Články

2.8: Lineárne nerovnosti (jedna premenná)


Učebné ciele

  • Identifikujte lineárne nerovnosti a skontrolujte riešenia.
  • Vyriešte lineárne nerovnosti a riešenia vyjadrte graficky na číselnej osi a v intervalovom zápise.
  • Vyriešte zložené lineárne nerovnosti a riešenia vyjadrte graficky na číselnej osi a v intervalovom zápise.
  • Riešte aplikácie zahŕňajúce lineárne nerovnosti a interpretujte výsledky.

Definícia lineárnej nerovnosti

Lineárna nerovnosť je matematický výrok, ktorý spája lineárny výraz s menším alebo väčším ako iný. Nasleduje niekoľko príkladov lineárnych nerovností, ktoré sú všetky riešené v tejto časti:

(3x + 7 <16 quad -2x + 1 geq 21 quad -7 (2x + 1) <1 )

Riešením lineárnej nerovnosti je reálne číslo, ktoré pri nahradení premennej vytvorí pravdivé tvrdenie. Lineárne nerovnosti majú buď nekonečne veľa riešení, alebo žiadne. Ak existuje nekonečne veľa riešení, zakreslite množinu riešení do číselnej rady a / alebo vyjadrte riešenie pomocou intervalového zápisu.

Príklad ( PageIndex {1} )

Sú (x = −2 ) a (x = 4 ) riešenia (3x + 7 <16 )?

Riešenie:

Nahraďte hodnoty za (x ), zjednodušte a skontrolujte, či dostaneme pravdivé tvrdenie.

( begin {array} {c | c} { podčiarknutie {Check : x = -2}} & { podčiarknutie {Check : x = 4}} { begin {zarovnané} 3 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {) + 7} & <16 -6 + 7 & <16 1 & <16 quad color {Cerulean} { checkmark} end {aligned}} & { begin {aligned} 3 ( color {OliveGreen} {4} color {black} {) + 7} & <16 12 + 7 & <16 19 & <16 quad color {red} { x} end {zarovnané}} end {pole} )

Odpoveď:

(x = -2 ) je riešenie a (x = 4 ) nie je.

Algebra lineárnych nerovností

Na riešenie lineárnych nerovností sa až na jednu používajú všetky techniky naučené na riešenie lineárnych rovníc. Na obidvoch stranách nerovnosti môžete pridať alebo odčítať akékoľvek reálne číslo a obe strany môžete násobiť alebo vydeliť ľubovoľnou pozitívne reálne číslo na vytvorenie ekvivalentných nerovností. Napríklad,

-5 color {Cerulean} {- 7} & color {Cerulean} {Odčítať : 7 : od : both : sides.} 3 &> - 12 quad color {Cerulean} { začiarknutie} & color {Cerulean} {True} 10 &> - 5 frac {10} { color {Cerulean} {5}} &> frac {-5} { color {Cerulean} {5}} & color {Cerulean} {Rozdeliť : both : sides : by : 5.} 2 &> - 1 quad color {Cerulean} { checkmark} & color {Cerulean} {True} end {zarovnané} )

Výsledkom odpočítania (7 ) z každej strany a vydelenia každej strany znakom (+ 5 ) je ekvivalentná nerovnosť, ktorá je pravdivá.

Príklad ( PageIndex {2} )

Vyriešte a nakreslite graf riešení:

(3x + 7 <16 ).

Riešenie:

( begin {aligned} 3x + 7 & <16 3x + 7 color {Cerulean} {- 7} & <16 color {Cerulean} {- 7} 3x & <9 frac {3x} { color {Cerulean} {3}} & < frac {9} { color {Cerulean} {3}} x & <3 end {zarovnané} )

Obrázok ( PageIndex {1} )

Je užitočné venovať minútu a zvoliť niekoľko hodnôt do a z množiny riešení, dosadiť ich do pôvodnej nerovnosti a potom overiť výsledky. Ako je uvedené, mali by ste očakávať, že (x = 0 ) vyrieši pôvodnú nerovnosť, ale (x = 5 ) by to nemal urobiť.

( begin {array} {c | c} { podčiarknutie {Check : x = 0}} & { podčiarknutie {Check : x = 5}} { begin {zarovnané} 3 ( color { OliveGreen} {0} color {black} {) + 7} & <16 7 & <16 quad color {Cerulean} { checkmark} end {aligned}} & { start {aligned} 3 ( color {OliveGreen} {5} color {black} {) + 7} & <16 15 + 7 & <16 22 & <16 quad color {red} {x} end {aligned}} end {pole} )

Kontrola týmto spôsobom dáva dobrý signál o tom, že nerovnosť je vyriešená správne. To sa dá psychicky.

Odpoveď:

Intervalová notácia: ((- - ∞, 3) )

Pri práci s lineárnymi nerovnosťami platí iné pravidlo pri vynásobení alebo vydelení záporným číslom. Na ilustráciu problému zvážte pravdivé tvrdenie (10> −5 ) a obe strany vydelte (- 5 ).

frac {-5} { color {Cerulean} {- 5}} & color {Cerulean} {Rozdeliť : both : sides : by : - 5.} -2 & color {red} { >} color {black} {1} quad color {red} {x} & color {Cerulean} {False} end {aligned} )

Výsledkom delenia na (- 5 ) je nepravdivé tvrdenie. Aby sa zachovalo pravdivé tvrdenie, musí sa nerovnosť zvrátiť.

( begin {aligned} 10 & color {OliveGreen} {>} color {black} {- 5} frac {10} { color {Cerulean} {- 5}} & < frac {-5 } { color {Cerulean} {- 5}} & color {Cerulean} {Reverse : the : inequality.} -2 & color {OliveGreen} {<} color {black} {1} quad color {Cerulean} { začiarknutie} & color {Cerulean} {True} end {zarovnané} )

Rovnaký problém nastáva pri vynásobení záporným číslom. To vedie k nasledujúcemu novému pravidlu: pri vynásobení alebo vydelení záporným číslom zvrátiť nerovnosť. Je ľahké to zabudnúť, takže buďte zvlášť opatrní a sledujte negatívne koeficienty.

Všeobecne, vzhľadom na algebraické výrazy (A ) a (B ), kde (c ) je kladné nenulové reálne číslo, máme nasledujúce vlastnosti nerovností:

( begin {array} {ll} { textbf {Doplňujúca vlastnosť nerovností:}} & { text {If} A } color {Cerulean} {- c} color {black} {B}} { textbf {Vlastnosť rozdelenia nerovností:}} & { text {If} A } color {black} { frac {B} { color {Cerulean} {- c}}}} end {array} )

Tieto vlastnosti používame na získanie ekvivalentnej nerovnosti, jednej s rovnakou množinou riešení, kde je premenná izolovaná. Proces je podobný riešeniu lineárnych rovníc.

Príklad ( PageIndex {3} )

Vyriešiť:

(- 2x + 1≥21 ).

Riešenie:

Obrázok ( PageIndex {2} )

Odpoveď:

Intervalová notácia: ((- - ∞, −10] )

Príklad ( PageIndex {4} )

Vyriešiť:

(- 7 (2x + 1) <1 ).

Riešenie:

( begin {aligned} -7 (2x + 1) & <1 & & color {Cerulean} {Distribute.} -14x-7 & <1 -14x-7 color {Cerulean} {+ 7 } & <1 color {Cerulean} {+ 7} 14x & <8 frac {-14x} { color {Cerulean} {- 14}} & color {OliveGreen} {>} color {black } { frac {8} { color {Cerulean} {- 14}}} & & color {Cerulean} {Reverse : the : inequality.} x &> - color {black} { frac { 8 color {Cerulean} { div 2}} {14 color {Cerulean} { div 2}}} & & color {Cerulean} {Zmenšiť.} x &> - frac {4} {7} end {zarovnané} )

Obrázok ( PageIndex {3} )

Odpoveď:

Intervalová notácia: ((- frac {4} {7}, ∞) )

Príklad ( PageIndex {5} )

Vyriešiť:

(5x − 3 (2x − 1) ≥2 (x − 3) ).

Riešenie:

Obrázok ( PageIndex {4} )

Odpoveď:

Intervalová notácia: ((- - ∞, 3] )

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vyriešiť:

(3 - 5 (x − 1) ≤28 ).

Odpoveď

([−4, ∞))

Zložené nerovnosti

Nasleduje niekoľko príkladov zložených lineárnych nerovností:

(- 3 <2x + 5 <17 )

(- 1 leq frac {1} {2} x-3 <1 )

(3x + 1 <10 quad alebo quad 2x-1 geq 11 )

Tieto zložené nerovnosti sú vlastne dve nerovnosti v jednom výroku spojené slovom „a“ alebo slovom „alebo“. Napríklad,

(- 3 <2x + 5 <17 )

je zložená nerovnosť, pretože sa dá rozložiť nasledovne:

(- 3 <2x + 5 quad text {a} quad 2x + 5 <17 )

Vyriešte každú nerovnosť jednotlivo a priesečník dvoch množín riešení vyrieši pôvodnú zloženú nerovnosť. Aj keď táto metóda funguje, existuje aj iná metóda, ktorá si zvyčajne vyžaduje menej krokov. Použite vlastnosti tejto časti na všetky tri časti zloženej nerovnosti s cieľom izolovanie premennej v strede výroku na určenie hraníc množiny riešení.

Príklad ( PageIndex {6} )

Vyriešiť:

(- 3 <2x + 5 <17 ).

Riešenie:

( begin {array} {c} {-3 <2x + 5 <17} {- 3 color {Cerulean} {- 5} color {black} {<2x + 5} color {Cerulean} {-5} color {black} {<17} color {Cerulean} {- 5}} {- 8 <2x <12} { frac {-8} { color {Cerulean} {2 }} color {black} {< frac {2x} { color {Cerulean} {2}} < frac {12} { color {Cerulean} {2}}}} {- 4

Obrázok ( PageIndex {5} )

Odpoveď:

Intervalová notácia: ((- - 4, 6) )

Príklad ( PageIndex {7} )

Vyriešiť:

(- 1≤ frac {1} {2} x − 3 <1 ).

Riešenie:

( begin {array} {c} {- 1 leq frac {1} {2} x-3 <1} {- 1 color {Cerulean} {+ 3} color {black} { leq frac {1} {2} x-3} color {Cerulean} {+ 3} color {black} {<1} color {Cerulean} {+ 3}} {2 leq frac { 1} {2} x <4} { color {Cerulean} {2} color {black} { cdot 2 leq} color {Cerulean} {2} color {black} { cdot frac {1} {2} x <} color {Cerulean} {2} color {black} { cdot 4}} {4 leq x <8} end {array} )

Obrázok ( PageIndex {6} )

Odpoveď:

Intervalová notácia: ([4, 8) )

Je dôležité si uvedomiť, že pri vynásobení alebo vydelení všetkých troch častí zloženej nerovnosti záporným číslom musíte všetky nerovnosti vo výroku obrátiť. Napríklad,

( begin {array} {c} {- 10 <-2x <20} { frac {-10} { color {Cerulean} {- 2}} color {OliveGreen} {>} color { čierna} { frac {-2x} { color {Cerulean} {- 2}}} color {OliveGreen} {>} color {black} { frac {20} { color {Cerulean} {- 2} }}} {5> x> -10} end {pole} )

Odpoveď vyššie môže byť napísaná v ekvivalentnej podobe, kde menšie čísla ležia vľavo a väčšie čísla vpravo, pretože sa vyskytujú na číselnom rade.

(- 10

Pomocou intervalového zápisu napíšeme ((- 10, 5) ).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vyriešiť:

(- 8≤2 (-3x + 5) <34 ).

Odpoveď

((−4, 3])

Pre zložené nerovnosti so slovom „alebo“ vy musieť pracujte zvlášť na oboch nerovnostiach a potom zvážte spojenie množiny riešení. Hodnoty v tomto zväzku riešia buď nerovnosť.

Príklad ( PageIndex {8} )

Vyriešiť:

(3x + 1 <10 ) alebo (2x − 1≥11 ).

Riešenie:

Vyriešte každú nerovnosť a vytvorte spojenie kombináciou množín riešení.

( begin {array} {ccc} {3x + 1 <10} & {} & {2x-1 geq 11} {3x + 1 color {Cerulean} {- 1} color {black} { <10} color {Cerulean} {- 1}} a {} & {2x-1 color {Cerulean} {+ 1} color {black} { geq 11} color {Cerulean} {+ 1}} {3x <9} & { text {or}} a {2x geq 12} { frac {3x} { color {Cerulean} {3}} color {black} {< frac { 9} { color {Cerulean} {3}}}} a {} & { frac {2x} { color {Cerulean} {2}} color {black} { geq frac {12} { color {Cerulean} {2}}}} {x <3} & {} & {x geq 6} end {array} )

Obrázok ( PageIndex {7} )

Odpoveď:

Intervalový zápis: ((- - ∞, 3) ∪ [6, ∞) )

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Vyriešiť:

(4x − 1 <-5 ) alebo (4x-1> 5 ).

Odpoveď

((- - ∞, −1) ∪ ( frac {3} {2}, ∞) )

Aplikácie lineárnych nerovností

Niektoré kľúčové slová a frázy, ktoré označujú nerovnosti, sú zhrnuté nižšie:

Kľúčové frázyPreklad
Číslo je najmenej (5).

(x geq 5 )

Číslo je (5 ) alebo inkluzívnejšie.
Číslo je najviac (3).

(x leq 3 )

Číslo je (3 ) alebo menej inkluzívne.
Číslo je prísne menej ako (4).

(x <4 )

Číslo je menej ako (4), nevýlučný.
Číslo je väčší než (7).

(x> 7 )

Číslo je viac ako (7), nevýlučný.
Číslo je medzi (2 ) a (10 ​​). (2
Číslo je najmenej (5 ) a najviac (15 ).

(5 leq x leq 15 )

Číslo môže rozsah od (5 ) do (15 ).
Tabuľka ( PageIndex {1} )

Tak ako všetky aplikácie, aj tu si pozorne prečítajte problém niekoľkokrát a vyhľadajte kľúčové slová a frázy. Identifikujte neznáme a priraďte premenné. Ďalej preložte znenie do matematickej nerovnosti. Na záver použite vlastnosti, ktoré ste sa naučili, na riešenie nerovností a riešenie vyjadrite graficky alebo v intervalovom zápise.

Príklad ( PageIndex {9} )

Preložiť:

Päť menej ako dvojnásobok čísla je najviac (25 ).

Riešenie:

Najskôr vyberte premennú pre neznáme číslo a identifikujte kľúčové slová a frázy.

( begin {array} {cccc} { color {Cerulean} {dvakrát : a : number}} & { color {Cerulean} {päť : menej : than}} & { color {Cerulean} {is : at : most}} & {} { overbrace {: : 2n : :}} & { overbrace {: : - : : 5 : :} } & { overbrace {: : leq : :}} & {25} end {pole} )

Odpoveď:

(2n −5≤25 ).

Kľúčová fráza „je najviac“ naznačuje, že množstvo má maximálnu hodnotu (25 ) alebo menšiu.

Príklad ( PageIndex {10} )

Teplota v púšti sa môže pohybovať od (10 ​​° C ) do (45 ° C) za jednu (24 ) - hodinovú periódu. Nájdite ekvivalentný rozsah v stupňoch Fahrenheita (F ), za predpokladu (C = frac {5} {9} (F − 32) ).

Riešenie:

Nastavte zloženú nerovnosť, pri ktorej je teplota v stupňoch Celzia medzi (10 ​​° C ) a (45 ° C ). Potom do nerovnosti dosaďte výraz ekvivalentný teplote Celzia a vyriešte (F ).

( begin {array} {c} {10 ° C leq color {OliveGreen} {temperature : in : Celsius} color {black} { leq 45 ° C}} {10 leq color {OliveGreen} { frac {5} {9} (F-32)} color {black} { leq 45}} { color {Cerulean} { frac {9} {5} cdot} color {black} {10 leq} color {Cerulean} { frac {9} {5} cdot} color {black} { frac {5} {9} (F-32) leq} color {Cerulean} { frac {9} {5} cdot} color {black} {45}} {18 leq F-32 leq 81} {18 color {Cerulean} {+ 32 } color {black} { leq F-32} color {Cerulean} {+ 32} color {black} { leq 81} color {Cerulean} {+ 32}} {50 leq F leq 113} end {array} )

Odpoveď:

Ekvivalentný rozsah stupňov Fahrenheita je od (50 ° F ) do (113 ° F ).

Príklad ( PageIndex {11} )

Na prvých štyroch stretnutiach stretnutia gymnasta bodovala (7,5; 8,2; 8,5 ) a (9,0 ). Čo musí na piatom podujatí skórovať, aby dosiahla priemerná hodnota najmenej (8,5 )?

Riešenie:

Priemer musí byť najmenej (8,5 ); to znamená, že priemer musí byť väčší alebo rovný (8,5 ).

( begin {aligned} average & geq 5 frac {7.5 + 8.2 + 8.5 + 9.0 + x} {5} & geq 8.5 frac {33.2 + x} {5} & geq 8.5 color {Cerulean} {5 cdot} color {black} { frac {33.2 + x} {5}} & geq color {Cerulean} {5 cdot} color {black} {8.5} & & color {Cerulean} {Vynásobiť : both : sides : by : 5.} 33,2 + x & geq 42,5 33,2 + x color {Cerulean} {- 33,2} & geq 42,5 farba {Cerulean} {- 33,2} x & geq 9.3 end {zarovnané} )

Odpoveď:

Na piatom turnaji musí skóre najmenej (9,3 ).

Kľúčové jedlá

  • Nerovnosti majú zvyčajne nekonečne veľa riešení. Riešenia sú prezentované graficky na číselnej čiare alebo pomocou intervalového zápisu alebo oboch.
  • Všetky pravidlá pre riešenie lineárnych nerovností sú až na jedno rovnaké ako pre riešenie lineárnych rovníc. Ak nerovnosť vydelíte alebo vynásobíte záporným číslom, nerovnosť obráťte, aby ste získali ekvivalentnú nerovnosť.
  • Zložené nerovnice obsahujúce slovo „alebo“ si vyžadujú, aby sme každú nerovnosť vyriešili a vytvorili spojenie každej množiny riešení. Toto sú hodnoty, ktoré riešia aspoň jednu z daných nerovností.
  • Zložené nerovnice obsahujúce slovo „a“ vyžadujú prienik množín riešení pre každú nerovnosť. Toto sú hodnoty, ktoré riešia obe alebo všetky dané nerovnosti.
  • Všeobecné pokyny na riešenie slovných úloh platia pre aplikácie, ktoré zahŕňajú nerovnosti. Uvedomte si nový zoznam kľúčových slov a fráz, ktoré naznačujú matematické usporiadanie zahŕňajúce nerovnosti.

Cvičenie ( PageIndex {4} ) Hľadanie riešení

Určte, či je dané číslo riešením danej nerovnosti.

  1. (2x − 3 <6; x = -1 )
  2. (- 3x + 1 leq 0; x = -2 )
  3. (5x-20> 0; x = 3 )
  4. ( frac {1} {2} x + 1> - frac {3} {4}; x = - frac {1} {4} )
  5. (- 5 <7x + 1 <9; x = 0 )
  6. (- 20≤ − 3x − 5≤ − 10; x = 5 )
  7. (x <-3 text {alebo} x> 3; x = −10 )
  8. (x <0 text {alebo} x≥1; x = frac {1} {2} )
  9. (2x + 1 <−3 text {alebo} 2x + 1≥5; x = 2 )
  10. (4x − 1 <−17 text {alebo} 3x + 2≥6; x = 1 )
Odpoveď

1. Áno

3. Nie

5. Áno

7. Áno

9. Áno

Cvičenie ( PageIndex {5} ) Riešenie lineárnych nerovností

Vyriešte a nakreslite zostavu riešenia. Okrem toho predstavte riešenie nastavené v intervalovom zápise.

  1. (x + 5> 1 )
  2. (x − 3 <−4 )
  3. (6x≤24 )
  4. (4x> −8 )
  5. (- 7x≤14 )
  6. (- 2x + 5> 9 )
  7. (7x − 3≤25 )
  8. (12x + 7> −53 )
  9. (- 2x + 5 <-7 )
  10. (- 2x + 4 leq 4 )
  11. (- 15x + 10> 20 )
  12. (- 8x + 1≤29 )
  13. ( frac {1} {7} x − 3 <1 )
  14. ( frac {1} {2} x− frac {1} {3}> frac {2} {3} )
  15. ( frac {5} {3} x + frac {1} {2} ≤ frac {1} {3} )
  16. (- frac {3} {4} x− frac {1} {2} ≥ frac {5} {2} )
  17. (- frac {1} {5} x + frac {3} {4} <- frac {1} {5} )
  18. (- frac {2} {3} x + 1 <-3 )
  19. (2 (-3x + 1) <14 )
  20. (- 7 (x-2) +1 <15 )
  21. (9x-3 (3x + 4)> - 12 )
  22. (12x −4 (3x + 5) ≤ − 2 )
  23. (5-3 (2x − 6) ≥ − 1 )
  24. (9x− (10x −12) <22 )
  25. (2 (x-7) -3 (x + 3) leq -3 )
  26. (5x-3> 3x + 7 )
  27. (4 (3x − 2) ≤ − 2 (x + 3) +12 )
  28. (5 (x − 3) ≥15x− (10x + 4) )
  29. (12x + 1> 2 (6x − 3) −5 )
  30. (3 (x − 2) +5> 2 (3x + 5) +2 )
  31. (- 4 (3x − 1) + 2x≤2 (4x − 1) -3)
  32. (- 2 (x − 2) + 14x <7 (2x + 1) )
Odpoveď

1. (x> −4; (−4, ∞) )

Obrázok ( PageIndex {8} )

3. (x≤4; (−∞, 4] )

Obrázok ( PageIndex {9} )

5. (x≥ − 2; [−2, ∞) )

Obrázok ( PageIndex {10} )

7. (x≤4; (−∞, 4] )

Obrázok ( PageIndex {11} )

9. (x> 6; (6, ∞) )

Obrázok ( PageIndex {12} )

11. (x <- frac {2} {3}; (−∞, - frac {2} {3}) )

Obrázok ( PageIndex {13} )

13. (x <28; (−∞, 28) )

Obrázok ( PageIndex {14} )

15. (x≤− frac {1} {10}; (−∞, - frac {1} {10}] )

Obrázok ( PageIndex {15} )

17. (x> frac {19} {4}; ( frac {19} {4}, ∞) )

Obrázok ( PageIndex {16} )

19. (x> −2; (−2, ∞) )

Obrázok ( PageIndex {17} )

21. (∅)

Obrázok ( PageIndex {18} )

23. (x≤4; (−∞, 4] )

Obrázok ( PageIndex {19} )

25. (x≥ − 20; [−20, ∞) )

Obrázok ( PageIndex {20} )

27. (x≤1; (−∞, 1] )

Obrázok ( PageIndex {21} )

29. (R )

Obrázok ( PageIndex {22} )

31. (x≥ frac {1} {2}; [ frac {1} {2}, ∞) )

Obrázok ( PageIndex {23} )

Cvičenie ( PageIndex {6} ) Riešenie lineárnych nerovností

Nastaviť algebraickú nerovnosť a potom ju vyriešiť.

  1. Súčet trojnásobku čísla a (4 ) je väčší ako záporný (8 ).
  2. Súčet (7 ) a trojnásobku čísla je menší alebo rovný (1 ).
  3. Keď sa číslo odpočíta od (10 ​​), výsledok je najviac (12 ).
  4. Keď sa (5 ) -krát odčíta číslo od (6 ), bude výsledok najmenej (26 ).
  5. Ak sa k trojnásobku čísla pridá päť, je výsledok menej ako dvadsať.
  6. Ak sa tri odčíta od dvojnásobku čísla, potom je výsledok väčší alebo rovný deviatim.
  7. Bill zarába $ (12,00 ) za deň plus $ (0,25 ) za každú osobu, ktorú dostane do registrácie na hlasovanie. Koľko ľudí musí zaregistrovať, aby za deň zarobil aspoň $ (50,00 )?
  8. Keďže členstvo v golfovom klube stojí $ 100 (100 ) mesačne, každé kolo golfu stojí iba $ (25,00 ). Koľko golfových kôl môže člen zahrať, ak si želá udržať svoje náklady najviac $ 250 (250) mesačne?
  9. Joe získal na svojich prvých troch skúškach z algebry skóre (72, 85 ) a (75 ). Čo musí pri štvrtej skúške dosiahnuť priemerný priemer (80 )?
  10. Maurice získal za prvé tri kvízy (4, 7 ) a (9 ) bodov z (10 ​​). Čo musí na štvrtom kvíze skórovať, aby dosiahol priemer aspoň (7 )?
  11. Počítač je nastavený na vypnutie, ak teplota presiahne (40 ° C ). Dajte ekvivalentné vyhlásenie pomocou stupňov Fahrenheita. (Pomôcka: (C = frac {5} {9} (F − 32) ).)
  12. Je zaručené, že určitá značka make-upu nebude fungovať, ak je teplota nižšia ako (35 ° C ). Dajte ekvivalentné vyhlásenie pomocou stupňov Fahrenheita.
Odpoveď

1. (n> −4 )

3. (n ≥ − 2 )

5. (n <5 )

7. Bill musí zaregistrovať najmenej (152 ) ľudí.

9. Joe musí na štvrtej skúške zarobiť aspoň (88 ).

11. Počítač sa vypne, keď teplota presiahne (104 ) ° F.

Cvičenie ( PageIndex {7} ) Zložené nerovnosti

Vyriešte a vyriešte graf množiny riešení. Okrem toho predstavte riešenie nastavené v intervalovom zápise.

  1. (- 1
  2. (- 10≤5x <20 )
  3. (- 2≤4x + 6 <10 )
  4. (- 10≤3x − 1≤ − 4 )
  5. (- 15 <3x − 6≤6 )
  6. (- 22 <5x + 3≤3 )
  7. (- 1≤ frac {1} {2} x − 5≤1 )
  8. (1 <8x + 5 <5 )
  9. (- frac {1} {5} ≤ frac {2} {3} x− frac {1} {5} < frac {4} {5} )
  10. (- frac {1} {2} < frac {3} {4} x− frac {2} {3} ≤ frac {1} {2} )
  11. (- 3≤3 (x − 1) ≤3 )
  12. (- 12 <6 (x − 3) ≤0 )
  13. (4 <-2 (x + 3) <6 )
  14. (- 5≤5 (−x + 1) <15 )
  15. (- frac {3} {2} ≤ frac {1} {4} ( frac {1} {2} x − 1) + frac {3} {4} < frac {3} {2 } )
  16. (- 4≤− frac {1} {3} (3x + 12) <4 )
  17. (- 2≤12-2 (x − 3) ≤20 )
  18. (- 5 <2 (x-1) -3 (x + 2) <5 )
  19. (3x leq -15 text {alebo} 2x> 6 )
  20. (4x − 1 <-17 text {alebo} 3x + 2 geq 8 )
  21. (- 2x + 1 <-1 text {alebo} -2x + 1> 1 )
  22. (7x + 4≤4 text {alebo} 6x − 5≥1 )
  23. (3x − 7 <14 text {alebo} 2x + 3> 7 )
  24. (- 3x + 1 <-5 text {alebo} -4x-3> −23 )
  25. ( frac {1} {2} x − 2 <-1 text {alebo} frac {1} {2} x-2> 1 )
  26. ( frac {1} {3} x + 3≥ − 2 text {alebo} frac {1} {3} x + 3≤2 )
  27. (3x + 7≤7 text {alebo} −5x + 6> 6 )
  28. (- 10x − 3≤17 text {alebo} 20x − 6> −26 )
  29. (2x − 10 <-2 text {alebo} -3x + 4> −5 )
  30. (5x + 3 <4 text {alebo} 5-10x> 4 )
  31. (3x <18 text {a} 5x> -20 )
  32. (x + 7 leq 5 text {a} x − 3≥ − 10 )
  33. (2x − 1 <5 text {a} 3x-1 <10 )
  34. (5x + 2 <-13 text {a} 3x + 4> 13 )
Odpoveď

1. (- 4

Obrázok ( PageIndex {24} )

3. (- 2≤x <1; [−2, 1) )

Obrázok ( PageIndex {25} )

5. (- 3

Obrázok ( PageIndex {26} )

7. (8≤x≤12; [8, 12] )

Obrázok ( PageIndex {27} )

9. (0≤x < frac {3} {2}; [0, frac {3} {2}) )

Obrázok ( PageIndex {28} )

11. (0≤x≤2; [0, 2] )

Obrázok ( PageIndex {29} )

13. (- 6

Obrázok ( PageIndex {30} )

15. (- 16≤x <8; [−16, 8) )

Obrázok ( PageIndex {31} )

17. (- 1≤x≤10; [-1,10] )

Obrázok ( PageIndex {32} )

19. (x≤ −5 text {alebo} x> 3; (−∞, −5] ∪ (3, ∞) )

Obrázok ( PageIndex {33} )

21. (x> 1 text {alebo} x <0; (−∞, 0) ∪ (1, ∞) )

Obrázok ( PageIndex {34} )

23. (R )

Obrázok ( PageIndex {35} )

25. (x <2 text {alebo} x> 6; (−∞, 2) ∪ (6, ∞) )

Obrázok ( PageIndex {36} )

27. (x≤0; (−∞, 0] )

Obrázok ( PageIndex {37} )

29. (x <4; (−∞, 4) )

Obrázok ( PageIndex {38} )

31. (- 4

Obrázok ( PageIndex {39} )

33. (x <3; (−∞, 3) )

Obrázok ( PageIndex {40} )

Cvičenie ( PageIndex {8} ) Zložené nerovnosti

Nastaviť zloženú nerovnosť pre nasledujúce a potom vyriešiť.

  1. Päť viac ako dvojnásobok určitého čísla je medzi (15 ) a (25 ).
  2. Štyri odčítané od trojnásobku určitého čísla sú medzi (- 4 ) a (14 ).
  3. Clint si želá zarobiť B, ktoré je najmenej (80 ), ale menej ako (90 ). Aký rozsah musí dosiahnuť pri štvrtej skúške, ak boli prví traja (65, 75 ) a (90 )?
  4. Určitá nemrznúca zmes je účinná pre teplotný rozsah od (- 35 ° C) do (120 ° C). Nájdite ekvivalentný rozsah v stupňoch Fahrenheita.
  5. Priemerná teplota v Londýne sa pohybuje od (23 ° C ) v lete do (14 ° C ) v zime. Nájdite ekvivalentný rozsah v stupňoch Fahrenheita.
  6. Ak základňa trojuholníka meria (5 ) palcov, potom v akom rozsahu musí byť výška pre oblasť, ktorá má byť medzi (10 ​​) štvorcovými palcami a (20 ) štvorcovými palcami?
  7. Obdĺžnik má dĺžku (7 ) palcov. Nájdite všetky možné šírky, ak má mať plocha plochu najmenej 14 štvorcových palcov a najviac 28 štvorcových palcov.
  8. Obdĺžnik má šírku (3 ) centimetrov. Nájdite všetky možné dĺžky, ak musí byť obvod najmenej (12 ) centimetrov a najviac (26 ) centimetrov.
  9. Obvod štvorca musí byť medzi stopami (40) a 200 stopami. Nájdite dĺžku všetkých možných strán, ktoré spĺňajú túto podmienku.
  10. Ak je uhol dvakrát medzi (180 ) stupňami a (270 ) stupňami, potom aké sú hranice pôvodného uhla?
  11. Ak je trikrát uhol medzi (270 ) stupňami a (360 ) stupňami, potom aké sú hranice pôvodného uhla?
Odpoveď

1. (5

3. Clint musí získať skóre v rozmedzí od (90 ) do (100 ).

5. Priemerná teplota v Londýne sa pohybuje od (57,2 ° F ) do (73,4 ° F ).

7. Šírka musí byť najmenej (2 ) palcov a najviac (4 ) palcov.

9. Strany musia byť medzi (10 ​​) stopami a (50 ) stopami.

11. Uhol je medzi (90 ) stupňami a (120 ) stupňami.

Témy diskusného fóra Cvičenie ( PageIndex {9} )

  1. Preskúmajte a prediskutujte použitie notácie set-buildera s križovatkami a odbormi.
  2. Môžeme spojiť logické „alebo“ do jedného výroku, ako to robíme pre logické „a“?
Odpoveď

2. Odpovede sa môžu líšiť


ML Aggarwal trieda 8 lineárne rovnice a nerovnosti ICSE matematika

Lineárne rovnice ML Aggarwal triedy 8 a nerovnosti v jednej premennej ICSE Mathematics Solutions Kapitola-12. Poskytujeme podrobné riešenia cvičenia / lekcie-12 Lineárne rovnice a nerovnosti v jednej premennej 8. trieda ML Aggarwal Matematika ICSE.

Naše riešenia obsahujú všetky typy otázok s Exe-12.1, Exe-12.2, Exe-12.3 Typ cieľa Otázky (vrátane Mental Maths, Otázky s viacerými možnosťami, Hodnotové otázky, HORKÉ), a Skontroluj svoj progres rozvíjať zručnosť a sebadôveru. Navštívte oficiálnu webovú stránku CISCE pre ďalšie informácie o matematike ICSE Board Class-8 Mathematics.


Zložené nerovnosti

Nasleduje niekoľko príkladov zložených lineárnych nerovností:

4 x + 5 ≤ - 15 alebo 6 x - 11 a viac ako 7

Tieto zložené nerovnosti Dve alebo viac nerovností v jednom výroku spojených slovom „a“ alebo slovom „alebo“. sú vlastne dve nerovnosti v jednom výroku spojené slovom a alebo slovom alebo. Napríklad - 13 & lt 3 x - 7 & lt 17 je zložená nerovnosť, pretože sa dá rozložiť nasledovne: - 13 & lt 3 x - 7 a 3 x - 7 & lt 17

Každú nerovnosť môžeme vyriešiť individuálne, priesečník dvoch množín riešení vyrieši pôvodnú zloženú nerovnosť. Aj keď táto metóda funguje, existuje aj iná metóda, ktorá si zvyčajne vyžaduje menej krokov. Použite vlastnosti tejto časti na všetky tri časti zloženej nerovnosti s cieľom izolovanie premennej v strede výroku na určenie hraníc množiny riešení.

Príklad 6

Vyriešte a grafujte množinu riešení: - 13 & lt 3 x - 7 & lt 17.

- 13 & lt 3 x - 7 & lt 17 - 13 + 7 & lt 3 x - 7 + 7 & lt 17 + 7 - 6 & lt 3 x & lt 24 - 6 3 & lt 3 x 3 & lt 24 3 - 2 & lt x & lt 8

Odpoveď: Intervalová notácia: (- 2, 8)

Príklad 7

Vyriešte a zakreslite množinu riešení: 5 6 ≤ 1 3 (1 2 x + 4) & lt 2.

5 6 ≤ 1 3 (1 2 x + 4) & lt 2 5 6 ≤ 1 6 x + 4 3 & lt 2 6 ⋅ (5 6) ≤ 6 ⋅ (1 6 x + 4 3) & lt 6 ⋅ (2) 5 ≤ x + 8 & lt 12 5 - 8 ≤ x + 8 - 8 & lt 12 - 8 - 3 ≤ x & lt 4

Odpoveď: Intervalová notácia [- 3, 4)

Je dôležité si uvedomiť, že pri vynásobení alebo vydelení všetkých troch častí zloženej nerovnosti záporným číslom musíte všetky nerovnosti vo výroku obrátiť. Napríklad: - 10 & lt - 2 x & lt 20 - 10 - 2 & gt - 2 x - 2 & gt 20 - 2 5 & gt x & gt - 10 Vyššie uvedená odpoveď môže byť napísaná v ekvivalentnom tvare, kde menšie čísla ležia vľavo a väčšie čísla ležia vpravo, pretože sa zobrazujú na číselnom rade. - 10 & lt x & lt 5 Pomocou intervalového zápisu napíšeme: (- 10, 5).

Skúste to! Vyriešte a zakreslite množinu riešení: - 3 ≤ - 3 (2 x - 3) & lt 15.

Pre zložené nerovnosti so slovom „alebo„Obidve nerovnosti pracujete osobitne a potom zvážite spojenie množiny riešení. Hodnoty v tomto zväzku riešia buď nerovnosť.

Príklad 8

Vyriešte a nakreslite zostavu riešenia: 4 x + 5 ≤ - 15 alebo 6 x - 11 & gt 7.

Vyriešte každú nerovnosť a vytvorte spojenie kombináciou množín riešení.

4 x + 5 ≤ - 15 4 x ≤ - 20 x ≤ - 5

Odpoveď: Intervalová notácia (- ∞, - 5] ∪ (3, ∞)

Skúste to! Vyriešte a zakreslite množinu riešení: 5 (x - 3) & lt - 20 o r 2 (5 - 3 x) & lt 1.


3 & lt 5 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 3 je menej ako 5 je pravdivé tvrdenie.

** Viem, že svoju nerovnosť môžem vyrovnať vynásobením alebo vydelením každého výrazu rovnakým počtom, takže. vynásobme každý výraz číslom -1.

-3 & lt -5 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Teraz máme -3 je menej ako -5. & # Xa0 Je to pravdivé tvrdenie?

Nie, -3 je väčšie ako -5, takže aby to bolo pravdivé tvrdenie, musíme obrátiť znamienko.

Toto funguje s každým pravdivým výrokom, pokiaľ ich vynásobíte alebo vydelíte záporným číslom. Len do toho, skúste inú. Napíšte pravdivé tvrdenie a potom ho vydelte číslom -2.

Ok. pozrime sa na pár príkladov.

Náš ďalší príklad sa vracia k spôsobu riešenia rovníc a / alebo nerovností s premennými na oboch stranách.


Ako riešite lineárne nerovnosti?

Riešenie viacstupňovej lineárnej nerovnosti je rovnaké ako riešenie viacstupňových lineárnych rovníc, ktoré sa začínajú izolovaním premennej od konštánt. Pokiaľ ide o pravidlá nerovností, pri riešení viacstupňových nerovností je dôležité, aby sme pri násobení alebo delení so zápornými číslami nezabudli obrátiť znak nerovnosti.

  • Krok 1: Zjednodušte nerovnosť na oboch stranách - na LHS aj RHS podľa pravidiel nerovnosti.
  • Krok 2: Ak je nerovnosť po získaní hodnoty prísna nerovnosť, riešenie pre x je menšie alebo väčšie ako hodnota získaná podľa definície v otázke. A ak nerovnosť nie je striktnou nerovnosťou, potom riešenie pre x je menšie alebo rovnaké alebo väčšie alebo väčšie ako hodnota získaná podľa definície v otázke.

Teraz skúsme vyriešiť lineárne nerovnosti.

Pri riešení tejto lineárnej nerovnosti by sme postupovali podľa nasledujúcich krokov:

Riešením tejto nerovnosti bude množina všetkých hodnôt x, pre ktoré je táto nerovnosť splnená, to znamená, že ľavá strana je väčšia ako pravá strana.

Riešenie lineárnych nerovností pomocou jednej premennej

Skúsme vyriešiť lineárne nerovnosti s jednou premennou pomocou konceptu, ktorý sme sa naučili. Uvažujme o nasledujúcom príklade.

-15 - 11 & gt 2x - 3x ⇒ - 26 & gt - x ⇒ x & gt 26


2.8: Lineárne nerovnosti (jedna premenná)

Keď pracujeme s nerovnosťami, môžeme s nimi zvyčajne zaobchádzať podobne, ale nie presne tak, ako s rovnosťami. Môžeme použiť prídavný majetok a vlastnosť násobenia aby nám ich pomohli vyriešiť. Jedinou výnimkou je, keď násobíme alebo vydelíme záporným číslom a pritom obrátime symbol nerovnosti.

Existujú tri spôsoby, ako reprezentovať riešenia nerovností: interval, graf a nerovnosť. Pretože obvykle existuje viac ako jedno riešenie nerovnosti, pri kontrole odpovede by ste mali skontrolovať konečný bod a jednu ďalšiu hodnotu na kontrolu smeru nerovnosti. Keď pracujeme s nerovnosťami, môžeme s nimi zvyčajne zaobchádzať podobne, ale nie presne tak, ako s rovnosťami.

Všeobecná poznámka: Vlastnosti nerovností

Tieto vlastnosti platia aj pre [latex] a le b [/ latex], [latex] a & gtb [/ latex] a [latex] a ge b [/ latex].

Nasledujúca tabuľka ilustruje, ako sa vlastnosť násobenia používa na nerovnosti, a ako násobenie záporom zvráti nerovnosť:

Začnite s Vynásobiť Záverečná nerovnosť
[latex] a gtb [/ latex] [latex] c [/ latex] [latex] ac & gtbc [/ latex]
[latex] 5 a gt3 [/ latex] [latex] 3 [/ latex] [latex] 15 a gt9 [/ latex]
[latex] a gtb [/ latex] [latex] -c [/ latex] [latex] -ac & lt-bc [/ latex]
[latex] 5 a gt3 [/ latex] [latex] -3 [/ latex] [latex] -15 a lt-9 [/ latex]

Nasledujúca tabuľka ilustruje, ako sa vlastnosť rozdelenia uplatňuje na nerovnosti a ako delenie záporom zvráti nerovnosť:

Začnite s Rozdeliť Záverečná nerovnosť
[latex] a gtb [/ latex] [latex] c [/ latex] [latex] displaystyle frac& gt frac[/ latex]
[latex] 4 a gt2 [/ latex] [latex] 2 [/ latex] [latex] displaystyle frac <4> <2> & gt frac <2> <2> [/ latex]
[latex] a gtb [/ latex] [latex] -c [/ latex] [latex] displaystyle - frac& lt- frac[/ latex]
[latex] 4 a gt2 [/ latex] [latex] -2 [/ latex] [latex] displaystyle - frac <4> <2> & lt- frac <2> <2> [/ latex]

V prvom príklade si ukážeme, ako aplikovať vlastnosti násobenia a delenia rovnosti na riešenie niektorých nerovností.

Príklad: Demonštrácia vlastnosti pridania

Ilustrujte vlastnosť sčítania pre nerovnosti riešením každej z nasledujúcich vecí:


2.8: Lineárne nerovnosti (jedna premenná)

Dva algebraické výrazy alebo reálne čísla súvisiace so symbolom ≤, ≥, & lt a> tvoria nerovnosť. Ak sú výrazy lineárne, potom sa nerovnosť nazýva lineárna nerovnosť. Napr .: 4 (x & # 8211 2) & lt 10, 10 & lt 45, x> = -3, atď.

  • Nerovná sa (≠)
  • Väčšie ako (>)
  • Menej ako (& lt)
  • Väčšie ako alebo rovnaké (≥)
  • Menej ako alebo rovnaké (≤)

Volá sa väčšie ako (>) a menšie ako (& lt) Prísne nerovnosti pretože znázorňujú, že počet je striktne menší alebo väčší ako počet ostatných.

Nazývajú sa väčšie alebo rovné (≥) a menšie alebo rovné (≤) Slack Nerovnosti alebo nepresné nerovnosti, ktoré znázorňujú, že hodnota je zahrnutá v riešení.

Vlastnosti lineárnej nerovnosti

  • Môžeme sčítať alebo odčítať reálne číslo z oboch strán nerovnosti
  • Obe strany nerovnosti môžeme vynásobiť alebo vydeliť kladným číslom
  • Ak vynásobíme alebo vydelíme obe strany nerovnosti záporným číslom, znamienko nerovnosti bude obrátené

Typy lineárnej nerovnosti

  • Lineárna nerovnosť v jednej premennej: Ak lineárna funkcia obsahuje jednu premennú, potom ide o lineárnu nerovnosť v jednej premennej. Napr .: 2x & # 8211 45> 7
  • Lineárna nerovnosť v dvoch premenných: Ak lineárna funkcia obsahuje dve premenné, potom ide o lineárnu nerovnosť v dvoch premenných. Napr .: 4x + 7y> 9

V tomto článku sa zameriame na lineárne nerovnosti v jednej premennej.

Pri riešení lineárnej nerovnosti v jednej premennej musíme postupovať podľa týchto krokov:

Krok 1: Oddeľte konštanty na jednej strane a premenné na druhej strane.

Krok 2: Zjednodušte obe strany tak, aby boli prevedené do rovnice v tvare mx> n alebo mx & lt n.

Krok 3: Vydeľte obe strany znakom m, ak je m záporné, obráťte znamienko nerovnosti.

Príklady problémov s lineárnou nerovnosťou v jednej premennej

Problém 1: Riešime pre x, ak x +4 ≥ 18

Úloha 2: Riešiť pre x, ak3x ≥ 21

= -3x ≥ 21

= x ≤ 21 / -3 (zmena znamienka je dôsledkom rozdelenia oboch strán záporným číslom)

= x ≤ −7

Problém 3: Vyriešte x, ak 5 & ​​# 8211 2x ≥ 19

5 & ​​# 8211 2x ≥ 19

= -2x ≥ 19 & # 8211 5

= -2x ≥ 14

= x ≤ 14 / -2 (zmena znamienka je dôsledkom vydelenia záporným číslom)

= x ≤ -7

Úloha 4: Vyriešte x, ak 7x + 4 & lt 5 (x + 2)

Graph of Linear Inequality in One Variable

As there is only one variable it will be represented on a number line. Steps for graphing a solution of a linear inequality on a number line:

Krok 1: Solve the inequality

Krok 2: Make a number line and plot the point on the number line

Krok 3: Locate the real no. found after solving the inequality. Use an open circle for Strict Inequality(< and >) and a closed circle for Slack Inequality(≤ and ≥)

Krok 4: In the final inequality if the sign is > or ≥ draw the line towards the positive axis or towards the negative axis if the sign is < or ≤

Sample Problems on Graphs

Problem 1: Solve the linear inequality (3a + 7)/2 ≥ a + 5, and represent the solution on the number line.

Problem 2: Solve the linear inequality −13 < 3x – 7 < 17 and represent the solution on the number line.

Word Problems on Linear Inequality

Problem 1: In the first four papers each of 100 marks, Devesh got 97, 75, 75, 84 marks. If he wants an average of greater than 80 marks and less than 85 marks, find the range of marks he should score in the fifth paper.

Let x be the marks in the fifth paper. According to the statement,

80 < (97 + 75 + 75 + 84 + x)/5 < 85

= 400 < 331 + x < 425

= 400 – 331 < x < 425 – 331

= 69 < x < 94

Therefore, Devesh needs to score greater than 69 and less than 94 to get his desired average.


Problem 2: Surya has two rods. The length of one rod is three meters longer than the other, each of the rods is shorter than 19m, and the sum of the two rods is longer than 23m. Find a possible range of length of the shorter rod.

Let the length of the shorter rod be x. Then the length of the other rod is x + 3.

In solving this kind of problem, when both the rod lengths are less than some number, we have to take the length of the longer rod to form inequality.

x + 3 < 19

x < 16

The sum of the length of the rods is more than 23,

x + x + 3 > 23

= 2x > 20

= x > 10

Thus, 10 < x < 16

Problem 3: Ola charges a Rs 20 flat rate in addition to Rs 4 per kilometer. Arnab has no more than Rs 100 to spend on a ride. How many kilometers can Arnab travel without exceeding his budget?

Let the no of kilometer traveled by Arnab be x.

According to the statement,

4x + 20 ≤ 100

= 4x ≤ 80

= x ≤ 20

Thus, Arnab can travel 20 kilometers or less before reaching his limit of Rs 100.


Practice Problems

Find all pairs of consecutive odd positive  integers, both of which are smaller than 18, such that their sum is more than 20.

Let "x" be the smaller of two consecutive odd positive integers.

Then "x + 2" will be the other odd consecutive integer.

Both x and (x + 2) are smaller than 18.

Sum of two consecutive odd positive integers > 20

Subtract by 2 on both sides

Divide by 2 on both sides

By combining the pairs x >9 and x < 16, we get

So, the required consecutive pair of odd integers are (11, 13) (13, 15) (15, 17).

Find all pairs of consecutive even positive integers, both of which are larger than 8, such that their sum is less than 25.

Let "x" be the smaller of two consecutive even positive integers.

Then "x + 2" is the other even integer

Divide by 2 on both sides

x > 8 (Both numbers are greater than 8)

By combining the above statements, we get

So, the required pair of even integer is (10, 12)

The cost and revenue functions of a product are given by C(x)  =  2x + 400 and R(x)  =  6x + 20 respectively, where x is the number of items produced by the manufacturer. How many items the manufacturer must sell to realize some profit ?

The formula for profit  =  Revenue - cost

Subtract 2x on both sides

Subtract by 20 on both sides

Divide by 4 on both sides

So, the manufacturer must sell more than 95 items to realize some profit.

In the first four papers each of 100 marks, John got 95, 72, 73, 83 marks.If he wants an average of greater than or equal to 75 marks and less than 80 marks, find the range of marks he should score in the fifth paper.

Suppose scores x marks in the fifth paper. |Then,

75 ≤ (95 + 72 + 73 + 83 + x)/5 < 80

Multiply by 5 through out the equation

Subtract 323 through out the equation

So, John must score between 52 and 77.

Okrem vecí uvedených v tejto časti, ak potrebujete ďalšie veci z matematiky, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


SOLVING LINEAR INEQUALITIES ONE VARIABLE WORKSHEET

We have already solved for x in the given inequality.

Because x is an integer, the solution set is  

(iii) When x is a natural number : 

Because x is a natural number, the solution set is  

Subtract 17 from each side.

Subtract 6x from each side. 

Subtract x from each side. 

Subtract 7 from each side. 

So, the solution set is  (- ∞, -2). 

Okrem vyššie uvedených vecí, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


Inequalities in Context

Making sense of the importance of the shaded region in an inequality can be a bit difficult without assigning any context to it. The following problem shows one instance where the shaded region helps us understand a range of possibilities.

Celia and Juniper want to donate some money to a local food pantry. To raise funds, they are selling necklaces and earrings that they have made themselves. Necklaces cost `$8` and earrings cost `$5` . What is the range of possible sales they could make in order to donate at least `$100` ?

The first step here is to create the inequality. Once we have it, we can solve it and then create a graph of it to better understand the importance of the bounded region. Let&rsquos begin by assigning the variable `x` to the number of necklaces sold and `y` to the number of earrings sold. (Remember&mdashsince this will be mapped on a coordinate plane, we should use the variables `x` and `y` .)


Pozri si video: Matura podstawowa - kurs - nierówności liniowe (December 2021).