Články

1.5: Faktoring polynómov


Učebné ciele

V tejto časti študenti:

  • Faktor najväčší spoločný faktor polynómu.
  • Faktor trojčlen.
  • Faktor zoskupením.
  • Faktor dokonalý štvorcový trojuholník.
  • Faktor rozdiel štvorcov.
  • Zrátajte súčet a rozdiel kociek.
  • Faktorové výrazy pomocou zlomkových alebo záporných exponentov.

Predstavte si, že sa snažíme nájsť plochu trávnika, aby sme mohli určiť, koľko trávneho osiva je potrebné kúpiť. Trávnik je zelená časť na obrázku ( PageIndex {1} ).

Plochu celého regiónu nájdete pomocou vzorca pre plochu obdĺžnika.

[ begin {align *} A & = lw & = 10x times6x & = 60x ^ 2 ; jednotky ^ 2 end {zarovnať *} ]

Oblasti, ktoré nevyžadujú trávne osivo, je potrebné odpočítať od plochy celého regiónu. Každá z dvoch štvorcových oblastí má plochu (A = s ^ 2 = 4 ^ 2 = 16 ; jednotky ^ 2 ). Druhá obdĺžniková oblasť má jednu stranu dĺžky (10x − 8 ) a jednu stranu dĺžky (4 ), čo dáva plochu

[A = lw = 4 (10x − 8) = 40x −32 ; text {units} ^ 2. nonumber ]

Takže región, ktorý sa musí odpočítať, má plochu

[2 (16) + 40x −32 = 40x ; text {units} ^ 2. nonumber ]

Oblasť regiónu, ktorá vyžaduje trávu, sa zistí odpočítaním (60x ^ 2−40x ; text {jednotiek} ^ 2 ). Táto oblasť môže byť tiež vyjadrená v rozdelenom tvare ako (20x (3x − 2) ; text {jednotky} ^ 2 ). To, že ide o ekvivalentný výraz, môžeme potvrdiť vynásobením.

Mnoho polynomiálnych výrazov je možné napísať v jednoduchších formách faktorovaním. V tejto časti sa pozrieme na rôzne metódy, ktoré možno použiť na faktorizáciu polynomiálnych výrazov.

Faktoring najväčšieho spoločného faktora polynómu

Keď študujeme zlomky, zistíme, že najväčší spoločný faktor (GCF) dvoch čísel je najväčší počet, ktorý sa rovnomerne rozdelí na obe čísla. Napríklad (4 ) je GCF (16 ) a (20 ), pretože je to najväčší počet, ktorý sa rovnomerne rozdeľuje na (16 ) a (20 ). GCF polynómov funguje rovnakým spôsobom: (4x ) je GCF (16x ) a (20x ^ 2 ), pretože je to najväčší polynóm, ktorý sa rovnomerne rozdeľuje na (16x ) a (20x ^ 2 ) .

Pri výpočte polynomického výrazu by naším prvým krokom mala byť kontrola GCF. Vyhľadajte GCF koeficientov a potom vyhľadajte GCF premenných.

Definícia: Najväčší spoločný faktor

The najväčší spoločný faktor (GCF) polynómov je najväčší polynóm, ktorý sa rovnomerne rozdeľuje na polynómy.

Ako: Pri danom polynomickom výraze vyraďte najväčší spoločný faktor

  1. Identifikujte GCF koeficientov.
  2. Identifikujte GCF premenných.
  3. Kombináciou vyhľadajte GCF výrazu.
  4. Určte, čím je potrebné GCF vynásobiť, aby ste získali každý výraz vo výraze.
  5. Zapíšte faktorizovaný výraz ako produkt GCF a súčet výrazov, ktorými sa musíme vynásobiť.

Príklad ( PageIndex {1} ): Faktorovanie najväčšieho spoločného faktora

Faktor (6x ^ 3y ^ 3 + 45x ^ 2y ^ 2 + 21xy ).

Riešenie

Najskôr vyhľadajte GCF výrazu. GCF z (6 ), (45 ) a (21 ) je (3 ). GCF z (x ^ 3 ), (x ^ 2 ) a (x ) je (x ). (Všimnite si, že GCF množiny výrazov vo forme (x ^ n ) bude vždy exponentom najnižšieho stupňa.) A GCF z (y ^ 3 ), (y ^ 2 ), a (y ) je (y ). Kombinujte ich a nájdite GCF polynómu (3xy ).

Ďalej určite, čím je potrebné GCF vynásobiť, aby sa získal každý termín polynómu. Nájdeme to

  • (3xy (2x ^ 2y ^ 2) = 6x ^ 3y ^ 3 ),
  • (3xy (15xy) = 45x ^ 2y ^ 2 ) a
  • (3xy (7) = 21xy ).

Nakoniec napíšte faktorizovaný výraz ako produkt GCF a súčet výrazov, ktorými sme potrebovali vynásobiť.

[(3xy) (2x ^ 2y ^ 2 + 15xy + 7) nonumber ]

Analýza

Po faktoringu môžeme našu prácu skontrolovať vynásobením. Potvrďte to pomocou distribučného majetku

[(3xy) (2x ^ 2y ^ 2 + 15xy + 7) = 6x ^ 3y ^ 3 + 45x ^ 2y ^ 2 + 21xy nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Faktor (x (b ^ 2 − a) +6 (b ^ 2 − a) ) vytiahnutím GCF.

Odpoveď

((b ^ 2 − a) (x + 6) )

Faktorovanie trojčlenu s vedúcim koeficientom 1

Aj keď by sme mali vždy začať hľadaním GCF, vytiahnutie GCF nie je jediný spôsob, ako je možné zohľadniť polynomické výrazy. Polynóm (x ^ 2 + 5x + 6 ) má GCF (1 ), ale dá sa napísať ako súčin faktorov ((x + 2) ) a ((x + 3 ) ).

Trojčleny tvaru (x ^ 2 + bx + c ) je možné započítať nájdením dvoch čísel so súčinom (c ) a súčtom (b ). Napríklad trinomiál (x ^ 2 + 10x + 16 ) je možné zohľadniť pomocou čísel (2 ) a (8 ), pretože súčin týchto čísel je (16 ) a ich súčet je (10 ​​). Trojčlen je možné prepísať ako produkt ((x + 2) ) a ((x + 8) ).

FAKTORÁCIA TRINOMIÁLU S VEDÚCIM KOEFICIENTOM (1 )

Trinomiál tvaru (x ^ 2 + bx + c ) možno zapísať vo faktorizovanom tvare ako ((x + p) (x + q) ), kde (pq = c ) a (p + q = b ).

Otázky a odpovede: Je možné každý trojčlen označiť ako produkt dvojčlenov?

Nie. Niektoré polynómy nemožno zohľadniť. O týchto polynómoch sa hovorí, že sú hlavný.

Ako: Daný trojčlen v tvare (x ^ 2 + bx + c ), zohľadnite ho

  1. Zoznam faktorov (c ).
  2. Nájdite (p ) a (q ), dvojicu faktorov (c ) so súčtom (b ).
  3. Napíš faktorový výraz ((x + p) (x + q) ).

Príklad ( PageIndex {2} ): Faktorovanie trojčlenu s vedúcim koeficientom 1

Faktor (x ^ 2 + 2x − 15 ).

Riešenie

Máme trojčlen s vedúcim koeficientom (1 ), (b = 2 ) a (c = −15 ). Musíme nájsť dve čísla so súčinom (- 15 ) a súčtom (2 ). V tabuľke ( PageIndex {1} ) uvádzame zoznam faktorov, kým nenájdeme pár s požadovaným súčtom.

Tabuľka ( PageIndex {1} )
Faktory −15Súčet faktorov
1,−15−14
−1,1514
3,−5−2
−3,5

Teraz, keď sme identifikovali (p ) a (q ) ako (- 3 ) a (5 ), zapíšte faktorizovaný tvar ako ((x − 3) (x + 5) ).

Analýza

Svoju prácu môžeme skontrolovať vynásobením. Pomocou FÓLIE potvrďte, že ((x − 3) (x + 5) = x ^ 2 + 2x − 15 ).

Otázky a odpovede: Záleží na poradí faktorov?

Nie. Násobenie je komutatívne, takže na poradí faktorov nezáleží.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Faktor (x ^ 2-7x + 6 ).

Odpoveď

((x − 6) (x − 1) )

Faktoring podľa zoskupenia

Trojčlenky s inými vodiacimi koeficientmi ako (1 ) sú trochu komplikovanejšie. Pre tieto trojčlenky môžeme faktor zoskupením rozdelením výrazu x na súčet dvoch výrazov, rozčlenením každej časti výrazu osobitne a následným rozčlenením GCF celého výrazu. Trinomiál (2x ^ 2 + 5x + 3 ) je možné pomocou tohto procesu prepísať na ((2x + 3) (x + 1) ). Začíname prepisovaním pôvodného výrazu na (2x ^ 2 + 2x + 3x + 3 ) a potom každú časť výrazu faktorizujeme, aby sme získali (2x (x + 1) +3 (x + 1) ). Potom vytiahneme GCF z ((x + 1) ), aby sme našli faktorizovaný výraz.

Faktor podľa zoskupenia

Na zoskupenie trojčlenu v tvare (ax ^ 2 + bx + c ) zoskupením nájdeme dve čísla s produktom (ac ) a súčtom (b ). Tieto čísla používame na rozdelenie výrazu (x ) na súčet dvoch výrazov a rozčlenenie každej časti výrazu osobitne, potom faktorizáciu GCF celého výrazu.

Ako: Daný trojčlen v tvare (ax ^ 2 + bx + c ), faktor zoskupiť.

  1. Zoznam faktorov (ac ).
  2. Nájdite (p ) a (q ), dvojicu faktorov (ac ) so súčtom (b ).
  3. Prepíšte pôvodný výraz ako (ax ^ 2 + px + qx + c ).
  4. Vytiahnite GCF (ax ^ 2 + px ).
  5. Vytiahnite GCF z (qx + c ).
  6. Faktorovať GCF výrazu.

Príklad ( PageIndex {3} ): Faktorovanie trojčlenky zoskupením

Faktor (5x ^ 2 + 7x − 6 ) zoskupením.

Riešenie

Máme trojčlenku s (a = 5 ), (b = 7 ) a (c = −6 ). Najskôr určte (ac = −30 ). Musíme nájsť dve čísla so súčinom (- 30 ) a súčtom (7 ). V tabuľke nižšie uvádzame zoznam faktorov, kým nenájdeme pár s požadovaným súčtom.

Tabuľka ( PageIndex {2} )
Faktory −30Súčet faktorov
1,−30−29
−1,3029
2,−15−13
−2,1513
3,−10−7
−3,107

Takže (p = -3) a (q = 10 ).

(5x ^ 2−3x + 10x − 6 ) Prepíšte pôvodný výraz ako (ax ^ 2 + px + qx + c ).

(x (5x − 3) +2 (5x − 3) ) Zfaktorizuje GCF každej časti

((5x − 3) (x + 2) ) Zfaktorizuje GCF výrazu.

Analýza

Svoju prácu môžeme skontrolovať vynásobením. Pomocou FÓLIE potvrďte, že ((5x − 3) (x + 2) = 5x ^ 2 + 7x − 6 ).

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Faktor:

  1. (2x ^ 2 + 9x + 9 )
  2. (6x ^ 2 + x − 1 )
Odpoveď a

((2x + 3) (x + 3) )

Odpoveď b

((3x-1) (2x + 1) )

Faktoring dokonalého štvorcového trojuholníka

Perfektný štvorcový trojuholník je trojčlen, ktorý možno napísať ako štvorec dvojčlenu. Pripomeňme si, že keď je dvojčlen rozdelený na druhú, výsledkom je druhá mocnina prvého člena pripočítaná k dvojnásobku súčinu dvoch členov a štvorček posledného člena.

[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = {(a + b)} ^ 2 ]

a

[a ^ 2-2ab + b ^ 2 = {(a-b)} ^ 2 ]

Túto rovnicu môžeme použiť na faktorovanie každého dokonalého štvorcového trojuholníka.

Perfektné štvorcové trojčlenky

Perfektný štvorcový trojuholník možno napísať ako štvorcový štvoruholník:

[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 ]

Ako: Vzhľadom na trojuholník s dokonalým štvorcom, započítajte ho do štvorca dvojčlenu

  1. Potvrďte, že prvý a posledný výraz sú dokonalé štvorce.
  2. Potvrďte, že strednodobý výraz je dvojnásobkom produktu (ab ).
  3. Zapíšte faktorizovaný formulár ako ({(a + b)} ^ 2 ).

Príklad ( PageIndex {4} ): Faktorovanie trojuholníka Perfect Square

Faktor (25x ^ 2 + 20x + 4 ).

Riešenie

Všimnite si, že (25x ^ 2 ) a (4 ) sú dokonalé štvorce, pretože (25x ^ 2 = {(5x)} ^ 2 ) a (4 = 2 ^ 2 ). Potom skontrolujte, či je strednodobý výraz dvojnásobkom produktu (5x ) a (2 ). Strednodobý termín je v skutočnosti dvojnásobkom produktu: (2 (5x) (2) = 20x ). Preto je trinomiál dokonalým štvorcovým trojčlenom a dá sa napísať ako ({(5x + 2)} ^ 2 ).

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Faktor (49x ^ 2−14x + 1 ).

Odpoveď

({(7x − 1)} ^ 2 )

Faktorovanie rozdielu štvorcov

Rozdiel štvorcov je dokonalý štvorec odčítaný od dokonalého štvorca. Pripomeňme, že rozdiel štvorcov možno prepísať ako faktory obsahujúce rovnaké členy, ale opačné znamienka, pretože stredné členy sa navzájom rušia, keď sa tieto dva faktory znásobia.

[a ^ 2 − b ^ 2 = (a + b) (a − b) ]

Túto rovnicu môžeme použiť na zohľadnenie rozdielov štvorcov.

Rozdiely štvorcov

Rozdiel štvorcov možno prepísať ako dva faktory obsahujúce rovnaké výrazy, ale opačné znamienka.

[a ^ 2 − b ^ 2 = (a + b) (a − b) ]

Ako: Vzhľadom na rozdiel štvorcov, rozdeľte ho na dvojčleny

  1. Potvrďte, že prvý a posledný výraz sú dokonalé štvorce.
  2. Zapíšte faktorizovaný formulár ako ((a + b) (a − b) ).

Príklad ( PageIndex {5} ): Faktorovanie rozdielu štvorcov

Faktor (9x ^ 2−25 ).

Riešenie

Všimnite si, že (9x ^ 2 ) a (25 ) sú dokonalé štvorce, pretože (9x ^ 2 = {(3x)} ^ 2 ) a (25 = 5 ^ 2 ). Polynóm predstavuje rozdiel štvorcov a možno ho prepísať ako ((3x + 5) (3x − 5) ).

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Faktor (81r ^ 2−100 ).

Odpoveď

((9r + 10) (9r-10) )

Otázky a odpovede: Existuje vzorec na zohľadnenie súčtu druhých mocnín?

Nie. Súčet štvorcov nemožno započítať.

Faktorovanie súčtu a rozdielu kociek

Teraz sa pozrieme na dva nové špeciálne produkty: súčet a rozdiel kociek. Aj keď nie je možné zohľadniť súčet štvorcov, je možné súčet kociek rozdeliť na dvojčlen a trojčlen.

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2) ]

Podobne je možné súčet kociek započítať do binomického a trojčlenného, ​​ale s rôznymi znakmi.

[a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) ]

Skratku SOAP môžeme použiť na zapamätanie si znakov pri výpočte súčtu alebo rozdielu kociek. Prvé písmeno každého slova sa týka znakov: Same Opposite Always Positive. Zvážte napríklad nasledujúci príklad.

[x ^ 3−2 ^ 3 = (x − 2) (x ^ 2 + 2x + 4) ]

Znamienko prvých 2 je rovnaké ako znamienko medzi (x ^ 3−2 ^ 3 ). Znamienko (2x ) výrazu je oproti znamienku medzi (x ^ 3−2 ^ 3 ). A znak posledného výrazu, (4 ), je vždy pozitívny.

Súčet a rozdiel kociek

Súčet dvoch kociek môžeme faktorovať ako

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2) ]

Rozdiel dvoch kociek môžeme započítať ako

[a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) ]

Ako: Vzhľadom na súčet kociek alebo rozdiel kociek to zohľadnite

  1. Potvrďte, že prvý a posledný člen sú kocky (a ^ 3 + b ^ 3 ) alebo (a ^ 3 − b ^ 3 ).
  2. Pre súčet kociek napíšte faktorizovaný tvar ako ((a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2) ). Pre rozdiel kociek napíšte faktorizovaný tvar ako ((a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) ).

Príklad ( PageIndex {6} ): Faktorovanie súčtu kociek

Faktor (x ^ 3 + 512 ).

Riešenie

Všimnite si, že (x ^ 3 ) a (512 ) sú kocky, pretože (8 ^ 3 = 512 ). Súčet kociek prepíšte ako ((x + 8) (x ^ 2−8x + 64) ).

Analýza

Po napísaní súčtu kociek týmto spôsobom by sme si mohli myslieť, že by sme mali skontrolovať, či je možné trojčlennú časť ďalej zohľadniť. Trojčlennú časť však nie je možné započítať, takže nepotrebujeme kontrolu.

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Zrátajte súčet kociek: (216a ^ 3 + b ^ 3 ).

Odpoveď

((6a + b) (36a ^ 2-6ab + b ^ 2) )

Príklad ( PageIndex {7} ): Faktorovanie rozdielu kociek

Faktor (8x ^ 3−125 ).

Riešenie

Všimnite si, že (8x ^ 3 ) a (125 ) sú kocky, pretože (8x ^ 3 = {(2x)} ^ 3 ) a (125 = 5 ^ 3 ). Rozdiel kociek zapíšte ako ((2x − 5) (4x ^ 2 + 10x + 25) ).

Analýza

Rovnako ako pri súčte kociek nebudeme môcť ďalej faktorovať trojčlennú časť.

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Faktor rozdiel kocky: (1 000x ^ 3−1 )

Odpoveď

((10x − 1) (100x ^ 2 + 10x + 1) )

Rozdelenie výrazov na zlomkové alebo záporné

Výrazy so zlomkovými alebo zápornými exponentmi možno započítať vytiahnutím GCF. Vyhľadajte premennú alebo exponent, ktoré sú spoločné pre každý výrazový výraz, a vytiahnite túto premennú alebo exponent s najmenším výkonom. Tieto výrazy sa riadia rovnakými faktoringovými pravidlami ako tie, ktoré majú celočíselné exponenty. Napríklad (2x ^ { tfrac {1} {4}} + 5x ^ { tfrac {3} {4}} ) možno započítať vytiahnutím (x ^ { tfrac {1} {4 }} ) a bude prepísaný ako (x ^ { tfrac {1} {4}} (2 + 5x ^ { tfrac {1} {2}}) ).

Príklad ( PageIndex {8} ): Faktorovanie výrazu pomocou zlomkových alebo záporných výrazov

Faktor (3x {(x + 2)} ^ {- tfrac {1} {3}} + 4 {(x + 2)} ^ { tfrac {2} {3}} ).

Riešenie

Rozpracujte výraz s najnižšou hodnotou exponenta. V takom prípade by to bolo ({(x + 2)} ^ {- tfrac {1} {3}} ).

[ begin {align *} & (x + 2) ^ {- tfrac {1} {3}} (3x + 4 (x + 2)) qquad text {Rozdeliť GCF} & ( x + 2) ^ {- tfrac {1} {3}} (3x + 4x + 8) qquad text {Simplify} & (x + 2) ^ {- tfrac {1} {3}} (7x + 8) end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Faktor (2 {(5a − 1)} ^ { tfrac {3} {4}} + 7a {(5a − 1)} ^ {- tfrac {1} {4}} ).

Odpoveď

({(5a − 1)} ^ {- tfrac {1} {4}} (17a − 2) )

Kľúčové rovnice

rozdiel štvorcov (a ^ 2 − b ^ 2 = (a + b) (a − b) )
dokonalý štvorcový trojuholník (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 )
súčet kociek (a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2) )
rozdiel kociek (a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) )
  • Najväčší spoločný faktor, alebo GCF, sa dá vylúčiť z polynómu. Pozri príklad.
  • Trojčleny s vedúcim koeficientom 1 je možné zohľadniť hľadaním čísel, ktoré majú súčin tretieho člena a súčet druhého člena. Pozri príklad.
  • Trinomials je možné započítať pomocou procesu zvaného factoring zoskupením. Pozri príklad.
  • Perfektné štvorcové trojčlenky a rozdiel štvorcov sú špeciálne produkty a dajú sa započítať pomocou rovníc. Pozri príklad a príklad.
  • Súčet kociek a rozdiel kociek je možné vypočítať pomocou rovníc. Pozri príklad a príklad.
  • Polynómy obsahujúce zlomkové a záporné exponenty je možné započítať vytiahnutím GCF. Pozri príklad.


Pozri si video: Павел Вржещ: Banda выиграла 95% тендеров по креативу (December 2021).