Články

4.3: Logaritmické funkcie


Očakáva sa, že populácia 50 múch sa každý týždeň zdvojnásobí, čo povedie k funkcii tvaru (f (x) = 50 (2) ^ {x} ), kde X predstavuje počet týždňov, ktoré uplynuli. Kedy táto populácia dosiahne 500? Pokus o vyriešenie tohto problému vedie k:

[500 = 50 (2) ^ {x} nonumber ] vydelením obidvoch strán 50, aby sa izoloval exponenciálny
[10 = 2 ^ {x} nonumber ]

Aj keď sme nastavili exponenciálne modely a použili ich na predpovedanie, možno ste si všimli, že riešenie exponenciálnych rovníc ešte nebolo spomenuté. Dôvod je jednoduchý: žiadny z doteraz diskutovaných algebraických nástrojov nie je dostatočný na riešenie exponenciálnych rovníc. Zvážte vyššie uvedenú rovnicu (2 ^ {x} = 10 ). Vieme, že (2 ^ {3} = 8 ) a (2 ^ {4} = 16 ), takže je zrejmé, že (x ) musí byť nejaká hodnota medzi 3 a 4, pretože (g ( x) = 2 ^ {x} ) sa zvyšuje. Pomocou technológie by sme mohli vytvoriť tabuľku hodnôt alebo graf, aby sme lepšie odhadli riešenie.

Z grafu by sme mohli lepšie odhadnúť, že riešenie bude okolo 3,3. Tento výsledok je stále dosť neuspokojivý a keďže exponenciálna funkcia je jedna k jednej, bolo by skvelé mať inverznú funkciu. Žiadna z funkcií, o ktorých sme už hovorili, by neslúžila ako inverzná funkcia, a preto musíme predstaviť novú funkciu s názvom log ako inverzná exponenciálna funkcia. Pretože exponenciálne funkcie majú rôzne bázy, budeme definovať aj zodpovedajúce logaritmy rôznych báz.

Definícia: logaritmus

Logaritmus (základná (b )) funkcia, napísaná ( log _ {b} ľavá (x pravá) ), je inverzná hodnota exponenciálnej funkcie (základná (b )), (b ^ { X}).

Pretože logaritmus a exponenciál sú inverzné, vyplýva z toho, že:

vlastnosti guľatiny: inverzné vlastnosti

[ log _ {b} vľavo (b ^ {x} vpravo) = x ]

[b ^ { log _ {b} x} = x ]

Pripomeňme z definície inverznej funkcie, že ak (f (a) = c ), potom (f ^ {- 1} (c) = a ). Pri použití na exponenciálne a logaritmické funkcie môžeme prevádzať medzi logaritmickou rovnicou a jej ekvivalentnou exponenciálnou hodnotou.

logaritmus ekvivalentný exponenciálu

Výrok (b ^ {a} = c ) je ekvivalentný s výrokom ( log _ {b} (c) = a ).

Alternatívne by sme to mohli ukázať tak, že začneme exponenciálnou funkciou (c = b ^ {a} ), potom vezmeme logaritmický základ (b ) oboch strán a zadáme ( log _ {b} (c) = log _ {b} b ^ {a} ). Pomocou inverznej vlastnosti protokolov vidíme, že ( log _ {b} (c) = a ).

Pretože log je funkcia, najsprávnejšie sa píše ako ( log _ {b} (c) ), pričom na označenie vyhodnotenia funkcie sa používajú zátvorky, rovnako ako by to bolo s (f (c) ). Ak je však vstupom jedna premenná alebo číslo, je bežné vidieť zrušené zátvorky a výraz napísaný ako ( log _ {b} c ).

Príklad ( PageIndex {1} )

Napíšte tieto exponenciálne rovnice ako logaritmické rovnice:

  1. (2^{3} =8)
  2. (5^{2} =25)
  3. (10 ​​^ {- 4} = dfrac {1} {10 000} )

Riešenie

a) (2 ^ {3} = 8 ) je ekvivalentné k ( log _ {2} (8) = 3 )

b) (5 ^ {2} = 25 ) je ekvivalentné k ( log _ {5} (25) = 2 )

c) (10 ​​^ {- 4} = dfrac {1} {10 000} ) je ekvivalentné ( log _ {10} vľavo ( dfrac {1} {10 000} vpravo) = - 4 )

Príklad ( PageIndex {2} )

Napíšte tieto logaritmické rovnice ako exponenciálne rovnice:

a) ( log _ {6} left ( sqrt {6} right) = dfrac {1} {2} ) b) ( log _ {3} left (9 right) = 2 )

Riešenie

a) ( log _ {6} left ( sqrt {6} right) = dfrac {1} {2} ) je ekvivalentné (6 ^ {1/2} = sqrt {6} )

b) ( log _ {3} left (9 right) = 2 ) je ekvivalentné (3 ^ {2} = 9 )

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Napíšte exponenciálnu rovnicu (4 ^ {2} = 16 ) ako logaritmickú rovnicu.

Odpoveď

[ log _ {4} left (16 right) = 2 = log _ {4} 4 ^ {2} = 2 log _ {4} 4 nonumber ]

Vytvorením vzťahu medzi exponenciálnymi a logaritmickými funkciami môžeme teraz základné logaritmické a exponenciálne rovnice vyriešiť prepisovaním.

Príklad ( PageIndex {3} )

Vyriešte ( log _ {4} vľavo (x vpravo) = 2 ) pre (x ).

Riešenie

Prepísaním tohto výrazu na exponenciálny znak (4 ^ {2} = x ), takže (x = 16 ).

Príklad ( PageIndex {4} )

Vyriešiť (2 ^ {x} = 10 ) pre (x ).

Riešenie

Prepísaním tohto výrazu na logaritmus dostaneme (x = log _ {2} (10) ).

Aj keď to definuje riešenie a zároveň presné riešenie, môže sa vám zdať trochu neuspokojivé, pretože je ťažké porovnať tento výraz s desatinným odhadom, ktorý sme urobili skôr. Nie vždy je užitočné uviesť presný výraz pre riešenie - často skutočne potrebujeme desatinnú aproximáciu riešenia. Našťastie ide o kalkulačku úloh a počítače sú celkom zručné. Nanešťastie pre nás väčšina kalkulačiek a počítačov vyhodnotí iba logaritmy dvoch báz. Našťastie to nakoniec nebude problém, ako krátko uvidíme.

Definícia: bežné a prirodzené logaritmy

The spoločný denník je logaritmus so základňou 10 a zvyčajne sa píše ( log (x) ).

The prirodzený log je logaritmus so základom (e ) a zvyčajne sa píše ( ln (x) ).

Príklad ( PageIndex {5} )

Vyhodnoťte ( log (1000) ) pomocou definície spoločného protokolu.

Hodnoty spoločného protokolu
čísločíslo ako exponenciálnedenník (číslo)
1000(10^3)3
100(10^2)2
10(10^1)1
1(10^0)0
0.1(10^{-1})-1
0.01(10^{-2})-2
0.001(10^{-3})-3

Riešenie

Aby sme vyhodnotili ( log (1000) ), môžeme nechať (x = log (1000) ), potom prepísať do exponenciálnej formy pomocou bežnej logovacej základne 10:

(10 ​​^ {x} = 1 000. )

Z toho môžeme rozpoznať, že 1000 je kocka 10, takže (x ) = 3.

Tiež môžeme použiť inverznú vlastnosť protokolov na zápis ( log _ {10} doľava (10 ^ {3} doprava) = 3 ).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vyhodnoťte ( log (10 000 000) ).

Odpoveď

[ log left (1000000 right) = log left (10 ^ {6} right) = 6 nonumber ]

Príklad ( PageIndex {6} )

Vyhodnoťte ( ln doľava ( sqrt {e} doprava) ).

Riešenie

Môžeme prepísať ( ln left ( sqrt {e} right) ) ako ( ln left (e ^ {1/2} right) ). Pretože ln je základňa protokolov (e ), môžeme pre protokoly použiť inverznú vlastnosť: [ ln left (e ^ {1/2} right) = log _ {e} left (e ^ {1/2} vpravo) = dfrac {1} {2} nonumber ].

Príklad ( PageIndex {7} )

Vyhodnoťte denník (500) pomocou kalkulačky alebo počítača.

Riešenie

Pomocou počítača môžeme vyhodnotiť ( log (500) približne 2,69897 )

Aby sme mohli na vyhodnotenie výrazov ako ( log _ {2} (10) ) použiť bežné alebo prirodzené logaritmické funkcie, musíme vytvoriť ďalšie vlastnosti.

vlastnosti protokolov: vlastnosť exponenta

[ log _ {b} left (A ^ {r} right) = r log _ {b} left (A right) ]

Aby sme ukázali, prečo je to pravda, ponúkame dôkaz:

Pretože logaritmické a exponenciálne funkcie sú inverzné, (b ^ { log _ {b} A} = A ).

Zdvihnutím oboch strán k r výkon, dostaneme (A ^ {r} = doľava (b ^ { log _ {b} A} doprava) ^ {r} ).

Využitie exponenciálneho pravidla, ktoré uvádza ( left (x ^ {p} right) ^ {q} = x ^ {pq} ), (A ^ {r} = left (b ^ { log _ { b} A} vpravo) ^ {r} = b ^ {r log _ {b} A} )

Ak vezmeme protokol oboch strán, ( log _ {b} vľavo (A ^ {r} vpravo) = log _ {b} vľavo (b ^ {r log _ {b} A} vpravo ) )

Použitím inverznej vlastnosti na pravej strane získate výsledok: ( log _ {b} left (A ^ {r} right) = r log _ {b} A )

Príklad ( PageIndex {8} )

Prepíšte ( log _ {3} doľava (25 doprava) ) pomocou vlastnosti exponent pre protokoly.

Riešenie

Pretože 25 = 5 ({} ^ {2} ),

[ log _ {3} left (25 right) = log _ {3} left (5 ^ {2} right) = 2 log _ {3} left (5 right) nonumber ]

Príklad ( PageIndex {9} )

Prepíšte (4 ln (x) ) pomocou vlastnosti exponent pre protokoly.

Riešenie

Použitie vlastnosti v opačnom smere, (4 ln (x) = ln doľava (x ^ {4} doprava) ).

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Prepisujte pomocou vlastnosti exponent pre protokoly: ( ln left ( dfrac {1} {x ^ {2}} right) ).

Odpoveď

[3. ln left ( dfrac {1} {x ^ {2}} right) = ln left (x ^ {- 2} right) = - 2 ln (x) nonumber ]

Vlastnosť exponent nám umožňuje nájsť spôsob zmeny základne logaritmického výrazu.

vlastnosti protokolov: zmena základne

[ log _ {b} left (A right) = dfrac { log _ {c} (A)} { log _ {c} (b)} nonumber ]

Dôkaz

Nech ( log _ {b} vľavo (A vpravo) = x ).

Prepísanie ako exponenciálna hodnota dáva (b ^ {x} = A ).

Vezmeme si základňu guľatiny c oboch strán tejto rovnice dáva

[ log _ {c} b ^ {x} = log _ {c} A nonumber ]

Teraz s využitím vlastnosti exponent pre protokoly na ľavej strane,

[x log _ {c} b = log _ {c} A nonumber ]

Delením dostaneme (x = dfrac { log _ {c} A} { log _ {c} b} ). Nahradenie nášho pôvodného výrazu za (x ),

[ log _ {b} A = dfrac { log _ {c} A} { log _ {c} b} nonumber ]

Vďaka tejto zmene základného vzorca môžeme konečne nájsť dobré desatinné priblíženie sa k našej otázke od začiatku časti.

Príklad ( PageIndex {10} )

Vyhodnoťte ( log _ {2} (10) ) pomocou zmeny základného vzorca.

Riešenie

Podľa zmeny základného vzorca môžeme logickú základňu 2 prepísať ako logaritmus ktorejkoľvek inej základne. Pretože naše kalkulačky dokážu vyhodnotiť prirodzený log, mohli by sme sa rozhodnúť použiť prirodzený logaritmus, ktorým je logovací základ (e ):

[ log _ {2} 10 = dfrac { log _ {e} 10} { log _ {e} 2} = dfrac { ln 10} { ln 2} nonumber ]

Pomocou našich kalkulačiek to hodnotíme,

[ dfrac { ln 10} { ln 2} približne dfrac {2,30259} {0,69315} približne 3,3219 nonumber ]

To nám konečne umožňuje odpovedať na našu pôvodnú otázku - populácii múch, o ktorej sme hovorili na začiatku časti, bude trvať 3,32 týždňa, kým sa rozrastie na 500.

Príklad ( PageIndex {11} )

Vyhodnoťte ( log _ {5} (100) ) pomocou zmeny základného vzorca.

Riešenie

Tento výraz môžeme prepísať pomocou ľubovoľnej inej základne. Ak sú naše kalkulačky schopné vyhodnotiť spoločný logaritmus, mohli by sme ich prepísať pomocou spoločného základu 10.

[ log _ {5} (100) = dfrac { log _ {10} 100} { log _ {10} 5} cca dfrac {2} {0,69897} = 2,861 nonumber ]

Zatiaľ čo základnú exponenciálnu rovnicu (2 ^ {x} = 10 ) môžeme vyriešiť prepisovaním v logaritmickej podobe a následným použitím zmeny základného vzorca na vyhodnotenie logaritmu, dôkaz o zmene základného vzorca osvetľuje alternatívny prístup k riešenie exponenciálnych rovníc.

Riešenie exponenciálnych rovníc

  1. Ak je to možné, izolujte exponenciálne výrazy
  2. Vezmite logaritmus oboch strán
  3. Využite vlastnosť exponentu na logaritmy na vytiahnutie premennej z exponenta
  4. Na riešenie premennej použite algebru.

Príklad ( PageIndex {12} )

Vyriešiť (2 ^ {x} = 10 ) pre (x ).

Riešenie

Použitím tohto alternatívneho prístupu namiesto prepisu tohto exponenciálu do logaritmickej formy vezmeme logaritmus oboch strán rovnice. Pretože často chceme vyhodnotiť výsledok na desatinnú odpoveď, zvyčajne použijeme bežný log alebo prirodzený log. V tomto príklade použijeme prirodzený protokol:

[ ln left (2 ^ {x} right) = ln (10) nonumber ] Využitie vlastnosti exponent pre protokoly,
[x ln left (2 right) = ln (10) nonumber ] Teraz vydelené ln (2),
[x = dfrac { ln (10)} { ln vľavo (2 vpravo)} približne 3,3219 nonumber ]

Všimnite si, že tento výsledok sa zhoduje s výsledkom, ktorý sme našli pri zmene základného vzorca.

Príklad ( PageIndex {13} )

V prvej časti sme predpovedali populáciu (v miliardách) Indie (t ) rokov po roku 2008 pomocou funkcie (f (t) = 1,14 (1 + 0,0134) ^ {t} ). Ak bude populácia pokračovať v sledovaní tohto trendu, kedy dosiahne populáciu 2 miliardy?

Riešenie

Musíme vyriešiť čas (t ) tak, že (f (t) = 2 ).

[2 = 1,14 (1,0134) ^ {t} nonumber ] Vydelením 1,14 izolovajte exponenciálny výraz
[ dfrac {2} {1.14} = 1,0134 ^ {t} nonumber ] Vezmite logaritmus oboch strán rovnice
[ ln left ( dfrac {2} {1.14} right) = ln left (1.0134 ^ {t} right) nonumber ] Použije exponentovú vlastnosť na pravú stranu
[ ln left ( dfrac {2} {1.14} right) = t ln left (1.0134 right) nonumber ] Vydeľte obe strany ln (1.0134)
[t = dfrac { ln doľava ( dfrac {2} {1.14} doprava)} { ln doľava (1,0134 doprava)} približne 42,23 text {rokov} nonumber ]

Ak bude toto tempo rastu pokračovať, model predpovedá, že populácia Indie dosiahne 2 miliardy asi 42 rokov po roku 2008, alebo približne v roku 2050.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Vyriešiť (5 (0,93) ^ {x} = 10 ).

Odpoveď

[5 (0,93) ^ {x} = 10 (0,93) ^ {x} = 2 ln doľava (0,93 ^ {x} doprava) = ln doľava (2 doprava) x ln doľava ( 0,93 pravý) = ln ľavý (2 pravý) dfrac { ln (2)} { ln (0,93)} približne -9,5513 nonumber ]

Príklad ( PageIndex {14} )

Vyriešiť (5 (1,07) ^ {3t} = 2 )

Riešenie

Na začiatok chceme izolovať exponenciálnu časť výrazu ((1.07) ^ {3t} ), takže je sám na jednej strane rovnice. Potom môžeme pomocou logu vyriešiť rovnicu. Môžeme použiť akýkoľvek základný protokol; tentokrát použijeme spoločný denník.

[5 (1.07) ^ {3t} = 2 nonumber ] Vydelením oboch strán číslom 5 izolovajte exponenciálny
[(1.07) ^ {3t} = dfrac {2} {5} nonumber ] Vezmite protokol oboch strán.
[ log left ((1.07) ^ {3t} right) = log left ( dfrac {2} {5} right) nonumber ] Pre protokoly použite vlastnosť exponent.
[3t log left (1.07 right) = log left ( dfrac {2} {5} right) nonumber ] Rozdeliť (3 log left (1.07 right) ) na obe strany
[ dfrac {3t log left (1.07 right)} {3 log left (1.07 right)} = dfrac { log left ( dfrac {2} {5} right)} { 3 log left (1.07 right)} nonumber ] Zjednodušte a vyhodnotte
[t = dfrac { log left ( dfrac {2} {5} right)} {3 log left (1.07 right)} cca -4,5143 nonumber ]

Upozorňujeme, že pri zadávaní tohto výrazu do kalkulačky nezabudnite vložiť zátvorky okolo celého menovateľa, aby ste zaistili správne poradie operácií:

denník (2/5) / (3 * denník (1,07))

Okrem riešenia exponenciálnych rovníc sú logaritmické výrazy bežné v mnohých fyzikálnych situáciách.

Príklad ( PageIndex {15} )

V chémii je pH mierou kyslosti alebo zásaditosti kvapaliny. PH súvisí s koncentráciou vodíkových iónov, [H ({} ^ {+} )], merané v móloch na liter, pomocou rovnice

[pH = - log doľava ( doľava [H ^ {+} doprava] doprava) ]

Ak má kvapalina koncentráciu 0,0001 mólov na jednu liberu, stanoví sa pH.

Stanovte koncentráciu vodíkových iónov v kvapaline s pH 7.

Riešenie

Aby sme odpovedali na prvú otázku, hodnotíme výraz (- log left (0,0001 right) ). Aj keď by sme na to mohli použiť naše kalkulačky, tu ich vlastne nepotrebujeme, pretože môžeme použiť inverznú vlastnosť protokolov:

[- log left (0,0001 right) = - log left (10 ^ {- 4} right) = - (- 4) = 4 nonumber ]

Aby sme odpovedali na druhú otázku, musíme vyriešiť rovnicu (7 = - log left ( left [H ^ {+} right] right) ). Začnite izoláciou logaritmu na jednej strane rovnice vynásobením oboch strán číslom -1:

[- 7 = log left ( left [H ^ {+} right] right) nonumber ]. Prepísanie do exponenciálnej formy prinesie odpoveď:

[ left [H ^ {+} right] = 10 ^ {- 7} = 0,0000001 text {moly na liter} nonumber ]

Logaritmy nám tiež poskytujú mechanizmus na nájdenie modelov kontinuálneho rastu pre exponenciálny rast pri daných dvoch údajových bodoch.

Príklad ( PageIndex {16} )

Populácia narastie zo 100 na 130 za 2 týždne. Nájdite rýchlosť nepretržitého rastu.

Riešenie

Meraním (t ) v týždňoch hľadáme rovnicu (P (t) = ae ^ {rt} ) tak, aby (P (0) ) = 100 a (P (2) ) = 130. Pomocou prvej dvojice hodnôt,

(100 = ae ^ {r cdot 0} ), takže (a ) = 100.

Pomocou druhej dvojice hodnôt

[130 = 100e ^ {r cdot 2} nonumber ] Vydeľte 100
[ dfrac {130} {100} = e ^ {r2} nonumber ] Vezmite prirodzený protokol oboch strán
[ ln (1.3) = ln doľava (e ^ {r2} doprava) nonumber ] použiť inverznú vlastnosť protokolov

[ begin {array} {l} { ln (1.3) = 2r} {r = dfrac { ln (1.3)} {2} približne 0,1312} end {array} nonumber ]

Táto populácia rastie kontinuálnym tempom 13,12% za týždeň.

Všeobecne môžeme štandardnú formu exponenciálu spojiť s formou spojitého rastu zaznamenaním (použitie k na vyjadrenie rýchlosti spojitého rastu, aby sa zabránilo zámene použitia r dvoma rôznymi spôsobmi v rovnakom vzorci):

[a (1 + r) ^ {x} = ae ^ {kx} ] [(1 + r) ^ {x} = e ^ {kx} ] [1 + r = e ^ {k} ]

prevod medzi periodickým a kontinuálnym tempom rastu

V rovnici (f (x) = a (1 + r) ^ {x} ) je (r ) periodická miera rastu, percentuálny rast v každom časovom období (týždenný rast, ročný rast atď.).

V rovnici (f (x) = ae ^ {kx} ) je (k ) kontinuálny rast.

Medzi nimi môžete prevádzať pomocou: (1 + r = e ^ {k} ).

Pamätajte, že kontinuálna miera rastu (k ) predstavuje nominálnu mieru rastu pred zohľadnením účinkov kontinuálneho zloženia, zatiaľ čo (r ) predstavuje skutočné percentuálne zvýšenie v jednej časovej jednotke (jeden týždeň, jeden rok atď.) .

Príklad ( PageIndex {17} )

Tržby spoločnosti možno modelovať pomocou funkcie (S (t) = 5 000 e ^ {0,12 t} ), pričom (t ) sa meria v rokoch. Nájdite ročnú mieru rastu.

Riešenie

Berúc na vedomie (1 + r = e ^ {k} ), potom (r = e ^ {0,12} -1 = 0,1275 ), takže ročná miera rastu je 12,75%. Funkciu predaja je možné zapísať aj v tvare (S (t) = 5000 (1 + 0,1275) ^ {t} ).

Dôležité témy tejto časti

  • Logaritmická funkcia ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie
  • Písanie logaritmických a exponenciálnych výrazov
  • Vlastnosti guľatiny
  • Inverzné vlastnosti
  • Exponenciálne vlastnosti
  • Zmena základne
  • Spoločný denník
  • Prirodzená guľatina
  • Riešenie exponenciálnych rovníc
  • Prevod medzi pravidelným a nepretržitým tempom rastu.


Pozri si video: LOGARITMICKÉ ROVNICE - riešenie príkladov (December 2021).