Články

6.3: Operátory lineárnych diferenciálov - matematika


Vaša trieda kalkulu sa stala oveľa ľahšou, keď ste prestali používať definíciu limitu derivácie, naučili sa pravidlo sily a začali používať linearitu derivačného operátora.

Príklad 64

Nech (V ) je vektorový priestor polynómov stupňa 2 alebo menej so štandardným sčítaním a skalárnym násobením.

[V = {a_ {0} cdot1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} | a_ {0}, a_ {1}, a_ {2} in Re } nonumber ]

Nech ( frac {d} {dx} dvojbodka V pravá šípka V ) je derivačný operátor. Nasledujúce tri rovnice spolu s linearitou derivačného operátora umožňujú jednej deriváciu ľubovoľného polynómu 2. stupňa:

[
frac {d} {dx} 1 = 0, ~ frac {d} {dx} x = 1, ~ frac {d} {dx} x ^ {2} = 2x ,. nečíslo
]

Najmä

[
frac {d} {dx} (a_ {0} cdot1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2}) =
a_ {0} frac {d} {dx} cdot1 + a_ {1} frac {d} {dx} x + a_ {2} frac {d} {dx} x ^ {2}
= 0 + a_ {1} + 2a_ {2}. Nonumber
]

Derivát pôsobiaci na ktorýkoľvek z nekonečne mnohých polynómov druhého rádu je teda určený jeho pôsobením iba na tri vstupy.


Operátor lineárneho diferenciálu

Tu $ a _ bodky i _ > $ sú funkcie s hodnotami v rovnakom poli, ktoré sa nazývajú koeficienty $ A $. Ak koeficienty nadobúdajú hodnoty v množine $ (t krát s) $ - rozmerné matice nad $ k $, potom je na funkciách s vektorovou hodnotou $ u = (u _ <1> definovaný operátor lineárneho diferenciálu $ A $. bodky u _ ) $ a transformuje ich na funkcie s vektorovou hodnotou $ v = (v _ <1> dots v _ ) $. V prípade $ n = 1 $ sa nazýva lineárny obyčajný diferenciálny operátor a v prípade $ n & gt 1 $ sa nazýva lineárny parciálny diferenciálny operátor.

Nech $ X $ je diferencovateľné potrubie a nech $ E $ a $ F $ sú konečno-rozmerné vektorové zväzky na $ X $ (všetky triedy $ C ^ infty $, porovnaj vektorový zväzok). Nech $ widetilde rightarrow widetilde $ sú zväzky (porovnaj zväzok) zárodkov častí týchto zväzkov zodpovedajúcej triedy hladkosti. Lineárny diferenciálny operátor v širšom zmysle $ A: E rightarrow F $ je zväzok mapujúci $ widetilde rightarrow widetilde $ vyhovujúce nasledujúcej podmienke: Každý bod $ x v X $ má súradnicové susedstvo $ U $, v ktorom sú zväzky triviálne, zatiaľ čo mapovanie

$ A: Gamma (U, E) rightarrow Gamma (U, F), $

kde $ Gamma (U, E) $ je priestor sekcií $ E $ nad $ U $, pôsobí podľa (1), v ktorej súradnice $ x _ <1> dots x _ $ a bagatelizácie

$ E mid _ cong U krát k ^ , F mid _ cong U krát k ^ $

sa používajú. Najmenšie číslo $ m $ také, že (1) je vhodné vo všetkých bodoch $ x v X $, sa nazýva poradie lineárneho diferenciálneho operátora $ A $. Napríklad každé nenulové pripojenie na $ E $ je lineárny diferenciálny operátor $ d: E rightarrow E otimes Omega ^ <1> (X) $ prvého rádu. Ďalšia ekvivalentná definícia lineárneho diferenciálneho operátora $ A: E rightarrow F $ je nasledovná: Je to lineárny operátor $ A: Gamma (X, E) rightarrow Gamma (X, F) $ spĺňajúci podmienku $ supp Au subset supp u $, kde $ supp u $ je podpora $ u $.

Lineárny diferenciálny operátor je možné definovať v širších funkčných priestoroch. Napríklad ak je na $ X $ definovaná pozitívna metrika a na balíkoch $ E $ a $ F $ je definovaný skalárny produkt, potom sú definované medzery štvorcových integrovateľných sekcií týchto balíkov. Lineárny diferenciálny operátor definovaný lokálnymi výrazmi (1) určuje lineárny neobmedzený operátor $ A: L _ <2> (E) rightarrow L _ <2> (F) $. Za určitých slabých predpokladov môže byť tento uzavretý ako operátor v Hilbertových priestoroch. Tento uzáver sa tiež nazýva operátor lineárneho diferenciálu. Podobným spôsobom je možné zostrojiť operátor, ktorý pôsobí na Sobolevove priestory alebo na priestory všeobecnejších mierok.

Lineárny diferenciálny operátor triedy $ C ^ infty $ je možné rozšíriť na operátora v priestoroch zovšeobecnených sekcií. Takéto rozšírenie je možné zostrojiť pomocou formálne pridruženého operátora. Nech je $ E ^ prime $ duálny zväzok k $ E $ (tj. $ E ^ prime = mathop < rm Hom> (E, I) $, kde $ I $ je triviálny jednorozmerný zväzok ) a nechajte $ Omega $ zväzkom diferenciálnych foriem na maximálnom stupni $ X $. Je definované bilineárne mapovanie

$ ( cdot, cdot) _ : Gamma (X, E) times Gamma _ <0> (X, E ^ prime otimes Omega) rightarrow k, $

čo zahŕňa integráciu nad $ X $. Tu $ Gamma _ <0> ( cdot) $ je priestor sekcií s kompaktnou podporou. Vzorec

jedinečne definuje lineárny operátor

$ <> ^ A: Gamma _ <0> (X, F ^ prime otimes Omega) rightarrow Gamma _ <0> (X, E ^ prime otimes Omega). $

Je indukovaná lineárnym diferenciálnym operátorom $ <> ^ A: F ^ < prime> otimes Omega rightarrow E ^ prime otimes Omega $, ktoré majú vo vnútri súradnicového susedstva $ U $ výraz

$ <> ^ A u = súčet (- 1) ^ + bodky + i _ > frac < čiastočné ^ + bodky + i _ > ( <> ^ a _ bodky i _ > u)> < čiastočné x _ <1> ^ > bodky čiastočné x _ ^ > > , $

ak je zväzok $ Omega $ bagatelizovaný výberom sekcie $ d x _ <1> klín bodky klín d x _ $. Lineárny diferenciálny operátor $ <> ^ A $ je považovaný za formálne spojený s $ A $.

V priestore $ Gamma _ <0> (X, E ^ prime otimes Omega) je $ konvergencia definovaná podľa nasledujúceho pravidla: $ f _ rightarrow f $, ak je spojenie podpôr sekcií $ f _ $ patrí do kompaktnej množiny a ak je v ľubovoľnom súradnicovom susedstve $ U podmnožina X $, nad ktorou je bagatelizácia $ E $, funkcie s vektorovou hodnotou $ f _ $ konverguje jednotne na $ f $ spolu so všetkými parciálnymi deriváciami vzhľadom na lokálne súradnice. Priestor všetkých lineárnych funkcionálov sa nazýva priestor zovšeobecnených častí $ E $ a je označený ako $ D ^ prime (E) $. Prevádzkovateľ $ <> ^ A $ berie konvergentné sekvencie do konvergentných sekvencií a preto generuje adjunktný operátor $ D ^ prime (E) rightarrow D ^ prime (F) $. Druhá sa zhoduje s $ A $ na podpriestore $ Gamma (X, E) $ a nazýva sa rozšírením daného lineárneho diferenciálneho operátora do priestoru zovšeobecnených sekcií. Jeden zvažuje aj ďalšie rozšírenia lineárnych diferenciálnych operátorov, do priestorov zovšeobecnených častí nekonečného poriadku, do priestoru hyperfunkcií atď.

Lineárnym diferenciálnym operátorom nekonečného rádu sa rozumie operátor, ktorý koná v nejakom priestore analytických funkcií (sekcií) a je definovaný (1), v ktorom je súčet nad nekonečnou množinou indexov $ i _ <1> bodky i _ , bodky $.

Nasledujúca vlastnosť charakterizuje lineárne diferenciálne operátory. Postupnosť $ > podmnožina Gamma (X, E) $ sa hovorí, že konverguje do sekcie $ f $, ak $ f _ $ inklinuje jednotne k $ f $ spolu so všetkými čiastočnými derivátmi v ľubovoľnom súradnicovom susedstve, ktoré má kompaktný záver. Lineárny operátor $ A: Gamma _ <0> (X, E) rightarrow Gamma (X, F) $, ktorý berie konvergentné sekvencie do konvergentných sekvencií, je lineárny diferenciálny operátor objednávky najviac $ m $ práve vtedy, ak pre ľubovoľné $ f, g v C ^ infty (X) $ funkciu

$ tag <2> mathop < rm exp> (- i lambda g) A (f mathop < rm exp> (i lambda g)) $

je polynóm v parametri $ lambda $ stupňa najviac $ m m $. Ak je táto podmienka nahradená predpokladom, že (2) je reprezentovaná asymptotickou výkonovou radou, potom sa získa definícia lineárneho pseudo-diferenciálneho operátora.

Predpokladajme, že rozdeľovač $ X $ a tiež zväzky $ E $ a $ F $ sú vybavené štruktúrou $ G $, kde $ G $ je skupina. Potom je pôsobenie tejto skupiny na ľubovoľný lineárny diferenciálny operátor $ A: E rightarrow F $ definované vzorcom

O lineárnom diferenciálnom operátore $ A $ sa hovorí, že je invariantný voči $ G $, ak $ g ^ <*> (A) = A $ pre všetky $ g v G $.

Zväzok trysiek je objekt duálny k priestoru lineárneho diferenciálneho operátora. Opäť predpokladajme, že $ E $ je vektorový zväzok na rozdeľovači $ X $ triedy $ C ^ infty $. Balík $ m $ - trysky sekcií $ E $ je vektorový balík $ J _ (E) $ na $ X $, ktorých vlákno nad bodom $ x $ sa rovná $ widetilde _ / widetilde _ (m) $, kde $ widetilde _ $ je vlákno zväzku $ widetilde $ zárodkov sekcií $ E $ a $ widetilde _ (m) $ je podpriestor tohto vlákna pozostávajúci z mikróbov sekcií, pre ktoré všetky deriváty až do objednávky $ m $ vrátane zmiznú pri $ x $. Operátor lineárneho diferenciálu $ d _ : E rightarrow J _ (E) $, ktoré konajú podľa pravidla: hodnota sekcie $ d _ (u) $ at $ x $ sa rovná obrázku sekcie $ u $ v kvociente $ widetilde _ / widetilde _ (m) $ sa hovorí, že je univerzálny. Ďalej predpokladajme, že $ F $ je balík na $ X $ a že $ A: J _ (E) rightarrow F $ je zväzokový homomorfizmus, to znamená lineárny diferenciálny operátor rádu nula. Zložený

$ tag <3> E rightarrow ^ < > J _ (E) rightarrow ^ F $

je lineárny diferenciálny operátor objednávky najviac $ m $. Naopak, každý lineárny diferenciálny operátor objednávky v hodnote najviac $ m $ možno jedinečne predstaviť ako kompozíciu (3).

Symbol (hlavný systém) lineárneho diferenciálneho operátora $ A: E rightarrow F $ je rodina lineárnych zobrazení.

v závislosti od bodu $ (x, xi) $ kotangenského zväzku $ T ^ <*> (X) $. Konajú podľa vzorca $ e rightarrow a ( xi ^ e) / m! $, kde $ a $ je homomorfizmus zahrnutý v (3), $ e in widetilde _ $ a $ xi ^ e $ je prvok $ J _ (E) _ $ sa rovná obrázku $ f ^ e $, kde $ f $ je zárodok funkcie triedy $ C ^ infty $ taký, že $ f (x) = 0 $, $ df (x) = xi $. Ak má $ A $ formulár (1), potom

kde $ xi _ <1> dots xi _ $ sú súradnice vo vlákne zväzku $ T ^ <*> (U) cong U krát k ^ $, symbol je teda forma stupňa $ m $, homogénna v $ xi $. V súlade s touto konštrukciou symbolu sa zavádza pojem charakteristika. Charakteristikou lineárneho diferenciálneho operátora $ A $ je bod $ (x, xi) v T ^ <*> (X) $, v ktorom má symbol $ sigma _ $ nenulové jadro.

Klasifikácia prijatá v teórii lineárnych diferenciálnych operátorov sa týka hlavne lineárnych diferenciálnych operátorov, ktoré pôsobia vo zväzkoch rovnakej dimenzie, v skutočnosti operátorov tvaru (1), kde sú koeficienty štvorcové matice. O lineárnom diferenciálnom operátore sa hovorí, že je eliptický, ak nemá skutočné charakteristiky $ (x, xi) $ s $ xi neq 0 $ (porovnaj tiež eliptická parciálna diferenciálna rovnica). Táto trieda sa vyznačuje najlepšími miestnymi vlastnosťami riešení rovnice $ Au = w $ a tiež skutočnosťou, že problémy s okrajovými hodnotami v ohraničených doménach sú dobre pripravené. Trieda hyperbolických lineárnych diferenciálnych operátorov sa tiež vyznačuje podmienkou uvalenou iba na charakteristiky (porovnaj Hyperbolická parciálna diferenciálna rovnica). Vlastnosť byť hyperbolická je úzko spojená s dobrou pozíciou Cauchyovho problému s neanalytickými údajmi. Trieda lineárnych diferenciálnych operátorov hlavného typu je určená podmienkou uvalenou iba na symbol (porovnaj hlavný typ, čiastočný diferenciálny operátor). Pre týchto operátorov bola vyvinutá teória miestnej riešiteľnosti a plynulosti riešení. Trieda parabolických lineárnych diferenciálnych operátorov sa vyznačuje podmienkou súvisiacou nielen so symbolom, ale aj s niektorými výrazmi nižšieho rádu (porovnaj Parabolická parciálna diferenciálna rovnica). Pre parabolické lineárne diferenciálne operátory sú typické zmiešaný problém a Cauchyov problém s podmienkami v nekonečne. Trieda hypoeliptických lineárnych diferenciálnych operátorov je špecifikovaná nasledujúcou neformálnou podmienkou: Každé apriórne zovšeobecnené riešenie rovnice $ Au = w $ s pravou stranou od $ C ^ infty $ samotné patrí do $ C ^ infty $. Je známych niekoľko formálnych podmienok pre výraz (1), ktoré zaručujú, že operátor je hypoeliptický.

Okrem týchto základných typov lineárnych diferenciálnych operátorov sa niekedy hovorí o lineárnych diferenciálnych operátoroch zmiešaného alebo variabilného typu (porovnaj tiež diferenciálna rovnica zmiešaného typu), o lineárnych diferenciálnych operátoroch zloženého typu atď. Berieme do úvahy aj problémy v neobmedzených doménach s podmienkami na nekonečno, okrajové úlohy s voľnou hranicou, problémy spektrálnej teórie, problémy optimálnej kontroly a pod.

Komplex lineárnych diferenciálnych operátorov je postupnosť lineárnych diferenciálnych operátorov

$ E ^ <*>: dots rightarrow E _ rightarrow ^ < > E _ 1 pravá šípka ^ < 1> E _ 2 pravé šípky bodky $

v ktorom $ A _ 1 A _ = 0 $ pre všetkých $ k $. Kohomológia komplexu lineárnych diferenciálnych operátorov $ E ^ <*> $ je kohomológia komplexu vektorových priestorov $ Gamma (X, E ^ <*>) $. Nech $ H ^ $ bude kohomológiou tohto komplexu v termíne $ k $. Súčet $ sum (- 1) ^ mathop H ^ $ sa nazýva index komplexu lineárnych diferenciálnych operátorov. Teda index eliptického komplexu lineárnych diferenciálnych operátorov (teda taký, že iba definitívne veľa $ E _ $ sú nenulové a komplex tvorený symbolmi lineárnych diferenciálnych operátorov $ A _ $ je vo všetkých bodoch presné $ (x, xi) v T ^ <*> (X), $ $ xi neq 0 $) je konečné v prípade kompaktného $ X $ a hľadanie vzorcov, ktoré vyjadrujú index takého komplexu z hľadiska jeho symbolu je obsahom množstva výskumov, ktoré kombinujú teóriu lineárnych diferenciálnych operátorov s algebraickou geometriou a algebraickou topológiou (pozri Indexové vzorce).

$ tag <4> D (F) rightarrow ^ < > D (E) rightarrow ^

M (A) rightarrow 0, $

a $ O (X) $ - podmoduly $ M _ ekviv p (D _ (E)) $, $ k = 0, 1 bodky $ vytvárajú rastúcu filtráciu v $ M (A) $. Odstupňovaný modul $ O (X) $

$ mathop < rm gr> M (A) = oplus _ <0> ^ infty M _ / M _ 1, M _ <-> 1 = 0, $

sa nazýva symbolový modul operátora lineárneho diferenciálu $ A $. Pretože pre všetky $ k $ a $ l $ akcia $ D _ $ na $ M (A) $ berie $ M _ $ do $ M _ k $, v $ mathop < rm gr> M (A) $ existuje štruktúra odstupňovaného modulu nad odstupňovanou algebrou $ mathop < rm gr> D equiv oplus _ <0> ^ infty D _ / D _ 1 $. Anihilátor tohto modulu je homogénny ideál v $ mathop < rm gr> D $. Charakteristickým rozdeľovačom operátora $ A $ je množina núl tohto ideálu. Pretože algebra $ mathop < rm gr> D $ je izomorfná so symetrickou algebrou dotyčnového zväzku $ T (X) $, je charakteristické potrubie kanonicky vložené do $ T ^ <*> (X) $ a jeho priesečník s každým vláknom je algebraický kužeľ.

Ak potrubie $ X $ a dané zväzky majú skutočnú alebo zložitú analytickú štruktúru, potom sa charakteristické potrubie zhoduje so súborom koreňov ideálneho $ mathop < rm gr> ( mathop < rm ann> M (A) ) $. V tomto prípade ide o uzavretú analytickú podmnožinu $ T ^ <*> (X) $, a ak nie je prázdna, jej dimenzia je najmenej $ mathop < rm dim> X $. V prípade, že sa táto dimenzia rovná $ mathop < rm dim> X $, je lineárny diferenciálny operátor $ A $ považovaný za maximálne predurčený alebo holonomický.

Formálna teória všeobecných lineárnych diferenciálnych operátorov sa zaoberá pojmami formálna integrovateľnosť a rezolúcia. Vlastnosť formálnej integrovateľnosti formalizovaná v duálnej terminológii prúdov je ekvivalentná podmienke, že $ O (X) $ - modul $ mathop < rm gr> M (A) $ je lokálne zadarmo. Rozpúšťadlom lineárneho diferenciálneho operátora $ A $ sa rozumie postupnosť, ktorá sa rozširuje (4),

$ dots rightarrow D (F _ <1>) rightarrow ^ < ^ prime> D (F) mathop rightarrow limity ^ < > D (E) pravé šípka M (A), $

v ktorom sú všetky $ A _ $, $ k = 1, 2 bodky $ sú lineárne diferenciálne operátory. Najmä $ A _ <1> $ sa nazýva operátor kompatibility pre $ A $. Formálna integrovateľnosť zabezpečuje miestnu existenciu rezolúcie.

V literatúre sa pre systémy diferenciálnych rovníc používajú pojmy „nadmerne určené“ a „nedostatočne určené“, avšak neexistuje uspokojivá všeobecná definícia. Ako aproximácia takejto definície by mohlo slúžiť nasledujúce: Existuje nenulový lineárny diferenciálny operátor $ B $ taký, že $ BA = 0 $ (nadmerné stanovenie), $ AB = 0 $ (nedostatočné stanovenie). Napríklad lineárny diferenciálny operátor $ d $, ktorý sa rovná obmedzeniu operátora vonkajšej diferenciácie na formy stupňa $ k $ na rozdeľovači $ X $ dimenzie $ n $, je nedostatočne určený pre $ k & gt 0 $, nadmerne určený pre $ k & lt n $ a holonomické pre $ k = 0 $.

Hlavné problémy študované pre všeobecné lineárne diferenciálne operátory sú nasledujúce: Riešiteľnosť rovnice s pravou stranou $ Au = w $, ak je splnená podmienka kompatibility $ A _ <1> u = 0 $, je rozšírená možnosť riešenia rovnica $ Au = 0 $ do väčšej domény (efekt spojený s nadmerným určením) a znázornenie všeobecného riešenia v zmysle riešenia špeciálnej formy. Posledný problém je možné uviesť konkrétnejšie pre invariantné operátory, napríklad pre lineárne diferenciálne operátory v $ mathbf R ^ $ s konštantnými alebo periodickými koeficientmi: Popísať zastúpenie skupiny $ G $ v priestore riešení ako integrál (v určitom zmysle) nad všetkými nerozložiteľnými subreprezentáciami. Pri určovaní operátorov s konštantnými koeficientmi je takáto reprezentácia špecifikovaná integrálom vzhľadom na exponenty (exponenciálna reprezentácia) a pre operátory s periodickými koeficientmi integrálom vzhľadom na zovšeobecnené riešenia Floquet.

Lineárne diferenciálne operátory sú definované aj na ľubovoľných algebraických štruktúrach. Nech je $ R $ komutatívnym krúžkom a nech $ E $ a $ F $ sú $ R $ - moduly. Mapovanie množín $ A: E rightarrow F $ sa nazýva lineárny diferenciálny operátor objednávky najviac $ m $, ak je aditívny, a pre akýkoľvek prvok $ a v R $ je mapovanie $ aA- Aa $ lineárnym diferenciálom operátor objednávky najviac $ m - 1 $. Lineárny diferenciálny operátor objednávky maximálne $ - 1 $ znamená nulové mapovanie. Najmä lineárny diferenciálny operátor rádu nula je homomorfizmus modulov $ R $ a naopak. Každá derivácia (porovnaj Derivácia v kruhu) $ v: R rightarrow F $ je lineárny diferenciálny operátor prvého rádu (alebo rovný nule). Ak je $ R $ algebra nad poľom $ k $, potom je operátor lineárneho diferenciálu nad $ R $ lineárnym diferenciálnym operátorom nad kruhom $ R $, čo je lineárne mapovanie $ k $. Takýto lineárny diferenciálny operátor má množstvo formálnych vlastností bežných lineárnych diferenciálnych operátorov. Ak $ R $ je algebra všetkých formálnych silových radov nad $ k $ alebo algebra konvergentných silových radov nad $ k $ a ak $ E $ a $ F $ sú zadarmo $ R $ - moduly konečného typu, potom každý operátor lineárneho diferenciálu $ A: E rightarrow F $ objednávky najviac $ m $ je možné zapísať jedinečne vo forme (1).

Nech $ (X, < mathcal O>) $ je krúžkovaný priestor a nech $ E $ a $ F $ sú $ < mathcal O> $ - moduly. Lineárny diferenciálny operátor $ A: E rightarrow F $ je akýkoľvek morfizmus zväzku, ktorý pôsobí vo vláknach v každom bode $ x v X $ ako lineárny diferenciálny operátor cez kruh (algebra) $ < mathcal O> _ $. Lineárne operátory diferenciálu, ktoré pôsobia v moduloch alebo zväzkoch modulov, sa použili v rade otázok v algebraickej geometrii.


2. Lineárne diferenciálne rovnice s neobmedzeným operátorom.

Predpokladajme, že $ A _ <0> (t) $ je invertovateľné za každých $ t $, takže (1) je možné pre deriváciu vyriešiť a má formu

a predpokladajme, že tu $ A (t) $ je neobmedzený operátor v priestore $ E $, s hustou definičnou doménou $ D (A (t)) $ v $ E $ a s neprázdnou množinou rezolventov, a predpokladajme, že $ f (t) $ je daná funkcia a $ u (t) $ neznáma funkcia, obe s hodnotami v $ E $.

Aj pre najjednoduchšiu rovnicu $ dot = Au $ s neobmedzeným operátorom, riešenia Cauchyovho problému $ u (0) = u _ <0> $ nemusia existovať, môžu byť nejedinečné a nemusia byť rozšíriteľné na celú poloosu, takže hlavné vyšetrovania sú venované otázkam existencie a jedinečnosti riešení. Riešenie rovnice $ dot = Au $ v intervale $ [0, T] $ sa chápe ako funkcia, ktorá nadobúda hodnoty v $ D (A) $, je diferencovateľná na $ [0, T] $ a vyhovuje rovnici. Niekedy je táto definícia príliš rigidná a človek zavádza koncept slabého riešenia ako funkciu, ktorá má rovnaké vlastnosti na $ (0, T] $ a je spojitá iba na $ 0 $.

Predpokladajme, že operátor $ A $ má rozpúšťadlo

$ R ( lambda, A) = (A - lambda I) ^ <-> 1 $

pre všetky dostatočne veľké kladné $ lambda $ a to

Potom slabé riešenie problému

je jedinečný na $ [0, T - h] $ a môže byť rozvetvený pre $ t = T - h $. Ak $ h = 0 $, potom je riešenie jedinečné na celej poloose. Toto tvrdenie je presné, pokiaľ ide o správanie $ R ( lambda, A) $ ako $ lambda rightarrow infty $.

Ak pre každé $ u _ <0> v D (A) $ existuje jedinečné riešenie problému (10), ktoré je neustále diferencovateľné na $ [0, T] $, potom je možné toto riešenie rozšíriť na celý semi -osi a môžu byť zastúpené v tvare $ u (t) = U (t) u _ <0> $, kde $ U (t) $ je silne spojitá poloskupina obmedzených operátorov na $ [0, infty) $, $ U (0) = I $, pre ktoré je odhad $ | U (t) | leq M e ^ < omega t> $ drží. Aby rovnica mala túto vlastnosť, je potrebné a postačujúce

$ tag <11> | ( lambda - omega) ^ R ^ ( lambda, A) | leq M $

pre všetky $ lambda & gt omega $ a $ m = 1, 2 bodky $, kde $ M $ nezávisí od $ lambda $ a $ m $. Tieto podmienky sa ťažko overujú. Sú spokojní, ak $ | ( lambda - omega) R ( lambda, A) | leq 1 $ a potom $ | U (t) | leq e ^ < omega t> $. Ak $ omega = 0 $, potom $ U (t) $ je kontrakčná poloskupina. Je tomu tak vtedy a len vtedy, ak je $ A $ maximálnym disipatívnym operátorom. Ak $ u _ <0> notin D (A) $, potom funkcia $ U (t) u _ <0> $ nie je diferencovateľná (v každom prípade pre $ t = 0 $) sa často nazýva zovšeobecnené riešenie z (10). Riešenie rovnice $ dot = Au $ je možné zostrojiť ako limit riešení rovnice $ dot ako $ n rightarrow infty $. = A _ u $ s obmedzenými operátormi za rovnakých počiatočných podmienok. K tomu stačí, aby operátori $ A _ $ dochádzanie, silno konvergujte na $ A $ za $ D (A) $ a podobne

Ak sú podmienky (11) splnené, potom operátori $ A _ = - nI - n ^ <2> R ( lambda, A) $ (operátori Yosida) majú tieto vlastnosti.

Ďalšia metóda na konštrukciu riešení rovnice $ dot = A u $ je založené na Laplaceovej transformácii. Ak je rezolúcia $ A $ definovaná na nejakom obryse $ Gamma $, potom funkcia

$ tag <12> u (t) = - frac <1> <2 pi i> int limits _ gama e ^ < lambda t> R ( lambda, A) u _ <0> d lambda $

formálne spĺňa rovnicu

$ bodka = A u + frac <1> <2 pi i> int limits _ Gamma e ^ < lambda t> d lambda u _ <0>. $

Ak je zabezpečená konvergencia integrálov, platnosť diferenciácie pod integrálnym znamienkom a zmiznutie posledného integrálu, potom $ u (t) $ vyhovuje rovnici. Problém spočíva v tom, že norma rezolúcie nemôže klesnúť rýchlejšie ako $ | lambda | ^ <-> 1 $ na nekonečno. U niektorých prvkov však klesá rýchlejšie. Napríklad ak je $ R ( lambda, A) $ definované pre $ mathop < rm Re> lambda geq alpha $ a ak

$ | R ( lambda, A) | leq M | lambda | ^ , k geq - 1, $

za dostatočne veľký $ | lambda | $, potom pre $ Gamma = (- - infty, i infty) $ vzorec (12) poskytuje riešenie pre ľubovoľné $ u _ <0> v D (A ^ <[k] + 3>) $. V „menej dobrom“ prípade, keď je predchádzajúca nerovnosť uspokojená iba v doméne

(slabo hyperbolické rovnice) a $ Gamma $ je hranica tejto domény, získa sa riešenie iba pre $ u _ <0> $ patriace do križovatky domén definície všetkých právomocí $ A $, s definitívne správanie $ | A ^ u _ <0> | $ ako $ n rightarrow infty $.

Výrazne slabšie riešenia sa dočkajú v prípade, že $ Gamma $ prejde do ľavej polroviny a dá sa využiť pokles funkcie $ | e ^ < lambda t> | $ na to. Riešenia spravidla zvýšili plynulosť pre $ t & gt 0 $. Ak je rozpúšťadlo ohraničené na kontúre $ Gamma $: $ mathop < rm Re> lambda = - psi (| mathop < rm Im> lambda |) $, kde $ psi ( tau) $ je plynulá neklesajúca konkávna funkcia, ktorá rastie ako $ mathop < rm ln> tau $ na $ infty $, potom pre akýkoľvek $ u _ <0> v E $ je funkcia (12) diferencovateľná a spĺňa rovnicu, počnúc nejakými $ t _ <0> $, keď sa $ t $ ďalej zvyšuje, zvyšuje sa jeho plynulosť. Ak $ psi ( tau) $ rastie ako sila $ tau $ s exponentom menším ako jeden, potom je funkcia (12) nekonečne diferencovateľná pre $ t & gt 0 $, ak $ psi ( tau) $ rastie ako $ tau / mathop < rm ln> tau $, potom $ u (t) $ patrí do kvázi analytickej triedy funkcií, ak sa zvyšuje ako lineárna funkcia, potom je $ u (t) $ analytické. Vo všetkých týchto prípadoch vyhovuje rovnici $ dot = A u $.

Existenciu rezolúcie na kontúrach, ktoré prechádzajú do ľavej polroviny, je možné získať použitím sériového rozšírenia zo zodpovedajúcich odhadov na zvislých čiarach. Ak za $ mathop < rm Re> lambda geq gamma $,

$ tag <13> | R ( lambda, A) | leq M (1 + | mathop < rm Im> lambda |) ^ <- beta>, 0 & lt beta & lt 1, $

potom pre každý $ u _ <0> v D (A) $ existuje riešenie problému (10). Všetky tieto riešenia sú nekonečne diferencovateľné za $ t & gt 0 $. Môžu byť reprezentované v tvare $ u (t) = U (t) u _ <0> $, kde $ U (t) $ je nekonečne diferencovateľná poloskupina pre $ t & gt 0 $, ktorá má, všeobecne povedané, singularita pri $ t = 0 $. Pre jeho deriváty je k dispozícii odhad

Ak je odhad (13) uspokojený pre $ beta = 1 $, potom všetky zovšeobecnené riešenia rovnice $ dot = Au $ sú analytické v niektorom sektore obsahujúcom kladnú poloosu.

Rovnica $ dot = Au $ sa nazýva abstraktná parabolická rovnica, ak existuje jedinečné slabé riešenie na $ [0, infty] $ vyhovujúce počiatočnej podmienke $ u (0) = u _ <0> $ pre ľubovoľný $ u _ <0> v E $. Ak

$ tag <14> | R ( lambda, A) | leq M | lambda - omega | ^ <-> 1 textrm

  mathop < rm Re>  lambda & gt  omega, $

potom je rovnica abstraktná parabolická rovnica. Všetky jeho zovšeobecnené riešenia sú analytické v niektorých sektoroch obsahujúcich kladnú poloosu a

kde $ C $ nezávisí od $ u _ <0> $. Naopak, ak má rovnica uvedené vlastnosti, potom je pre operátora $ 14 splnená hodnota $ A $.

Ak má úloha (10) jedinečné slabé riešenie pre ľubovoľné $ u _ <0> v D (A) $, pre ktoré je derivácia integrovateľná v každom konečnom intervale, potom môžu byť tieto riešenia zastúpené vo forme $ u (t) = U (t) u _ <0> $, kde $ U (t) $ je silne spojitá poloskupina na $ (0, infty) $ a každé slabé riešenie nehomogénnej rovnice $ dot = Av + ​​f (t) $ s počiatočnou podmienkou $ v (0) = 0 $ môžu byť reprezentované vo formulári

$ tag <15> v (t) = int limity _ <0> ^ U (t- s) f (s) ds. $

Funkcia $ v (t) $ je definovaná pre akékoľvek spojité $ f (t) $, preto sa nazýva zovšeobecnené riešenie nehomogénnej rovnice. Aby sa zabezpečilo, že je rozlíšiteľný, kladie sa podmienka hladkosti na $ f (t) $ a čím je horšia poloskupina $ U (t) $, tým vyššie by mali byť. Za predchádzajúcich podmienok je teda (15) slabým riešením nehomogénnej rovnice, ak je $ f (t) $ dvakrát kontinuálne diferencovateľné, ak je splnená (11), potom (15) je riešením, ak $ f (t) $ je neustále diferencovateľné, ak (13) je spokojný s $ beta & gt 2/3 $, potom $ v (t) $ je slabé riešenie, ak $ f (t) $ spĺňa Hölderovu podmienku s exponentom $ gamma & gt 2 (1 - 1 / beta) $. Namiesto plynulosti $ f (t) $ vzhľadom na $ t $ možno požadovať, aby hodnoty $ f (t) $ patrili do oblasti definície zodpovedajúcej sily $ A $.

Pre rovnicu s variabilným operátorom

$ tag <16> dot = A (t) u, 0 leq t leq T, $

existujú určité základné vety o jedinečnosti a jedinečnosti riešení (slabých riešení) Cauchyho problému $ u (s) = u _ <0> $ v intervale $ s leq t leq T $. Ak definičná doména $ A (t) $ nezávisí od $ t $,

ak je operátor $ A (t) $ silne spojitý s ohľadom na $ t $ na $ D (A) $ a ak

$ | lambda R ( lambda, A (t)) | leq 1 $

pre $ lambda & gt 0 $ je riešenie Cauchyho problému jedinečné. Navyše, ak je $ A (t) $ silne kontinuálne diferencovateľné na $ D (A) $, potom pre každé $ u _ <0> v D (A) $ existuje riešenie a môže byť reprezentované vo forme

kde $ U (t, s) $ je operátor evolúcie s nasledujúcimi vlastnosťami:

1) $ U (t, s) $ je silne spojitá v trojuholníku $ T _ Delta $: $ 0 leq s leq t leq T $

2) $ U (t, s) = U (t, tau) U ( tau, s) $, $ 0 leq s leq tau leq t leq T $, $ U (s, s) = I $

3) $ U (t, s) $ mapuje $ D (A) $ do seba a do operátora

je ohraničený a silne spojitý v $ T _ Delta $

4) na $ D (A) $ je operátor $ U (t, s) $ silne diferencovateľný vzhľadom na $ t $ a $ s $ a

Konštrukcia operátora $ U (t, s) $ sa uskutočňuje aproximáciou $ A (t) $ obmedzenými operátormi $ A _ (t) $ a ich nahradenie operátormi s konštantou po častiach.

Pri mnohých dôležitých problémoch nie sú splnené predchádzajúce podmienky na operátorovi $ A (t) $. Predpokladajme, že pre operátora $ A (t) $ existujú konštanty $ M $ a $ omega $ také, že

$ | R ( lambda, A (t _ )) bodky R ( lambda, A (t _ <1>)) | leq M ( lambda - omega) ^ <-> k $

pre všetky $ lambda & gt omega $, $ 0 leq t _ <1> leq dots leq t _ leq T $, $ k = 1, 2,. . . $. Predpokladajme, že v $ E $ je husto vložený Banachov priestor $ F $ obsiahnutý vo všetkých $ D (A (t)) $, ktorý má nasledujúce vlastnosti: a) operátor $ A (t) $ koná obmedzene od $ F $ to $ E $ a je nepretržitý, pokiaľ ide o $ t $ v norme ako obmedzeného operátora od $ F $ do $ E $ ab) existuje izomorfizmus $ S $ z $ F $ na $ E $ taký, že

kde $ B (t) $ je operátorská funkcia, ktorá je ohraničená na $ E $ a je silne merateľná a pre ktorú $ | B (t) | $ je integrovateľný na $ [0, T] $. Potom existuje evolučný operátor $ U (t, s) $, ktorý má vlastnosti: 1) 2) 3 ') $ U (t, s) F podmnožina F $ a $ U (t, s) $ je silne spojitá v $ F $ na $ T _ Delta $ a 4 ') na $ F $ je operátor $ U (t, s) $ silne diferencovateľný v zmysle normy $ E $ a $ čiastočný U / čiastočný t = A (t) U $, $ čiastočné U / čiastočné s = - UA (s) $. Toto tvrdenie umožňuje získať vety o existencii základných kvázi-lineárnych rovníc matematickej fyziky hyperbolického typu.

Metóda zmrazených koeficientov sa používa v teórii parabolických rovníc. Predpokladajme, že za každých $ t _ <0> v [0, T] $, rovnica $ dot = A ( t _ <0>) u $ corresponds an operator semi-group $ U _ ) > ( t) $. The unknown evolution operator formally satisfies the integral equations

$ + intlimits _ < s >^ < t >U _ ( t - s ) [ A ( au ) - A ( t) ] U ( au , s ) d au , $

$ + intlimits _ < s >^ < t >U ( t , au ) [ A ( au ) - A ( s) ] U _ ( au - s ) d au . $

When the kernels of these equations have weak singularities, one can prove that the equation has solutions and also that $ U ( t , s ) $ is an evolution operator. The following statement has the most applications: If

$ D ( A ( t) ) equiv D ( A) , | R ( lambda , A ( t) ) | < M ( 1 + | lambda | ) ^ <->1 $

for $ mathop < m Re>lambda geq 0 $ and

$ | [ A ( t) - A ( s) ] A ^ <->1 ( 0) | leq C | t - s | ^ ho $

(a Hölder condition), then there is an evolution operator $ U ( t , s ) $ that gives a weak solution $ U ( t , s ) u _ <0>$ of the Cauchy problem for every $ u _ <0>in E $. Uniqueness of the solution holds under the single condition that the operator $ A ( t) A ^ <->1 ( 0) $ is continuous (in a Hilbert space). An existence theorem similar to the one given above holds for the operator $ A ( t) $ with a condition of type (13) and for a certain relation between $ eta $ and $ ho $.

The assumption that $ D ( A ( t) ) $ is constant does not make it possible in applications to consider boundary value problems with boundary conditions depending on $ t $. Predpokladajme, že

$ | R ( lambda , A ( t) ) | leq M ( 1 + | lambda | ) ^ <->1 , mathop < m Re>lambda > 0 $

$ left | frac 1 ( t) >

- frac 1 ( s) > vpravo | leq K | t - s | ^ alpha , 0 < alpha < 1 $

$ left | frac partial R ( lambda , A ( t) ) ight | leq N | lambda | ^ < ho - 1 >, 0 leq ho leq 1 , $

in the sector $ | mathop < m arg>lambda | leq pi - phi $, $ phi < pi / 2 $ then there is an evolution operator $ U ( t , s ) $. Here it is not assumed that $ D ( A ( t) ) $ is constant. There is a version of the last statement adapted to the consideration of parabolic problems in non-cylindrical domains, in which $ D ( A ( t) ) $ for every $ t $ lies in some subspace $ E ( t) $ of $ E $.

The operator $ U ( t , s ) $ for equation (16) formally satisfies the integral equation

$ ag <17 >U ( t , s ) = I + intlimits _ < s >^ < t >A ( au ) U ( au , s ) d au . $

Since $ A ( t) $ is unbounded, this equation cannot be solved by the method of successive approximation (cf. Sequential approximation, method of). Suppose that there is a family of Banach spaces $ E _ alpha $, $ 0 leq alpha leq 1 $, having the property that $ E _ eta subset E _ alpha $ and $ | x | _ alpha leq | x | _ eta $ for $ alpha < eta $. Suppose that $ A ( t) $ is bounded as an operator from $ E _ eta $ to $ E _ alpha $:

and that $ A ( t) $ is continuous with respect to $ t $ in the norm of the space of bounded operators from $ E _ eta $ to $ E _ alpha $. Then in this space the method of successive approximation for equation (17) will converge for $ | t - s | leq ( eta - alpha ) ( Ce ) ^ <->1 $. In this way one can locally construct an operator $ U ( t , s ) $ as a bounded operator from $ E _ eta $ to $ E _ alpha $. In applications this approach gives theorems of Cauchy–Kovalevskaya type (cf. Cauchy–Kovalevskaya theorem).

For the inhomogeneous equation (9) with known evolution operator, for the equation $ dot = A ( t) u $ the solution of the Cauchy problem is formally written in the form

$ u ( t) = U ( t , s ) u _ <0>+ intlimits _ < s >^ < t >U ( t , au ) f ( au ) d au . $

This formula can be justified in various cases under certain smoothness conditions on $ f ( t) $.


Differential operator


A generalization of the concept of a differentiation operator. A differential operator (which is generally discontinuous, unbounded and non-linear on its domain) is an operator defined by some differential expression, and acting on a space of (usually vector-valued) functions (or sections of a differentiable vector bundle) on differentiable manifolds or else on a space dual to a space of this type. A differential expression is a mapping $ lambda $ of a set $ Omega $ in the space of sections of a vector bundle $ xi $ with base $ M $ into the space of sections of a vector bundle $ eta $ with the same base such that for any point $ p in M $ and arbitrary sections $ f , g in Omega $ the coincidence of their $ k $- jets (cf. Jet) at $ p $ entails the coincidence of $ lambda f $ and $ lambda g $ at that point. The smallest number $ k $ which meets this condition for all $ p in M $ is said to be the order of the differential expression and the order of the differential operator defined by this expression.

A differential operator on a manifold $ M $ without boundary often proves to be an extension of an operator which is defined in a natural manner by a fixed differential expression on some set, open in an appropriate topology, of infinitely (or sufficiently often) differentiable sections of a given vector bundle $ xi $ with base $ M $, and thus permits a natural extension to the case of sheaves of germs of sections of differentiable vector bundles. A differential operator $ L $ on a manifold $ M $ with boundary $ partial M $ is often defined as an extension of an analogous operator which is naturally defined by a differential expression on the set of differentiable functions (or sections of a vector bundle), the restrictions of which to $ partial M $ lie in the kernel of some differential operator $ l $ on $ partial M $( or satisfies some other conditions definable by some requirements to be satisfied in the domain of values of an operator $ l $ on the restrictions of the functions from the domain of definition of $ L $, such as inequalities) the differential operator $ l $ is said to define the boundary conditions for the differential operator $ L $. Linear differential operators on spaces dual to spaces of functions (or sections) are defined as operators dual to the differential operators of the above type on these spaces.

Príklady.

1) Let $ F $ be a real-valued function of $ k+ 2 $ variables $ x , y _ <0>dots y _ $, defined in some rectangle $ Delta = I imes J _ <0> imes dots imes J _ $ the differential expression

$ D u = F left ( x , u , frac dots frac u > > ight ) $

(where $ F $ usually satisfies some regularity conditions such as measurability, continuity, differentiability, etc.) defines a differential operator $ D $ on the manifold $ I $, the domain of definition $ Omega $ of which consists of all functions $ u in C ^ ( I ) $ satisfying the condition $ u ^ <(>i) ( x) in J _ $ for $ i = 1 , 2 ,dots $. If $ F $ is continuous, $ D $ may be considered as an operator on $ C ( I) $ with domain of definition $ Omega $ the differential operator $ D $ is said to be a general ordinary differential operator. If $ F $ depends on $ y _ $, the order of $ D $ is $ k $. $ D $ is said to be quasi-linear if it depends linearly on $ y _ $ it is linear if $ F $ depends linearly on $ y _ <0>dots y _ $ it is said to be linear with constant coefficients if $ F $ is independent of $ x $ and if $ D $ is a linear differential operator. The remaining differential operators are said to be non-linear. If certain conditions as to the regularity of $ F $ are satisfied, a quasi-linear operator may be extended to a differential operator from one Sobolev space into another.

2) Let $ x = ( x ^ <1>dots x ^ ) $ run through a domain $ $ in $ mathbf R ^ $, let $ F = ( x , u , D ^ <(>n) ( u) ) $ be a differential expression defined by a real-valued function $ F $ on the product of $ $ and some open rectangle $ omega $, where $ D ^ <(>n) ( u) $ is a set of partial derivatives of the type $ D ^ alpha u = partial ^ + dots + alpha _ > u / ( partial x ^ <1>) ^ > dots ( partial x ^ ) ^ > $, where $ alpha _ <1>+ dots + alpha _ leq n $, and, as in example 1), let the function $ F $ satisfy certain regularity conditions. The differential operator defined by this expression on the space of sufficiently often differentiable functions on $ $ is known as a general partial differential operator. As in example 1), one defines non-linear, quasi-linear and linear partial differential operators and the order of a partial differential operator a differential operator is said to be elliptic, hyperbolic or parabolic if it is defined by a differential expression of the respective type. One sometimes considers functions $ F $ depending on derivatives of all orders (e.g. as their formal linear combination) such differential expressions, although not defining a differential operator in the ordinary sense, can nevertheless be brought into correspondence with certain operators (e.g. on spaces of germs of analytic functions), and are known as differential operators of infinite order.

3) The previous examples may be extended to include the complex-valued case or the case of functions with values in a locally compact, totally disconnected field and (at least in the case of linear differential operators) even to a more general situation (cf. Differential algebra).

4) Systems of differential expressions define differential operators on spaces of vector functions. For example, the Cauchy–Riemann differential operator, defined by the expression $ < partial u / partial x - partial v / partial y, partial u / partial y + partial v / partial x >$, converts the space of pairs of harmonic functions on the plane into itself.

In the definition of a differential operator and of its generalizations one often employs (besides ordinary derivatives) generalized derivatives, which appear in a natural manner when considering extensions of differential operators defined on differentiable functions, and weak derivatives, related to the transition to the adjoint operator. Moreover, derivatives of fractional and negative orders appear when the differentiation is defined by means of a Fourier transform (or some other integral transform), applicable to the domain of definition and range of such a generalized differential operator (cf. Pseudo-differential operator). This is done in order to obtain the simplest possible representation of the corresponding differential operator of a function $ F $ and to attain a reasonable generality in the formulation of problems and satisfactory properties of the objects considered. In this way, a functional or operational calculus is obtained, extending the correspondence between the differentiation operator and the operator of multiplication by the independent variable as realized in the Fourier transform.

Problems in the theory of differential equations — such as problems of existence, uniqueness, regularity, continuous dependence of the solutions on the initial data or on the right-hand side, the explicit form of a solution of a differential equation defined by a given differential expression — are readily interpreted in the theory of operators as problems on the corresponding differential operator defined on suitable function spaces — viz. as problems on kernels, images, the structure of the domain of definition of a given differential operator $ L $ or of its extension, continuity of the inverse of the given differential operator and explicit construction of this inverse operator. Problems of the approximation of solutions and of the construction of approximate solutions of differential equations are also readily generalized and improved as problems on the corresponding differential operators, viz. — selection of natural topologies in the domain of definition and in the range such that the operator $ L $( if the solutions are unique) realizes a homeomorphism of the domains of definition and ranges in these topologies (this theory is connected with the theory of interpolation and scales (grading) of function spaces, in particular for linear and quasi-linear differential operators). Another example is the selection of differential operators close to a given operator in some definite sense (which makes it possible by using appropriate topologies in the space of differential operators, to justify methods of approximation of equations, such as the regularization and the penalty method, and iterated regularization methods). The theory of differential operators makes it possible to apply classical methods in the theory of operators, e.g. the theory of compact operators, and the method of contraction mappings in various existence and uniqueness theorems for differential equations, in the theory of bifurcation of solutions and in non-linear eigen value problems. Other applications utilize a natural order structure present in function spaces on which a differential operator is defined (in particular, the theory of monotone operators), or use methods of linear analysis (the theory of duality, convex sets, dual or dissipative operators). Again, variational methods and the theory of extremal problems or the presence of certain supplementary structures (e.g. complex, symplectic, etc.) can be used in order to clarify the structure of the kernel and range of the differential operator, i.e. to obtain information on the solution space of the respective equations. Many problems connected with differential expressions necessitate a study of differential inequalities, which are closely connected with multi-valued differential operators.

Thus, the theory of differential operators makes it possible to eliminate a number of difficulties involved in the classical theory of differential equations. The utilization of various extensions of classical differential operators leads to the concept of generalized solutions of the corresponding differential equations (which necessarily proved to be classical in several cases connected with, say, elliptic problems), while the utilization of the linear structure makes it possible to introduce the concept of weak solutions of differential equations. In choosing a suitable extension of a differential operator as defined by a differential expression, a priori estimates of solutions connected with such an expression are of importance, since they permit one to identify function spaces on which the extended operator is continuous or bounded.

Moreover, the theory of differential operators also makes it possible to formulate and solve many new problems, which are qualitatively different from the classical problems in the theory of differential equations. Thus, in the study of non-linear operators it is of interest to study the structure of the set of its stationary points and the action of the operator in a neighbourhood of them, as well as the classification of these singular points, and the stability of the type of the singular point when the respective differential operator is perturbed. Other subjects of interest in the theory of linear differential operators are the description and the study of the spectrum of a differential operator, the calculation of its index, the structure of invariant subspaces of the differential operator, the harmonic analysis of a given differential operator (in particular, the decomposition, which requires a preliminary study of the completeness of the system of eigen functions and associated functions). There is also the study of linear and non-linear perturbations of a given differential operator. These results are of special interest for elliptic differential operators generated by symmetric differential expressions in the context of the theory of self-adjoint operators on a Hilbert space (in particular, in the spectral theory of these operators and the theory of extensions of symmetric operators). The theory of various hyperbolic and parabolic (not necessarily linear) differential operators is connected with the theory of groups and semi-groups of operators on locally convex spaces.

Next to the linear class of differential operators, perhaps the most intensively studied class are differential operators which are either invariant or which vary according to a specific law when certain transformations constituting a group (or a semi-group) $ G $ are acting in their domain of definition, and hence also on the differential expression. These include, for instance, invariant differential operators connected with the representations of a group $ G $ the covariant derivative or, more generally, differential operators on spaces of differentiable tensor fields, where $ G $ is the group of all diffeomorphisms (the so-called atomization) many examples of operators in theoretical physics, etc. Such functional-geometric methods are also useful in the study of differential operators with so-called hidden symmetry (see, for example, Korteweg–de Vries equation).


Obsah

The most common differential operator is the action of taking the derivative. Common notations for taking the first derivative with respect to a variable X include:

When taking higher, nth order derivatives, the operator may be written:

The derivative of a function f of an argument X is sometimes given as either of the following:

The D notation's use and creation is credited to Oliver Heaviside, who considered differential operators of the form

One of the most frequently seen differential operators is the Laplacian operator, defined by

Another differential operator is the Θ operator, or theta operator, defined by [1]

This is sometimes also called the homogeneity operator, because its eigenfunctions are the monomials in z:

In n variables the homogeneity operator is given by

As in one variable, the eigenspaces of Θ are the spaces of homogeneous polynomials.

In writing, following common mathematical convention, the argument of a differential operator is usually placed on the right side of the operator itself. Sometimes an alternative notation is used: The result of applying the operator to the function on the left side of the operator and on the right side of the operator, and the difference obtained when applying the differential operator to the functions on both sides, are denoted by arrows as follows:

Such a bidirectional-arrow notation is frequently used for describing the probability current of quantum mechanics.

The differential operator del, also called nabla, is an important vector differential operator. It appears frequently in physics in places like the differential form of Maxwell's equations. In three-dimensional Cartesian coordinates, del is defined as

Del defines the gradient, and is used to calculate the curl, divergence, and Laplacian of various objects.

Given a linear differential operator T

the adjoint of this operator is defined as the operator T ∗ > such that

where the notation ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ is used for the scalar product or inner product. This definition therefore depends on the definition of the scalar product.

Formal adjoint in one variable Edit

In the functional space of square-integrable functions on a real interval (a, b) , the scalar product is defined by

where the line over f(X) denotes the complex conjugate of f(X). If one moreover adds the condition that f alebo g vanishes as x → a and x → b , one can also define the adjoint of T od

This formula does not explicitly depend on the definition of the scalar product. It is therefore sometimes chosen as a definition of the adjoint operator. When T ∗ > is defined according to this formula, it is called the formálny adjoint z T.

A (formally) samo-adjunkt operator is an operator equal to its own (formal) adjoint.

Several variables Edit

If Ω is a domain in R n a P a differential operator on Ω, then the adjoint of P is defined in Ľ 2 (Ω) by duality in the analogous manner:

for all smooth Ľ 2 functions f, g. Since smooth functions are dense in Ľ 2 , this defines the adjoint on a dense subset of Ľ 2 : P * is a densely defined operator.

Príklad úpravy

The Sturm–Liouville operator is a well-known example of a formal self-adjoint operator. This second-order linear differential operator Ľ can be written in the form

L u = − ( p u ′ ) ′ + q u = − ( p u ″ + p ′ u ′ ) + q u = − p u ″ − p ′ u ′ + q u = ( − p ) D 2 u + ( − p ′ ) D u + ( q ) u . u+(-p')Du+(q)u.!>

This property can be proven using the formal adjoint definition above.

This operator is central to Sturm–Liouville theory where the eigenfunctions (analogues to eigenvectors) of this operator are considered.

kde f a g are functions, and a is a constant.

Any polynomial in D with function coefficients is also a differential operator. We may also compose differential operators by the rule

Some care is then required: firstly any function coefficients in the operator D2 must be differentiable as many times as the application of D1 requires. To get a ring of such operators we must assume derivatives of all orders of the coefficients used. Secondly, this ring will not be commutative: an operator gD isn't the same in general as Dg. For example we have the relation basic in quantum mechanics:

The subring of operators that are polynomials in D with constant coefficients is, by contrast, commutative. It can be characterised another way: it consists of the translation-invariant operators.

The differential operators also obey the shift theorem.

The same constructions can be carried out with partial derivatives, differentiation with respect to different variables giving rise to operators that commute (see symmetry of second derivatives).

Ring of univariate polynomial differential operators Edit

Ak R is a ring, let R ⟨ D , X ⟩ be the non-commutative polynomial ring over R in the variables D a Xa Ja the two-sided ideal generated by DXXD − 1. Then the ring of univariate polynomial differential operators over R is the quotient ring R ⟨ D , X ⟩ / I . This is a non-commutative simple ring. Every element can be written in a unique way as a R-linear combination of monomials of the form X a D b mod I < ext< mod >>I> . It supports an analogue of Euclidean division of polynomials.

Ring of multivariate polynomial differential operators Edit

for all 1 ≤ i , j ≤ n , where δ is Kronecker delta. Then the ring of multivariate polynomial differential operators over R is the quotient ring R ⟨ D 1 , … , D n , X 1 , … , X n ⟩ / I ,ldots ,D_,X_<1>,ldots ,X_ angle /I> .

This is a non-commutative simple ring. Every element can be written in a unique way as a R-linear combination of monomials of the form X 1 a 1 … X n a n D 1 b 1 … D n b n ^>ldots X_^<>>D_<1>^>ldots D_^<>>> .

In differential geometry and algebraic geometry it is often convenient to have a coordinate-independent description of differential operators between two vector bundles. Poďme E a F be two vector bundles over a differentiable manifold M. An R-linear mapping of sections P : Γ(E) → Γ(F) is said to be a kth-order linear differential operator if it factors through the jet bundle J k (E). In other words, there exists a linear mapping of vector bundles

kde j k : Γ(E) → Γ(J k (E)) is the prolongation that associates to any section of E its k-jet.

This just means that for a given section s z E, the value of P(s) at a point XM is fully determined by the kth-order infinitesimal behavior of s v X. In particular this implies that P(s)(X) is determined by the germ of s v X, which is expressed by saying that differential operators are local. A foundational result is the Peetre theorem showing that the converse is also true: any (linear) local operator is differential.

Relation to commutative algebra Edit

An equivalent, but purely algebraic description of linear differential operators is as follows: an R-linear map P je a kth-order linear differential operator, if for any k + 1 smooth functions f 0 , … , f k ∈ C ∞ ( M ) ,ldots ,f_in C^(M)> we have

[ f , P ] ( s ) = P ( f ⋅ s ) − f ⋅ P ( s ) .

This characterization of linear differential operators shows that they are particular mappings between modules over a commutative algebra, allowing the concept to be seen as a part of commutative algebra.

  • In applications to the physical sciences, operators such as the Laplace operator play a major role in setting up and solving partial differential equations.
  • In differential topology, the exterior derivative and Lie derivative operators have intrinsic meaning.
  • In abstract algebra, the concept of a derivation allows for generalizations of differential operators, which do not require the use of calculus. Frequently such generalizations are employed in algebraic geometry and commutative algebra. See also Jet (mathematics).
  • In the development of holomorphic functions of a complex variablez = X + i r, sometimes a complex function is considered to be a function of two real variables X a r. Use is made of the Wirtinger derivatives, which are partial differential operators:

The conceptual step of writing a differential operator as something free-standing is attributed to Louis François Antoine Arbogast in 1800. [2]


Classics in Applied Mathematics

Don't let the title fool you! If you are interested in numerical analysis, applied mathematics, or the solution procedures for differential equations, you will find this book useful. Because of Lanczos' unique style of describing mathematical facts in nonmathematical language, Linear Differential Operators also will be helpful to nonmathematicians interested in applying the methods and techniques described.

Originally published in 1961, this Classics edition continues to be appealing because it describes a large number of techniques still useful today. Although the primary focus is on the analytical theory, concrete cases are cited to forge the link between theory and practice. Considerable manipulative skill in the practice of differential equations is to be developed by solving the 350 problems in the text. The problems are intended as stimulating corollaries linking theory with application and providing the reader with the foundation for tackling more difficult problems.

Lanczos begins with three introductory chapters that explore some of the technical tools needed later in the book, and then goes on to discuss interpolation, harmonic analysis, matrix calculus, the concept of the function space, boundary value problems, and the numerical solution of trajectory problems, among other things. The emphasis is constantly on one question: “What are the basic and characteristic properties of linear differential operators?”

In the author's words, this book is written for those “to whom a problem in ordinary or partial differential equations is not a problem of logical acrobatism, but a problem in the exploration of the physical universe. To get an explicit solution of a given boundary value problem is in this age of large electronic computers no longer a basic question. But of what value is the numerical answer if the scientist does not understand the peculiar analytical properties and idiosyncrasies of the given operator? The author hopes that this book will help in this task by telling something about the manifold aspects of a fascinating field.”

In one of the (unfortunately lost) comedies of Aristophanes the Voice of the Mathematician appeared, as it descended from a snow-capped mountain peak, pronouncing in a ponderous sing-song—and words which to the audience sounded like complete gibberish—his eternal Theorems, Lemmas, and Corollaries. The laughter of the listeners was enhanced by the implication that in fifty years' time another Candidate of Eternity would pronounce from the same snow-capped mountain peak exactly the same theorems, although in a modified but scarcely less ponderous and incomprehensible language.

Since the days of antiquity it has been the privilege of the mathematician to engrave his conclusions, expressed in a rarefied and esoteric language, upon the rocks of eternity. While this method is excellent for the codification of mathematical results, it is not so acceptable to the many addicts of mathematics, for whom the science of mathematics is not a logical game, but the language in which the physical universe speaks to us, and whose mastery is inevitable for the comprehension of natural phenomena.

In his previous books the author endeavoured to establish a more discursive manner of presentation in which the esoteric shorthand formulation of mathematical deductions and results was replaced by a more philosophic exposition, putting the emphasis on ideas and concepts and their mutual interrelations, rather than on the mere manipulation of formulae. Our symbolic mechanism is eminently useful and powerful, but the danger is ever-present that we become drowned in a language which has its well-defined grammatical rules but eventually loses all content and becomes a nebulous sham. Hence the author's constant desire to penetrate below the manipulative surface and comprehend the hidden springs of mathematical equations.

To the author's surprise this method (which, of course, is not his monopoly) was well received and made many friends and few enemies. It is thus his hope that the present book, which is devoted to the fundamental aspects of the theory of Linear Differential Operators, will likewise find its adherents. The book is written at advanced level but does not require any specific knowledge which goes beyond the boundaries of the customary introductory courses, since the necessary tools of the subject are developed as the narration proceeds.


Differential and Integral Calculus on Manifolds

5.2.2 Differential operators and point distributions

(I) D ifferential operators Poďme B be a pure q-dimensional manifold that is locally compact and countable at infinity and MB, NB two complex vector bundles of finite ranks m a n, respectively ( section 3.4.1 , Definition 3.22 ). The space Γ(Β, M) of sections of class C. ∞ of M is a Fréchet nuclear space, like ℰ U itself whenever U is an open subset of ℝ q ([P2], sections 4.3.1 (I) and 4.3.2 (III)). Hence, this space is separable ([P2], section 3.11.3(I)).

Definition 5.5

A linear differential operator of class Cfrom M into N is a continuous linear mapping P : fP. f from Γ(Β, M) into Γ(Β, N) that satisfies the following condition:

(Ľ) For every open subset U of Β and every morphic section f ∈ Γ(Β, M) such that f |U = 0, máme (P.f)|U = 0.

The condition (L) expresses the local nature of the operator P. Write Diff (B M, N) for the set of these differential operators this is an ℰ B -module.

The local trivialization condition (V) of the vector bundles M a N ( Definition 3.22 (i)) implies that, for every bΒ, there exists an open neighborhood U z b that is the domain of a chart c = (U, ξ, q) z Β over which these two fibers can be identified with the trivial bundles U × ℂ m and U × ℂ n , respectively. Hence, for every section f ∈ Γ(Β, M), there exist a mapping g V ∈ ℰ V , with V. = ξ (U), and a linear differential operator Q : ℰ V m → ℰ V n such that both squares of the following diagram commute (the rows of this diagram are not compositions):

We say that Q is the local expression of P corresponding to the chart c (and the local trivializations specified above). Given the topology of ℰ V ([P2], section 4.3.1 (I)), with the notation of section 1.2.4 (IV) , the operator Q is of the form

kde XAα (X)(X = ξ (b)) is a mapping of class C. ∞ from V. = ξ (U) into Hom ℂ m ℂ n ≅ ℂ m × n (exercise*: see [DIE 93] , Volume 3, (17.13.3)). The order of the differential operator P at the point b is defined as the greatest integer | α | také, že Aα ≠ 0.

Ak M a N are both equal to the trivial bundle B × ℂ , then Γ(Β, M) and Γ(Β, N) can both be identified with ℰ B , in which case Diff (B M, N) is simply written as Diff(B).

(II) S heaf of differential operators For every bΒ and every open neighborhood U z b, let M |U a N |U be the vector bundles induced by M a N, respectively, on U ( section 3.3.1 , Lemma-Definition 3.4 (4)). Let h ∈ ℰ B be a mapping such that supp(h) ⊂ U a h is equal to 1 in a neighborhood ŽU z b (the existence of such a function follows from Theorem 2.13 and Corollary 2.17 ). Poďme f ∈ Γ(U, M) a P ∈ Diff (B M, N) h.f, extended by 0 outside of supp (h), is an element of Γ(Β M). Hence, we can form P. (h.f). This quantity is independent of ha fP. (h.f) sa nazýva restriction P |U ∈ Diff (U M |U, N |U) z P do U.

Let ℰ be the sheaf of rings U ↦ ℰ U . The mapping U ↦ Diff(U M |U, N |U) is clearly a sheaf of ℰ -Modules ([P2], section 5.3.1 ).

(III) P oint distributions Poďme P ∈ Diff (B). For every bΒ, f ↦ (P.f) (b) is a distribution with support in <b>, written as P (b). We say that it is a point distribution o b, and so Diff (B) is said to be a field of point distributions. The local expression (see (I)) of a point distribution at b of order p je

The set of point distributions at b is an ℰ B -module, written as T b ∞ B , and T ∞ B = ⊕ b ∈ B T b ∞ B is the ℰ B -module of distributions with finite support in B. The above shows that T ∞ B = Γ B Diff B . We have the following result ( [SCH 66] , Chapter 3 , section 10, Theorem 35):

Any distribution on ℝ n whose support is contained in <0>is a finite linear combination of the Dirac distribution and its derivatives.

We can extend the notion of a finitely supported distribution to the case where Β is a Banach K -manifold of class C r ( [BOU 82a] , section 13). It might seem tempting to define a compactly supported distribution more generally as a continuous linear form on ℰ B but this would require us to define a “good” locally convex topology on the latter space, which is surprisingly difficult (see [KRE 76] ).


Book Description

Aims to construct the inverse problem theory for ordinary non-self-adjoint differential operators of arbitary order on the half-line and on a finite interval. The book consists of two parts: in the first part the author presents a general inverse problem of recovering differential equations with integrable coefficients when the behaviour of the spectrum is arbitrary. The Weyl matrix is introduced and studied as a spectral characteristic. The second part of the book is devoted to solving incomplete inverse problems when a priori information about the operator or its spectrum is available and these problems are significant in applications.


1 odpoveď 1

The two notions are equivalent in the characteristic zero (smooth! as pointed out by Mariano in the comments) case. The reason they're equivalent basically boils down to the Leibniz rule: $xpartial_x-partial_xx=1$ in the ring of differential operators. Here's a sketch of the proof for the case of the $n$-dimensional Weyl algebra, defined by $W_2=klangle x_1,dots,x_n,y_1,dots,y_n angle/([x_i,y_i]-1,[x_i,x_j],[y_i,y_j]),$ which is the ring of differential operators on $A=k[x_1,dots,x_n]$:

Let $Tin mathrm_k(A)$ such that the $m+1$-fold commutator with any $m+1$ elements of $A$ is zero, but the $m$-fold commutator is not. Pick the following basis of $W$ as a left $A$-algebra: $y_1^y_2^cdots y_n^$. Use the list of basis vectors such that $sum i_j=n$ to determine the $A$-coefficients of each of these terms in $T$ by setting the first $i_1$ of $a_j$ to be $x_1$, and so forth. Subtract the resulting linear combination of differential operators from $T$ to obtain a differential operator of order $leq n-1$, and repeat. Eventually you have $T$ written as an element of the subalgebra of $mathrm_k(A)$ generated by $A$ and $mathrm(A)$.


Pozri si video: Vlastnosti operátoru stlačení 1 (December 2021).