Články

8.6: Riešenie radikálnych rovníc


Učebné ciele

  • Riešiť rovnice s druhou odmocninou.
  • Riešiť rovnice zahŕňajúce korene kocky

Radikálne rovnice

Radikálna rovnica je akákoľvek rovnica, ktorá obsahuje jeden alebo viac radikálov s premennou v radikáli. Nasleduje niekoľko príkladov radikálnych rovníc, ktoré sa v tejto časti vyriešia:

( begin {array} {c} { sqrt {x-1} = 5} { sqrt {2 x-5} + 4 = x} { sqrt [3] {x ^ {2 } +4} -2 = 0} koniec {pole} )

Začíname druhou mocninou rovnosti; dané reálne čísla a a b, máme nasledujúce:

Ak (a = b ), potom (a ^ {2} = b ^ {2} )

Inými slovami, rovnosť sa zachová, ak zarovnáme obe strany rovnice.

( begin {array} {rlrl} {- 3 = -3} & { Rightarrow} & {(-3) ^ {2}} & {= (- 3) ^ {2}} {} & {} & {9} & {= 9} : : color {Cerulean} { checkmark} end {array} )

Naopak, konverzácia nemusí byť nutne pravdivá:

To je dôležité, pretože túto vlastnosť použijeme na riešenie radikálnych rovníc. Zvážte veľmi jednoduchú radikálnu rovnicu, ktorú je možné vyriešiť inšpekciou:

( sqrt {x} = 3 )

Tu vidíme, že (x = 9 ) je riešením. Na riešenie tejto rovnice algebraicky využite vlastnosť kvadratúry rovnosti a skutočnosť, že (( sqrt {a}) ^ {2} = sqrt {a ^ {2}} = a ) keď a je pozitívny. Eliminujte druhú odmocninu druhou mocninou oboch strán rovnice takto:

( begin {aligned} color {Cerulean} {(} color {black} { sqrt {x}} color {Cerulean} {) ^ {2}} & color {black} {=} color {Cerulean} {(} color {black} {3} color {Cerulean} {) ^ {2}} x & = 9 end {zarovnané} )

Ako kontrolu vidíme, že ( sqrt {9} = 3 ) podľa očakávania. Pretože prepočet vlastnosti kvadratúry rovnosti nemusí byť nevyhnutne pravdivý, riešenie štvorcovej rovnice nemusí byť riešením originálu. Preto druhá mocnina oboch strán rovnice predstavuje možnosť externých riešení alebo riešení, ktoré neriešia pôvodnú rovnicu. Z tohto dôvodu musíme skontrolovať odpovede, ktoré sú výsledkom druhej mocniny oboch strán rovnice.

Príklad ( PageIndex {1} )

Vyriešiť:

( sqrt {x-1} = 5 )

Riešenie:

Druhú odmocninu môžeme vylúčiť uplatnením vlastnosti kvadratúry rovnosti.

Ďalej musíme skontrolovať.

( begin {aligned} color {black} { sqrt { color {OliveGreen} {26} -1}} & = 5 sqrt {25} & = 5 5 & = 5 : : color {Cerulean} { začiarknutie} end {zarovnané} )

Odpoveď:

Riešením je 26.

Príklad ( PageIndex {2} )

Vyriešiť:

Riešenie:

Začnite štvorčekom oboch strán rovnice.

Ostane vám kvadratická rovnica, ktorú je možné vyriešiť faktoringom.

( begin {array} {cc} {x + 5 = 0} & { text {or} quad x-1 = 0} {x = -5} & {x = 1} end {pole } )

Keďže ste na oboch stranách, musíte skontrolovať svoje riešenia.

Po skontrolovaní uvidíte, že (x = −5 ) bolo cudzie; nevyriešila pôvodnú radikálnu rovnicu. Ignorujte túto odpoveď. Toto ponecháva (x = 1 ) ako jediné riešenie.

Odpoveď:

Riešením je (x = 1 ).

V predchádzajúcich dvoch príkladoch si všimnite, že radikál je izolovaný na jednej strane rovnice. Spravidla to tak nie je. Kroky riešenia radikálnych rovníc zahŕňajúcich druhé odmocniny sú uvedené v nasledujúcom príklade.

Príklad ( PageIndex {3} )

Vyriešiť:

( sqrt {2 x-5} + 4 = x )

Riešenie:

Krok 1: Izolovajte druhú odmocninu. Začnite odpočítaním 4 od oboch strán rovnice.

Krok 2: Hranaté obe strany. Srovnanie oboch strán vylučuje druhú odmocninu.

Krok 3: Vyriešte výslednú rovnicu. Tu vám zostáva kvadratická rovnica, ktorú je možné vyriešiť faktoringom.

( begin {array} {cc} {x-3 = 0} & { text {or} quad x-7 = 0} {x = 3} & {x = 7} end {array} )

Krok 4: Skontrolujte riešenia v pôvodnej rovnici. Vyrovnanie oboch strán predstavuje možnosť vedľajších riešení; preto sa vyžaduje kontrola.

( begin {array} {r | r} { text {Check} x = 3} & { text {Check} x = 7} { sqrt {2 x-5} + 4 = x} & { sqrt {2 x-5} + 4 = x} { sqrt {2 ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)} - 5} + 4 = color {OliveGreen} { 3}} & { sqrt {2 ( color {OliveGreen} {7} color {black} {)} - 5} + 4 = color {OliveGreen} {7}} { sqrt {6-5 } + 4 = 3} & { sqrt {14-5} + 4 = 7} { sqrt {1} + 4 = 3} & { sqrt {9} + 4 = 7} {1+ 4 = 3} & {3 + 4 = 7} {5 = 3 : : color {red} {x}} & {7 = 7 : : color {Cerulean} { checkmark}} end {pole} )

Po skontrolovaní môžeme vidieť, že (x = 3 ) je cudzí koreň; nerieši pôvodnú radikálnu rovnicu. Toto ponecháva (x = 7 ) ako jediné riešenie.

Odpoveď:

Riešením je (x = 7 ).

Príklad ( PageIndex {4} )

Vyriešiť:

Riešenie:

Začnite izoláciou termínu od radikálu

Napriek tomu, že výraz na ľavej strane má koeficient, stále sa považuje za izolovaný. Pripomeňme, že pojmy sú oddelené operátormi sčítania alebo odčítania.

( begin {zarovnané} 3 sqrt {x + 1} & = 2 x (3 sqrt {x + 1}) ^ {2} & = (2 x) ^ {2} qquad color { Cerulean} {štvorec : obidve : strany.} 9 (x + 1) & = 4 x ^ {2} end {zarovnané} )

Vyriešte výslednú kvadratickú rovnicu.

( begin {array} {rlrl} {4 x + 3} & {= 0} & { text {or}} & {x-3 = 0} {4 x} & {= -3} && {x = 3} {x} & {= - frac {3} {4}} end {array} )

Pretože sme obe strany na druhú, musíme skontrolovať naše riešenia.

Po skontrolovaní vidíme, že (x = - frac {3} {4} ) bolo cudzie.

Odpoveď:

Riešením je 3.

Niekedy sú obe možné riešenia nadbytočné.

Príklad ( PageIndex {5} )

Vyriešiť:

Riešenie:

Začnite izoláciou radikálu.

Pretože sme obe strany na druhú, musíme skontrolovať naše riešenia.

Pretože obe možné riešenia sú cudzie, rovnica nemá riešenie.

Odpoveď:

Žiadne riešenie, Ø

Vlastnosť kvadratúry rovnosti sa rozširuje na všetky kladné celé čísla n. Vzhľadom na reálne čísla a a b, máme nasledujúce:

Ak (a = b ), potom (a ^ {n} = b ^ {n} )

Toto sa často označuje ako mocenské vlastníctvo rovnosti. Túto vlastnosť použite spolu so skutočnosťou, že (( sqrt [n] {a}) ^ {n} = sqrt [n] {a ^ {n}} = a ), keď a je kladné, riešiť radikálne rovnice s indexmi vyššími ako 2.

Príklad ( PageIndex {6} )

Vyriešiť:

( sqrt [3] {x ^ {2} +4} -2 = 0 )

Riešenie:

Izolujte radikál a potom kockujte obe strany rovnice.

( begin {array} {rlrl} {x + 2} & {= 0} & { text {or}} & {x-2 = 0} {x} & {= -2} & {} & {x = 2} end {array} )

Skontrolujte.

( begin {array} {r | r} { text {Check} x = -2} & { text {Check} x = 2} { sqrt [3] {x ^ {2} +4 } -2 = 0} & { sqrt [3] {x ^ {2} +4} -2 = 0} { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {- 2} color {čierna } {)} ^ {2} +4} -2 = 0} & { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} ^ {2} +4} -2 = 0} { sqrt [3] {4 + 4} -2 = 0} & { sqrt [3] {4 + 4} -2 = 0} { sqrt [3] {8} - 2 = 0} & { sqrt [3] {8} -2 = 0} {2-2 = 0} & {2-2 = 0} {0 = 0 : : color {Cerulean } { checkmark}} & {0 = 0 : : color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

Odpoveď:

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vyriešiť:

( sqrt {2 x-1} + 2 = x )

Odpoveď

(x = 5 ) ( (x = 1 ) je cudzí)

Môže sa stať, že rovnica má dva radikálne výrazy.

Príklad ( PageIndex {7} )

Vyriešiť:

( sqrt {3 x-4} = sqrt {2 x + 9} )

Riešenie:

Oba radikály sa považujú za izolované na samostatných stranách rovnice.

Začiarknite (x = 13 ).

( begin {Zarovnané} sqrt {3 x-4} & = sqrt {2 x + 9} sqrt {3 ( color {OliveGreen} {13} color {black} {)} - 4 } & = sqrt {2 ( color {OliveGreen} {13} color {black} {)} + 9} sqrt {39-4} & = sqrt {26 + 9} sqrt { 35} & = sqrt {35} quad color {Cerulean} { začiarknutie} end {zarovnané} )

Odpoveď:

Riešením je 13.

Príklad ( PageIndex {8} )

Vyriešiť:

( sqrt [3] {x ^ {2} + x-14} = sqrt [3] {x + 50} )

Riešenie:

Eliminujte radikály tak, že ich nakrútite na obidve strany.

( begin {array} {rlrl} {x + 8} & {= 0} & { text {or}} & {x-8 = 0} {x} & {= -8} && x = 8} end {array} )

Skontrolujte.

( begin {array} {r | r} { text {Check} x = -8} & { text {Check} x = 8} { sqrt [3] {x ^ {2} + x -14} = sqrt [3] {x + 50}} & { sqrt [3] {x ^ {2} + x-14} = sqrt [3] {x + 50}} { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {- 8} color {black} {)} ^ {2} + ( color {OliveGreen} {- 8} color {black} {)} - 14} = sqrt [3] {( color {OliveGreen} {- 8} color {black} {)} + 50}} & { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {8} color {black} { )} ^ {2} + ( color {OliveGreen} {8} color {black} {)} - 14} = sqrt [3] {( color {OliveGreen} {8} color {black} {) } +50}} { sqrt [3] {64-8-14} = sqrt [3] {42}} & { sqrt [3] {64 + 8-14} = sqrt [3] {58}} { sqrt [3] {42} = sqrt [3] {42} : : color {Cerulean} { checkmark}} & { sqrt [3] {58} = sqrt [3] {58} : : color {Cerulean} { začiarknutie}} end {pole} )

Odpoveď:

Ako vyriešiť niektoré pokročilejšie radikálne rovnice, sa naučíme v ďalšom kurze Intermediate Algebra.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vyriešiť:

( sqrt {3 x + 1} = sqrt {2 x-3} )

Odpoveď

Žiadne riešenie pre x

Kľúčové jedlá

  • Riešime rovnice obsahujúce druhú odmocninu tak, že najskôr izolujeme radikál a potom štvorce oboch strán. Druhá mocnina odmocniny eliminuje radikál a zostáva nám rovnica, ktorú je možné vyriešiť pomocou techník, ktoré sme sa naučili skôr v našej štúdii o algebre. Druhá mocnina oboch strán rovnice však predstavuje možnosť vedľajších riešení, preto si odpovede overte v pôvodnej rovnici.
  • Riešime rovnice zahŕňajúce korene kocky tak, že najskôr izolujeme radikál a potom kockujeme obe strany. To vylučuje radikál a vedie k rovnici, ktorú je možné vyriešiť technikami, ktoré ste už zvládli.

Cvičenie ( PageIndex {3} ) Riešenie radikálnych rovníc

Vyriešiť.

  1. ( sqrt {x} = 2 )
  2. ( sqrt {x} = 7 )
  3. ( sqrt {x} + 7 = 8 )
  4. ( sqrt {x} + 4 = 9 )
  5. ( sqrt {x} + 6 = 3 )
  6. ( sqrt {x} + 2 = 1 )
  7. (5 sqrt {x} −1 = 0 )
  8. (3 sqrt {x} −2 = 0 )
  9. ( sqrt {x − 3} = 3 )
  10. ( sqrt {x + 5} = 6 )
  11. ( sqrt {3x + 1} = 2 )
  12. ( sqrt {5x − 4} = 4 )
  13. ( sqrt {7x + 4} + 6 = 11 )
  14. ( sqrt {3x − 5} + 9 = 14 )
  15. ( sqrt {2x − 1} −3 = 0 )
  16. ( sqrt {3x + 1} −2 = 0 )
  17. ( sqrt [3] {x} = 2 )
  18. ( sqrt [3] {x} = 5 )
  19. ( sqrt [3] {2x + 9} = 3 )
  20. ( sqrt [3] {4x − 11} = 1 )
  21. ( sqrt [3] {5x + 7} + 3 = 1 )
  22. ( sqrt [3] {3x − 6} + 5 = 2 )
  23. (2 sqrt [3] {x + 2} −1 = 0 )
  24. (2 sqrt [3] {2x − 3} −1 = 0 )
  25. ( sqrt {8x + 11} = sqrt {3x + 1} )
  26. (2 sqrt {3 x-4} = sqrt {2 (3 x + 1)} )
  27. ( sqrt {2 (x + 10)} = sqrt {7 x-15} )
  28. ( sqrt {5 (x − 4)} = sqrt {x + 4} )
  29. ( sqrt [3] {5 x-2} = sqrt [3] {4 x} )
  30. ( sqrt [3] {9 (x − 1)} = sqrt [3] {3 (x + 7)} )
  31. ( sqrt [3] {3 x + 1} = sqrt [3] {2 (x-1)} )
  32. ( sqrt [3] {9x} = sqrt [3] {3 (x − 6)} )
  33. ( sqrt {4 x + 21} = x )
  34. ( sqrt {8x + 9} = x )
  35. ( sqrt {4 (2x − 3)} = x )
  36. ( sqrt {3 (4x − 9)} = x )
  37. (2 sqrt {x-1} = x )
  38. (3 sqrt {2x − 9} = x )
  39. ( sqrt {9 x + 9} = x + 1 )
  40. ( sqrt {3x + 10} = x + 4 )
  41. ( sqrt {x − 1} = x − 3 )
  42. ( sqrt {2x − 5} = x − 4 )
  43. ( sqrt {16−3x} = x − 6 )
  44. ( sqrt {7−3x} = x − 3 )
  45. (3 sqrt {2 x + 10} = x + 9 )
  46. (2 sqrt {2x + 5} = x + 4 )
  47. (3 sqrt {x − 1} -1 = x )
  48. (2 sqrt {2x + 2} −1 = x )
  49. ( sqrt {10x + 41} −5 = x )
  50. ( sqrt {6 (x + 3)} - 3 = x )
  51. ( sqrt {8x ^ {2} −4x + 1} = 2x )
  52. ( sqrt {18x ^ {2} −6x + 1} = 3x )
  53. (5 sqrt {x + 2} = x + 8 )
  54. (4 sqrt {2 (x + 1)} = x + 7 )
  55. ( sqrt {x ^ {2} −25} = x )
  56. ( sqrt {x ^ {2} +9} = x )
  57. (3+ sqrt {6x − 11} = x )
  58. (2+ sqrt {9x − 8} = x )
  59. ( sqrt {4x + 25} -x = 7 )
  60. ( sqrt {8x + 73} −x = 10 )
  61. (2 sqrt {4x + 3} −3 = 2x )
  62. (2 sqrt {6x + 3} −3 = 3x )
  63. (2x − 4 = sqrt {14−10x} )
  64. (3x − 6 = 3 sqrt {3−24x} )
  65. ( sqrt [3] {x ^ {2} −24} = 1 )
  66. ( sqrt [3] {x ^ {2} −54} = 3 )
  67. ( sqrt [3] {x ^ {2} + 6x} + 1 = 4 )
  68. ( sqrt [3] {x ^ {2} + 2x} + 5 = 7 )
  69. ( sqrt [3] {25x ^ {2} −10x − 7} = - 2 )
  70. ( sqrt [3] {9x ^ {2} −12x − 23} = - 3 )
  71. ( sqrt {2 x ^ {2} -15 x + 25} = sqrt {(x + 5) (x-5)} )
  72. ( sqrt {x ^ {2} −4x + 4} = sqrt {x (5 − x)} )
  73. ( sqrt [3] {2 doľava (x ^ {2} +3 x-20 doprava)} = sqrt [3] {(x + 3) ^ {2}} )
  74. ( sqrt [3] {3x ^ {2} + 3x + 40} = sqrt [3] {(x − 5) ^ {2}} )
  75. (x ^ {1/2} −10 = 0 )
  76. (x ^ {1/2} −6 = 0 )
  77. (x ^ {1/3} + 2 = 0 )
  78. (x ^ {1/3} + 4 = 0 )
  79. ((x − 1) ^ {1/2} −3 = 0 )
  80. ((x + 2) ^ {1/2} −6 = 0 )
  81. ((2x − 1) ^ {1/3} + 3 = 0 )
  82. ((3x − 1) ^ {1/3} −2 = 0 )
  83. ((4x + 15) ^ {1/2} −2x = 0 )
  84. ((3x + 2) ^ {1/2} −3x = 0 )
  85. ((2x + 12) ^ {1/2} −x = 6 )
  86. ((4x + 36) ^ {1/2} −x = 9 )
  87. (2 (5x + 26) ^ {1/2} = x + 10 )
  88. (3 (x − 1) ^ {1/2} = x + 1 )
  89. Druhá odmocnina čísla 1 je menej ako dvojnásobok čísla a rovná sa 2 menšiemu číslu. Nájdite číslo.
  90. Druhá odmocnina čísla 4, ktoré je menšie ako dvojnásobok, sa rovná 6, menej ako počet. Nájdite číslo.
  91. Druhá odmocnina dvojnásobku čísla sa rovná polovici tohto čísla. Nájdite číslo.
  92. Druhá odmocnina dvojnásobku čísla sa rovná jednej tretine tohto čísla. Nájdite číslo.
  93. Vzdialenosť, d, merané v míľach, človek môže vidieť, že objekt je daný vzorcom (d = sqrt { frac {3h} {2} ) kde h predstavuje výšku osoby nad morom, meranú v stopách. Aká vysoká musí byť osoba, aby videla objekt vzdialený 5 míľ?
  94. Súčasný, Ja, merané v ampéroch, je dané vzorcom (I = sqrt { frac {P} {R}} ) kde P je spotreba energie meraná vo wattoch a R je odpor meraný v ohmoch. Ak žiarovka vyžaduje prúd 1 A a spotrebuje 60 W, aký je odpor žiarovky?
Odpoveď

1. (4)

3. (1)

5. (Ø )

7. ( frac {1} {25} )

9. (12)

11. (1)

13. (3)

15. (5)

17. (8)

19. (9)

21. (−3)

23. (- frac {15} {8} )

25. (Ø )

27. (7)

29. (2)

31. (−3)

33. (7)

35. (2, 6)

37. (2)

39. (−1, 8)

41. (5)

43. (Ø )

45. (−3, 3)

47. (2, 5)

49. (4, −4)

51. ( frac {1} {2} )

53. (2, 7)

55. (Ø )

57. (10)

59. (−6, −4)

61. (- frac {1} {2}, frac {3} {2} )

63. (Ø )

65. (−5, 5)

67. (−9, 3)

69. ( frac {1} {5} )

71. (5, 10)

73. (−7, 7)

75. (100)

77. (−8)

79. (10)

81. (−13)

83. ( frac {5} {2} )

85. (−6, −4)

87. (−2, 2)

89. (5)

91. (8)

93. (16 frac {2} {3} ) stôp

Cvičenie ( PageIndex {4} ) Riešenie radikálnych rovníc

Perióda, T, kyvadla v sekundách je dané vzorcom

(T = 2π sqrt {L / 32} )

kde Ľ predstavuje dĺžku v stopách. Pre každý problém nižšie vypočítajte dĺžku kyvadla vzhľadom na obdobie. Uveďte presnú hodnotu a približnú hodnotu zaokrúhlenú na najbližšiu desatinu stopy.

  1. (1 ) sekunda
  2. (2 ) sekúnd
  3. ( frac {1} {2} ) sekunda
  4. ( frac {1} {3} ) sekunda
Odpoveď

1. ( frac {8} { pi ^ {2}} ≈0,8 ) stopa

3. ( frac {2} { pi ^ {2}} ≈0,2 ) stopa

Cvičenie ( PageIndex {5} ) Riešenie radikálnych rovníc

Čas, t, v sekundách je objekt vo voľnom páde daný vzorcom

(s = 16 cdot t ^ {2} )

kde s predstavuje vzdialenosť v stopách, do ktorej predmet spadol. Pre každý problém uvedený nižšie vypočítajte vzdialenosť, ktorú objekt spadne, vzhľadom na čas.

  1. 1 sekunda
  2. 2 sekundy
  3. ( frac {1} {2} ) sekunda
  4. ( frac {1} {4} ) sekunda
Odpoveď

1. 16 stôp

3. 4 stopy

Cvičenie ( PageIndex {6} ) Riešenie radikálnych rovníc

The X-koncepty pre akýkoľvek graf majú tvar ((x, 0) ), kde X je reálne číslo. Preto nájsť X-koncepty, set (y = 0 ) a riešenie pre X. Nájsť X- koncepty pre každú z nasledujúcich položiek.

  1. (y = sqrt {x − 3} −1 )
  2. (y = sqrt {x + 2} −3 )
  3. (y = sqrt [3] {x − 1} +2 )
  4. (y = sqrt [3] {x + 1} −3 )
Odpoveď

1. ((4, 0))

3. ((−7, 0))

Diskusná komisia pre cvičenie ( PageIndex {7} )

  1. Diskutujte o dôvodoch, prečo niekedy pri riešení radikálnych rovníc získavame cudzie riešenia. Existujú niekedy podmienky, keď nepotrebujeme kontrolovať cudzie riešenia? Prečo?
Odpoveď

1. Odpovede sa môžu líšiť


Algebra II: Riešenie radikálnych rovníc

Jedným zo spôsobov riešenia tejto rovnice je nahradenie a následne:

Výslednú kvadratickú rovnicu vyriešte rozložením výrazu:

Nastavte každý lineárny dvojčlen na sérum a vyriešte:

- toto je jediné riešenie.

Žiadna z odpovedí neuvádza, že je jediným riešením.

Príklad Otázka 2: Riešenie radikálových rovníc

Vyriešte nasledujúcu radikálnu rovnicu.

Zlomok môžeme zjednodušiť:

Ak to zapojíme do rovnice, ostane nám:

Poznámka: Pretože sú ako výrazy, môžeme ich pridať.

Príklad otázka č. 1: Riešenie a zobrazenie grafov radikálov

Vyriešte nasledujúcu radikálnu rovnicu.

Aby sme mohli túto rovnicu vyriešiť, musíme to vedieť

Ako? Z dôvodu týchto dvoch skutočností:

S ohľadom na to môžeme vyriešiť rovnicu:

Aby sme radikál odstránili, musíme ho umocniť. To, čo robíme na jednej strane, musíme robiť na druhej strane.

Príklad Otázka č. 4: Riešenie radikálových rovníc

Vyriešte nasledujúcu radikálnu rovnicu.

Aby sme mohli túto rovnicu vyriešiť, musíme to vedieť

Poznámka: Je to spôsobené pravidlom moci exponentov.

S ohľadom na to môžeme vyriešiť rovnicu:

Aby sme sa zbavili radikálu, zarovnávame ho. Pamätajte, čo robíme na jednej strane, čo musíme robiť na druhej strane.

Príklad Otázka č. 5: Riešenie radikálnych rovníc

Pri riešení postupujte inverznými operáciami, pričom pamätajte na ich poradie:

Príklad Otázka č. 6: Riešenie radikálnych rovníc

Ak chcete vyriešiť, vykonajte inverzné operácie, pričom pamätajte na ich poradie:

vezmeme druhú odmocninu oboch strán

odčítať 19 od oboch strán

Príklad Otázka č. 7: Riešenie radikálnych rovníc

Na riešenie použite inverzné operácie, pričom pamätajte na poradie operácií:

Príklad Otázka č. 8: Riešenie radikálových rovníc

Aby sme sa zbavili radikálu, zarovnáme obe strany.

Príklad Otázka č. 9: Riešenie radikálových rovníc

Aby sme sa zbavili radikálu, musíme vyrovnať obe strany. Problémom je, že radikáli negenerujú záporné čísla, pokiaľ nehovoríme o imaginárnych číslach. V takom prípade by naša voľba odpovede nemala byť žiadnou odpoveďou.

Príklad Otázka č. 10: Riešenie radikálových rovníc

Obe strany zarovnajte, aby ste sa zbavili radikálu.

Všetky zdroje algebry II

Nahlásiť problém s touto otázkou

Ak ste našli problém s touto otázkou, dajte nám vedieť. S pomocou komunity môžeme pokračovať v zlepšovaní našich vzdelávacích zdrojov.


8.6: Riešenie radikálnych rovníc

Radikálne rovnice sú rovnice, ktoré obsahujú premenné v radicand (výraz pod radikálnym symbolom), ako napr

Radikálne rovnice môžu obsahovať jeden alebo viac radikálov a sú riešené elimináciou každého radikálu po druhom. Pri riešení radikálnych rovníc musíme byť opatrní, pretože nie je nič neobvyklé nájsť cudzie riešenia, korene, ktoré v skutočnosti nie sú riešením rovnice. Tieto riešenia nie sú spôsobené chybou v metóde riešenia, ale sú výsledkom procesu zvyšovania oboch strán rovnice na mocninu. Kontrola každej odpovede v pôvodnej rovnici však potvrdí skutočné riešenia.

Všeobecná poznámka: Radikálne rovnice

Rovnica obsahujúca členy s premennou v radicand sa nazýva a radikálna rovnica.

Ako: Vzhľadom na radikálnu rovnicu ju vyriešte.

  1. Izolujte radikálny výraz na jednej strane znaku rovnosti. Dajte všetky zostávajúce výrazy na druhú stranu.
  2. Ak je radikál druhá odmocnina, potom druhá strana druhej rovnice. Ak je to kocka koreňa, potom zdvihnite obe strany rovnice na tretiu mocninu. Inými slovami, pre nprvý radikál, zdvihnite obe strany k nth moc. Týmto sa eliminuje radikálny symbol.
  3. Vyriešte zostávajúcu rovnicu.
  4. Ak radikálny výraz stále pretrváva, zopakujte kroky 1–2.
  5. Potvrďte riešenia tak, že ich dosadíte do pôvodnej rovnice.

Príklad 6: Riešenie rovnice pomocou jedného radikálu

Riešenie

Radikál je už izolovaný na ľavej strane rovnakej strany, takže pokračujte v zarovnávaní oboch strán.

Vidíme, že zostávajúca rovnica je kvadratická. Nastaviť na nulu a vyriešiť.

Navrhované riešenia sú [latex] x = -5 [/ latex] a [latex] x = 3 [/ latex]. Poďme skontrolovať každé riešenie späť v pôvodnej rovnici. Najskôr skontrolujte [latex] x = -5 [/ latex].

Toto je cudzie riešenie. Aj keď sa pri riešení rovnice neurobila žiadna chyba, našli sme riešenie, ktoré nevyhovuje pôvodnej rovnici.

Riešením je [latex] x = 3 [/ latex].

Vyskúšajte to 5

Vyriešte radikálnu rovnicu: [latex] sqrt= 3x - 1 [/ latex]

Príklad 7: Riešenie radikálovej rovnice obsahujúcej dva radikály

Riešenie

Pretože táto rovnica obsahuje dva radikály, izolujeme jeden radikál, eliminujeme ho a potom izolujeme druhý radikál.

Pomocou dokonalého štvorcového vzorca rozbaľte pravú stranu: [latex] < left (a-b right)> ^ <2> = ^ <2> -2ab +^ <2> [/ latex].

Teraz, keď boli obaja radikáli eliminovaní, nastavte kvadratickú rovnicu na nulu a vyriešte to.

Navrhované riešenia sú [latex] x = 3 [/ latex] a [latex] x = 83 [/ latex]. Skontrolujte každé riešenie v pôvodnej rovnici.

Jedným z riešení je [latex] x = 3 [/ latex].

Jediným riešením je [latex] x = 3 [/ latex]. Vidíme, že [latex] x = 83 [/ latex] je cudzie riešenie.

Vyskúšajte 6

Rovnicu vyriešte dvoma radikálmi: [latex] sqrt <3x + 7> + sqrt= 1 [/ latex].


Príklady riešení radikálnych rovníc

Príklad 1: Vyriešte radikálnu rovnicu

Radikál je sám o sebe na jednej strane, takže je dobré zarovnať obe strany rovníc, aby sme sa zbavili radikálového symbolu. Potom pokračujte obvyklými krokmi pri riešení lineárnych rovníc.

Svoje odpovede musíte VŽDY skontrolovať, aby ste si overili, či sú riešením. Niektoré odpovede z vašich výpočtov môžu byť zbytočné. Náhradník x = 16 späť do pôvodnej radikálnej rovnice a zistiť, či prinesie pravdivé tvrdenie.

Áno, kontroluje to, takže x = 16 je riešenie.

Príklad 2: Vyriešte radikálnu rovnicu

Nastavenie vyzerá dobre, pretože radikál je opäť izolovaný na jednej strane. Takže môžem zarovnať druhú stranu na druhú, aby som vylúčil tento symbol odmocniny. Pri zarovnávaní binomia (x − 1) na druhú stranu buďte opatrní. Metódu FOIL musíte použiť správne.

Všetky výrazy presunieme na pravú stranu rovnice a potom pokračujeme v rozkladaní trojčlenu. Použitím vlastnosti nulového produktu získame hodnoty x = 1 a x = 3.

Pozor : Vždy skontrolujte svoje vypočítané hodnoty z pôvodnej radikálnej rovnice, aby ste sa uistili, že sú pravdivými odpoveďami a nie nadbytočnými alebo odpoveďami & # 8220false & # 8221.

Po kontrole to vyzerá dobre pre obe naše vyriešené hodnoty x, takže naše riešenia sú x = 1 a x = 3.

Príklad 3: Vyriešte radikálnu rovnicu

Musíme si uvedomiť, že radikálny symbol ešte nie je izolovaný na ľavej strane. Znamená to, že musíme zbaviť sa toho −1 pred druhou mocninou oboch stran rovnice. O tento problém by sa mal postarať jednoduchý krok pridania oboch strán o 1. Potom je rovnica & # 8220new & # 8221 podobná tým, ktoré sme doteraz prešli.

Naše možné riešenia sú x = -2 a x = 5. Všimnite si, že používam slovo & # 8220possible & # 8221, pretože nie je konečné, kým nevykonáme proces overenia, ktorý skontroluje naše hodnoty oproti pôvodnej radikálnej rovnici.

Pretože keď dospejeme k nepravdivému výroku, keď x = −2, považuje sa táto hodnota x za cudzí tak to ignorujeme! Ak nám ponecháte jednu pravdivú odpoveď, x = 5.

Príklad 4: Vyriešte radikálnu rovnicu

Ľavá strana vyzerá trochu chaoticky, pretože sú tam dva radikálne symboly. Ale nie je to také zlé! Vždy si pamätajte kľúčové kroky navrhnuté vyššie. Pretože obidve druhé odmocniny sú na jednej strane, znamená to, že je určite pripravená na to, že celá radikálna rovnica bude na druhú.

V našom prvom kroku teda nechajme štvorcové obidve strany a uvidíme, čo sa stane.

Je úplne bežné, že tento typ problému vidí po prvom použití štvorca ďalší radikálny symbol. Z toho vyplýva dobrá správa, že už zostáva iba jeden. Od tohto bodu sa pokúste znova izolovať jediný radikál na ľavej strane, ktorý by nás mal prinútiť premiestniť zvyšok na opačnú stranu.

Ako vidíte, táto zjednodušená radikálna rovnica je určite známy. Pokračujte obvyklým spôsobom riešenia a nezabudnite vždy overiť vyriešené hodnoty x oproti pôvodnej radikálnej rovnici.

Nechám na vás, aby ste si to skutočne overili x = 4 je riešenie.

Príklad 5: Vyriešte radikálnu rovnicu

Tento problém je veľmi podobný príkladu 4. Jediný rozdiel je v tom, že tentoraz majú obidva radikály dvojčlenné výrazy. Prístup je tiež vyrovnať obe strany, pretože radikály sú na jednej strane, a zjednodušiť to. Musíme však vykonať druhú aplikáciu štvorcov, aby sme sa úplne zbavili symbolu druhej odmocniny.

Riešením je x = 2. Môžete to overiť nahradením hodnoty späť do pôvodnej radikálnej rovnice a zistiť, či poskytuje pravdivé tvrdenie.

Príklad 6: Vyriešte radikálnu rovnicu

Vyzerá to, že naším prvým krokom je vyrovnať obe strany a pozorovať, čo vyjde potom. Nezabudnite kombinovať podobné výrazy zakaždým, keď zarovnáte bočné strany. Ak sa stane, že sa po prvej aplikácii procesu kvadratúry vygeneruje ďalší radikálny symbol, má zmysel to urobiť ešte raz. Pamätajte, že našim cieľom je zbaviť sa radikálnych symbolov, aby sa uvoľnila premenná, ktorú sa snažíme vyriešiť alebo izolovať.

Zdá sa, že kvôli novému vygenerovanému radikálnemu symbolu budeme musieť znova zarovnať obe strany. Než to však urobíme, musíme najskôr izolovať radikál na jednej strane rovnice. Ponechám si druhú odmocninu vľavo, a to ma núti posúvať všetko doprava.

Zatiaľ vyzerám dobre! Teraz je čas opäť vyrovnať obe strany, aby sa radikál konečne eliminoval.

Pri zarovnávaní ľavej strany rovnice však buďte opatrní. Musíte tiež druhá mocnina −2 naľavo od radikálov.

Teraz máme kvadratickú rovnicu v štandardnom tvare. Najlepším spôsobom, ako vyriešiť x, je použiť Kvadratický vzorec kde a = 7, b = 8 a c = -44.

Možné riešenia sú teda x = 2 a x = << - 22> nad 7>.

Nechám na vás skontrolovať tieto dve hodnoty & # 8220x & # 8221 späť do pôvodnej radikálnej rovnice. Dúfam, že s tým súhlasíte x = 2 je jediné riešenie, zatiaľ čo iná hodnota je cudzie riešenie, takže ho ignorujte!

Príklad 7: Vyriešte radikálnu rovnicu

Existujú dva spôsoby riešenia tohto problému. Okamžite by som mohol zarovnať obe strany, aby som sa zbavil radikálov, alebo znásobiť najskôr dva radikály a potom štvorec. Po správnom vykonaní by mali oba postupy dospieť k rovnakým odpovediam. Na tento účel použijem druhý prístup.

Ďalej všetko presuňte na ľavú stranu a vyriešte výslednú kvadratickú rovnicu. Na vyriešenie problému môžete použiť kvadratický vzorec, ale keďže je ľahko rozdeliteľný, jednoducho ho rozdelím.

Možné riešenia potom sú x = << - 5> nad 2> a x = 3.

Nechám na vás, aby ste si overili odpovede. Jedinou odpoveďou by malo byť x = 3, čo z toho druhého urobí cudzie riešenie.


Identifikujte cudzie riešenia

Dodržiavanie pravidiel je dôležité, rovnako však treba venovať pozornosť matematike, ktorú máte pred sebou - najmä pri riešení radikálnych rovníc. Zoznámte sa s týmto ďalším problémom, ktorý ukazuje potenciálnu úskalie vyrovnania oboch strán, aby sa odstránil radikál.

Príklad

Napíšte zjednodušenú rovnicu a riešte pre a.

Teraz skontrolujte riešenie tak, že do pôvodnej rovnice dosadíte [latex] a = 9 [/ latex].

Odpoveď

Pozrime sa na to - odpoveď [latex] a = 9 [/ latex] neprodukuje pravdivé tvrdenie, ak bude nahradený späť do pôvodnej rovnice. Čo sa stalo?

Skontrolujte pôvodný problém: [latex] sqrt= -2 [/ latex]. Všimnite si, že radikál je nastavený na [latex] -2 [/ latex] a pripomeňme, že hlavnú druhú odmocninu čísla je možné iba pozitívne. To znamená, že žiadna hodnota pre a bude mať za následok radikálny výraz, ktorého kladná druhá odmocnina je [latex] −2 [/ latex]! Možno ste si to hneď všimli a dospeli ste k záveru, že neexistujú žiadne riešenia pre a.

Nesprávne hodnoty premennej, napríklad tie, ktoré sú zavedené ako výsledok procesu kvadratúry, sa nazývajú cudzie riešenia. Mimoriadne riešenia môžu vyzerať ako skutočné riešenie, môžete ich však identifikovať, pretože pri nahradení pôvodnej rovnice nevytvárajú pravdivé tvrdenia. To je jeden z dôvodov, prečo je kontrola vašej práce taká dôležitá - ak svoje odpovede nekontrolujete ich nahradením späť do pôvodnej rovnice, môžete do problému vložiť cudzie riešenia.
V nasledujúcom príklade videa riešime radikálnejšie rovnice, ktoré môžu mať cudzie riešenia.

Zoznámte sa s nasledujúcim problémom. Všimnite si, ako je pôvodný problém [latex] x + 4 = sqrt[/ latex], ale po rozdelení oboch strán na druhú sa zmení na [latex] <^ <2>> + 8x + 16 = x + 10 [/ latex]. Srovnanie oboch strán mohlo predstavovať cudzie riešenie.

Príklad

Teraz zjednodušte a vyriešte rovnicu. Kombinujte podobné výrazy a potom rozdeľte.

Nastavte každý faktor na nulu a vyriešte pre X.

Teraz skontrolujte obe riešenia ich dosadením do pôvodnej rovnice.

Pretože [latex] x = −6 [/ latex] vytvára nepravdivé tvrdenie, je to cudzie riešenie.


8.6: Riešenie radikálnych rovníc

Radikálna rovnica Akákoľvek rovnica, ktorá obsahuje jeden alebo viac radikálov s premennou v radikáli. je akákoľvek rovnica, ktorá obsahuje jeden alebo viac radikálov s premennou v rade. Nasleduje niekoľko príkladov radikálnych rovníc, ktoré sa v tejto časti vyriešia:

Začíname s druhou mocninou rovnosti Dané reálne čísla a a b, kde a = b, potom a 2 = b 2. dané reálne čísla a a b, máme nasledujúce:

Inými slovami, rovnosť sa zachová, ak zarovnáme obe strany rovnice.

− 3 = − 3 ⇒ ( − 3 ) 2 = ( − 3 ) 2 9 = 9 ✓

Naopak, konverzácia nemusí byť nutne pravdivá,

9 = 9 ( − 3 ) 2 = ( 3 ) 2 ⇒ − 3 ≠ 3 ✗

To je dôležité, pretože túto vlastnosť použijeme na riešenie radikálnych rovníc. Zvážte veľmi jednoduchú radikálnu rovnicu, ktorú je možné vyriešiť inšpekciou,

Tu vidíme, že x = 25 je riešením. Na vyriešenie tejto rovnice algebraicky využite vlastnosť kvadratúry rovnosti a skutočnosť, že (a) 2 = a 2 = a keď a je nezáporné. Eliminujte druhú odmocninu druhou mocninou oboch strán rovnice takto:

Ako kontrolu vidíme, že 25 = 5 podľa očakávania. Pretože prepočet vlastnosti kvadratúry rovnosti nemusí byť nevyhnutne pravdivý, riešenie štvorcovej rovnice nemusí byť riešením originálu. Preto druhá mocnina oboch strán rovnice predstavuje možnosť vedľajších riešení. Správne nájdené riešenie, ktoré nerieši pôvodnú rovnicu. , čo sú riešenia, ktoré neriešia pôvodnú rovnicu. Napríklad,

Táto rovnica zjavne nemá riešenie skutočných čísel. Srovnanie obidvoch strán nám však dáva riešenie:

Ako kontrolu vidíme, že 25 ≠ - 5. Z tohto dôvodu musíme skontrolovať odpovede, ktoré sú výsledkom druhej mocniny oboch strán rovnice.

Príklad 1

Druhú odmocninu môžeme vylúčiť uplatnením vlastnosti kvadratúry rovnosti.

3 x + 1 = 4 (3 x + 1) 2 = (4) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. 3 x + 1 = 16 S o l v e. 3 x = 15 x = 5

3 ( 5 ) + 1 = 4 15 + 1 = 4 16 = 4 4 = 4 ✓

K predchádzajúcemu príkladu existuje geometrická interpretácia. Vytvorte graf funkcie definovanej pomocou f (x) = 3 x + 1 a určite, kde pretne graf definovaný pomocou g (x) = 4.

Ako je znázornené, f (x) = g (x), kde x = 5.

Príklad 2

Začnite štvorčekom oboch strán rovnice.

x - 3 = x - 5 (x - 3) 2 = (x - 5) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. x - 3 = x 2 - 10 x + 25

Výslednú kvadratickú rovnicu je možné vyriešiť factoringom.

x - 3 = x 2 - 10 x + 25 0 = x 2 - 11 x + 28 0 = (x - 4) (x - 7) x - 4 = 0 alebo x - 7 = 0 x = 4 x = 7

Kontrola riešení po druhej mocnine oboch strán rovnice nie je voliteľná. Pri vykonávaní kontroly použite pôvodnú rovnicu.

x - 3 = x - 5 4 - 3 = 4 - 5 1 = - 1 1 = - 1 ✗

x - 3 = x - 5 7 - 3 = 7 - 5 4 = 2 2 = 2 ✓

Po kontrole môžete vidieť, že x = 4 je cudzie riešenie, ktoré nerieši pôvodnú radikálnu rovnicu. Ignorujte túto odpoveď. Toto ponecháva x = 7 ako jediné riešenie.

Geometricky vidíme, že f (x) = x + 3 sa rovná g (x) = x - 5, kde x = 7.

V predchádzajúcich dvoch príkladoch si všimnite, že radikál je izolovaný na jednej strane rovnice. Spravidla to tak nie je. Kroky riešenia radikálnych rovníc zahŕňajúcich druhé odmocniny sú uvedené v nasledujúcom príklade.

Príklad 3

Krok 1: Izolovajte druhú odmocninu. Začnite odčítaním čísla 2 od oboch strán rovnice.

2 x - 1 + 2 = x 2 x - 1 = x - 2

Krok 2: Hranaté obe strany. Srovnanie oboch strán vylučuje druhú odmocninu.

(2 x - 1) 2 = (x - 2) 2 2 x - 1 = x 2 - 4 x + 4

Krok 3: Vyriešte výslednú rovnicu. Tu nám zostáva kvadratická rovnica, ktorú je možné vyriešiť faktoringom.

2 x - 1 = x 2 - 4 x + 4 0 = x 2 - 6 x + 5 0 = (x - 1) (x - 5) x - 1 = 0 alebo x - 5 = 0 x = 1 x = 5

Krok 4: Skontrolujte riešenia v pôvodnej rovnici. Srovnanie oboch strán predstavuje možnosť vedľajších riešení, a preto je potrebná kontrola.

2 x - 1 + 2 = x 2 (1) - 1 + 2 = 1 1 + 2 = 1 1 + 2 = 1 3 = 1 ✗

2 x - 1 + 2 = x 2 (5) - 1 + 2 = 5 9 + 2 = 5 3 + 2 = 5 5 = 5 ✓

Po skontrolovaní môžeme vidieť, že x = 1 je cudzie riešenie, ktoré nerieši pôvodnú radikálnu rovnicu. Toto ponecháva x = 5 ako jediné riešenie.

Niekedy existuje viac ako jedno riešenie radikálnej rovnice.

Príklad 4

Začnite izoláciou termínu od radikálu.

2 2 x + 5 - x = 4 A d d x t o b o t h s i d e s. 2 2 x + 5 = x + 4

Napriek tomu, že výraz na ľavej strane má koeficient, stále ho považujeme za izolovaný. Pripomeňme, že pojmy sú oddelené operátormi sčítania alebo odčítania.

2 2 x + 5 = x + 4 (2 2 x + 5) 2 = (x + 4) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. 4 (2 x + 5) = x 2 + 8 x + 16

Vyriešte výslednú kvadratickú rovnicu.

4 (2 x + 5) = x 2 + 8 x + 16 8 x + 20 = x 2 + 8 x + 16 0 = x 2 - 4 0 = (x + 2) (x - 2) x + 2 = 0 alebo x - 2 = 0 x = - 2 x = 2

Pretože sme obe strany na druhú, musíme skontrolovať naše riešenia.

2 2 x + 5 - x = 4 2 2 (- 2) + 5 - (- 2) = 4 2 - 4 + 5 + 2 = 4 2 1 + 2 = 4 2 + 2 = 4 4 = 4 ✓

2 2 x + 5 - x = 4 2 2 (2) + 5 - (2) = 4 2 4 + 5 - 2 = 4 2 9 - 2 = 4 6 - 2 = 4 4 = 4 ✓

Po skontrolovaní vidíme, že obe sú riešenia pôvodnej rovnice.

Odpoveď: Riešenia sú ± 2.

Niekedy sú obe možné riešenia nadbytočné.

Príklad 5

Začnite izoláciou radikálu.

4 - 11 x - x + 2 = 0 I s o l a t e t h e r a d i c a l. 4 - 11 x = x - 2 (4 - 11 x) 2 = (x - 2) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. 4 - 11 x = x 2 - 4 x + 4 S o l v e. 0 = x 2 + 7 x 0 = x (x + 7)

Pretože sme obe strany na druhú, musíme skontrolovať naše riešenia.

4 - 11 x - x + 2 = 0 4 - 11 (0) - 0 + 2 = 0 4 + 2 = 0 2 + 2 = 0 4 = 0 ✗

4 - 11 x - x + 2 = 0 4 - 11 (- 7) - (- 7) + 2 = 0 4 + 77 + 7 + 2 = 0 81 + 9 = 0 9 + 9 = 0 18 = 0 ✗

Pretože obe možné riešenia sú cudzie, rovnica nemá riešenie.

Vlastnosť kvadratúry rovnosti sa rozširuje na všetky kladné celé čísla n. Given real numbers a a b, we have the following:

This is often referred to as the power property of equality Given any positive integer n and real numbers a a b where a = b , then a n = b n . . Use this property, along with the fact that ( a n ) n = a n n = a , when a is nonnegative, to solve radical equations with indices greater than 2.

Príklad 6

Isolate the radical, and then cube both sides of the equation.

4 x 2 + 7 3 − 2 = 0 I s o l a t e t h e r a d i c a l . 4 x 2 + 7 3 = 2 ( 4 x 2 + 7 3 ) 3 = ( 2 ) 3 C u b e b o t h s i d e s . 4 x 2 + 7 = 8 S o l v e . 4 x 2 − 1 = 0 ( 2 x + 1 ) ( 2 x − 1 ) = 0 2 x + 1 = 0 or 2 x − 1 = 0 2 x = − 1 2 x = 1 x = − 1 2 x = 1 2

4 x 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ( − 1 2 ) 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ⋅ 1 4 + 7 3 − 2 = 0 1 + 7 3 − 2 = 0 8 3 − 2 = 0 2 − 2 = 0 0 = 0 ✓

4 x 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ( 1 2 ) 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ⋅ 1 4 + 7 3 − 2 = 0 1 + 7 3 − 2 = 0 8 3 − 2 = 0 2 − 2 = 0 0 = 0 ✓

Answer: The solutions are ± 1 2 .

Skúste to! x − 3 3 x + 1 = 3

Answer: The solution is 33.

It may be the case that the equation has more than one term that consists of radical expressions.

Príklad 7

Both radicals are considered isolated on separate sides of the equation.

5 x − 3 = 4 x − 1 ( 5 x − 3 ) 2 = ( 4 x − 1 ) 2 S q u a r e b o t h s i d e s . 5 x − 3 = 4 x − 1 S o l v e . x = 2

5 x − 3 = 4 x − 1 5 ( 2 ) − 3 = 4 ( 2 ) − 1 10 − 3 = 8 − 1 7 = 7 ✓

Príklad 8

Solve: x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 .

Eliminate the radicals by cubing both sides.

x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 ( x 2 + x − 14 3 ) 3 = ( x + 50 3 ) 3 C u b e b o t h s i d e s . x 2 + x − 14 = x + 50 S o l v e . x 2 − 64 = 0 ( x + 8 ) ( x − 8 ) = 0 x + 8 = 0 or x − 8 = 0 x = − 8 x = 8

x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 ( − 8 ) 2 + ( − 8 ) − 14 3 = ( − 8 ) + 50 3 64 − 8 − 14 3 = 42 3 42 3 = 42 3 ✓

x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 ( 8 ) 2 + ( 8 ) − 14 3 = ( 8 ) + 50 3 64 + 8 − 14 3 = 58 3 58 3 = 58 3 ✓

Answer: The solutions are ± 8 .

It may not be possible to isolate a radical on both sides of the equation. When this is the case, isolate the radicals, one at a time, and apply the squaring property of equality multiple times until only a polynomial remains.

Example 9

Begin by isolating one of the radicals. In this case, add x to both sides of the equation.

Next, square both sides. Take care to apply the distributive property to the right side.

( x + 2 ) 2 = ( x + 1 ) 2 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 1 ) x + 2 = x 2 + x + x + 1 x + 2 = x + 2 x + 1

At this point we have one term that contains a radical. Isolate it and square both sides again.

x + 2 = x + 2 x + 1 1 = 2 x ( 1 ) 2 = ( 2 x ) 2 1 = 4 x 1 4 = x

Check to see if x = 1 4 satisfies the original equation x + 2 − x = 1 .

1 4 + 2 − 1 4 = 1 9 4 − 1 2 = 1 3 2 − 1 2 = 1 2 2 = 1 1 = 1 ✓

Answer: The solution is 1 4 .

Poznámka: Because ( A + B ) 2 ≠ A 2 + B 2 , we cannot simply square each term. For example, it is incorrect to square each term as follows.

( x + 2 ) 2 − ( x ) 2 = ( 1 ) 2 I n c o r r e c t !

This is a common mistake and leads to an incorrect result. When squaring both sides of an equation with multiple terms, we must take care to apply the distributive property.

Example 10

Begin by isolating one of the radicals. In this case, add x + 6 to both sides of the equation.

2 x + 10 − x + 6 = 1 2 x + 10 = x + 6 + 1

Next, square both sides. Take care to apply the distributive property to the right side.

( 2 x + 10 ) 2 = ( x + 6 + 1 ) 2 2 x + 10 = x + 6 + 2 x + 6 + 1 2 x + 10 = x + 7 + 2 x + 6

At this point we have one term that contains a radical. Isolate it and square both sides again.

2 x + 10 = x + 7 + 2 x + 6 x + 3 = 2 x + 6 ( x + 3 ) 2 = ( 2 x + 6 ) 2 x 2 + 6 x + 9 = 4 ( x + 6 ) x 2 + 6 x + 9 = 4 x + 24 x 2 + 2 x − 15 = 0 ( x − 3 ) ( x + 5 ) = 0 x − 3 = 0 or x + 5 = 0 x = 3 x = − 5

2 x + 10 − x + 6 = 1 2 ( 3 ) + 10 − 3 + 6 = 1 16 − 9 = 1 4 − 3 = 1 1 = 1 ✓

2 x + 10 − x + 6 = 1 2 ( − 5 ) + 10 − − 5 + 6 = 1 0 − 1 = 1 0 − 1 = 1 − 1 = 1 ✗


Radical Equations – Example 1:

Add 5 to both sides: (sqrt=20), Square both sides: ((sqrt)^2=20^2→x=400) Plugin the value of 400 for (x) in the original equation and check the answer: (x=400→sqrt-5=sqrt<400>-5=20-5=15), So, the value of 400 for (x) is correct.

Radical Equations – Example 2:

What is the value of (x) in this equation? (2sqrt=4)

Divide both sides by 2. Then: (2sqrt=4→frac<2sqrt><2>=frac<4><2>→sqrt=2) Square both sides: ((sqrt<(x+1)>)^2=2^2), Then (x+1=4→x=3)
Substitute (x) by 3 in the original equation and check the answer:
( x=3→2sqrt=2sqrt<3+1>=2sqrt<4>=2(2)=4)
So, the value of 3 for (x) is correct.

Radical Equations – Example 3:

Add 8 to both sides: (sqrt=5)
Square both sides: ((sqrt)^2=5^2→x=25)
Substitute (x) by 25 in the original equation and check the answer:
(x=25→sqrt-8=sqrt<25>-8=-3)
So, the value of 25 for (x) is correct.

Radical Equations – Example 4:

What is the value of (x) in this equation? (4sqrt=40)

Divide both sides by 4. Then: (4sqrt=40→frac<4sqrt><4>=frac<40><4>→sqrt=10) Square both sides: ((sqrt<(x+3)>)^2=10^2), Then (x+3=100→x=97)
Substitute (x) by 97 in the original equation and check the answer:
( x=97→4sqrt=4sqrt<97+3>=4sqrt<100>=4(10)=40)
So, the value of 97 for (x) is correct.


How to Solve Radical Equations

The video below and our examples explain these steps and you can then try our practice problems below.

Video of How to Solve Radical Equations

Príklad 1
Príklad 2

Practice Problems

Úloha 1

Solve the radical Equation Below.

Substitute answer into original radical equation to verify that the answer is a real number.

Problém 2

Solve the radical Equation Below.

Substitute answer into original radical equation to verify that the answer is a real number.

Problém 3

Solve the following radical equation:

Substitute answer into original radical equation to verify that the answer is a real number.

Therefore, reject 4 as a solution, check 5.

$ sqrt <3x -11>= 3x -x sqrt<3 (color<5>) -11> = 3(color<5>) - color <5> sqrt <15 -11>= 15 - 5 sqrt <15 -11>= 15 - 5 sqrt <4>= 10 2 = 10 color < e >10 $

Therefore, reject 5 as a solution.

Since both our solutions were rejected, there are no real solutions to this equation.


8.6: Solving Radical Equations

Solving Radical Equations

· Solve equations containing radicals.

· Recognize extraneous solutions.

· Solve application problems that involve radical equations as part of the solution.

An equation that contains a radical expression sa nazýva a radical equation. Solving radical equations requires applying the rules of exponents and following some basic algebraic principles. In some cases, it also requires looking out for errors generated by raising unknown quantities to an even power.

A basic strategy for solving radical equations is to isolate the radical term first, and then raise both sides of the equation to a power to remove the radical. (The reason for using powers will become clear in a moment.) This is the same type of strategy you used to solve other, non-radical equations—rearrange the expression to isolate the variable you want to know, and then solve the resulting equation.

There are two key ideas that you will be using to solve radical equations. The first is that if , then . (This property allows you to square both sides of an equation and remain certain that the two sides are still equal.) The second is that if the square root of any nonnegative number X is squared, then you get X:. (This property allows you to “remove” the radicals from your equations.)

Let’s start with a radical equation that you can solve in a few steps: .

Add 3 to both sides to isolate the variable term on the left side of the equation.

Square both sides to remove the radical, since . Make sure to square the 8 also! Then simplify.

X = 64 is the solution to .

To check your solution, you can substitute 64 in for X in the original equation. Does ? Yes—the square root of 64 is 8, and 8 − 3 = 5.

Notice how you combined like terms and then squared both bočné strany of the equation in this problem. This is a standard method for removing a radical from an equation. It is important to isolate a radical on one side of the equation and simplify as much as possible predtým squaring. The fewer terms there are before squaring, the fewer additional terms will be generated by the process of squaring.

In the example above, only the variable X was underneath the radical. Sometimes you will need to solve an equation that contains multiple terms underneath a radical. Follow the same steps to solve these, but pay attention to a critical point—square both bočné strany of an equation, not individual podmienky. Watch how the next two problems are solved.

Notice how the radical contains a binomial: X + 8. Square both sides to remove the radical.

. Now simplify the equation and solve for X.

Check your answer. Substituting 1 for X in the original equation yields a true statement, so the solution is correct.

Begin by subtracting 1 from both sides in order to isolate the radical term. Then square both sides to remove the binomial from the radical.

Simplify the equation and solve for X.

Check your answer. Substituting 11 for X in the original equation yields a true statement, so the solution is correct.

is the solution for .

Solving Radical Equations

Follow the following four steps to solve radical equations.

1. Isolate the radical expression.

2. Square both sides of the equation: If X = r potom X 2 = r 2 .

3. Once the radical is removed, solve for the unknown.

Incorrect. Check your answer. If you substitute into the equation, you get , or . This is not correct. Remember to square both sides and then solve for X. The correct answer is .

Incorrect. It looks like you squared both sides but ignored the +22 underneath the radical. Remember to include the entire binomial when you square both sides then solve for X. The correct answer is .

Correct. Squaring both sides, you find becomes , so and .

Incorrect. It looks like you only squared the left side of the equation. Remember to square both sides: , which becomes . Now solve for X. The correct answer is .

Following rules is important, but so is paying attention to the math in front of you—especially when solving radical equations. Take a look at this next problem that demonstrates a potential pitfall of squaring both sides to remove the radical.

Square both sides to remove the term a – 5 from the radical.

Write the simplified equation, and solve for a.

Now check the solution by substituting a = 9 into the original equation.

Look at that—the answer a = 9 does not produce a true statement when substituted back into the original equation. Čo sa stalo?

Check the original problem: . Notice that the radical is set equal to −2, and recall that the principal square root of a number can only be pozitívne. This means that no value for a will result in a radical expression whose positive square root is −2! You might have noticed that right away and concluded that there were no solutions for a. But why did the process of squaring create an answer, a = 9, that proved to be incorrect?

The answer lies in the process of squaring sám. When you raise a number to an even power—whether it is the second, fourth, or 50 th power—you can introduce a false solution because the result of an even power is always a positive number. Think about it: 3 2 and (−3) 2 are both 9, and 2 4 and (−2) 4 are both 16. So when you squared −2 and got 4 in this problem, you artificially turned the quantity positive. This is why you were still able to find a value for a—you solved the problem as if you were solving ! (The correct solution to is actually “no solution.”)

Incorrect values of the variable, such as those that are introduced as a result of the squaring process are called extraneous solutions. Extraneous solutions may look like the real solution, but you can identify them because they will not create a true statement when substituted back into the original equation. This is one of the reasons why checking your work is so important—if you do not check your answers by substituting them back into the original equation, you may be introducing extraneous solutions into the problem.

Have a look at the following problem. Notice how the original problem is , but after both sides are squared, it becomes . Squaring both sides may have introduced an extraneous solution.


Issue 2: Check Your Answers

We can always check our solution to an equation by plugging that solution back into the original equation and making sure that it results in a true statement. For instance, in my first example above, " X + 2 = 5 ", I got a solution of X = 3 . I can confirm this solution by plugging it back into the original equation:

You probably did this type of checking back when you first learned about solving linear equations. But eventually you honed your skills, and you quit checking.

The difficulty with solving radical equations is that we may do every step correctly, but still end up with a wrong answer. This is because the very act of squaring the sides can vytvoriť solutions that never existed before. For instance, I could claim the following:

This is nonsense, of course. But look what happens when I square both sides:

I started with something that was nie true, squared both sides of it, and ended with something that bol pravda. This is not good.

Squaring both sides of an equation is an "irreversible" step, in the sense that, having taken the step, we can't necessarily go back to what we'd started with. By squaring, we may have lost some of the original information. (This is just one of many potential errors possible in mathematics.)

To see how this works in our current context, let's look at a very simple radical equation:

This equation is no more true than was the " &ndash2 = 2 " nonsense we looked at previously, and it's nonsense for the exact same reason: no pozitívne value (in this case, a square root) can ever equal a negatívny číslo.

But suppose I hadn't noticed that this equation can't possibly have any solution, and had instead proceeded mindlessly to square both sides:

By squaring both sides, I got rid of the problemmatic "minus" sign, magically creating a solution which had not previously existed and is in fact not valid. But I won't discover this error unless I remembered to check my solution! Plugging my solution value into the left-hand side of the original equation, I check to see if I get the required value of the original right-hand side:

Now I can clearly see that something is amiss. I can't have a negative number equal to a positive number. Now I can see that the actual answer for this equation is:

There is another way to look at this "no solution" difficulty. When we are solving an equation, we can view the process as trying to find where two lines intersect on a graph. The left-hand side of the equation can be graphed as one curve, and the right-hand side of the equation can be graphed as another curve. The solution to the original equation is the intersection of the two curves. (Yes, this means that you can use your graphing calculator to help you check your work.)

When I was solving " X + 2 = 5 " above, you could also say that I was trying to find the intersection of the two curves:

The graph shows where these two lines intersect:

The intersection point is at X = 3 , which was the solution value I'd found earlier. Similarly, when I was solving the equation , you could view this as me trying to find the intersection of the following two curves:

These two functions graph as:

Just as before, the solution is at X = 16 .

But when I was trying to solve the nonsense equation , I was trying to find the intersection of the graph of the radical function and the constant function r2 = &ndash3 , which do not intersect:

So what happened when I squared both sides of that nonsense equation? In a sense, I kind of "squared" both line equations, and got two new lines:

And, as the graph shows, these two new lines actually robiť intersect!

As you can see, squaring both sides of the original equation created a solution where none belonged. And the after-squaring solution did nie work in the before-squaring equation, because the originál lines had not intersected. This illustrates why I had to check my solution to figure out that the real answer was "no solution".

Warning: Many instructors do not to show many examples (in class or in the homework) of radical equations for which the solutions don't actually work. But then they'll put one or more of these on the next test. Mal by si očakávať a "no solution" radical equation on the test, so you remember to check your solutions.


Pozri si video: Sústavy dvoch rovníc. Elea: Nauč sa matiku (December 2021).