Články

3.4: Metóda neurčitých koeficientov


Doteraz sme uvažovali o homogénnych diferenciálnych rovniciach druhého rádu. V tejto diskusii budeme skúmať nehomogénne lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu.

Veta: Riešenie nehomogénnych lineárnych diferenciálnych rovníc druhého rádu

Poďme

[L (y) = y "+ p (t) y" + q (t) y = g (t) ]

byť lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu s p, q a g nepretržitý a nechajme

[L (y_1) = L (y_2) = 0 ; ; ; text {a} ; ; ; L (y_p) = g (t) ]

a nechajme

[y_h = c_1y_1 + c_2y_2. ]

Potom je všeobecné riešenie dané

[y = y_h + y_p. ]

Dôkaz

Pretože (L ) je lineárna transformácia,

[ begin {align *} L (y_h + y_p) & = C_1L (y_1) + C_2L (y_2) + L (y_h) [4pt] & = C_1 (0) + C_2 (0) + g (t ) = g (t). end {zarovnať *} ]

Toto potvrdzuje, že (y_h + y_p ) je riešením. Ďalej musíme preukázať, že všetky riešenia majú túto formu. Predpokladajme, že (y_3 ) je riešením nehomogénnej diferenciálnej rovnice. Potom to musíme ukázať

[y_3 = y_h + y_p ]

pre niektoré konštanty (c_1 ) a (c_2 ) s

[y_h = c_1y_1 + c_2y_2. ]

Toto je ekvivalentné k

[y_3 - y_p = y_h. ]

Máme

[L (y_3 - y_p) = L (y_3) - L (y_p) = g (t) - g (t) = 0. ]

Preto (y_3 - y_p ) je riešením homogénneho riešenia. Môžeme to uzavrieť

[y_3 - y_p = c_1y_1 + c_2y_2 = y_h. ]

( ámestie)

Táto veta nám poskytuje praktický spôsob hľadania všeobecného riešenia nehomogénnej diferenciálnej rovnice.

  • Krok 1: Nájdite všeobecné riešenie (y_h ) homogénnej diferenciálnej rovnice.
  • Krok 2: Nájdite konkrétne riešenie (y_p ) nehomogénnej diferenciálnej rovnice.
  • Krok 3: Pridajte (y_h + y_p ).

Už sme sa naučili, ako urobiť krok 1 pre konštantné koeficienty. Teraz sa pustíme do diskusie o kroku 2 o niektorých špeciálnych funkciách (g (t) ).

Definícia

Funkcia (g (t) ) vygeneruje a UC-set ak je vektorový priestor funkcií generovaných pomocou (g (t) ) a všetkých derivácií (g (t) ) konečný rozmer.

Príklad ( PageIndex {1} )

Nech (g (t) = t sin (3t) ).

Potom

[ begin {align *} g '(t) & = sin (3t) + 3t cos (3t) & g' '(t) & = 6 cos (3t) - 9t sin (3t) g ^ {(3)} (t) & = -27 sin (3t) - 27t cos (3t) & g ^ {(4)} (t) & = 81 cos (3t) - 108t sin (3t) g ^ {(4)} (t) & = 405 sin (3t) - 243t cos (3t) & g ^ {(5)} (t) & = 1458 cos (3t) - 729 t cos (3 t) end {zarovnať *} ]

Vidíme, že (g (t) ) a všetky jeho deriváty možno zapísať do formy

[g ^ {(n)} (t) = A sin (3t) + B cos (3t) + Ct sin (3t) + Dt cos (3t). ]

Môžeme povedať, že ( left { sin (3t), cos (3t), t sin (3t), t cos (3t) right } ) je základe pre súpravu UC.

Teraz uvádzame bez dôkazu, že nasledujúca veta nám hovorí, ako nájsť konkrétne riešenie nehomogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice druhého rádu.

Veta:

Poďme

[L (y) = ay '+ +' + cy = g (t) ]

byť nehomogénna lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi tak, že g (t) generuje UC-množinu

[{f_1 (t), f_2 (t), ... f_n (t)} ]

Potom existuje celé číslo s také, že

[y_p = t ^ s [c_1f_1 (t) + c_2f_2 (t) + ... + c_nf_n (t)] ]

je konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice.

Poznámka: „S“ vstúpi do hry, keď bude homogénne riešenie aj v UC-sete.

Príklad ( PageIndex {2} )

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

[y '' + y '- 2y = e ^ {- t} text {sin} , t. ]

Riešenie

Najprv nájdite riešenie homogénnej diferenciálnej rovnice

[y '' + y '- 2y = 0. ]

Máme

[r ^ 2 + r - 2 = (r - 1) (r + 2) = 0 ]

[r = -2 ; ; ; text {alebo} ; ; ; r = 1. ]

Teda

[y_h = c_1 e ^ {- 2t} + c_2 e ^ t. ]

Ďalej si všimnite, že (e ^ {- t} sin t ) a všetky jeho deriváty majú tvar

[A e ^ {- t} sin t + B e ^ {- t} cos t. ]

Nastavili sme

[y_p = A e ^ {- t} sin t + B e ^ {- t} cos t ]

a nájdi

[ begin {align *} y'_p & = A (-e ^ {- t} sin t + e ^ {- t} cos t) + B (-e ^ {- t} cos t - e ^ {- t} sin t) [4pt] & = - (A + B) e ^ {- t} sin t + (A - B) e ^ {- t} cos t end { zarovnať *} ]

a

[ begin {align *} y '' _ p & = - (A + B) (- e ^ {- t} sin t + e ^ {- t} cos t) + (A - B) (- e ^ {- t} cos t - e ^ {- t} sin t) & = [(A + B) - (A - B)] e ^ {- t} sin t + [- ( A + B) - (A - B)] e ^ {- t} cos t & = 2B e ^ {- t} sin t - 2A e ^ {- t} cos t. end {zarovnať *} ]

Teraz ich vložte do pôvodnej diferenciálnej rovnice

[2B e ^ {- t} sin t - 2A e ^ {- t} cos t + - (A + B) e ^ {- t} sin t + (A - B) e ^ {- t } cos t - 2 (A e ^ {- t} sin t + B e ^ {- t} cos t) = e ^ {- t} sin t. ]

Kombinujte podobné výrazy a získajte

[(2B - A - B - 2A) e ^ {- t} sin t + (-2A + A - B - 2B) e ^ {- t} cos t = e ^ {- t} sin t ]

alebo

[(-3A + B) e ^ {- t} sin t + (-A - 3B) e ^ {- t} cos t = e ^ {- t} sin t. ]

Vyrovnáme koeficienty, dostaneme

[- 3A + B = 1 ; ; ; text {a} ; ; ; -A - 3B = 0. ]

Tento systém má riešenie

[A = - frac {3} {10}, ; ; ; B = frac {1} {10}. ]

Konkrétne riešenie je

[y_p = - frac {3} {10} e ^ {- t} sin t + frac {1} {10} e ^ {- t} cos t. ]

Po pridaní konkrétneho roztoku k homogénnemu roztoku sa získa

[y = y_h + y_p = c_1 e ^ {- 2t} + c_2 e ^ {t} + - frac {3} {10} e ^ {- t} sin t + frac {1} {10} e ^ {- t} cos t. ]

Príklad ( PageIndex {3} )

Vyriešiť

[y '' + y = 5 , sin t. label {ex3.1} ]

Riešenie

Charakteristická rovnica je

[r ^ 2 + 1 = 0. nonumber ]

Čo má zložité korene

[r = i ; ; ; text {alebo} ; ; ; r = -i. nonumber ]

Homogénne riešenie je

[y_h = c_1 sin t + c_2 cos t. nonumber ]

Sada UC pre ( sin t ) je ( left { sin t, cos t right } ). Deriváty sú všetky funkcie ( sin ) a ( cos )

Všimnite si, že obe funkcie v súprave UC sú riešením homogénnej diferenciálnej rovnice. Potrebujeme vynásobiť (t ), aby sme dostali

[ doľava {t sin t, t cos t doprava }. nonumber ]

Konkrétne riešenie je

[ begin {align *} y_p & = At ​​, sin t + B cos t [4pt] y_p '& = A sin t + At cos t + B cos t - Bt sin t [4pt] y_p '' & = A cos t + A cos t - At sin t - B , sin t - B sin t - Bt cos t [4pt] & = 2A cos t - At sin t - 2B sin t - Bt cos t. end {zarovnať *} ]

Teraz ich vráťte do pôvodnej diferenciálnej rovnice (Equation ref {ex3.1}), aby ste dostali

[ begin {align *} 2A cos t - At sin t -2B sin t - Bt cos t + At sin t + Bt cos t & = 5 sin t [4pt] 2A cos t - 2B sin t & = 5 sin t. end {zarovnať *} ]

Vyrovnávacie koeficienty dávajú

[2A = 0 ; ; ; text {a} ; ; ; -2 B = 5. ]

Takže

[A = 0 ; ; ; text {a} ; ; ; B = - frac {2} {5}. ]

Máme

[y_p = - frac {2} {5} cos t. ]

Pridanie (y_p ) do (y_h ) dáva

[y = c_1 sin t + c_2 cos t - frac {2} {5} cos t. ]


Diferenciálne rovnice: Neurčené koeficienty

Vyrieš danú diferenciálnu rovnicu neurčitými koeficientmi.

Najskôr vyriešte homogénnu časť:

Preto je opakovaný koreň teda jedným z doplnkových riešení je,

Teraz nájdite zostávajúce bezplatné riešenie.

Teraz skombinujte obe doplnkové riešenia, aby ste dosiahli všeobecné riešenie.

Príklad Otázka 1: Neurčené koeficienty

Nájdite všeobecné riešenie pre.

Toto je nehomogénna lineárna diferenciálna rovnica vyššieho rádu. Pretože nehomogenita je kosínus, použijeme na jej riešenie variáciu parametrov.

Najprv nájdeme charakteristickú rovnicu, ktorú treba vyriešiť pre homogénne riešenie. Toto nám dáva.

Toto nám hovorí, že je to homogénne riešenie. Pretože sa ani jedno z nich neprekrýva s našou nehomogenitou, je bezpečné pokračovať bez pridania faktora t.

Hádajme to teda. Potom,

Zapojením do pôvodnej rovnice máme

Z čoho vyplýva, že a. Riešenie substitúciou,

Konkrétne riešenie teda je a celkové riešenie je konkrétne plus homogénne.

Príklad Otázka 1: Neurčené koeficienty

Nájdite formu konkrétneho riešenia nasledujúcej diferenciálnej rovnice, ktoré by sa dalo použiť v metóde neurčitých koeficientov:

Forma konkrétneho riešenia je taká, že A, B a C sú reálne čísla.

Forma konkrétneho riešenia spočíva v tom, že A a B sú reálne čísla.

Forma konkrétneho riešenia spočíva v tom, že A a B sú reálne čísla.

Forma konkrétneho riešenia je tam, kde A, B, C a D sú reálne čísla.

Forma konkrétneho riešenia je taká, že A, B a C sú reálne čísla.

Najprv si všimneme, že diferenciálna rovnica má charakteristickú rovnicu

pretože korene tohto charakteristického polynómu sú lineárne nezávislé od vynútiteľnej funkcie

jednoducho použijeme pravidlá kombinácie neurčitých koeficientov na to, aby sme zistili, že konkrétne riešenie bude mať formu

Príklad Otázka 1: Neurčené koeficienty

Zvážte diferenciálnu rovnicu

Aké bude konkrétne riešenie použité pri neurčitých koeficientoch?

Konkrétne riešenie bude mať formu:

kde A, B a C sú reálne čísla

Konkrétne riešenie bude mať formu:

Konkrétne riešenie bude mať formu:

kde A a B sú reálne čísla

Konkrétne riešenie bude mať formu:

kde A, B, C, D, E a F sú reálne čísla

Konkrétne riešenie bude mať formu:

kde A, B, C, D, E a F sú reálne čísla

Najprv sme zistili, že vynútená funkcia je lineárne nezávislá od homogénneho riešenia vyriešeného charakteristickou rovnicou.

Preto s použitím správnych pravidiel funkcie neurčených koeficientov bude konkrétne riešenie v podobe:

Je dôležité si uvedomiť, že keď sa použije sínus alebo kosínus, sínus aj kosínus sa musia zobraziť v odhade konkrétneho riešenia.

Príklad Otázka 1: Neurčené koeficienty

Riešime konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice metódou neurčitých koeficientov.

Začíname s predpokladom, že konkrétne riešenie musí mať formu

Potom vyriešime prvý a druhý derivát s týmto predpokladom, teda

Potom zapojíme tieto množstvá do danej rovnice, aby sme dostali:

Teda, ale metóda neurčitých koeficientov, konkrétne riešenie tejto diferenciálnej rovnice je:

Príklad Otázka č. 11: Diferenciálne rovnice vyššieho rádu

Vyrieš danú diferenciálnu rovnicu neurčitými koeficientmi.

Najskôr vyriešte homogénnu časť:

Preto je opakovaný koreň teda jedným z doplnkových riešení je,

Teraz nájdite zostávajúce bezplatné riešenie.

Teraz skombinujte obe doplnkové riešenia, aby ste dosiahli všeobecné riešenie.

Príklad Otázka č. 11: Diferenciálne rovnice vyššieho rádu

Nájdite formu konkrétneho riešenia nasledujúcej diferenciálnej rovnice (NIE RIEŠIŤ)

Žiadna z ďalších odpovedí.

Forma uhádnutia konkrétneho riešenia je

Všetky zdroje diferenciálnych rovníc

Nahlásiť problém s touto otázkou

Ak ste našli problém s touto otázkou, dajte nám vedieť. S pomocou komunity môžeme pokračovať v zlepšovaní našich vzdelávacích zdrojov.


Študijná príručka Téma Priradenia

Ak sa v tomto zozname NIE ste, okamžite ma kontaktujte!

Téma študijného sprievodcu Užívateľské meno
2.1 Metóda lineárnych rovníc integrácie faktorov rahmanhasan718
2.1 Metóda lineárnych rovníc integrácie faktorov rmorel91
2.2 Oddeliteľné rovnice dhiraj
2.2 Oddeliteľné rovnice jiwei
2.2 Oddeliteľné rovnice (homogénne) diallo11368
2.2 Oddeliteľné rovnice (homogénne) ricardoferro
2.4 Bernouliho rovnice mrknowit22
2.4 Bernouliho rovnice wenyuli
2.4 Rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi rovnicami (existencia a jedinečnosť) attareb212
2.6 Presné rovnice vliang88
2.6 Presné rovnice kmendez1994
2.7 Numerické aproximácie: Eulerova metóda # 8217s samsonx711
2.7 Numerické aproximácie: Eulerova metóda # 8217s dsantos
3.1 Homogénne rovnice s konštantnými koeficientmi (lineárne druhého rádu) mattiie
3.1 Homogénne rovnice s konštantnými koeficientmi (lineárne druhého rádu) jdelgado
3.1 Homogénne rovnice s konštantnými koeficientmi (lineárne druhého rádu) enriquebron6
3.3 Komplexné korene (charakteristickej rovnice) chand
3.3 Komplexné korene (charakteristickej rovnice) rex19941
3.3 Komplexné korene (charakteristickej rovnice) ltsakuxsasu648
3.4 Opakované korene steven328
3.4 Opakované korene hxie
3.4 Opakované korene karolinam926
3.5 Metóda nehomogénnych rovníc neurčitých koeficientov pak1s0ul
3.5 Metóda nehomogénnych rovníc neurčitých koeficientov chowdhuryshawn
3.5 Metóda nehomogénnych rovníc neurčitých koeficientov rana
3.7 Elektrické obvody skane17
3.7 Elektrické obvody anzamul hyder
Série riešení 5.2 v blízkosti obyčajného bodu kumar
Série riešení 5.2 v blízkosti obyčajného bodu jramroop4
6.1 Definícia Laplaceovej transformácie christianpinto
6.1 Definícia Laplaceovej transformácie abrahám
6.2 Laplaceova transformácia: Riešenie problémov s počiatočnou hodnotou (inverzná transformácia) vanessa2793
6.2 Laplaceova transformácia: Riešenie problémov s počiatočnou hodnotou (inverzná transformácia) aayush
8.1 Metóda Eulerovej alebo tangenciálnej čiary medinalex13
8.2 Vylepšenia Eulerovej metódy danielmwong
8.2 Vylepšenia Eulerovej metódy 520 krištáľ

Známkovanie: spolu 10 bodov (ekvivalent 2 úlohám OpenLab)


3.4: Metóda neurčitých koeficientov

Oddiel 4.3. Metóda neurčitých koeficientov.


# 12. Nájdite riešenie problému počiatočnej hodnoty y ^+ 2r '' + y '' + 8r'-12r = 12sin (t) -e ^ <-t>, y (0) = 3, y '(0) = 0, y' (0) = - 1, y '' (0) = 2. Používame metódu neurčitých koeficientov.

Riešenie charakteristickej rovnice:

& gt y_h (t): = c1 * exp (t) + c2 * exp (-3 * t) + c3 * cos (2 * t) + c4 * sin (2 * t)

Riešime dve nehomogénne diferenciálne rovnice:
(1) y ^+ 2r '' + r '' + 8r'-12r = 12 sín (t) a
(2) y ^+ 2r '' + y '' + 8r'-12r = -e ^ <-t>.
Pre prvý DE má konkrétne riešenie formu:

& gt rozdiel (Y1 (t), t $ 4) + 2 * rozdiel (Y1 (t), t $ 3) + rozdiel (Y1 (t), t $ 2) + 8 * rozdiel (Y1 (t), t) -12 * Y1 (t) = 12 * hriech (t)

& gt Y1 (t): = ponorky (A = -2/5, B = -4 / 5, Y1 (t))

Konkrétne riešenie druhého nehomogénneho DE (2) y ^+ 2y '' + y '' + 8y'-12y = -e ^ <-t> je v tvare:

& gt rozdiel (Y2 (t), t $ 4) + 2 * rozdiel (Y2 (t), t $ 3) + rozdiel (Y2 (t), t $ 2) + 8 * rozdiel (Y2 (t), t) -12 * Y2 (t) = - exp (-t)

Všeobecné riešenie daného DE je:

& gt y (t): = c1 * exp (t) + c2 * exp (-3 * t) + c3 * cos (2 * t) + c4 * sin (2 * t) + Y1 (t) + Y2 (t)

& gt eq1: = eval (y (t), t = 0) = 3:
eq2: = eval (rozdiel (y (t), t), t = 0) = 0:
eq3: = eval (rozdiel (y (t), t $ 2), t = 0) = - 1:
eq4: = eval (rozdiel (y (t), t $ 3), t = 0) = 2:

Riešením daného IVP je:

& gt y (t): = odbery (c2 = 73/520, c3 = 77/65, c4 = -49/130, c1 = 81/40, y (t))

# 9 / strana 224 y '' '+ 4y' = t, y (0) = 0, y '' (0) = 0, y '' (0) = 1

& gt eq1: = eval (y (t), t = 0) = 0:
eq2: = eval (rozdiel (y (t), t), t = 0) = 0:
eq3: = eval (rozdiel (y (t), t $ 2), t = 0) = 1:

& gt y (t): = odbery (c2 = -3/16, c1 = 3/16, c3 = 0, y (t))

Oddiel 4.4. Metóda zmeny parametrov

& gt s (LinearAlgebra):
w (t): = zjednodušiť (determinant (Matica ([[[y1 (t), y2 (t), y3 (t)]), [rozdiel (y1 (t), t), rozdiel (y2 (t), t) , rozdiel (y3 (t), t)], [rozdiel (y1 (t), t $ 2), rozdiel (y2 (t), t $ 2), rozdiel (y3 (t), t $ 2)]))))

w (t) je Wronskian z y1, y2, y3

& gt w1 (t): = zjednodušiť (determinant (Matica [[[0, y2 (t), y3 (t)], [0, rozdiel (y2 (t), t), rozdiel (y3 (t), t))] , [1, rozdiel (y2 (t), t $ 2), rozdiel (y3 (t), t $ 2)]])))
w2 (t): = Determinant (Matrix ([[y1 (t), 0, y3 (t)], [rozdiel (y1 (t), t), 0, rozdiel (y3 (t), t)), [ rozdiel (y1 (t), t $ 2), 1, rozdiel (y3 (t), t $ 2)]]))
w3 (t): = Determinant (Matrix [[[y1 (t), y2 (t), 0], [rozdiel (y1 (t), t), rozdiel (y2 (t), t), 0), [ rozdiel (y1 (t), t $ 2), rozdiel (y2 (t), t $ 2), 1]]))

& gt Y (t): = y1 (t) * int (g (t) * w1 (t) / w (t), t) + y2 (t) * int (g (t) * w2 (t) / w ( t), t) + y3 (t) * int (g (t) * w3 (t) / w (t), t)

& gt eq1: = eval (y (t), t = 0) = 2
eq2: = eval (rozdiel (y (t), t), t = 0) = 1
eq3: = eval (rozdiel (y (t), t $ 2), t = 0) = - 2

Najdlhší interval, pre ktorý riešenie existuje, je (-Pi / 2, Pi / 2).

Nájdite riešenie úlohy počiatočnej hodnoty y '' - y '= csc (t), y (pi / 2) = 2, y' (pi / 2) = 1, y '(pi / 2) = - 1. Používame metódu variácie parametrov.


3.4: Metóda neurčitých koeficientov

Videá nižšie sú súčasťou môjho kurzu diaľkového doručovania diferenciálnych rovníc. Videoprezentácie sú plynulo integrované do mojej knihy diferenciálnych rovníc a číslovanie modulov je rovnaké ako v knihe. Napriek tomu je možné tieto prezentácie použiť ako samostatné verzie bez mojej knihy alebo na samoštúdium. Myšlienkou bolo a je učiť matematiku, nie viac a nič menej. Prezentácie sú zoradené podľa tém. Názvy videí by mali byť samy osebe. „Licenciu“ získate tu.

Upozorňujeme, že videá boli natáčané takmer bez opätovných záberov za 4 až 8 hodín. Niektoré z nich teda budú mať malé „štikútanie“ a niektoré možno bude potrebné znova vystreliť. Na druhej strane sa mi páči dosť prirodzený „dojem z triedy“ videí. Žiadna prezentácia v triede nie je nikdy bezchybná a môže byť zábavné, keď chytíte učiteľku nesprávnu reč. (Presnú prezentáciu o Laplaceových transformáciách pre integrálne rovnice som si ponechal navyše.)

Videá boli vyrobené s tegritou. Najlepšie výsledky dosiahnete, ak si ich stiahnete a potom spustíte ako predvolený prehľadávač Internet Explorer. Podložné sklíčka boli vyrobené s balíkom LaTeX.

Toto je prehľad kurzu a mojej filozofie kurzu, text a videá. Na zvuk je niečo počuť. Možno budem musieť znova natočiť tento.

Modul 1. Modelovanie - niekoľko dôležitých príkladov.

  • Odvodenie diferenciálnej rovnice pre systém pružina-hmota. (Môže sa zobraziť tesne pred modulom 3.)
    Video. (9:49 min., 29 MB) snímky.
  • Odvodenie diferenciálnej rovnice pre obvod LRC. (Môže sa zobraziť tesne pred modulom 3.)
    Video. (7:11 min., 21 MB) Prezentácie.
  • Odvodenie diferenciálnych rovníc pre viac slučkový obvod, Kirchhoffove zákony. (Môže sa zobraziť tesne pred modulom 6.)
    Video. (7:27 min., 23 MB) Prezentácie.
  • Odvodenie rovnice pre kmitavý reťazec. (Môže sa zobraziť tesne pred modulom 7.)
    Video. (16:23 min, 49 MB) Prezentácie.
  • Odvodenie tepelnej rovnice. (Môže sa zobraziť tesne pred modulom 7.)
    Video. (10:08 min, 32 MB) Prezentácie.
  1. Všeobecné riešenie oddeliteľných diferenciálnych rovníc.
    Video. (8:47 min., 27 MB) Prezentácie.
    Riešenie úlohy počiatočných hodnôt pre oddeliteľnú diferenciálnu rovnicu. (Kontroluje integráciu substitúciou a integráciu po častiach.)
    Video. (12:18 min., 36 MB) Prezentácie.
    Nastavovanie úloh miešania a ich riešenie pomocou oddeliteľných diferenciálnych rovníc.
    Video. (15:41 min., 48 MB) Prezentácie.
  2. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu.
    Video. (8: 59min, 28MB) Prezentácie.
  3. Bernoulliho rovnice.
    Video. (15:36 min, 47 MB) Prezentácie.
  4. Homogénne rovnice prvého rádu.
    Video. (9: 01min, 27MB) Prezentácie.
  5. Presné diferenciálne rovnice.
    Video. (8:27 min., 26 MB) Prezentácie.
  6. Ako rozpoznať typy rovníc prvého rádu a ako ich preskúmať. (Hovorím dvakrát nesprávne, možný kandidát na opakované snímanie.) (Kapitola 2.7 v knihe.)
    Video. (15:58 min., 47 MB) Prezentácie.

Modul 3. Diferenčné rovnice konštantných koeficientov druhého rádu.

  1. Riešenie lineárnych homogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi. (Časti 3.1-3.3 v knihe.)
    Video. (18: 54 min., 55 MB) Prezentácie.
  2. Metóda neurčitých koeficientov. (Oddiel 3.4 v knihe.)
    Video. (21: 52 min., 65 MB) Prezentácie.
  3. Metóda neurčitých koeficientov, keď nútiaca funkcia rieši homogénnu rovnicu. (Časť 3.4 v knihe.) Na zvuk je niečo počuť. Možno budem musieť znova natočiť tento.
    Video. (21:26 min., 66 MB) Prezentácie.
  4. Vzorec pre variáciu parametrov. (Oddiel 3.5 v knihe.)
    Video. (19:49 min., 62 MB) Prezentácie.
  5. Vzorec pre variáciu parametrov. (Vyrieši to dosť nepríjemné integrály. Preklep na jednej snímke, kandidát na opätovné vystrelenie.)
    Video. (19: 24 min., 61 MB) Prezentácie.
  6. Cauchy-Eulerove rovnice. (Aj keď tieto rovnice nemajú konštantné koeficienty, na tomto mieste celkom dobre zapadajú.)
    Video. (14: 09min, 45MB) Prezentácie.

Modul 4. Kvalitatívne a numerické prístupy.

  1. Smerové polia.
    Video. (6: 59 min., 23 MB) Prezentácie.
    Autonómne diferenciálne rovnice.
    Video. (11: 19 min., 36 MB) Prezentácie.
  2. Eulerova metóda.
    Video. (21:06 min, 75 MB) Prezentácie.
  3. Vylepšená Eulerova metóda a Runge-Kuttova metóda.
    Video. (26: 33 min., 90 MB) Prezentácie.
  4. Metóda konečných rozdielov.
    Video. (25:42, 77 MB) Prezentácie.

Modul 5. Teória lineárnych diferenciálnych rovníc. (Iba jedno dlhé video.)

Modul 6. Laplaceove transformácie.

  1. Úvod do Laplaceových transformácií.
    Video. (23:38 min., 71 MB) Prezentácie.
  2. Riešenie problémov s počiatočnou hodnotou pomocou Laplaceových transformácií.
    Video. (13:46 min., 43 MB) Prezentácie.
  3. Riešenie systémov diferenciálnych rovníc Laplaceovými transformáciami.
    Video. (12:20 min., 39 MB) Prezentácie.
  4. Problém počiatočnej hodnoty, ktorý zahŕňa tlmené trigonometrické funkcie.
    Video. (20:29 min., 65 MB) Prezentácie.
  5. Krokové funkcie a Laplaceove transformácie.
    Video. (19:55 min., 61 MB) Prezentácie.
    Delta funkcie a Laplaceove transformácie.
    Video. (20:05 min, 63 MB) Prezentácie. Animácia.
  6. Laplaceove transformácie a konvolúcie.
    Video. (14:44 min., 47 MB) snímky.
    Laplaceove transformácie periodických funkcií.
    Video. (23:46 min., 72 MB) Prezentácie.
    Laplaceove transformácie integrálnych rovníc.
    Video. (10:33 min., 34 MB) Prezentácie.
    Prvé video (12: 07min, 38MB), ktoré som k tejto téme natočil, sa približuje k čiastkovým zlomkom neohrabane. Má srdečný komentár k mojim vlastným schopnostiam mierne po značke 5:00 minúty a ďalší desivý okamih po značke 8:45. (Na rozdiel od ostatných vtipov nebol ani jeden naplánovaný.)

Modul 7. Separácia premenných.

  • Riešenie rovnice pre kmitajúcu strunu. (Časti 7.1 - 7.3 v knihe.)
    Video. (32:46 min, 102 MB) Prezentácie. Animácia 1. Animácia 2. Animácia 3.
  • Odvodenie legendárnej rovnice. (Oddiel 7.4 v knihe.) Táto prezentácia spolu s prezentáciou Legendrových polynómov (pozri nižšie série riešení) poskytujú väčšinu matematiky pre kvantovo-mechanický opis atómu vodíka.
    Video. (22:00, 71 MB) Prezentácie.
  • Odvodenie Besselovej rovnice. (Oddiel 7.4 v knihe.)
    Video. (12:39 min, 41 MB) snímky.
  • Vlastné hodnoty operátora Laplace.
    Video. (9:32 min, 31 MB) snímky.

Modul 8. Sériové riešenia.

  • Taylorove polynómy (súhrn).
    Video. (13:45 min., 43 MB) Prezentácie.
  • Silový rad (súhrn).
    Video. (13:14 min., 43 MB) Prezentácie.
  1. Sériové riešenia o bežných bodoch.
    Video. (13:42 min., 43 MB) Prezentácie.
    Polomer konvergencie riešení energetických sérií.
    Video. (11:44 min., 37 MB) Prezentácie.
  2. Legendárne polynómy. Táto prezentácia a prezentácia odvodzovania Legendrovej rovnice (pozri oddelenie premenných vyššie) poskytujú väčšinu matematiky pre kvantovo-mechanický opis atómu vodíka.
    Video. (31:47 min., 101 MB) Prezentácie.
  3. Metóda Frobenius.
    Video. (19:14, 60 MB) Prezentácie.
    Metóda Frobenius: Príklad, v ktorom dostaneme iba jedno riešenie. (Tiež príklad konkrétnej Besselovej rovnice.) Na zvuku je niečo praskanie. Možno budem musieť znova natočiť tento.
    Video. (26:05 min, 75 MB) Prezentácie.
  4. Besselove rovnice.
    Video. (25: 57 min., 82 MB) Prezentácie. Animácia 1. Animácia 2.
  5. Zníženie objednávky. Táto téma sa sem hodí, pretože skutočnosť, že Frobeniova metóda poskytuje niekedy iba jedno riešenie, motivuje k zníženiu poriadku. Na zvuk je niečo počuť. Možno budem musieť znova natočiť tento.
    Video. (12:20 min., 37 MB) Prezentácie.

Modul 9. Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc.

  1. Preklad z vyšších rád do systémov prvého rádu.
    Video. (10: 19 min., 34 MB) Prezentácie.
  2. Násobenie matíc.
    Video. (9:00, 28 MB) Prezentácie.
  3. Diagonalizovateľné systémy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi.
    Video. (36: 02min, 112MB) Prezentácie.
    Diagonalizovateľné systémy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi, komplexné vlastné čísla.
    Video. (16:36 min., 56 MB) snímky.
  4. Nediagnostikovateľné systémy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi.
    Video. (13:28 min., 44 MB) Prezentácie.

Je zrejmé, že ak niečo zverejním, chcem, aby to ľudia použili. Tak to urob. Ak sa vám videá páčia, vyskúšajte knihu. Ak ste učiteľ, pokojne použite videá a prezentácie v triedach. Cieľom je dosiahnuť, aby ľudia dosiahli lepšie výsledky v matematike.

Jedna výhrada: Ak chcete vytvoriť online kurz s videami, nezabudnite, že som tak už urobil. Zvážte prosím odoslanie svojich študentov na môj kurz :)


6 nehomogénna rovnica Metóda neurčitých koeficientov

Nájdite nejaké samostatné riešenie Y (t) nehomogénnej rovnice. Toto riešenie sa často označuje ako konkrétne riešenie.

Pridajte dohromady funkcie nájdené v dvoch predchádzajúcich krokoch.

3.6 Metóda nehomogénnych rovníc neurčených koeficientov

Už sme diskutovali o tom, ako nájsť yc (t), prinajmenšom keď má homogénna rovnica (2) konštantné koeficienty. Preto vo zvyšku tejto časti a v

ďalej sa zameriame na nájdenie konkrétneho riešenia Y (t) nehomogénnej rovnice (1). Chceli by sme diskutovať o dvoch metódach. Sú známe ako metóda

neurčitých koeficientov a spôsob zmeny parametrov.

Každá z nich má určité výhody a niektoré možné nedostatky.

Metóda neurčených rozhodujúcich činiteľov. Metóda neurčených koeficientov vyžaduje, aby sme vytvorili počiatočný predpoklad o forme konkrétneho riešenia Y (t),

ale s tým, že spolupracovníci zostali nešpecifikovaní. Potom dosadíme predpokladaný výraz

do ekv. (1) a pokúsiť sa určiť koeficienty tak, aby vyhovovali tejto rovnici. Ak

sme úspešní, potom sme našli riešenie diferenciálnej rovnice (1) a

ho môže použiť pre konkrétne riešenie Y (t). Ak nemôžeme určiť koeficienty, potom

to znamená, že neexistuje riešenie formy, ktorú sme predpokladali. V takom prípade môžeme

upravte pôvodný predpoklad a skúste to znova.

Hlavnou výhodou metódy neurčených koeficientov je, že je ľahké ju vykonať hneď, ako sa vytvorí predpoklad vo forme Y (t). Jeho hlavné

obmedzením je, že je to užitočné predovšetkým pre rovnice, pre ktoré si môžeme ľahko zapísať

správna forma konkrétneho riešenia vopred. Z tohto dôvodu táto metóda

sa zvyčajne používa iba pri problémoch, pri ktorých má homogénna rovnica konštantu

koeficienty a nehomogénny výraz je obmedzený na relatívne malú triedu

funkcie. Zvažujeme najmä iba nehomogénne výrazy, ktoré pozostávajú z polynómov, exponenciálnych funkcií, sínusov a kosínusov. Napriek tomuto obmedzeniu metóda

neurčitých súčiniteľov je užitočný pri riešení mnohých problémov, ktoré majú dôležitý význam

aplikácie. Algebraické detaily však môžu byť zdĺhavé a počítačový algebraický systém môže byť v praktických aplikáciách veľmi užitočný. Metódu si ukážeme

neurčitých spolupracovníkov na niekoľkých jednoduchých príkladoch a potom niektoré zhrňte

Nájdite konkrétne riešenie

Hľadáme funkciu Y tak, aby kombinácia Y (t) - 3Y (t) - 4Y (t) bola rovnaká

do 3e2t. Pretože sa exponenciálna funkcia reprodukuje diferenciáciou, znak

najpravdepodobnejším spôsobom, ako dosiahnuť požadovaný výsledok, je predpoklad, že Y (t) je nejaký násobok

kde je ešte potrebné určiť koeficient A. Na nájdenie A vypočítame

a nahraďte y, y a y v rovnici. (9). Získame

Preto sa −6Ae2t musí rovnať 3e2t, takže A = −1/2. Konkrétne riešenie teda je

Kapitola 3. Lineárne rovnice druhého rádu

Nájdite konkrétne riešenie

Analogicky s príkladom 1 najskôr predpokladajme, že Y (t) = A sin t, kde A je a

konštanta, ktorá sa má určiť. Pri striedaní v ekv. (11) a zmena usporiadania podmienok, sme

−5A sin t - 3A cos t = 2 sin t,

Funkcie sin t a cos t sú lineárne nezávislé, takže Eq. (12) môže vydržať v intervale

iba ak sú koeficienty 2 + 5A a 3A nulové. Tieto protichodné požiadavky

znamenajú, že neexistuje voľba konštanty A, ktorá robí ekv. (12) platí pre všetky t. Teda

dospeli sme k záveru, že náš predpoklad týkajúci sa Y (t) je nedostatočný. Vzhľad

kosínusový výraz v ekv. (12) navrhuje, aby sme upravili náš pôvodný predpoklad tak, aby obsahoval a

kosínusový výraz v Y (t), to znamená,

kde sa majú určiť A a B. Potom

Nahradením týchto výrazov za y, y a y v rovnici. (11) a zhromažďovanie výrazov, my

(- A + 3B - 4A) sin t + (−B - 3A - 4B) cos t = 2 sin t.

Na uspokojenie ekv. (13) musíme zhodovať koeficienty sin t a cos t na každej strane

rovnica teda A a B musia vyhovovať rovniciam

Preto A = −5/17 a B = 3/17, takže konkrétne riešenie rovnice. (11) je

Metódu ilustrovanú v predchádzajúcich príkladoch možno použiť aj v prípade, že je to pravé

strana rovnice je polynóm. Teda nájsť konkrétne riešenie

spočiatku predpokladáme, že Y (t) je polynóm rovnakého stupňa ako nehomogénny

termín, to znamená, Y (t) = At ​​2 + Bt + C.

Aby sme zhrnuli naše závery až do tohto bodu: ak nehomogénny výraz g (t)

v ekv. (1) je exponenciálna funkcia eαt, potom predpokladajme, že Y (t) je úmerné k

rovnaká exponenciálna funkcia, ak g (t) je sin βt alebo cos βt, potom predpokladajme, že Y (t) je lineárny

kombinácia sin βt a cos βt, ak g (t) je polynóm, potom predpokladajme, že Y (t) je

polynóm rovnakého stupňa. Rovnaký princíp platí pre prípad, keď g (t) je

súčin ľubovoľných dvoch alebo všetkých troch z týchto typov funkcií, ako ďalší príklad

3.6 Metóda nehomogénnych rovníc neurčených koeficientov

Nájdite konkrétne riešenie

V tomto prípade predpokladáme, že Y (t) je súčinom e a lineárnou kombináciou

pretože 2t a hriech 2t, to znamená,

Y (t) = Aet cos 2t + Bet hriech 2t.

Algebra je v tomto príklade zdĺhavejšia, ale z toho vyplýva

Y (t) = (A + 2B) et cos 2t + (-2A + B) a sin 2t

Y (t) = (−3A + 4B) et cos 2t + (−4A - 3B) et sin 2t.

Nahradením týchto výrazov v ekv. (15), sme zistili, že A a B musia vyhovovať

Preto A = 10/13 a B = 2/13 preto konkrétne riešenie rovnice. (15) je


Ch 4'3: nehomogénne rovnice: metóda neurčitých koeficientov - prezentácia PPT v PowerPointe

Na nájdenie konkrétneho je možné použiť metódu neurčitých koeficientov. Diskusia: Súčet g (t) Znova zvážte našu všeobecnú nehomogénnu rovnicu. & ndash PowerPoint PPT prezentácia

PowerShow.com je popredný web na zdieľanie prezentácií a prezentácií. Či už je vašou aplikáciou podnikanie, návody, vzdelávanie, medicína, škola, kostol, predaj, marketing, online školenia alebo len pre zábavu, PowerShow.com je skvelým zdrojom. A čo je najlepšie, väčšina jeho skvelých funkcií je bezplatná a ľahko použiteľná.

Na portáli PowerShow.com môžete nájsť a stiahnuť ukážky online prezentácií programu PowerPoint ppt týkajúcich sa takmer akejkoľvek témy, ktorú si dokážete predstaviť, aby ste sa mohli naučiť, ako si zadarmo vylepšiť svoje vlastné prezentácie a prezentácie. Alebo ho použite na vyhľadanie a stiahnutie vysoko kvalitných prezentácií programu PowerPoint ppt s ilustrovanými alebo animovanými snímkami, ktoré vás naučia, ako robiť niečo nové, a to aj zadarmo. Alebo ho použite na nahranie vlastných snímok z PowerPointu, aby ste ich mohli zdieľať so svojimi učiteľmi, triedami, študentmi, šéfmi, zamestnancami, zákazníkmi, potenciálnymi investormi alebo so svetom. Alebo ich použite na vytvorenie skutočne skvelých prezentácií fotografií - s prechodmi 2D a 3D, animáciami a výberom hudby - ktoré môžete zdieľať so svojimi priateľmi na Facebooku alebo v kruhoch Google+. To je tiež všetko zadarmo!

Za malý poplatok môžete získať najlepšie online súkromie v tomto odbore alebo verejne propagovať svoje prezentácie a prezentácie pomocou najlepších hodnotení. Ale okrem toho je to zadarmo. Dokonca prevedieme vaše prezentácie a prezentácie do univerzálneho formátu Flash so všetkou ich originálnou multimediálnou slávou vrátane animácií, 2D a 3D prechodových efektov, vloženej hudby alebo iného zvuku alebo dokonca videa vloženého do snímok. Všetko zadarmo. Väčšina prezentácií a prezentácií na PowerShow.com je zadarmo na prezeranie, veľa z nich je dokonca zadarmo na stiahnutie. (Môžete sa rozhodnúť, či ľuďom umožníte sťahovať vaše pôvodné prezentácie v PowerPointe a prezentácie fotografií za poplatok alebo bezplatne alebo vôbec.) Skontrolujte stránku PowerShow.com ešte dnes - ZDARMA. Naozaj si každý môže nájsť niečo!

prezentácie zadarmo. Alebo ho použite na vyhľadanie a stiahnutie vysoko kvalitných prezentácií programu PowerPoint ppt s ilustrovanými alebo animovanými snímkami, ktoré vás naučia, ako robiť niečo nové, a to aj zadarmo. Alebo ho použite na nahranie vlastných snímok z PowerPointu, aby ste ich mohli zdieľať so svojimi učiteľmi, triedami, študentmi, šéfmi, zamestnancami, zákazníkmi, potenciálnymi investormi alebo so svetom. Alebo ich použite na vytvorenie skutočne skvelých prezentácií fotografií - s prechodmi 2D a 3D, animáciami a výberom hudby - ktoré môžete zdieľať so svojimi priateľmi na Facebooku alebo v kruhoch Google+. To je tiež všetko zadarmo!


Oddiel 3 3 Homog Const Coeff Oddiel 3 4 Non Homog metódou neurčitých koeficientov

3.3. Homogénne DE s konštantnými koeficientmi. Zvážte homogénne DE druhého rádu s konštantnými koeficientmi: a 2 y ′ ′ + a 1 y ′ + a 0 y = 0, a 2, a 1, a 0 sú čísla. Pri hľadaní riešenia v tvare = emx máme y = emx, y ′ = memx, y ′ ′ = m 2 emx a a 2 y ′ ′ + a 1 y ′ + a 0 y (x) = a 2 m 2 emx + a 1 memxy ′ + a 0 emx = emx [a 2 m 2 + a 1 m + a 0] = 0 ⇒ a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = 0. Usudzujeme, že musí ísť o riešenie kvadratická polynómová rovnica a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = 0 charakteristická rovnica nazývaná charakteristická rovnica daného DE. Máme 3 rôzne typy riešení charakteristickej rovnice, ktoré poskytujú tri rôzne formy všeobecného riešenia vyššie uvedeného homogénneho DE:

(a) Charakteristická rovnica má 2 odlišné reálne riešenia m 16 = m 2. Potom y = c 1 em 1 x + c 2 em 2 x je všeobecné riešenie (množina všetkých riešení DE), kde c 1 a c 2 sú ľubovoľné konštanty. Úloha 1. Nájdite všeobecné riešenie homogénneho DE y ′ ′ - y = 0. Riešenie. Pretože RHS DE je rovná 0, je teda homogénna. Koeficienty sú teda čísla, preto má konštantné koeficienty. Algoritmicky nahraďte v DEy′′bym 2 andyby 1. Takto získate charakteristickú rovnicu: m 2 −1 = 0 ⇒ m 1 = - 1, m 2 = 1.

Máme prípad 2 odlišných reálnych riešením 16 = m 2. Všeobecné riešenie má formu = c 1 em 1 x + c 2 em 2 x. Všeobecné riešenie (množina všetkých riešení) daného DE je teda y = c 1 e − x + c 2 pr. (b) Charakteristická rovnica má 2 opakované reálne riešenia m 1 = m 2. Potom y = c 1 em 1 x + c 2 xem 1 x je všeobecné riešenie (množina všetkých riešení DE), kde 1 a c 2 sú ľubovoľné konštanty. Úloha 2. Vyriešte homogénny DE, inými slovami, nájdite všeobecné riešenie DE 4 y ′ ′ + 4y ′ + y = 0. Riešenie. Daný DE je homogénny, pretože pravá strana sa rovná 0. DE je druhého rádu, lineárny, s konštantnými koeficientmi. Charakteristická rovnica je 4 m 2 + 4 m + 1 = 0. Charakteristickú rovnicu riešime pomocou kvadratického vzorca:

√ 16 − 16

Získali sme dve opakované riešeniam 1 = m 2 = - 1/2. Preto všeobecné riešenie má formy = c 1 em 1 x + c 2 xem 1 x. Všeobecné riešenie (množina všetkých riešení) daného lineárneho, homogénneho DE druhého rádu je teda: y = c 1 e− 12 x + c 2 xe− 12 x. Pri ďalších úvahách budeme potrebovať komplexné čísla. (c) Charakteristická rovnica má 2 komplexné (konjugované) riešenia m 1 = α + iβ, m 2 = α − iβ, kde α a β sú reálne čísla ai sú imaginárne jednotky i 2 = −1. Potom je zložitá forma všeobecného riešenia (množina všetkých riešení DE): y = c 1 em 1 x + c 2 em 2 x ⇒ y = c 1 e (α − iβ) x + c 2 eα + iβ) x

na intervale (−∞, ∞). Potom nájdite všeobecné riešenie daného DE. Riešenie. The characteristic equation of the given DE is: m 2 −9 = 0 ⇒m 2 = 9 ⇒m 1 , 2 =± 3. Then, two solutions of the DE are: y 1 =e− 3 x, y 2 =e 3 x. In order to show that they form a fundamental set on (−∞,∞), we have to show that they are linearly independent on (−∞,∞). Compute the Wronskian:

SinceW(y 1 , y 2 ) 6 = 0 on (−∞,∞), we conclude thaty 1 , y 2 are linearly independent on (−∞,∞). Thus,y 1 , y 2 form a fundamental set of solutions (−∞,∞). In view of this, the general solution of the equation isy=c 1 e− 3 x+c 2 e 3 x.

Problem 5.The family of functions: y=c 1 ex+c 2 e−x is the general solution of the differential equation: y′′−y= 0 on the interval (−∞,∞). Find a member of the family (a particular solution) that is the unique solution of the initial-value problem (IVP): y′′−y= 0, y(0) = 0, y′(0) = 1. Solution.We differentiatey(x) =c 1 ex+c 2 e−xto obtainy′(x) =c 1 ex−c 2 e−x.Then, applying the initial conditions gives: y(0) =c 1 +c 2 = 0, y′(0) =c 1 −c 2 = 1. Solving the linear system: c 1 +c 2 = 0 c 1 −c 2 = 1

we determine the constantsc 1 andc 2 :

Thus, the unique solution of the given IVP is

Problem 6.Find the general solution of the DE y′′− 4 y′+ 3y= 0. Solution. The characteristic equation of the given DE:

√ 16 − 12

2 = 1, 3.

Hence, we have the case of 2 distinct real solutionsm 16 =m 2. The general solution of the given DE is: y=c 1 ex+c 2 e 3 x. Problem 7.Solve the 3rd order liner DE with constant coefficients y(3)−y= 0. Solution. The characteristic equation of the given DE: m 3 −1 = 0 recall that a 3 −b 3 = (a−b)(a 2 +ab+b 2 ) ⇒(m−1)(m 2 +m+ 1) = 0 ⇒m 1 = 1, m 2 , 3 =− 1 ±

The general solution incomplex form: y=c 1 em 1 x+c 2 em 2 x+c 3 em 3 x y=c 1 ex+c 2 e(− 1 / 2 −i√ 3 /2)x+c 3 e(− 1 /2+i√ 3 /2)x.

3.4. The Method of Undetermined Coefficients to findyp. First, note that the method of undetermined coefficients applies to DEs with constant coefficients. However, In some particular cases it can be applied to DEs withnon-constant coeffi- cients. Problem 1. Find the general solution of the non-homogeneous DE y′′−y=x 2 by using undetermined coefficients. First, solve the associated homogeneous DE to find the complementary functionyc that is the general solution of the corresponding homogeneous DE y′′−y= 0. m 2 −1 = 0⇒m 1 , 2 =± 1. yc=c 1 e−x+c 2 ex. The general solution of the given DE is y=yc+yp whereypis a particular solution of Next, consider the RHS and differentiate: g(x) =x 2 ⇒g′(x) =x⇒g′′(x) = 1⇒g′′′(x) = 0. All derivatives ofg(x), includingg(x), have the form:Ax 2 +Bx+C.Hence, we shall look for a particular solutionypin a form: yp=Ax 2 +Bx+C. Hence, this is the true form ofyp. We compute: y′p= 2Ax+B, y′′p= 2A. Plug these values into the DE in order to solve for the constantsA, BandC: y′′p−yp= 2A−Ax 2 −Bx−C=x 2 −Ax 2 −Bx+ (2A−C) = (1)x 2 + (0)x+ (0) ⇒ −A= 1, −B= 0, 2 A−C= 0 ⇒B= 0, A=− 1 , C=− 2 ⇒yp=−x 2 − 2.

Finally, the general solution is: y=yc+yp y=c 1 e−x+c 2 ex−x 2 − 2. Problem 2. Given the DE y′′+y=x. Find the general solution by using the method of undetermined coefficients. Solution. First, solve the associated homogeneous DE in order to find thecomple- mentary functionyc(x)

m 2 + 1 = 0 ⇒m±i ⇒yc=c 1 cos(x) +c 2 sin(x).

Now, we look foryp: g(x) =x, g′(x) = 1, g′′(x) = 0. Hence, we have to look forypin a form yp=Ax+B

becauseAx+Brepresentsgand all derivatives ofg. Thus,yp=Ax+B,yp′=Aand y′′p= 0.Plugging these values into the DE in order to solve forAandB: 0 +Ax+B=x ⇒A= 1, B= 0.

So,yp=x. The general solution is y=yc+yp y=c 1 cos(x) +c 2 sin(x) +x. The effect of overlapping of the preliminary form ofypwithyc: Problem 3.Solve by using undetermined coefficients the second-order, non-homogeneous, linear DE with constant coefficients y′′+ 4y′+ 4y=e− 2 x.

Step 3. Plug-inypinto the DE,y′′+ 4y′+ 4y=e− 2 xin order to solve forA. To do this, we must first findy′pandy′′p:

yp=Ax 2 e− 2 x ⇒yp′= 2Axe− 2 x− 2 Ax 2 e− 2 x ⇒yp′′= 2Ae− 2 x− 4 Axe− 2 x− 4 Axe− 2 x+ 4Ax 2 e− 2 x

Plugging these values into the DE in order to solve for the constantA: 2 Ae− 2 x− 4 Axe− 2 x− 4 Axe− 2 x+ 4Ax 2 e− 2 x +4(2Axe− 2 x− 2 Ax 2 e− 2 x) + 4(Ax 2 e− 2 x) =e− 2 x. ⇒ 2 Ae− 2 x=e− 2 x ⇒ 2 A= 1 ⇒A= 12

Thus, since we have guessedyp=Ax 2 e− 2 xthe particular solution is

Step 4.The general solution of the given DE is y=yc+yp. Thus, y=c 1 e− 2 x+c 2 xe− 2 x+ 12 x 2 e− 2 x. Problem 4.Solve by the method of undetermined coefficients: y′′+ 4y=excos(x). Solution. First, solve the associated homogeneous DE: m 2 + 4 = 0 ⇒m 1 , 2 =± 2 i ⇒yc=c 1 cos(2x) +c 2 sin(2x). Next, guess a particular solution by consecutively differentiating the right-hand side of the DE: yp= (Acosx+Bsinx)ex.

There is no overlapping of the form of yp with yc! Thus, we proceed by computingyp′ andyp′′, in order to plug them into the DE to solve for the constantsA andB: yp= (Acosx+Bsinx)ex ⇒ y′p= (−Asin(x) +Bcos(x))ex+ (Acos(x) +Bsin(x))ex ⇒ y′p= ((B−A) sin(x) + (B+A) cos(x))ex. ⇒ y′′p= ((B−A) cos(x) + (−B−A) sin(x))ex+ ((B−A) sin(x) + (B+A) cos(x))ex. Then, ⇒ y′′p+ 4yp= (2Bcos(x)− 2 Asin(x))ex+ (4Acos(x) + 4Bsin(x))ex=excos(x) ⇒ (2B+ 4A)excos(x) + (4B− 2 A) sin(x)ex=excos(x) ⇒ 2 B+ 4A= 1 ⇒ 4 B− 2 A= 0


The Method of Undetermined Coefficients

This method is very simple. First make an ansatz for the form of the formula you want, and leave the coefficients as variables. Napríklad, f'i = ( a-1 fi-1 + a0 fi + a1 fi+1 + a2 fi+2 )

This example has four undetermined coefficents. Now choose four functions you want this formula to treat exactly. For our example we will choose f(X) = 1, f(X) = x - xi, f(X) = (x - xi) 2 , and f(X) = (x - xi) 3 .


3 odpovede 3

Not as automated as kglr's solution, but the following works:

This method also handles the new added example Integrate[1/(x Sqrt[x + 16]), ] == a Log[3] + b Log[11] .

I am interpreting your question to mean that you want logarithms of rational numbers to be expressed purely in terms of logarithms of primes. If so, one can use a replacement rule:

Alternatively, one can use FindIntegerNullVector[] , similar to what was done in this answer:


Pozri si video: predavanje - OE. Metoda superpozicije (December 2021).