Články

4.8: Greenova veta v rovine


Greenova veta nám umožňuje previesť integrál priamky na dvojitý integrál cez oblasť ohraničenú (C ). Diskusia je uvedená z hľadiska rýchlostných polí tokov tekutín (tekutina je kvapalina alebo plyn), pretože je ľahké ich vizualizovať. Greenova veta však platí pre akékoľvek vektorové pole, nezávislé od akejkoľvek konkrétnej interpretácie poľa, za predpokladu, že sú splnené predpoklady vety. Predstavujeme dve nové myšlienky pre Greenovu vetu: divergenciu a hustotu obehu okolo osi kolmej na rovinu.

Divergencia

Predpokladajme, že (F (x, y) = M (x, y) hat { textbf {i}} + N (x, y) hat { text {j}} ), je pole rýchlosti tekutina tečúca v rovine a že prvé parciálne derivácie (M ) a (N ) sú spojité v každom bode oblasti (R ).

Nech ((x, y) ) je bod v (R ) a nech (A ) je malý obdĺžnik s jedným rohom v ((x, y) ), ktorý spolu s jeho interiérom leží úplne v (R ). Strany obdĺžnika, rovnobežné s osami súradníc, majú dĺžku ( Delta x ) a ( Delta y ). Predpokladajme, že komponenty (M ) a (N ) nemenia znamienko cez malú oblasť obsahujúcu obdĺžnik (A ). Rýchlosť, akou tekutina opúšťa obdĺžnik cez spodný okraj, je približne

[F (x, y) = M (x, y) hat { textbf {i}} + N (x, y) hat { textbf {j}} ]

Toto je skalárna zložka rýchlosti pri ((x, y) ) v smere vonkajšej normály krát dĺžka segmentu. Ak je napríklad rýchlosť v metroch za sekundu, prietok bude v metroch za sekundu krát metrov alebo štvorcových metrov za sekundu. Rýchlosti, pri ktorých tekutina prechádza cez ďalšie tri strany v smeroch ich vonkajších normálov, možno odhadnúť podobným spôsobom. Prietoky môžu byť pozitívne alebo negatívne v závislosti od znakov zložiek (F ). Čistý prietok aproximujeme obdĺžnikovou hranicou (A ) súčtom prietokov cez štyri okraje, ako sú definované v nasledujúcich bodových súčinoch.

  • Na začiatok: [F (x, y + Delta y) cdot ( hat { textbf {j}}) Delta x = -N (x, y + Delta y) Delta x ]
  • Dolné: [F (x, y) cdot (- hat { textbf {j}}) Delta x = -N (x, y) Delta x ]
  • Vpravo: [F (x + Delta x, y) cdot ( hat { textbf {i}}) Delta y = M (x + Delta x, y) Delta y ]
  • Vľavo: [F (x, y) cdot (- hat { textbf {i}}) Delta y = -M (x, y) Delta y ]

Sčítanie opačných párov dáva

  • Horná a dolná časť: [(N (x, y + Delta y) -N (x, y)) cdot ( Delta x) ]
  • Vpravo a vľavo: [(M (x + Delta x, y) -M (x, y)) cdot ( Delta y) ]

Sčítaním týchto dvoch posledných rovníc získate čistý efekt prietokov alebo toku cez hranicu obdĺžnika. Teraz vydelíme (xy ), aby sme odhadli celkový tok na jednotku plochy alebo hustotu toku pre obdĺžnik: Nakoniec necháme (J_ {lx} ) a (J_ {ly} ) priblížiť sa k nule, aby sme definovali hustota toku (F ) v bode ((x, y) ). V matematike nazývame hustotu toku divergenciou (F ). Symbol preňho je div (F ), vyslovuje sa „divergencia (F ) 'alebo„ div (F ). “

Divergencia (hustota toku) vektorového poľa (F = text {bod} (x, y) ) je

[divF = dfrac { čiastočné M} { čiastočné x} + dfrac { čiastočné N} { čiastočné x}. ]

Točte sa okolo osi: k-zložka Curl

Druhá myšlienka, ktorú potrebujeme pre základ Greenovej vety, je meranie toho, ako sa plávajúce koleso s osou kolmou na rovinu točí v bode tekutiny prúdiacej v rovinnej oblasti. Táto myšlienka dáva určitý zmysel pre to, ako tekutina cirkuluje okolo osí umiestnených v rôznych bodoch a kolmo na oblasť. Fyzici to niekedy označujú ako hustotu cirkulácie vektorového poľa (F ) v bode. Aby sme ho získali, vrátime sa do rýchlostného poľa

[F (x, y) = M (x, y) hat { textbf {i}} + N (x, y) hat { textbf {j}} ]

a vezmime do úvahy obdĺžnik (A ) na obrázku 16.29 (kde predpokladáme, že obe zložky (F ) sú kladné).

Cirkulačná rýchlosť (F ) okolo hranice (A ) je súčtom prietokov po stranách v tangenciálnom smere. Pri dolnom okraji je prietoková rýchlosť približne

[F (x, y) cdot ( hat { textbf {i}}) Delta x = -M (x, y) Delta x ]

Toto je skalárna zložka rýchlosti (F (x, y) ) v tangenciálnom smere ( hat { textbf {i}} ) krát dĺžka segmentu. Prietoky môžu byť kladné alebo záporné v závislosti od zložiek (F ). Čistú rýchlosť obehu aproximujeme okolo obdĺžnikovej hranice (A ) súčtom prietokov pozdĺž štyroch okrajov, ako je určené nasledujúcimi bodovými súčinmi.

  • Hore: [F (x, y + Delta y) cdot (-i) Delta x = -M (x, y + Delta y) Delta x ]
  • Dolné: [F (x, y) cdot ( hat { textbf {i}}) Delta x = M (x, y) Delta x ]
  • Vpravo: [F (x + Delta x, y) cdot ( hat { textbf {j}}) Delta y = N (x + Delta x, y) Delta y ]
  • Vľavo: [F (x, y) cdot (- hat { textbf {j}} Delta y = - N (x, y) Delta y ]
  • Horná a dolná časť: [- (M (x, y + Delta y) -M (x, y)) cdot ( Delta x) ]
  • Vpravo a vľavo: [(N (x + Delta x, y) -N (x, y)) cdot ( Delta y) ]

Pridaním týchto dvoch posledných rovníc získate čistý obeh vo vzťahu k orientácii proti smeru hodinových ručičiek a vydelením JlxJly získate odhad hustoty obehu pre obdĺžnik:

Obeh okolo obdĺžnika Oblasť obdĺžnika

Necháme (J_ {lx} ) a (J_ {ly} ) priblížiť sa k nule, aby sme definovali hustotu obehu (F ) v bode ((x, y) ).

Ak vidíme rotáciu proti smeru hodinových ručičiek, ktorá sa pozerá smerom dole na rovinu xy od hrotu vektora jednotky ( hat { textbf {k}} ), potom je hustota cirkulácie pozitívna (obrázok 16.30). Hodnota hustoty cirkulácie je ( hat { textbf {k}} ) - zložka všeobecnejšieho poľa vektora obehu, ktorému sme sa venovali v časti 16.7, zvaná zvlnenie vektorového poľa (F ). Pre Greenovu vetu potrebujeme iba túto ( hat { textbf {k}} ) zložku.

Hustota cirkulácie vektorového poľa (F = M hat { textbf {i}} + N hat { textbf {j}} ) v bode ((x, y) ) je skalárny výraz

[ dfrac { čiastočné M} { čiastočné x} - dfrac { čiastočné N} { čiastočné x} ]

Veta ( PageIndex {1} ): Greenova veta (forma toku-odchýlky)

Nech (C ) je po častiach hladká, jednoduchá uzavretá krivka ohraničujúca oblasť (R ) v rovine. Nech (F = M hat { textbf {i}} + N hat { textbf {j}} ) je vektorové pole, kde (M ) a (N ) majú spojité prvé parciálne derivácie v otvorená oblasť obsahujúca (R ). Potom sa vonkajší tok (F ) cez (C ) rovná dvojitému integrálu (div F ) cez oblasť (R ) ohraničenú (C ).

[ mast_C F cdot nds = mast_CMdy-Ndx = iint_ {R} ^ {} doľava ( dfrac { čiastočné M} { čiastočné x} + dfrac { čiastočné N} { čiastočné x} right) dx , dy ]

Veta ( PageIndex {2} ): Greenova veta (forma toku-odchýlky)

Nech (C ) je po častiach hladká, jednoduchá uzavretá krivka ohraničujúca oblasť (R ) v rovine. Potom sa cirkulácia proti smeru hodinových ručičiek (F ) okolo (C ) rovná dvojnásobnému integrálu ((zvlnenie F) cdot k ) nad (R ).

[ mast_C F cdot Tds = mast_CMdy + Ndx = iint_ {R} ^ {} doľava ( dfrac { čiastočné N} { čiastočné x} - dfrac { čiastočné M} { čiastočné x} right) dx , dy ]


Takže problém žiada vyhodnotiť integrál pozdĺž obrysu funkcie (e ^ x) * cos (y) * dx- (e ^ x) * sin (y) * dy, kde obrys C je prerušovaná čiara od A = (ln (2), 0) až D = (0,1) až B = (-ln (2), 0).

Viem, že veta tvrdí, že integrál vektorového poľa bodkovaného na malú časť obrysu sa rovná dvojnásobnému integrálu normálnej zložky (v tomto prípade zložky z) zvlnenia vektorového poľa. Takže ∫V (bodka) dl cez uzavretý obrys = ∫∫ (čiastočné vzhľadom na x zložky y vektorového poľa - čiastočné vzhľadom na y zložky x vektorového poľa) dσ nad oblasťou σ .


Greenova veta



Séria bezplatných video lekcií z kalkulu.

Greenova veta
Toto video poskytuje Greenovu vetu a používa ju na výpočet hodnoty integrálnej priamky

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, ktoré vám pomôžu precvičiť rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


4.8: Greenova veta v rovine

a 4 ďalší sa pripojili pred minútou.

Tu $ P = x ^ 2 - y $ a $ Q = 2y ^ 2 + x $

Pozdĺž oblúka ADB $ y = x ^ 2 $ - & gt dy = 2xdx

$ int limits_> (Pdx + Qdy) = int limits_ <0> ^ <2> (x ^ 2 - x ^ 2) + (2x4 + x) 2xdx $ $ preto int limity_> (Pdx + Qdy) = int limity_ <0> ^ <2> 0 + (4x ^ 5 + 2x ^ 2) dx $ $ preto int limity_> (Pdx + Qdy) = bigg [ frac <4x ^ 6> <6> + frac <2x ^ 3> <3> bigg] _ <0> ^ <2> $ $ preto int limity_> (Pdx + Qdy) = frac <128> <3> + frac <16> <3> = frac <144> <3> $

$ preto int limity_> Pdx + Qdy = int limity_ <2> ^ <0> (x ^ 2 - 4) dx $ $ preto int limity_> Pdx + Qdy = bigg [ frac <3> - 4x bigg] _ <2> ^ <0> $ $ preto int limits_> Pdx + Qdy = frac <-8> <3> + 8 $ $ preto int limits_> Pdx + Qdy = frac <16> <3> $

$ int limits_ Pdx + Qdy = int limits_ <4> ^ <0> 2r ^ 2 dy = bigg [ frac <2r ^ 3> <3> bigg] _ <4> ^ <0> $ $ = frac < -2 * 64> <3> $ $ = frac <-128> <3> $ $ preto $ celkom, tj $ int limits_ Pdx + Qdy = frac <144> <3> + frac <16> <3> - frac <128> <3> = frac <32> <3> $

Teraz sa vonkajšie limity rozšíria z 0 na 2 v horizontálnom smere, teda x -> 0 až 2

Hornou hranicou je priamková rovnica, tj. J = 4

A dolná hranica je krivka paraboly, t. J. $ Y = x ^ 2 $

$ Preto int int bigg ( frac < částečné Q> < částečné x> - frac < částečné P> < částečné y> bigg) dxdy = int limits_ <0> ^ <2 > int limity_ <4> (1 + 1) dxdy $ $ preto int limits_ <0> ^ <2> [2r] _^ <4> dx = int limits_ <0> ^ <2> 2 (4 - x ^ 2) dx $ $ = bigg [4x - frac<3> bigg] _ <0> ^ <2> $ $ = 2 bigg [8 - frac <8> <3> bigg] $ $ = 2 * frac <16> <3> $ $ = frac <32> <3> $


Výpočty plôch v lietadle pomocou Greenovej vety # 039s

Veľmi silným nástrojom v integrálnom počte je Greenova veta. Uvažujme, že vektorové pole $ F (x, y) = (P (x, y), Q (x, y)) $, $ C $ je uzavretá krivka v rovine a $ S $ vnútorný povrch ohraničený krivka.

Potom: $$ int_C F dr = iint_S big (Q_x-P_y big) dx dy $$

Aplikácia pri výpočte plôch je nasledovná. Budeme si myslieť, že také pole bude $ Q_x-P_y = 1 $. Potom výraz vpravo je iba oblasťou krytu $ S $. Preto to budeme môcť vypočítať tak, že urobíme jeden riadok integrálny na hranici krytu.

Existuje mnoho polí, ktoré vyhovujú vlastnosti $ Q_x-P_y = 1 $, ale najpoužívanejšie sú:

Napríklad vypočítame oblasť ohraničenú parametrickou krivkou: $$ alpha ( theta) = (3 sin (2 theta) cdot cos ( theta), 3 sin (2 theta) ) cdot sin ( theta)) $$

Teraz vezmeme vektorové pole $ F (x, y) = (0, x) $ a integrujeme pole pozdĺž krivky $ alpha ( theta) $. Vypočítajme: $$ alpha '( theta) = (6 cos (2 theta) cdot cos ( theta) -3 sin (2 theta) cdot sin ( theta), 6 cos (2 theta) cdot sin ( theta) -3 sin (2 theta) cdot cos ( theta)) $$

$$ začať text= & iint_D 1 dx dy = int_C F dr = int_0 ^ < frac < pi> <2>> F ( alpha (t)) cdot alpha '(t) dt = & int_0 ^ < frac < pi> <2>> (0,3 sin (2t) cdot sin (t)) cdot (6 cos (2t) cdot cos (t) - 3 sin (2t) cdot sin (t), & quad quad quad quad 6 cos (2t) cdot sin (t) -3 sin (2t) cdot cos ( t)) dt = & int_0 ^ < frac < pi> <2>> 3 sin (2t) cos (t) cdot (6 cos (2t) cdot sin (t) -3 sin (2t) cdot cos (t)) dt = & 18 int_0 ^ < frac < pi> <2>> cos (t) cos (2t) sin (t ) sin (2t) dt + 9 int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) cos ^ 2 (2t) dt = & 9 int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) cos (2t) dt + 9 int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) Big ( dfrac <1+ cos ^ 2 (2t)> <2> Big) dt = & dfrac <9> <2> Big [ dfrac<3>)Big]_0^ <2>> + dfrac <9> <2> int_0 ^ < frac < pi> <2>> dfrac <1- cos (4t)> <2> dt + dfrac <9> <2> int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) cos (2t) dt = & dfrac <9> <8> cdot pi end$$

Riešené problémy výpočtov plôch v rovine pomocou Greenovej vety


Úvod do Ramseyovej teórie: Prednášky pre vysokoškolský kurz

Sedemfarbenie, ktoré zabráni vzdialenosti 1 v každej farbe:

7-sfarbenie mozaikovania roviny pravidelnými šesťuholníkmi s priemerom o niečo menším ako jeden. Všimnite si, že každý šesťuholník je obklopený šesťuholníkmi inej farby.

Definícia 6.4.3.

Najmenší počet farieb dostatočný na vyfarbenie roviny takým spôsobom, že žiadna farba si neuvedomí všetky vzdialenosti, sa nazýva a označuje sa ( chi_p text <.> )

Pozorovanie 6.4.4.

Dolná hranica: (4 leq chi_p text <.> ) (Založil Dmitrij E. Raiskii v roku 1970. Tento dôkaz má na starosti Alexej Merkov z roku 1997.)

Dôkaz.

Predpokladajme, že existuje 3 sfarbenie roviny

Nie sú dva farebné body ( color< mbox> ) na diaľku ( color text <> )

Nie sú dva farebné body ( color< mbox> ) na diaľku ( color text <> )

Nie sú dva farebné body ( color< mbox> ) na diaľku ( color text <.> )

Nechajte kartézsky súradnicový systém v ( mathbb^ 2 ).

Konštruujeme tri vretená Moser ako na obrázku 6.4.5:

Zvážte 18 vektorov, z ktorých každý má počiatočný bod v počiatku a koncový bod je vrcholom v jednom z troch Moserových vretien.

Tu sú konečné body vektorov ( color< vec_1, vec_2, ldots, vec_6> ) patria do Moserovho vretena so všetkými hranami dĺžky (r text <,> ) koncové body vektorov ( color< vec_7, vec_8, ldots, vec_ <12>> ) patria do Mosersovho vretena so všetkými hranami dĺžky (b text <,> ) a koncovými bodmi vektorov ( color< vec_ <13>, vec_ <14>, ldots, vec_ <18>> ) patria do vretena Moser so všetkými hranami dĺžky (g text <.> ) Pozri obrázok 6.4.6.


4.8: Greenova veta v rovine

Veta 1 (Pravidelné obklady). Existuje pravidelný obklad typu p ^ q pre všetky p, q & gt = 3. Najmä

  1. pravidelné náklony euklidovskej roviny sú: 3 ^ 6, 4 ^ 4 a 6 ^ 3
  2. pravidelné nakláňanie gule (platónske pevné látky) sú: 3 ^ 3, 3 ^ 4, 3 ^ 5, 4 ^ 3 a 5 ^ 3
  3. pravidelné nakláňanie hyperbolickej roviny je: p ^ q kde 1 / p + 1 / q & lt 1/2.

Veta 2 (Kepler). Existuje 8 polopravidelných naklonení euklidovskej roviny: 3.12 ^ 2, 4.6.12, 4.8 ^ 2, 3.4.6.4, 3.6.3.6, 3 ^ 4,6, 3 ^ 3,4 ^ 2 a 3 ^ 2,4.3.4.

  • Archimedove tuhé látky: 3,6 ^ 2, 4,6 ^ 2, 5,6 ^ 2, 3,8 ^ 2, 3,10 ^ 2, 3.4.3.4, 3.5.3.5, 3,4 ^ 3, 3 ^ 4,4, 3 ^ 4,5, 4.6.8, 4.6. 10 a 3.4.5.4
  • hranoly: 4 ^ 2.m, pre m = 3 alebo m> 4,
  • anti-hranoly: 3 ^ 3.n, pre n> 3.
  1. 4 ^ 2,6 (hranol s m = 6)
  2. 3.6^2
  3. 4.6^2
  4. 5.6^2
  5. 3.8^2
  6. 3.10^2
  7. 3.4.3.4
  8. 3.5.3.5
  9. 3 ^ 3,6 (anti-hranol s m = 6)
  10. 3.4^3
  11. 3^4.4
  12. 3^4.5
  13. 4.6.8
  14. 4.6.10
  15. 3.4.5.4
  1. vylúčiť všetky typy vrcholov okrem vymenovaných
  2. skutočne postaviť uvedené obklady.

Proces eliminácie využíva skutočnosť, že miera vrcholového uhla pravidelného p-gonu je

    sa rovná Pi - (2 * Pi / p) v euklidovskej rovine

Pretože uhly v ľubovoľnom vrchole obkladovej sumy na 2 * Pi, p_1.p_2. . . p_q je polopravidelný obklad iba ak (po troche zjednodušenia)

    v euklidovskej rovine: 1 / p_1 + 1 / p_2 +. . . + 1 / p_q = (q-2) / 2

Okrem typov vrcholov daných Keplerom nasledujúce typy vyhovujú prvej vyššie uvedenej rovnici, ale nemôžu byť rozšírené za malú plochu dlaždíc, aby poskytli úplné obloženie euklidovskej roviny: 3.7.42, 3.8.24, 3.9.18, 3.10.15, 4.5.20, 5 ^ 2.10, 3 ^ 2.6 ^ 2, 3 ^ 2.4.12, 3.4.3.12 a 3.4 ^ 2.6.

Rovnako nasledujúce typy vrcholov vyhovujú druhej rovnici vyššie, ale nevedú k nakloneniu sféry: 3 ^ 2.n (n> 3), 5 ^ 2.n (n = 3,4,6,7,8,9 ), 3,7 ^ 2, 3,9 ^ 2, 3 ^ 2,4.n (4 & lt = n & lt = 11), 3 ^ 2,5.n (5 & lt = n & lt = 7), 3,4 ^ 2,5, 3.4.3.n ( 5 & ​​lt = n & lt = 11), 3,5.3.n (n = 6,7).

Vylúčenie paritou

Lema 1 (parita Lema). Nech T je polopravidelný obklad.

    Predpokladajme, že p je nepárne a že do odrazu susedná dvojica dlaždíc x.p sa vyskytuje vo vrcholovom type T iba ako súčasť trojice po sebe nasledujúcich dlaždíc x.p.y a dvojica p.y sa vyskytuje v T iba ako súčasť trojitého x.p.y. Potom x = y.

Kontrola ukazuje, že (1) eliminuje všetky potenciálne typy vrcholov uvedené vyššie, s výnimkou 3 ^ 2.4.12, ktoré je eliminované (2).

Ďalšie výsledky parity týkajúce sa typov vrcholov semi-regulárnych tilingu nájdete v [Z] alebo [W].

Existencia odvodených obkladov

  1. duálny pravidelný obklad q ^ p
  2. 2q.2q a 2p.2p.q
  3. 4,2 s. 2q
  4. p.q.p.q
  5. 4.p.4.q
  6. 3 ^ 2.p.3.q
  7. 3.p.3.p.3. (Q / 2), pre q> 6 a q párne.

Stavby

Veta 4 je sama osebe dôsledkom oveľa všeobecnejšieho výsledku.

  1. existuje obklad roviny využívajúci iba tento k-gon, v ktorom susedné dlaždice sú odrazmi každého druhého cez ich spoločnú hranu
  2. k-gon má stimulátor.

Dôkaz: Prvá podmienka naznačuje, že všetky uhly v jednom vrchole sú vzájomnými odrazmi. Ak sa dlaždice p_i stretnú na i-tom vrchole, potom je uhol medzi po sebe nasledujúcimi okrajmi 2 * Pi / p_i, kde 1 & lt = i & lt = q.

Ak spojíme stimulátory susedných polygónov okolo i-tého vrcholu, vznikne p_i-gon. Každá hrana tohto p_i-gonu sa skladá z dvoch kolineárnych zhodných polomerov oblúkov susedných q-gónov. Takže p_i-gon je rovnostranný. Pretože vrcholové uhly p_i-gonu sú tiež zhodné (odrážajú sa jeden do druhého cez susedné okraje q-gonu), p_i-gon je skutočne pravidelný. Teda na každom stimulátore pôvodného obkladu sme zostrojili postupnosť pravidelných polygónov p_1.p_2. . . p_q. Postupnosť je rovnaká u každého stimulátora, pretože susedné q-uhly sa odrážajú jeden na druhého cez spoločné hrany. Takže sme zostrojili požadovaný obklad.

Príklad. Odrazový obklad (zelený) hyperbolickej roviny pomocou „drakov“ s uhlami Pi / 6, Pi / 2, 2 * Pi / 5 a Pi / 2. Tieto draky majú v sebe vpísané kruhy (červené). Stredy týchto kruhov sú vrcholy polopravidelného obkladu 6.4.5.4 (čierny).

1. Existencia duálneho q ^ s.
Pretože regulárny p-gon má stimulátor a keďže na všetkých p vrcholoch p-gónu sú q dlaždice, uspokojuje p ^ q obklad hypotézy vety 5. Toto dokazuje, že existuje dvojitý pravidelný obklad q ^ p.

Príklad. Pravidelný obklad hyperbolickej roviny 5 ^ 4 v čiernej farbe a jeho duálny pravidelný obklad p ^ q = 4 ^ 5 v zelenej farbe. Vrcholy duálneho obkladu ležia v strede pôvodných 5-uhlov.

2. Existencia p.2q.2q.
Každú dlaždicu p ^ q rozdeľte na p kongruentných rovnoramenných trojuholníkov spojením stredu p-gónu s každým z jeho vrcholov. Pretože každý trojuholník má stimulátor, vznikne z neho rovina trojuholníka. Pretože odrazy cez všetky okraje týchto trojuholníkov sú v skutočnosti symetriami pôvodného p ^ q, sú to tiež symetrie obkladov trojuholníka. Obklad trojuholníka teda spĺňa podmienky vety 5. Pretože vrcholový uhol trojuholníka (v strede p-gonu) je 2 * Pi / p a základné uhly sú Pi / q = 2 * Pi / 2q, získame p.2q.2q. Aplikácia tohto výsledku na duálne obklady q ^ p vytvorí 2p.2p.q.

Príklad. Čierna triangulácia zelených obkladov p ^ q = 4 ^ 5 hyperbolickej roviny. Rovnoramenné trojuholníky majú uhly Pi / 4, Pi / 4 a Pi / 5. Upozorňujeme, že všetky trojuholníky majú stimulátory.

Trojuholníky, ktoré sú teraz zelené, majú obklopené kruhy, tu červené. Spojením stredov týchto kružníc vznikne 2p.2p.q = 8.8.5 polopravidelný obklad hyperbolickej roviny, čierny. Všimnite si, že trojuholníky sú odrazené jeden do druhého cez svoje okraje a že všetky tieto odrazy sú symetriami pôvodných 4 ^ 5.

3. Existencia 4,2p.2q.
Rozdeľte každý p-gón pôvodného obkladu na 2p trojuholníky pripojením stredu p-gonu k každému z jeho vrcholov a k stredu každého z jeho okrajov. Trojuholníky v rámci p-gónu sa postupne transformujú do seba odrazmi cez okraje vychádzajúce zo stredu p-gónu. Použitie odrazov cez pôvodné okraje p-gónu nám umožňuje transformovať trojuholníky ktoréhokoľvek z p-gónov na iné. Podmienky vety 5 sú teda splnené. Pretože uhly trojuholníka sú Pi / 2, Pi / p a Pi / q, dostaneme 4,2p. 2q.

Príklad. Počnúc obkladom p ^ q = 5 ^ 4 hyperbolickej roviny, zelenou farbou, vytvoríme trianguláciu pozostávajúcu zo všetkých čiernych a zelených okrajov pravými trojuholníkmi s uhlami Pi / 2, Pi / 5 a Pi / 4 . Vrcholy trojuholníkov sú stredy a vrcholy pôvodných p-uhlov, ako aj stredy každého z okrajov.

Ale všetky trojuholníky, ktoré sú teraz zelené, majú obklopené kruhy (červené). Spojením stredov týchto kružníc vznikne 4,2p.2q = 4,10,8 polopravidelný obklad hyperbolickej roviny, tu čiernej farby.

4. Existencia p.q.p.q.
Vytvorte obklad pomocou kosoštvorcov pomocou iba segmentov od stredov p ^ q k vrcholom p ^ q. Susedné kosoštvorce sú odrazy každého druhého cez hrany, ktoré zdieľajú. Každý kosoštvorec má na priesečníku svojich uhlopriečok stimulátor. Pretože uhly kosoštvorca sú striedavo 2 * Pi / p a 2 * Pi / q, získame p.q.p.q.

Príklad. Zelený obklad hyperbolickej roviny p ^ q = 5 ^ 4 a s ním spojený obklad pomocou kosoštvorcov. Každý kosoštvorec má uhly 2 * Pi / 5, Pi / 2, 2 * Pi / 5 a Pi / 2).

Každý zelený kosoštvorec má kruh (červený) so stredom na priesečníku svojich uhlopriečok. Spojením týchto centier vznikne polopravidelný obklad (čierny) hyperbolickej roviny p.q.p.q = 5.4.5.4.

5. Existencia 4.p.4.q.
Ak prekryjeme duálny obklad q ^ p na obklad p ^ q, vytvorí sa obklad pomocou drakov s uhlami PI / 2, 2 * PI / p, PI / 2 a 2 * PI / q. Každý drak má stimulátor (na križovatke jeho štyroch uhlových osí), a tak získame 4.p.4.q.

Príklad. A p ^ q = 3 ^ 7 pravidelný obklad hyperbolickej roviny, zelený, s duálnym obkladom q ^ p = 7 ^ 3, čierny. Tieto obklady spolu tvoria „drakov“ s uhlami Pi / 2, 2 * Pi / 3, Pi / 2 a 2 * pi / 7.

Každý drak (zelený) má kruh (červený) so stredom na priesečníku svojich uhlových osí. Spojením týchto stredov sa vytvorí semi-pravidelný obklad (čierny) hyperbolickej roviny 4.p.4.q = 4.3.4.7.

6. Existencia 3.3.p.3.q.
Vytvorte nepravidelné päťuholníky s uhlom 2 * PI / p v strede p-gonu, 2 * PI / 3 v „príslušnom“ vnútornom bode X p ^ q, 2 * PI / q vo vrchole p ^ q, a potom následné uhly 2 * PI / 3 na obraze X pod rotáciou 2 * PI / q okolo vrcholu a obraz X pod rotáciou -2 * PI / p okolo stredu. Poznámka: Tieto päťuholníky sa navzájom neodrážajú cez spoločné hrany. Rotácie 2 * Pi / p okolo stredu každého p-gónu pôvodného p ^ q a rotácie 2 * p / q okolo každého vrcholu p-gónov sú skôr symetriami tohto päťuholníkového obkladu. Päťuholníkový obklad je teda „dostatočne symetrický“ na to, aby sa mohla uplatniť upravená verzia vety 5.

Príklad. Obklad nepravidelnými päťuholníkmi (čierny) s uhlami 2 * Pi / 3, 2 * Pi / 3, 2 * Pi / 5, 2 * Pi / 3, Pi / 2 a 2 * Pi / 3. Na obkladanie roviny týmito päťuholníkmi sa používajú rotačné symetrie základného p ^ q = 5 ^ 4 pravidelného obkladu (zeleného).

Každý päťuholník (zelený) má kruh (červený). Spojením ich stredov sa vytvorí 3 ^ 2.p.3.q = 3 ^ 2.5.3.4 polopravidelný obklad hyperbolickej roviny, tu čiernej farby.

7. Existencia 3.p.3.p.3.q / 2.
Vytvorte nepravidelné šesťuholníky pomocou vrcholu Y p ^ q, vhodného bodu X na okraji p ^ q obsahujúceho Y, stredu p-gónu O, obrazu X 'X pod rotáciou 2 * PI / p asi O. Zvyšok šesťuholníka sa získa odrazom cez okraj obsahujúci Y a X '. Symetrie tohto šesťuholníkového obkladu zahŕňajú rotácie 2 * Pi / p okolo stredov pôvodných p-gónov a odrazy cez okraje p-gónov. Dôkaz vety 5 je možné prispôsobiť tejto situácii.

Príklad. Obklad nepravidelnými šesťuholníkmi (čierny) s uhlami 2 * Pi / 3, Pi / 3, 2 * Pi / 3, Pi / 2, 2 * Pi / 3 a 2 * Pi / 5 na základe podkladového p ^ q = 4 ^ 6 obkladov (zelenou farbou) hyperbolickej roviny. Šesťuholníkové obklady sa dajú otáčať okolo stredu ľubovoľného 4-uhla a odrážať sa cez okraj ľubovoľného 4-uhlu.

Každý šesťuholník (zelený) má kruh (červený). Spojením týchto stredov sa vytvorí 3.p.3.p.3.q / 2 = 3.4.3.4.3.3 polopravidelný obklad hyperbolickej roviny, tu čierny.

Použitím vety 4 a existencie pravidelných naklonení euklidovskej roviny a gule vo vete 1 získame väčšinu polopravidelných naklonení v euklidovskej rovine a na sfére uvedených vo vetách 2 a 3. Tieto sú znázornené v nižšie uvedená tabuľka spolu s niektorými príslušnými hyperbolickými vlnami. Ak chcete dokončiť dôkaz o vetách 2 a 3, nezabudnite, že zostávajúci 5-valentný semi-pravidelný obklad v euklidovskej rovine je 3 ^ 3,4 ^ 2. Je ľahko konštruovateľná ručne pomocou striedania rovnobežných pásov rovnostranných trojuholníkov a štvorcov. Podobne sú hranoly 4 ^ 2.n na guli skonštruované pomocou pásma n 4-gónov, ktoré sú nad a pod vrcholom uzavreté n-gonom, a antiprizmy 3 ^ 3.n sú vytvorené prevzatím pásma 2 * n rovnostranné trojuholníky a opäť čiapočka s n-gónmi.

Aj keď sme neuviedli, ako vytvoriť pravidelné obklady vo Vete 1, pomocou (1) Vety 4 vidíme, že v euklidovskej rovine je šesťuholníkový obklad 6 ^ 3 duálny s trojuholníkovým obkladom 3 ^ 6 a na sfére oktaédrón 3 ^ 4 je duálny k kocke 4 ^ 3 a dodekaedón 5 ^ 3 je duálny k ikosahedrónu 3 ^ 5. Takže môžeme skončiť konštrukciou štvorcových obkladov 4 ^ 4 a trojuholníkových obkladov 3 ^ 6 v euklidovskej rovine a štvorstenu 3 ^ 3, kocky 4 ^ 3 a ikosahedrónu 3 ^ 5 na guli.

Vety 4 a 5 samozrejme platia aj pre hyperbolickú rovinu. Pre ďalšiu diskusiu pozri 4. Hyperbolické výsledky. Ďalšie zdroje materiálu nájdete v časti Odkazy.


Odpoveď: Predpokladajme, že R je komutatívny kruh a a je nenulový prvok R. Nulové delitele. Prvok a z a.

Otázka: Diskrétna matematika. Teória grafov

Odpoveď: Uvedené tvrdenie nie je pravdivé. Príklad počítadla je uvedený nižšie.

Otázka: Otázka je zahrnutá v obrázku

A: Zvážte daný integrál,

Otázka: Nájdite pre danú funkciu reprezentáciu výkonových radov. (Vycentrujte svoju mocninovú sériu na x =.

A: Zvážte danú funkciu.

Odpoveď: Na prvú otázku odpovieme, pretože presná nebola zadaná.

A: Podľa danej otázky nech a patrí do kruhu R.S = Je potrebné to ukázať.

Odpoveď: Dostaneme f (x) = (3x + 2) / 5. Musíme nájsť f-1 (x). Na nájdenie inverznej funkcie.

Otázka: 7.1 Príklad: Je definovaná funkcia fwell? Vieme, že Q predstavuje množinu všetkého racionálneho čísla.

Odpoveď: Aby bol systém dobre definovaný - pre každý vstup by mal byť jednoznačne určený výstup funkcie.


Path Integrals in the Plane, Double Integrals, and Greens Theorem in Maxima

V predchádzajúcom príspevku som popísal balíček Maxima MATH214 pre použitie v mojej triede viac premenných kalkulov. Uverejnil som príklady s aplikáciami pre Gaussovu a Stokesovu vetu.

Tu sa riadime dvojitou integračnou rutinou integrovať2 () a integrál 2D dráhy integratePathv2 () pre roztočenie s príkladom Greenovej a # 8217s vety od Stewarta a # 8217s kalkulové koncepty a kontexty:

A samozrejme aj pekné polárne súradnice:

Dve vyššie použité funkcie sú obsiahnuté v balíku MATH214, ale uvádzam ich tiež nižšie.


4.8: Greenova veta v rovine

Akékoľvek komplexné číslo v rovine môžeme vykresliť ako usporiadaný pár, ako je to znázornené na obr. 2.2. Komplexná rovina (alebo Argandov diagram) je akýkoľvek 2D graf, v ktorom je vodorovná os skutočnou časťou a vertikálna os je imaginárnou časťou komplexného čísla alebo funkcie. Napríklad číslo má súradnice v komplexnej rovine, zatiaľ čo číslo má súradnice.

Na vykreslenie ako bodu v komplexnej rovine sa dá pozerať ako na graf v karteziánskych alebo priamkových súradniciach. Môžeme tiež vyjadriť komplexné čísla, pokiaľ ide o polárne súradnice, ako usporiadaný pár, kde je vzdialenosť od počiatku k číslu, ktoré sa má vykresliť, a uhol čísla vzhľadom na pozitívnu skutočnú súradnicovú os (čiara definovaná znakom a) . (Pozri obr. 2.2.)

Pomocou elementárnej geometrie možno rýchlo ukázať, že prevod z obdĺžnikových na polárne súradnice sa dosahuje pomocou vzorcov

kde označuje arkustangens (uhol v radiánoch, ktorých tangens je), pričom sa berie do úvahy kvadrant vektora. Vezmeme v rozsahu do (aj keď sme mohli zvoliť ľubovoľný interval dĺžkových radiánov, napríklad 0 až atď.).

V Matlabe a Octave vykonáva atan2 (y, x) arkustangensovú funkciu „citlivú na kvadrant“. Na druhej strane, atan (y / x), podobne ako tradičnejšia matematická notácia, „nevie“ kvadrant, takže mapuje celú skutočnú čiaru na interval. Ako konkrétny príklad má uhol vektora (v kvadrante I) rovnakú dotyčnicu ako uhol (v kvadrante III). Podobne (kvadrant II) poskytuje rovnakú dotyčnicu ako (kvadrant IV).

Vzorec na prevod obdĺžnikových súradníc na polomer bezprostredne vyplýva z Pytagorovej vety, zatiaľ čo z definície samotnej tangenciálnej funkcie.

Podobne je jednoduchý aj prevod z polárnych na obdĺžnikové súradnice

Nasledujú okamžite od definícií kosínu a sínusu.


Pozri si video: IM přednáška07týden08 Greenova věta (December 2021).