Články

2.5: Prídavné mená k funkciám - matematika


Ako sme to definovali v oddiele 1.3, funkcia je veľmi všeobecný objekt. V tejto chvíli je užitočné predstaviť kolekciu prídavných mien na opis určitých druhov funkcií; tieto prídavné mená pomenúvajú užitočné vlastnosti, ktoré môžu mať funkcie. Zvážte grafy funkcií na obrázku 2.5.1. Bolo by zjavne užitočné mať slová, ktoré nám pomôžu opísať charakteristické črty každého z nich. Poukážeme a definujeme niekoľko prídavných mien (je ich oveľa viac) pre tu zobrazené funkcie. V záujme diskusie budeme predpokladať, že grafy nevykazujú žiadne neobvyklé správanie mimo javiska (t. J. Mimo pohľadu grafov).

Obrázok 2.5.1. Typy funkcií: (a) nespojitá funkcia, (b) spojitá funkcia, (c) obmedzená, diferencovateľná funkcia, (d) neobmedzená, diferencovateľná funkcia.

Funkcie. Každý graf na obrázku 2.5.1 určite predstavuje funkciu --- pretože každý prejde skúška zvislou čiarou. Inými slovami, keď prechádzate vertikálnou čiarou cez graf každej funkcie, táto čiara nikdy nepretína graf viac ako raz. Keby sa to stalo, potom by graf nepredstavoval funkciu.

Ohraničený. Zdá sa, že graf v bode (c) sa blíži k nule, pretože (x ) ide do kladného aj záporného nekonečna. Tiež nikdy nepresiahne hodnotu (1 ) alebo neklesne pod hodnotu (0 ). Pretože sa graf nikdy nezväčšuje alebo zmenšuje bez obmedzenia, hovoríme, že funkcia reprezentovaná grafom v bode (c) je a ohraničený funkcie.

Definícia 2.5.1: Ohraničené funkcie

Funkcia (f ) je ohraničená, ak existuje číslo (M ) také, že (| f (x) |

Pre funkciu v (c) bude jednou z takýchto možností pre (M ) (10 ​​). Najmenšou (optimálnou) voľbou by však bolo (M = 1 ). V obidvoch prípadoch stačí na zistenie obmedzenosti jednoduché nájdenie znaku (M ). Pre hyperbolu v (d) neexistuje žiadna taká (M ), a preto môžeme povedať, že je bez hraníc.

Kontinuita. Grafy zobrazené v bodoch (b) a (c) obidva predstavujú nepretržitý funkcie. Geometricky je to tak preto, lebo v grafoch nie sú žiadne skoky. To znamená, že ak vyberiete bod v grafe a priblížite sa k nemu zľava a sprava, hodnoty funkcie sa priblížia k hodnote funkcie v danom bode. Napríklad vidíme, že to neplatí pre hodnoty funkcií blízko (x = -1 ) na grafe v bode (a), ktorý na danom mieste nie je spojitý.

Definícia 2.5.2: Kontinuálne v bode

Funkcia (f ) je spojitá v bode (a ), ak ( lim_ {x až a} f (x) = f (a) ).

Definícia 2.5.3: Kontinuálne

Funkcia (f ) je spojitá, ak je spojitá v každom bode svojej domény.

Kupodivu môžeme tiež povedať, že (d) je spojité, aj keď existuje vertikálny asymptot. Pozorné čítanie definície spojitého slova odhaľuje frázu „v každom bode svojej oblasti.»Pretože umiestnenie asymptotu, (x = 0 ), nie je v doméne funkcie, a pretože zvyšok funkcie je slušne vychovaný, môžeme povedať, že (d) je spojité.

Diferencovateľnosť. Teraz, keď sme zaviedli deriváciu funkcie v bode, môžeme začať používať prídavné meno diferencovateľný. Vidíme, že dotyčnica je v každom bode grafu v bode (c) dobre definovaná. Preto môžeme povedať, že (c) je diferencovateľná funkcia.

Definícia 2.5.4: Diferencovateľné v bode

Funkcia (f ) je diferencovateľná v bode (a ), ak (f '(a) ) existuje.

Definícia 2.5.5: Diferencovateľná funkcia

Funkcia (f ) je diferencovateľná, ak je diferencovateľná v každom bode (s výnimkou koncových bodov a izolovaných bodov v doméne (f )) v doméne (f ).

Vezmite na vedomie, že z technických dôvodov, ktoré tu nie sú diskutované, obe tieto definície vylučujú z úvahy koncové body a izolované body v doméne. Teraz máme zbierku prídavných mien, ktoré popisujú veľmi bohatú a zložitú množinu objektov známych ako funkcie. Končíme užitočnou vetou o spojitých funkciách:

Veta 2.5.6: Veta o strednej hodnote

Ak je (f ) spojité na intervale ([a, b] ) a (d ) je medzi (f (a) ) a (f (b) ), potom existuje číslo (c ) v ([a, b] ) také, že (f (c) = d ).

Najčastejšie sa to používa, keď (d = 0 ).

, (f ) je spojité. Pretože (f (0) = - 2 ) a (f (1) = 3 ) a (0 ) je medzi (- 2 ) a (3 ), existuje ( c v [0,1] ) také, že (f (c) = 0 ).

Tento príklad tiež ukazuje cestu k jednoduchej metóde aproximácie koreňov.

Ak vypočítame (f (0,1) ), (f (0,2) ) atď., Zistíme, že (f (0,6) <0 ) a (f (0,7)> 0 ), teda podľa vety o strednej hodnote má (f ) koreň medzi (0,6 ) a (0,7 ). Opakovaním procesu s (f (0,61) ), (f (0,62) ) atď. Zistíme, že (f (0,61) <0 ) a (f (0,62)> 0 ) , takže (f ) má koreň medzi (0,61 ) a (0,62 ) a koreň je (0,6 ) zaokrúhlený na jedno desatinné miesto.


2.5 Matematická knižnica: Funkcie a konštanty

Pôvodný programovací jazyk C bol pôvodne vytvorený pre implementáciu operačných systémov. Udržiavanie čo najmenšieho jazyka, čiastočne elimináciou funkcií, ktoré neboli potrebné pre operačné operačné systémy, uľahčilo portovanie (t. J. Presunutie) kompilátora C na nový počítač. Táto ľahká prenosnosť bola jedným z mnohých dôvodov, prečo boli programovací jazyk C a operačný systém Unix (ktorý bol väčšinou napísaný v jazyku C) populárne, a prečo si C ++ túto popularitu udržiava dodnes.

Medzi funkcie, ktoré neboli priamo implementované v jazyku C (a nie sú implementované v jazyku C ++), patril operátor umocňovania. Podobne C a C ++ neposkytujú žiadne matematické funkcie, ako napríklad sínus, kosínus, tangens alebo druhá odmocnina. Aj keď tieto funkcie nie sú zabudované priamo do jazyka, podporuje ich matematická knižnica. Visual Studio automaticky prehľadá matematickú knižnicu a extrahuje všetky matematické funkcie volané kompilovaným programom. Kompilátory bežiace na iných systémoch môžu mať iné konvencie. Napríklad g ++ v systémoch Linux vyžaduje, aby programátori prepojili matematickú knižnicu so svojimi programami pomocou prepínača príkazového riadku -lm.


Limity s radikálnymi funkciami

Pri hodnotení limitu zahŕňajúceho a radikálna funkcia, pomocou priamej substitúcie zistite, či je možné limit vyhodnotiť, kedykoľvek je to možné. Ak nie, je potrebné preskúmať ďalšie metódy na vyhodnotenie limitu.

Vezmite nasledujúcu funkciu

ktoré mohli byť určené priamym vyhodnotením f (x) pri x = 9, teda použitím priamej substitúcie.

V obidvoch vyššie uvedených prípadoch by sa na vyhodnotenie limitov mohla použiť priama substitúcia, a preto nie sú potrebné alternatívne metódy.

Zoznámte sa s funkciou

Najprv si všimneme, že by sme mali vylúčiť x = & mínus 5 /7 pri akomkoľvek hodnotení. Pomocou priamej substitúcie nájdeme limitné výsledky v neurčitý formulár a informácia /& infin. Ak chcete radikálny výraz transformovať do lepšej podoby, využite skutočnosť, že hodnota x bude čoraz väčšia a kladnejšia. Toto umožňuje:

Riešenie vyhodnotenia limitu pri negatívnej nekonečnosti je podobné vyššie uvedenému prístupu, až na to, že x je vždy negatívne.

Doteraz ste boli schopní nájsť limit racionálnych funkcií pomocou metód uvedených vyššie. Sú však chvíle, keď to nie je možné. Vezmite funkciu

Použitie priamej substitúcie na nájdenie limitu vedie k neurčitej podobe 00. Aby sme mohli limit vyhodnotiť, musíme transformovať výraz, aby sme neurčitú formu odstránili. Toto je dosiahnuté použitím vzťahu pre rozdiel štvorcov reálnych čísel: x 2 & minusy 2 = (x + y) (x & minusy).

Potom prepíšeme a zjednodušíme pôvodnú funkciu nasledovne:

Pomocou koeficientu rozdielu štvorcov odstráňte 0 v menovateli.

Teraz nájdite konečné správanie tej istej funkcie, t. J. Nájdite

Keď x stúpa na veľké kladné hodnoty, funkcia nadobúda neurčitú formu & infin /& infin. Vyššie uvedenú transformáciu je možné použiť aj na hodnotenie limitu (prístup 1), ako aj techniky použitej na hodnotenie racionálnych funkcií (prístup 2).

Riešením tohto problému je, že limit neexistuje, pretože doména h (x) nezahŕňa x & lt0.


Priraďte RIT ku koncepciám

Pri výučbe konceptov, ktoré sú študenti pripravení, použite nasledujúce zoznamy slov. U študentov, ktorí dosiahli skóre v danom rozmedzí, môžete vylepšiť ich výučbu posilnením týchto slov. Pre študentov anglického jazyka môžu tieto zoznamy slov pripraviť študentov pred hodnotením MAP & # 160, pretože slová a súvisiace pojmy sa v teste pravdepodobne objavia. (Pretože sú testy adaptívne, slová sa zaručene nezobrazia.) Zoznamy týchto slov nie sú vyčerpávajúce. Používajte ich v spojení s inými zoznamami slovných zásob, ktoré sú spojené s vašim učebným plánom.


Čísla a číselné zastúpenie

Python poskytuje rôzne funkcie, ktoré sa používajú na reprezentáciu čísel v rôznych formách, napríklad -

Funkcia
Popis
Strop (x)
Vráti hodnotu stropu, ktorá je najmenšou hodnotou, väčšou alebo rovnou číslu x.
copysign (x, y)
Vráti počet x a skopíruje znamienko y na x.
faby (x)
Vrátiť absolútnu hodnotu x.
faktoriál (x)
Vráti faktoriál čísla x, kde x & gt = 0
poschodie (x)
Vráti minimálnu hodnotu, ktorá je najväčším celým číslom, menšou alebo rovnou číslu x.
fsum (opakovateľné)
Vráti súčet prvkov v iterovateľnom objekte
gcd (x, y)
Vráti najväčší spoločný deliteľ x a y.
isfinite (x)
Kontroluje, či x nie je ani nekonečno, ani nan.
isinf (x)
Skontroluje, či je x nekonečno
Isnan (y)
Skontroluje, či s nie je číslo
zvyšok (x, y)
Nájdite zvyšok po vydelení x y.

Nechajme & rsquos napísať program na demonštráciu použitia vyššie uvedených matematických funkcií -


2.5: Prídavné mená k funkciám - matematika

Prídavné meno

Otázky, ktoré sa opýtajú na prídavné meno:
Znie to dobre?
Hovoríme týmto spôsobom?
Dáva to zmysel?

- Farma
- Gramatické symboly
- Zásobník
- Pripravené karty na samostatnú prácu vrátane prídavných mien a podstatných mien k položkám na farme

Môže to byť s jedným dieťaťom alebo v malej skupine.


Prezentácia 1: Umiestnenie slov

- Farma
- Zásobník
- Zásobník na symboly

  1. Zoznámte deti s farmou.
  2. Pomocou čo najväčšieho počtu popisných slov upriamte pozornosť detí na vlastnosti každého zvieraťa.
  3. Ukážte deťom, kde dostanete podnos so symbolmi.
  4. Posaďte sa s deťmi za okrúhly stôl.
  5. Na útržok papiera napíšte meno zvieraťa z farmy. (Napíšte zviera, pre ktoré existuje viac ako jedno, napríklad: & ldquoKôň & rdquo.)
  6. Dieťaťu prečítajte lístok a potom choďte pre zviera.
  7. Hovorte o tom, aký pekný je ten kôň.
  8. Povedzte však dieťaťu, že to nebol ten, na koho ste mysleli, pretože ste mu neposkytli dostatok informácií.
  9. Napíšte na ďalší lístok, & ldquoblack & rdquo a nechajte dieťa ísť a dostať čierneho koňa.
  10. Hovorte o tom, ako áno, to je kôň, na ktorého ste mysleli.
  11. Potom položte slip & ldquoblack & rdquo pred slip & ldquothe kôň & rdquo.
  12. Dajte dieťaťu prečítať to nahlas: & ldquoblack kôň & rdquo.
  13. Upozornite dieťa na to, aby & ldquoblack kôň & rdquo neznelo dobre.
  14. Prepnite pásky, aby čítal a čítal koňa čierne a rdquo, a nechajte dieťa, aby ho nahlas čítalo.
  15. Upozornite dieťa, že to tiež neznie dobre.
  16. Potom ukážte dieťaťu, ako musíme vystrihnúť & ldquothe & rdquo z & ldquohorse & rdquo a potom tieto tri útržky papiera položiť dohromady, aby si mohli prečítať & ldquothe čierneho koňa & rdquo.
  17. Venujte pozornosť tomu, ako to znie správne.
  18. Predstavte symboly a povedzte deťom, že sa nimi budú označovať slová.
  19. Predstavte dieťaťu symbol podstatného mena a povedzte mu, že ním označujeme slovo, ktoré nám povedalo & ldquowhat, ktoré získalo & rdquo (kôň / podstatné meno), a umiestnite ho nad podstatné meno vo fráze.
  20. Vyberte malý tmavomodrý trojuholník a povedzte dieťaťu, že toto nám ukazuje & ldquowhich & rdquo získať (robustné) a umiestniť ho nad prídavné meno.
  21. Vyberte malý svetlo modrý trojuholník a povedzte dieťaťu, že nám to ukazuje, že & ldquothere je iba jeden & rdquo (the), a umiestnite ho nad článok.
  22. Potom nechajte všetky deti prečítať vetu.
  23. Opakujte postup pre ostatné zvieratá, aby ste deťom mohli odstrihnúť & ldquothe & rdquo od podstatného mena a umiestniť tieto tri lístky v správnom poradí.


Prezentácia 2: Pripravené lístky

- Farma
- Podnos so symbolmi
- Pripravené lístky

  1. Nechajte dieťa prečítať si frázu napísanú na pripravenom lístku a potom choďte a získajte to jedno zviera.
  2. Nechajte dieťa používať symboly na zobrazenie podstatného mena, článku a prídavného mena.
  3. Zostaňte s deťmi, kým všetky nepochopia postup.
  4. Deti prejdú celú súpravu s vami alebo bez vás, ak pochopia postup.
  5. Po dokončení deti materiál odložili.

S pripravenými lístkami môžu deti pracovať sami.

Deti si môžu vytvoriť brožúry alebo zoznam slov.

Oboznámiť dieťa s čítaním jednotlivých slov, najmä s funkciou a pozíciou prídavného mena.

V materiáli nie je nikto okrem riaditeľky, ktorá je v prípade potreby k dispozícii a deti si navzájom pomáhajú.


Úvahy o použití anotovaných textov na zviditeľnenie jazyka u študentov

Plánovanie

  1. Začnite učebnou úlohou. Zistite, aké využitie kľúčového jazyka zodpovedá učebnej úlohe.
  2. Nájdite v štandardnom rámci WIDA anotovaný text, ktorý sa najviac zhoduje s vašou učebnou úlohou.
  3. Nájdite alebo napíšte text mentora pre učebnú úlohu.
  4. Použite komentované texty WIDA Standards Framework, ktoré vám pomôžu identifikovať jazykové funkcie a vlastnosti, ktoré musia študenti robiť pre vašu učebnú úlohu.
  5. Vyberte jednu alebo dve funkcie, ktoré podľa vás sú pre vašich študentov najdôležitejšie, napr. Spojky, skupiny podstatných mien, vety.
  6. Dizajn hodín a aktivít, ktoré študentov upozorňujú na tieto funkcie.

Činnosti

  1. Pred zameraním na konkrétnu jazykovú vlastnosť požiadajte študentov, aby si najskôr pozreli celý text a naučili ich, ako je text usporiadaný tak, aby vyhovoval svojmu účelu. Najlepšie sa to dosiahne kontrastovaním textov a kladením otázok študentom ako napr
    1. Je to príbeh alebo hádka? Ako to vieme?
    2. Čo nám v texte ukazuje, že nejde o príbeh, ale o argument?

    Obrázok 1. Zoznam slovies vykazujúcich slovnú zásobu na citovanie zdrojov v argumentoch Obrázok 2. Aktivita pre diskusiu v rámci triedy O vykazovaní slovies


    2.5: Prídavné mená k funkciám - matematika


    Mathematica 11
    S potešením oznamujeme, že:

    matematikaStatica 2,72 je plne kompatibilný s Mathematica 11

    Jedno stiahnutie obsahuje všetko:
    Posledné vydanie knihy Rose / Smith Book + matematikaStatica 2,72

    matematikaStatica 2.7 Motor paralelného spracovania a mdash zapnuté Mathematica 11
    Časovanie v sekundách pomocou programu Mathematica 11
    bežiaci na počítači R2-D2 Mac Pro

    matematikaStatica 2.7 uvoľní výkon vášho počítača & mdash automaticky & mdash
    vyznačujúci sa fenomenálnou rýchlosťou a výkonom pre používateľov viacprocesorových strojov.

    Zvedavosť pristáva na Marse
    Gratulujeme NASA JPL a všetkým matematikaStatica používatelia tam!

    Posledné recenzie
    Vestník štatistického softvéru v47 od Barrie Stokesovej
    matematikaStatica 2.5

    & ldquo Pri kombinácii so symbolickou výpočtovou (a číselnou a grafickou) silou súboru Mathematica sama mathStatica ponúka matematickému štatistikovi & ndash a všetkým vedcom zaujímajúcim sa o & lsquonuts-and-bolts & rsquo základných a pokročilých štatistických myšlienok & ndash ako prvotriednu expozíciu v podobe sprievodnej elektronickej knihy, tak aj flexibilný a vysoko vyvinutý systém na prenášanie teoretické a numerické štatistické manipulácie. & rdquo


    Svet vedeckých výpočtov Felix Grant
    matematikaStatica 2.5

    & ldquo Porovnanie mathStatica so surovou Mathematica oproti rovnakým funkciám došlo k zlepšeniu až o 30 faktorov, aj keď niekde medzi 5 a 10 bol priemerný údaj vo všetkých skúškach.

    & # 8230 - dôkladná komplexná aktualizácia toho, čo už bolo veľmi pôsobivým produktom, ktorý je skutočne jedinečný vo svojom výklenku na trhu. & rdquo


    Príklady infinitívov

    Pamätajte, že a slovné je forma slovesa, ktorá vo vete funguje ako niečo iné.

    An infinitív je sloveso, ktoré môže fungovať ako podstatné meno, prídavné meno alebo príslovka. Tvorí sa pomocou slovesa „až“ +.

    The infinitív sa môže objaviť sám, alebo môže byť súčasťou väčšieho infinitívna fráza.

    Príklady infinitíva:

    Príklady infinitíva alebo infinitívne frázy používa sa ako podstatné mená:

    1) Páči sa mi bežať. (funguje ako priamy objekt)

    2) chcel som uvariť večeru pre mojich rodičov. (funguje ako priamy objekt)

    3) Letieť lietadlom je môj sen. (funguje ako predmet)

    4) Nemôžem uveriť, že si to vedel uhasiť krúpy, aby prilákali mravce! (funguje ako priamy objekt)

    Príklady infinitíva alebo infinitívne frázy používa sa ako prídavné mená:

    1) Veľtrh je miesto ísť. (hovorí nám, ktoré miesto)

    2) Mám nejaké rifle na umývanie. (hovorí nám, ktoré rifle)

    3) Spevák pozerať je Joyce. (hovorí nám, ktorý spevák)

    4) Druh kvetov zasadiť sú trvalky. (hovorí nám, ktoré kvety)

    Príklady infinitíva alebo infinitívne frázy používa sa ako príslovky:

    1) Aby som dokončil matematickú úlohu, vydelíte x. (hovorí, prečo rozdeliť)

    2) Kúpil som farbu dokončiť obrázok pre moju mamu. (hovorí, prečo som si kúpil farbu)

    3) Na výrobu cookies, musíte najskôr pridať múku. (hovorí, prečo pridávame múku)


    Matematické funkcie

    R má pole matematických funkcií.

    Prevádzkovateľ Popis
    abs (x) Berie absolútnu hodnotu x
    log (x, základ = y) Zoberie logaritmus x so základom y, ak nie je zadaný základ, vráti prirodzený logaritmus
    exp (x) Vráti exponenciálnu hodnotu x
    sqrt (x) Vráti druhú odmocninu z x
    faktoriál (x) Vráti faktoriál x (x!)


    Pozri si video: Akostné a vzťahové prídavné mená (November 2021).