Články

9.4E: Variácia parametrov pre rovnice vyššieho rádu (cvičenia) - matematika


Q9.4.1

V Cvičenia 9.4.1-9.4.21 nájsť konkrétne riešenie vzhľadom na základný súbor riešení komplementárnej rovnice.

1. (x ^ 3y '' '- x ^ 2 (x + 3) y' '+ 2x (x + 3) y'-2 (x + 3) y = -4x ^ 4 ); ( {x, , x ^ 2, , xe ^ x } )

2. (y '' '+ 6xy' '+ (6 + 12x ^ 2) y' + (12x + 8x ^ 3) y = x ^ {1/2} e ^ {- x ^ 2} ); ( {e ^ {- x ^ 2}, , xe ^ {- x ^ 2}, , x ^ 2e ^ {- x ^ 2} } )

3. (x ^ 3y '' '- 3x ^ 2y' '+ 6xy'-6y = 2x ); ( {x, x ^ 2, x ^ 3 } )

4. (x ^ 2y '' '+ 2xy' '- (x ^ 2 + 2) y' = 2x ^ 2 ); ( {1, , e ^ x / x, , e ^ { -x} / x } )

5. (x ^ 3y "" - 3x ^ 2 (x + 1) y "+ 3x (x ^ 2 + 2x + 2) y" - (x ^ 3 + 3x ^ 2 + 6x + 6) y = x ^ 4e ^ {- 3x} ); ( {xe ^ x, , x ^ 2e ^ x, , x ^ 3e ^ x } )

6. (x (x ^ 2-2) y '' + (x ^ 2-6) y '+ + (2-x ^ 2) y' + (6-x ^ 2) y = 2 ( x ^ 2-2) ^ 2 ); ( {e ^ x, , e ^ {- x}, , 1 / x } )

7. (xy '' '- (x-3) y' '- (x + 2) y' + (x-1) y = -4e ^ {- x} ); ( {e ^ x, , e ^ x / x, , e ^ {- x} / x } )

8. (4x ^ 3y '' '+ 4x ^ 2y' '- 5xy' + 2y = 30x ^ 2 ); ( { sqrt x, , 1 / sqrt x, , x ^ 2 } )

9. (x (x ^ 2-1) y '' '+ (5x ^ 2 + 1) y' + 2xy'-2y = 12x ^ 2 ); ( {x, , 1 / (x-1), , 1 / (x + 1) } )

10. (x (1-x) y '' + (x ^ 2-3x + 3) y '+ xy'-y = 2 (x-1) ^ 2 ); ( {x, , 1 / x, e ^ x / x } )

11. (x ^ 3y '' 'x x ^ 2y' '- 2xy' + 2y = x ^ 2 ); ( {x, , x ^ 2, , 1 / x } )

12. (xy '' '- y' '- xy' + y = x ^ 2 ); ( {x, , e ^ x, , e ^ {- x} } )

13. (xy ^ {(4)} + 4y '' '= 6 ln | x | ); ( {1, , x, , x ^ 2, , 1 / x } )

14. (16x ^ 4y ^ {(4)} + 96x ^ 3y '' '+ 72x ^ 2y' '- 24xy' + 9y = 96x ^ {5/2} ); ( { sqrt x, , 1 / sqrt x, , x ^ {3/2}, , x ^ {- 3/2} } )

15. (x (x ^ 2-6) y ^ {(4)} + 2 (x ^ 2-12) y '' + x (6-x ^ 2) y '+ 2 (12-x ^ 2) y '= 2 (x ^ 2-6) ^ 2 ); ( {1, , 1 / x, , e ^ x, , e ^ {- x} } )

16. (x ^ 4y ^ {(4)} - 4x ^ 3y '' '+ 12x ^ 2y' '- 24xy' + 24y = x ^ 4 ); ( {x, , x ^ 2, , x ^ 3, , x ^ 4 } )

17. (x ^ 4y ^ {(4)} - 4x ^ 3y '' + 2x ^ 2 (6-x ^ 2) y '+ 4x (x ^ 2-6) y' + (x ^ 4 -4x ^ 2 + 24) y = 4x ^ 5e ^ x ); ( {xe ^ x, , x ^ 2e ^ x, , xe ^ {- x}, , x ^ 2e ^ {- X}})

18. (x ^ 4y ^ {(4)} + 6x ^ 3y '' + 2x ^ 2y '' - 4xy '+ 4y = 12x ^ 2 ); ( {x, x ^ 2,1 / x, 1 / x ^ 2 } )

19. (xy ^ {(4)} + 4y '' '- 2xy' '- 4y' + xy = 4e ^ x ); ( {e ^ x, , e ^ {- x}, , e ^ x / x, , e ^ {- x} / x } )

20. (xy ^ {(4)} + (4-6x) y '' + (13x-18) y '' + (26-12x) y '+ (4x-12) y = 3e ^ x ); ( {e ^ x, , e ^ {2x}, , e ^ x / x, , e ^ {2x} / x } )

21. (x ^ 4y ^ {(4)} - 4x ^ 3y '' + x ^ 2 (12-x ^ 2) y '+ 2x (x ^ 2-12) y' + 2 (12- x ^ 2) y = 2x ^ 5 ); ( {x, , x ^ 2, , xe ^ x, , xe ^ {- x} } )

Q9.4.2

V Cvičenia 9.4.22-9.4.33 vyriešiť problém počiatočnej hodnoty vzhľadom na základný súbor riešení komplementárnej rovnice. Graf riešenia pre Cvičenia 9.4.22, 9.4.26, 9.4.29, a 9.4.30.

22. (x ^ 3y '' '- 2x ^ 2y' '+ 3xy'-3y = 4x, quad y (1) = 4, quad y' (1) = 4, quad y '' (1 ) = 2 ); ( {x, , x ^ 3, , x ln x } )

23. (x ^ 3y "" - 5x ^ 2y "+ 14xy'-18y = x ^ 3, quad y (1) = 0, quad y '(1) = 1, quad y" (1) = 7 ; ( {x ^ 2, , x ^ 3, , x ^ 3 ln x } )

24. ((5-6x) y '' '+ (12x-4) y' '+ (6x-23) y' + (22-12x) y = - (6x-5) ^ 2e ^ x štvorkolka {y (0) = - 4, quad y '(0) = - {3 over2}, quad y' (0) = - 19; {e ^ x, , e ^ {2x} , , xe ^ {- x} } )

25. (x ^ 3y '' '- 6x ^ 2y' '+ 16xy'-16y = 9x ^ 4, quad y (1) = 2, quad y' (1) = 1, quad y '' (1) = 5 ); ( {x, , x ^ 4, , x ^ 4 ln | x | } )

26. ((x ^ 2-2x + 2) y "" - x ^ 2y "+ 2xy'-2y = (x ^ 2-2x + 2) ^ 2, štvorka y (0) = 0, quad y '(0) = 5 ), (y' (0) = 0 ); ( {x, , x ^ 2, , e ^ x } )

27. (x ^ {3} y '' '+ x ^ {2} y' - 2xy '+ 2y = x (x + 1), quad y (-1) = - 6, quad y' (-1) = frac {43} {6}, quad y '(- 1) = - frac {5} {2}; {x, , x ^ 2, , 1 / x } )

28. ((3x-1) y '' '- (12x-1) y' + 9 (x + 1) y'-9y = 2e ^ x (3x-1) ^ 2, štvorkolky (0 ) = frac {3} {4}, quad y '(0) = frac {5} {4}, quad y' (0) = frac {1} {4}; {x + 1, , e ^ x, , e ^ {3x} } )

29. ((x ^ 2-2) y '' '- 2xy' '+ (2-x ^ 2) y' + 2xy = 2 (x ^ 2-2) ^ 2, štvorka y (0) = 1, quad y '(0) = - 5 ), (y' (0) = 5 ); ( {x ^ 2, , e ^ x, , e ^ {- x} } )

30. (x ^ 4y ^ {(4)} + 3x ^ 3y '' - x ^ 2y '+ 2xy'-2y = 9x ^ 2, quad y (1) = - 7, quad y' (1) = -11, quad y '(1) = - 5, quad y' '' (1) = 6; quad {x, , x ^ 2, , 1 / x, , x ln x } )

31. ((2x-1) y ^ {(4)} - 4xy '' + (5-2x) y '' + 4xy'-4y = 6 (2x-1) ^ 2, štvorka (0 ) = frac {55} {4}, quad y '(0) = 0, quad y' (0) = 13, quad y '' (0) = 1; {x, , e ^ x, , e ^ {- x}, , e ^ {2x} } )

32. (4x ^ 4y ^ {(4)} + 24x ^ 3y '' + 23x ^ 2y '- xy' + y = 6x, quad y (1) = 2, quad y '(1) = 0, quad y '' (1) = 4, quad y '' '(1) = - frac {37} {4}; {x, sqrt x, 1 / x, 1 / sqrt X})

33. (x ^ 4y ^ 4 + 5x ^ 3y '' '- 3x ^ 2y' '- 6xy' + 6y = 40x ^ 3, štvorka y (-1) = - 1, ; y '(- 1 ) = - 7 ),

(y '' (- 1) = - 1, štvorkolka y '' '(- 1) = - 31 ); ( {x, , x ^ 3, , 1 / x, , 1 / x ^ 2 } )

Q9.4.3

34. Predpokladajme rovnicu

[P_0 (x) y ^ {(n)} + P_1 (x) y ^ {(n-1)} + cdots + P_n (x) y = F (x) značka {A} ]

je normálne na intervale ((a, b) ). Nech ( {y_1, y_2, dots, y_n } ) je základnou sadou riešení jej komplementárnej rovnice na ((a, b) ), nech (W ) je Wronskian z ( {y_1, y_2, dots, y_n } ) a nech (W_j ) je determinantom získaným odstránením posledného riadku a (j ) - štvrtého stĺpca (W ). Predpokladajme, že (x_0 ) je v ((a, b) ), nech

[u_j (x) = (- 1) ^ {(nj)} int_ {x_0} ^ x {F (t) W_j (t) nad P_0 (t) W (t)} , dt, quad 1 le j le n, nonumber ]

a definovať

[y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + cdots + u_ny_n. nonumber ]

  1. Ukážte, že (y_p ) je riešením (A) a že [y_p ^ {(r)} = u_1y ^ {(r)} _ 1 + u_2y_2 ^ {(r)} cdots + u_ny ^ {(r )} _ n, quad 1 le r le n-1, nonumber ] a [y_p ^ {(n)} = u_1y_1 ^ {(n)} + u_2y_2 ^ {(n)} + cdots + u_ny_n ^ {(n)} + {F nad P_0}. nonumber ] TIP: Na začiatku časti si prečítajte odvodenie metódy zmeny parametrov.
  2. Ukážte, že (y_p ) je riešením problému s počiatočnou hodnotou [ begin {array} {r} P_0 (x) y ^ {(n)} + P_1 (x) y ^ {(n-1)} + cdots + P_n (x) y = F (x), y (x_0) = 0, ; y '(x_0) = 0, dots, quad y ^ {(n-1)} (x_0) = 0. end {pole} nonumber ]
  3. Ukážte, že (y_p ) možno zapísať ako [y_p (x) = int_ {x_0} ^ x G (x, t) F (t) , dt, nonumber ] kde [G (x, t) = {1 nad P_0 (t) W (t)} vľavo | begin {pole} {cccc} y_1 (t) & y_2 (t) & cdots & y_n (t) [4pt] y_1 '(t ) & y_2 '(t) & cdots & y_n' (t) [4pt] vdots & vdots & ddots & vdots [4pt] y_1 ^ {(n-2)} (t) & y_2 ^ {(n-2 )} (t) & cdots & y_n ^ {(n-2)} (t) [4pt] y_1 (x) & y_2 (x) & cdots & y_n (x) end {array} right |, nonumber ], ktorý sa nazýva Greenova funkcia pre).
  4. Ukážte, že [{ čiastočné ^ {j} G (x, t) nad čiastočné x ^ j} = {1 nad P_0 (t) W (t)} doľava | begin {pole} {cccc} y_1 (t) & y_2 (t) & cdots & y_n (t) [4pt] y_1 '(t) & y_2' (t) & cdots & y_n '(t) [4pt] vdots & vdots & ddots & vdots [4pt] y_1 ^ {(n-2)} (t) & y_2 ^ {(n-2)} (t) & cdots & y_n ^ {(n-2)} (t) [4pt] y_1 ^ { (j)} (x) & y_2 ^ {(j)} (x) & cdots & y_n ^ {(j)} (x) end {array} right |, quad 0 le j le n. nonumber ]
  5. Ukážte, že ak (a
  6. Ukážte, že [y_ {p} ^ {(j)} (x) = doľava { begin {pole} {cl} { int_ {x_ {0}} ^ {x} frac { čiastočné ^ { j} G (x, t)} { čiastočné x ^ {j}} F (t) dt,} & {1 leq j leq n-1,} { frac {F (x)} { P_ {0} (x)} + int_ {x_ {0}} ^ {x} frac { čiastočné ^ {(n)} G (x, t)} { čiastočné x ^ {n}} F ( t) dt,} & {j = n.} end {pole} vpravo. nonumber ]

Q9.4.4

V Cvičenia 9.4.35-9.4.42 použite metódu navrhnutú v Cvičenie 9.4.34 nájsť konkrétne riešenie v tvare (y_ {p} = int_ {x_ {0}} ^ {x} G (x, t) F (t) dt ), vzhľadom na naznačenú základnú sadu riešení. Predpokladajme, že (x ) a (x_ {0} ) sú v intervale, v ktorom je rovnica normálna.

35. (y '' '2y'-y'-2y = F (x); quad {e ^ x, , e ^ {- x}, e ^ {- 2x} } )

36. (x ^ 3y '' 'x x ^ 2y' '- 2xy' + 2y = F (x); quad {x, , x ^ 2, , 1 / x } )

37. (x ^ 3y '' '- x ^ 2 (x + 3) y' + 2x (x + 3) y'-2 (x + 3) y = F (x); {x, x ^ 2, xe ^ x } )

38. (x (1-x) y '' + (x ^ 2-3x + 3) y '+ xy'-y = F (x); quad {x, , 1 / x, , e ^ x / x } )

39. (y ^ {(4)} - 5y '+ 4y = F (x); quad {e ^ x, , e ^ {- x}, , e ^ {2x}, , e ^ {- 2x} } )

40. (xy ^ {(4)} + 4y '' = F (x); quad {1, , x, , x ^ 2, , 1 / x } )

41. (x ^ 4y ^ {(4)} + 6x ^ 3y '' + 2x ^ 2y '' - 4xy '+ 4y = F (x) ); ( {x, x ^ 2,1 / x, 1 / x ^ 2 } )

42. (xy ^ {(4)} - y '' '- 4xy' + 4y '= F (x); quad {1, , x ^ 2, , e ^ {2x}, e ^ {-2x} } )