Články

14: Čiastočná diferenciácia


  • 14.1: Funkcie viacerých premenných
    Funkcia f: R2 → R mapuje dvojicu hodnôt (x, y) na jediné reálne číslo. Trojrozmerný súradnicový systém, ktorý sme už použili, je pohodlný spôsob vizualizácie týchto funkcií: nad každým bodom (x, y) v rovine x - y nakreslíme graf bodu (x, y, z), kde samozrejme z = f (x, y).
  • 14.2: Limity a kontinuita
    Aby sme vyvinuli počet pre funkcie jednej premennej, bolo potrebné pochopiť koncept limitu, ktorý sme potrebovali na pochopenie spojitých funkcií a na definovanie derivácie. Hranice týkajúce sa funkcií dvoch premenných môžu byť omnoho ťažšie zvládnuteľné; našťastie je väčšina funkcií, s ktorými sa stretávame, pomerne ľahko pochopiteľná.
  • 14.3: Čiastočná diferenciácia
    Čiastočná derivácia funkcie viacerých premenných je jej derivácia, pokiaľ ide o jednu z týchto premenných, pričom ostatné hodnoty sú konštantné (na rozdiel od celkovej derivácie, v ktorej sa môžu meniť všetky premenné).
  • 14.4: Reťazové pravidlo
    Nie je prekvapením, že rovnaké pravidlo reťazca, ktoré bolo formulované pre funkciu jednej premennej, funguje aj pre funkcie viac ako dvoch premenných.
  • 14.5: Smerové deriváty
    Smerová derivácia viacrozmernej diferencovateľnej funkcie pozdĺž daného vektora v v danom bode x intuitívne predstavuje okamžitú rýchlosť zmeny funkcie pohybujúcu sa cez x rýchlosťou určenou v. Preto zovšeobecňuje pojem parciálnej derivácie v pričom rýchlosť zmeny je vedená pozdĺž jednej z krivkových súradnicových kriviek, pričom všetky ostatné súradnice sú konštantné.
  • 14.6: Deriváty vyšších rádov
    V jednom premennom kalkuse sme videli, že druhá derivácia je často užitočná: za vhodných okolností meria zrýchlenie; dá sa použiť na identifikáciu maximálneho a minimálneho bodu; hovorí nám niečo o tom, ako ostro je graf zakrivený. Niet divu, že druhé derivácie sú tiež užitočné v prípade viacerých premenných, ale opäť neprekvapuje, že veci sú trochu komplikovanejšie.
  • 14.7: Maximá a minimá
    Maximá a minimá (príslušné množiny maxima a minima) funkcie, ktoré sa súhrnne nazývajú extrémy (množné číslo extréma), sú najväčšou a najmenšou hodnotou funkcie, buď v danom rozsahu (lokálne alebo relatívne extrémy). alebo na celej doméne funkcie.
  • 14.8: Lagrangeove multiplikátory
    Mnoho použitých max / min problémov spočíva v nájdení extrémnej hodnoty funkcie, ktorá je obmedzená. Často sa to dá dosiahnuť tak, ako to máme my, výslovným spojením rovníc a nájdením kritických bodov. Existuje často ďalší pohodlný prístup, metóda Lagrangeových multiplikátorov.
  • 14.E: Čiastočná diferenciácia (cvičenia)
    Toto sú domáce úlohy, ktoré majú sprevádzať textovú mapu „General Calculus“ od Davida Guicharda.

Miniatúra: Graf (x ^ 2 + xy + y ^ 2 = z ) a (y = 1 ). Chceme nájsť parciálnu deriváciu, ktorá ponecháva konštantnú; zodpovedajúca dotyčnica je rovnobežná s osou. (CC BY-SA 3.0; Skutočne123).


Čiastočná diferenciácia tenzora

Mám pochybnosti vo vyhlásení, že čiastočná alebo obyčajná diferenciácia tenzora nie je tenzor. Argumentom pre to je, že čiastočná diferenciácia tenzora zahŕňa hodnotenie transformačnej matice v dvoch susedných bodoch (povedzme $ P $ a $ Q $) v potrubí a definíciou tenzora (množiny veličín, ktoré sa transformujú podľa toho pravidlo, kde sa transformačná matica hodnotí v bode $ P $) to tak nie je. Čiastočná diferenciácia tenzora teda nie je tenzorová. Teraz pochybujem: čo ak sú transformačné matice v týchto bodoch rovnaké?


14: Čiastočná diferenciácia

V tomto laboratóriu sa pohodlnejšie oboznámime s využitím symbolickej sily Mathematica. V tomto procese preskúmame reťazcové pravidlo použité na funkcie mnohých premenných.

Funkcia je pravidlo, ktoré každému bodu v priestore priradí jednu hodnotu, napr. w = f (x, y) priradí hodnotu w každému bodu (x, y) v dvojrozmernom priestore. Ak definujeme parametrickú cestu x = g (t), y = h (t), potom je funkcia w (t) = f (g (t), h (t)) pozdĺž cesty jednorozmerná. Derivát možno nájsť substitúciou a diferenciáciou,

Vyberme primerane grotesknú funkciu,

Najskôr definujte funkciu pre neskoršie použitie: Teraz nájdeme deriváciu f pozdĺž eliptickej cesty,. Najskôr priamym striedaním. Nájdite w (t) Derivát potom nájdete pomocou Ako by ste to chceli urobiť ručne?

Teraz skúsme použiť reťazové pravidlo. Najskôr definujte premenné cesty: a teraz urobme Reťazové pravidlo: Všimnite si, že toto má premenné x, y a t. Je to tak preto, lebo sme nenahradili cestu pre x a y. K tomu použijeme operáciu substitúcie v Mathematica, `/. - & gt '. Pokúste sa nájsť túto konečnú podobu: Ak chcete zistiť, že obe metódy poskytujú rovnakú odpoveď, skúste ich odčítať a zjednodušiť: Ak ste urobili všetko správne, výsledok by mal byť `0. '

Rovnaké postupy fungujú v podstate pre verziu s rôznymi variáciami reťazového pravidla. Skúste nájsť a kde r a sú polárne súradnice, to je a. Najskôr vezmite deriváty po priamej substitúcii za, Potom skúste priamo použiť reťazcové pravidlo,

a potom substitúcia, ktorú je v Mathematica možné uskutočniť pomocou substitúcie

Vyskúšajte niekoľko domácich úloh. Obzvlášť môžete chcieť roztočiť niektoré z implicitných problémov s diferenciáciou.


14: Čiastočná diferenciácia

V tejto časti sa pozrieme na integrály racionálnych výrazov polynómov a znova začnime túto časť integrálom, ktorý už môžeme urobiť, aby sme ho mohli porovnať s integrálmi, ktoré v tejto časti urobíme. .

Pokiaľ je teda čitateľ deriváciou menovateľa (alebo konštantným násobkom derivácie menovateľa), je tento druh integrálu dosť jednoduchý. Čitateľ však často nie je derivátom menovateľa (alebo konštantným násobkom). Zvážte napríklad nasledujúci integrál.

V tomto prípade čitateľ určite nie je deriváciou menovateľa, ani nie je konštantným násobkom derivácie menovateľa. Jednoduchá substitúcia, ktorú sme použili vyššie, preto nebude fungovať. Ak si však všimneme, že integrand možno rozdeliť nasledovne,

potom je integrál vlastne celkom jednoduchý.

Tento proces prijímania racionálneho výrazu a jeho rozkladu na jednoduchšie racionálne výrazy, ktoré môžeme sčítať alebo odčítať, aby sme získali pôvodný racionálny výraz, sa nazýva rozklad parciálnych frakcií. Mnoho integrálov zahŕňajúcich racionálne výrazy sa dá urobiť, ak najskôr urobíme parciálne zlomky na integrante.

Poďme si teda rýchlo prečítať čiastkové zlomky. Začneme racionálnym vyjadrením v podobe,

kde obidva (P ľavé (x pravé) ) a (Q ľavé (x pravé) ) sú polynómy a stupeň (P ľavý (x pravý) ) je menší ako stupeň z (Q doľava (x doprava) ). Pripomeňme, že stupeň polynómu je najväčším exponentom v polynóme. Čiastočné zlomky je možné vykonať, iba ak je stupeň čitateľa prísne menší ako stupeň menovateľa. To je dôležité mať na pamäti.

Keď už teda určíme, že je možné robiť čiastkové zlomky, faktora menujeme čo najúplnejšie. Potom pre každý faktor v menovateli môžeme pomocou nasledujúcej tabuľky určiť členy, ktoré zachytíme v rozklade parciálnych zlomkov.

Všimnite si, že prvý a tretí prípad sú skutočne zvláštne prípady druhého a štvrtého prípadu.

Existuje niekoľko metód na stanovenie koeficientov pre každý výraz a každú z nich si prejdeme v nasledujúcich príkladoch.

Začnime príklady vykonaním integrálu vyššie.

Prvým krokom je čo najviac faktorovanie menovateľa a získanie formy rozkladu čiastočnej frakcie. Toto dáva,

Ďalším krokom je skutočné pridanie pravej strany späť.

Teraz musíme zvoliť (A ) a (B ), aby čitatelia týchto dvoch boli rovnakí pre každé (x ). Aby sme to dosiahli, budeme musieť čitateľov nastaviť rovnako.

[3x + 11 = A vľavo ( vpravo) + B vľavo ( správny)]

Upozorňujeme, že vo väčšine problémov prejdeme priamo od všeobecnej formy rozkladu k tomuto kroku a nebudeme sa trápiť skutočným pridávaním výrazov späť. Jediným bodom pri pridávaní výrazov je získanie čitateľa a ten môžeme získať bez skutočného zapísania výsledkov sčítania.

V tejto chvíli máme jeden z dvoch spôsobov, ako postupovať. Jeden spôsob bude vždy fungovať, ale často je to viac práce. Ten druhý, aj keď to nebude vždy fungovať, je často rýchlejší, keď bude fungovať. V takom prípade budú obidve fungovať, a preto v tomto príklade použijeme rýchlejšiu cestu. Na ďalšiu metódu sa pozrieme v ďalšom príklade.

Tu si musíme všimnúť, že čitatelia musia byť rovnakí ľubovoľné x ktoré by sme sa rozhodli použiť. Najmä čitatelia musia byť rovnaké pre (x = - 2 ) a (x = 3 ). Poďme ich teda zapojiť a uvidíme, čo dostaneme.

[začaťx & = - 2: & hspace <0,5in> 5 & = A left (0 right) + B left (<- 5> right) & hspace <0,25in> & Rightarrow & hspace < 0,25in> B & = - 1 x & = 3 , , , ,: & hspace <0,5in> 20 & = A doľava (5 doprava) + B doľava (0 doprava) & hspace <0,25in> & Rightarrow & hspace <0,25in> A & = 4 end]

Takže opatrným výberom znaku (x ) dostaneme neznáme konštanty, aby rýchlo vypadli. Upozorňujeme, že toto sú hodnoty, o ktorých sme tvrdili, že budú vyššie.

V tomto okamihu naozaj nie je veľa iného ako integrál.

Pripomeňme si, že na vykonanie tohto integrálu sme ho najskôr rozdelili na dva integrály a potom sme použili substitúcie,

na integráloch získať konečnú odpoveď.

Pred prechodom na nasledujúci príklad je tu niekoľko rýchlych poznámok. Po prvé, veľa problémov s integrálmi v parciálnych zlomkoch spadá do typu integrálu, ktorý je viditeľný vyššie. Uistite sa, že tieto integrály dokážete.

Existuje aj ďalší integrál, ktorý sa často objavuje v týchto druhoch problémov, takže tu môžeme uviesť aj jeho vzorec, pretože sa už touto témou zaoberáme.

Bude to príklad alebo dva, kým to použijeme, takže na to nezabudnite.

Poďme si teraz predstaviť niekoľko ďalších príkladov.

Tomuto riešeniu nebudeme venovať toľko detailov, ako tomu bolo v predchádzajúcom príklade. Prvá vec je faktorovať menovateľa a získať formu rozkladu parciálnych zlomkov.

Ďalším krokom je nastavenie si čitateľov rovných. Ak potrebujete skutočne pridať pravú stranu spolu, aby ste získali čitateľa pre túto stranu, mali by ste to urobiť, určite to však problém urýchli, ak si v hlave urobíte sčítanie,

[ + 4 = A vľavo ( right) left (<3x - 2> right) + Bx left (<3x - 2> right) + Cx left ( správny)]

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade to vyzerá, že stačí vybrať niekoľko hodnôt (x ) a nájsť konštanty, tak to urobme.

[začaťx & = 0 , , , , ,: & hspace <0,5in> 4 & = A left (2 right) left (<- 2> right) & hspace <0,5in> & Rightarrow & hspace <0,25in> A & = - 1 x & = - 2: & hspace <0,5in> 8 & = B vľavo (<- 2> vpravo) vľavo (<- 8 > right) & hspace <0,25in> & Rightarrow & hspace <0,25in> B & = frac <1> <2> x & = frac <2> <3> , ,: & hspace <0,5in> frac <<40>> <9> & = C vľavo ( <3>> vpravo) vľavo ( <3>> vpravo) & hspace <0,25in> & Rightarrow & hspace <0,25in> C & = frac <<40>> <<16>> = frac <5> <2> end]

Upozorňujeme, že na rozdiel od prvého príkladu sú tu väčšina koeficientov zlomky. To nie je nezvyčajné, takže sa tým nenechajte nadchnúť, keď sa to stane.

Ako už bolo uvedené vyššie, integrály, ktoré generujú prirodzené logaritmy, sú v týchto problémoch veľmi časté, takže ich určite môžete urobiť. Tiež ste dokázali správne urobiť posledný integrál, že? Koeficient ( frac <5> <6> ) je správny. Uistite sa, že ste substitúciu požadovanú pre daný termín vykonali správne.

Tentokrát je menovateľ už započítaný, takže poďme rovno k rozkladu na parciálne zlomky.

[ - 29x + 5 = A vľavo ( vpravo) vľavo (<+ 3> vpravo) + B vľavo (<+ 3> vpravo) + doľava ( vpravo) < vľavo ( vpravo) ^ 2> ]

V tomto prípade nebudeme môcť iba zvoliť hodnoty (x ), ktoré nám poskytnú všetky konštanty. Preto budeme musieť pracovať týmto druhým (a často dlhším) spôsobom. Prvým krokom je vynásobenie pravej strany a zhromaždenie všetkých podobných výrazov dohromady. Toto dáva,

[ - 29x + 5 = vľavo ( správny) + doľava (<- 4A + B - 8C + D> doprava) + doľava (<3A + 16C - 8D> doprava) x - 12A + 3B + 16D ]

Teraz musíme zvoliť (A ), (B ), (C ) a (D ), aby boli tieto dva rovnaké. Inými slovami, budeme musieť nastaviť koeficienty podobných mocnin (x ) rovných. Takto získate sústavu rovníc, ktorú je možné vyriešiť.

[ vľavo. začať &: hspace <0,25in> & A + C & = 0 &: hspace <0,25in> & - 4A + B - 8C + D & = 1 &: hspace <0,25in> & 3A + 16C - 8D & = - 29 &: hspace <0,25in> & - 12A + 3B + 16D & = 5 end right > hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> A = 1, , B = - 5, , C = - 1, , D = 2 ]

Všimnite si, že sme použili () na vyjadrenie konštánt. Upozorňujeme tiež, že tieto systémy môžu byť často pomerne veľké a na ich riešení je potrebné značné množstvo práce. Najlepším spôsobom, ako sa s nimi vyrovnať, je použiť určitú formu techník riešenia pomocou počítača.

Teraz sa pozrime na integrál.

Aby sme sa mohli postarať o tretie volebné obdobie, museli sme ho rozdeliť na dva samostatné termíny. Keď to urobíme, môžeme urobiť všetky integrály problému. Prvé dva používajú substitúciu (u = x - 4 ), tretie používa substitúciu (v = + 3 ) a štvrtý člen používa vzorec uvedený vyššie pre inverzné dotyčnice.

Poďme si najskôr predstaviť všeobecnú formu rozkladu parciálnych zlomkov.

Teraz nastavte čitateľov rovnako, rozbaľte pravú stranu a zbierajte podobné výrazy.

Nastavením rovnakého koeficientu sa získa nasledujúci systém.

[ vľavo. začať &: hspace <0,25in> & A + B & = 0 &: hspace <0,25in> & C - B & = 1 &: hspace <0,25in> & 8A + 4B - C + D & = 10 &: hspace <0,25in> & - 4B + 4C - D + E & = 3 &: hspace <0,25in> & 16A - 4C - E & = 36 end right > , , , , , Rightarrow , , , , , , , , A = 2, , B = - 2, , C = - 1, , D = 1, , E = 0 ]

Nerozrušujte sa, ak niektoré koeficienty budú nulové. Stáva sa to príležitostne.

Do tohto bodu sme sa pozreli iba na racionálne výrazy, kde stupeň čitateľa bol striktne menší ako stupeň menovateľa. Nie všetky racionálne výrazy samozrejme zapadnú do tejto formy, a preto si musíme pozrieť zopár príkladov, kde to tak nie je.

Takže v tomto prípade je stupeň čitateľa 4 a stupeň menovateľa 3. Preto nie je možné s týmto racionálnym výrazom robiť čiastkové zlomky.

Aby sme to napravili, budeme musieť urobiť dlhé delenie, aby sme to dostali do formy, s ktorou si budeme vedieť poradiť. Tu je práca za to.

Z dlhého delenia teda vidíme,

Prvý integrál môžeme urobiť dosť ľahko a druhý integrál je teraz vo forme, ktorá nám umožňuje robiť čiastkové zlomky. Poďme teda na všeobecnú formu parciálnych zlomkov pre druhé celé číslo.

Nastavením čitateľov na rovnakú hodnotu získame

[18 = Sekera vľavo ( vpravo) + B vľavo ( vpravo) + C.]

Teraz existuje variácia metódy, ktorú sme použili v prvých dvoch príkladoch, ktoré tu budú fungovať. Existuje niekoľko hodnôt (x ), ktoré nám umožnia rýchlo získať dve z troch konštánt, ale neexistuje žiadna hodnota (x ), ktorá by nám iba odovzdala tretiu.

V tomto príklade urobíme to, že výberom (x ) dostaneme dve konštanty, ktoré môžeme ľahko získať, a potom iba vyberieme ďalšiu hodnotu (x ), s ktorou sa bude ľahko pracovať (t.j. nikde nebude mať veľké / chaotické čísla) a potom použijeme skutočnosť, že poznáme aj ďalšie dve konštanty, aby sme našli tretiu.

[začaťx & = 0: & hspace <0,25in> 18 & = B left (<- 3> right) & hspace <0,15in> Rightarrow hspace <0,25in> B & = - 6 x & = 3: & hspace <0,25in> 18 & = C doľava (9 right) & hspace <0,15in> Rightarrow hspace <0,25in> C & = 2 x & = 1: & 18 & = A ľavý (<- 2> pravý) + B ľavý (<- 2> pravý) + C = - 2A + 14 & hspace <0,15in> Rightarrow hspace <0,25in> A & = - 2 koniec]

V predchádzajúcom príklade boli v skutočnosti dva rôzne spôsoby riešenia () v menovateli. Jedným z nich je považovať to za kvadratické, ktoré by dalo rozkladu nasledujúci výraz

a druhá je považovať ju za lineárny výraz nasledujúcim spôsobom,

ktorý dáva nasledujúce dva výrazy v rozklade,

Druhý spôsob uvažovania sme použili v našom príklade. Všimnite si však, že tieto dva spôsoby poskytnú rovnaké rozklady parciálnych zlomkov. Tak prečo o tom hovoriť? Jednoduché. Toto bude fungovať pre (), ale čo () alebo ()? V týchto prípadoch budeme skutočne musieť použiť druhý spôsob uvažovania o týchto druhoch výrazov.

Pozrime sa ešte na jeden príklad.

V tomto prípade majú čitateľ a menovateľ rovnaký stupeň. Rovnako ako v poslednom príklade budeme musieť urobiť dlhé delenie, aby sme to dostali do správnej formy. Podrobnosti o tom necháme na kontrolu.

Budeme teda musieť urobiť zlomok druhého integrálu. Tu je rozklad.

Nastavenie čitateľa rovnaké,

[1 = A vľavo ( vpravo) + B vľavo ( správny)]

Výber hodnoty (x ) nám dáva nasledujúce koeficienty.

[začaťx & = - 1: & hspace <0,25in> 1 & = B doľava (<- 2> right) & hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,5in> B & = - frac <1 > <2> x & = 1 , , , ,: & hspace <0,25in> 1 & = A left (2 right) & hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,5 v> A & = frac <1> <2> koniec]


Implicitná diferenciácia a druhá

Toto je jeden z viac ako 2 400 kurzov OCW. Preskúmajte materiály tohto kurzu na stránkach prepojených zľava.

MIT OpenCourseWare je bezplatná a otvorená publikácia materiálu z tisícov kurzov MIT, ktorá zahŕňa celé osnovy MIT.

Žiadna registrácia ani registrácia. Voľne prechádzajte a používajte materiály OCW svojim vlastným tempom. Neexistuje žiadna registrácia a dátum začatia ani ukončenia.

Vedomosti sú vašou odmenou. Použite OCW na vedenie svojho celoživotného vzdelávania alebo na výučbu ostatných. Za používanie OCW neponúkame kredit ani certifikáciu.

Vyrobené na zdieľanie. Stiahnite si súbory na neskôr. Poslať priateľom a kolegom. Upravte, remixujte a znova použite (nezabudnite uviesť ako zdroj OCW.)


14: Čiastočná diferenciácia

V kalkulu I a vo väčšine kalkulu II sme sa sústredili na funkcie jednej premennej. V kalkulu III rozšírime svoje znalosti kalkulu o funkcie dvoch alebo viacerých premenných. Napriek tomu, že táto kapitola pojednáva o deriváciách, začneme kapitolu kapitolou o limitoch funkcií viac ako jednej premennej. Vo zvyšku tejto kapitoly sa pozrieme na rozlišovacie funkcie viac ako jednej premennej. Ako uvidíme, aj keď existujú rozdiely s derivátmi funkcií jednej premennej, pokiaľ môžete robiť derivácie funkcií jednej premennej, nemali by ste mať problémy s diferenciáciou funkcií viac ako jednej premennej. Pri našej práci si budete musieť uvedomiť iba jednu jemnosť.

Tu je zoznam tém v tejto kapitole.

Limity - V tejto časti sa rýchlo pozrieme na hodnotenie limitov funkcií viacerých premenných. Uvidíme tiež pomerne rýchlu metódu, ktorú je možné občas použiť na preukázanie toho, že určité limity neexistujú.

Parciálne deriváty - V tejto časti sa pozrieme na myšlienku parciálnych derivácií. Uvedieme formálnu definíciu parciálnej derivácie, ako aj štandardné notácie a spôsob ich výpočtu v praxi (t. J. Bez použitia definície). Ako uvidíte, či môžete robiť derivácie funkcií jednej premennej, s čiastočnými deriváciami nebudete mať veľký problém. Existuje iba jedna (veľmi dôležitá) jemnosť, na ktorú musíte mať pri výpočte parciálnych derivácií vždy ohľad.

Interpretácie parciálnych derivátov - V tejto časti sa pozrieme na niekoľko dôležitých interpretácií parciálnych derivácií. Po prvé, vždy dôležitá, miera zmeny funkcie. Aj keď teraz máme viac „smerov“, v ktorých sa funkcia môže meniť (na rozdiel od kalkulu I). Uvidíme tiež, že parciálne derivácie dávajú sklon dotyčníc k stopám funkcie.

Parciálne deriváty vyššieho rádu - V časti sa pozrieme na parciálne deriváty vyššieho rádu. Na rozdiel od kalkulu I však budeme mať viac derivátov druhého rádu, viac derivátov tretieho rádu atď., Pretože teraz pracujeme s funkciami viacerých premenných. Budeme tiež diskutovať o Clairautovej vete, ktorá nám pomôže s niektorými prácami pri hľadaní derivátov vyššieho rádu.

Diferenciály - V tejto časti rozširujeme myšlienku diferenciálov, ktoré sme prvýkrát videli v kalkulu I, na funkcie viacerých premenných.

Reťazové pravidlo - V tejto časti rozširujeme myšlienku reťazového pravidla na funkcie viacerých premenných. Konkrétne uvidíme, že tu existuje niekoľko variantov reťazcového pravidla, všetko v závislosti od toho, od koľkých premenných je naša funkcia závislá a ako je možné každú z týchto premenných zase zapísať z hľadiska rôznych premenných. Dáme tiež peknú metódu na zapísanie reťazcového pravidla pre takmer každú situáciu, na ktorú by ste mohli naraziť pri práci s funkciami viacerých premenných. Okrem toho odvodíme veľmi rýchly spôsob implicitnej diferenciácie, takže už nebudeme musieť prechádzať procesom, ktorý sme pôvodne vykonali späť v kalkulu I.

Direction Derivatives - V časti predstavujeme koncept smerových derivátov. Pri smerových deriváciách sa teraz môžeme pýtať, ako sa mení funkcia, ak dovolíme, aby sa zmenili všetky nezávislé premenné, namiesto toho, aby sme držali všetky konštanty okrem jednej, ako sme to robili pri parciálnych deriváciách. Ďalej definujeme gradientový vektor, ktorý pomôže s niektorými notáciami a bude tu pracovať. Vektor prechodu bude veľmi užitočný aj v niektorých ďalších častiach. Dáme tiež pekný fakt, ktorý nám umožní určiť smer, ktorým sa daná funkcia mení najrýchlejšie.


Zlyhanie Clairautovej vety, kde sú obidve zmiešané častice definované, ale nie rovnaké

Je možné mať funkciu dvoch premenných a bod v doméne také, že oba zmiešané parciálne deriváty druhého rádu z existujú v , teda obe čísla a existujú, ale nie sú si rovné.

Pre funkciu dvoch premenných celkovo

Je možné mať funkciu dvoch premenných také, že oba zmiešané parciálne deriváty druhého rádu a existujú všade ale nie sú si rovnaké ako funkcie, t. j. existuje bod, v ktorom sa hodnoty zmiešaných parciálnych derivácií druhého rádu nerovnajú.


Cvičenia 14.3

Ex 14.3.1 Nájdite $ f_x $ a $ f_y $, kde $ ds f (x, y) = cos (x ^ 2y) + y ^ 3 $. (odpoveď)

Ex 14.3.2 Nájdite $ f_x $ a $ f_y $, kde $ ds f (x, y) =$. (odpoveď)

Ex 14.3.3 Nájdite $ f_x $ a $ f_y $, kde $ ds f (x, y) = e ^$. (odpoveď)

Ex 14.3.4 Nájdite $ f_x $ a $ f_y $, kde $ ds f (x, y) = xy ln (xy) $. (odpoveď)

Ex 14.3.5 Nájdite $ f_x $ a $ f_y $, kde $ ds f (x, y) = sqrt <1-x ^ 2-y ^ 2> $. (odpoveď)

Ex 14.3.6 Nájdite $ f_x $ a $ f_y $, kde $ ds f (x, y) = x tan (y) $. (odpoveď)

Ex 14.3.7 Nájdite $ f_x $ a $ f_y $, kde $ ds f (x, y) = <1 nad xy> $. (odpoveď)

Ex 14.3.8 Nájdite rovnicu pre dotyčnicu roviny k $ ds 2x ^ 2 + 3y ^ 2-z ^ 2 = 4 $ pri $ (1,1, -1) $. (odpoveď)

Ex 14.3.9 Nájdite rovnicu pre rovinu tangentu k $ ds f (x, y) = sin (xy) $ na $ ( pi, 1 / 2,1) $. (odpoveď)

Ex 14.3.10 Nájdite rovnicu pre dotyčnicu roviny k $ ds f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 3 $ na $ (3,1,10) $. (odpoveď)

Ex 14.3.11 Nájdite rovnicu pre rovinu dotyčnicu k $ ds f (x, y) = x ln (xy) $ na $ (2,1 / 2,0) $. (odpoveď)

Ex 14.3.12 Nájdite rovnicu pre riadok normálny k $ ds x ^ 2 + 4y ^ 2 = 2z $ za $ (2,1,4) $. (odpoveď)

Ex 14.3.13 Ukážte, že krivka $r(t) = langle ln (t), t ln (t), t rangle $ je dotyčnica k povrchu $ xz ^ 2-yz + cos (xy) = 1 $ v bode $ (0,0 , 1) $.

Ex 14.3.14 Vysvetlite vlastnými slovami, prečo, keď vezmeme čiastočnú deriváciu funkcie viacerých premenných, môžeme považovať premenné, ktoré sa nediferencujú, za konštanty.

Ex 14.3.15 Zvážte diferencovateľnú funkciu, $ f (x, y) $. Uveďte fyzické interpretácie významov $ f_x (a, b) $ a $ f_y (a, b) $, ktoré sa týkajú grafu $ f $.

Ex 14.3.16 Rovnakým spôsobom, ako sme použili dotyčnicu na aproximáciu hodnoty funkcie z jedného premenného počtu, môžeme použiť tangenciálnu rovinu na aproximáciu funkcie z premenného počtu. Zvážte dotykovú rovinu nájdenú v cvičení 14.3.11. Použite túto rovinu na priblíženie k hodnote $ f (1,98; 0,4) $.

Ex 14.3.17 Predpokladajme, že jeden z vašich kolegov vypočítal čiastočné derivácie danej funkcie a oznámil vám, že $ f_x (x, y) = 2x + 3y $ a že $ f_y (x, y) = 4x + 6y $. Veríte im? Prečo áno alebo prečo nie? Ak nie, akú odpoveď ste mohli prijať za $ f_y $?

Ex 14.3.18 Predpokladajme, že $ f (t) $ a $ g (t) $ sú diferencovateľné funkcie s jednou premennou. Nájdite $ čiastočné z / čiastočné x $ a $ čiastočné z / čiastočné y $ pre každú z nasledujúcich dvoch premenných funkcií.


14: Čiastočná diferenciácia

Otázka používateľského rozhrania: (
f (x, y): = x ^ 2y + xy ^ 2
)
Ako najlepšie zadať tento druhý zmiešaný čiastočný derivát do vstupného riadku (?):

Pre deriváty vyššieho rádu jednoducho pridáte ďalšie čiarky a premenné. Pre ( frac < čiastočné> < čiastočné x ^ 2> ) môžete použiť skratku:

Môžete ich tiež kombinovať, napríklad:

Existuje krátky spôsob, ako otestovať bod (1,2) na parciálnej časti vzhľadom na x?

diff ((f (x, y), x) | x = 1, y = 2 nefunguje.
diff ((f (x, y), x | x = 1, y = 2) nefunguje.
diff (f (x, y), x) | predpokladajme (x = 1, y = 2) nefunguje.
(rozdiel (f (x, y), x) | (predpokladajme (x = 1, y = 2))) nefunguje.
(f (x, y), x) '| x = 1, y = 2) nefunguje.

Nič z toho nefunguje, pretože vaša syntax je nejednoznačná. Neexistuje spôsob (zo softvérového hľadiska), aby sa dalo určiť, či má byť substitúcia použitá pred vykonaním príkazu diff () alebo po ňom. Aj keď všetci chápeme váš zamýšľaný význam, takáto je povaha funkcie where.

Pokiaľ ide o syntax, je to zvyčajne:

Zdá sa, že funkcia where dáva prednosť substitúcii pred hodnotením funkcií. Na druhej strane, subst () má opačnú prednosť.

Ďakujeme za vašu poučnú odpoveď, Han!

(Pôvodný príklad): (f (x, y): = x ^ 2y + xy ^ 2 )

Zdá sa, že som vynechal skupinu vecí, ktoré som vyskúšal a ktoré nefungovali, bolo: diff (f (x, y), x) | , čo je forma, ktorú som očakával, že bude fungovať.

Funkcia subst () funguje, ale trochu jej chýba ideál: subst (diff (f (x, y), x),) návrat 8. Či už ide o „skratku“, ktorá znamená získanie výsledku, trochu sa rozšíri definícia skratky.

Navrhujem, aby autori zvážili rozšírenie úžitkovej hodnoty znaku „|“ kde príkaz na zahrnutie aplikácií ako: diff (f (x, y), x) | . Kontext je taký, že substitúcia sa má uplatniť PO Diferenciácii, čo by pri kontrole v rukopisnej podobe bolo pravdepodobne zrejmé.

Znova, vďaka, z týchto odpovedí sa veľa dozvedám a dúfam, že sa budem môcť podľa toho s pribúdajúcim časom podeliť.

Vždy môžete vytvoriť programový súbor "alias", ktorý skracuje vstavané príkazy na kratšie príkazy.

EXPORT SS (a, b): =
ZAČAŤ
návrat subst (a, b)
KONIEC

Vložte všetky svoje „makrá“ do jedného súboru a zobrazia sa tiež v priečinku Toobox (v časti Používateľ vedľa katalógu), takže sa k nim dostanete iba niekoľkými klepnutiami na obrazovku.

Ak ustúpime od učiva, aby sme sa zamysleli nad zamýšľaným účelom produktu, a ručnými počítacími prístrojmi pre trh v triede sa dá povedať, že požiadavka, aby sa študent učil matematiku závislú od stroja, spĺňa vzdelávací cieľ učiť sa predmet matematika? V tomto prípade si to nemyslím.

V prostredí triedy sa matematické témy posúvajú vpred pomerne rýchlo. Počas prednášky nie je dostatok času na odbočenie, ako je potrebné doladiť „to alebo ono“ rozhranie stroja, aby sa dosiahla predmetová téma. Počas recitácie, vkladanie požiadaviek rozhrania človek - stroj (HMI), dodáva ústrednému cieľu učenia sa témy vrstvu zmätku. Nakoniec, pokus o pripomenutie si, ktoré z rôznych závislostí strojov s najväčšou pravdepodobnosťou splnia očakávania týkajúce sa problémov s vyšetrením, spôsobuje v priebehu skúšky väčšie celkové ťažkosti a časovú náročnosť.

Predtým sa o vyhlásení „| kde“ diskutovalo ohľadom jeho obmedzení: „tak to je“, musia používatelia Prime akceptovať. Preto existuje veľa príkladov, ktoré pomocou tohto zariadenia nefungujú. V nastavení triedy tabule to je presne forma použitá na odovzdanie obmedzení späť nadradenému výrazu. Syntax programu Subst () nie je súčasťou bežného lexikónu matematiky lektora.

Táto diskusia zdôrazňuje, že ručná technológia sa ľahko nespája s triedou. HMI, prednáška, recitácia a skúška, by boli o to lepšie, keby ciele, ktoré sa učia, boli rovnakým spôsobom splnené pomocou nástrojov, ktoré sa pre ne predávajú.

Osobne mám pocit, že predseda vlády v tomto dôležitom konkrétnom scenári zlyháva vo výchove, v škole a v ďalších a vyžaduje viac práce.

Ahoj, prečo nepoužiť 'šablónu ", ktorá je podľa mňa najrýchlejšia?

Nie je to zaujímavé? Na začiatku svojej práce s týmto predmetom som na to použil kľúč šablóny.

V prvom príspevku som sa snažil nájsť spôsob, ako zadať druhé zmiešané časti: ( Large frac <∂ ^ 2f (x, y)> <∂x∂y> )

Potom som chcel nájsť spôsoby, ako vyhodnotiť výraz v bode vzhľadom na x, (alebo y), a odklonili sme sa od funkcie šablóny. Migrovalo sa na všeobecné formuláre vstupného riadku, pretože (v iných prípadoch) šablóna napriek tomu vyústila do formulára vstupného riadku: (f (x, y), x) '| , alebo diff (f (x, y), x) |

Takto sa generovali odpovede až doteraz. Takže vyzbrojený „takýmto obmedzením príkazu where“, „„ vaša syntax je nejednoznačná “, pretože som nevedel, kedy použiť (pred / po) vyhodnotenie výrazu pre daný bod atď., Vyústil do mojich, väčšinou irelevantný, názor na súčasný stav.

Je ironické, že som hádam nevložil posledný výraz do šablóny, ako ste to urobili vy, a robí to hodnotenie (ako ste zistili) spôsobom, ktorý by - myslím si - mal!

Proste nikdy neviete (alebo sa pokúsite spomenúť), čo dostanete, keď rovnaký výraz zadáte rôznymi spôsobmi, prinesie rôzne výsledky.

Tu a tam, diff (f (x, y), x) | --- & gt [0 0].
Väčšinou sa spustí ["Neplatné | Chyba: Hodnota zlého argumentu"].

Stručne povedané, myslím si, že toto je oblasť, v ktorej by sa dal vylepšiť softvér. Nechávam to na tých, ktorí sú oprávnení uskutočňovať zmeny. Našťastie v mojom prípade mám čas vyskúšať veľa vecí a dúfam, že nájdem uskutočniteľné riešenie.

Baví ma Prime a popri tom sa učím! To je dlhá cesta k vysvetleniu „prečo“, ale to je všetko. Kľúč šablóny je zvyčajne moja prvá návšteva.

To je tiež môj pocit (a podobné myšlienky v grafickom prostredí). Schopnosti Prime sú úžasné. Parisse je génius v XCAS a jeho implementácia. Parrish je geniálne obdobie.

Názor DrD o tom, aký presný musí byť spôsob vykonávania záznamu v Prime, je nesmierne dôležitý. Aby táto úžasná platforma uspela na vzdelávacom a profesionálnom trhu, je rozhodujúce, aby primárne matematicky ekvivalentné vyjadrovacie prostriedky rozpoznal Prime v režimoch Home, CAS a Graphing. Prime by nemal byť o hľadaní konkrétnej syntaxe medzi rôznymi matematicky správnymi a ekvivalentnými záznamami.

Dúfam, že keď predseda vlády dospeje, bude mať tento problém vysokú prioritu. Obávam sa, že trh má toto očakávanie ako východiskový bod. To môže sťažiť získanie školských systémov a profesionálneho trhu, ktoré mohli odmietnuť predsedu vlády z týchto dôvodov, aby prehodnotili.

Suhlasim s lrdheat. Prime's CAS je oveľa výkonnejší ako napríklad HP50G CAS, ale zatiaľ sa mi zdá, že HP50G je napriek homogenite CAS homogénnejší.
Tu je postup, ako to urobiť s 50G v RPL:

Upozorňujeme, že autor rovníc nie je schopný zobraziť vzorce 2 a 4 na zásobníku v „učebnici“ (napriek tomu, že táto syntax je dobre zdokumentovaná), ale spôsob, akým 50G zvládne paranezu, je logickejší.

Súhlasím s Parrise. Princípy a obmedzenia CAS by sa mali vyučovať na hodinách matematiky, na ktorých sa CAS stretne. V ideálnom prípade by musel byť každý v rovnakom systéme CAS. However, I strongly feel that a CAS be designed to accept primary mathematically equivalent entries such as n root, surd, and ^ to be accepted by users, especially your target market. This must also work across the entire platform. home,CAS, graphing.

That said, I'm a huge fan of Prime and it's team!

I'm not too far removed from the point of view expressed by Parisse, except that I've found that no technology (CAS or otherwise) is academically universal.

I have taken math classes where no calcs were allowed, others where computer software Mathcad, Maple, Mathematica, etc. was the recitation support tool, and one trig class (long ago) where my hp48 was coveted by the professor, as he would always ask me for hp 48 solutions to classroom examples, comparing them with his lecture notes.

The most recent class I attended, linear algebra, the prof used only a few mathcad examples, throughout the course. The material covered, if well understood, didn't require hardware. Sometimes problem sets were a little more extensive, but for those, the process of the solution was paramount, with accuracy almost a secondary concern. However, it was always stressed that subject matter was what lecture time was about, unless it was a class with a technology perspective foremost.

In my vocational life, of course, it was accuracy above all, and hp calcs of various models were always near to hand my entire career. Beginning with hp-25, I still use the hp-50g even after retirement!

Lately, I have much more "fun" with the Prime, though! Thanks to Parisse, and Han, I have learned a great deal, possibly the most important being great respect for their efforts, regardless of how fitting the results may be!


14: Partial Differentiation

when you hit enter, you can then choose MA1024 and then choose the worksheet

Remember to immediately save it in your own home directory. Once you've copied and saved the worksheet, read through the background on the internet and the background of the worksheet before starting the exercises.

The Maple commands for computing partial derivatives are D and diff . The Getting Started worksheet has examples of how to use these commands to compute partial derivatives.

at the point using the diff command and then again using the D command.

a) Plot the function and the plane on the same graph. Use intervals , , . b) Find the derivative of in the plane. Evaluate this derivative at and then find the equation of the line tangent to the two-dimensional intersection of the plane and at the point . c) Plot the tangent line and the two-dimensional intersection of the plane and on the same graph. Be sure to use and ranges that are consistent with your ranges in part a. d) Does your two-dimensional graph look like the intersection from your three-dimensional graph? Be sure to use the same ranges to properly compare and rotate the 3-D graph.


Pozri si video: 14. Štiavnický magazín 2021 (November 2021).