Články

7.2: Reprezentačný vzorec


Ďalej predpokladáme, že ( Omega ), funkcia ( phi ), ktorá sa objavuje v definícii základného riešenia a uvažovaná potenciálna funkcia (u ), sú dostatočne pravidelné, takže nasledujúce výpočty dávajú zmysel , pre zovšeobecnenie pozri [6]. To je prípad, ak ( Omega ) je ohraničený, ( čiastočný Omega ) je v (C ^ 1 ), ( phi v C ^ 2 ( overline { Omega}) ) pre každé pevné (y v Omega ) a (u v C ^ 2 ( overline { Omega}) ).


Obrázok 7.2.1: Zápisy o identite Greena

Veta 7.1. Nech (u ) je potenciálna funkcia a ( gama ) základné riešenie, potom pre každé pevné (y v Omega )
$$
u (y) = int _ { čiastočné Omega} ľavé ( gamma (x, y) frac { čiastočné u (x)} { čiastočné n_x} -u (x) frac { čiastočné gama (x, y)} { čiastočné n_x} pravé) dS_x.
$$

Dôkaz. Nech (B_ rho (y) podmnožina Omega ) je lopta. Nastaviť ( Omega_ rho (y) = Omega setminus B_ rho (y) ). Poznámky nájdete na obrázku 7.2.2.

Obrázok 7.2.2: Poznámky k vete 7.1

Z Greenovho vzorca pre (u, v v C ^ 2 ( overline { Omega}) ),
$$
int _ { Omega_ rho (y)} (v trojuholník uu trojuholník v) dx = int _ { čiastočné Omega_ rho (y)} doľava (v frac { čiastočné u} { čiastočné n} -u frac { čiastočné v} { čiastočné n} pravé) dS
$$
získame, ak (v ) je základné riešenie a (u ) potenciálna funkcia,
$$
int _ { čiastočné Omega_ rho (y)} ľavé (v frac { čiastočné u} { čiastočné n} -u frac { čiastočné v} { čiastočné n} pravé) dS = 0.
$$
Musíme teda zvážiť
begin {eqnarray *}
int _ { čiastočné Omega _ { rho} (y)} v frac { čiastočné u} { čiastočné n} dS & = & int _ { čiastočné Omega} v frac { čiastočné u} { čiastočné n} dS + int _ { čiastočné B_ rho (y)} v frac { čiastočné u} { čiastočné n} dS
int _ { čiastočné Omega _ { rho} (y)} u frac { čiastočné v} { čiastočné n} dS & = & int _ { čiastočné Omega} u frac { čiastočné v} { čiastočné n} dS + int _ { čiastočné B_ rho (y)} u frac { čiastočné v} { čiastočné n} dS.
end {eqnarray *}
Odhadujeme integrály cez ( čiastočné B_ rho (y) ):

i)
begin {eqnarray *}
left | int _ { čiastočné B_ rho (y)} v frac { čiastočné u} { čiastočné n} dS pravé | & le & M int _ { čiastočné B_ rho (y)} | v | dS
& le & M left ( int _ { partial B_ rho (y)} s ( rho) dS + C omega_n rho ^ {n-1} right),
end {eqnarray *}
kde
begin {eqnarray *}
M & = & M (y) = sup_ {B _ { rho_0} (y)} | čiastočné u / čiastočné n |, rho le rho_0,
C & = & C (y) = sup_ {x v B _ { rho_0} (y)} | phi (x, y) |.
end {eqnarray *}
Z definície (s ( rho) ) dostaneme odhad ako ( rho do 0 )
begin {rovnica}
label {ell1}
int _ { čiastočné B_ rho (y)} v frac { čiastočné u} { čiastočné n} dS = ľavé { začiatok {pole} {r @ { quad: quad} l}
O ( rho | ln rho |) & n = 2
O ( rho) & n ge3.
end {pole} vpravo.
end {rovnica}

(ii) Zvážte teda prípad (n ge3 )
begin {eqnarray *}
int _ { čiastočné B_ rho (y)} u frac { čiastočné v} { čiastočné n} dS & = &
frac {1} { omega_n} int _ { čiastočné B_ rho (y)} u frac {1} { rho ^ {n-1}} dS + int _ { čiastočné B_ rho (y )} u frac { čiastočné phi} { čiastočné n} dS
& = & frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { čiastočné B_ rho (y)} u dS + O ( rho ^ {n-1})
& = & frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} u (x_0) int _ { čiastočné B_ rho (y)} dS + O ( rho ^ {n-1}) , & = & u (x_0) + O ( rho ^ {n-1}).
end {eqnarray *}
pre (x_0 v čiastočnom B_ rho (y) ).

Kombináciou tohto odhadu a ( ref {ell1}) získame reprezentačný vzorec vety.

( Box )

Dodatok. Nastavte ( phi equiv 0 ) a (r = | x-y | ) v reprezentačnom vzorci vety vety 7.1, potom
begin {eqnarray}
label {ell2}
u (y) & = & frac {1} {2 pi} int _ { čiastočné Omega} ľavé ( ln r frac { čiastočné u} { čiastočné n_x} -u frac { čiastočné ( ln r)} { čiastočné n_x} pravé) dS_x, n = 2,
label {ell3}
u (y) & = & frac {1} {(n-2) omega_n} int _ { čiastočné Omega} doľava ( frac {1} {r ^ {n-2}} frac { čiastočné u} { čiastočné n_x} -u frac { čiastočné (r ^ {2-n})} { čiastočné n_x} pravé) dS_x, n ge3.
end {eqnarray}


RIEŠENIE: napíš explicitný vzorec pre postupnosť 7, 2, -3, -8, -13. potom nájdite a_14 http://prntscr.com/sob4im

Existuje MNOHO (viac ako jedno) riešení tejto žiadosti, ktoré udávajú rôzne hodnoty pre a_14.

Prosím, PRESTAŤ na toto fórum vysielať nezmysly. . .


-----------------
komentár od študenta: Ešte raz ďakujem za spätnú väzbu, ktorá nič neprispieva a je zbytočná!
Nepomohli ste mi ani raz s otázkami, ktoré som zverejnil a s ktorými som zápasil. :)
Ak si myslíte, že potrebujem skutočnú pomoc, je to nezmysel, zastavte sa a nechajte svoje myšlienky pre seba!
-----------------


Moja odpoveď: Prečo by som si mal nechať svoje myšlienky pre seba, keď sú také správne a také krásne?

Je pravda, že ste sa na toto fórum prišli učiť od lektorov?

Potom sa odo mňa učte a majte túto šťastnú príležitosť. . .

Alebo si ma naopak prišiel naučiť? --- Ale nepýtal som sa ťa na to. . .

Naozaj potrebujete pomoc. Ale táto pomoc nie je v hľadaní ďalšieho čísla tam, kde je to nezmyselné.

Skutočná pomoc, ktorú potrebujete, je presvedčiť vás, že celé čísla vám nie sú nič dlžné.

Ak uvažujete inak, zinkasujte aspoň jeden dolár z každého prirodzeného čísla.

Stanete sa multi-miliardárom (alebo dokonca multi-biliónom), potom manažérom všetkých prirodzených čísel / dolárov.


Potom budete môcť prideliť AKÉKOĽVEK číslo, ktoré bude ďalšie, podľa zákona, ktorý vydáte vy, vy, osobne.

V krátkosti: nikdy nepríďte na toto fórum s takými NEZMYSELNÝMI otázkami / „problémami“.

A potom bude všetko v poriadku, vo fialovej farbe.

Toto riešenie môžete umiestniť na SVOJU webovú stránku!

, , ,,
ako vidíte, ak odpočítate od prvého funkčného obdobia, dostanete druhé funkčné obdobie,
ak odčítate od druhého funkčného obdobia, dostanete tretie funkčné obdobie atď
spoločný rozdiel je
všeobecný vzorec pre n-tý termín je:
. od a


Všimnite si, že bežný rozdiel v každom nasledujúcom volebnom období je 5, a to smerom nadol pre každý z nich. Prvý termín je 7.


7.2: Malý výberový odhad populačného priemeru

Vzorce intervalu spoľahlivosti v predchádzajúcej časti vychádzajú z Centrálnej limitnej vety, tvrdenia, že pre veľké vzorky ( overline) sa normálne distribuuje s priemerom ( mu ) a štandardnou odchýlkou ​​ ( sigma / sqrt). Keď sa priemerná hodnota populácie ( mu ) odhaduje s malou vzorkou ( (n & lt30 )), centrálna limitná veta neplatí. Aby sme mohli pokračovať, predpokladáme, že numerická populácia, z ktorej sa odoberá vzorka, má na začiatku normálne rozdelenie. Ak je táto podmienka splnená, potom keď je známa štandardná odchýlka populácie ( sigma ), starý vzorec ( bar pm z _ < alpha / 2> ( sigma / sqrt) ) sa dá stále použiť na zostrojenie intervalu spoľahlivosti (100 (1- alpha) \% ) pre ( mu ).

Ak štandardná odchýlka populácie nie je známa a veľkosť vzorky (n ) je malá, potom keď nahradíme štandardnú odchýlku vzorky (s ) za ( sigma ), normálna aproximácia už nie je platná. Riešením je použitie inej distribúcie, ktorá sa volá Student & rsquos (t ) - distribúcia s (n-1 ) stupňami voľnosti. Student & rsquos (t ) - distribúcia sa veľmi podobá štandardnému normálnemu rozdeleniu v tom, že je vycentrovaná na (0 ) a má rovnaký kvalitatívny tvar zvona, ale má ťažšie chvosty ako štandardné normálne rozdelenie, ako naznačuje Obrázok ( PageIndex <1> ), na ktorom krivka (hnedá), ktorá sa stretáva s prerušovanou zvislou čiarou v najnižšom bode, je (t ) - rozdelenie s dvoma stupňami voľnosti, nasledujúca krivka (modrá) ) je (t ) - rozdelenie s piatimi stupňami voľnosti a tenká krivka (červená) je štandardné normálne rozdelenie. Ako tiež naznačuje obrázok, so zväčšovaním veľkosti vzorky (n ) sa distribúcia Student & rsquos (t ) čoraz viac podobá štandardnému normálnemu rozdeleniu. Aj keď pre každú hodnotu (n ) existuje iné (t ) - rozdelenie, akonáhle je veľkosť vzorky (30 ) alebo viac, je zvyčajne prijateľné použiť namiesto toho štandardné normálne rozdelenie, pretože vždy v tomto texte.

Obrázok ( PageIndex <1> ): Študent & rsquos (t )-Rozdelenie

Rovnako ako symbol (z_c ) znamená hodnotu, ktorá odreže pravý chvost oblasti (c ) v štandardnom normálnom rozdelení, tak symbol (t_c ) znamená hodnotu, ktorá odreže pravý chvost. plochy (c ) v štandardnom normálnom rozdelení. Získate tak nasledujúce vzorce intervalu spoľahlivosti.

Malá vzorka (100 (1 a mínus a alfa) \% ) Interval spoľahlivosti pre priemer populácie

so stupňami voľnosti (df = n & minus1 ).

Populácia musí byť normálne rozdelená a vzorka sa považuje za malú, keď (n & lt 30 ).

Na použitie nového vzorca použijeme riadok na obrázku 7.1.6, ktorý zodpovedá príslušnej veľkosti vzorky.

Vzorka veľkosti (15 ) odobratá z normálne rozdelenej populácie má vzorkový priemer (35 ) a štandardnú odchýlku vzorky (14 ). Vytvorte (95 \% ) interval spoľahlivosti pre priemer populácie a interpretujte jeho význam.

Pretože populácia je normálne rozdelená, vzorka je malá a štandardná odchýlka populácie nie je známa, platí vzorec Equation ref.

Úroveň spoľahlivosti (95 \% ) znamená to

takže (& alfa / 2 = 0,025 ). Pretože veľkosť vzorky je (n = 15 ), existujú (n a mínus1 = 14 ) stupne voľnosti. Podľa obrázka 7.1.6 (t_ <0,025> = 2,145 ). Teda

Jeden môže mať istotu (95 \% ), že skutočná hodnota (& mu ) je obsiahnutá v intervale

Náhodná vzorka (12 ) študentov z veľkej univerzity prináša priemerný GPA (2,71 ) so vzorkou štandardnej odchýlky (0,51 ). Vytvorte interval spoľahlivosti (90 \% ) pre priemernú GPA všetkých študentov univerzity. Predpokladajme, že numerická populácia GPA, z ktorých sa odoberá vzorka, má normálne rozdelenie.

Pretože populácia je normálne rozdelená, vzorka je malá a štandardná odchýlka populácie nie je známa, platí vzorec Equation ref

Úroveň spoľahlivosti (90 \% ) znamená to

takže (& alfa / 2 = 0,05 ). Pretože veľkosť vzorky je (n = 12 ), existujú (n a mínus1 = 11 ) stupne voľnosti. Podľa obrázka 7.1.6 (t_ <0,05> = 1,796 ). Teda

Jeden môže mať istotu (90 \% ), že skutočný priemerný GPA všetkých študentov univerzity je obsiahnutý v intervale

Porovnajte „Príklad 4“ v časti 7.1 a „Príklad 6“ v časti 7.1. Súhrnná štatistika v obidvoch vzorkách je rovnaká, ale interval spoľahlivosti (90 \% ) pre priemernú GPA všetkých študentov univerzity v časti „Príklad 4“ v časti 7.1, (((2,63,2,79) ), je kratší ako (90 \% ) interval spoľahlivosti ((2,45,2,97) ) v časti „Príklad 6“ v časti 7.1. Je to čiastočne preto, že v časti „Príklad 4“ v časti 7.1 je veľkosť vzorky väčšia, existuje viac informácií týkajúcich sa skutočnej hodnoty ( mu ) vo veľkej množine údajov ako v malej.


Euler-Poincar a eacute formula

Časť informácií zaznamenaných v B-rep je topologická (t.j. vzťahy susednosti). Ak zobrazenie nie je starostlivo zostavené, môžu sa generovať neplatné pevné látky. Jedným zo spôsobov kontroly tejto topologickej neplatnosti je použitie vzorca Euler-Poincar & eacute. Ak jeho hodnota nie je nula, sme si istí, že v zobrazovaní musí byť niečo zle. Toto je však iba test jednej strany. Presnejšie, nulová hodnota vzorca Euler-Poincar & eacute neznamená, že pevná látka je platná.

Obrázok vyššie má škatuľu a ďalší hárok, ktorý je jednoducho obdĺžnikový. Tento objekt má 10 vrcholov, 15 okrajov, 7 plôch, 1 plášť a žiadnu dieru. Počet jeho slučiek sa rovná počtu tvárí. Hodnota vzorca Euler-Poincar & eacute je nulová, ako je uvedené nižšie,

ale toto nie je platny solid! Preto ak je hodnota vzorca Euler-Poincar & eacute nenulová, vyjadrenie určite nie je platnou pevnou látkou. Avšak nulová hodnota vzorca Euler-Poincar & eacute nezaručuje, že reprezentácia prinesie platnú pevnú látku.

Ako správne počítať rod?

Nie je vždy ľahké správne spočítať rod G. Predpokladajme napríklad, že máme guľu prerazenú tromi tunelmi, ako je to znázornené nižšie. Ľavý objekt zobrazuje vonkajší pohľad. Pravá ukazuje vnútro odrezaním polovice gule. Aká je rodová hodnota G? Vieme, že rodová hodnota počíta počet prenikajúcich otvorov. Ale v tomto príklade je to trochu nejednoznačné. Kombináciou akýchkoľvek dvoch stredových tunelov budeme mať v skutočnosti tri priechodné otvory. To je však nesprávne!

Vzorec Euler-Poincar & eacute popisuje topologické vlastnosti množstva vrcholov, hrán, plôch, slučiek, škrupín a rodu. Akákoľvek topologická transformácia použitá na modeli tento vzťah nezmení. Intuitívne použitie topologických transformácií znamená, že môžeme model skrútiť, natiahnuť a stlačiť, ale niektoré časti nemôžeme odrezať ani zlepiť. Použime na tento model intuitívne topologické transformácie na výpočet rodu. Môžeme tlačiť na „steny“ obklopujúce tri tunely, aby sa z interiéru modelu stala tenká škrupina. Toto je zobrazené na obrázku nižšie.

Napnite horný otvor tak, aby bol dostatočne veľký (zľava dole). Potom zložte hornú časť, aby ste model vyrovnali. Toto je zobrazené na pravom modeli nižšie. Koľko je tam prenikajúcich otvorov? Dva! Preto G je 2.

Niekedy sa môžu penetračné otvory objaviť v nepravdepodobnej situácii. Zvážte nasledujúci model, ktorý sa získa odstránením torusu a trubice z vnútra gule. Aký je rod tohto modelu? Nevyzerá to, že by tam bola nejaká prenikavá diera. Je teda rod rovný 0? V skutočnosti, G = 1! Príďte na to sami. Robte nejaké krútenie, naťahovanie a stláčanie.


Objem a tlak: zákon Boyle & rsquos

Ak čiastočne naplníme vzduchotesnú striekačku vzduchom, obsahuje striekačka určité množstvo vzduchu pri konštantnej teplote, napríklad 25 ° C. Ak pomaly zatlačíme na piest, pričom udržujeme konštantnú teplotu, plyn v injekčnej striekačke sa stlačí na menší objem a jeho tlak sa zvýši, ak vytiahneme piest, objem sa zvýši a tlak sa zníži. Tento príklad vplyvu objemu na tlak daného množstva obmedzeného plynu je všeobecne pravdivý. Zníženie objemu obsiahnutého plynu zvýši jeho tlak a zväčšenie jeho objemu zníži jeho tlak. V skutočnosti, ak sa objem zvýši o určitý faktor, tlak sa zníži o rovnaký faktor a naopak. Údaje o objemovom tlaku pre vzorku vzduchu pri izbovej teplote sú znázornené na obrázku ( PageIndex <6> ).

Obrázok ( PageIndex <6> ): Keď plyn zaberá menší objem, vyvíja vyšší tlak, keď zaberá väčší objem, vyvíja nižší tlak (za predpokladu, že sa množstvo plynu a teplota nezmení). Pretože P a V sú nepriamo úmerné, graf vs. V je lineárne.

Na rozdiel od P-T a V-T vzťahy, tlak a objem nie sú navzájom priamo úmerné. Namiesto toho P a V. vykazujú inverznú proporcionalitu: Zvyšovanie tlaku vedie k zníženiu objemu plynu. Matematicky to možno napísať:

s k byť konštantou. Graficky je tento vzťah znázornený priamkou, ktorá je výsledkom vykreslenia inverznej hodnoty tlaku voči objemu (V.), alebo inverzná hodnota objemu ( doľava ( dfrac <1> vpravo) ) oproti tlaku (P). Grafy so zakrivenými čiarami sa ťažko čítajú presne pri nízkych alebo vysokých hodnotách premenných a ťažšie sa používajú pri prispôsobovaní teoretických rovníc a parametrov experimentálnym údajom. Z týchto dôvodov sa vedci často snažia nájsť spôsob, ako & ldquolinearizovať & rdquo svoje údaje. Keby sme sprisahali P proti V., získame hyperbolu (Obrázok ( PageIndex <7> )).

Obrázok ( PageIndex <7> ): Vzťah medzi tlakom a objemom je nepriamo úmerný. (a) Graf P vs. V je hyperbola, zatiaľ čo (b) graf P vs. V je lineárne.

Vzťah medzi objemom a tlakom daného množstva plynu pri konštantnej teplote prvýkrát publikoval anglický prírodný filozof Robert Boyle pred viac ako 300 rokmi. Je zhrnutá vo vyhlásení, ktoré je teraz známe ako zákon Boyle & rsquos: Objem daného množstva plynu udržiavaného na konštantnej teplote je nepriamo úmerný tlaku, pod ktorým sa meria.

Obrázok ( PageIndex <7> ): Ilustrácia Boyleovho zákona, ktorá ukazuje, že pri znižovaní objemu sa zvyšuje tlak a naopak. Tento súbor sa nachádza v priečinku verejná doména pretože to vytvorila NASA. Pravidlá NASA týkajúce sa autorských práv uvádzajú, že materiál & quotNASA nie je chránený autorskými právami pokiaľ nie je uvedené inak & quot. ( Politika autorských práv NASA a Pravidlá používania obrázkov JPL ).

Príklad ( PageIndex <4> ): Objem vzorky plynu

Vzorka plynu má objem 15,0 ml pri tlaku 13,0 psi. Stanovte tlak plynu pri objeme 7,5 ml pomocou:

  1. the P-V. graf na obrázku ( PageIndex <6a> )
  2. vs. V. graf na obrázku ( PageIndex 6)
  3. rovnica zákona Boyle & rsquos

Komentujte pravdepodobnú presnosť každej metódy.

  1. Odhad z P-V. graf dáva hodnotu pre P niekde okolo 27 psi.
  2. Odhad z verzus V. graf dáva hodnotu asi 26 psi.
  3. Podľa zákona Boyle & rsquos vieme, že súčin tlaku a objemu (PV) pre danú vzorku plynu pri stálej teplote sa rovná vždy rovnakej hodnote. Preto máme P1V.1 = k a P2V.2 = k čo znamená, že P1V.1 = P2V.2.

Použitím P1 a V.1 ako známe hodnoty 13,0 psi a 15,0 ml, P2 ako tlak, pri ktorom nie je známy objem, a V.2 ako neznámy zväzok máme:

Bolo ťažšie dobre odhadnúť z P-V. graf, takže (a) je pravdepodobne nepresnejšia ako (b) alebo (c). Výpočet bude taký presný, ako to umožňuje rovnica a merania.

Vzorka plynu má objem 30,0 ml pri tlaku 6,5 psi. Stanovte objem plynu pri tlaku 11,0 psi pomocou:

  1. the P-V. graf na obrázku ( PageIndex <6a> )
  2. vs. V. graf na obrázku ( PageIndex 6)
  3. rovnica zákona Boyle & rsquos

Komentujte pravdepodobnú presnosť každej metódy.

17,7 ml bolo ťažšie dobre odhadnúť z P-V. graf, takže (a) je pravdepodobne nepresnejšia ako (b) výpočet bude taký presný, ako to rovnica a merania umožňujú

Zákon o ideálnom plyne je ľahko zapamätateľný a použiteľný pri riešení problémov, pokiaľ dostaneš správne hodnoty a jednotky pre plynovú konštantu, R.

Chémia v každodennom živote: Dýchanie a zákon Boyle & rsquos

Čo robíte asi 20-krát za minútu po celý život, bez prestávok a často aj bez toho, aby ste si to uvedomovali? Odpoveďou je samozrejme dýchanie alebo dýchanie. Ako to funguje? Ukazuje sa, že tu platia zákony o plyne. Vaše pľúca prijímajú plyn, ktorý vaše telo potrebuje (kyslík), a zbavujú sa odpadových plynov (oxid uhličitý). Pľúca sú vyrobené z hubovitého, pružného tkaniva, ktoré sa pri dýchaní rozširuje a sťahuje. Pri nádychu sa vám sťahuje bránica a medzirebrové svaly (svaly medzi rebrami), čím sa zväčšuje hrudná dutina a zväčšuje sa objem pľúc. Zväčšenie objemu vedie k zníženiu tlaku (zákon Boyle & rsquos). To spôsobí, že vzduch prúdi do pľúc (z vysokého tlaku do nízkeho tlaku). Pri výdychu sa proces obráti: Vaša bránica a rebrové svaly sa uvoľnia, vaša hrudná dutina sa stiahne a váš objem pľúc sa zníži, čo spôsobí zvýšenie tlaku (opäť zákon Boyle & rsquos) a vzduch prúdi z pľúc (z vysokého tlaku do nízkeho tlaku). tlak). Potom znova a znova dýchate a vydychujete a tento cyklus zákona Boyle & rsquos opakujete po zvyšok svojho života (obrázok ( PageIndex <8> )).

Obrázok ( PageIndex <8> ): Dýcha, pretože zväčšenie a zmenšenie objemu pľúc spôsobí malé tlakové rozdiely medzi vašimi pľúcami a okolím, čo spôsobí nasatie a vytlačenie vzduchu z pľúc.


Obsah

Babylonská hlinená tableta YBC 7289 (asi 1800 - 1600 rokov pred n. L.) Poskytuje aproximáciu √ 2 na štyroch sexageimálnych číslach, 1 24 51 10, ktorá je presná na asi šesť desatinných číslic [5] a je najbližšou možnou trojkou. sexageimálne zastúpenie √ 2:

Ďalšia skorá aproximácia je uvedená v staroindických matematických textoch Sulbasutras (asi 800 - 200 pred Kr.): Zväčšite dĺžku [boku] o tretinu a túto tretinu o vlastnú štvrtú mínus tridsať štvrtú časť tejto štvrtej. [6] To znamená,

Táto aproximácia je siedmou v poradí čoraz presnejších aproximácií založených na postupnosti čísel Pell, ktorú je možné odvodiť z pokračujúceho rozširovania zlomkov √ 2. Napriek tomu, že má menšieho menovateľa, je iba o niečo menej presný ako babylonská aproximácia.

Pytagorejci zistili, že uhlopriečka štvorca je neporovnateľná s jeho stranou, alebo v modernom jazyku druhá odmocnina dvoch je iracionálna. O čase alebo okolnostiach tohto objavu sa s určitosťou nevie veľa, často sa však spomína meno Hippasus z Metaponta. Pytagorejci istý čas považovali za oficiálne tajomstvo zistenie, že druhá odmocnina dvoch je iracionálna, a podľa legendy bol za jeho prezradenie zavraždený Hippasus. [2] [7] [8] [9] Druhá odmocnina dvoch sa občas nazýva Pytagorovo číslo alebo Pytagorova konštanta, napríklad Conway & amp Guy (1996). [10]

Starorímska architektúra Upraviť

V starorímskej architektúre Vitruvius popisuje použitie druhej odmocniny 2 postupností resp ad quadratum technika. Spočíva to v zásade v geometrickej, nie aritmetickej metóde na zdvojnásobenie štvorca, pri ktorom sa uhlopriečka pôvodného štvorca rovná strane výsledného štvorca. Vitruvius pripisuje túto myšlienku Platónovi. Tento systém sa použil na stavbu chodníkov vytvorením štvorcovej tangenty k rohom pôvodného štvorca pri jeho 45 stupňoch. Pomer sa tiež použil na návrh predsiení tak, že sa dala dĺžka rovná uhlopriečke zo štvorca, ktorého strany sú ekvivalentné zamýšľanej šírke predsiene. [11]

Výpočtové algoritmy Úpravy

Existuje niekoľko algoritmov na aproximáciu √ 2 ako pomer celých čísel alebo ako desatinné miesto. Najbežnejším algoritmom, ktorý sa používa ako základ v mnohých počítačoch a kalkulačkách, je babylonská metóda [12] na výpočet druhej odmocniny, ktorá je jednou z mnohých metód výpočtu druhej odmocniny. A to nasledovne:

Najprv vyberte odhad, a0 & gt 0 hodnota odhadu ovplyvňuje iba to, koľko iterácií je potrebných na dosiahnutie aproximácie určitej presnosti. Potom pomocou tohto odhadu vykonajte iteráciu pomocou tohto rekurzívneho výpočtu:

Čím viac iterácií prostredníctvom algoritmu (tj. Čím viac vykonaných výpočtov a tým väčšie " n "), tým lepšia je aproximácia. Každá iterácia zhruba zdvojnásobuje počet správnych číslic. Počnúc a0 = 1, výsledky algoritmu sú nasledujúce:

  • 1 ( a0 )
  • 3 / 2 = 1.5 ( a1 )
  • 17 / 12 = 1.416. ( a2 )
  • 577 / 408 = 1.414215. ( a3 )
  • 665857 / 470832 = 1.4142135623746. ( a4 )

Racionálne aproximácie Upraviť

Záznamy vo výpočte Upraviť

V roku 1997 tím Yasumasa Kanada vypočítal hodnotu √ 2 na 137 438 953 444 desatinných miest. Vo februári 2006 bol záznam o výpočte √ 2 zatienený použitím domáceho počítača. Shigeru Kondo vypočítal v roku 2010 1 bilión desatinných miest. [13] Z matematických konštánt s výpočtovo náročnými desatinnými rozšíreniami sa presnejšie počíta iba π. [14] Cieľom týchto výpočtov je empiricky skontrolovať, či sú tieto počty normálne.

Toto je tabuľka posledných záznamov pri výpočte číslic √ 2. [15]

Dátum názov Počet číslic
28. júna 2016 Ron Watkins 10 biliónov
3. apríla 2016 Ron Watkins 5 biliónov
9. februára 2012 Alexander Yee 2 bilióny
22.03.2010 Shigeru Kondo 1 bilión

Krátky dôkaz iracionality √ 2 možno získať z racionálnej koreňovej vety, teda ak p(X) je monický polynóm s celočíselnými koeficientmi, potom s ľubovoľným racionálnym koreňom p(X) je nevyhnutne celé číslo. Aplikujeme to na polynóm p(X) = X 2 - 2 vyplýva, že √ 2 je buď celé číslo alebo iracionálne. Pretože √ 2 nie je celé číslo (2 nie je dokonalý štvorec), musí byť √ 2 iracionálne. Tento dôkaz možno zovšeobecniť a ukázať, že každá druhá odmocnina ľubovoľného prirodzeného čísla, ktorá nie je druhou mocninou prirodzeného čísla, je iracionálna.

Dôkaz, že druhá odmocnina ľubovoľného iného ako druhá mocnina prirodzeného čísla je iracionálna, nájdete v kvadratickom iracionálnom alebo nekonečnom klesaní.

Dôkaz nekonečného zostupu Upraviť

Jedným z dôkazov iracionality čísla je nasledujúci dôkaz nekonečného zostupu. Je to tiež dôkaz protirečenia, tiež známy ako nepriamy dôkaz, pretože tvrdenie sa dokazuje za predpokladu, že opak je pravdivý, a dokazuje, že tento predpoklad je nepravdivý, čo znamená, že tvrdenie musí byť pravdivé.

  1. Predpokladajme, že √ 2 je racionálne číslo, čo znamená, že existuje dvojica celých čísel, ktorých pomer je presne √ 2.
  2. Ak majú dve celé čísla spoločný faktor, možno ich vylúčiť pomocou euklidovského algoritmu.
  3. Potom √ 2 možno zapísať ako neredukovateľný zlomok
  4. a / b také, že a a b sú coprime celé čísla (bez spoločného faktora), čo navyše znamená, že aspoň jedno z a alebo b musí byť nepárne.
  5. Z toho vyplýva
  6. a 2 / b 2 = 2 a a 2 = 2b 2 . ( (
  7. a / b ) n =
  8. an / bn ) ( a 2 a b 2sú celé čísla)
  9. Preto a 2 je párne, pretože sa rovná 2b 2 . ( 2b 2 je nevyhnutne párne, pretože je to 2-násobok iného celého čísla a násobky 2 sú párne.)
  10. Z toho vyplýva a musia byť párne (pretože štvorce nepárnych celých čísel nie sú nikdy párne).
  11. Pretože a je párne, existuje celé číslo k ktorý spĺňa: a = 2k .
  12. Nahradenie 2k z kroku 7 pre a v druhej rovnici z kroku 4: 2b 2 = (2k) 2 sa rovná 2b 2 = 4k 2, čo sa rovná b 2 = 2k 2 .
  13. Pretože 2k 2 je deliteľné dvoma a teda párnymi, a pretože 2k 2 = b 2 z toho vyplýva b 2 je tiež čo znamená, že b je párne.
  14. Krokmi 5 a 8 a a b sú párne, čo tomu odporuje
  15. a / b je neredukovateľný, ako je uvedené v kroku 3.

Pretože existuje rozpor, predpoklad (1), že √ 2 je racionálne číslo, musí byť nepravdivý. To znamená, že √ 2 nie je racionálne číslo. To znamená, že √ 2 je iracionálna.

Tento dôkaz naznačil Aristoteles vo svojom Analytica Priora, §I.23. [16] Ukázalo sa to najskôr ako úplný dôkaz v Euclidovej Prvky, ako je návrh 117 v knihe X. Avšak od začiatku 19. storočia sa historici zhodujú, že tento dôkaz je interpoláciou a nemožno ho pripísať Euklidovi. [17]

Dôkaz jedinečnej faktorizácie Edit

Rovnako ako v prípade dôkazu nekonečného pôvodu, získame a 2 = 2 b 2 < Displaystyle a ^ <2> = 2b ^ <2>>. Keďže je rovnaká veličina, každá strana má rovnakú prvočíselnú faktorizáciu základnou vetou aritmetiky a najmä by musela mať faktor 2 rovnaký počet výskytov. Faktor 2 sa však javí nepárny počet krát vpravo, ale párny počet krát vľavo - rozpor.

Geometrický dôkaz Upraviť

Jednoduchý dôkaz pripisuje John Horton Conway Stanley Tennenbaumovi, keď bol študentom začiatkom 50. rokov [18] a ktorého posledná podoba je uvedená v článku Nosona Yanofského v čísle časopisu May – June 2016. Americký vedec. [19] Dané dva štvorce s celočíselnými stranami a a b, z ktorých jedna má dvojnásobnú plochu ako druhá, vložte dve kópie malého štvorca do väčšieho, ako je to znázornené na obrázku 1. Štvorcová oblasť prekrytia v strede ((2ba) 2) sa musí rovnať súčtu dvoch nekrytých štvorcov (2 (ab) 2). Tieto štvorce na diagonále však majú celé kladné strany, ktoré sú menšie ako pôvodné štvorce. Opakovaním tohto procesu existujú ľubovoľne malé štvorce, ktoré sú dvakrát väčšie ako plocha druhého, pričom oba majú kladné celé čísla, čo je nemožné, pretože kladné celé čísla nemôžu byť menšie ako 1.

Ďalší geometrický argument reductio ad absurdum, ktorý ukazuje, že √ 2 je iracionálny, sa objavil v roku 2000 v časopise American Mathematical Monthly. [20] Je to tiež príklad dôkazu nekonečného pôvodu. Využíva klasickú konštrukciu kompasu a pravítka, ktorá dokazuje vetu metódou podobnou tej, ktorú používali starogrécki geometri. Je to v podstate rovnaký algebraický dôkaz ako v predchádzajúcom odseku, geometricky videný iným spôsobom.

Nakreslite oblúky BD a CE so stredom A . Pripojte sa DE . Z toho vyplýva AB = AD , AC = AE a znak ∠BAC a ∠DAE zhodovať sa. Preto trojuholníky ABC a ADE sú v zhode s SAS.

Pretože ∠EBF je pravý uhol a ∠BEF je polovica pravého uhla, △BEF je tiež pravý rovnoramenný trojuholník. Preto BE = mn naznačuje BF = mn . Symetriou, DF = mn a △FDC je tiež pravý rovnoramenný trojuholník. Z toho tiež vyplýva FC = n − (mn) = 2nm .

Z tohto dôvodu existuje ešte menší pravý rovnoramenný trojuholník s preponou dĺžky 2nm a nohy mn . Tieto hodnoty sú celé čísla ešte menšie ako m a n a v rovnakom pomere, čo je v rozpore s hypotézou m:n je v najnižších hodnotách. Preto m a n nemôžu byť obe celé čísla, preto √ 2 je iracionálna.

Konštruktívny dôkaz Upraviť

Pri konštruktívnom prístupe sa rozlišuje medzi tým, že na jednej strane nie je racionálne, a na druhej strane je iracionálne (t. J. Kvantitatívne sa odlišuje od každého racionálneho), pričom druhá je silnejšia vlastnosť. Vzhľadom na kladné celé čísla a a b , pretože ocenenie (t. j. najvyššia mocnina čísla 2 vydeľujúceho číslo) 2b 2 je nepárne, zatiaľ čo ocenenie a 2 je párne, musia to byť odlišné celé čísla, teda | 2b 2 − a 2 | ≥ 1. Potom [21]

Dôkaz diofantickými rovnicami Upraviť

x, r z
Oba dokonca Rovnomerné Nemožné. Uvedená diofantínová rovnica je primitívna a preto neobsahuje žiadne spoločné faktory.
Oba nepárne Zvláštny Nemožné. Súčet dvoch nepárnych čísel neprodukuje nepárne číslo.
Oba dokonca Zvláštny Nemožné. Súčet dvoch párnych čísel neprodukuje nepárne číslo.
Jeden párny, iný nepárny Rovnomerné Nemožné. Súčet párneho a nepárneho čísla neprodukuje párne číslo.
Oba nepárne Rovnomerné Možné
Jeden párny, iný nepárny Zvláštny Možné

čo je nemožné. Preto je vylúčená aj piata možnosť, ktorá ponecháva šiestu ako jedinú možnú kombináciu, ktorá obsahuje riešenia, ak existujú.

Rozšírenie tejto lemmy vedie k tomu, že nikdy nemožno pridať dva rovnaké štvorce celého čísla, aby vznikol ďalší štvorček celého čísla, aj keď rovnica nie je v najjednoduchšej podobe.

Lema ale dokazuje, že súčet dvoch rovnakých štvorcov celého čísla nemôže vyprodukovať ďalší štvorec celého čísla.

Polovica √ 2, tiež prevrátená hodnota √ 2, je bežnou veličinou v geometrii a trigonometrii, pretože jednotkový vektor, ktorý zviera s osami v rovine uhol 45 °, má súradnice

Jedna zaujímavá vlastnosť √ 2 je

Súvisí to s vlastnosťou pomerov striebra.

√ 2 možno vyjadriť aj ako kópie imaginárnej jednotky i pomocou iba druhej odmocniny a aritmetických operácií, ak je symbol odmocniny interpretovaný vhodne pre komplexné čísla i a -i :

√ 2 je tiež jediné skutočné číslo iné ako 1, ktorého nekonečný tetrate (t. J. Nekonečná exponenciálna veža) sa rovná jeho štvorcu. Inými slovami: ak pre c & gt 1, X1 = c a Xn+1 = c Xn pre n & gt 1, limit Xn sa bude volať ako n → ∞ (ak tento limit existuje) f(c). Potom je √ 2 jediné číslo c & gt 1 pre ktoré f(c) = c 2. Alebo symbolicky:

pre m odmocniny a iba jeden znak mínus. [23]

Vzhľadovo podobný, ale s konečným počtom členov, sa √ 2 objavuje v rôznych trigonometrických konštantách: [24]

Nie je známe, či √ 2 je normálne číslo, silnejšia vlastnosť ako iracionalita, ale štatistické analýzy jeho binárnej expanzie sú v súlade s hypotézou, že je normálne zakladať dva. [25]

Úpravy sérií a výrobkov

Taylorova séria √ 1+ X s X = 1 a pomocou dvojitého faktoriálu n!! dáva

Konvergencia tejto série sa dá urýchliť pomocou Eulerovej transformácie, ktorá produkuje

Nie je známe, či √ 2 možno reprezentovať vzorcom typu BBP. Vzorce typu BBP sú však známe pre π √ 2 a √ 2 ln (1+ √ 2). [26]

Toto číslo možno reprezentovať nekonečnou sériou egyptských zlomkov, pričom menovatele sú definované 2. pojmom Fibonacciho relačného vzťahu a (n) = 34a (n-1) -a (n-2), a (0 ) = 0, a (1) = 6. [27]

Pokračujúca časť Úpravy

Druhá odmocnina dvoch má nasledujúce pokračujúce zastúpenie zlomkov:

Vnorené námestie Upraviť

Nasledujúce vnorené štvorcové výrazy konvergujú k √ 2:

Veľkosť papiera Upraviť

V roku 1786 nemecký profesor fyziky Georg Lichtenberg [28] zistil, že každý list papiera, ktorého dlhá strana je √ 2 krát dlhšia ako jej krátka strana, je možné zložiť na polovicu a zarovnať s kratšou stranou, aby sa vytvoril list presne rovnakých rozmerov ako pôvodné. This ratio of lengths of the longer over the shorter side guarantees that cutting a sheet in half along a line results in the smaller sheets having the same (approximate) ratio as the original sheet. When Germany standardised paper sizes at the beginning of the 20th century, they used Lichtenberg's ratio to create the "A" series of paper sizes. [28] Today, the (approximate) aspect ratio of paper sizes under ISO 216 (A4, A0, etc.) is 1: √ 2 .

Physical sciences Edit

There are some interesting properties involving the square root of 2 in the physical sciences:


In statistics, the term “standard error” of a statistic refers to the estimate of the standard deviation of the sample mean from the true population mean. To put it simply, just as standard deviation measures each individual’s dispersion value from the sample mean, the standard error of mean measures the dispersion of all the sample means around the population mean.

Download Corporate Valuation, Investment Banking, Accounting, CFA Calculator & others

The formula for standard error can be derived by dividing the sample standard deviation by the square root of the sample size. Although population standard deviation should be used in the computation, it is seldom available, and as such a sample, the standard deviation is used as a proxy for population standard deviation. Mathematically, it is represented as,

  • s: √Σ n i(xi-x̄) 2 / n-1
  • Xi: i th Random Variable
  • : Sample Mean
  • n: Sample Size

Examples of Standard Error Formula (With Excel Template)

Let’s take an example to understand the calculation of Coupon Bond in a better manner.

Standard Error Formula – Example #1

Let us take the example of a survey where 100 respondents were asked to provide their feedback on the recently concluded college fest. They were asked to rate the fest on a scale of 1 to 5, with 5 being the best. Now, a random sampling method was used to build a sample of 5 responses out of the 100 responses. The selected responses are – 3, 2, 5, 3 and 4. Calculate the standard error of the statistic based on the selected responses.

Sample Mean ( x̄ ) is calculated using the formula given below

Similarly Calculated as below

Standard Deviation (s) is calculated using the formula given below

s = √Σ n i(xi-x̄) 2 / n-1

Standard Error is calculated using the formula given below

Standard Error = s / √n

Therefore, the standard error of the sample mean is 0.51.

Standard Error Formula – Example #2

Let us take the example of a survey conducted at an office in New York where around 1,000 employees were asked how much they liked the work that they were doing in their current profile. They were to rate on a scale of 1 to 10, with 10 being the best. Then a sample of 10 responses was selected, and the responses are – 4, 5, 8, 10, 9, 5, 9, 8, 9 and 7. Calculate the standard error of the statistic based on the selected responses.

Sample Mean ( x̄ ) is calculated using the formula given below

  • Sample Mean ( x̄ ) = (4 + 5 + 8 + 10 + 9 + 5 + 9 + 8 + 9 + 7) / 10
  • Sample Mean ( x̄ )= 7.2

Similarly Calculated as below

Standard Deviation (s) is calculated using the formula given below

s = √Σ n i(xi-x̄) 2 / n-1

Standard Error is calculated using the formula given below

Standard Error = s / √n

Therefore, the standard error of the sample mean is 0.77.

Explanation

The formula for standard error can be derived by using the following steps:

Step 1: Firstly, collect the sample variables from the population-based on a certain sampling method. The sample variables are denoted by x such that xi refers to the i th variable of the sample.

Step 2: Next, determine the sample size, which is the total number of variables in the sample. It is denoted by n.

Step 3: Next, compute the sample mean, which can be derived by dividing the summation of all the variables in the sample (step 1) by the sample size (step 2). It is denoted by, and mathematically it is represented as,

Step 4: Next, compute the sample standard deviation (s), which involves a complex calculation that uses each sample variable (step 1), sample mean (step 3) and sample size (step 2) as shown below.

s = √Σ n i(xi-x̄) 2 / n-1

Step 5: Finally, the formula for standard error can be derived by dividing the sample standard deviation (step 4) by the square root of the sample size (step 2), as shown below.

Standard Error = s / √n

Relevance and Use of Standard Error Formula

It is very important to understand the concept of standard error as it predominantly used by statisticians as it allows them to measure the precision of their sampling method. Statisticians usually use the sample from a large pool of data as it is difficult to process such a huge data set, and as such, sampling makes the task a lot easier. So, standard error helps estimate how far the sample mean from the true population means.

In the case of finite population standard deviation, an increase in sample size will eventually reduce the standard error of the sample mean to zero as the population’s estimation will improve. Additionally, the sample standard deviation will also become approximately equal to the population standard deviation with the increase in sample size.

In the normally distributed sampling distribution, the sample mean, quantiles of the normal distribution and standard error can be used in the calculation of the population mean’s confidence intervals.**

Standard Error Formula Calculator

You can use the following Standard Error Formula Calculator

Recommended Articles

This is a guide to Standard Error Formula. Here we discuss how to calculate Standard Error along with practical examples and a downloadable excel template. You may also look at the following articles to learn more –


Holladay 1 Formula

Each of the two tables listed below assume an average pre-refractive surgery corneal power of 43 D and implantation of an Alcon SA60AT intraocular lens.

Po MYOPIC Keratorefractive Surgery
IOL Power Adjustment Table for Holladay 1 Formula

ADD TO: Based on the Aramberri "Double K" method, the numbers in each row of the MYOPIC refractive correction represent the amount in diopters that must be added to the calculated IOL power when using the Holladay 1 Formula.

MYOPIC Axial Length (mm)
Refractive
Correction
(D)
20 22 24 26 28 30
2 0.5 0.5 0.5 0.4 0.3 0.1
3 0.7 0.7 0.7 0.7 0.4 0.2
4 0.9 1.0 1.0 0.9 0.6 0.4
5 1.2 1.2 1.3 1.2 0.8 0.5
6 1.4 1.5 1.6 1.5 1.0 0.7
7 1.6 1.7 1.8 1.7 1.2 0.9
8 1.9 2.0 2.1 2.0 1.5 1.0
9 2.1 2.2 2.4 2.3 1.7 1.2
10 2.4 2.5 2.7 2.6 1.9 1.4

Po HYPEROPIC Keratorefractive Surgery
IOL Power Adjustment Table for Holladay 1 Formula

SUBTRACT FROM: Based on the Aramberri "Double K" method, the numbers in each row of the HYPEROPIC refractive correction represent the amount in diopters that must be subtracted from the calculated IOL power when using the Holladay 1 Formula. If no number appears, it means that the formula is not applicable for that combination of axial length and refractive correction.

HYPEROPIC Axial Length (mm)
Refractive
Correction
(D)
20 22 24 26 28 30
2 0.4 0.4 0.5 0.4 0.2 0.0
3 0.6 0.7 0.7 0.5 0.2 --
4 0.9 0.9 0.9 0.6 0.4 --
5 1.1 1.0 1.0 0.7 -- --
6 1.1 1.1 1.1 0.7 ----

The above two tables were adopted from the following:

Aramberri J. Intraocular lens power calculation after corneal refractive surgery: Double K method. J Cataract Refract Surg 2003 29(11): 2063-2068.

Koch, D., Wang I. Calculating IOL power in eyes that have had refractive surgery. J Cataract Refract Surg 2003 29(11) 2039-2042.

East Valley Ophthalmology
5620 East Broadway Road
Mesa, Arizona 85206

Tel: +1-480-981-6111
FAX: +1-480-985-2426

Arizona's Top Eye Doctors - East Valley Ophthalmology provides this online information for educational and communication purposes only and it should not be construed as personal medical advice. Information published on this website is not intended to replace, supplant, or augment a consultation with an eye care professional regarding the viewer/user's own medical care. East Valley Ophthalmology's disclaims any and all liability for injury or other damages that could result from use of the information obtained from this site. Please read our full Terms, Privacy, Infringement


Mean is a point in a data set which is the average of all the data point we have in a set. It is basically arithmetic average of the data set and can be calculated by taking a sum of all the data points and then dividing it by the number of data points we have in data set. In statistics, mean is the most common method to measure the center of a data set. It’s a very basic yet important part of the statistical analysis of data. If we calculate the average value of the population set, then it is called the population mean. But sometimes what happens is that population data is very huge and we cannot perform analysis on that data set. So in that case, we take a sample out of it and take an average. That sample basically represents the population set and mean is called a sample mean. Mean value is the average value which will fall between the maximum and minimum value in data set but it will not be the number in the data set.

Download Corporate Valuation, Investment Banking, Accounting, CFA Calculator & others

A formula for Mean is given by:

There is another way of calculating mean which is not very commonly used. It is called Assumed mean method. In that method, a random value is selected from the data set and assumed to be mean. Then the deviation of the data points from this value is calculated. So mean is given by:

Examples of Mean Formula (With Excel Template)

Let’s take an example to understand the calculation of Mean formula in a better manner.

Mean Formula – Example #1

Let say you have a data set with 10 data points and we want to calculate mean for that.

Mean is calculated using the formula given below

Mean = Sum of All Data Points / Number of Data Points

Let’s use Assumed Mean method to find mean in the same example.

Let’s assume that the mean for the given data set is 40. So Deviations will be calculated as:

For 1st data point, 4 – 40 = -36

The result will be as given below.

Similarly, We have to calculate deviation for all the data points.

Mean is calculated using the formula given below

Mean = Assumed Mean + (Sum of All Deviations / Number of Data Points)

  • Mean = 40 + (-36 -34-32-31-18+43+58+5+47-30) / 10
  • Mean = 40 + (-28) / 10
  • Mean = 40 + (-2.8)
  • Mean = 37.2

Mean Formula – Example #2

Let us take IBM stock and we will take its historical prices from the last 10 months and will calculate the annual return for 10 months.

Mean is calculated using the formula given below

Mean = Sum of All Data Points / Number of Data Points

  • Mean = (3.74% + 1.07% +4.34% + (-23.66)% + 7.66% + (-7.36)% + 18.25% + 2.76% + 1.48% + 0.00%) / 10
  • Mean = 8.28% / 10
  • Mean = 0.83%

So if you see here, in the last 10 months, IBM return has fluctuated very much.

Overall, in the last 10 months, the average return is only 0.83%

Explanation

Mean is basically a simple average of the data points we have in a data set and it helps us to understand the average point of the data set. But there are certain limitations of using mean. Mean value is easily distorted by extreme values/outliers. These extreme values can be a very small or very large value which can distort the mean. For example: Let say we have returns of stock for the last 5 years given by 5%, 2%, 1%, 5%, -30%. Mean for these values is -3.4% ((5+2+1+5-30)/5). So although the stock has provided a positive return for the first 4 years, on an average we have a negative mean of 3.4%. Similarly, if we have a project for which we are analyzing the cash flow for the next 5 years. Let say the cash flows are: -100, -100, -100, -100, +1000.

Mean is 600 / 5 = 120. Although we have a positive mean, we are only getting money in last year of the project and it can happen that if we incorporate time value of money, this project will not look as lucrative as it is now.

Relevance and Uses of Mean Formula

Mean is very simple yet one of the crucial elements of statistics. It is the basic foundation of statistical analysis of data. It is very easy to calculate and easy to understand also. If we have data set with data points which are scattered all over the place, mean helps us to see what is the average of that data point. For example : If a stock X has returns from last 5 years as 20%, -10%, 3%, -7%, 30%. If you see all the years have different returns. Mean for this is 7.2% ((20-10+3-7+30)/5). So we can now simply say that on an average, the stock has given us the yearly return of 7.2%.

But if we see mean in a silo, it has relatively less significance because of the flaws discussed above and it is more of a theoretical number. So we should use mean value very carefully and should not analyze the data only based on the mean.

Mean Formula Calculator

You can use the following Mean Calculator

Recommended Articles

This has been a guide to Mean Formula. Here we discuss how to calculate Mean along with practical examples. We also provide Mean calculator with downloadable excel template. You may also look at the following articles to learn more –


7.2 Kinetic Energy and the Work-Energy Theorem

The information presented in this section supports the following AP® learning objectives and science practices:

  • 3.E.1.1 The student is able to make predictions about the changes in kinetic energy of an object based on considerations of the direction of the net force on the object as the object moves. (S.P. 6.4, 7.2)
  • 3.E.1.2 The student is able to use net force and velocity vectors to determine qualitatively whether kinetic energy of an object would increase, decrease, or remain unchanged. (S.P. 1.4)
  • 3.E.1.3 The student is able to use force and velocity vectors to determine qualitatively or quantitatively the net force exerted on an object and qualitatively whether kinetic energy of that object would increase, decrease, or remain unchanged. (S.P. 1.4, 2.2)
  • 3.E.1.4 The student is able to apply mathematical routines to determine the change in kinetic energy of an object given the forces on the object and the displacement of the object. (S.P. 2.2)
  • 4.C.1.1 The student is able to calculate the total energy of a system and justify the mathematical routines used in the calculation of component types of energy within the system whose sum is the total energy. (S.P. 1.4, 2.1, 2.2)
  • 4.C.2.1 The student is able to make predictions about the changes in the mechanical energy of a system when a component of an external force acts parallel or antiparallel to the direction of the displacement of the center of mass. (S.P. 6.4)
  • 4.C.2.2 The student is able to apply the concepts of conservation of energy and the work-energy theorem to determine qualitatively and/or quantitatively that work done on a two-object system in linear motion will change the kinetic energy of the center of mass of the system, the potential energy of the systems, and/or the internal energy of the system. (S.P. 1.4, 2.2, 7.2)
  • 5.B.5.3 The student is able to predict and calculate from graphical data the energy transfer to or work done on an object or system from information about a force exerted on the object or system through a distance. (S.P. 1.5, 2.2, 6.4)

Work Transfers Energy

What happens to the work done on a system? Energy is transferred into the system, but in what form? Does it remain in the system or move on? The answers depend on the situation. For example, if the lawn mower in Figure 7.2(a) is pushed just hard enough to keep it going at a constant speed, then energy put into the mower by the person is removed continuously by friction, and eventually leaves the system in the form of heat transfer. In contrast, work done on the briefcase by the person carrying it up stairs in Figure 7.2(d) is stored in the briefcase-Earth system and can be recovered at any time, as shown in Figure 7.2(e). In fact, the building of the pyramids in ancient Egypt is an example of storing energy in a system by doing work on the system. Some of the energy imparted to the stone blocks in lifting them during construction of the pyramids remains in the stone-Earth system and has the potential to do work.

In this section we begin the study of various types of work and forms of energy. We will find that some types of work leave the energy of a system constant, for example, whereas others change the system in some way, such as making it move. We will also develop definitions of important forms of energy, such as the energy of motion.

Net Work and the Work-Energy Theorem

We know from the study of Newton’s laws in Dynamics: Force and Newton's Laws of Motion that net force causes acceleration. We will see in this section that work done by the net force gives a system energy of motion, and in the process we will also find an expression for the energy of motion.

Let us start by considering the total, or net, work done on a system. Net work is defined to be the sum of work done on an object. The net work can be written in terms of the net force on an object. F net F net size 12 > > <> In equation form, this is W net = F net d cos θ W net = F net d cos θ size 12 > =F rSub < size 8<"net">> d"cos"θ> <> where θ θ size 12 <θ><> is the angle between the force vector and the displacement vector.

Real World Connections: Work and Direction

Consider driving in a car. While moving, you have forward velocity and therefore kinetic energy. When you hit the brakes, they exert a force opposite to your direction of motion (acting through the wheels). The brakes do work on your car and reduce the kinetic energy. Similarly, when you accelerate, the engine (acting through the wheels) exerts a force in the direction of motion. The engine does work on your car, and increases the kinetic energy. Finally, if you go around a corner at a constant speed, you have the same kinetic energy both before and after the corner. The force exerted by the engine was perpendicular to the direction of motion, and therefore did no work and did not change the kinetic energy.

Net work will be simpler to examine if we consider a one-dimensional situation where a force is used to accelerate an object in a direction parallel to its initial velocity. Such a situation occurs for the package on the roller belt conveyor system shown in Figure 7.4.

The force of gravity and the normal force acting on the package are perpendicular to the displacement and do no work. Moreover, they are also equal in magnitude and opposite in direction so they cancel in calculating the net force. The net force arises solely from the horizontal applied force F app F app and the horizontal friction force f f . Thus, as expected, the net force is parallel to the displacement, so that θ = 0º θ = 0º and cos θ = 1 cos θ = 1 size 12 <"cos"q=1><> , and the net work is given by


Advances in Quantum Chemistry

C Weyl's Theory and the Spectrum

In this addendum, we will derive the spectral function from Weyl's theory and in particular demonstrate the relationship between the imaginary part of the Weyl–Titchmarsh m-function, mJa, and the concept of spectral concentration. For simplicity we will restrict the discussion to the spherical symmetric case with the radial coordinate defined on the real half-line. Remember that m could be defined via the Sturm–Liouville problem on the radial interval [0,b] (if zero is a singular point, the interval [a,b], b > a > 0), and the boundary condition at the left boundary is given by [commensurate with Eq. (5) ]

kde α could be chosen so that ψ is regular at origin (see Ref. [46] for details regarding this determination in practical applications) and the requirement that χ defined by

satisfies a real boundary condition at b, i.e.,

The connection with Weyl's theory comes from the condition that χ should remain square integrable as the right boundary b “moves to infinity” with the parameter λ = E + i ε kept nonreal until the end, see more below, before the approach to the real axis is made. Equation (C.3) describes m as a meromorphic function of λ which, when cot β varies on the real line, lies on a circle C.b defined by (remember imposing the real boundary condition (C.3) at b)

with the center mb and the radius rb given by

Using the standard Green's formula

it is straightforward to see that points m are on C.b if and only if

As b → ∞ , Weyl proved, see Ref. [32] , that C.b converges to either a limit circle C. or to a limit point m. In the first situation, all solutions are square integrable and in the latter case the only unique square integrable solution (at the singular point here being ∞) is

If R ( λ ) = E equals a Sturm–Liouville eigenvalue Ek then the normalized eigenfunction uk(r) must be proportional to ψ k ( E k , r ) (note that the dependence on the right-hand boundary is not explicitly indicated in u k and E k ) , i.e.,

From Eq. (C.2) we conclude that the square integrable solution χ contains the independent solution ϕ, hence m(λ) exhibits a (simple) pole at the eigenvalue Ek. The fundamental importance of the coefficients dbk is obvious since they define the spectral function ρ(E) to be used in the completeness relation and the eigenfunction expansion. The former gives

Green's formula Eqs. (C.6) and (C.10) yields

Summarizing, ψ k ( E k , r ) (proportional to uk) is the Sturm–Liouville solution of the differential equation

on the interval [a,b] fulfilling boundary conditions at a a b, see Eqs. (C.1) and (C.3) . The coefficients dbk are the proportionality factors that relates ψk s uk. Note that χ is a solution of Eq. (1) , defines through Eqs. (C.1)–(C.4) and most importantly with λ = E + i ε ε ≠ 0 . As the next step, we take the limit b → ∞ , assuming the limit point case obtaining uniquely m a ρ (the limits exist also in the limit circle case, but not uniquely).

For the case of a point spectrum, σP, the spectral function, ρ, is a constant function of E, with discrete steps d ∞ k 2 at each point eigenvalue Ek. For the continuous spectrum, σAC, one obtains


Pozri si video: КОГДА НУЖНО МНОГО НОД? (December 2021).