Články

6.6: Matica lineárnej mapy - Matematika


Teraz uvidíme, že každá lineárna mapa (T in mathcal {L} (V, W) ) s konečnými trojrozmernými vektorovými priestormi (V ) a (W ) môže byť kódovaná maticou , a naopak, každá matica definuje takúto lineárnu mapu.

Nech (V ) a (W ) sú konečnými trojrozmernými vektorovými priestormi a (T: V až W ) sú lineárne mapy. Predpokladajme, že ((v_1, ldots, v_n) ) je základom (V ) a že ((w_1, ldots, w_m) ) je základom (W ). Vo vete 6.1.3 sme videli, že (T ) je jednoznačne určené zadaním vektorov (Tv_1, ldots, Tv_n vo W ). Pretože ((w_1, ldots, w_m) ) je základom (W ), existujú jedinečné skaláre (a_ {ij} v mathbb {F} ) také, že
begin {rovnica} label {eq: Tv}
Tv_j = a_ {1j} w_1 + cdots + a_ {mj} w_m quad text {pre (1 le j le n ).} Značka {6.6.1}
end {rovnica}
Tieto skaláre môžeme usporiadať do (m krát n ) matice nasledovne:
begin {rovnica *}
M (T) = begin {bmatrix}
a_ {11} & ldots & a_ {1n}
vdots && vdots
a_ {m1} & ldots & a_ {mn}
end {bmatrix}.
end {rovnica *}
Často sa to píše aj ako (A = (a_ {ij}) _ {1 le i le m, 1 le j le n} ). Rovnako ako v časti A.1.1, množina všetkých (m krát n ) matíc so záznamami v ( mathbb {F} ) je označená ( mathbb {F} ^ {m krát n} ).

Poznámka 6.6.1. Je dôležité mať na pamäti, že (M (T) ) nezávisí iba od lineárnej mapy (T ), ale aj od voľby základu ((v_1, ldots, v_n) ) pre (V ) a výber základu ((w_1, ldots, w_m) ) pre (W ). Stĺpec (j ^ { text {th}} ) v (M (T) ) obsahuje koeficienty (j ^ { text {th}} ) základného vektora (v_j ), keď rozšírené z hľadiska základu ((w_1, ldots, w_m) ), ako v rovnici 6.6.1.

Príklad 6.6.2. Nech (T: mathbb {R} ^ 2 to mathbb {R} ^ 2 ) je lineárna mapa daná (T (x, y) = (ax + by, cx + dy) ) pre niektoré (a, b, c, d v mathbb {R} ). Potom, s ohľadom na kanonický základ ( mathbb {R} ^ 2 ) daný (((1,0; 0,1)) ), je zodpovedajúca matica
begin {rovnica *}
M (T) = begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}
end {rovnica *}
pretože (T (1,0) = (a, c) ) dáva prvý stĺpec a (T (0,1) = (b, d) ) dáva druhý stĺpec.

Všeobecnejšie predpokladajme, že (V = mathbb {F} ^ n ) a (W = mathbb {F} ^ m ) a označme štandardný základ pre (V ) znakom ((e_1, ldots, e_n) ) a štandardný základ pre (W ) podľa ((f_1, ldots, f_m) ). Tu (e_i ) (resp. (F_i )) je (n ) - n-tica (resp. (M ) - n-tica) s jedničkou v polohe (i ) a nulami všade inde . Potom je matica (M (T) = (a_ {ij}) ) daná vzťahom

begin {rovnica *}
a_ {ij} = (Te_j) _i,
end {rovnica *}
kde ((Te_j) _i ) označuje (i ^ { text {th}} ) zložku vektora (Te_j ).

Príklad 6.6.3. Nech (T: mathbb {R} ^ 2 až mathbb {R} ^ 3 ) je lineárna mapa definovaná (T (x, y) = (y, x + 2y, x + y) ). Potom, pokiaľ ide o štandardný základ, máme (T (1,0) = (0,1,1) ) a (T (0,1) = (1,2,1) ), takže
begin {rovnica *}
M (T) = begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 2 1 & 1 end {bmatrix}.
end {rovnica *}
Ak však alternatívne vezmeme základy ((((1,2), (0,1)) ) pre ( mathbb {R} ^ 2 ) a
((((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) ) pre ( mathbb {R} ^ 3 ), potom (T (1,2 ) = (2,5,3) ) a (T (0,1) = (1,2,1) ) tak
begin {rovnica *}
M (T) = begin {bmatrix} 2 & 1 5 & 2 3 & 1 end {bmatrix}.
end {rovnica *}

Príklad 6.6.4. Nech (S: mathbb {R} ^ 2 až mathbb {R} ^ 2 ) je lineárna mapa (S (x, y) = (y, x) ). Pokiaľ ide o základ ((((1,2), (0,1)) ) pre ( mathbb {R} ^ 2 ), máme
begin {rovnica *}
S (1,2) = (2,1) = 2 (1,2) -3 (0,1) quad text {a} quad
S (0,1) = (1,0) = 1 (1,2) -2 (0,1),
end {rovnica *}
a tak
[M (S) = begin {bmatrix} 2 & 1 - 3 & -2 end {bmatrix}. ]

Ak vezmeme do úvahy vektorový priestor (V ) a (W ) rozmerov (n ) a (m ), a vzhľadom na to, že máme pevný výber báz, je potrebné si uvedomiť, že medzi lineárne mapy v ( mathcal {L} (V, W) ) a matice v ( mathbb {F} ^ {m krát n} ). Ak začneme lineárnou mapou (T ), potom je matica (M (T) = A = (a_ {ij}) ) definovaná pomocou rovnice 6.6.1. Naopak, vzhľadom na maticu (A = (a_ {ij}) v mathbb {F} ^ {m krát n} ) môžeme definovať lineárnu mapu (T: V až W ) nastavením

[Tv_j = sum_ {i = 1} ^ m a_ {ij} w_i. ]

Pripomeňme, že množina lineárnych máp ( mathcal {L} (V, W) ) je vektorový priestor. Pretože máme lineárnu korešpondenciu medzi lineárnymi mapami a maticami, môžeme tiež vytvoriť maticu ( mathbb {F} ^ {m krát n} ) do vektorového priestoru. Dané dve matice (A = (a_ {ij}) ) a (B = (b_ {ij}) ) v ( mathbb {F} ^ {m krát n} ) a dané skalárne ( alpha in mathbb {F} ), definujeme maticový prírastok a skalárne množenie zložkovo:

begin {rovnica *}
begin {split}
A + B & = (a_ {ij} + b_ {ij}),
alpha A & = ( alpha a_ {ij}).
end {split}
end {rovnica *}

Ďalej ukážeme, že zloženie lineárnych máp ukladá produkt na matice, nazývaný tiež násobenie matíc. Predpokladajme, že (U, V, W ) sú vektorové priestory nad ( mathbb {F} ) so základňami ((u_1, ldots, u_p) ), ((v_1, ldots, v_n) ) a ((w_1, ldots, w_m) ). Nech (S: U na V ) a (T: V na W ) sú lineárne mapy. Produkt je potom lineárna mapa (T cirkus S: U do W ).

Každá lineárna mapa má svoju zodpovedajúcu maticu (M (T) = A, M (S) = B ) a (M (TS) = C ). Otázkou je, či (C ) je určené (A ) a (B ). Máme pre každé (j v {1,2, ldots p } ) to

begin {rovnica *}
begin {split}
(T circ S) u_j & = T (b_ {1j} v_1 + cdots + b_ {nj} v_n) = b_ {1j} Tv_1 + cdots + b_ {nj} Tv_n
& = sum_ {k = 1} ^ n b_ {kj} Tv_k
= sum_ {k = 1} ^ n b_ {kj} bigl ( sum_ {i = 1} ^ m a_ {ik} w_i bigr)
& = sum_ {i = 1} ^ m bigl ( sum_ {k = 1} ^ n a_ {ik} b_ {kj} bigr) w_i.
end {split}
end {rovnica *}

Preto je matica (C = (c_ {ij}) ) daná vzťahom
begin {rovnica} label {eq: c}
c_ {ij} = sum_ {k = 1} ^ n a_ {ik} b_ {kj}. značka {6.6.2}
end {rovnica}

Rovnicu 6.6.2 možno použiť na definovanie (m krát p ) matice (C ) ako súčin matice (m krát n ) (A ) a (n krát p ) matica (B ), tj
begin {rovnica}
C = AB. značka {6.6.3}
end {rovnica}

Z nášho odvodenia vyplýva, že korešpondencia medzi lineárnymi mapami a maticami rešpektuje štruktúru produktu.

Návrh 6.6.5. Poďme (S: U až V ) a (T: V až W ) byť lineárne mapy. Potom

[M (TS) = M (T) M (S). ]

Príklad 6.6.6. Pomocou zápisu ako v príkladoch 6.6.3 a 6.6.4 by ste to mali vedieť overiť
begin {rovnica *}
M (TS) = M (T) M (S) = begin {bmatrix} 2 & 1 5 & 2 3 & 1 end {bmatrix}
begin {bmatrix} 2 & 1 - 3 & -2 end {bmatrix}
= begin {bmatrix} 1 & 0 4 & 1 3 & 1 end {bmatrix}.
end {rovnica *}

Keď dostaneme vektor (v vo V ), môžeme tiež priradiť maticu (M (v) ) k (v ) nasledujúcim spôsobom. Nech ((v_1, ldots, v_n) ) je základom (V ). Potom existujú také jedinečné skaláre (b_1, ldots, b_n )

[v = b_1 v_1 + cdots b_n v_n. ]

Matica (v ) je potom definovaná ako (n krát 1 ) matica

[M (v) = begin {bmatrix} b_1 vdots b_n end {bmatrix}. ]

Príklad 6.6.7 Matica vektora (x = (x_1, ldots, x_n) in mathbb {F} ^ n ) na štandardnom základe ((e_1, ldots, e_n) ) je vektor stĺpca alebo (n krát 1 ) matica
begin {rovnica *}
M (x) = begin {bmatrix} x_1 vdots x_n end {bmatrix}
end {rovnica *}
od (x = (x_1, ldots, x_n) = x_1 e_1 + cdots + x_n e_n ).

Nasledujúci výsledok ukazuje, ako pojem matica lineárnej mapy (T: V až W ) a matica vektora (v vo V ) do seba zapadajú.

Propozícia 6.6.8. Poďme (T: V až W ) byť lineárna mapa. Potom pre každého (v vo V ),
begin {rovnica *}
M (Tv) = M (T) M (v).
end {rovnica *}

Dôkaz.

Nech ((v_1, ldots, v_n) ) je základom (V ) a ((w_1, ldots, w_m) ) základom (W ). Predpokladajme, že vzhľadom na tieto bázy je matica (T ) (M (T) = (a_ {ij}) _ {1 le i le m, 1 le j le n} ). To znamená, že pre všetky (j v {1,2, ldots, n } ),

[ begin {rovnica *}
Tv_j = sum_ {k = 1} ^ m a_ {kj} w_k.
end {rovnica *} ]

Vektor (v vo V ) je možné zapísať jedinečne ako lineárnu kombináciu základných vektorov ako

[v = b_1 v_1 + cdots + b_n v_n. ]

Teda

begin {rovnica *}
begin {split}
Tv & = b_1 T v_1 + cdots + b_n T v_n
& = b_1 sum_ {k = 1} ^ m a_ {k1} w_k + cdots + b_n sum_ {k = 1} ^ m a_ {kn} w_k
& = sum_ {k = 1} ^ m (a_ {k1} b_1 + cdots + a_ {kn} b_n) w_k.
end {split}
end {rovnica *}

To ukazuje, že (M (Tv) ) je (m krát 1 ) matica

begin {rovnica *}
M (Tv) = begin {bmatrix} a_ {11} b_1 + cdots + a_ {1n} b_n vdots
a_ {m1} b_1 + cdots + a_ {mn} b_n end {bmatrix}.
end {rovnica *}

Nie je ťažké skontrolovať pomocou vzorca pre násobenie matíc, že ​​ (M (T) M (v) ) dáva rovnaký výsledok.

Príklad 6.6.9. Vezmite lineárnu mapu (S ) z príkladu 6.6.4 so základom (((1,2; 0,1)) ) z ( mathbb {R} ^ 2 ). Ak chcete určiť akciu na vektore (v = (1,4) in mathbb {R} ^ 2 ), nezabudnite (v = (1,4) = 1 (1,2) +2 (0 , 1) ). Teda
begin {rovnica *}
M (Sv) = M (S) M (v) = begin {bmatrix} 2 & 1 - 3 & -2 end {bmatrix}
begin {bmatrix} 1 2 end {bmatrix}
= begin {bmatrix} 4 -7 end {bmatrix}.
end {rovnica *}

To znamená, že

[Sv = 4 (1,2) -7 (0,1) = (4,1), ]

čo je skutočne pravda.


Sú deriváty lineárne mapy?

Ale medzi Apostolom a Rudinom som zmätený, v akom zmysle sú celkové deriváty deriváty.

Čiastkové derivácie sa oveľa viac podobajú obvyklým derivátom vyučovaným na strednej škole

Ale jakobián to vôbec nepripomína. A podľa mojich kníh je to lineárna mapa.

Ak sú deriváty lineárne mapy, môže mi niekto pomôcť vidieť jasnejšie, ako moje intuície o jednoduchších deriváciách súvisia s komplikovanejšími formami? Len nechápem, kam sa podeli limity, prečo je to zložitejšie a prečo tie jednoduchšie formy nie sú opísané ako lineárne mapy.


Osviežovač lineárnej algebry

Dva základné prvky lineárnej algebry sú vektor a matrica. Vektor predstavuje bod v euklidovskom priestore, zatiaľ čo matica je lineárne mapovanie, ktoré mapuje vektory z jedného priestoru do druhého (obidva priestory môžu mať rovnakú alebo rozdielnu dimenziu). Tu som vytvoril tento pojem lineárne mapovanie, to znamená mapovanie z jedného vektorového priestoru do druhého rešpektuje základnú (lineárnu) štruktúru každého vektorového priestoru, t. j. zachováva linearitu, (vektorový priestor je iba abstraktné znázornenie). Matematicky píšeme ako

Tu je L lineárna mapa známa aj ako lineárna transformácia.

Toto je všetko matematický žargón, ale čo to robí skutočne geometricky? Takže ak je v euklidovskom priestore vektor, potom ho buď zmenší, alebo otočí alebo urobí oboje postupne. Poďme si predstaviť, čo robí matica (lineárne mapovanie) s vektorom v euklidovskom priestore (v tomto prípade R2).


3 odpovede 3

Nové definovanie symbolov, aby sa predišlo nejasnostiam: $ T: mathbb^ n to mathbb^ n $ je lineárna mapa definovaná ako $ T (x) = Ax $ a $ S: mathbb^ n times mathbb^ n to mathbb$ je bilineárna mapa definovaná ako $ S (x, y) = y ^ T A x $.

Konštruovanie bilineárnych funkcií z lineárnych funkcií pomocou vnútorného súčinu

Jedným zo spôsobov, ako pochopiť $ S $, je zloženie $ T $ so štandardným vnútorným produktom $ phi: mathbb^ n times mathbb^ n to mathbb$ definované ako $ phi (x, y) = y ^ T x $, menovite

Toto zobrazenie nám umožňuje všimnúť si niektoré vlastnosti $ S $ na základe vlastností $ T $ a známych vlastností $ phi $. Napríklad, keďže je známe, že $ phi $ je nedegenerovaný, $ S $ je nedegenerovaný práve vtedy, ak je $ T $ izomorfizmus.

Konštrukcia sa dá ľahko zovšeobecniť na prípad $ n krát m $ zložením $ T: mathbb^ m do mathbb^ n $ s $ phi $.

Zmena základu

Pre pevnú maticu $ A in mathbb^$ vyššie uvedená konštrukcia poskytuje dve funkcie: lineárnu funkciu $ T_A: mathbb^ n to mathbb^ n $ a bilineárna funkcia $ S_A: mathbb^ n times mathbb^ n to mathbb$. Konštrukcia prebieha na pevnej báze, ale výsledné funkcie $ S $ a $ T $ sú nezávislé na báze, takže je prirodzené sa pýtať, ako sa ich maticová reprezentácia mení pri transformáciách základne.

Je ľahké vidieť, že matica predstavujúca lineárnu funkciu sa transformuje inak ako matica predstavujúca bilineárnu funkciu. Nech $ B $ označuje inverznú maticu popisujúcu zmenu bázy. Potom

kedykoľvek $ A '= B ^ <-1> AB $, t.j. matice predstavujúce pevnú lineárnu mapu sú podobné. Na druhej strane,

kedykoľvek $ A ^ <''> = B ^ TAB $, t. j. matice predstavujúce pevnú bilineárnu mapu sú zhodné.

To ukazuje, že pri použití maticových zobrazení lineárnych a bilineárnych funkcií je potrebné postupovať opatrne. Aj keď lineárna funkcia $ T $ a bilineárna funkcia $ S $ sú reprezentované rovnakou maticou na jednom základe, neznamená to, že sú reprezentované rovnakou maticou na inom základe (pokiaľ nie je transformácia základne ortogonálna).

Akákoľvek bilineárna forma $ b colon mathbb R ^ n times mathbb R ^ n to mathbb R $ prirodzene zodpovedá lineárnej mape $ Phi_b colon mathbb R ^ n to ( mathbb R ^ n) ^ * $, kde $ ( mathbb R ^ n) ^ * = operatorname( mathbb R ^ n, mathbb R) $ je dvojpriestor. Táto korešpondencia je daná begin b quad longmapsto quad Phi_b colon mathbb R ^ n & amp to ( mathbb R ^ n) ^ *, x & amp mapsto b (x, -). koniec Tu $ b (x, -) $ označuje lineárnu mapu $ mathbb R ^ n to mathbb R $ posielajúcu $ y $ na $ b (x, y) $.

Ak vezmeme do úvahy prvky $ mathbb R ^ n $ ako vektory stĺpcov, môžeme považovať prvky $ ( mathbb R ^ n) ^ * $ za vektory riadkov: pre $ rho in ( mathbb R ^ n) ^ * $ a $ x = (x_1, dots, x_n) ^ T $ máme začať rho (x) & amp = rho (x_1 e_1 + cdots + x_n e_n) = x_1 rho (e_1) + cdots + x_n rho (e_n) & amp = začať rho (e_1) & amp rho (e_2) & amp bodky & amp rho (e_n) end začať x_1 x_2 vdots x_n end. koniec Použitím tejto identifikácie existuje izomorfizmus $ <> ^ T dvojbodka ( mathbb R ^ n) ^ * to mathbb R ^ n $ daný $ y mapsto y ^ T $.

Teraz počínajúc $ b (x, y) = y ^ TAx $ sa tým získa $ Phi_b (x) = (y mapsto y ^ TAx) $, ktoré sme identifikovali pomocou riadkového vektora $ Phi_b (x) = (Ax) ^ T $. Pomocou vyššie uvedeného izomorfizmu potom získame lineárnu mapu $ mathbb R ^ n na mathbb R ^ n $: begin mathbb R ^ n & amp xrightarrow < Phi_b> ( mathbb R ^ n) ^ * xrightarrow mathbb R ^ n, x & amp longmapsto (Ax) ^ T mapsto Ax. koniec

Takto, počnúc bilineárnou mapou definovanou $ A $, získame lineárnu mapu definovanú $ A $. Môžete samozrejme ísť aj inou cestou.

Viac abstraktne o tom môžete uvažovať z hľadiska prídavku tensor-hom spolu s (na základe závislým!) Izomorfizmom $ ( mathbb R ^ n) ^ * cong ( mathbb R ^ n) $: begin < text> & amp leftrightarrow operatorname( mathbb R ^ n otimes mathbb R ^ n, mathbb R) & amp cong operatorname( mathbb R ^ n, operatorname( mathbb R ^ n to mathbb R)) & amp = operatorname( mathbb R ^ n, ( mathbb R ^ n) ^ *) & amp cong operatorname( mathbb R ^ n, mathbb R ^ n). koniec


Riešenie 1

Pod podmienkou, že $ A mathbf_i = mathbf_i $, máme maticovú rovnosť $ A [ mathbf_1 mathbf_2 mathbf_3] = [ mathbf_1 mathbf_2 mathbf_3]$.
Výslovne máme
[A začať
1 a zosilňovač 0 a zosilňovač 0
1 & amp1 & amp0
1 a zosilňovač 1 a zosilňovač 1
koniec
= začať
1 a zosilňovač -1 a zosilňovač 3
2 & amp0 & amp1
0 a zosilňovač 3 a zosilňovač 1
koniec. ] Aby sme našli maticu $ A $, nájdeme inverznú maticu $ begin
1 a zosilňovač 0 a zosilňovač 0
1 & amp1 & amp0
1 a zosilňovač 1 a zosilňovač 1
koniec$ a vynásobte ho vpravo.


Sťažnosť DMCA

Ak sa domnievate, že obsah dostupný prostredníctvom webových stránok (ako je definované v našich Podmienkach služby), porušuje jedno alebo viac vašich autorských práv, oznámte nám to písomným oznámením („Oznámenie o porušení“) obsahujúcim nižšie popísané informácie určené osobe. agent uvedený nižšie. Ak Varsity Tutors podnikne kroky v reakcii na Oznámenie o porušení, bude sa v dobrej viere snažiť kontaktovať stranu, ktorá takýto obsah sprístupnila, pomocou najnovšej e-mailovej adresy, ak takáto strana poskytuje Varsity Tutors.

Vaše oznámenie o porušení môže byť postúpené strane, ktorá sprístupnila obsah, alebo tretím stranám, ako je napríklad ChillingEffects.org.

Vezmite prosím na vedomie, že budete zodpovední za škody (vrátane nákladov a poplatkov za právne zastúpenie), ak podstatne nepravdivo vyhlásite, že produkt alebo činnosť porušuje vaše autorské práva. Ak si teda nie ste istí, že obsah umiestnený na alebo prepojený s webovou stránkou porušuje vaše autorské práva, mali by ste najskôr zvážiť kontaktovanie právnika.

Ak chcete podať oznámenie, postupujte podľa týchto pokynov:

Musíte zahrnúť nasledujúce položky:

Fyzický alebo elektronický podpis vlastníka autorských práv alebo osoby oprávnenej konať v ich mene Identifikácia autorských práv, ktoré boli údajne porušené Popis povahy a presného umiestnenia obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, v dostatočnom rozsahu detail umožniť Varsity Tutors vyhľadať a pozitívne identifikovať tento obsah, napríklad požadujeme odkaz na konkrétnu otázku (nielen na názov otázky), ktorá obsahuje obsah a popis konkrétnej časti otázky - obrázok, obrázok odkaz, text atď. - vaša sťažnosť sa týka vášho mena, adresy, telefónneho čísla a e-mailovej adresy a vášho vyhlásenia: (a) že v dobrej viere veríte, že použitie obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, je neautorizované zákonom alebo vlastníkom autorských práv alebo agentom tohto vlastníka; b) všetky informácie uvedené vo vašom oznámení o porušení sú presné; a c) pod trestom za krivú prísahu ste buď vlastník autorských práv alebo osoba oprávnená konať v ich mene.

Zašlite svoju sťažnosť nášmu určenému zástupcovi na adrese:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, suita 300
St. Louis, MO 63105


4 odpovede 4

Podľa definície projekcie na $ W $ máme $ DeclareMathOperator proj_W v = proj_W (x + y) = x $ Pre dva ľubovoľné skaláre $ lambda_i $ a dva vektory $ v_i vo V $ máme jednotlivé rozdelenia $ v_i = x_i + y_i $ s $ x_i vo W $ a $ y_i vo W ^ perp $. Môžeme ich skombinovať do $ lambda_1 v_1 + lambda_2 v_2 = lambda_1 (x_1 + y_1) + lambda_2 (x_2 + y_2) = ( lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2) + ( lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2) $ kvôli pravidlám výpočtu v $ V $.

Z dôvodu uzavretia každého $ W $ a $ W ^ perp $ (vlastnosť vektorového priestoru) máme $ lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2 vo W lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2 vo W ^ perp $, z čoho vyplýva $ proj_W ( lambda_1 v_1 + lambda_2 v_2) = lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2 $ Na druhej strane máme $ lambda_i proj_W (v_i) = lambda_i x_i $, takže dostaneme $ proj_W ( lambda_1 v_1 + lambda_2 v_2) = lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2 = lambda_1 proj_W (v_1) + lambda_2 proj_W (v_2) $ To znamená, že $ proj_W $ je lineárny na $ V $.

Ak je $ langle cdot, cdot rangle $ vašim vnútorným produktom a ak $ (e_1, ldots, e_k) $ je ortonormálny základ $ W $, potom $ ( forall v vo V): T ( v) = suma_^ k langle v, e_j rangle e_j. $ Toto vyjadruje $ T $ ako súčet lineárnych máp. Preto je $ T $ lineárne.


Lineárne transformácie

A lineárna transformácia (alebo jednoducho transformácia, niekedy nazývané lineárna mapa) je mapovanie medzi dvoma vektorovými priestormi: berie ako vstup vektor a transformuje ho do nového výstupného vektora. O funkcii sa hovorí, že je lineárna, ak sa zachovajú vlastnosti aditívnosti a skalárneho násobenia, to znamená, že rovnaký výsledok sa získa, ak sa tieto operácie vykonajú pred alebo po transformácii. Lineárne funkcie sa synonymne nazývajú lineárne transformácie.

Zápis lineárnych transformácií

Môžete sa stretnúť s nasledujúcim zápisom, ktorý popisuje lineárnu transformáciu: Tv. Toto sa týka vektora v transformovaný T. Premena T je spojená s konkrétnou maticou. Pretože pri lineárnej transformácii musí byť zachovaná aditivita a skalárne násobenie, môžete napísať:

V lineárnej algebre možno informácie týkajúce sa lineárnej transformácie predstavovať ako maticu. Okrem toho každú lineárnu transformáciu možno vyjadriť ako maticu.

Keď urobíte lineárnu transformáciu spojenú s maticou, povieme to vy uplatniť maticu na vektor. Konkrétnejšie to znamená, že vypočítate súčin matice-vektor matice a vektora. V tomto prípade možno maticu niekedy nazvať a transformačná matica. Môžete napríklad použiť maticu A na vektor v s ich produktom Av.

Aplikácia matíc

Nezabudnite, že ak chcete na vektor použiť maticu, musíte vľavo množiť vektor maticou: matica je vľavo od vektora.

Keď vynásobíte niekoľko matíc, príslušné lineárne transformácie sa skombinujú v poradí sprava doľava.

Povedzme napríklad, že matica A robí otočenie o 45 stupňov v smere hodinových ručičiek a maticu B robí produkt naťahovaním BA znamená, že najskôr urobíte rotáciu a potom strečing.

To ukazuje, že maticový produkt je:

  • Nie komutatívne (ABBA): natiahnutie potom rotácia je iná transformácia ako rotácia potom natiahnutie.
  • Asociatívne (ABC)) = ((AB)C.): rovnaké transformácie spojené s maticami A, B, a C. sa robia v rovnakom poradí.

Produkt matice-vektor možno teda považovať za spôsob transformácie vektora. V Essential Math for Data Science ste videli, že tvar A a v musí byť zhoda, aby bol produkt možný.

Dobrým spôsobom, ako pochopiť vzťah medzi maticami a lineárnymi transformáciami, je tieto transformácie skutočne vizualizovať. Použijete na to mriežku bodov v dvojrozmernom priestore, pričom každý bod zodpovedá vektoru (je ľahšie vizualizovať body namiesto šípok smerujúcich od začiatku).

Začnime vytvorením mriežky pomocou funkcie meshgrid () z Numpy:

Funkcia meshgrid () vám umožňuje vytvárať všetky kombinácie bodov z polí x a y. Nechajme & # x27s vykresliť bodový diagram zodpovedajúci xx a yy.

Mriežku vidíte na obrázku 1. Farba zodpovedá sčítaniu hodnôt xx a yy. Toto uľahčí vizualizáciu transformácií.


6.6.2. Statika krovu¶

Oblasť statiky sa zaoberá určovaním síl pôsobiacich na civilné a mechanické systémy. Je potrebné poznať veľkosť síl na častiach systému, aby sa zabezpečilo, že systémy sú navrhnuté tak, aby boli dostatočne silné.

Tu uvažujeme o konštrukcii zo siedmich väzníkov. Tento príklad bol prevzatý z textu o statike a dynamike. [MERIAM78] Stránka z knihy Meriam & # 8217s je tu. truss_problem.pdf

Statické problémy, ako je tento, sú riešené na dvoch úrovniach. Najskôr vezmeme do úvahy vonkajšie sily na celkovú štruktúru. To nám prezradí sily na podperách konštrukcie. Pre tento krok sa používajú tri rovnice.

Súčet momentov je nula. Tu definujeme ohnisko a potom vypočítame moment každej vonkajšej sily ako súčin hodnoty sily kolmej na štruktúru a vzdialenosti od ohniska. To zaisťuje, že sa konštrukcia neotáča.

Súčet síl v smer je nula.

Súčet síl v smer je nula.

Ďalej použite metóda kĺbov na stanovenie sily na každý krov. Preskúmame každý kĺb a napíšeme rovnice pre sily v a pokyny. Tieto sily sa tiež musia pre každý spoj rovnať nule.

Ako vidíte na naskenovanej stránke z učebnice Meriam & # 8217s, ide o celkom jednoduchý problém. Keď sa to vezme v požadovanom poradí, každá rovnica sa redukuje na iba jednu neznámu premennú.

Pri riešení pomocou matice možno každú priehradovú silu zadať ako kompresnú silu. Zistí sa, že krovy, ktoré sú v napätí, majú negatívnu silu.

Maticová rovnica je nadmerne určená, čo znamená, že máme viac rovníc ako neznámych. Keď k tomu dôjde, vynásobíme obe strany rovnice .


Pozri si video: Mapy do Maps for mappers (December 2021).