Články

12.5: Počítanie


Počítanie? Už viete, ako počítať, alebo by ste nechodili na matematiku na vysokej škole, však? No áno, ale to, čo tu skutočne preskúmame, sú spôsoby počítania efektívne. Keď sa v tejto kapitole dostaneme k pravdepodobnostným situáciám o niečo neskôr, budeme musieť nejaké spočítať veľmi veľké počty, napríklad počet možných výherných žrebov. Jedným zo spôsobov, ako to urobiť, by bolo zapísať si každú možnú množinu čísel, ktorá by sa mohla zobraziť na tikete, ale verte mi: nechcete to robiť.

Základné počítanie

Začneme však s nejakými rozumnejšími druhmi problémov s počítaním, aby sme rozvinuli nápady, ktoré čoskoro budeme potrebovať.

Príklad 21

Predpokladajme, že v konkrétnej reštaurácii máte na výber z troch predjedál (polievka, šalát alebo tyčinky) a päť možností pre hlavné jedlo (hamburger, sendvič, quiche, fajita alebo pizza). Koľko rôznych jedál máte k dispozícii, ak si môžete pre svoje jedlo vybrať presne jednu položku z každej kategórie?

Riešenie

Riešenie 1: Jedným zo spôsobov riešenia tohto problému by bolo systematické zostavenie zoznamu všetkých možných jedál:

( begin {array} {lll} text {polievka + hamburger} & text {polievka + sendvič} & text {polievka + quiche} text {polievka + fajita} & text {polievka + pizza} & text {šalát + hamburger} text {šalát + sendvič} & text {šalát + quiche} & text {šalát + fajita} text {šalát + pizza} & text {tyčinky + hamburger} & text {tyčinky + sendvič} text {tyčinky + quiche} & text {tyčinky + fajita} & text {tyčinky + pizza} end {pole} )

Za predpokladu, že sme to robili systematicky a že sme nepremeškali žiadne možnosti ani sme neuviedli žiadnu možnosť viackrát, by odpoveď bola 15. Takto by ste mohli ísť do reštaurácie 15 nocí za sebou a každú noc si dať iné jedlo.

Riešenie 2: Ďalším spôsobom, ako vyriešiť tento problém, by bolo uviesť všetky možnosti v tabuľke:

( begin {pole} {| l | l | l | l | l | l |}
hline & textbf {hamburger} & textbf {sendvič} & textbf {quiche} & textbf {fajita} & textbf {pizza}
hline textbf {polievka} & text {polievka + hamburger} & & & &
hline textbf {šalát} & text {šalát + hamburger} & & & &
hline textbf {bread} & e t c. & & & &
hline
end {pole} )

V každej z buniek v tabuľke sme mohli uviesť zodpovedajúce jedlo: polievka + hamburger v ľavom hornom rohu, šalát + hamburger pod ním atď. Ale ak by nás to skutočne nezaujímalo čo možné jedlá sú iba koľko možné jedlá existujú, mohli by sme spočítať počet buniek a dospieť k odpovedi 15, ktorá sa zhoduje s našou odpoveďou z prvého riešenia. (Vždy je dobré, keď problém vyriešite dvoma rôznymi spôsobmi a dostanete rovnakú odpoveď!)

Riešenie 3: Už máme dve úplne dobré riešenia. Prečo potrebujeme tretiu? Prvá metóda nebola príliš systematická a mohli by sme ľahko vynechať. Druhá metóda bola lepšia, ale predpokladajme, že okrem predjedla a hlavného jedla sme problém ešte skomplikovali pridaním dezertov do ponuky: použili sme riadky tabuľky pre predjedlá a stĺpce pre hlavné jedlá - kam pôjdu zákusky? Potrebovali by sme tretí rozmer a keďže kreslenie 3-D tabuliek na 2-D stránke alebo obrazovke počítača nie je strašne jednoduché, potrebujeme lepšiu cestu pre prípad, že by sme mali namiesto troch kategórií zvoliť formu iba tri kategórie.

Takže späť k problému v príklade. Čo iné môžeme robiť? Nakreslíme a stromový diagram:

Toto sa nazýva „stromový“ diagram, pretože v každej fáze sa rozvetvujeme, podobne ako vetvy na strome. V tomto prípade sme najskôr nakreslili päť vetiev (jednu pre každé hlavné jedlo) a potom pre každú z týchto vetiev nakreslíme ďalšie tri vetvy (jednu pre každé predjedlo). Spočítame počet pobočiek na konečnej úrovni a dostaneme (prekvapenie, prekvapenie!) 15.

Ak by sme chceli, mohli by sme namiesto toho nakresliť tri vetvy v prvej fáze pre tri predjedlá a potom päť vetiev (jedna pre každý hlavný chod), ktoré sa rozvetvujú z každej z týchto troch vetiev.

Dobre, takže teraz vieme, ako počítať možnosti pomocou tabuliek a stromových diagramov. Tieto metódy budú v určitých prípadoch naďalej užitočné, ale predstavte si hru, kde máte dva balíčky kariet (s 52 kartami v každom balíčku) a z každého balíka vyberiete jednu kartu. Naozaj chcete nakresliť tabuľku alebo stromový diagram a určiť počet výsledkov tejto hry?

Vráťme sa k predchádzajúcemu príkladu, ktorý zahŕňal výber jedla z troch predjedál a piatich hlavných chodov, a pozrime sa na druhé riešenie, ktoré využívalo tabuľku. Všimnite si, že jedným zo spôsobov, ako spočítať počet možných jedál, je jednoducho očíslovať každú z príslušných buniek v tabuľke, ako sme to urobili vyššie. Ale ďalším spôsobom, ako spočítať počet buniek v tabuľke, je vynásobiť počet riadkov (3) a počet stĺpcov (5), aby ste získali 15. Všimnite si, že by sme mohli dospieť k rovnakému výsledku aj bez vytvorenia tabuľky. jednoduchým vynásobením počtu možností predjedla (3) a počtu možností hlavného jedla (5). Túto techniku ​​zovšeobecňujeme ako základné pravidlo počítania:

Základné pravidlo počítania

Ak sa od nás požaduje, aby sme vybrali jednu položku z každej z dvoch samostatných kategórií, kde v prvej kategórii sú (m ) položky a v druhej kategórii (n ) položky, potom je celkový počet dostupných možností (m cdot n )

Toto sa niekedy nazýva pravidlo násobenia pravdepodobností.

Príklad 22

V zozname čítaní pre vysokoškolský kurz angličtiny je 21 románov a 18 zväzkov poézie. Koľko rôznych spôsobov, ako si môže študent vybrať jeden román a jeden zväzok poézie na prečítanie počas štvrťroka?

Riešenie

Existuje 21 možností z prvej kategórie a 18 pre druhú, takže existuje (21 cdot 18 = 378 ) možností.

Základné pravidlo počítania je možné rozšíriť, ak existujú viac ako dve kategórie, a to opakovaným uplatnením, ako vidíme v nasledujúcom príklade.

Príklad 23

Predpokladajme, že v konkrétnej reštaurácii máte na výber z predjedla (polievka, šalát alebo tyčinky), päť možností pre hlavné jedlo (hamburger, sendvič, quiche, fajita alebo cestoviny) a dve možnosti ako dezert (koláč alebo zmrzlina). Koľko rôznych jedál máte k dispozícii, ak si môžete pre svoje jedlo vybrať presne jednu položku z každej kategórie?

Riešenie

K dispozícii sú 3 možnosti predjedla, 5 pre hlavné jedlo a 2 ako dezert, takže existujú možnosti (3 cdot 5 cdot 2 = 30 ).

Príklad 24

Kvíz sa skladá z 3 otázok typu pravda alebo nepravda. Koľko spôsobov môže študent odpovedať na kvíz?

Riešenie

Sú 3 otázky. Každá otázka má 2 možné odpovede (pravdivú alebo nepravdivú), takže na kvíz sa dá odpovedať (2 cdot 2 cdot 2 = 8 ) rôznymi spôsobmi. Pripomeňme, že ďalší spôsob zápisu (2 cdot 2 cdot 2 ) je (2 ^ {3} ), ktorý je oveľa kompaktnejší.

Vyskúšajte to teraz 6

Predpokladajme, že v konkrétnej reštaurácii máte osem možností predjedla, jedenásť možností pre hlavné jedlo a päť možností ako dezert. Koľko rôznych jedál máte k dispozícii, ak si môžete pre svoje jedlo vybrať presne jednu položku z každej kategórie?

Odpoveď

(8 cdot 11 cdot 5 = 440 ) kombinácie ponúk

Permutácie

V tejto časti vyvinieme ešte rýchlejší spôsob riešenia niektorých problémov, ktoré sme sa už naučili riešiť inými prostriedkami. Začnime niekoľkými príkladmi.

Príklad 25

Koľkými rôznymi spôsobmi je možné usporiadať písmená slova MATH tak, aby vytvorili štvorpísmenové kódové slovo?

Riešenie

Tento problém je trochu iný. Namiesto výberu jednej položky z každej z niekoľkých rôznych kategórií opakovane vyberáme položky z kategórie to isté kategórie (kategória je: písmená slova MATH) a zakaždým, keď vyberieme položku, urobíme to nevymieňajte to, takže v ďalšej fáze je o jednu voľbu menej: máme 4 možnosti pre prvé písmeno (povedzme, že vyberieme A), potom 3 možnosti pre druhé (M, T a H; povedzme, že vyberieme H), potom 2 možnosti pre ďalšie písmeno (M a T; povedzme, že vyberieme M) a iba jedna voľba v poslednej fáze (T). Existujú teda (4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 24 ) spôsoby, ako hláskovať kód v hodnote písmen MATH.

V tomto príklade sme potrebovali vypočítať (n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1 ). Tento výpočet sa často ukazuje v matematike a nazýva sa faktoriál, a je označený (n )!

Faktoriál

(n! = n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1 )

Príklad 26

Koľko spôsobov je možné rozdeliť päť rôznych cien dverí medzi päť ľudí?

Riešenie

Existuje 5 možností výhier pre prvú osobu, 4 možnosti pre druhú atď. Počet spôsobov, ako možno ceny rozdeliť, bude (5! = 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 120 ).

Teraz zvážime niekoľko mierne odlišných príkladov.

Príklad 27

Charitatívnej výhody sa zúčastňuje 25 ľudí a tri darčekové poukazy sa rozdávajú ako ceny za dvere: jeden darčekový poukaz je v hodnote 100 dolárov, druhý v hodnote 25 dolárov a tretí v hodnote 10 dolárov. Koľko rôznych spôsobov, ako možno oceniť tieto tri darčekové certifikáty, za predpokladu, že žiadna osoba nedostane viac ako jednu cenu?

Riešenie

Pri použití základného pravidla počítania existuje 25 možností pre osobu, ktorá dostane certifikát ( $ 100 ), 24 ďalších možností pre ( $ 25 ) certifikát a 23 možností pre ( $ 10 ) certifikát, takže existuje (25 cdot 24 cdot 23 = 13 800 ) spôsobov, ako je možné ceny udeľovať.

Príklad 28

Osem šprintérov sa prebojovalo do olympijského finále v behu na 100 metrov. Koľkými rôznymi spôsobmi možno udeliť zlaté, strieborné a bronzové medaily?

Riešenie

Podľa základného pravidla počítania existuje 8 možností pre víťaza zlatej medaily, 7 zvyšných možností pre striebro a 6 pre bronz, takže existujú spôsoby ([8 cdot 7 cdot 6 = 336 ), ako môžu tieto tri medaily bude udelených 8 bežcom.

Upozorňujeme, že v týchto predchádzajúcich príkladoch boli udelené darčekové poukážky a olympijské medaily bez výmeny; To znamená, že ak vyberieme víťaza ceny za prvé dvere alebo zlatú medailu, nebudú mať nárok na ďalšie ceny. V každej nasledujúcej fáze riešenia je teda o jednu voľbu menej (25, potom 24, potom 23 v prvom príklade; 8, potom 7, potom 6 v druhom). Porovnajte to so situáciou v teste s možnosťou výberu z viacerých odpovedí, kde môže byť pre každú otázku v teste päť možných odpovedí - A, B, C, D alebo E.

Všimnite si tiež, že poradie výberu bolo dôležité v každom príklade: za prvé ceny troch dverí znamená to, že ste vybrali ako prvé, to, že dostanete podstatne viac peňazí; v príklade olympiády znamená prísť prvý znamená, že namiesto striebornej alebo bronzovej získate zlatú medailu. V obidvoch prípadoch, ak by sme vybrali tých istých troch ľudí v inom poradí, mohla by byť iná osoba, ktorá získala cenu 100 dolárov, alebo iný zlatník. (Porovnajte to so situáciou, keď by sme mohli z klobúka vytiahnuť tri mená, aby každý dostal darčekový poukaz v hodnote 10 dolárov; v takom prípade je poradie výberu nie dôležité, pretože každý z troch ľudí dostane rovnakú cenu. Situácie, v ktorých je objednávka nie o dôležitých bude pojednané v nasledujúcej časti.)

Situáciu v dvoch vyššie uvedených príkladoch môžeme zovšeobecniť na akýkoľvek problém bez výmeny kde poradie výberu je dôležité. Ak usporiadame v poradí (r ) položky z (n ) možností (namiesto 3 z 25 alebo 3 z 8 ako v predchádzajúcich príkladoch), počet možných usporiadaní bude daný

(n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots (n-r + 1) )

Ak nevidíte, prečo ((n-r + 1) ) je to správne číslo, ktoré sa použije pre posledný faktor, stačí si spomenúť na prvý príklad v tejto časti, kde sme vypočítali (25 cdot 24 cdot 23 ) dostať (13 800. ) V tomto prípade (n = 25 ) a (r = 3, ) takže (n-r + 1 = 25-3 + 1 = 23, ) čo je presne to správne číslo pre výsledný faktor.

Prečo by sme teraz chceli použiť tento komplikovaný vzorec, keď je skutočne jednoduchšie použiť základné pravidlo počítania, ako sme to urobili v prvých dvoch príkladoch? Tento vzorec vlastne nebudeme používať až tak často, vyvinuli sme ho iba preto, aby sme mohli k situácii, keď z (n ) vyberáme (r ) položiek, pripojiť špeciálny zápis a špeciálnu definíciu. možnosti bez výmeny a kde poradie výberu je dôležité. V tejto situácii napíšeme:

Permutácie

(_ {n} P_ {r} = n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots (n-r + 1) )

Hovoríme, že existujú (_ {n} P_ {r} ) permutácie veľkosti (r ), ktorú je možné zvoliť z (n ) možností bez výmeny kedy na poriadku záleží.

Ukazuje sa, že tento výsledok môžeme jednoduchšie vyjadriť pomocou faktoriálov.

(_ {n} P_ {r} = frac {n!} {(n-r)!} )

V praxi zvyčajne na výpočet permutácií používame skôr technológiu ako faktoriály alebo opakované násobenie.

Príklad 29

Mám deväť obrazov a mám priestor na vystavenie iba štyroch z nich naraz na svoju stenu. Koľko rôznych spôsobov by som to mohol urobiť?

Riešenie

Keďže vyberáme 4 obrazy z 9 bez výmeny kde poradie výberu je dôležité existuje (_ 9 P_ {4} = 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 = 3 024 ) permutácií.

Príklad 30

Koľko spôsobov je možné zvoliť výkonný výbor pre štyri osoby (prezident, viceprezident, tajomník, pokladník) zo 16-člennej správnej rady neziskovej organizácie?

Riešenie

Chceme vybrať 4 ľudí zo 16 bez náhrady a tam, kde je dôležité poradie výberu. Takže odpoveď je (_ {16} P_ {4} = 16 cdot 15 cdot 14 cdot 13 = 43 680 ).

Vyskúšajte to teraz 7

Koľko 5 znakových hesiel je možné vytvoriť pomocou písmen A až Z

  1. ak sú povolené opakovania
  2. ak nie sú povolené žiadne opakovania
Odpoveď

Má 26 znakov.

  1. (26^{5}=11,881,376).
  2. ({26} mathrm {P} _ {5} = 26 cdot 25 cdot 24 cdot 23 cdot 22 = 7 893 600 )

Kombinácie

V predchádzajúcej časti sme uvažovali o situácii, keď sme z (n ) možností vybrali (r ) položky bez výmeny a kde poradie výberu bolo dôležité. Teraz uvažujeme o podobnej situácii, v ktorej je poradie výberu nie dôležité.

Príklad 31

Charitatívnej výhody sa zúčastňuje 25 ľudí, pri ktorých sa rozdávajú tri darčekové certifikáty v hodnote 50 dolárov ako ceny za dvere. Koľko rôznych spôsobov, ako možno darčekové poukážky získať, za predpokladu, že žiadna osoba nezíska viac ako jednu cenu?

Riešenie

Pri použití základného pravidla počítania existuje 25 možností pre prvú osobu, 24 zostávajúcich možností pre druhú osobu a 23 pre tretiu osobu, takže existuje (25 cdot 24 cdot 23 = 13 800 ) spôsobov, ako zvoliť troch ľudí. Predpokladajme na chvíľu, že najskôr bude vybraný Abe, druhý Bea a tretí Cindy; toto je jeden z 13 800 možných výsledkov. Ďalším spôsobom, ako udeliť ceny, by bolo zvoliť si najskôr Abeho, Cindyho druhého a Beaho tretieho; toto je ďalší z 13 800 možných výsledkov. Ale tak či onak, Abe, Bea a Cindy dostanú po 50 dolárov, takže nezáleží na poradí, v akom ich vyberieme. V koľkých rôznych objednávkach je možné zvoliť Abe, Bea a Cindy? Ukázalo sa, že je ich 6:

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Ako si môžeme byť istí, že sme ich všetky spočítali? Skutočne vyberáme iba 3 ľudí z 3, takže existujú (3 cdot 2 cdot 1 = 6 ) spôsoby, ako to urobiť; v skutočnosti sme nemuseli uvádzať všetky, stačí použiť permutácie!

Z 13 800 spôsobov, ako vybrať 3 ľudí z 25, teda šesť z nich zahŕňa Abe, Bea a Cindy. Rovnaký argument platí pre každú ďalšiu skupinu troch ľudí (povedzme Abe, Bea a David alebo Frank, Gloria a Hildy), takže sa počíta každá skupina troch osôb šesťkrát. 13 800 číslic je teda šesťkrát príliš veľkých. Počet samostatných skupín troch osôb bude ( frac {13 800} {6} = 2300 ).

Situáciu v tomto príklade môžeme zovšeobecniť vyššie na akýkoľvek problém s výberom zbierky predmetov bez výmeny kde poradie výberu je nie dôležité. Ak vyberáme (r ) položky z (n ) možností (namiesto 3 z 25 ako v predchádzajúcich príkladoch), bude počet možných možností daný tým, že by sme mohli na výpočet použiť tento vzorec . Táto situácia však nastáva tak často, že k tejto situácii pripájame špeciálny zápis a špeciálnu definíciu, keď z (n ) možností vyberáme (r ) položky. bez výmeny kde poradie výberu je nie dôležité.

Kombinácie

Zákon o ideálnom plyne je ľahko zapamätateľný a použiteľný pri riešení problémov, pokiaľ získate vlastné hodnoty a

(_ {n} C_ {r} = frac {_n P_ {r}} {r P_ {r}} )

Hovoríme, že existujú (_ {n} C_ {r} ) kombinácie veľkosti (r ), ktorú je možné zvoliť z (n ) možností bez výmeny kde na poradí nezáleží.

Vzorec kombinácie môžeme napísať aj z hľadiska faktoriálov:

(_ {n} C_ {r} = frac {n!} {(n-r)! r!} )

Príklad 32

Skupina 35 študentov sa vyberie z 35-člennej triedy, ktorá ich bude zastupovať v študentskej rade. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Riešenie

Keďže vyberáme 4 ľudí z 35 bez výmeny kde poradie výberu je nie dôležité existuje = (_ {35} C_ {4} = frac {35 cdot 34 cdot 33 cdot 32} {4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} = 52 360 ) kombinácií.

Vyskúšajte to teraz 8

Výbor pre rozpočtové prostriedky Senátu USA má 29 členov; Podvýbor pre obranu Výboru pre rozpočtové prostriedky má 19 členov. Koľko rôznych 19-členných podvýborov je možné zvoliť z 29 senátorov vo Výbore pre rozpočtové prostriedky, bez ohľadu na stranícke členstvo alebo zvláštne kreslá v podvýbore?

Odpoveď

Na poradí nezáleží. (_ {29} mathrm {C} _ {19} = 20 030 010 ) možných podvýborov

V predchádzajúcom probléme Try It Now sme predpokladali, že 19 členov Podvýboru pre obranu bolo vybraných bez ohľadu na stranícku príslušnosť. V skutočnosti by sa to nikdy nestalo: ak je väčšina republikánov, nikdy by nenechali väčšinu demokratov sedieť (a teda ovládať) žiadny podvýbor. (To isté by samozrejme platilo, keby mali kontrolu demokrati.) Poďme sa teda problémom zaoberať znova, v trochu komplikovanejšej podobe:

Príklad 33

Výbor pre rozpočtové prostriedky Senátu USA má 29 členov, 15 republikánov a 14 demokratov. Podvýbor pre obranu má 19 členov, 10 republikánov a 9 demokratov. Koľko rôznych spôsobov je možné zvoliť členov Podvýboru pre obranu spomedzi 29 senátorov Výboru pre rozpočtové prostriedky?

Riešenie

V takom prípade musíme zvoliť 10 z 15 republikánov a 9 zo 14 demokratov. Existuje (_ {15} C_ {10} = 3003 ) spôsobov výberu 10 republikánov a (_ {14} C_ {9} = 2002 ) spôsobov výberu 9 demokratov. Ale čo teraz? Ako dokončíme problém?

Predpokladajme, že sme uviedli všetky možné 10-členné republikánske skupiny na 3003 lístkoch červeného papiera a všetky možné 9-členné demokratické skupiny na lístkoch modrého papiera z roku 2002. Koľko spôsobov si môžeme zvoliť jeden červený a jeden modrý sklz? Toto je práca pre základné pravidlo počítania! Jednoducho robíme jednu voľbu z prvej kategórie a jednu voľbu z druhej kategórie, rovnako ako v predchádzajúcich problémoch s jedlami v reštaurácii.

Musí existovať (3003 cdot 2002 = 6 012 006 ) možných spôsobov výberu členov podvýboru pre obranu.

Pravdepodobnosť použitia permutácií a kombinácií

Môžeme použiť permutácie a kombinácie, ktoré nám pomôžu odpovedať na zložitejšie otázky týkajúce sa pravdepodobnosti

Príklad 34

Je zvolené 4-miestne číslo PIN. Aká je pravdepodobnosť, že sa nebudú opakovať číslice?

Riešenie

Pre každú číslicu kódu PIN existuje (10 ​​ text {možných hodnôt (menovite:} 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), ), takže (10 ​​ cdot 10 cdot 10 cdot 10 = 10 ^ {4} = 10 000 ) celkových možných čísel PIN.

Aby ste nemali žiadne opakované číslice, museli by sa všetky štyri číslice líšiť, čo je výber bez náhrady. Mohli by sme vypočítať 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 alebo si všimnúť, že je to to isté ako permutácia (_ {10} P_ {4} = 5040 ).

Pravdepodobnosť opakovania nie je počet 4-ciferných čísel PIN bez opakovaných číslic vydelený celkovým počtom 4-ciferných čísel PIN. Táto pravdepodobnosť je ( frac {_ {10} P_ {4}} {10 ^ {4}} = frac {5040} {10000} = 0,504 )

Príklad 35

V lotérii určitého štátu je 48 guľôčok s číslami 1 až 48 umiestnené do automatu a šesť z nich je náhodne vylosovaných. Ak sa šesť vyžrebovaných čísel zhoduje s číslami, ktoré si hráč vybral, vyhráva hráč 1 000 000 dolárov. V tejto lotérii nezáleží na poradí, v akom sú čísla vylosované. Vypočítajte pravdepodobnosť, že výhru v miliónoch dolárov získate, ak si zakúpite jediný žreb.

Riešenie

Aby sme mohli vypočítať pravdepodobnosť, musíme spočítať celkový počet spôsobov, ako je možné nakresliť šesť čísel, a počet spôsobov, ako by sa šesť čísel na hráčovom tikete mohlo zhodovať so šiestimi číslami vytiahnutými zo stroja. Pretože neexistuje ustanovenie, že čísla sú v konkrétnom poradí, počet možných výsledkov losovania je (_ {48} C_ {6} = 12 271 512 ). Z týchto možných výsledkov by iba jeden zodpovedal všetkým šiestim číslam na tikete hráča, takže pravdepodobnosť výhry hlavnej ceny je:

( frac {_6 C_ {6}} {_ {48} C_ {6}} = frac {1} {12271512} približne 0,0000000815 )

Príklad 36

Ak sa v štátnej lotérii z predchádzajúceho príkladu päť zo šiestich vylosovaných čísel zhoduje s číslami, ktoré si hráč vybral, vyhráva hráč druhú cenu vo výške 1 000 dolárov. Vypočítajte pravdepodobnosť, že získate druhú cenu, ak si zakúpite jeden žreb.

Riešenie

Ako je uvedené vyššie, počet možných výsledkov žrebovania lotérie je (_ {48} C_ {6} = 12 271 512 ). Aby ste mohli vyhrať druhú cenu, päť zo šiestich čísel na tikete sa musí zhodovať s piatimi zo šiestich výherných čísel; inými slovami, museli sme zvoliť päť zo šiestich výherných čísel a jedno zo 42 prehratých čísel. Počet spôsobov, ako zvoliť 5 zo 6 výherných čísel, je daný (_ {6} C_ {5} = 6 ) a počet spôsobov, ako zvoliť 1 zo 42 víťazných čísel, je daný (_ {42} C_ {1} = 42 ). Počet priaznivých výsledkov je teda daný základným pravidlom počítania: (_ {6} C_ {5} cdot_ {42} C_ {1} = 6 cdot 42 = 252 ). Pravdepodobnosť výhry druhej ceny teda je.

( frac { left (_ {6} C_ {5} right) left (_ {42} C_ {1} right)} {_ {48} C_ {6}} = frac {252} {12271512} približne 0,0000205 )

Vyskúšajte to teraz 9

Otázka s výberom z viacerých možností v ekonomickom kvíze obsahuje 10 otázok, z ktorých každá má päť možných odpovedí. Vypočítajte pravdepodobnosť náhodného hádania odpovedí a správnych 9 otázok.

Odpoveď

Na skúšku je možné odpovedať (5 ^ {10} = 9 765 625 ) rôznymi spôsobmi. Existuje 10 možných umiestnení pre jednu vynechanú otázku a na každom z týchto umiestnení sú 4 nesprávne odpovede, takže existuje 40 spôsobov, ako by bolo možné na test odpovedať jednou nesprávnou odpoveďou.

( mathrm {P} (9 text {odpovede na správne}) = frac {40} {5 ^ {10}} približne 0,0000041 ) šanca

Príklad 37

Vypočítajte pravdepodobnosť náhodného vytiahnutia piatich kariet z balíčka a získania presne jedného esa.

Riešenie

V mnohých kartových hrách (napríklad v pokri) nie je dôležité poradie, v akom sú karty vylosované (pretože hráč si môže karty v ruke usporiadať ľubovoľným spôsobom); v nasledujúcich problémoch budeme predpokladať, že je to tak, pokiaľ nie je uvedené inak. Preto používame kombinácie na výpočet možného počtu kombinácií 5 kariet, (_ {52} C_ {5} ). Toto číslo pôjde do menovateľa nášho vzorca pravdepodobnosti, pretože ide o počet možných výsledkov.

Pre čitateľa potrebujeme počet spôsobov, ako vytiahnuť z esa jedno eso a štyri ďalšie karty (žiadna z nich nie sú esá). Pretože existujú štyri esá a chceme presne jedno z nich, budú existovať (_ 4 C_ {1} ) spôsoby, ako vybrať jedno eso; pretože existuje 48 neaktov a chceme 4 z nich, budú existovať (_ {48} C_ {4} ) ) spôsoby, ako vybrať štyri non-esá. Teraz pomocou základného pravidla počítania vypočítame, že budú existovať (_ {4} C_ {1} cdot _ {48} C_ {4} ) spôsoby, ako zvoliť jedno eso a štyri non-esá.

Ak to všetko spojíme, máme

(P ( text {one Ace}) = frac { left (_ {4} C_ {1} right) left (_ {48} C_ {4} right)} {_ {52} C_ {5}} = frac {778320} {2598960} približne 0,299 )

Príklad 38

Vypočítajte pravdepodobnosť náhodného vytiahnutia piatich kariet z balíčka a získania presne dvoch es.

Riešenie

Riešenie je podobné ako v predchádzajúcom príklade, ibaže teraz vyberáme 2 esá zo 4 a 3 non-esá zo 48; menovateľ zostáva rovnaký:

(P ( text {two Aces}) = frac { left (_ {4} C_ {2} right) left (_ {48} C_ {3} right)} {_ {52} C_ {5}} = frac {103776} {2598960} približne 0,0399 )

Je užitočné poznamenať, že tieto problémy s kartami sú pozoruhodne podobné problémom s lotériou, o ktorých sme hovorili vyššie.

Vyskúšajte to teraz 10

Vypočítajte pravdepodobnosť náhodného vytiahnutia piatich kariet z balíka kariet a získania troch es a dvoch kráľov.

Odpoveď

P ( text {traja esá a dvaja králi}) = frac { doľava (_ {4} C_ {3} doprava) doľava (_ {4} C_ {2} doprava)} {_ {52} C_ {5}} = frac {24} {2598960} približne 0,0000092

Problém s narodeninami

Poďme sa na chvíľu zamyslieť nad slávnym problémom v teórii pravdepodobnosti:

Predpokladajme, že máte izbu plnú 30 ľudí. Aká je pravdepodobnosť, že existuje aspoň jeden spoločný dátum narodenia?

Odhadnite odpoveď na vyššie uvedený problém. Bol váš odhad dosť nízky, okolo 10%? Zdá sa, že to je intuitívna odpoveď (možno ( frac {30} {365} )?). Pozrime sa, či by sme mali počúvať svoju intuíciu. Začnime však jednoduchším problémom.

Príklad 39

Predpokladajme, že v miestnosti sú traja ľudia. Aká je pravdepodobnosť, že medzi týmito tromi ľuďmi sú aspoň jedno spoločné narodeniny?

Riešenie

Existuje mnoho spôsobov, ako môže existovať aspoň jeden spoločný dátum narodenia. Našťastie existuje ľahšia cesta. Pýtame sa sami seba: „Aká je alternatíva k tomu, aby ste mali aspoň jedno spoločné narodenie? V tomto prípade je alternatívou, že existujú č spoločné narodeniny. Inými slovami, alternatíva k „aspoň jednému“ je žiadny. Inými slovami, keďže sa jedná o doplnkové podujatie,

(P ( text {aspoň jeden}) = 1-P ( text {žiadny}) )

Začneme teda výpočtom pravdepodobnosti, že nebudú žiadne spoločné narodeniny. Predstavme si, že ste jedným z týchto troch ľudí. Váš deň narodenia môže byť akýkoľvek bez konfliktov, takže na narodeniny máte z 365 možností 365. Aká je pravdepodobnosť, že druhá osoba nezdieľa vaše narodeniny? Existuje 365 dní v roku (ignorujme priestupné roky) a odstránenie vašich narodenín zo sporu, existuje 364 možností, ktoré zaručia, že s touto osobou nezdieľate narodeniny, takže pravdepodobnosť, že druhá osoba nebude zdieľať vaše narodeniny je ( frac {364} {365} ). Teraz prechádzame k tretej osobe. Aká je pravdepodobnosť, že táto tretia osoba nemá rovnaké narodeniny ako vy alebo druhá osoba? Existuje 363 dní, ktoré nebudú duplikovať vaše narodeniny ani narodeniny druhej osoby, takže pravdepodobnosť, že tretia osoba nezdieľa narodeniny s prvými dvoma, je ( frac {363} {365} ).

Chceme, aby druhá osoba s vami nezdieľala narodeniny a tretia osoba, ktorá nezdieľa narodeniny s prvými dvoma ľuďmi, takže používame pravidlo násobenia:

(P ( text {no shared birthday}) = frac {365} {365} cdot frac {364} {365} cdot frac {363} {365} približne 0,9918 )

a potom odčítajte od 1, aby ste dostali

(P ( text {shared birthday}) = 1-P ( text {no shared birthday}) = 1-0,9918 = 0,0082 ).

Je to dosť malé číslo, takže možno dáva zmysel, že odpoveď na náš pôvodný problém bude malá. Poďme našu skupinu trochu zväčšiť.

Príklad 40

Predpokladajme, že v miestnosti je päť ľudí. Aká je pravdepodobnosť, že medzi týmito piatimi ľuďmi sú aspoň jedno spoločné narodeniny?

Riešenie

Pokračovaním podľa vzoru z predchádzajúceho príkladu by mala byť odpoveď

(P ( text {shared birthday}) = 1- frac {365} {365} cdot frac {364} {365} cdot frac {363} {365} cdot frac {362} { 365} cdot frac {361} {365} približne 0,0271 )

Všimnite si, že by sme to mohli prepísať kompaktnejšie ako

(P ( text {shared birthday}) = 1- frac {_ {365} P_5} {365 ^ {5}} približne 0,0271 )

čo uľahčuje písanie do kalkulačky alebo počítača a navrhuje pekný vzorec, keď pokračujeme v rozširovaní populácie našej skupiny.

Príklad 41

Predpokladajme, že v miestnosti je 30 ľudí. Aká je pravdepodobnosť, že medzi týmito 30 ľuďmi sú aspoň jedno spoločné narodeniny?

Riešenie

Tu môžeme vypočítať

(P ( text {shared birthday}) = 1- frac {_ {365} P_ {30}} {365 ^ {30}} približne 0,706 )

čo nám dáva prekvapivý výsledok, že keď ste v miestnosti s 30 ľuďmi, je 70% šanca, že budú aspoň jedno spoločné narodeniny!

Ak radi tipujete a ak dokážete presvedčiť 30 ľudí, aby prezradili svoje narodeniny, možno budete môcť vyhrať nejaké peniaze stavením priateľa, že v miestnosti budú minimálne dvaja ľudia s rovnakými narodeninami, kedykoľvek budete v miestnosti. miestnosť s 30 a viac ľuďmi. (Samozrejme, budete sa musieť ubezpečiť, že váš priateľ neštudoval pravdepodobnosť!) Nemali by ste zaručené víťazstvo, ale mali by ste vyhrať viac ako polovicu času.

Toto je jeden z mnohých výsledkov v teórii pravdepodobnosti, ktorý je kontraproduktívny; to znamená, že ide proti našim črevným inštinktom. Ak stále neveríte matematike, môžete vykonať simuláciu. Aby ste nemuseli obiehať skupiny 30 ľudí, niekto s láskou vyvinul applet Java, pomocou ktorého môžete vykonávať počítačovú simuláciu. Prejdite na túto webovú stránku: http://statweb.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html a po načítaní appletu vyberte 30 narodenín a potom kliknite na Štart a Obnoviť. Ak sledujete počet opakovaných narodenín, mali by ste mať opakované narodeniny približne 7 z každých 10 pokusov o spustenie simulácie.

Vyskúšajte to teraz 11

Predpokladajme, že v miestnosti je 10 ľudí. Aká je pravdepodobnosť, že medzi týmito 10 ľuďmi sú aspoň jedno spoločné narodeniny?

Odpoveď

(P ( text {shared birthday}) = 1- frac {_ {365} P_ {10}} {365 ^ {10}} približne 0,117 )


Počet eozinofilov môže pomôcť diagnostikovať niekoľko stavov. Môžete mať vysoký počet z týchto položiek:

  • Akútny hypereozinofilný syndróm, zriedkavý stav, ktorý je podobný leukémii a môže byť život ohrozujúci
  • Alergická porucha ako astma alebo senná nádcha
  • Autoimunitné podmienky
  • Infekcia spôsobená parazitom alebo plesňou
  • Reakcia na určité lieky
  • Astma
  • Počiatočné štádiá Cushingovej choroby, zriedkavého stavu, ktorý sa môže vyskytnúť, ak máte v krvi príliš veľa hormónu nazývaného kortizol.
  • Ekzém (svrbiaca, zapálená pokožka)
  • Leukémia a iné poruchy krvi

12.5: Počítanie

Táto časť popisuje obmedzenia počtu stĺpcov v tabuľkách a veľkosti jednotlivých riadkov.

Limity počtu stĺpcov

MySQL má pevný limit 4096 stĺpcov na tabuľku, ale efektívne maximum môže byť pre danú tabuľku menšie. Presný limit stĺpca závisí od niekoľkých faktorov:

Maximálna veľkosť riadka pre tabuľku obmedzuje počet (a možno aj veľkosť) stĺpcov, pretože celková dĺžka všetkých stĺpcov nemôže prekročiť túto veľkosť. Viď limity veľkosti riadkov.

Požiadavky na ukladanie jednotlivých stĺpcov obmedzujú počet stĺpcov, ktoré sa zmestia do danej maximálnej veľkosti riadku. Požiadavky na úložisko pre niektoré typy údajov závisia od faktorov, ako sú napríklad úložný modul, formát úložiska a znaková sada. Pozrite si Požiadavky na úložisko dátových typov.

Úložné moduly môžu ukladať ďalšie obmedzenia, ktoré obmedzujú počet stĺpcov tabuľky. Napríklad InnoDB má limit 1017 stĺpcov na tabuľku. Viď limity InnoDB. Informácie o ďalších úložných jednotkách nájdete v téme Alternatívne úložné motory.

Každá tabuľka má súbor .frm, ktorý obsahuje definíciu tabuľky. Definícia ovplyvňuje obsah tohto súboru spôsobmi, ktoré môžu ovplyvniť počet stĺpcov povolených v tabuľke. Pozrite si časť 12.6, „Limity uložené štruktúrou súborov .frm“.

Limity veľkosti riadkov

Maximálna veľkosť riadka pre danú tabuľku je určená niekoľkými faktormi:

Interná reprezentácia tabuľky MySQL má limit maximálnej veľkosti riadku 65 535 bajtov, aj keď je úložný modul schopný podporovať väčšie riadky. Stĺpce BLOB a TEXT prispievajú k limitu veľkosti riadku iba 9 až 12 bajtov, pretože ich obsah je uložený oddelene od zvyšku riadku.

The maximum row size for an InnoDB table, which applies to data stored locally within a database page, is slightly less than half a page for 4KB, 8KB, 16KB, and 32KB innodb_page_size settings. For example, the maximum row size is slightly less than 8KB for the default 16KB InnoDB page size. For 64KB pages, the maximum row size is slightly less than 16KB. See InnoDB Limits.

If a row containing variable-length columns exceeds the InnoDB maximum row size, InnoDB selects variable-length columns for external off-page storage until the row fits within the InnoDB row size limit. The amount of data stored locally for variable-length columns that are stored off-page differs by row format. For more information, see InnoDB Row Formats.

Different storage formats use different amounts of page header and trailer data, which affects the amount of storage available for rows.

For information about InnoDB row formats, see InnoDB Row Formats.

For information about MyISAM storage formats, see MyISAM Table Storage Formats.

Row Size Limit Examples

The MySQL maximum row size limit of 65,535 bytes is demonstrated in the following InnoDB and MyISAM examples. The limit is enforced regardless of storage engine, even though the storage engine may be capable of supporting larger rows.

In the following MyISAM example, changing a column to TEXT avoids the 65,535-byte row size limit and permits the operation to succeed because BLOB and TEXT columns only contribute 9 to 12 bytes toward the row size.

The operation succeeds for an InnoDB table because changing a column to TEXT avoids the MySQL 65,535-byte row size limit, and InnoDB off-page storage of variable-length columns avoids the InnoDB row size limit.

Storage for variable-length columns includes length bytes, which are counted toward the row size. For example, a VARCHAR(255) CHARACTER SET utf8mb3 column takes two bytes to store the length of the value, so each value can take up to 767 bytes.

The statement to create table t1 succeeds because the columns require 32,765 + 2 bytes and 32,766 + 2 bytes, which falls within the maximum row size of 65,535 bytes:

The statement to create table t2 fails because, although the column length is within the maximum length of 65,535 bytes, two additional bytes are required to record the length, which causes the row size to exceed 65,535 bytes:

Reducing the column length to 65,533 or less permits the statement to succeed.

For MyISAM tables, NULL columns require additional space in the row to record whether their values are NULL . Each NULL column takes one bit extra, rounded up to the nearest byte.

The statement to create table t3 fails because MyISAM requires space for NULL columns in addition to the space required for variable-length column length bytes, causing the row size to exceed 65,535 bytes:

For information about InnoDB NULL column storage, see InnoDB Row Formats.

InnoDB restricts row size (for data stored locally within the database page) to slightly less than half a database page for 4KB, 8KB, 16KB, and 32KB innodb_page_size settings, and to slightly less than 16KB for 64KB pages.

The statement to create table t4 fails because the defined columns exceed the row size limit for a 16KB InnoDB page.


'Why This Kolaveri Di?' 12.5 Crore Views And Counting For Dhanush's Viral Hit

'Why This Kolaveri Di?' has been viewed over 12.5 crore times on YouTube since November 16, 2011

Chennai: Actor Dhanush's viral hit 'Why This Kolaveri Di?' may be six-years-old but it has garnered 12.5 crore views on YouTube, a top official of the online visual content provider said today.

"A lot of our signature success started from 'Why This Kolaveri Di?' six years back. It has received 12.5 crore views and that number is still growing," Ajay Vidyasagar, Regional Director-Google Asia Pacific, told reporters here.

Dhanush's viral single 'Why This Kolaveri Di?' (which can be roughly translated to 'Why this rage?') was an instant hit on social media.

"This piece of creativity keeps winning again and again due to fans," Mr Vidyasagar said, adding that the video had inspired many to come up with their own versions of the song too.

Quoting statistics, he said India had witnessed a surge in YouTube viewership in the past few years, even as rural and small towns made a significant contribution. From being a "metro phenomenon" about five years ago, YouTube is now being used by consumers even in many remote villages of the country, he said.

"Film engagement" on the visual platform stood "neck to neck with Hollywood" and teasers and trailers of recent Tamil hits like 'Kabali' and "Baahubali' received 34 million and 22 million hits respectively, Mr Vidyasagar added.

Online hits of many Indian movies even exceeded the viewership of Hollywood films, he said.


12.5: Counting

Red blood cells (RBCs), also called erythrocytes, are cells that circulate in the blood and carry oxygen throughout the body. The RBC count totals the number of red blood cells that are present in your sample of blood. It is one test among several that is included in a complete blood count (CBC) and is often used in the general evaluation of a person's health.

Blood is made up of a few different types of cells suspended in fluid called plasma. In addition to RBCs, there are white blood cells (WBCs) and platelets. These cells are produced in the bone marrow and are released into the bloodstream as they mature. RBCs typically make up about 40% of the blood volume. RBCs contain hemoglobin, a protein that binds to oxygen and enables RBCs to carry oxygen from the lungs to the tissues and organs of the body. RBCs also help transport a small portion of carbon dioxide, a waste product of cell metabolism, from those tissues and organs back to the lungs, where it is expelled.

The typical lifespan of an RBC is 120 days. Thus the bone marrow must continually produce new RBCs to replace those that age and degrade or are lost through bleeding. A number of conditions can affect RBC production and some conditions may result in significant bleeding. Other disorders may affect the lifespan of RBCs in circulation, especially if the RBCs are deformed due to an inherited or acquired defect or abnormality. These conditions may lead to a rise or drop in the RBC count. Changes in the RBC count usually mirror changes in other RBC tests, including the hematocrit and hemoglobin level.

  • If RBCs are lost or destroyed faster than they can be replaced, if bone marrow production is disrupted, or if the RBCs produced do not function normally, or do not contain enough hemoglobin, then you may develop anemia, which affects the amount of oxygen reaching tissues.
  • If too many RBCs are produced and released, then you can develop polycythemia. This can cause thicker blood, decreased blood flow and related problems, such as headache, dizziness, problems with vision, and even excessive clotting or heart attack.

A red blood cell (RBC) count is typically ordered as part of a complete blood count (CBC) and may be used as part of a health checkup to screen for a variety of conditions. This test may also be used to help diagnose and/or monitor a number of diseases that affect the production or lifespan of red blood cells.

An RBC count is ordered as a part of the complete blood count (CBC), often as part of a routine physical or as part of a pre-surgical workup. A CBC may be ordered when you have signs and symptoms suggesting a disease that might affect red blood cell production. Some common signs and symptoms associated with anemia that generally lead to a healthcare practitioner ordering a CBC are:

Some signs and symptoms that may appear with a high RBC count include:

A CBC may also be performed on a regular basis to monitor people who have been diagnosed with conditions such as:

Since an RBC count is performed as part of a complete blood count (CBC), results from other components are taken into consideration. A rise or drop in the RBC count must be interpreted in conjunction with other tests, such as hemoglobin, hematocrit, reticulocyte count, and/or red blood cell indices.

The following table summarizes what results may mean.

Men: 4.5-5.9 x 10 6 /microliter

Women: 4.1-5.1 x 10 6 microliter

    or chronic bleeding
  • RBC destruction (e.g., hemolytic anemia, etc.)
  • Nutritional deficiency (e.g., iron deficiency, vitamin B12 or folate deficiency) or damage
  • Chronic inflammatory disease

from Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 22nd ed.
McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Elsevier Saunders 2011.

Note: Conventional Units are typically used for reporting results in U.S. labs
SI Units are used to report lab results outside of the U.S.

Some causes of a low RBC count (anemia) include:

  • Trauma that leads to loss of blood
  • Conditions that cause red blood cells to be destroyed, such as hemolytic anemia caused by autoimmunity or defects in the red cell itself the defects could be a hemoglobinopathy (e.g., sickle cell anemia), thalassemia, an abnormality in the RBC membrane (e.g., hereditary spherocytosis), or enzyme defect (e.g., G6PD deficiency).
  • Sudden (acute) or chronic bleeding from the digestive tract (e.g., ulcers, polyps, colon cancer) or other sites, such as the bladder or uterus (in women, heavy menstrual bleeding, for example)
  • Nutritional deficiency such as iron deficiency or vitamin B12 or folate deficiency
  • Bone marrow damage (e.g., toxin, radiation or chemotherapy, infection, drugs) such as leukemia, multiple myeloma, myelodysplastic syndrome, or lymphoma or other cancers that spread to the bone marrow
  • Chronic inflammatory disease or condition
  • Kidney failure—severe and chronic kidney diseases lead to decreased production of erythropoietin, a hormone produced by the kidneys that promotes RBC production by the bone marrow.

Some causes of a high RBC count (polycythemia) include:

    —as the volume of fluid in the blood drops, the count of RBCs per volume of fluid artificially rises. —if someone is unable to breathe in and absorb sufficient oxygen, the body tries to compensate by producing more red blood cells. —with this condition, the heart is not able to pump blood efficiently, resulting in a decreased amount of oxygen getting to tissues. The body tries to compensate by producing more red blood cells.
  • Kidney tumor that produces excess erythropoietin
  • Smoking
  • Genetic causes (altered oxygen sensing, abnormality in hemoglobin oxygen release)
  • Polycythemia vera—a rare disease in which the body produces too many RBCs

Your RBC count is interpreted by your healthcare practitioner within the context of other tests that you have had done as well as other factors, such as your medical history. A single result that is slightly high or low may or may not have medical significance. There are several reasons why a test result may differ on different days and why it may fall outside a designated reference range.

  • Biological variability (different results in the same person at different times): If you have the same test done on several different occasions, there's a good chance that one result will fall outside a reference range even though you are in good health. For biological reasons, your values can vary from day to day.
  • Individual variability (differences in results between different people): References ranges are usually established by collecting results from a large population and determining from the data an expected average result and expected differences from that average (standard deviation). There are individuals who are healthy but whose tests results, which are normal for them, do not always fall within the expected range of the overall population.

A test value that falls outside of the established reference range supplied by the laboratory may mean nothing significant. Generally, this is the case when the test value is only slightly higher or lower than the reference range and this is why a healthcare practitioner may repeat a test on you and why they may look at results from prior times when you had the same test performed.

However, a result outside the range may indicate a problem and warrant further investigation. Your healthcare provider will consider your medical history, physical exam, and other relevant factors to determine whether a result that falls outside of the reference range means something significant for you. For more, read the articles on Reference Ranges and What They Mean.

An RBC count can be used to detect a problem with red blood cell production and/or lifespan, but it cannot determine the underlying cause. In addition to the full CBC, some other tests may be performed at the same time or as follow up to help establish a diagnosis. Examples include:

    —a laboratory professional examines the blood under the microscope to confirm results of a CBC and/or to look abnormal blood cells —determines the number of young (immature) red blood cells —iron is important in the production of red blood cells —these vitamins are also important for red blood cell production
  • In more severe conditions, a bone marrow aspiration and biopsy—usually done by a pathologist to help detect abnormalities in the bone marrow and determine the cause of low or high blood cell counts or abnormal blood cells

First, a healthcare practitioner must determine the cause of someone's abnormal RBC count so the appropriate treatment can be prescribed. For some anemias, treatment may include a dietary supplement or a change in diet to include nutritional foods. In some instances, it may only require a change in the person's current medication. For more severe cases, treatment may involve transfusion with blood from a donor. For some, prescribing a drug to stimulate red cell production in the bone marrow may be required, especially for people who have received chemotherapy or radiation treatments.

Maybe. Some healthcare practitioners' offices are equipped with laboratory instruments and staffed by trained laboratorians who are able to perform this test.

Yes, to the extent that if you eat a well-balanced diet, you can prevent anemia due to a lack of iron, vitamin B12, or folate in the foods you eat. Sometimes use of a supplement is recommended if you are at risk of a vitamin deficiency. However, the most common cause of vitamin B12 deficiency is malabsorption, and the most common cause of iron deficiency is bleeding. These conditions and other RBC problems that are caused by diseases other than nutritional deficiencies will not be corrected by diet.

Fatigue and weakness may indicate a low or high RBC count. Fainting, pallor, shortness of breath, dizziness, and/or altered mental status can also indicate a low RBC count. Disturbed vision, headache, and flushing may be present with increased numbers of RBCs.

A recent blood transfusion can affect results of an RBC count.

Alteration of the number of RBCs is often temporary and can be easily corrected and/or returned to normal levels by treating and resolving the underlying condition.

During pregnancy, body fluids tend to accumulate, thus decreasing the RBC count in relation to fluid volume.

Living at high altitudes causes an increase in RBC count this is the body's response to the decreased oxygen available at these heights.

Women tend to have slightly lower RBC counts than men.

You may be able to find your test results on your laboratory's website or patient portal. However, you are currently at Lab Tests Online. You may have been directed here by your lab's website in order to provide you with background information about the test(s) you had performed. You will need to return to your lab's website or portal, or contact your healthcare practitioner in order to obtain your test results.

Lab Tests Online is an award-winning patient education website offering information on laboratory tests. The content on the site, which has been reviewed by laboratory scientists and other medical professionals, provides general explanations of what results might mean for each test listed on the site, such as what a high or low value might suggest to your healthcare practitioner about your health or medical condition.

The reference ranges for your tests can be found on your laboratory report. They are typically found to the right of your results.

If you do not have your lab report, consult your healthcare provider or the laboratory that performed the test(s) to obtain the reference range.

Laboratory test results are not meaningful by themselves. Their meaning comes from comparison to reference ranges. Reference ranges are the values expected for a healthy person. They are sometimes called "normal" values. By comparing your test results with reference values, you and your healthcare provider can see if any of your test results fall outside the range of expected values. Values that are outside expected ranges can provide clues to help identify possible conditions or diseases.

While accuracy of laboratory testing has significantly evolved over the past few decades, some lab-to-lab variability can occur due to differences in testing equipment, chemical reagents, and techniques. This is a reason why so few reference ranges are provided on this site. It is important to know that you must use the range supplied by the laboratory that performed your test to evaluate whether your results are "within normal limits."

For more information, please read the article Reference Ranges and What They Mean.

The reference ranges 1 provided here represent a theoretical guideline that should not be used to interpret your test results. Some variation is likely between these numbers and the reference range reported by the lab that ran your test. Please consult your healthcare provider.

Age Conventional Units 2 SI Units 3
0-18 years Not available due to wide variability. See child's lab report for reference range.
Adult male 4.5-5.9 x 10 6 /microliter 4.5-5.9 x 10 12 /L
Adult female 4.1-5.1 x 10 6 microliter 4.1-5.1 x 10 12 /L

1 from Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 22nd ed. McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Elsevier Saunders 2011.

2 Conventional Units are typically used for reporting results in U.S. labs

3 SI Units are used to report lab results outside of the U.S.

LOINC Observation Identifiers Names and Codes (LOINC®) is the international standard for identifying health measurements, observations, and documents. It provides a common language to unambiguously identify things you can measure or observe that enables the exchange and aggregation of clinical results for care delivery, outcomes management, and research. Learn More.

Listed in the table below are the LOINC with links to the LOINC detail pages. Please note when you click on the hyperlinked code, you are leaving Lab Tests Online and accessing Loinc.org.

LOINC LOINC Display Name
26453-1 RBC (Bld) [#/Vol]
789-8 RBC Auto (Bld) [#/Vol]
790-6 RBC Manual cnt (Bld) [#/Vol]

On This Site

Elsewhere On The Web

Sources Used in Current Review

Wintrobe's Clinical Hematology. 12th ed. Greer J, Foerster J, Rodgers G, Paraskevas F, Glader B, Arber D, Means R, eds. Philadelphia, PA: Lippincott Williams & Wilkins: 2009, Section 2: The Erythrocyte.

Harmening, D. Clinical Hematology and Fundamentals of Hemostasis, Fifth Edition, F.A. Davis Company, Philadelphia, 2009, Chapter 3.

Sources Used in Previous Reviews

Thomas, Clayton L., Editor (1997). Taber's Cyclopedic Medical Dictionary. F.A. Davis Company, Philadelphia, PA [18th Edition].

Pagana, Kathleen D. & Pagana, Timothy J. (2001). Mosby's Diagnostic and Laboratory Test Reference 5th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO.

Hillman RS and Finch CA. Red Cell Manual (1974). FA Davis, Philadelphia. Pp. 23-51.

Pagana, Kathleen D. & Pagana, Timothy J. (© 2007). Mosby's Diagnostic and Laboratory Test Reference 8th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO. Pp. 797-799.

Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 21st ed. McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Saunders Elsevier: 2007, Chap 31.

(March 1, 2011) National Heart, Lung and Blood Institute. What is Polycythemia vera? Available online at http://www.nhlbi.nih.gov/health/public/blood/index.htm. Accessed Sep 2011.

(Aug 1, 2010) National Heart, Lung and Blood Institute. Anemia. Available online at http://www.nhlbi.nih.gov/health/health-topics/topics/anemia/. Accessed Sep 2011.

(June 17, 2011) Conrad M. Anemia. Medscape Reference article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/198475-overview. Accessed Sep 2011.

(August 26, 2011) Harper J. Pediatric Megaloblastic Anemia. eMedicine article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/959918-overview. Accessed Sep 2011.

(June 8, 2011) Artz A. Anemia in Elderly Persons. eMedicine article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/1339998-overview. Accessed Sep 2011.

(February 9, 2010) Dugdale D. RBC Count. MedlinePlus Medical Encyclopedia. Available online at http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/ency/article/003644.htm. Accessed Sep 2011.

Riley R, et.al. Automated Hematologic Evaluation. Medical College of Virginia, Virginia Commonwealth University. Available online at http://www.pathology.vcu.edu/education/PathLab/pages/hematopath/pbs.html#Anchor-Automated-47857. Accessed Sep 2011.

Kasper DL, Braunwald E, Fauci AS, Hauser SL, Longo DL, Jameson JL eds, (2005). Harrison's Principles of Internal Medicine, 16th Edition, McGraw Hill, Pp 329-336.

Pagana K, Pagana T. Mosby's Manual of Diagnostic and Laboratory Tests. 3rd Edition, St. Louis: Mosby Elsevier 2006, Pp 447-448.

Harmening D. Clinical Hematology and Fundamentals of Hemostasis. Fifth Edition, F.A. Davis Company, Piladelphia, Chapter 3.

Maakaron, J. et. al. (Updated 2014 October 29). Anemia. Medscape Drugs & Diseases [On-line information]. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/198475-overview. Accessed November 2014

Lehman, C. and Straseski, J. (Updated 2014 February). Anemia. ARUP Consult [On-line information]. Available online at http://www.arupconsult.com/Topics/Anemia.html?client_ID=LTD#tabs=0. Accessed November 2014

Gersten, T. (Updated 2014 February 24). RBC count. MedlinePlus Medical Encyclopedia [On-line information]. Available online at http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/ency/article/003644.htm. Accessed November 2014

(2012 May 18). Anemia. National Heart Lung and Blood Institute [On-line information]. Available online at http://www.nhlbi.nih.gov/health/health-topics/topics/anemia/. Accessed November 2014

Kahsai, D. (Updated 2013 August 2). Acute Anemia. Medscape Drugs & Diseases [On-line information]. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/780334-overview. Accessed November 2014

Curry, C. (Updated 2012 February 3). Erythrocyte Count (RBC). Medscape Drugs & Diseases [On-line information]. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/2054474-overview. Accessed November 2014

Pagana, K. D., Pagana, T. J., and Pagana, T. N. (© 2015). Mosby's Diagnostic & Laboratory Test Reference 12th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO. Pp 785-791.


How to Prepare for the Test

Most of the time, adults do not need to take special steps before this test. Tell your provider the medicines you are taking, including the ones without a prescription. Some drugs may change the test results.

Medicines that may cause you to have an increase in eosinophils include:

  • Amphetamines (appetite suppressants)
  • Certain laxatives containing psyllium
  • Certain antibiotics
  • Interferon
  • Tranquilizers

BREAKING: Judge orders Pennsylvania to stop counting certain late ballots

By Calvin Freiburger
By Calvin Freiburger

Big Tech is censoring us. Subscribe to our email list and bookmark LifeSiteNews.com to continue getting our news. Subscribe now.

November 12, 2020 (LifeSiteNews) &mdash Pennsylvania Secretary of the Commonwealth Kathy Boockvar &ldquolacked statutory authority&rdquo to direct state election officials to count mail-in ballots even if they did not receive proof of identification by November 9, President Judge Mary Hannah Leavitt of Pennsylvania ruled Thursday in a victory for the Trump campaign&rsquos legal campaign to prevent the state from being certified for Democrat nominee Joe Biden.

The U.S. Supreme Court ruled before the election that election officials in Pennsylvania (as well as North Carolina) could accept absentee ballots for up to three days after the election, though the court also ruled several days later that all ballots that would arrive beyond the legal deadline be segregated and counted separately, in response to a lawsuit by state Republicans to stop a last-minute rule change by Boockvar that allowed the ballots to be counted and co-mingled with ballots that had arrived on time.

But on Thursday, Leavitt ruled that the Secretary of the Commonwealth &ldquolacked statutory authority to issue the November 1, 2020, guidance to Respondents County Boards of Elections insofar as that guidance purported to change the deadline [. ] for certain electors to verify proof of identification.&rdquo

&ldquoAccordingly, the Court hereby ORDERS that Respondents County Boards of Elections are enjoined from counting any ballots that have been segregated&rdquo pursuant to the court&rsquos previous order on the matter.

WCSI notes that the order represents a victory for the Trump campaign, which needs Pennsylvania&rsquos 20 electoral votes to stand even a chance of securing a second term. Boockvar said Tuesday that the state received approximately 10,000 ballots after the polls closed, and was still in the process of counting 94,000 provisional ballots that had been given to voters on election day. Biden currently holds a 53,978 lead over Trump in the state.


Hemoglobin Level Chart

Normal Hemoglobin Count Ranges Widely Accepted by Physicians
Children
Birth: 13.5 to 24.0 g/dl (mean 16.5 g/dl)
<1 mth: 10.0 to 20.0 g/dl (mean 13.9 g/dl)
1-2 mths: 10.0 to 18.0 g/dl (mean 11.2 g/dl)
2-6 mths: 9.5 to 14.0 g/dl (mean 12.6 g/dl)
0.5 to 2 yrs: 10.5 to 13.5 g/dl (mean 12.0 g/dl)
2 to 6 yrs: 11.5 to 13.5 g/dl (mean 12.5 g/dl)
6-12 yrs: 11.5 to 15.5 g/dl (mean 13.5)
Females
Age 12-18 yrs: 12.0 to 16.0 g/dl (mean 14.0 g/dl)
Age >18 yrs: 12.1 to 15.1 g/dl (mean 14.0 g/dl)
Males
12-18 yrs: 13.0 to 16.0 g/dl (mean 14.5 g/dl)
>18 yrs: 13.6 to 17.7 g/dl (mean 15.5 g/dl)

Low Hemoglobin Count

A slightly low hemoglobin count isn't always a sign of illness, it may be normal for some people. Women who are pregnant commonly have low hemoglobin counts. A low hemoglobin level count is generally defined as less than 13.5 grams of hemoglobin per deciliter (135 grams per liter) of blood for men and less than 12 grams per deciliter (120 grams per liter) for women. In children, the definition varies with age and sex.

Diseases and conditions that cause your body to produce fewer red blood cells include:

  • Cancer
  • Cirrhosis
  • Leukemia
  • Lead poisoning
  • Aplastic anemia
  • Multiple myeloma
  • Certain medications
  • Iron deficiency anemia
  • Chronic kidney disease
  • Non-Hodgkin's lymphoma
  • Vitamin deficiency anemia
  • Myelodysplastic syndromes
  • Hypothyroidism (under-active thyroid)
  • Hodgkin's lymphoma (Hodgkin's disease)
  • Blood Loss from Bleeding (Internal or External)

Iron Levels

Iron is a mineral that's essential for making healthy red blood cells and hemoglobin. Low iron levels can cause you to feel tired, and extremely low iron levels may cause damage to organs. A low blood count can be caused by not eating enough iron-rich foods, donating blood too frequently, chronic illness, or other invisible causes. The daily requirement of iron can often be achieved by taking iron supplements. Ferrous sulfate 325 mg, taken orally once a day, and by eating foods high in iron. Foods high in vitamin C also are recommended because vitamin C helps your body absorb iron. Food with high iron levels include:

  • Bean Sprouts
  • Beets
  • Broccoli
  • Brussel Sprouts
  • Cabbage
  • Chicken
  • Corn
  • Fish
  • Green Beans
  • Greens, all kinds
  • Kale
  • Lamb
  • Lean beef
  • Lima Beans
  • Liver
  • Mussels
  • Pork
  • Potatoes
  • Shellfish
  • Peas
  • Tofu
  • Tomatoes
  • Turkey
  • Veal

High Hemoglobin Level

High hemoglobin level is mainly due to low oxygen levels in the blood (hypoxia), present over a long period of time. Reasons for a high hemoglobin level include:

  • Burns
  • Dehydration
  • Severe COPD
  • Heavy smoking
  • Polycythemia vera
  • Excessive vomiting
  • Living at a high altitude
  • Extreme physical exercise
  • Failure of the right side of the heart
  • Birth defects of the heart, present at birth.
  • Scarring or thickening of the lungs (pulmonary fibrosis) and other severe lung disorders
  • Rare bone marrow diseases that lead to an abnormal increase in the number of blood cells (polycythemia vera)

Hemoglobin A1c Test

  • For people without diabetes, the normal range for the hemoglobin A1c test is between 4% and 5.6%.
  • Hemoglobin A1c levels between 5.7% and 6.4% indicate increased risk of diabetes.
  • Levels of 6.5% or higher indicate diabetes.

The goal for people with diabetes is a hemoglobin A1c less than 7%. The higher the hemoglobin A1c, the higher the risks of developing complications related to diabetes.

Hemoglobin Level Image Charts for Printing

Chart 1


Printable Human Hemoglobin Level Chart.

Chart 2


Alternative Version: Hemoglobin Level Chart shows ideal range for females, males, and younger children.

O nás

Disabled World is an independent disability community established in 2004 to provide disability news and information to people with disabilities, seniors, and their family and/or carers. See our homepage for informative reviews, exclusive stories and how-tos. You can connect with us on social media such as Twitter and Facebook or learn more about Disabled World on our about us page.


5 years and counting: Ex-treasure hunter still stuck in federal prison

COLUMBUS, Ohio (AP) — A former deep-sea treasure hunter is about to mark his fifth year in jail for refusing to disclose the whereabouts of 500 missing coins made from gold found in an historic shipwreck.

Research scientist Tommy Thompson isn’t incarcerated for breaking the law. Instead, he’s being held in contempt of court for an unusually long stretch — well past the normal maximum limit of an 18-month internment in cases of witnesses refusing to cooperate.

But nothing is usual about Thompson’s case, which dates to his discovery of the S.S. Central America, known as the Ship of Gold, in 1988. The gold rush-era ship sank in a hurricane off South Carolina in 1857 with thousands of pounds of gold aboard, contributing to an economic panic.

Despite an investors lawsuit and a federal court order, Thompson still won’t cooperate with authorities trying to find those coins, according to court records, federal prosecutors and the judge who found Thompson in contempt.

“He creates a patent for a submarine, but he can’t remember where he put the loot,” federal Judge Algenon Marbley said during a 2017 hearing.

Thompson’s legal troubles stem from the 161 investors who paid Thompson $12.7 million to find the ship, never saw any proceeds and finally sued.

Back in 2012, a different federal judge ordered Thompson to appear in court to disclose the coins’ whereabouts. Instead, Thompson fled to Florida where he lived with his longtime female companion at a hotel where he was living near Boca Raton. U.S. marshals tracked him down and arrested him in early 2015.

Thompson pleaded guilty for his failure to appear and was sentenced to two years in prison and a $250,000 fine. Thompson’s criminal sentence has been delayed until the issue of the gold coins is resolved.

That April 2015 plea deal required Thompson to answer questions in closed-door sessions about the whereabouts of the coins, which the government says are worth $2 million to $4 million. Importantly, he must also “assist” interested parties in finding the coins under that deal.

Thompson refused several times, and on Dec. 15, 2015, Marbley found Thompson in contempt of court and ordered him to stay in jail — and pay a $1,000 daily fine — until he responds.

In late October of this year, Thompson appeared by video for his latest hearing.

“Mr. Thompson, are you ready to answer the seminal question in this case as to the whereabouts of the gold?” Marbley said.

“Your honor, I don’t know if we’ve gone over this road before or not, but I don’t know the whereabouts of the gold,” Thompson responded. “I feel like I don’t have the keys to my freedom.”

And with that, Thompson settled back into his current situation: housed in a federal prison in Milan, Michigan, he’s now spent more than 1,700 days in jail and owes nearly $1.8 million in fines — and counting. Thompson’s attorney declined to comment.

Thompson, 68, has said he suffers from a rare form of chronic fatigue syndrome that has created problems with short-term memory.

He’s previously said, without providing details, that the coins were turned over to a trust in Belize.

The government contends Thompson is refusing to cooperate and that there’s no connection between his ailment and his ability to explain where the coins are.

A federal law addresses individuals like Thompson, known as “recalcitrant witnesses.”

The law holds that 18 months is generally the limit for jail time for contempt of court orders. But a federal appeals court last year rejected Thompson’s argument that that law applies to him.

Thompson hasn’t just refused to answer questions, the court ruled: He’s also violated the requirement that he “assist” the parties by refusing to execute a limited power of attorney to allow that Belizean trust to be examined, as required under his plea deal.

“The order isn’t intended to solely seek information, it’s to seek information for the purposes of recovering these unique assets,” said law professor and legal analyst Andrew Geronimo, director of Case Western University’s First Amendment Clinic.

Earlier this year, Marbley denied Thompson’s request for release over concerns he’s at risk for contracting the coronavirus behind bars. Marbley said Thompson didn’t present proper evidence for his risk level, and also noted he remains a flight risk.


1. Adel K, Raizman J, Chen Y, et al: Complex biological profile of hematologic markers across pediatric, adult, and geriatric ages: establishment of robust pediatric and adult reference intervals on the basis of the Canadian Health Measures Survey. Clin Chem 201561:8

2. CLSI. Defining, Establishing, and Verifying Reference Intervals in the Clinical Laboratory Approved Guideline, Third Edition. CLSI document EP28-A3c. Wayne, PA, Clinical and Laboratory Standards Institute, 2008

3. Soldin J, Brugnara C, Wong EC: Pediatric Reference Intervals. Fifth Edition. AACC Press. Washington, DC, 2005. ISBN 1-594250-32-4


Pozri si video: Sa invatam sa numaram de la 1 la 10. (December 2021).