sa nevyčerpala zásoba mrkvy od Con Edisona, potom je nepravdivé, že sa vyčerpala zásoba mrkvy, a kozy odmietli pracovať na bežeckých pásoch. Je zrejmé, že teda Con Edison nemal výpadok prúdu. (P, S, G, R, F, H, A)

Poznámka: Ak chcete, aby tím PHILO-notes odpovedal na ktorúkoľvek z vyššie uvedených otázok, zanechajte prosím správu v poli pre komentár nižšie.

Pre všetky naše príspevky v Symbolic Logic sme poskytli video. Ak máte záujem, navštívte nasledujúce:


Diskrétna matematika: Otvorený úvod, 3. vydanie

Logika je štúdia dôsledkov. Na základe niekoľkých matematických tvrdení alebo faktov by sme chceli urobiť nejaké závery. Napríklad, ak som vám povedal, že konkrétna funkcia so skutočnou hodnotou bola spojitá na intervale ([0,1] text <,> ) a (f (0) = -1 ) a (f ( 1) = 5 text <,> ) môžeme dospieť k záveru, že medzi ([0,1] ) je nejaký bod, kde graf funkcie pretína os (x ) -? Áno, môžeme, vďaka vete o strednej hodnote z kalkulu. Môžeme dospieť k záveru, že existuje presne jeden bod? Nie. Kedykoľvek nájdeme „odpoveď“ v matematike, máme skutočne (možno skrytý) argument. Matematika je skutočne o dokazovaní všeobecných výrokov (napríklad vety o strednej hodnote) a tiež sa to deje pomocou argumentu, ktorý sa zvyčajne nazýva dôkaz. Začíname s niektorými danými podmienkami, priestorov našej argumentácie a z nich nájdeme dôsledok záujmu, náš záver.

Problém je v tom, že ako nepochybne viete z hádok s priateľmi, nie všetky argumenty sú dobre argumenty. „Zlým“ argumentom je argument, v ktorom záver nevyplýva z priestorov, t. J. Záver nie je dôsledkom priestorov. Logika je štúdia toho, čo robí argumentom dobrý alebo zlý. Inými slovami, logika si kladie za cieľ určiť, v ktorých prípadoch je alebo nie je záver dôsledkom súboru premís.

Mimochodom, „argument“ je vlastne technický výraz v matematike (a filozofii, inej disciplíne, ktorá študuje logiku):

Argumenty.

An je sada príkazov, z ktorých jeden sa nazýva a zvyšok sa nazýva. Hovorí sa, že ak musí byť pravda pravdivá, záver musí byť pravdivý. Argument je, že ak nie je platný, je možné, aby všetky predpoklady boli pravdivé a záver nepravdivý.

Zvážte napríklad tieto dva argumenty:

Ak si Edith dá zeleninu, môže si dať cookie.
Edith jej zje zeleninu.
( preto ) Edith dostane cookie.
Florencia musí jesť svoju zeleninu, aby získala koláčik.
Florence zje svoju zeleninu.
( preto ) Florence dostane keksík.

(Symbol „ ( preto )“ znamená „preto“)

Sú tieto argumenty platné? Dúfam, že súhlasíte s tým, že prvý je, ale druhý nie. Logika nám hovorí, prečo, tým, že analyzuje štruktúru výrokov v argumente. Všimnite si, že dva vyššie uvedené argumenty vyzerajú takmer rovnako. Edith a Florence jedia svoju zeleninu. V obidvoch prípadoch existuje súvislosť medzi konzumáciou zeleniny a sušienok. Tvrdíme však, že je možné dospieť k záveru, že Edith dostane cookie, ale nie to, čo Florencia. Rozdiel musí byť v súvislosti medzi konzumáciou zeleniny a získavaním cookies. Musíme byť zruční v čítaní a porozumení týchto viet. Znamená to, že obe vety znamenajú to isté? V každodennom jazyku sme, žiaľ, často nedbalý a mohli by ste byť v pokušení povedať, že sú si rovnocenní. Ale všimnite si to len preto, že Florencia musieť jesť jej zeleninu, nehovorili sme, že by to bolo dosť (možno bude musieť napríklad vyčistiť aj svoju izbu). V každodennej (nematematickej) praxi vás môže lákať povedať tento „iný smer“. V matematike ten luxus nikdy nedostaneme.

Predtým, ako budete pokračovať, môže byť dobré rýchlo si prečítať Sekciu 0.2, kde sme sa prvýkrát stretli s vyhláseniami a rôznymi formami, ktoré môžu mať. Cieľom je teraz zistiť, aké matematické nástroje môžeme vyvinúť, aby sme ich mohli lepšie analyzovať, a potom zistiť, ako to pomáha čítať a písať dôkazy.


Úvod do symbolickej logiky (PHIL 102)

Pracujte na PS 1! Mark má v ten deň od 9:00 do 11:00 extra úradné hodiny v CLA 163.

Piatok 15. septembra

  • Sada problémov 1 splatné do začiatku vyučovacej hodiny. zverejnené dnes a splatné v pondelok 25. septembra
  • Argumenty znova: viac praxe s platnosťou a neplatnosťou na stole pravdy.

4. týždeň

Pondelok 18. septembra

Iné typy nevyhnutnosti, možnosti, rovnocennosti a dôsledkov

Streda 20. septembra

Prečítajte si, prosím, LPL, kanál 2-2.1, 6-6.3

  • Prezentácie z dnešnej triedy (o troch rôznych technikách preukazovania platnosti / neplatnosti) sú tu
  • Formálne dôkazy
  • Pravidlá zachovania pravdy
  • Booleovské pravidlá - Úvod a - Elima

Piatok 22. septembra

Prečítajte si LPL Ch 2.2-2.3 a 6.4-6.5

  • Viac booleovských pravidiel - Intro a -Elim
  • Úvod do softvéru (Fitch)
  • Cvičte s formálnymi dôkazmi

5. týždeň

Pondelok 25. septembra

Prečítajte si prosím znova LPL kapitolu 6.4-6.5

  • PS 2 splatné na začiatku vyučovacej hodiny zverejnené dnes a splatné v pondelok 2. októbra
  • Nové pravidlá: „Ana Con“
  • Viac praxe s dôkazmi: Zhrnutie pravidiel a rady / stratégie pre dôkazy
  • Kliknite sem a stiahnite si dva „dôkazy triedy“, ktoré sme vykonali v piatok a dnes.

Streda 27. septembra

Toto je koniec materiálu, z ktorého budete testovaní na skúšku 1! Táto skúška sa týka iba materiálu uvedeného v kapitole 6.

  • Workshop a prax v oblasti dôkazov. Budeme tráviť čas prácou na PS 3.
  • Kliknite sem a uvidíte, aká bude skúška 1.

Piatok 29. september

  • Viac praxe s dokladmi k testu 1. Začíname dnes s materiálom z kapitoly 7, ktorý sa nebude zaoberať skúškou 1. Bude sa venovať skúške 2.
  • Dve nové spojky: → a ↔
  • Dodatočné podklady zhrňujúce podmienené a dvojpodmienečné podmienky.

6. týždeň

Pondelok 2. októbra

Streda 4. októbra

PS 3 splatné na začiatku vyučovacej hodiny

  • Recenzia na časť skúšky 1 v triede na základe otázok študentov.
  • Časť skúšky 1 Take Home sa rozosiela e-mailom na adrese 5p.

Piatok 6. októbra

  • Porcia so sebou vziať domov na začiatku vyučovacieho obdobia
  • Porcia v rámci triedy počas nášho pravidelne naplánovaného obdobia triedy.

7. týždeň

Pondelok 9. októbra

Prečítajte si LPL kapitolu 8.2

  • Pripomeňte si základné fakty o → a ↔ z tohto dvojstranového súhrnu kapitoly 7.
  • Pravidlá kontroly s → a ↔ sú zverejnené. Termín má byť v stredu 18. októbra.
  • Precvičte si dôkazy a preklady týkajúce sa → a ↔

Streda 11. októbra

Piatok 13. októbra

ŽIADNE TRIEDY ALEBO KANCELÁRSKE HODINY: Mark je mimo mesta. David má stále svoje piatkové hodiny doučovania.

Prečítajte si tieto snímky o prekladoch, pokiaľ nie a tieto o implikatúre, a pracujte na PS 4! Poznámka: Nebudú vám kladené žiadne otázky týkajúce sa implikatúry na domáce úlohy alebo testu, čo je len užitočný nápad na správne zostavenie prekladov.

8. týždeň

Pondelok 16. októbra

Streda 18. októbra

Prečítajte si prosím LPL Ch 9.4 a 9.5

PS 5 je zverejnený a jeho termín je naplánovaný na piatok 27. októbra.

Piatok 20. októbra

Žiadna trieda: Deň jesenných prázdnin

9. týždeň

Pondelok 23. októbra

Streda 25. októbra

Piatok 27. októbra

PS 5 je spôsobený. PS 6 je zverejnený a je splatný v piatok 3. novembra.

  • Nový typ NPEC: Prvá objednávka Nevyhnutnosť, možnosť, rovnocennosť a dôsledok kópia snímok z dnešného dňa.

10. týždeň

Pondelok 30. októbra

Streda 1. novembra

Prečítajte si LPL kapitolu 10.3

Piatok 3. novembra

PS 6 má prísť dnes.

Prečítajte si LPL 11.1 a 11.2

11. týždeň

Pondelok 6. novembra

Streda 8. novembra

  • Prečítajte si LPL kapitolu 11.2-3
  • Vnorené a zmiešané kvantifikátory: Metóda krok za krokom
  • Pripomienka: Na skúške 2 nebudú žiadne „vnorené“ kvantifikátory
  • Podklady 13 (rozpracované k niektorým vetám z cvičení 11.16 a 11.17) rozdané dnes v triede. Toto prechádza vetami, ktoré sme si dnes na hodine preložili. Pretože obsahuje odpovede na cvičenia, písomku nemožno zverejniť na webe. Ak ste stratili svoju kópiu, pošlite e-mailom ďalšiu kópiu.
  • PS 7 je zverejnený. Termín pôjde v pondelok 20. novembra.

Piatok 10. novembra

  • Recenzia na skúšku 2 na základe otázok študentov.
  • Pripomienka: Na skúške 2 nebudú žiadne „vnorené“ kvantifikátory
  • Časť skúšky 2 so sebou zoberte e-mailom

12. týždeň

Pondelok 13. novembra

  • Porcia so sebou vziať domov na začiatku vyučovacieho obdobia
  • Porcia v triede podávaná počas nášho pravidelne naplánovaného obdobia triedy.

Streda 15. novembra

Vety vyžadujúce parafrázovanie: Oslové vety

Po dnešku sme teraz pokryli všetok materiál, ktorý potrebujete pre PS 7. Je to ťažké, takže praskajte!


Kapitola 3 Symbolická logika a dôkazy

Logika je štúdia dôsledkov. Na základe niekoľkých matematických tvrdení alebo faktov by sme chceli urobiť nejaké závery. Napríklad, ak vám poviem, že konkrétna funkcia so skutočnou hodnotou bola spojitá v intervale ([0,1] text <,> ) a (f (0) = -1 ) a (f ( 1) = 5 text <,> ) môžeme dospieť k záveru, že existuje nejaký bod medzi ([0,1] ), kde graf funkcie pretína os (x ) -? Áno, môžeme, vďaka vete o strednej hodnote z kalkulu. Môžeme dospieť k záveru, že existuje presne jeden bod? Nie. Kedykoľvek nájdeme „odpoveď“ v matematike, máme skutočne (možno skrytý) argument. Matematika je skutočne o dokazovaní všeobecných výrokov (napríklad vety o strednej hodnote) a tiež sa to deje pomocou argumentu, ktorý sa zvyčajne nazýva dôkaz. Začíname s niektorými danými podmienkami, priestorov našej argumentácie a z nich nájdeme dôsledok záujmu, náš záver.

Problém je v tom, že ako nepochybne viete z hádok s priateľmi, nie všetky argumenty sú dobre argumenty. „Zlým“ argumentom je argument, v ktorom záver nevyplýva z priestorov, t. J. Záver nie je dôsledkom priestorov. Logika je štúdium toho, čo robí argumentom dobrý alebo zlý. Inými slovami, logika si kladie za cieľ určiť, v ktorých prípadoch je alebo nie je záver dôsledkom súboru premís.

Mimochodom, „argument“ je vlastne technický výraz v matematike (a filozofii, inej disciplíne, ktorá študuje logiku):

Argumenty

An je sada príkazov, z ktorých jeden sa nazýva a zvyšok sa nazýva. Hovorí sa, že ak musí byť pravda pravdivá, záver musí byť pravdivý. Argument je, že ak nie je platný, je možné, aby všetky predpoklady boli pravdivé a záver nepravdivý.

Zvážte napríklad tieto dva argumenty:

Ak si Edith dá zeleninu, môže si dať cookie.
Edith jej zje zeleninu.
( preto ) Edith dostane cookie.
Florencia musí jesť svoju zeleninu, aby získala koláčik.
Florence zje svoju zeleninu.
( preto ) Florence dostane keksík.

(Symbol „ ( preto )“ znamená „preto“)

Sú tieto argumenty platné? Dúfam, že súhlasíte s tým, že prvý je, ale druhý nie. Logika nám hovorí, prečo, tým, že analyzuje štruktúru výrokov v argumente. Všimnite si, že dva vyššie uvedené argumenty vyzerajú takmer rovnako. Edith a Florence jedia svoju zeleninu. V obidvoch prípadoch existuje súvislosť medzi konzumáciou zeleniny a sušienok. Tvrdíme však, že je možné dospieť k záveru, že Edith dostane cookie, ale nie to, čo Florencia. Rozdiel musí byť v súvislosti medzi konzumáciou zeleniny a získavaním cookies. Musíme byť zruční v čítaní a porozumení týchto viet. Znamená to, že obe vety znamenajú to isté? V každodennom jazyku sme, žiaľ, často nedbalý a mohli by ste byť v pokušení povedať, že sú si rovnocenní. Ale všimnite si to len preto, že Florencia musieť jesť jej zeleninu, nehovorili sme, že by to bolo dosť (možno bude musieť napríklad vyčistiť aj svoju izbu). V každodennej (nematematickej) praxi vás môže lákať povedať tento „iný smer“. V matematike ten luxus nikdy nedostaneme.

Predtým, ako budete pokračovať, môže byť dobré rýchlo si prečítať Sekciu 0.2, kde sme sa prvýkrát stretli s vyhláseniami a rôznymi formami, ktoré môžu mať. Cieľom je teraz zistiť, aké matematické nástroje môžeme vyvinúť, aby sme ich mohli lepšie analyzovať, a potom zistiť, ako to pomáha čítať a písať dôkazy.


Tabuľka pravdivosti analýzy argumentov

S tabuľkami pravdy sme už takmer hotoví. Posledná vec, ktorú ich v Logike môžeme použiť, je určenie, či je argument v propozičnej logike platný alebo neplatný.

Kľúčom je vedieť, čo znamená povedať, že argument je platný, a vedieť, ako ho zmapovať do tabuľky pravdy.

Znamená to, že ak sú všetky predpoklady pravdivé, je nemožné, aby bol záver nepravdivý. Neznamená to, že priestory všetko pravda, ale to ak sú, budú si vyžadovať skutočný záver.

K tomu možno plodne pristupovať aj zo strany neplatnosti. & # 8220Invalid & # 8221 znamená, že aj keď sú všetky predpoklady pravdivé, nevyžadujú si, aby bol záver pravdivý.

Ak by ste teda našli v tabuľke pravdy riadok pre argument, ktorého záver bol F, ale všetky premisy boli T, argument by bol neplatný. A ak by ste našli riadok, na ktorom bol záver T a všetky priestory boli tiež T, ale potom na inom riadku, záver by bol F a priestory boli T, argument by bol tiež neplatný. To znamená, že by muselo byť žiadny riadok v ktorom boli všetky priestory T a záver F, aby to tabuľka ukázala, je platná.

Prístup k tabulke pravdivosti znamená, že ak argument nie je neplatný, je platný. Mali by ste skontrolovať argument neplatnosti, čo znamená, že musíte mať jasno v tom, čo hľadať.

Čo si myslíš, že musíš povedať o hádke, ktorá mala nekonzistentné premisy?

Najprv si všimnite, že som zaviedol lomítka. To naznačuje, že tu máme argument. Na oddelenie priestorov od seba sa používa jedna lomka. Pred záverom nasleduje dvojitá lomka, ktorá sa bude vždy prezentovať ako vyhlásenie úplne vpravo.

Toto je správne vyplnené. Hodnoty pre priestory sú označené červenou farbou, hodnoty záveru zelenou farbou. Existujú štyri možnosti, t. J. Štyri riadky, ktoré sa majú prečítať. V prvom riadku nie sú obidve premisy pravdivé, takže záver F ešte neznamená, že je neplatný. Na druhom riadku sú obidve premisy F, takže tento riadok nám nič nehovorí. Na treťom riadku sú obidve premisy T a záver je F - čo znamená, že je neplatný, pretože ide o prípad, keď sa pravdivý záver nevygeneruje napriek tomu, že premisy sú všetky pravdivé. To je všetko, čo potrebujeme vedieť, môžeme to prestať čítať. Ale aj tak si prečítajme štvrtý riadok, pretože je to poučné. Na štvrtom riadku sú obidve premisy T a taký je záver. Čo z toho urobíme?

Nič. To nič neznamená, pretože tretí riadok ukazuje, že tento argument nezaručuje T závery z areálu T, ale umožňuje možnosť F záverov. Vďaka tomu je forma nedôveryhodná, nie na sto percent spoľahlivá a neplatná.

Dúfam, že tento formulár poznáte pod frázou, ktorá popisuje, čo jeho prevádzka robí.

(str & gt q) / q // str
T T T T T
T F F F T
F T T T F
F T F F F

Neplatnosť je tu tiež uvedená v treťom riadku, kde obidve premisy sú T a záver je F. Prvý riadok, v ktorom sú premisy aj záver všetky, T, nenaznačuje nič, čo by bolo v rozpore s tým, čo ukazuje tretí riadok, a síce, že táto forma umožňuje možnosť T premís a F záver.

Keď opíšeme, v čom sa to deje, už sme sa predtým zmienili o tomto mene.

Tu je na zváženie ďalší:

V areáli sa uvádza & # 8220Nie G ani M. Buď M alebo G je nepravdivé. & # 8221 Záver je & # 8220Nie G. & # 8221

Je nepravdivé, že Garfield aj Marmaduke sú psy. Buď Marmaduke a pes č. 8217, alebo Garfield ani pes č. 8217. Preto Garfield nie je ani jeden.

Čo ukazuje tabuľka? Ukazuje, že kedykoľvek je záver F, aspoň jedna premisa je tiež F. Na prvom a druhom riadku je záver F. Ale na prvom riadku je prvou premisou F (pozri pod

) a na druhom riadku je druhou premisou F (pozri pod v). To teda ukazuje, že nie je neplatné, preto je platné.

Nasledujúce dva riadky zobrazujú všetky premisy T a záver T. Ale aj keby sme sa na ne bližšie nepozreli, mohli by sme povedať, že sú platné, pretože jediná šanca na neplatnosť je, keď je záver F, a my Produkt 8217ve už videl všetky možnosti.

Tu je niekoľko cvičení, na ktorých môžete cvičiť:

6. J ⊃ (K ⊃ L) / K ⊃ (J ⊃ L) // (J v K) ⊃ L

7. Ak je Sartre existencialista, potom Wittgenstein napísal Tractatus, preto ak Wittgenstein napísal Tractatus, Sartre je existencialista.

8. Hurley je prezidentom, takže buď prezidentom je alebo Ackermann je dekanom.

9. Ak je & # 8220time fly & # 8221 metafora, neplatí to doslova. Ak to & # 8217 a doslovne neplatí, potom čas nelieta, takže ak & # 8220time letí & # 8221 je metafora, potom čas neletí.

10. Ak je argument z návrhu slabý, je to slabá analógia. Ak má ísť o slabú analógiu, musí sa vykonať neoprávnené porovnanie, takže argument z dizajnu predstavuje neoprávnené porovnanie.

11. Zimy sú studené a letá horúce, takže buď sú letá horúce, alebo je mesiac vyrobený zo zeleného syra.

12. Russell bol buď realista, alebo empirik. Ak bývalý, potom nebol idealista, takže nebol ani empirik.

13. Ak ju miluje, vezme si ju. Preto ak ju nemiluje, nevyhrá si ju.

14. Ak sa ľudia môžu usadiť na Mesiaci, potom sa môžu usadiť na Marse. Ak sa môžu usadiť na Marse, môžu sa usadiť na Jupiteri. Takže ak sa dá Mesiac usadiť, tak aj Jupiter.

15. Tento argument je neplatný, len ak môže mať pravdivé premisy a nesprávny záver. Preto je neplatná, pretože má nesprávny záver.

16. Skutočnosť, že zvieratá sú menej inteligentné ako my, neznamená, že môžeme ignorovať ich dobré životné podmienky. Ak neberieme do úvahy ich blaho, potom sme nehumánni a nie o nič lepší ako zvieratá sami. Ak teda nebudeme brať ohľad na ich blaho, je nepravdivé, že sú menej inteligentní ako my.

17. Ak je Švédsko v severnej Afrike, potom sú Egypťania modrookí alebo Švédi tmaví a pekní. Švédsko nie je v severnej Afrike, takže Egypťania nie sú modrookí.

18. Pokiaľ nemáte sánky aj klin, nebudete štiepať nijaké drevo. Máte sánky, ale nemáte klin, takže buď nebudete štiepať drevo, alebo si ich pôjdete kúpiť.

19. Ak ho miluje, vezme si ho, a preto ak sa za neho nevydá, nemiluje ho.


Symbolická logika

Negácia

Študent bude schopný:

  • Definujte uzavretú vetu, otvorenú vetu, výrok, negáciu, pravdivostnú hodnotu a pravdivostné tabuľky.
  • Príklady príkladov, v ktorých je jednoduchá veta napísaná v symbolickom tvare.
  • Zistite, či je veta pravdivá, nepravdivá alebo otvorená.
  • Vyjadrite negáciu výroku v symbolickej podobe a vo vete.
  • Uznajte, že výrok a jeho negácia majú opačné hodnoty pravdy.
  • Určte pravdivostné hodnoty pre daný výrok a jeho negáciu.
  • Zostavte tabuľku pravdy, aby ste zosumarizovali hodnoty pravdy.
  • Spojte negáciu s písanou angličtinou.
  • Aplikujte koncepty negácie na absolvovanie piatich interaktívnych cvičení.

Spojenie

Študent bude schopný:

  • Definujte logický konektor, zložený výrok a spojku.
  • Spojku vyjadrujte v symbolickej podobe a vo vete.
  • Uvedomte si, že spojenie dvoch otvorených viet závisí od náhradnej hodnoty premennej v každej z nich.
  • Určte pravdivostné hodnoty spojky vzhľadom na pravdivé hodnoty každej časti.
  • Zostavte pravdivostnú tabuľku pre spojenie, aby ste určili jej pravdivostné hodnoty.
  • Uznajte, že tabuľka pravdy je vynikajúcim nástrojom na sumarizáciu pravdivých hodnôt výrokov.
  • Integrujte spojenie s inými témami v matematike.
  • Aplikujte koncepty spojok na absolvovanie piatich interaktívnych cvičení.

Disjunkcia

Študent bude schopný:

  • Definujte disjunkciu.
  • Vyjadrte disjunkciu v symbolickej podobe a vo forme vety.
  • Uznajte, že disjunkcia dvoch otvorených viet závisí od náhradnej hodnoty premennej v každej z nich.
  • Určte pravdivostné hodnoty pre disjunkciu dané pravdivostnými hodnotami každej časti.
  • Zostavte pravdivostnú tabuľku pre disjunkciu, aby ste určili jej pravdivostné hodnoty.
  • Zostrojte pravdivostnú tabuľku pre spojenie a disjunkciu dvoch výrokov.
  • Rozlišujte medzi disjunkciou a spojkou.
  • Integrujte disjunkciu s inými témami v matematike.
  • Aplikujte koncepty disjunkcie na absolvovanie piatich interaktívnych cvičení.

Podmienené

Študent bude schopný:

  • Definujte podmienené tvrdenie, hypotézu a záver.
  • Identifikujte hypotézu a záver podmieneného tvrdenia.
  • Vyjadrujte podmienené tvrdenie v symbolickej podobe a vo forme vety.
  • Zostavte tabuľku pravdy pre podmienené tvrdenie.
  • Určte pravdivostnú hodnotu podmieneného vzhľadom na pravdivé hodnoty jeho hypotézy a záveru.
  • Integrujte podmienené výroky do iných tém matematiky.
  • Použite podmienené koncepty na absolvovanie piatich interaktívnych cvičení.

Zložené vyhlásenia

Študent bude schopný:

  • Definujte symbolickú formu.
  • Preskúmajte vety predstavované zloženými príkazmi pomocou konektorov


9.4.3 Ešte viac kontrolných cvičení

HW pre Weds. Čo nasleduje pre každú z nich? a podľa akého pravidla?

1. Ak Joe urobí dôkazy, použije pravidlá na vyvodenie záverov. Joe robí dôkazy. Preto _______

2. Buď Joe použije pravidlá na vyvodenie záverov, alebo nemôže robiť dôkazy. Dokáže však dôkazy. Takže _____

3. Ak Joe nepoužíva pravidlá, nemôže robiť dôkazy. Dokáže však dôkazy, takže _____

4. Ak Joe môže používať DM, môže použiť IMP. Ak môže použiť IMP, môže použiť TRAN. Takže __________________

5. Joe môže robiť dôkazy. Jane môže robiť dôkazy. Takže ________________________________

6. Joe a Jane môžu robiť dôkazy. Takže ___________________.

7. Ak Joe dokáže dôkazy, môže vyvodiť závery a ak Jane dokáže dôkazy, môže nahradiť ekvivalentné výrazy. Dôkazy môže robiť buď Joe, alebo Jane, takže ____________________________________.

8. Joe ani Jane nemôžu robiť dôkazy. Takže ___________________________

9. Nie obaja môžu robiť dôkazy, takže ___________________________

10. Nie je to tak, že ani Joe, ani Jane nemôžu robiť dôkazy, takže ___________________________

Kliknutím na tieto odkazy zobrazíte niektoré cvičebné zostavy, ktoré sú vo formáte pdf.

V prvej sade (očíslovanej 5-10) je poskytnuté úplné riešenie overenia. Cvičenie, ktoré potrebujete, skopírujte prvé riadky a záver na list papiera a pustite sa do práce. Potom sa môžete pozrieť späť na túto stránku a vyhľadať pomoc.

V súbore s názvom & # 8220V, & # 8221 si vyskúšate pravidlá ekvivalencie. Napríklad v # 1 a 2 budete musieť použiť AD, ale aj IMP. Zamyslite sa spätne od záveru IMP a uvidíte, čo potrebujete k AD. Pamätajte, že s AD môžete pridať čokoľvek chcete, či už je to jednoduchá alebo zložená, či už kladná alebo záporná.


Priradenia problémov

Tu je priebežný harmonogram problémov, ktoré sú priradené tak, ako sú stanovené počas celého obdobia. Pamätajte, že cvičenia na riešenie problémov nie sú hornou hranicou problémov, ktoré by ste mali robiť: Čím viac cvičení z knihy vyskúšate, tým lepšie sa budete mať.

Ak nie je uvedené inak, problémové skupiny sú vždy splatné do začiatku hodiny v deň splatnosti. Každá PS má hodnotu 30 bodov. Každý jednotlivý problém má hodnotu 6 bodov, pokiaľ nie je uvedené inak.

Ak má úloha odpísanú časť, môžete ju buď (a) priniesť do triedy v deň, keď je jej splatnosť, (b) zasunúť ju pod dvere Markovej kancelárie pred jej splatnosťou, alebo (c) poslať ju e-mailom pred Markom je to. Kedykoľvek zadáte písomnú časť problému nastavenú prostredníctvom e-mailu, nezabudnite do predmetu správy napísať „Písomná časť: PS #“ a oznámte nám, že váš e-mail obsahuje písomnú časť, ktorú je potrebné ohodnotiť, a povedzte nám, ktorý problém nastavte číslo, pre ktoré je určený.

Tipy a riešenia pre niektoré z týchto cvičení sú k dispozícii v sekcii „Pre študentov“ na webovej stránke LPL, kde je to uvedené nižšie.

Sada problémov 6

Termín: Piatok 3. novembra

Rady sú k dispozícii na webových stránkach LPL pre cvičenia 10.1 a 10.9.

Venujte osobitnú pozornosť pokynom ku každému z problémov a tiež malému symbolu pod číslom cvičení. Niektoré budú vyžadovať, aby ste napísali niečo, čo by ste odovzdali, iné môžu vyžadovať kombináciu písania a podania na brúsku.

Keď vás 1. časť cvičenia 10.9 požiada o preloženie / parafrázovanie viet do „čistej, hovorovej“ angličtiny, nezabudnite napísať hladký, obyčajný Angličtinu („Každá kocka je malá“ alebo „Všetko, čo je za b, je štvorsten“), ktorej vaši príbuzní rozumeli pri večeri vďakyvzdania. Robo-, pseudoangličtina, ktorá používa premenné (napríklad „Pre každý objekt x, ak x je kocka, potom x je malé“) nie je prijateľné ako hotový produkt. Môžete použiť robo-pseudoangličtinu ako strednú cestu - stieracie práce, ktoré vám pomôžu dostať sa z FOL do angličtiny -, ale nekončite. Žiadny preklad, ktorý obsahuje premennú ako „x“, nie je jasný, hovorová angličtina, preto žiadny takýto preklad nezíska žiadne body. Vrátane mien FOL (a, batď.) vo vašich prekladoch je úplne v poriadku a je skutočne potrebný na získanie správneho anglického prekladu viet o objektoch Tarski’s World.

Vyššie nájdete pokyny týkajúce sa rôznych spôsobov, ako môžete odoslať písomnú úlohu. (Uistite sa, že ak ho posielate e-mailom, ako predmet správy napíšete „Písomná časť: PS 6“.)

Sada problémov 5

Termín: Piatok, 10/27

Pamätajte, že kontrola vašich prekladov proti svetom je užitočná, ale nezaručuje to, že vaše preklady sú správne. Uistite sa, že v brúske na triedenie využívate možnosť „iba ja“ skoro a často pri práci kontrolujete svoje preklady.

Pred skontrolovaním práce na brúske na triedenie nemusíte čakať, kým dokončíte všetky preklady. Ak chcete skontrolovať, povedzme, prvé štyri vety, ktoré ste napísali, môžete urobiť, že mlynček oznámi, že vaše prázdne vety sú nesprávne, ale koho to zaujíma? “Just me” submissions don’t count for a grade.

Hints are available at the LPL website for some of these problems.

Problem Set 4

Due: on Wednesday, Oct. 18

The problems from Chapter 8 involve proofs, so start working early!

Problem Set 3

Due: Wednesday, October 4 (Note the change of date!)

  • 6.14
  • 6.25 (don’t worry about doing the “informal proof”)
  • 6.31
  • 6.32
  • 6.35

Make sure to read the instructions for each problem some of them will ask you first to determine whether the argument is valid or invalid and potom complete the exercise accordingly. (It is never fun to spend several hours trying to construct a proof of an argument only to find out that it is invalid and no proof is available.)

Start early! Proofs are hard, and you’re more likely to get stuck and need help with these problems than with the earlier problem sets.

My advice from the syllabus is especially apt when it comes to proofs: Treat the problem set as the bare minimum group of problems, and go on to do as many other exercises from the book as you can stand.

  • For exercises where you are not told in advance whether the argument is valid or invalid, it will tell you exactly what you did and did not submit. So, for instance, if you submit a proof for a valid argument, it will still tell you that you did not submit a world file. But that is not a problem: you shouldn’t be submitting a world for valid arguments. (The same thing goes in reverse for invalid arguments: it will tell you that you didn’t submit a proof, but that’s okay.)
  • Grade Grinder will tell you how many steps beyond the premises were in any proof you submitted. There is no need to worry about this, either.
  • For EXERCISE 6.25, GG will say

Problem Set 2

Due: Monday, September 25, by the beginning of class

For Exercise 4.8, use worksheet from Handout 6, which has the Euler diagram already drawn on it.

Problem Set 1

Due: Friday, September 15

Note that this is a very late due date for this problem set it is due in the third week of the semester. You can and should start working on this problem set earlier than this date would suggest.

Poznámka: Problem 3.10 asks you to submit oboje files when you’re done. It’s asking for the world file that you modified and renamed as “World 3.10.wld”, and it also wants you to submit the sentence file. The Grade Grinder will complain if you do not submit the sentences, but I don’t care whether you do so or not, and you will not lose points for not submitting them. I am confident you can type.

If you get stuck on 3.21, you can find some help in the “Hints” file for Chapter 3 from the LPL web site. Also, note that Exercise 3.22, which is not assigned, can help you check your answers to Exercise 3.21.


Solutions

Pick a capital letter to represent each simple statement, and represent the following statements symbolically, using the tilde, dot, wedge, horseshoe and triple bar. Post your answers to your group and see if you can get some comments, corrections or help. Of course, if you have any questions, please contact me.

1. Mark Twain wrote Huckleberry Finn as well as Letters from the Earth.

2. If Sam Clemens called himself “Mark Twain,” he should have put it in quotation marks.

3. Twain wrote Letters from the Earth but he did not write Ecce Homo.

4. Either the author of Joan of Arc and Letters from the Earth wrote Tom Sawyer, or else he wrote A Connecticut Yankee in King Arthur’s Court.

5. In Letters, Satan, Gabriel and Michael all wonder if creating natural law was such a good idea.

6. Satan says something sarcastic and has to leave Heaven for a while he goes to find Earth.

7. He finds that humans believe that God spends nights sitting up watching over them, but he thinks that either they are just wrong or else they are insane.

8. If they are just wrong, it’s because they don’t think logically.

9. If they are insane, it’s because it’s part of their God-given nature.

10. God says you should forgive, but he forgave neither Adam nor Eve, and he punishes their descendants to this very day.

Remember? a negative disjunction is logically equivalent to a conjunction of negatives

11. I think, therefore I am.

This is an argument, not a conditional, so we’ll use “/” to set the conclusion off from the premise.

12. If “I think, therefore I am” is true, then I am a thinking thing.

13. If I am a thinking thing, then I am not a material thing.

14. If I am not a material thing, then I am a pure spirit or mind.

Don’t write “I am a pure spirit or mind” as a disjunction since the two words (“spirit” and “mind”) are meant to be synonyms here.

15. If arguments are always made up of multiple statements, then no single statement can ever be an argument.

16. If “if” always indicates the beginning of a single statement, then all “if” statements are just statements, and none of them are arguments.

17. Either a valid argument is sound or it is unsound, but no valid arguments are cogent.

18. If premises are either true or false, then arguments can’t be either true or false.

A) tricky: “T” stands for “Premises are true” and “A” stands for “Arguments are true.”

Literally this reads If either Premises are true or Premises are not true, potom it is false that either Arguments are true or Arguments are false.

19. If an argument is weak, it’s inductive.

20. An argument is strong only if it’s inductive.

21. A necessary condition of an argument being valid is that it be deductive.

22. A sufficient condition of an argument being valid is that it be sound.

23. An argument commits the fallacy of Appeal to Authority if and only if it invokes the expertise of some person and that person is not really qualified.

24. A passage is an illustration only if it makes a claim and then provides an example to make it clear.

25. If you are the Vice President, then if your aide is found guilty of lying to federal investigators, then if you don’t go on the record to distance yourself from him, then you are going to be “under a cloud” on the cover of Time.

26. If you are the Vice President and your aide is found guilt of lying to federal investigators, then if you don’t go on the record to distance yourself from him, you will be under a cloud on Time’s cover.

27. If you are the Vice President and your aide is found guilty and you don’t go on the record, then you will be under a cloud.

28. Neither rain nor snow nor sleet nor hail will keep me from putting this letter in your mailbox.

29. If neither rain nor snow nor sleet nor hail will prevent me from putting this letter in your mailbox, then if I am neither a postal worker nor a sociopath, then I must just be a good friend.

30. If the set of all sets that are not members of themselves is a member of itself, then it is not a member of itself.

31. Existence is not a predicate

32. “Existence” is not a predicate.

33. If all words have both a sense and a reference, then “Alice” has to have both.

34. If Wittgenstein invented truth tables, then Hume critiqued the Argument from Design only if Kant pointed out that “existence” is not a predicate and Leibnitz called identical things “indiscernibles.”