Články

14.1: Afinné transformácie


Afinná geometria študuje tzv štruktúra výskytu euklidovskej roviny. Štruktúra incidencie vidí iba to, ktoré body ležia na ktorých priamkach a nič iné; priamo nevidí vzdialenosti, miery, uhly a mnoho ďalších vecí.

Volá sa bijekcia z euklidovskej roviny do seba afinná transformácia ak mapuje čiary na čiary; to znamená, že obraz ľubovoľného riadku je riadok. Môžeme teda povedať, že afinná geometria študuje vlastnosti euklidovskej roviny zachované pri afinných transformáciách.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Ukážte, že afinná transformácia euklidovskej roviny vysiela akýkoľvek pár rovnobežných čiar na pár rovnobežných čiar.

Pomôcka

Predpokladajme, že dve odlišné čiary ( ell ) a (m ) sú namapované na pretínajúce sa čiary ( ell ') a (m' ). Predpokladajme, že (P ') označuje ich priesečník.

Nech (P ) je inverzný obraz (P '). Podľa definície afinnej mapy musí ležať na ( ell ) aj (m ); to znamená, že ( ell ) a (m ) sa pretínajú. Preto výsledok.

Nasleduje pozorovanie nižšie, pretože čiary sú definované iba pomocou metriky.

Pozorovanie ( PageIndex {1} )

Akýkoľvek pohyb euklidovskej roviny je afinnou transformáciou.

Nasledujúce cvičenie poskytuje všeobecnejšie príklady afinných transformácií.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Nasledujúce mapy súradnicovej roviny sú afinnými transformáciami:

(a) Šmyková mapa definovaná ako ((x, y) mapsto (x + k cdot y, y) ) pre konštantu (k ).

(b) Zmena mierky definovaná ako ((x, y) mapsto (a cdot x, a cdot y) ) pre konštantu (a ne 0 ).

(c) (x ) - zmena mierky a (y ) - zmena mierky definované v tomto poradí

((x, y) mapsto (a cdot x, y) ) a ((x, y) mapsto (x, a cdot y) )

pre konštantu (a ne 0 ).

d) Transformácia definovaná

((x, y) mapsto (a cdot x + b cdot y + r, c cdot x + d cdot y + s) )

pre konštanty (a, b, c, d, r, z ) také, že matica ( begin {matrix} a & b c & d end {matrix} ) je invertibilná.

Pomôcka

V obidvoch prípadoch skontrolujte, či je mapa bijekciou, a použite cvičenie 7.6.3

Zo základnej vety o afinnej geometrii (veta 14.3.1) bude zrejmé, že každú afinnú transformáciu je možné zapísať v tvare (d).

Pripomeňme, že body sú kolineárne ak ležia na jednej čiare.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Predpokladajme, že (P mapsto P ') je bijekcia euklidovskej roviny, ktorá mapuje kolineárne trojité body na kolineárne trojky. Ukážte, že (P mapsto P ') mapuje nekolinárne trojité na nekolinárne.

Z toho vyvodzujte, že (P mapsto P ') je afinná transformácia.

Pomôcka

Vyberte riadok ((AB) ).

Predpokladajme, že (X ' v (A'B') ) pre niektoré (X nie v (AB) ). Pretože (P mapsto P ') mapuje spojovacie body na kolineárne, tri riadky ((AB), (AX) ) a ((BX) ) sú namapované na ((A'B') ). Akákoľvek linka, ktorá spája dvojicu bodov na týchto troch linkách, je tiež namapovaná na ((A'B ') ). Pomocou neho ukážte, že celá rovina je namapovaná na ((A'B ') ). Druhá možnosť je v rozpore s tým, že mapa je bijekciou.

Predpokladajme, že ak (X v (AB) ), potom (X ' v (A'B') ). Formulár tiež nad konverzným úchopom. Použite ho na preukázanie druhého tvrdenia.


DISTANCE postup

Meranie niektorého atribútu sady objektov je proces priraďovania čísel alebo iných symbolov k objektom takým spôsobom, že vlastnosti čísel alebo symbolov odrážajú vlastnosti meraného atribútu. Existujú rôzne úrovne merania, ktoré zahŕňajú rôzne vlastnosti (vzťahy a operácie) čísel alebo symbolov. S každou úrovňou merania je spojená množina transformácií meraní, ktoré zachovávajú príslušné vlastnosti, tieto transformácie sa nazývajú prípustné transformácie. Konkrétny spôsob priraďovania čísel alebo symbolov na meranie niečoho sa nazýva stupnica merania.

Najčastejšie sa hovorí o úrovniach merania:

Dva objekty majú priradený rovnaký symbol, ak majú rovnakú hodnotu atribútu. Prípustnými transformáciami sú ľubovoľné transformácie jedna k jednej alebo viacnásobné k jednej, hoci transformácia typu jedna k jednej stráca informácie.

Objektom sú priradené čísla tak, že poradie čísel odráža poradie definované v atribúte. Dva objekty x a y s hodnotami atribútov a sú im priradené čísla a také, že ak, potom. Prípustnými transformáciami sú akékoľvek monotónne rastúce transformácie, hoci transformácia, ktorá striktne nezvyšuje, stráca informácie.

Objektom sú priradené čísla tak, aby rozdiely medzi číslami odrážali rozdiely v atribúte. Ak potom . Prípustnými transformáciami sú akékoľvek afinné transformácie, kde c a d sú konštanty. Ďalším spôsobom, ako to povedať, je, že pôvod a jednotka merania sú ľubovoľné.

Objektom sú priradené čísla tak, aby pomery medzi číslami odrážali pomery atribútu. Ak potom . Prípustnými transformáciami sú akékoľvek výkonové transformácie, kde c a d sú konštanty.

Objektom sú priradené čísla tak, aby rozdiely a pomery medzi číslami odrážali rozdiely a pomery atribútu. Prípustnými transformáciami sú akékoľvek lineárne (podobnosti) transformácie, kde c je konštanta. Ďalším spôsobom, ako to povedať, je, že jednotka merania je ľubovoľná.

Objektom sú priradené čísla tak, aby všetky vlastnosti čísel odrážali analogické vlastnosti atribútu. Jedinou prípustnou transformáciou je transformácia identity.

Merania vzdialenosti uvedené v procedúre DISTANCE akceptujú štyri úrovne merania: nominálnu, ordinálnu, intervalovú a pomerovú. Radové premenné sa pred spracovaním transformujú na intervalové premenné. To sa deje tak, že sa údaje nahradia ich skóre v poradí a za predpokladu, že triedy ordinálnej premennej sú rozmiestnené rovnomerne pozdĺž intervalovej stupnice. Informácie o možnostiach priraďovania skóre k radovým premenným nájdete v časti RANKSCORE = v časti Výpis PROC DISTANCE. Existujú tiež rôzne prístupy k tomu, ako transformovať radovú premennú na intervalovú premennú. Alternatívy pozri Anderberg (1973).


Vizuálne príklady afinných transformácií

V každom príklade predtým je červená a plná a po je modrá a prerušovaná. Rohy ukážkového trojuholníka budú označené takto: prvý bude mať malý disk, druhý bude mať malý štvoruholník a tretí vrchol bude mať malý päťstranný objekt. Všetky tieto štítky budú v priesvitnej šedej farbe. Pôvodný trojuholník bude v každom príklade (0,0), (1,0) a (0,1).

Preklad

Škálovanie

Odraz

Odraz nekonečnej čiary prechádzajúcej cez (0, 1) (0,1) (0, 1) so sklonom - 1 2 - frac12 - 2 1:

Rotácia

Rotácia okolo počiatku o uhol 2 3 π frac23 pi 3 2 π radiány:

Strihanie alebo strihanie

Strihanie o pôvode prostredníctvom uhla arktánu (1 2) text( frac12) arktán (2 1) radiány:


Afinné premeny

Teraz, keď máme nejaké dobré súvislosti o lineárnych transformáciách, je čas prejsť na hlavnú tému týchto post - afinných transformácií.

Pre afinný priestor (o tom, čo to je presne, si povieme v neskoršej časti) je každá afinná transformácia vo forme kde je matica predstavujúca lineárnu transformáciu a je vektor. Inými slovami, afinná transformácia kombinuje lineárnu transformáciu s a preklad.

Je zrejmé, že každá lineárna transformácia je afinná (nastavená na nulový vektor). Nie každá afinná transformácia je však lineárna. Ak nie je nula, pravidlá linearity sa nekontrolujú. Povedzme, že:

Ak sa ich pokúsime spojiť, dostaneme:

Porušenie pravidla skalárneho násobenia sa dá skontrolovať podobne.

Poďme preskúmať afinnú transformáciu, ktorá rozprestiera vektor o faktor dva (podobne ako S transformácia, o ktorej sme už hovorili predtým) a preloží ju o 0,5 pre obe dimenzie:

Tu je táto transformácia vizualizovaná:

S inteligentným zväčšením môžeme afinné transformácie reprezentovať ako násobenie jednou maticou, ak k vektorom pridáme ďalšiu dimenziu [5]:

Prekladový vektor je vložený na pravú stranu transformačnej matice s 1 pre ďalšiu dimenziu (matica dostane v tejto dimenzii 0 s). Výsledok bude mať v konečnej dimenzii vždy 1, čo môžeme ignorovať.

Afinné transformácie je možné skladať podobne ako lineárne transformácie pomocou násobenia matíc. Vďaka tomu sú tiež asociatívni. Ako príklad poďme zostaviť transformáciu škálovania + prekladania, o ktorej sme hovorili naposledy, s rotačnou transformáciou uvedenou vyššie. Toto je rozšírená matica pre rotáciu:

Zložená transformácia bude. Jeho matica je:


Čo je afinná transformácia?

    Transformácia, ktorú je možné vyjadriť vo forme a násobenie matíc (lineárna transformácia) nasledovaná a vektorové sčítanie (preklad).

Z vyššie uvedeného môžeme použiť afinnú transformáciu na vyjadrenie:

  1. Rotácie (lineárna transformácia)
  2. Preklady (sčítanie vektorov)
  3. Škálovacie operácie (lineárna transformácia)

môžete vidieť, že afinná transformácia v podstate predstavuje a vzťah medzi dvoma obrázkami.

Obvyklým spôsobom, ako reprezentovať afinnú transformáciu, je použitie matice (2 krát 3 ).

Vzhľadom na to, že chceme transformovať 2D vektor (X = beginx y koniec) pomocou znakov (A ) a (B ) môžeme urobiť to isté s:

(T = A cdot začaťx y koniec + B ) alebo (T = M cdot [x, y, 1] ^)

Ako dosiahneme afinnú transformáciu?

  1. Spomenuli sme, že afinná transformácia je v zásade a vzťah medzi dvoma obrázkami. Informácie o tomto vzťahu môžu pochádzať zhruba dvoma spôsobmi:
    1. Poznáme (X ) aj T a tiež vieme, že spolu súvisia. Našou úlohou je potom nájsť (M )
    2. Poznáme (M ) a (X ). Na získanie (T ) stačí použiť (T = M cdot X ). Naše informácie pre (M ) môžu byť explicitné (tj. Majú maticu 2 x 3), alebo môžu prichádzať ako geometrický vzťah medzi bodmi.

    Poďme si to vysvetliť lepšie (b). Pretože (M ) súvisí s 2 obrázkami, môžeme analyzovať najjednoduchší prípad, keď súvisí s tromi bodmi v oboch obrázkoch. Pozrite sa na obrázok nižšie:

    body 1, 2 a 3 (tvoriace trojuholník na obrázku 1) sa mapujú na obrázok 2, pričom stále tvoria trojuholník, ale teraz sa notoricky zmenili. Ak nájdeme afinnú transformáciu s týmito 3 bodmi (môžete si ich zvoliť, ako sa vám páči), potom môžeme tento nájdený vzťah použiť na všetky pixely v obraze.


    Afinná transformácia je lineárna transformácia + prekladový vektor.

    Môže byť aplikovaný na jednotlivé body alebo na priamky alebo dokonca Bézierove krivky. Pre čiary zachováva vlastnosť, že rovnobežné čiary zostávajú rovnobežné. Pre Bézierove krivky zachováva vlastnosť konvexného trupu kontrolných bodov.

    Po vynásobení získa 2 rovnice na získanie „transformovaného“ súradnicového páru $ (x ', y') $ z pôvodného páru $ (x, y) $ a zoznamu konštánt $ (a, b, c, d , e, f) $. $ x '= a cdot x + c cdot y + e y' = b cdot x + d cdot y + f $

    Pohodlne je možné lineárnu transformáciu a vektor prekladu spojiť do 3D matice, ktorá môže pracovať nad 2D homogénnymi súradnicami.

    Čím sa získajú rovnaké 2 rovnice vyššie.

    Veľmi pohodlne, môžu byť matice samotné vynásobené tak, aby vytvorili tretiu maticu (konštánt), ktorá vykonáva rovnakú transformáciu ako pôvodná 2 v poradí. Zjednodušene povedané, násobenia matíc sú asociatívne.

    Prípadne môžete zvážiť niekoľko základných typov transformácie a skombinovať ich (vynásobiť ich) a zostaviť tak zložitejšie transformácie.

    * Poznámka: Odraz je možné vykonať s parametrami zmeny mierky $ (S_x, S_y) = (-1,1) $ alebo $ (1, -1) $.

    $ začať cos theta & amp -sin theta & amp 0 sin theta & amp cos theta & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 end $

    [Všimnite si, že som tu ukázal formu Matrixu, ktorá prijíma vektor riadkov na vľavo. Transpozícia týchto matíc bude pracovať s vektorom stĺpca vpravo.]

    Maticu zloženú čisto zo zmeny mierky, rotácie a prekladu je možné rozložiť späť na tieto tri komponenty.


    Používanie s dátovými balíčkami GIS

    Georeferencované rastrové dátové súbory používajú afinné transformácie na mapovanie zo súradníc obrázka na svetové súradnice. The affine.Affine.from_gdal () metóda triedy pomáha prevádzať GDAL GeoTransform, sekvencie 6 čísel, v ktorých prvé a štvrté sú posuny x a y a druhé a šieste sú veľkosti pixelov xay.

    Pomocou matice transformácie dátovej množiny GDAL sa svet koordinuje (x, y) zodpovedajúci ľavému hornému rohu pixelu, je možné ľahko vypočítať 100 riadkov nadol od začiatku.


    Afinná transformácia

    bodové vzájomne jednohodnotové mapovanie roviny (priestoru) na seba, v ktorom sa priame čiary transformujú na priame čiary. Ak je kartézsky súradnicový systém uvedený v rovine, potom je možné definovať ľubovoľnú afinnú transformáciu tejto roviny pomocou takzvanej nevídanej lineárnej transformácie súradníc. X a r bodov tejto roviny. Takáto transformácia je daná vzorcami X& rsquo = sekera + od + p a r& rsquo = cx + D Y + q s dodatočnou požiadavkou, že . Analogicky možno ľubovoľnú afinnú transformáciu priestoru definovať pomocou nesingulárnych lineárnych transformácií súradníc bodov v priestore. Súbor všetkých afinných transformácií roviny (priestoru) do seba tvorí skupinu afinných transformácií. To predovšetkým znamená, že postupné uskutočnenie dvoch afinných transformácií je ekvivalentné niektorej jednotlivej afinnej transformácii.

    Príklady afinných transformácií sú ortogonálna transformácia a mdasha pohyb roviny alebo priestoru alebo pohyb s odrazom transformácia podobnosti a rovnomerná & ldquocompression. & Rdquo Uniformná & ldquocompression & rdquo s koeficientom k lietadla & pi smerom k priamke a nachádza sa v ňom transformácia, v ktorej sú body a zostať nehybné a každý bod M lietadla & pi na ktorom sa neleží a sa zobrazuje pozdĺž lúča prechádzajúceho cez M kolmo na a do istej miery M & rsquo také, že pomer vzdialeností od M a M & rsquo do a rovná sa k. Analogicky sa definuje jednotná & ldquocompression & rdquo priestoru k rovine. Každú afinnú transformáciu roviny je možné získať vykonaním určitej ortogonálnej transformácie a postupnej & ldquocompression & rdquo na niektorých dvoch kolmých čiarach. Akákoľvek afinná transformácia priestoru môže byť dosiahnutá pomocou určitej ortogonálnej transformácie a postupných & ldquocompressions & rdquo na niektorých troch vzájomne kolmých priamkach. Pri afinnej transformácii sa rovnobežné čiary a roviny transformujú na rovnobežné čiary a roviny. Vlastnosti afinnej transformácie sú široko používané v rôznych odvetviach matematiky, mechaniky a teoretickej fyziky. V geometrii sa teda afinná transformácia používa na takzvanú afinnú klasifikáciu čísel. V mechanike sa používa pri štúdiu malých deformácií spojitého média pri takýchto deformáciách, malé prvky média v prvej aproximácii prechádzajú afinnými transformáciami.


    Generovaná algebra závisí od vektora, na ktorom je založená, nielen od toho, koľko má dimenzií, ale aj od toho, či sú tieto rozmery štvorcové až kladné, záporné alebo nulové.

    Takže môžeme definovať geometrickú algebru podľa jej podpisu v tvare: Gp, q, r

    • p = počet základných vektorov, ktoré sa zaokrúhľujú na kladné číslo
    • q = počet základných vektorov, ktoré sa zaokrúhľujú na záporné číslo
    • r = počet základných vektorov, ktoré sa zaokrúhľujú na nulu

    Táto stránka to vysvetľuje a definuje aj ďalšie subalgebry.


    Postup MDS

    Multidimenzionálne škálovanie (MDS) sa týka triedy metód. Tieto metódy odhadujú súradnice množiny objektov v priestore špecifikovanej dimenzionality. Vstupnými údajmi sú merania vzdialeností medzi pármi objektov. Možno použiť rôzne modely, ktoré zahŕňajú rôzne spôsoby výpočtu vzdialeností a rôzne funkcie týkajúce sa vzdialeností od skutočných údajov. Procedúra MDS sa hodí pre dvoj- a trojpásmové, metrické a nemetrické modely viacrozmerného škálovania.

    Údaje pre postup MDS pozostávajú z jednej alebo viacerých štvorcových symetrických alebo asymetrických matíc podobností alebo odlišností medzi objektmi alebo stimulmi (Kruskal a Wish 1978, s. 7–11). Takéto údaje sa tiež nazývajú údaje o blízkosti. V psychometrických aplikáciách každá matica typicky zodpovedá predmetu a modely, ktoré zodpovedajú rôznym parametrom pre každý predmet, sa nazývajú individuálne rozdielové modely.

    Chýbajúce hodnoty sú povolené. Najmä ak všetky údaje chýbajú, s výnimkou pravouhlého obdĺžnika, analýza sa nazýva rozvinutie. Pri rozvíjaní modelov je však veľa vlastných ťažkostí (Heiser 1981). PROC MDS nevykonáva externý rozklad pre analýzy vyžadujúce externý rozklad, namiesto toho použite procedúru TRANSREG.

    Procedúra MDS odhaduje nasledujúce parametre podľa nelineárnych najmenších štvorcov:

    súradnice každého objektu v euklidovskom (Kruskal a Wish 1978, s. 17–19) alebo váženom euklidovskom priestore (Kruskal a Wish 1978, s. 61–63) jednej alebo viacerých dimenzií

    pre každú dátovú maticu koeficienty, ktoré vynásobia každú súradnicu spoločného alebo skupinovo váženého euklidovského priestoru, čím sa získa jednotlivý nevážený euklidovský priestor. Tieto koeficienty sú druhou odmocninou váh subjektu (Kruskal a Wish 1978, s. 61–63). Graf rozmerových koeficientov je priamo interpretovateľný tým, že ukazuje, ako sa jednotkový štvorec v skupinovom priestore transformuje na obdĺžnik v každom jednotlivom priestore. Graf váh subjektu nemá takú jednoduchú interpretáciu. Vážený euklidovský model súvisí s modelom INDSCAL (Carroll a Chang 1970).

    intercept, sklon alebo exponent v lineárnej, afinnej alebo výkonovej transformácii týkajúcej sa vzdialeností od údajov (Kruskal a Wish 1978, s. 19–22). Pre nemetrickú analýzu sa používajú monotónne transformácie, ktoré neobsahujú explicitné parametre (Kruskal a Wish 1978, s. 22–25). Diskusiu o metrických a nemetrických transformáciách pozri Kruskal a Wish (1978, s. 76–78).

    V závislosti od možnosti LEVEL = vyhovuje PROC MDS buď regresnému modelu formulára

    alebo merací model formulára

    je vopred určená výkonová alebo logaritmická transformácia špecifikovaná voľbou FIT =.

    je odhadovaná („optimálna“) lineárna, afinná, výkonová alebo monotónna transformácia uvedená v možnosti LEVEL =.

    je mierou podobnosti alebo nepodobnosti dvoch predmetov alebo stimulov.

    je vzdialenosť vypočítaná z odhadovaných súradníc dvoch objektov a odhadovaných rozmerových koeficientov v priestore jednej alebo viacerých rozmerov. Ak neexistujú žiadne rozmerové koeficienty (COEF = IDENTITY), je to nevážená euklidovská vzdialenosť. Ak sa použijú rozmerové koeficienty (COEF = DIAGONÁLNE), jedná sa o váženú euklidovskú vzdialenosť, kde váhy sú prípadne druhé mocniny rozmerových koeficientov, môžete každú dimenziu vynásobiť jej koeficientom a vypočítať neváženú euklidovskú vzdialenosť.

    je chybový výraz, o ktorom sa predpokladá, že má približne normálne rozdelenie a je nezávisle a identicky distribuovaný pre všetky údaje. Za týchto predpokladov je odhad najmenších štvorcov štatisticky vhodný.

    Úvod do multidimenzionálneho škálovania pozri v Kruskal a Wish (1978) a Arabie, Carroll a DeSarbo (1987). Pokročilejšiu liečbu podáva Young (1987). O mnohých praktických otázkach zberu a analýzy údajov pojednáva Schiffman, Reynolds a Young (1981). Základy psychologického merania vrátane unidimenzionálneho a multidimenzionálneho škálovania objasňuje Torgerson (1958). Nelineárny odhad najmenších štvorcov modelov PROC MDS je diskutovaný v Null a Sarle (1982).


    Pozri si video: Аффинные Преобразования (December 2021).