Články

5.E: trigonometrické funkcie (cvičenia) - matematika


5.1: Uhly

V tejto časti budeme skúmať vlastnosti uhlov.

Slovné

1) Nakreslite uhol do štandardnej polohy. Označte vrchol, počiatočnú stranu a koncovú stranu.

Odpoveď

2) Vysvetlite, prečo existuje nekonečné množstvo uhlov, ktoré sa spájajú s určitým uhlom.

3) Uveďte, čo znamená kladný alebo záporný uhol, a vysvetlite, ako každý z nich nakresliť.

Odpoveď

To, či je uhol kladný alebo záporný, určuje smer. Kladný uhol je nakreslený v smere proti smeru hodinových ručičiek a záporný uhol je nakreslený v smere hodinových ručičiek.

4) Ako porovnáva radián s mierou uhla s mierou? Do odseku zahrňte vysvetlenie radiánu (1 ).

5) Vysvetlite rozdiely medzi lineárnou rýchlosťou a uhlovou rýchlosťou pri opise pohybu po kruhovej dráhe.

Odpoveď

Lineárna rýchlosť je meranie nájdené výpočtom vzdialenosti oblúka v porovnaní s časom. Uhlová rýchlosť je meranie zistené výpočtom uhla oblúka v porovnaní s časom.

Grafické

Pri cvičeniach 6-21 s danou mierou nakreslite uhol v štandardnej polohe.

6) (30 ^ { circ} )

7) (300 ^ { circ} )

Odpoveď

8) (- 80 ^ { circ} )

9) (135 ^ { circ} )

Odpoveď

10) (- 150 ^ { circ} )

11) ( dfrac {2π} {3} )

Odpoveď

12) ( dfrac {7π} {4} )

13) ( dfrac {5π} {6} )

Odpoveď

14) ( dfrac {π} {2} )

15) (- dfrac {π} {10} )

Odpoveď

16) (415 ^ { circ} )

17) (- 120 ^ { circ} )

Odpoveď

(240 ^ { circ} )

18) (- 315 ^ { circ} )

19) ( dfrac {22π} {3} )

Odpoveď

( dfrac {4π} {3} )

20) (- dfrac {π} {6} )

21) (- dfrac {4π} {3} )

Odpoveď

( dfrac {2π} {3} )

Cvičenia 22 - 23 nájdete na obrázku nižšie. Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.

22) Nájdite dĺžku oblúka.

23) Nájdite oblasť sektoru.

Odpoveď

( dfrac {27π} {2} ≈11,00 text {in} ^ 2 )

Cvičenia 24-25 nájdete na obrázku nižšie. Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.

24) Nájdite dĺžku oblúka.

25) Nájdite oblasť sektoru.

Odpoveď

( dfrac {81π} {20} ≈12,72 text {cm} ^ 2 )

Algebraické

Pri cvičeniach 26-32 prevádzajte uhly v radiánoch na stupne.

26) ( dfrac {3π} {4} ) radiány

27) ( dfrac {π} {9} ) radiány

Odpoveď

(20 ^ { circ} )

28) (- dfrac {5π} {4} ) radiány

29) ( dfrac {π} {3} ) radiány

Odpoveď

(60 ^ { circ} )

30) (- dfrac {7π} {3} ) radiány

31) (- dfrac {5π} {12} ) radiány

Odpoveď

(- 75 ^ { circ} )

32) ( dfrac {11π} {6} ) radiány

Pri cvičeniach 33 - 39 prevádzajte uhly v stupňoch na radiány.

33) (90 ^ { circ} )

Odpoveď

( dfrac {π} {2} ) radiány

34) (100 ^ { circ} )

35) (- 540 ^ { circ} )

Odpoveď

(- 3π ) radiány

36) (- 120 ^ { circ} )

37) (180 ^ { circ} )

Odpoveď

(π ) radiány

38) (- 315 ^ { circ} )

39) (150 ^ { circ} )

Odpoveď

( dfrac {5π} {6} ) radiány

Pri cvičeniach 40-45 pomocou zadaných informácií vyhľadajte dĺžku kruhového oblúka. Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.

40) Nájdite dĺžku oblúka kruhu s polomerom (12 ) palcov, ktorý je zúžený o stredový uhol ( dfrac {π} {4} ) radiánov.

41) Nájdite dĺžku oblúka kruhu s polomerom (5,02 ) míľ, ktorý je zmenšený stredovým uhlom ( dfrac {π} {3} ).

Odpoveď

( dfrac {5,02π} {3} ≈5,26 ) míľ

42) Nájdite dĺžku oblúku kruhu s priemerom (14 ) metrov pod stredovým uhlom ( dfrac {5 pi} {6} ).

43) Nájdite dĺžku oblúka kruhu s polomerom (10 ​​) centimetrov pod stredným uhlom (50 ^ { circ} ).

Odpoveď

( dfrac {25π} {9} ≈8,73 ) centimetrov

44) Nájdite dĺžku oblúka kruhu s polomerom (5 ) palcov pod stredovým uhlom (220 ^ {circle} ).

45) Nájdite dĺžku oblúka kruhu s priemerom (12 ) metrov pod stredovým uhlom (63 ^ {circle} ).

Odpoveď

( dfrac {21π} {10} ≈6,60 ) metrov

Na cvičeniach 46 - 49 použite dané informácie k nájdeniu oblasti sektoru. Zaokrúhlené na štyri desatinné miesta.

46) Sektor kruhu má stredový uhol (45 ^ { circ} ) a polomer (6 ) cm.

47) Sektor kruhu má stredový uhol (30 ^ { circ} ) a polomer (20 ) cm.

Odpoveď

(104,7198 ; cm ^ 2 )

48) Sektor kruhu s priemerom (10 ​​) stôp a uhlom ( dfrac {π} {2} ) radiánov.

49) Sektor kruhu s polomerom (0,7 ) palca a uhlom (π ) radiánov.

Odpoveď

(0,7697 ; v ^ 2 )

Na cvičeniach 50 - 53 nájdite uhol medzi (0 ^ { circ} ) a (360 ^ { circ} ), ktorý je kognitívny k danému uhlu.

50) (- 40 ^ { circ} )

51) (- 110 ^ { circ} )

Odpoveď

(250 ^ { circ} )

52) (700 ^ { circ} )

53) (1400 ^ { circ} )

Odpoveď

(320 ^ { circ} )

Na cvičeniach 54 - 57 nájdite uhol medzi (0 ) a (2 pi ) v radiánoch, ktorý je koncový k danému uhlu.

54) (- dfrac {π} {9} )

55) ( dfrac {10π} {3} )

Odpoveď

( dfrac {4π} {3} )

56) ( dfrac {13π} {6} )

57) ( dfrac {44π} {9} )

Odpoveď

( dfrac {8π} {9} )

Skutočné aplikácie

58) Nákladné vozidlo s kolesami s priemerom (32 palcov) sa pohybuje rýchlosťou (60 ) mi / h. Nájdite uhlovú rýchlosť kolies v rad / min. Koľko otáčok za minútu urobia kolesá?

59) Bicykel s kolesami s priemerom (24 palcov) sa pohybuje rýchlosťou (15 ) mi / h. Koľko otáčok za minútu urobia kolesá?

Odpoveď

(1320 ) rad (210,085 ) ot./min

60) Koleso s polomerom (8 ) palcov sa otáča (15 ^ { circ} / s ). Aká je lineárna rýchlosť (v ), uhlová rýchlosť v RPM a uhlová rýchlosť v rad / s?

61) Koleso s polomerom (14 ) palcov sa otáča (0,5 text {rad / s} ). Aká je lineárna rýchlosť (v ), uhlová rýchlosť v RPM a uhlová rýchlosť v deg / s?

Odpoveď

(7 ) in./s, (4,77 ) otáčok za minútu, (28,65 ) stupňov / s

62) CD má priemer (120 ) milimetrov. Pri prehrávaní zvuku sa uhlová rýchlosť líši, aby sa pri čítaní disku zachovala konštantná lineárna rýchlosť. Pri čítaní pozdĺž vonkajšej hrany disku je uhlová rýchlosť okolo (200 ) otáčok za minútu (otáčky za minútu). Nájdite lineárnu rýchlosť.

63) Pri napaľovaní na zapisovateľnú jednotku CD-R je uhlová rýchlosť disku CD často oveľa rýchlejšia ako pri prehrávaní zvuku, ale uhlová rýchlosť sa stále líši, aby sa pri zapisovaní disku zachovala konštantná lineárna rýchlosť. Pri zápise pozdĺž vonkajšej hrany disku je uhlová rýchlosť jednej jednotky asi (4800 ) otáčok za minútu (otáčky za minútu). Nájdite lineárnu rýchlosť, ak má disk CD priemer (120 ) milimetrov.

Odpoveď

(1 809 557,37 text {mm / min} = 30,16 text {m / s} )

64) Osoba stojí na rovníku Zeme (rádius 3960 míľ). Aké sú jeho lineárne a uhlové rýchlosti?

65) Nájdite vzdialenosť pozdĺž oblúka na povrchu Zeme, ktorý zmenšuje stredový uhol (5 ) minút ((1 text {minúta} = dfrac {1} {60} text {stupeň}) ). Polomer Zeme je (3960 ) míľ.

Odpoveď

(5,76 ) míľ

66) Nájdite vzdialenosť pozdĺž oblúka na povrchu Zeme, ktorý zmenšuje stredový uhol (7 ) minút ((1 text {minúta} = dfrac {1} {60} text {stupeň}) ). Polomer Zeme je (3960 ) míľ.

67) Zvážte hodiny s hodinovou a minútovou ručičkou. Aká je miera uhla, ktorý sleduje minútová ruka za (20 ) minút?

Odpoveď

(120°)

Prípony

68) Dve mestá majú rovnakú zemepisnú dĺžku. Zemepisná šírka od mesta A je (9,00 ) stupňov severne a zemepisná šírka od mesta B je (30,00 ) stupňa severne. Predpokladajme, že polomer Zeme je (3960 ) míľ. Nájdite vzdialenosť medzi týmito dvoma mestami.

69) Mesto sa nachádza na (40 ) stupňoch severnej šírky. Predpokladajme, že polomer Zeme je míľ a Zem sa rotuje raz za (24 ) hodín. Nájdite lineárnu rýchlosť osoby, ktorá má bydlisko v tomto meste.

Odpoveď

(794 ) míľ za hodinu

70) Mesto sa nachádza na (75 ) stupňoch severnej zemepisnej šírky. Nájdite lineárnu rýchlosť osoby, ktorá má bydlisko v tomto meste.

71) Nájdite lineárnu rýchlosť mesiaca, ak je priemerná vzdialenosť medzi Zemou a Mesiacom (239 000 ) míľ za predpokladu, že obežná dráha Mesiaca je kruhová a vyžaduje asi (28 ) dní. Expresná odpoveď v míľach za hodinu.

Odpoveď

(2 234 ) míľ za hodinu

72) Bicykel má kolesá v priemere. Otáčkomer určuje, že sa kolesá otáčajú pri (180 ) ot / min (otáčky za minútu). Nájdite rýchlosť, ktorou bicykel ide po ceste.

73) Auto prejde míle. Jeho pneumatiky robia (2640 ) otáčok. Aký je polomer pneumatiky v palcoch?

Odpoveď

(11,5 ) palcov

74) Koleso na traktore má priemer (24 ) - palca. Koľko otáčok urobí koleso, ak je traktor najazdených 4 míle?

5.2: Kruh jednotky - funkcie sínus a kosínus

Slovné

1) Popíš jednotkovú kružnicu.

Odpoveď

Jednotková kružnica je kruh s polomerom (1 ) vystredený na počiatku.

2) Čo predstavujú (x ) - a (y ) - súradnice bodov na jednotkovej kružnici?

3) Diskutujte o rozdiele medzi coterminálnym uhlom a referenčným uhlom.

Odpoveď

Coterminálne uhly sú uhly, ktoré zdieľajú rovnakú koncovú stranu. Referenčný uhol je veľkosť najmenšieho ostrého uhla (t ) tvorená koncovou stranou uhla (t ) a vodorovnou osou.

4) Vysvetlite, ako sa kosínus uhla v druhom kvadrante líši od kosínusu jeho referenčného uhla v jednotkovej kružnici.

5) Vysvetlite, ako sa sínus uhla v druhom kvadrante líši od sínusu jeho referenčného uhla v jednotkovej kružnici.

Odpoveď

Sínusové hodnoty sú rovnaké.

Algebraické

Pre cvičenia 6-9 použite dané znamienko sínusovej a kosínusovej funkcie na nájdenie kvadrantu, v ktorom leží koncový bod určený pomocou (t ).

6) ( sin (t) <0 ) a ( cos (t) <0 )

7) ( sin (t)> 0 ) a ( cos (t)> 0 )

Odpoveď

( textrm {I} )

8) ( sin (t)> 0 ) a ( cos (t) <0 )

9) ( sin (t) <0 ) a ( cos (t)> 0 )

Odpoveď

( textrm {IV} )

Pre cvičenia 10 - 22 nájdite presnú hodnotu každej trigonometrickej funkcie.

10) ( sin dfrac {π} {2} )

11) ( sin dfrac {π} {3} )

Odpoveď

( dfrac { sqrt {3}} {2} )

12) ( cos dfrac {π} {2} )

13) ( cos dfrac {π} {3} )

Odpoveď

( dfrac {1} {2} )

14) ( sin dfrac {π} {4} )

15) ( cos dfrac {π} {4} )

Odpoveď

( dfrac { sqrt {2}} {2} )

16) ( sin dfrac {π} {6} )

17) ( sin π )

Odpoveď

(0)

18) ( sin dfrac {3π} {2} )

19) ( cos π )

Odpoveď

(−1)

20) ( cos 0 )

21) (cos dfrac {π} {6} )

Odpoveď

( dfrac { sqrt {3}} {2} )

22) ( sin 0 )

Numerické

Pri cvičeniach 23-33 uveďte referenčný uhol pre daný uhol.

23) (240°)

Odpoveď

(60°)

24) (−170°)

25) (100°)

Odpoveď

(80°)

26) (−315°)

27) (135°)

Odpoveď

(45°)

28) ( dfrac {5π} {4} )

29) ( dfrac {2π} {3} )

Odpoveď

( dfrac {π} {3} )

30) ( dfrac {5π} {6} )

31) (- dfrac {11π} {3} )

Odpoveď

( dfrac {π} {3} )

32) ( dfrac {−7π} {4} )

33) ( dfrac {−π} {8} )

Odpoveď

( dfrac {π} {8} )

Pre cvičenia 34-49 nájdite referenčný uhol, kvadrant koncovej strany a sínus a kosínus každého uhla. Ak uhol nie je jedným z uhlov na jednotkovej kružnici, použite kalkulačku a zaokrúhlite na tri desatinné miesta.

34) (225°)

35) (300°)

Odpoveď

(60 ° ), kvadrant IV, ( sin (300 °) = - dfrac { sqrt {3}} {2}, cos (300 °) = dfrac {1} {2} )

36) (320°)

37) (135°)

Odpoveď

(45 ° ), kvadrant II, ( sin (135 °) = dfrac { sqrt {2}} {2}, cos (135 °) = - dfrac { sqrt {2}} { 2} )

38) (210°)

39) (120°)

Odpoveď

(60 ° ), kvadrant II, ( sin (120 °) = dfrac { sqrt {3}} {2} ), ( cos (120 °) = - dfrac {1} { 2} )

40) (250°)

41) (150°)

Odpoveď

(30 ° ), kvadrant II, ( sin (150 °) = frac {1} {2} ), ( cos (150 °) = - dfrac { sqrt {3}} { 2} )

42) ( dfrac {5π} {4} )

43) ( dfrac {7π} {6} )

Odpoveď

( dfrac {π} {6} ), kvadrant III, ( sin doľava ( dfrac {7π} {6} doprava) = - dfrac {1} {2} ), ( cos left ( dfrac {7π} {6} right) = - dfrac { sqrt {3}} {2} )

44) ( dfrac {5π} {3} )

45) ( dfrac {3π} {4} )

Odpoveď

( dfrac {π} {4} ), Kvadrant II, ( sin doľava ( dfrac {3π} {4} doprava) = dfrac { sqrt {2}} {2} ), ( cos left ( dfrac {4π} {3} right) = - dfrac { sqrt {2}} {2} )

46) ( dfrac {4π} {3} )

47) ( dfrac {2π} {3} )

Odpoveď

( dfrac {π} {3} ), kvadrant II, ( sin doľava ( dfrac {2π} {3} doprava) = dfrac { sqrt {3}} {2} ), ( cos left ( dfrac {2π} {3} right) = - dfrac {1} {2} )

48) ( dfrac {5π} {6} )

49) ( dfrac {7π} {4} )

Odpoveď

( dfrac {π} {4} ), kvadrant IV, ( sin doľava ( dfrac {7π} {4} doprava) = - dfrac { sqrt {2}} {2} ) , ( cos doľava ( dfrac {7π} {4} doprava) = dfrac { sqrt {2}} {2} )

Pri cvičeniach 50 - 59 vyhľadajte požadovanú hodnotu.

50) Ak ( cos (t) = dfrac {1} {7} ) a (t ) v kvadrante (4 ^ {th} ), nájdite ( sin (t) ).

51) Ak ( cos (t) = dfrac {2} {9} ) a (t ) v kvadrante (1 ^ {st} ), nájdite ( sin (t) ).

Odpoveď

( dfrac { sqrt {77}} {9} )

52) Ak ( sin (t) = dfrac {3} {8} ) a (t ) v kvadrante (2 ^ {nd} ), nájdite ( cos (t) ).

53) Ak ( sin (t) = - dfrac {1} {4} ) a (t ) v kvadrante (3 ^ {rd} ), nájdeme ( cos (t) ).

Odpoveď

(- dfrac { sqrt {15}} {4} )

54) Nájdite súradnice bodu na kružnici s polomerom (15 ) zodpovedajúcim uhlu (220 ° ).

55) Nájdite súradnice bodu na kružnici s polomerom (20 ) zodpovedajúcim uhlu (120 ° ).

Odpoveď

((- 10,10 sqrt {3}) )

56) Nájdite súradnice bodu na kružnici s polomerom (8 ) zodpovedajúcim uhlu ( dfrac {7π} {4} ).

57) Nájdite súradnice bodu na kružnici s polomerom (16 ) zodpovedajúcim uhlu ( dfrac {5π} {9} ).

Odpoveď

((–2.778,15.757))

58) Uveďte doménu sínusových a kosínusových funkcií.

59) Uveďte rozsah sínusových a kosínusových funkcií.

Odpoveď

([–1,1])

Grafické

Pre cvičenia 60-79 použite daný bod na jednotkovej kružnici na nájdenie hodnoty sínusu a kosínusu (t ).

60)

61)

Odpoveď

( sin t = dfrac {1} {2}, cos t = - dfrac { sqrt {3}} {2} )

62)

63)

Odpoveď

( sin t = - dfrac { sqrt {2}} {2}, cos t = - dfrac { sqrt {2}} {2} )

64)

65)

Odpoveď

( sin t = dfrac { sqrt {3}} {2}, cos t = - dfrac {1} {2} )

66)

67)

Odpoveď

( sin t = - dfrac { sqrt {2}} {2}, cos t = dfrac { sqrt {2}} {2} )

68)

69)

Odpoveď

( sin t = 0, cos t = -1)

70)

71)

Odpoveď

( sin t = −0,596, cos t = 0,803 )

72)

73)

Odpoveď

( sin t = dfrac {1} {2}, cos t = dfrac { sqrt {3}} {2} )

74)

75)

Odpoveď

( sin t = - dfrac {1} {2}, cos t = dfrac { sqrt {3}} {2} )

76)

77)

Odpoveď

( sin t = 0,761, cos t = −0,649 )

78)

79)

Odpoveď

( sin t = 1, cos t = 0 )

Technológie

Pri cvičeniach 80 - 89 použite na vyhodnotenie grafickú kalkulačku.

80) ( sin dfrac {5π} {9} )

81) (cos dfrac {5π} {9} )

Odpoveď

(−0.1736)

82) ( sin dfrac {π} {10} )

83) ( cos dfrac {π} {10} )

Odpoveď

(0.9511)

84) ( sin dfrac {3π} {4} )

85) ( cos dfrac {3π} {4} )

Odpoveď

(−0.7071)

86) ( sin 98 ° )

87) ( cos 98 ° )

Odpoveď

(−0.1392)

88) ( cos 310 ° )

89) ( sin 310 ° )

Odpoveď

(−0.7660)

Prípony

U cvikov 90-99 hodnotte.

90) ( sin left ( dfrac {11π} {3} right) cos left ( dfrac {−5π} {6} right) )

91) ( sin left ( dfrac {3π} {4} right) cos left ( dfrac {5π} {3} right) )

Odpoveď

( dfrac { sqrt {2}} {4} )

92) ( sin doľava (- dfrac {4π} {3} doprava) cos doľava ( dfrac {π} {2} doprava) )

93) ( sin doľava ( dfrac {−9π} {4} doprava) cos doľava ( dfrac {ππ {6} doprava) )

Odpoveď

(- dfrac { sqrt {6}} {4} )

94) ( sin left ( dfrac {π} {6} right) cos left ( dfrac {ππ {3} right) )

95) ( sin doľava ( dfrac {7π} {4} doprava) cos doľava ( dfrac {−2π} {3} doprava) )

Odpoveď

( dfrac { sqrt {2}} {4} )

96) ( cos doľava ( dfrac {5π} {6} doprava) cos doľava ( dfrac {2π} {3} doprava) )

97) ( cos left ( dfrac {−π} {3} right) cos left ( dfrac {π} {4} right) )

Odpoveď

( dfrac { sqrt {2}} {4} )

98) ( sin left ( dfrac {−5π} {4} right) sin left ( dfrac {11π} {6} right) )

99) ( sin (π) sin doľava ( dfrac {π} {6} doprava) )

Odpoveď

(0)

Skutočné aplikácie

Pri cvičeniach 100 - 104 použite tento scenár: Dieťa vstúpi do kolotoča, ktorého obehnutie trvá asi jednu minútu. Dieťa vstúpi do bodu ((0,1) ), to znamená na severnú pozíciu. Predpokladajme, že sa kolotoč otáča proti smeru hodinových ručičiek.

100) Aké sú súradnice dieťaťa po (45 ) sekundách?

101) Aké sú súradnice dieťaťa po (90 ) sekundách?

Odpoveď

((0,–1))

102) Aké sú súradnice dieťaťa po (125 ) sekundách?

103) Kedy bude mať dieťa súradnice ((0,707; –0,707) ), ak jazda trvá (6 ) minút? (Existuje niekoľko odpovedí.)

Odpoveď

(37,5 ) sekundy, (97,5 ) sekundy, (157,5 ) sekundy, (217,5 ) sekundy, (277,5 ) sekundy, (337,5 ) sekundy

104) Kedy bude mať dieťa súradnice ((- 0,866, −0,5) ), ak jazda trvá (6 ) minút?

5.3: Ostatné trigonometrické funkcie

Slovné

1) Môžu byť sínusové a kosínusové hodnoty radiánskej miery v intervale ([0,2π) ) rovnaké? Ak áno, tak kde?

Odpoveď

Áno, keď je referenčný uhol ( dfrac {π} {4} ) a koncová strana uhla je v kvadrantoch I a III. Teda pri (x = dfrac {π} {4}, dfrac {5π} {4} ) sú hodnoty sínus a kosínus rovnaké.

2) Aký by ste odhadli kosínus stupňov ( pi )? Vysvetlite svoje zdôvodnenie.

3) Ako by ste mohli určiť kosínus uhla pre akýkoľvek uhol v kvadrante II, keby ste poznali sínus uhla?

Odpoveď

Nahraďte sínus uhla pre (y ) v Pytagorovej vete (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). Vyriešte pre (x ) a vezmite záporné riešenie.

4) Popíšte funkciu sekans.

5) Tangens a kotangens majú periódu (π ). Čo nám to hovorí o výstupe z týchto funkcií?

Odpoveď

Výstupy tangensu a kotangensu budú opakovať každých (π ) jednotiek.

Algebraické

Pri cvičeniach 6-17 nájdite presnú hodnotu každého výrazu.

6) ( tan dfrac {π} {6} )

7) ( sec dfrac {π} {6} )

Odpoveď

( dfrac {2 sqrt {3}} {3} )

8) ( csc dfrac {π} {6} )

9) ( cot dfrac {π} {6} )

Odpoveď

( sqrt {3} )

10) ( tan dfrac {π} {4} )

11) ( sec dfrac {π} {4} )

Odpoveď

( sqrt {2} )

12) ( csc dfrac {π} {4} )

13) ( cot dfrac {π} {4} )

Odpoveď

(1)

14) ( tan dfrac {π} {3} )

15) ( sec dfrac {π} {3} )

Odpoveď

(2)

16) ( csc dfrac {π} {3} )

17) ( cot dfrac {π} {3} )

Odpoveď

( dfrac { sqrt {3}} {3} )

Pri cvičeniach 18 - 48 používajte na hodnotenie výrazu referenčné uhly.

18) ( tan dfrac {5π} {6} )

19) ( sec dfrac {7π} {6} )

Odpoveď

(- dfrac {2 sqrt {3}} {3} )

20) ( csc dfrac {11π} {6} )

21) ( cot dfrac {13π} {6} )

Odpoveď

( sqrt {3} )

22) ( tan dfrac {7π} {4} )

23) ( sec dfrac {3π} {4} )

Odpoveď

(- sqrt {2} )

24) ( csc dfrac {5π} {4} )

25) ( cot dfrac {11π} {4} )

Odpoveď

(−1)

26) ( tan dfrac {8π} {3} )

27) ( sec dfrac {4π} {3} )

Odpoveď

(−2)

28) ( csc dfrac {2π} {3} )

29) ( cot dfrac {5π} {3} )

Odpoveď

(- dfrac { sqrt {3}} {3} )

30) ( tan 225 ° )

31) ( s 300 ° )

Odpoveď

(2)

32) ( csc 150 ° )

33) ( detská postieľka 240 ° )

Odpoveď

( dfrac { sqrt {3}} {3} )

34) ( tan 330 ° )

35) ( s 120 ° )

Odpoveď

(−2)

36) ( csc 210 ° )

37) ( detská postieľka 315 ° )

Odpoveď

(−1)

38) Ak ( sin t = dfrac {3} {4} ) a (t ) je v kvadrante II, nájdeme ( cos t, sec t, csc t, tan t, postieľka t ).

39) Ak ( cos t = - dfrac {1} {3}, ) a (t ) v kvadrante III, nájdite ( sin t, sec t, csc t, tan t , postieľka t ).

Odpoveď

Ak ( sin t = - dfrac {2 sqrt {2}} {3}, sec t = −3, csc t = - csc t = - dfrac {3 sqrt {2}} { 4}, tan t = 2 sqrt {2}, cot t = dfrac { sqrt {2}} {4} )

40) Ak ( tan t = dfrac {12} {5}, ) a (0≤t < dfrac {π} {2} ), nájdime ( sin t, cos t, sek t, csc t, ) a ( cot t ).

41) Ak ( sin t = dfrac { sqrt {3}} {2} ) a ( cos t = dfrac {1} {2}, ) nájdu ( sec t, csc t, tan t, ) a ( cot t ).

Odpoveď

( sec t = 2, csc t = csc t = dfrac {2 sqrt {3}} {3}, tan t = sqrt {3}, cot t = dfrac { sqrt { 3}} {3} )

42) Ak ( sin 40 ° ≈0,643 ; cos 40 ° ≈0,766 ; s 40 °, csc 40 °, tan 40 °, text {a} postieľka 40 ° ).

43) Ak ( sin t = dfrac { sqrt {2}} {2}, ) čo je ( sin (−t) )?

Odpoveď

(- dfrac { sqrt {2}} {2} )

44) Ak ( cos t = dfrac {1} {2}, ) čo je ( cos (−t) )?

45) Ak ( sec t = 3,1, ) čo je ( sec (−t) )?

Odpoveď

(3.1)

46) Ak ( csc t = 0,34, ) čo je ( csc (−t) )?

47) Ak ( tan t = -1,4, ) čo je ( tan (−t) )?

Odpoveď

(1.4)

48) Ak ( cot t = 9,23, ) čo je ( cot (−t) )?

Grafické

Pre cvičenia 49-51 použite uhol v jednotkovej kružnici na nájdenie hodnoty každej zo šiestich trigonometrických funkcií.

49)

Odpoveď

( sin t = dfrac { sqrt {2}} {2}, cos t = dfrac { sqrt {2}} {2}, tan t = 1, cot t = 1, sec t = sqrt {2}, csc t = csc t = sqrt {2} )

50)

51)

Odpoveď

( sin t = - dfrac { sqrt {3}} {2}, cos t = - dfrac {1} {2}, tan t = sqrt {3}, cot t = dfrac { sqrt {3}} {3}, sec t = −2, csc t = - csc t = - dfrac {2 sqrt {3}} {3} )

Technológie

Na vyhodnotenie cvičení 52-61 použite grafickú kalkulačku.

52) ( csc dfrac {5π} {9} )

53) ( cot dfrac {4π} {7} )

Odpoveď

(–0.228)

54) ( sec dfrac {π} {10} )

55) ( tan dfrac {5π} {8} )

Odpoveď

(–2.414)

56) ( sec dfrac {3π} {4} )

57) ( csc dfrac {π} {4} )

Odpoveď

(1.414)

58) ( tan 98 ° )

59) ( detská postieľka 33 ° )

Odpoveď

(1.540)

60) ( detská postieľka 140 ° )

61) ( s 310 ° )

Odpoveď

(1.556)

Prípony

Pri cvičeniach 62 - 69 používajte na vyhodnotenie výrazu totožnosti.

62) Ak ( tan (t) ≈2,7, ) a ( sin (t) ≈0,94, ) nájdeme ( cos (t) ).

63) Ak ( tan (t) ≈1,3, ) a ( cos (t) ≈0,61 ), nájdime ( sin (t) ).

Odpoveď

( sin (t) ≈0,79 )

64) Ak ( csc (t) ≈3,2, ) a ( csc (t) ≈3,2, ) a ( cos (t) ≈0,95, ) nájdu ( tan (t) ).

65) Ak ( cot (t) ≈0,58, ) a ( cos (t) ≈0,5, ) nájdeme ( csc (t) ).

Odpoveď

( csc (t) ≈1,16 )

66) Určte, či je funkcia (f (x) = 2 sin x cos x ) párna, nepárna alebo žiadna.

67) Určte, či je funkcia (f (x) = 3 sin ^ 2 x cos x + sec x ) párna, nepárna alebo žiadna.

Odpoveď

dokonca

68) Určte, či je funkcia (f (x) = sin x −2 cos ^ 2 x ) párna, nepárna alebo žiadna.

69) Určte, či je funkcia (f (x) = csc ^ 2 x + sec x ) párna, nepárna alebo žiadna.

Odpoveď

dokonca

V cvičeniach 70 - 71 používajte identity na zjednodušenie výrazu.

70) ( csc t tan t )

71) ( dfrac { sec t} { csc t} )

Odpoveď

( dfrac { sin t} { cos t} = tan t )

Skutočné aplikácie

72) Množstvo slnečného žiarenia v určitom meste možno modelovať funkciou (h = 15 cos vľavo ( dfrac {1} {600} d vpravo), ) kde (h ) predstavuje hodiny slnečného žiarenia a (d ) je deň v roku. Použite rovnicu na zistenie počtu hodín slnečného žiarenia 10. februára, ( 42. {42. Deň) v roku. Uveďte obdobie výkonu funkcie.

73) Množstvo slnečného žiarenia v určitom meste možno modelovať pomocou funkcie (h = 16 cos left ( dfrac {1} {500} d right) ), kde (h ) predstavuje hodiny slnečného žiarenia a (d ) je deň v roku. Použite rovnicu na zistenie počtu hodín slnečného žiarenia 24. septembra, ( 267 ^ {th} ) dňa v roku. Uveďte obdobie výkonu funkcie.

Odpoveď

(13,77 ) hodiny, perióda: (1000π )

74) Rovnica (P = 20 sin (2πt) +100 ) modeluje krvný tlak (P ), kde (t ) predstavuje čas v sekundách.

  1. Zistite krvný tlak po (15 ) sekundách.
  2. Aký je maximálny a minimálny krvný tlak?

75) Výška piestu (h ) v palcoch sa dá modelovať rovnicou (y = 2 cos x + 6, ), kde (x ) predstavuje uhol kľuky. Zistite výšku piestu, keď je uhol kľuky (55 ° ).

Odpoveď

(7,73 ) palcov

76) Výška piestu (h ) v palcoch sa dá modelovať rovnicou (y = 2 cos x + 5, ), kde (x ) predstavuje uhol kľuky. Zistite výšku piestu, keď je uhol kľuky (55 ° ).

5.4: trigonometria pravouhlého trojuholníka

Slovné

1) Pre daný pravý trojuholník označte susednú stranu, opačnú stranu a preponu pre uvedený uhol.

Odpoveď

2) Ak je do jednotkového kruhu umiestnený pravý trojuholník s preponou (1 ), ktoré strany trojuholníka zodpovedajú súradniciam (x ) - a (y )?

3) Tangenta uhla porovnáva, ktoré strany pravého trojuholníka?

Odpoveď

Tangenta uhla je pomer opačnej strany k susednej strane.

4) Aký je vzťah medzi dvoma ostrými uhlami v pravom trojuholníku?

5) Vysvetlite identitu kofunkcie.

Odpoveď

Napríklad sínus uhla sa rovná kosínu jeho doplnku; kosínus uhla sa rovná sínusu jeho doplnku.

Algebraické

Pri cvičeniach 6-9 používajte funkcie doplnkových uhlov.

6) ( cos (34 °) = sin ( _ _ °) )

7) ( cos ( dfrac {π} {3}) = sin ( _ _ _) )

Odpoveď

( dfrac {π} {6} )

8) ( csc (21 °) = s ( _ _ _ °) )

9) ( tan ( dfrac {π} {4}) = cot ( _ _) )

Odpoveď

( dfrac {π} {4} )

Pre cvičenia 10 - 16 nájdite dĺžky chýbajúcich strán, ak strana (a ) je v opačnom uhle (A ), strana (b ) je v opačnom uhle (B ) a strana (c ) je prepona.

10) ( cos B = dfrac {4} {5}, a = 10 )

11) ( sin B = dfrac {1} {2}, a = 20 )

Odpoveď

(b = dfrac {20 sqrt {3}} {3}, c = dfrac {40 sqrt {3}} {3} )

12) ( tan A = dfrac {5} {12}, b = 6 )

13) ( tan A = 100, b = 100 )

Odpoveď

(a = 10 000, c = 10 000,5 )

14) ( sin B = dfrac {1} { sqrt {3}}, a = 2 )

15) (a = 5, ∡ A = 60 ^ ∘ )

Odpoveď

(b = dfrac {5 sqrt {3}} {3}, c = dfrac {10 sqrt {3}} {3} )

16) (c = 12, ∡ A = 45 ^ ∘ )

Grafické

Pri cvičeniach 17 - 22 použite na vyhodnotenie každej trigonometrickej funkcie uhla (A ) obrázok nižšie.

17) ( sin A )

Odpoveď

( dfrac {5 sqrt {29}} {29} )

18) ( cos A )

19) ( tan A )

Odpoveď

( dfrac {5} {2} )

20) ( csc A )

21) ( s A )

Odpoveď

( dfrac { sqrt {29}} {2} )

22) ( detská postieľka A )

Pre cvičenia 23-, 28 použite obrázok nižšie na vyhodnotenie každej trigonometrickej funkcie uhla (A ).

23) ( sin A )

Odpoveď

( dfrac {5 sqrt {41}} {41} )

24) ( cos A )

25) ( tan A )

Odpoveď

( dfrac {5} {4} )

26) ( csc A )

27) ( s A )

Odpoveď

( dfrac { sqrt {41}} {4} )

28) ( detská postieľka A )

Pre cvičenia 29-31 vyriešte neznáme strany daného trojuholníka.

29)

Odpoveď

(c = 14, b = 7 sqrt {3} )

30)

31)

Odpoveď

(a = 15, b = 15 )

Technológie

Pri cvičeniach 32 - 41 vyhľadajte pomocou kalkulačky dĺžku každej strany na štyri desatinné miesta.

32)

33)

Odpoveď

(b = 9,9970, c = 12,2041 )

34)

35)

Odpoveď

(a = 2,0838, b = 11,8177 )

36)

37) (b = 15, ∡B = 15 ^ ∘ )

Odpoveď

(a = 55,9808, c = 57,9555 )

38) (c = 200, ∡B = 5 ^ ∘ )

39) (c = 50, ∡B = 21 ^ ∘ )

Odpoveď

(a = 46,6790, b = 17,9184 )

40) (a = 30, ∡A = 27 ^ ∘ )

41) (b = 3,5, ∡A = 78 ^ ∘ )

Odpoveď

(a = 16,4662, c = 16,8341 )

Prípony

42) Nájdite (x ).

43) Nájdite (x ).

Odpoveď

(188.3159)

44) Nájdite (x ).

45) Nájdite (x ).

Odpoveď

(200.6737)

46) Rozhlasová veža sa nachádza 400 metrov od budovy. Z okna v budove človek zistí, že uhol vyvýšenia k vrchu veže je (36 ° ) a že uhol depresie k spodnej časti veže je (23 ° ). Aká vysoká je veža?

47) Rozhlasová veža sa nachádza (325 ) stôp od budovy. Z okna v budove človek zistí, že uhol vyvýšenia k vrchu veže je (43 ° ) a že uhol depresie k spodnej časti veže je (31 ° ). Aká vysoká je veža?

Odpoveď

(498,3471 ) stôp

48) V diaľke sa nachádza pamätník vysoký 200 metrov. Z okna v budove človek určí, že uhol vyvýšenia k vrcholu pamätníka je (15 ° ) a že uhol depresie k spodnej časti veže je (2 ° ). Ako ďaleko je osoba od pamätníka?

49) A (400 ) - vysoký chodník sa nachádza v diaľke. Z okna v budove človek určí, že uhol vyvýšenia k vrcholu pamätníka je (18 ° ) a že uhol depresie k spodnej časti pamätníka je (3 ° ). Ako ďaleko je osoba od pamätníka?

Odpoveď

(1060,09 ) stôp

50) Na vrchu budovy je anténa. Z miesta (300 ) stôp od základne budovy sa uhol zvýšenia k hornej časti budovy meria ako (40 ° ). Z rovnakého miesta sa zmeria uhol sklonu k hornej časti antény (43 ° ). Nájdite výšku antény.

51) Na vrchu budovy je bleskozvod. Z polohy (500 ) stôp od základne budovy sa meria uhol prevýšenia k vrcholu budovy (36 ° ). Z rovnakého miesta sa zmeria uhol vyvýšenia k vrcholu bleskozvodu (38 ° ). Nájdite výšku bleskozvodu.

Odpoveď

(27 372 ) stôp

Skutočné aplikácie

52) Rebrík A (33 - ft) sa opiera o budovu tak, aby uhol medzi zemou a rebríkom bol (80 ° ). Ako vysoko rebrík siaha po bočnej strane budovy?

53) Rebrík A (23 - ft) sa opiera o budovu tak, aby uhol medzi zemou a rebríkom bol (80 ° ). Ako vysoko rebrík siaha po bočnej strane budovy?

Odpoveď

(22,6506 ) stôp

54) Zistilo sa, že uhol vyvýšenia k vrcholu budovy v New Yorku je (9 ) stupňov od zeme vo vzdialenosti (1 ) míle od základne budovy. Pomocou týchto informácií zistite výšku budovy.

55) Zistilo sa, že uhol vyvýšenia k vrcholu budovy v Seattli je (2 ) stupňov od zeme vo vzdialenosti (2 ) míľ od základne budovy. Pomocou týchto informácií zistite výšku budovy.

Odpoveď

(368,7633 ) stôp

56) Za predpokladu, že vertikálny rast obrovskej sekvoje vysoký (370 ) stôp, ak prejdem určitú vzdialenosť od stromu a zmeriam výškový uhol k vrcholu stromu, ktorý má byť (60 ° ) od základne stromu som?


5.E: trigonometrické funkcie (cvičenia) - matematika

IDENTITY, ROVNOSTI A NEROVNOSŤ

Existuje niekoľko trigonometrických identít, ktoré musíte poznať pre predmetový test z matematiky úrovne 2.

Recipročné identity uznať definičné vzťahy:

Identity spolupráce boli diskutované skôr. Pomocou radiánskej miery:

Pytagorovej identity

Vzorce s dvojitým uhlom

1. Daný cos a , Nájsť

Od hriechu 2 = 2 (hriech ) (kos ), musíte určiť hodnotu hriechu . Na obrázku nižšie je vidieť tento hriech . Preto hriech .

2. Ak cos 23 ° = z, nájdite hodnotu cos 46 ° z hľadiska z.

Pretože 46 = 2 (23), možno použiť vzorec dvojitého uhla: cos 2A = 2 cos 2 A - 1. Striedanie 23 ° za A, cos 46 ° = cos 2 (23 °) = 2 cos 2 23 ° - 1 = 2 (cos 23 °) 2 - 1 = 2z 2 – 1.

3. Ak hriech X = A, nájdi cos 2X v zmysle A.

Používanie identity cos 2X = 1 - hriech 2 X, dostanete cos 2X = 1 – A 2 .

Môže sa očakávať, že trigonometrické rovnice vyriešite v predmetovom teste matematickej úrovne 2 pomocou grafickej kalkulačky a získania odpovedí v desatinnej vzdialenosti. Ak chcete vyriešiť ktorúkoľvek rovnicu, zadajte každú stranu rovnice do funkcie (Yn), obe funkcie nakreslite do grafu a vyhľadaním vhodných okien nájdite priesečníky v označenej doméne.

4. Vyriešte 2 hriechy X + cos 2X = 2 hriech 2 X - 1 za 0 X 2.

Zadajte 2 hriechy X + cos 2X do Y1 a 2 hriech 2 X - 1 do Y2. Nastaviť Xmin = 0, Xmax = 2, Ymin = –4 a Ymax = 4. Riešenia (X- súradnice priesečníkov) sú 1,57, 3,67 a 5,76.

5. Nájdite hodnoty X v intervale [0,] pre ktoré cos X 2.62.

1. & emspAk hriech a cos , nájdite hodnotu hriechu 2X.

& emsp & emsp (A) -

& emsp & emsp (B) -

& emsp & emsp (C)

& emsp & emsp (D)

& emsp & emsp (E)

3. & emspIf cos , nájdi cos 2X.

4. & emspIf sin 37 ° = z, vyjadrujú hriech 74 ° v zmysle z.

& emsp & emsp (A)

& emsp & emsp (E)

5. & emspIf hriech X = –0,6427, čo je csc X?

6. & emspPre aké hodnoty X, 0 0.52

7. & emspAký je rozsah funkcie f (x) = 5 - 6 sín (X + 1)?

Ak ste držiteľom autorských práv na akýkoľvek materiál obsiahnutý na našom webe a chcete ho odstrániť, požiadajte o schválenie nášho správcu stránky.


5.E: trigonometrické funkcie (cvičenia) - matematika

Ak je graf nejakej trigovej funkcie f (x) sa odráža okolo čiary r = X, výsledkom je graf inverzie (vzťahu) tejto triggovej funkcie. Pretože všetky trigové funkcie sú periodické, grafy ich inverzií nie sú grafmi funkcií. Doménu triggovej funkcie je potrebné obmedziť na jednu periódu, aby sa hodnoty rozsahu dosiahli presne raz. Inverzná funkcia obmedzenej sínusovej funkcie je sin –1 inverzná funkcia obmedzenej kosínovej funkcie je cos –1 atď.

Inverzné trigonárne funkcie sa používajú na reprezentáciu uhlov so známymi trigonormi. Ak viete, že dotyčnica uhla je , ale nepoznáš mieru stupňa ani mieru radiánu uhla, tan –1 je výraz, ktorý predstavuje uhol medzi ktorého dotyčnica je .

Môžete použiť svoju grafickú kalkulačku na vyhľadanie stupňa alebo radiánu miery inverznej spúšťacej hodnoty.

1. Vyhodnoťte mieru radiánu opálenia –1 .

Zadajte 2. opálenie s kalkulačkou v radiánskom režime získate 0,73 radiánu.

2. Vyhodnoťte mieru stupňa hriechu –1 0,8759.

Zadajte pomocou kalkulačky v režime stupňov druhý hriech (0,8759), aby ste získali 61,15 °.

3. Vyhodnoťte mieru stupňa s –1 3,4735.

Najprv definujte X = sek –1 3,4735. Ak sek X = 3,4735, potom cos . Preto zadajte 2. cos pomocou kalkulačky v režime stupňov získať 73,27 °.

Ak je „trig“ ľubovoľná trigonometrická funkcia, trig (trig –1 X) = X. Avšak z dôvodu obmedzenia rozsahu pre inverzné trigové funkcie, trig –1 (trig X) potreba nie rovný X.

4. Vyhodnoťte cos (cos –1 0,72).

5. Vyhodnoťte hriech –1 (hriech 265 °).

Zadajte pomocou kalkulačky v režime stupňov druhý hriech –1 (hriech (265)), aby ste dostali –85 °. Je to tak preto, lebo –85 ° je v požadovanom rozsahu [–90 °, 90 °] a –85 ° má rovnaký referenčný uhol ako 265 °.

6. Vyhodnoťte hriech .

Poďme . Potom cos a X je v prvom kvadrante. Viď obrázok nižšie.

Použite Pytagorovu identitu hriech 2 X + cos 2 X = 1 a skutočnosť, že X je v prvom kvadrante, aby dostal hriech .

1. & emspVyhľadajte počet stupňov v .


Akademická integrita

Všetky práce, ktoré zadáte, musia byť vaše vlastné. Na domácich úlohách môžete spolupracovať s kolegami, ale záverečné práce musia byť urobené individuálne. Môžete tiež použiť externé zdroje na pomoc pri riešení problémov, ale musíte uviesť akékoľvek použité zdroje. Pamätajte, že účelom domácich úloh je pomôcť vám s precvičením učiva, takže použitie ďalších odkazov na vaše domáce úlohy vás počas kurzu znevýhodní a do istej miery ruší účel vykonávania cvičení. Kopírovanie bez správneho uvedenia zdrojov bude mať za následok nulovú hodnotu zadania a možno aj vážnejšie následky.

Akademická nepoctivosť akejkoľvek formy je neprijateľná a bude ohlásená Centru pre správanie študentov.


Otázka: Koláč vyjde z rúry na 325 ° F a dá sa na ochladenie do 70 ° F kuchyne. Teplota.

Odpoveď: Metódu substitúcie je možné použiť na získanie času potrebného na vychladnutie. Nahraďte teda T = 11.

Otázka: Na stanovenie dávok liekov lekári odhadujú plochu tela človeka (BSA) (v metroch štvorcových) u.

Odpoveď: Riešenie: Uvedené BSA = hm60Výpočet rýchlosti zmeny BSA s ohľadom na hmotnosť človeka.

A: a + b = c Kde a = pridať, b = pridať, c = súčet alebo súčet

Otázka: OTÁZKA 12 Vyhodnoťte integrál vhodnou zmenou poradia integrácie. x hriech.

Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

Otázka: 4. Nájdite priemernú rýchlosť zmeny f (x) = 3x - 5 z x = 0 na x = 4.

Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

Otázka: Častica je vo vzduchu zvrhnutá kolmo nahor. Vzdialenosť, ktorú prekoná v čase t, je daná s (t.

Odpoveď: Budeme využívať skutočnosť, že rýchlosť zmeny vzdialenosti sa nazýva rýchlosť. v (t) = dsdt

Odpoveď: Doména funkcie je sada hodnôt, pre ktoré je funkcia definovaná. Pre logaritmickú funkciu.

Otázka: 50. Je funkcia daná f (x) = 3x - 2 spojitá pri x = 5? Prečo áno alebo prečo nie?

ODPOVEĎ: Skontrolovať: Či je funkcia fx = 3x-2 spojitá pri x = 5. Použitý koncept: Ak je funkcia fx kon.


Predhovor k inštruktorovi xv

Predhovor k študentovi xxiii

Kapitola 0 Skutočné čísla 1

Výstavba linky Real Line 2

Je každé skutočné číslo racionálne? 3

0.2 Algebra skutočných čísel 6

Komutativita a asociatívnosť 6

Poradie algebraických operácií 7

Distribučný majetok 8

Aditívne inverzie a odčítanie 9

Multiplikatívne inverzie a algebra zlomkov 10

Cvičenia, problémy a vypracované riešenia 15

0.3 Nerovnosti, intervaly a absolútna hodnota 20

Kladné a záporné čísla 20

Cvičenia, problémy a vypracované riešenia 29

Zhrnutie kapitoly a otázky týkajúce sa preskúmania kapitoly 35

Kapitola 1 Funkcie a ich grafy 37

Definícia a príklady 38

Doména funkcie 41

Rozsah funkcie 42

Cvičenia, problémy a vypracované riešenia 45

1.2 Rovina súradníc a grafy 50

Graf funkcie 52

Určenie domény a rozsahu z grafu 54

Ktoré množiny sú grafmi funkcií? 56

Cvičenia, problémy a vypracované riešenia 56

1.3 Transformácie funkcií a grafy 63

Vertikálne transformácie: Posun, roztiahnutie a prevrátenie 63

Horizontálne transformácie: radenie, rozťahovanie, prevracanie 66

Kombinácie transformácií vertikálnych funkcií 68

Cvičenia, problémy a vypracované riešenia 73

1.4 Zloženie funkcií 81

Kombinácia dvoch funkcií 81

Definícia zloženia 82

Skladanie viac ako dvoch funkcií 85

Funkčné transformácie ako kompozície 86

Cvičenia, problémy a vypracované riešenia 88

Definícia inverznej funkcie 95

Doména a rozsah inverznej funkcie 97

Zloženie funkcie a jej inverzná hodnota 98

Komentáre k notácii 99

Cvičenia, problémy a vypracované riešenia 101

1.6 Grafický prístup k inverzným funkciám 106

Graf inverznej funkcie 106

Grafická interpretácia vzájomného vzťahu 107

Zvyšovanie a znižovanie funkcií 108

Inverzné funkcie prostredníctvom tabuliek 110

Cvičenia, problémy a vypracované riešenia 111

Zhrnutie kapitoly a otázky týkajúce sa kontroly kapitoly 115

Kapitola 2 Lineárne, kvadratické, polynomické a racionálne funkcie 119


Calculus Lab - vydanie SDSU, prvé vydanie

Vaši študenti majú prístup k online verzii učebnice, ktorá môže obsahovať ďalšie interaktívne prvky.

Prístup je podmienený použitím tejto učebnice v učebni inštruktora.

  • Kapitola 0: Nevyhnutný materiál
    • 0.P: Problémy s praxou (16)
    • 0.E: Cvičenia (4)
    • 1. P: Problémy s praxou (12)
    • 1.E: Cvičenia (10)
    • 2. P: Problémy s praxou (4)
    • 2.E: Cvičenia (6)
    • 3. P: Problémy s praxou (7)
    • 3.E: Cvičenia (20)
    • 4. P: Problémy s praxou (4)
    • 4.E: Cvičenia (7)
    • 5.P: Problémy s praxou (4)
    • 5.E: Cvičenie (36)
    • 6. P: Problémy s praxou (1)
    • 6.E: Cvičenia (4)
    • 7. P: Problémy s praxou (1)
    • 7.E: Cvičenia (8)
    • 8. P: Problémy s praxou (2)
    • 8.E: Cvičenia (7)
    • 9. P: Problémy s praxou (2)
    • 9.E: Cvičenie (4)
    • 10.P: Problémy s praxou (5)
    • 10.E: Cvičenia (12)
    • 11. P: Problémy s praxou (1)
    • 11.E: Cvičenia (6)
    • 12. P: Problémy s praxou (6)
    • 12.E: Cvičenia (10)

    Príručka k laboratóriu SDSU Calculus Lab je navrhnutá tak, aby pomohla doplniť akýkoľvek kurz kalkulu z prvého semestra. Cieľom tohto laboratória je pomôcť vašim študentom zdokonaliť svoje algebrické a trigonometrické schopnosti podľa potreby, aby sa mohli lepšie pripraviť na výpočty prvého semestra. Vyzývajte svojich študentov, aby tento laboratórny manuál brali vážne, aby dosiahli čo najväčší úspech v kalkuláte. To znamená prečítať si všetky laboratórne materiály, sledovať videá, absolvovať úlohy z praxe a dokončiť ďalšie zadané problémy a pripomenúť im, že najdôležitejšou cestou k zlepšeniu v matematike je precvičovanie.


    Kapitola 1

    Stupeň je 6, vedúci termín je - x 6, - x 6 a vedúci koeficient je −1. -1.

    3 x 4 −10 x 3 −8 x 2 + 21 x + 14 3 x 4 −10 x 3 −8 x 2 + 21 x + 14

    6 x 2 + 21 x y −29 x −7 y + 9 6 x 2 + 21 x y −29 x −7 y + 9

    1.5 Faktoring polynómov

    (6 a + b) (36 a 2 - 6 a b + b 2) (6 a + b) (36 a 2 - 6 a b + b 2)

    (10 x - 1) (100 x 2 + 10 x + 1) (10 x - 1) (100 x 2 + 10 x + 1)

    1.6 Racionálne vyjadrenia

    (x + 5) (x + 6) (x + 2) (x + 4) (x + 5) (x + 6) (x + 2) (x + 4)

    1.1 Sekčné cvičenia

    iracionálne číslo. Druhá odmocnina z dvoch sa nekončí a neopakuje sa vzor. Nemožno to napísať ako kvocient dvoch celých čísel, takže je to iracionálne.

    Asociačné vlastnosti uvádzajú, že súčet alebo súčin viacerých čísel je možné zoskupiť odlišne bez ovplyvnenia výsledku. Je to tak preto, lebo sa vykonáva rovnaká operácia (buď sčítanie alebo odčítanie), takže výrazy je možné znovu usporiadať.

    inverzná vlastnosť sčítania

    1.2 Sekčné cvičenia

    Nie, tieto dva výrazy nie sú rovnaké. Exponent vyjadruje, koľkokrát vynásobíte základňu. Takže 2 3 2 3 je to isté ako 2 × 2 × 2, 2 × 2 × 2, čo je 8. 3 2 3 2 je to isté ako 3 × 3, 3 × 3, čo je 9.

    Je to metóda písania veľmi malých a veľmi veľkých čísel.

    1.3 Sekčné cvičenia

    Ak neexistuje žiadny index, predpokladá sa, že je 2 alebo druhá odmocnina. Výraz by sa rovnal iba radicand, keby bol index 1.

    Hlavná druhá odmocnina je záporná odmocnina čísla.

    1.4 Cvičenia oddielu

    Tvrdenie je pravdivé. V štandardnej forme je polynóm s exponentom s najvyššou hodnotou umiestnený na prvom mieste a je to vedúci člen. Stupeň polynómu je hodnota najvyššieho exponenta, ktorý je v štandardnej podobe aj exponentom vedúceho termínu.

    Používajte distribučnú vlastnosť, množte sa, kombinujte ako termíny a zjednodušujte.

    11 b 4 −9 b 3 + 12 b 2 −7 b + 8 11 b 4 −9 b 3 + 12 b 2 −7 b + 8

    16 t 4 + 4 t 3 −32 t 2 - t + 7 16 t 4 + 4 t 3 −32 t 2 - t + 7

    32 t 3 - 100 t 2 + 40 t + 38 32 t 3 - 100 t 2 + 40 t + 38

    a 4 + 4 a 3 c −16 a c 3 −16 c 4 a 4 + 4 a 3 c −16 a c 3 −16 c 4

    1.5 Sekčné cvičenia

    Podmienky polynómu nemusia mať spoločný faktor, aby bol celý polynóm faktorovateľný. Napríklad 4 x 2 4 x 2 a −9 y 2 −9 y 2 nemajú spoločný faktor, ale celý polynóm je stále faktorovateľný: 4 x 2 −9 y 2 = (2 x + 3 y) ( 2 x -3 r). 4 x 2 −9 y 2 = (2 x + 3 r.) (2 x -3 r).

    (5 a + 7) (25 a 2 - 35 a + 49) (5 a + 7) (25 a 2 - 35 a + 49)

    (4 x - 5) (16 x 2 + 20 x + 25) (4 x - 5) (16 x 2 + 20 x + 25)

    (5 r + 12 s) (25 r 2 - 60 r s + 144 s 2) (5 r + 12 s) (25 r 2 - 60 r s + 144 s 2)

    (4 z 2 + 49 a 2) (2 z + 7 a) (2 z - 7 a) (4 z 2 + 49 a 2) (2 z + 7 a) (2 z - 7 a)

    1 (4 x + 9) (4 x −9) (2 x + 3) 1 (4 x + 9) (4 x −9) (2 x + 3)

    1.6 Cvičenia oddielu

    Môžete faktorom čitateľa a menovateľa zistiť, či sa niektorý z výrazov môže navzájom rušiť.

    Pravdaže. Násobenie a delenie nevyžadujú nájdenie LCD, pretože menovatele je možné pomocou týchto operácií kombinovať, zatiaľ čo sčítanie a odčítanie vyžaduje podobné výrazy.

    3 c 2 + 3 c - 2 2 c 2 + 5 c + 2 3 c 2 + 3 c - 2 2 c 2 + 5 c + 2

    Kontrolné cvičenia

    (4 q - 3 p) (16 q 2 + 12 p q + 9 p 2) (4 q - 3 p) (16 q 2 + 12 p q + 9 p 2)

    Praktický test

    (3 c - 11) (9 c 2 + 33 c + 121) (3 c - 11) (9 c 2 + 33 c + 121)

    Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

    Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution License 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

      Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

    • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
      • Autori: Jay Abramson
      • Vydavateľ / web: OpenStax
      • Názov knihy: Algebra a trigonometria
      • Dátum zverejnenia: 13. februára 2015
      • Miesto: Houston, Texas
      • URL knihy: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/1-introduction-to-prerequisites
      • URL sekcie: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/chapter-1

      © 19. apríla 2021 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


      Otázka: načrtnite graf funkcie. Uveďte prechodové body a asymptoty

      Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

      Otázka: 16. Benzín v nádrži Benzínová nádrž má tvar pravého kruhového valca (leží na svojej si.

      Odpoveď: Dané informácie: Dĺžka nádrže s kruhovým valcom vpravo je 10 ft. Polomer vpravo.

      Otázka: Uveďte, či f (2) a f (4) sú lokálne minimá alebo lokálne maximá, za predpokladu, že obrázok 14 je graf.

      Odpoveď: Identifikovať, či f (2) a f (4) sú lokálne maximá alebo lokálne minimá.

      Otázka: 115. Predpokladajme, že f (x) dx = 3. Nájdite f (x) dx, ak a. f je nepárne, b. f je párne. ty

      Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

      Odpoveď: V otázke sa nachádza chyba pri preklepe. Zvážte, že sa štrk vysýpa z dopravného pásu.

      Q: Výukové cvičenie Pomocou danej transformácie môžete vyhodnotiť daný integrál, kde R je trojuholník.

      Odpoveď: Určiť Jacobiana transformácie.

      Q: Nájdite rovnicu dotyčnice k grafu funkcie f (x) = v 4,4 + 12 v bode (.

      Otázka: 51. Funkcie y = e * a y = x³e nemajú elementárne anti-deriváty, ale y = (1 + 3x) e & quot.

      Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

      Otázka: pomôžte pls a ďakujem. nájdi rovnicu priamky dotyčnicu. f (x) = (2x ^ 2-x) / x v bode (1,3)


      S videami

      Vysvetľujúca odpoveď

      Ako vypočítať HCF metódou Prime Factorisation?

      HCF dvoch čísel je produktom NAJNIŽŠÍ sila SPOLOČNÉ prvočísla nájdená v číslach.

      Ako nájsť LCM metódou Prime Factorisation?

      LCM dvoch čísel je produktom NAJVYŠŠÍ sila VŠETKY prvočísla nájdená v číslach.

      I) LCM a HCF 2 5 × 5 4 × 7 2 × 13 6 a 2 3 × 5 6 × 7 × 17 3

      Všimnite si, že tieto dve čísla sú už prvočíselné. To robí život skutočne ľahkým.
      Najprv vypočítajme HCF.
      Bežné prvočísla v týchto dvoch číslach sú 2, 5 a 7.
      Najnižšia sila 2, 5 a 7 je 2 3, 5 4 a 7 1
      ∴ HCF s 2 5 × 5 4 × 7 2 × 13 6 a 2 3 × 5 6 × 7 × 17 3 je 2 3 × 5 4 × 7

      Ďalej vypočítajme LCM.
      Prvočísla nájdená v týchto dvoch číslach sú 2, 5, 7, 13 a 17.
      Najvyšší výkon z 2, 5, 7, 13 a 17 je 2 5, 5 6, 7 2, 13 6 a 17 3.
      ∴ LCM 2 5 × 5 4 × 7 2 × 13 6 a 2 3 × 5 6 × 7 × 17 3 je 2 5 × 5 6 × 7 2 × 13 6 × 17 3

      (ii) Nájdite LCM a HCF pre 5 × b 2 × c 2 × d 5 a 7 × b 3 × e × f 3.

      Dané: a, b, c, d, e a f sú prvočísla.
      Najprv vypočítajme HCF.
      Bežné prvočísla v týchto dvoch číslach sú a a b.
      Najnižšia mocnina a a b v týchto dvoch číslach sú 5 a b 2.
      ∴ HCF pre 5 × b 2 × c 2 × d 5 a 7 × b 3 × e × f 3 je a 5 × b 2

      Ďalej vypočítajme LCM.
      Prvočísla nájdená v týchto dvoch číslach sú a, b, c, d, e a f.
      Najvyššia sila a, b, c, d, e a f sú a, b, c, d, e a f sú a, b, c, d, e a f sú respektíve 7, b 3, c 2, d 5, e 1 a f 3.
      ∴ LCM pre modely 5 × b 2 × c 2 × d 5 a 7 × b 3 × e × f 3 je a 7 × b 3 × c 2 × d 5 × e × f 3


      Pozri si video: GONIOMETRICKÉ FUNKCIE v PRAVOUHLOM trojuholníku (December 2021).