Články

3.2: Pravidlo spoločnosti L'Hôpital


Dôkaz o pravidle spoločnosti L'Hôpital

Cieľ: Ľahko nájdete

[ lim _ {x rightarrow 0} dfrac { sin , x} {x}. nonumber ]

Predpokladajme, že (f ) a (g ) sú spojité funkcie a

[f (a) = g (a) = 0. nečíslo ]

Pripomeňme, že to hovorí veta o strednej hodnote

[f '(c) = dfrac {f (b) -f (a)} {b-a} nonumber ]

tak že

[ dfrac {f '(c)} {g' (c)} = dfrac { dfrac {f (b) -f (a)} {ba}} { dfrac {g (b) -g ( a)} {ba}} = dfrac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}. nonumber ]

Poďme

[a = 0. nonumber ]

Potom

[ dfrac {f '(c)} {g' (c)} = dfrac {f (b) -f (0)} {g (b) -g (0)} = dfrac {f (b ) -0} {g (b) -0} = dfrac {f (b)} {g (b)} nonumber ]

tak že

[ lim_ {b rightarrow 0} dfrac {f (b)} {g (b)} = lim_ {c rightarrow 0} dfrac {f '(c)} {g' (c)}. nonumber ]

Preto

[ lim_ {x rightarrow 0} dfrac { sin , x} {x} = lim_ {x rightarrow 0} dfrac { cos , x} {1} = 1. nonumber ]

Definícia: Pravidlo spoločnosti L'Hôpital

Poďme

[f (c) = g (c) = 0 nečíslo ]

potom

[ lim_ {x rightarrow c} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x rightarrow c} dfrac {f '(x)} {g' (x)}. nonumber nonumber ]

Príklad ( PageIndex {1} )

[ lim_ {x rightarrow 0} dfrac {e ^ x - 1} {x} = lim_ {x rightarrow 0} dfrac {e ^ x} {1} = 1. nonumber nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Ak existujú, určte nasledujúce limity

  1. ( lim_ {x rightarrow 1} dfrac { ln x} {x ^ 2 -1} )
  2. ( lim_ {x rightarrow 0} dfrac { sin x} {x + 1} )
  3. ( lim_ {x rightarrow infty} dfrac {e ^ {- x}} {x ^ 2} ).

Skryté formy pravidla L'Hôpital

Pravidlo L'Hôpital môžeme použiť aj vtedy, keď máme výrazy formulára

(0 krát infty ), ( infty ^ 0 ) a ( infty - infty ).

Príklad ( PageIndex {2} ): (0 krát infty )

[ begin {align *} lim_ {x to { infty}} big ( arctan x - dfrac { pi} {2} e ^ x big) & = lim_ {x to { infty}} Big ( dfrac { arctan x - dfrac { pi} {2}} {e ^ {- x}} Big) [4pt] & = lim_ {x to { infty}} dfrac { dfrac {1} {1 + x ^ 2}} {- e ^ {- x}} [4pt] & = - lim_ {x do { infty}} dfrac { e ^ x} {1 + x ^ 2} [4pt] & = - lim_ {x to { infty}} dfrac {e ^ x} {2x} [4pt] & = - lim_ {x to { infty}} dfrac {e ^ x} {2} [4pt] & = - infty. end {zarovnať *} nonumber ]

Príklad ( PageIndex {3} ): (( infty) ^ 0 )

[ begin {align *} lim_ {x to { infty}} big (1+ dfrac {1} {x} big) ^ x & = e ^ { lim_ {x to { infty}} x ln (1+ frac {1} {x})} [4pt] & = e ^ { lim_ {x to { infty}} frac { ln (1+ frac {1} {x})} { frac {1} {x}}} [4pt] & = e ^ { lim_ {x to { infty}} frac {- frac {1} { x ^ 2} big ( frac {1} {1+ frac {1} {x}} big)} {- frac {1} {x ^ 2}}} [4pt] & = e ^ { lim_ {x to { infty}} frac {1} {1+ frac {1} {x}}} [4pt] & = e ^ 1 [4pt] & = e. end {zarovnať *} nonumber ]

Príklad ( PageIndex {3} ): ( infty - infty )

[ begin {align *} lim_ {x to {1 ^ +}} Big [ dfrac {1} {x ^ 2-1} - dfrac {1} { ln x} big] & = lim_ {x to {1 ^ +}} Big [ dfrac { ln x - (x ^ 2-1)} {(x ^ 2-1) ln x} Big] [4 b ] & = lim_ {x až {1 ^ +}} Veľký [ dfrac { dfrac {1} {x} -2x} {2x ln x + dfrac {x ^ 2-1} {x}} Big] [4pt] & = dfrac {1-2} {0}. end {zarovnať *} nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Ohodnotiť

[ lim_ {x rightarrow 0 ^ +} x ^ x. nonumber ]

Larry Green (Lake Tahoe Community College)

  • Integroval Justin Marshall.


3.2: Pravidlo spoločnosti L'Hôpital

Pravidlo spoločnosti L'H & # 244pital (niekedy sa píše L'H & # 244spital's s tichým & úvodzovkami & quot) sa vyslovuje & quotLo-pee-tal's & quot. Pravidlo L'Hopitals je veľmi užitočné na nájdenie tvrdohlavých limitov, ale iba určitých druhy limitov, a to iba v prípade, že ste v prvom rade dobrý v hľadaní derivácií funkcií.

V zásade platí pravidlo, že pre určité typy obmedzení tzv neurčiteľné formy (viac nižšie), hranica pomeru funkcií sa rovná hranici pomeru ich derivátov. Tu to je:

Pravidlo spoločnosti L'H & # 244pital

Nech $ f (x) $ a $ g (x) $ sú funkcie, ktoré sú diferencovateľné v otvorenom intervale, ktorý obsahuje a. V osobitných prípadoch, napríklad keď $ f (a) = f (b) = 0, $ alebo kedy

Samozrejme, musíme predpokladať, že $ g '(x) ne 0. $ Toto pravidlo znamená, že hranica pomeru (v určitých prípadoch) je rovnaká ako hranica pomeru derivátov čitateľa a menovateľa. .

Neurčité formy

Pravidlo spoločnosti L'H & # 244pital funguje iba vo zvláštnych prípadoch, ktoré sa nazývajú neurčiteľné formy. Dve také formy sú pomery funkcií, pre ktoré platí priama substitúcia medznej hodnoty X výnosy:

Pravidlo platí aj pre nasledujúce formy, pretože sa dajú zvyčajne manipulovať do jednej z neurčitých foriem vyššie:

V nasledujúcich príkladoch nájdete niekoľko príkladov týchto manipulácií.

$ infty cdot infty phantom <0000> infty cdot 0 phantom <0000> 0 ^ < infty> $

Dôkaz o pravidle spoločnosti L'H & # 244pital je uvedený nižšie, ale zatiaľ je najlepšie naučiť sa ho používať na príkladoch práce. L'H & # 244pital's je úžasná úspora času.

Príklad 1

Ak sa jednoducho pokúsime nahradiť x = 0 do tejto funkcie vidíme, že má neurčitú formu 0 /0,

Pravidlo spoločnosti L'Hopital hovorí, že táto hranica je totožná s hranicou novej funkcie pozostávajúcej z derivácie čitateľa nad deriváciou menovateľa:

Pozor: jednou z bežných chýb je použitie pravidla kvocientu. Neberieme tu deriváciu kvocientu. Deriváty čitateľa a menovateľa hľadáme osobitne & # 8211 pravidlo bez kvocientov.

Teraz môžeme urobiť malú algebru a zapojiť sa x = 0 in aby zistil, že táto funkcia & quot; sa rozsvieti & quot; inklinuje k nekonečnu ako X blíži sa k nule. Kosínový výraz bude oscilovať medzi nulou a jednou, ale druhá odmocnina bude nulová, keď x = 0.

Príklad 2

Toto je tiež limit $ frac <0> <0> $. Ak dosadíme x = 1 priamo do funkcie zistíme, že čitateľ aj menovateľ sú nulové. Preto je vynikajúcim kandidátom na pravidlo spoločnosti L'H & # 244pital.

Keď vezmeme deriváty čitateľa a menovateľa, dostaneme:

Teraz môžeme usporiadať (delenie zlomkom je to isté ako násobenie recipročne) a dosadiť x = 1 získať:

Táto funkcia má teda limit 2 pri x = 1.

Príklad 3 & ndash opakoval použitie pravidla spoločnosti L'H & # 244pital

Toto je & infin / & infin limit:

Aplikácia výnosov pravidla spoločnosti L'H & # 244pital ďalší limit, ktorý je stále & infin / & infin limit.

Ale to je v poriadku, pravidlo stále platí. Jednoducho znova vezmeme deriváty čitateľa a menovateľa.

Opätovné prevzatie derivácie nám dáva & infin / & infin limit:

Ale stále je to v poriadku, pravidlo stále platí, preto si vezmeme ďalšie kolo derivácií, aby sme získali:

Na záver tu máme odpoveď. Ako x & # 8594 & infin sa funkcia blíži k pevnej hranici 2.

Pro tip

Pokiaľ predchádzajúce použitie pravidla spoločnosti L'H & # 244pital prinieslo neurčitú formu, je dobré ju opakovať toľkokrát, koľkokrát je potrebné, aby sa limit znížil na formu, ktorá sa dá vyhodnotiť.

Príklad 4

Nájdite hranicu $ f (x) = x · ln (x) $, keď sa x blíži k nule zprava.

Priama substitúcia nuly za x nám dáva jednu z neurčitých foriem, ale pre ktorú je ťažké vedieť, ako použiť pravidlo L'H & # 244pital.

$ lim_ , x , ln (x) rightarrow (0 cdot - infty) $

Môžeme však použiť algebraický trik, písanie X ako 1 / (1 / x)alebo 1 / (x -1), dať tvar, ktorý potom po priamom nahradení poskytne neurčitý tvar $ infty / infty $.

Teraz môžeme brať deriváty ako obvykle, aby sme získali:

Musíme si chvíľu uvedomiť, že ide o jednostranný limit. Je to vlastne prirodzený spôsob, ako napísať limit ako je toto, pripomenieme, že doména takej funkcie, ktorá obsahuje funkciu log, je x ≥ 0.

Príklad 5

Priame nahradenie 0 za X dáva neurčitú formu,

$ = lim_ , doľava ( frac <1> - frac <1> right) rightarrow ( infty - infty) $

s ktorými sa ťažko pracuje. Môžeme však plutvami spoločného menovateľa pre tieto dve zlomky v zátvorkách získať limit $ frac <0> <0> $:

Aplikácia pravidla L'H & # 244pital nám dáva ďalší neurčitý limit $ left ( frac <0> <0> right) $:

Takže iba znova použijeme pravidlo, aby sme dostali limit, ktorý môžeme konečne vyhodnotiť,

. takže možno budete musieť vyskúšať niekoľko vecí (niektoré môžu zlyhať & # 8211 bez problémov & # 8211) a musia byť vytrvalí v uplatňovaní pravidla spoločnosti L'H & # 244pital na vyriešenie niektorých z týchto obmedzení.

Príklad 6

Táto hranica má neurčitú formu,

čo je prijateľná forma pre pravidlo spoločnosti L'H & # 244pital, ale aby sme mohli pokračovať, musíme ju preusporiadať do jednej z foriem pomeru. Keby sme nechali

Potom môžeme vziať hranicu ln (y) Páči sa ti to.

Všimnite si, že druhý člen v poslednej sérii rovníc je limit $ frac < infty> < infty> $. Teraz použijeme inverznú funkciu, e y , aby náš výsledok získal limit:

Dôkaz pravidla spoločnosti L'H & # 244pital $ ( frac text)$

Tu je dôkaz pravidla spoločnosti L'H & # 244pital pre prípad, keď x & # 8594a, f (a) = g (a) = 0, čo je prípad (0/0). Musíme to predpokladať f '(x) a g '(x) sú spojité o x = a a to g '(a) ≠ 0, ako sme uviedli v rámčeku vety vyššie. Jednoducho sa staviame k pomeru derivátov. V týchto dvoch krokoch sa najskôr od čitateľa a od menovateľa odpočítajú výrazy f (a) a g (a), o ktorých je známe, že sú nulové. Potom, aby sme sa vytvorili smerom k derivácii, čitateľ a menovateľ sú vydelení x - a.

kde $ f (a) = g (a) = 0. $ Teraz, keď vezmeme limit každého člena pomeru, a odvoláme (z vlastností limitov)

že hranica pomeru je pomer limitov čitateľa a menovateľa, brané osobitne, máme deriváciu f '(x), hodnotené o a nad derivátom g '(x) hodnotené o a.

Teraz si všimnite, že výraz v purpurovej farbe je deriváciou f (x) vyhodnotenej pri x = a, a podobne pre menovateľa, g '(a), takže máme


Neurčité formy typu & # x221E / & # x221E

Iná situácia, v ktorej limit nie je zrejmý, nastane, keď hľadáme horizontálny asymptot funkcie a potrebujeme limit vyhodnotiť.

Nie je zrejmé, ako sa dá tento limit vyhodnotiť, pretože čitateľ aj menovateľ sú veľké ako x & # x2192 & # x221E. Medzi čitateľom a menovateľom nastáva boj. Ak čitateľ vyhrá, limit bude & # x221E, ak vyhrá menovateľ, odpoveď bude 0. Alebo môže existovať nejaký kompromis, v takom prípade bude odpoveďou nejaké konečné kladné číslo.

Všeobecne platí, že ak máme limit tvaru limx & # x2192a f (x) / g (x), kde f (x) & # x2192 & # x221E (alebo & # x2212 & # x221E) a g (x) & # x2192 & # x221E (alebo & # x2212 & # x221E) ako x & # x2192a, potom tento limit môže, ale nemusí existovať a nazýva sa neurčitá forma typu & # x221E / & # x221E.


Pravidlo spoločnosti L'Hospital

Pravidlo spoločnosti L'Hospital je užitočné pri určovaní správania funkcie, ktorá má limit neurčitej formy. Táto diskusia sa zameria na dva typy neurčitých foriem.

Prvý typ nastáva, keď výsledkom limitu funkcie je limit 0 0 a hovorí sa o limite neurčitá forma 0 0 .

lim x & # x2192 1 protokol x x & # x2212 1 = protokol 1 1 & # x2212 1 = 0 0

Druhý typ nastáva, keď výsledkom limitu funkcie je limit & # x221E & # x221E a hovorí sa o ňom, že je limitom neurčitá forma & # x221E & # x221E.

Nech f (x) a g (x) sú dve funkcie, ktoré sú diferencovateľné na otvorenom intervale s bodom s, možno okrem s, a prvá derivácia g (x) nie je nula. Ak je hranica f (x) g (x), keď sa x blíži k s, neurčitej formy 0 0 alebo & # x221E & # x221E, je možné použiť pravidlo L'Hospital.

Pravidlo spoločnosti L'Hospital uvádza, že hranica kvocientu týchto dvoch funkcií sa rovná limitu kvocientov ich prvých derivátov.

Ak sú f (x) a g (x) diferencovateľné v otvorenom intervale, ktorý obsahuje s (okrem možno v s) a limit je neurčitého tvaru 0 0 alebo & # x221E & # x221E, to znamená:

lim x & # x2192 s f (x) = 0 A lim x & # x2192 s g (x) = 0

Potom platí nasledujúce pravidlo:

lim x & # x2192 s f (x) g (x) = lim x & # x2192 s f & # x2032 (x) g & # x2032 (x)

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Krok 1: Zaistite, aby bol limit neurčitého tvaru 0 0 alebo & # x221E & # x221E.

lim x & # x2192 2 x 2 & # x2212 2 x x 3 + x & # x2212 10

lim x & # x2192 2 (2) 2 & # x2212 2 (2) (2) 3 + (2) & # x2212 10 = 0 0

Krok 2: Použite pravidlo spoločnosti L'Hospital

Pretože limit je neurčitého tvaru 0 0, možno použiť pravidlo L'Hospital.

lim x & # x2192 s f (x) g (x) = lim x & # x2192 s f & # x2032 (x) g & # x2032 (x)

lim x & # x2192 2 x 2 & # x2212 2 x x 3 + x & # x2212 10

lim x & # x2192 2 2 x & # x2212 2 3 x 2 + 1 Vezmite deriváciu

lim x & # x2192 2 2 (2) & # x2212 2 3 (2) 2 + 1 = 2 13 Vezmite limit

Krok 1: Zaistite, aby bol limit neurčitého tvaru 0 0 alebo & # x221E & # x221E.

Krok 2: Použite pravidlo spoločnosti L'Hospital

Pretože limit je neurčitého tvaru & # x221E & # x221E, možno použiť pravidlo spoločnosti L'Hospital.

lim x & # x2192 s f (x) g (x) = lim x & # x2192 s f & # x2032 (x) g & # x2032 (x)

lim x & # x2192 & # x221E 1 / x 3 x 2 = 1 3 x 3 Vezmite deriváciu

lim x & # x2192 & # x221E 1 3 x 3 = 1 3 (& # x221E) 3 = 0 Vezmite limit

Ak to chcete prepojiť Pravidlo spoločnosti L'Hospital skopírujte na svoj web nasledujúci kód:


Pravidlo spoločnosti L’Hôpital

V tejto časti skúmame výkonný nástroj na hodnotenie limitov. Tento nástroj, známy ako Pravidlo spoločnosti L’Hôpital, používa deriváty na výpočet limitov. Pomocou tohto pravidla budeme schopní vyhodnotiť veľa limitov, ktoré sme zatiaľ nedokázali určiť. Namiesto toho, aby sme sa pri domnievaní, že limit existuje, spoliehali na numerické dôkazy, budeme môcť definitívne preukázať, že limit existuje, a určiť jeho presnú hodnotu.

Uplatňovanie pravidla L’Hôpital

Pravidlo L’Hôpital sa dá použiť na vyhodnotenie limitov zahŕňajúcich kvocient dvoch funkcií. Zvážte

Ak lim x → a f (x) = L 1 a lim x → a g (x) = L 2 ≠ 0,

Čo sa však stane, ak lim x → a f (x) = 0

Hovoríme tomu jeden z neurčiteľné formy, typu 0 0.

Toto sa považuje za neurčitú formu, pretože nemôžeme určiť presné správanie f (x) g (x)

bez ďalšej analýzy. Príklady toho sme videli už skôr v texte. Napríklad zvážte

Pre prvý z týchto príkladov môžeme limit vyhodnotiť faktorovaním čitateľa a zápisom

dokázali sme to pomocou geometrického argumentu ukázať

Tu používame inú techniku ​​na hodnotenie limitov, ako sú tieto. Táto technika poskytuje nielen ľahší spôsob vyhodnotenia týchto limitov, ale čo je ešte dôležitejšie, poskytuje nám spôsob vyhodnotenia mnohých ďalších limitov, ktoré sme predtým nemohli vypočítať.

Myšlienku pravidla L’Hôpital možno vysvetliť pomocou lokálnych lineárnych aproximácií. Zvážte dve diferencovateľné funkcie f

také, že lim x → a f (x) = 0 = lim x → a g (x)

a preto f (a) = lim x → a f (x) = 0.

Podobne g (a) = lim x → a g (x) = 0.

potom f ′ (a) = lim x → a f ′ (x)

a g ′ (a) = lim x → a g ′ (x).

Použitím týchto myšlienok to uzatvárame

Všimnite si, že predpoklad, že f ′

možno uvoľniť. Pravidlo L’Hôpital uvádzame formálne pre neurčitú formu 0 0.

Upozorňujeme tiež, že zápis 0 0

neznamená, že v skutočnosti delíme nulu nula. Namiesto toho používame zápis 0 0

predstavuje kvocient limitov, z ktorých každá je nulová.

sú diferencovateľné funkcie v otvorenom intervale obsahujúce a,

za predpokladu, že hranica vpravo existuje alebo je ∞

Tento výsledok platí, aj keď uvažujeme o jednostranných limitoch, alebo ak a = ∞ a - ∞.

Dôkaz

Dôkaz tejto vety poskytujeme v osobitnom prípade, keď f, g, f ′,

sú všetky spojité v otvorenom intervale obsahujúcom a.

V takom prípade, pretože lim x → a f (x) = 0 = lim x → a g (x)

z toho vyplýva, že f (a) = 0 = g (a).

Všimnite si, že pravidlo L’Hôpital hovorí, že môžeme vypočítať limit kvocientu f g

zvážením limitu kvocientu derivátov f ′ g ′.

Je dôležité si uvedomiť, že nepočítame deriváciu kvocientu f g.

Zhodnoťte každé z nasledujúcich limitov pomocou pravidla L’Hôpital.

  1. lim x → 0 1 - cos x x
  2. lim x → 1 hriech (π x) ln x
  3. lim x → ∞ e 1 / x - 1 1 / x
  4. lim x → 0 sin x - x x 2

na vyhodnotenie tohto limitu môžeme použiť pravidlo spoločnosti L’Hôpital. Máme

Preto môžeme použiť pravidlo spoločnosti L’Hôpital. Získame

Preto môžeme použiť pravidlo spoločnosti L’Hôpital. Získame

čitateľ aj menovateľ sa blížia k nule. Preto môžeme použiť pravidlo spoločnosti L’Hôpital. Získame

Pretože čitateľ aj menovateľ tohto nového kvocientu sa obidva blížia k nule ako

opäť aplikujeme pravidlo L’Hôpital. Vidíme to

Preto to uzatvárame

Vyhodnoťte lim x → 0 x opálenie x.

Môžeme tiež použiť pravidlo L’Hôpital na vyhodnotenie limitov kvocientov f (x) g (x)

Limity tohto formulára sú klasifikované ako neurčiteľné formy typu ∞ / ∞ .

Opäť si všimnite, že v skutočnosti nedelíme ∞

nie je reálne číslo, to je skôr nemožné, ∞ / ∞.

sa používa na vyjadrenie kvocientu limitov, z ktorých každá je ∞

sú diferencovateľné funkcie v otvorenom intervale obsahujúce a,

za predpokladu, že hranica vpravo existuje alebo je ∞

Tento výsledok platí aj vtedy, ak je limit nekonečný, ak a = ∞

Zhodnoťte každé z nasledujúcich limitov pomocou pravidla L’Hôpital.

sú polynómy prvého stupňa s kladnými vedúcimi koeficientmi,

Preto uplatňujeme pravidlo spoločnosti L’Hôpital a získavame ju

Upozorňujeme, že tento limit je možné vypočítať aj bez použitia pravidla L’Hôpital. Predtým v kapitole sme si ukázali, ako vyhodnotiť taký limit vydelením čitateľa a menovateľa najvyššou mocninou

v menovateli. To sme videli

Pravidlo spoločnosti L’Hôpital nám poskytuje alternatívny spôsob hodnotenia tohto typu limitu.

Preto môžeme použiť pravidlo spoločnosti L’Hôpital a získať

Preto sa prvý člen v menovateli blíži k nule a druhý člen sa stáva skutočne veľkým. V takom prípade sa s výrobkom môže stať čokoľvek. Preto zatiaľ nemôžeme urobiť nijaký záver. Na vyhodnotenie limitu použijeme definíciu

takže opäť uplatňujeme pravidlo spoločnosti L’Hôpital. Nájdeme

Vyhodnoťte lim x → ∞ ln x 5 x.

Ako už bolo spomenuté, pravidlo spoločnosti L’Hôpital je mimoriadne užitočný nástroj na hodnotenie limitov. Je však potrebné pamätať na to, že uplatniť pravidlo L’Hôpital na kvocient f (x) g (x),

je nevyhnutné, aby limit f (x) g (x)

Uvažujme o nasledujúcom príklade.

Zvážte lim x → 1 x 2 + 5 3 x + 4.

Ukážte, že limit nemožno vyhodnotiť uplatnením pravidla L’Hôpital.

Pretože limity čitateľa a menovateľa nie sú nulové aj nekonečné, nemôžeme použiť pravidlo L’Hôpital. Ak sa o to pokúsime, dostaneme

V tom okamihu by sme to mylne uzavreli

Pretože však lim x → 1 (x 2 + 5) = 6

Vysvetlite, prečo nemôžeme použiť pravidlo L’Hôpital na hodnotenie lim x → 0 + cos x x.

Vyhodnoťte lim x → 0 + cos x x

Preto nemôžeme použiť pravidlo spoločnosti L’Hôpital. Limit kvocientu je ∞

Stanovte limity čitateľa a menovateľa osobitne.

Ostatné neurčiteľné formuláre

Pravidlo L’Hôpital je veľmi užitočné na hodnotenie limitov týkajúcich sa neurčitých foriem 0 0

Môžeme však tiež použiť pravidlo spoločnosti L’Hôpital, ktoré nám pomôže vyhodnotiť limity týkajúce sa iných neurčitých foriem, ktoré vznikajú pri hodnotení limitov. Výrazy 0 · ∞,

všetky sa považujú za neurčité formy. Tieto výrazy nie sú reálnymi číslami. Predstavujú skôr formy, ktoré vznikajú pri pokuse o vyhodnotenie určitých limitov. Ďalej si uvedomíme, prečo ide o neurčité formy, a potom pochopíme, ako v týchto prípadoch použiť pravidlo L’Hôpital. Kľúčovou myšlienkou je, že neurčité formy musíme prepísať tak, aby sme dospeli k neurčitej podobe 0 0

Neurčitá forma typu 0 · ∞

Predpokladajme, že chceme vyhodnotiť lim x → a (f (x) · g (x)),

Pretože jeden výraz v produkte sa blíži k nule, ale druhý výraz sa stáva ľubovoľne veľkým (vo veľkosti), môže sa produktu stať čokoľvek. Používame notáciu 0 · ∞

označiť formu, ktorá v tejto situácii nastane. Výraz 0 · ∞

je považované za neurčité, pretože bez ďalšej analýzy nemôžeme určiť presné správanie produktu f (x) g (x)

byť kladné celé číslo a zvážiť

z f (x) g (x) = 3 x 2 (x n + 1)

potom lim x → ∞ f (x) g (x) = 3.

potom lim x → ∞ f (x) g (x) = 0.

Tu uvažujeme o ďalšom limite zahŕňajúcom neurčitú formu 0 · ∞

a ukážeme, ako prepísať funkciu ako kvocient na použitie pravidla L’Hôpital.

Vyhodnoťte lim x → 0 + x ln x.

Najskôr prepíšeme funkciu x ln x

ako kvocient na použitie pravidla L’Hôpital. Ak píšeme

Preto môžeme použiť pravidlo spoločnosti L’Hôpital a získať

Posúďte lim x → 0 x detská postieľka x.

Napíš x detská postieľka x = x cos x sin x

Neurčitá forma typu ∞ - ∞

Ďalším typom neurčitej formy je ∞ - ∞.

Uvažujme o nasledujúcom príklade. Nech n

byť kladné celé číslo a nechať f (x) = 3 x n

Zaujíma nás lim x → ∞ (f (x) - g (x)).

Podľa toho, či f (x)

rastie rýchlejšie alebo rastie rovnakým tempom, ako vidíme ďalej, v tomto limite sa môže stať čokoľvek. Pretože f (x) → ∞

na označenie formy tohto limitu. Rovnako ako v prípade našich ďalších neurčitých foriem, ∞ - ∞

nemá sám o sebe význam a na stanovenie hodnoty limitu musíme urobiť viac analýz. Predpokladajme napríklad exponent n

vo funkcii f (x) = 3 x n

Na druhej strane, ak n = 2,

Limitu preto nemožno určiť zvážením iba considering - ∞.

Ďalej vidíme, ako prepísať výraz obsahujúci neurčitý tvar ∞ - ∞

ako zlomok na uplatnenie pravidla L’Hôpital.

Vyhodnoťte lim x → 0 + (1 x 2 - 1 opálenie x).

Kombináciou zlomkov môžeme funkciu zapísať ako kvocient. Pretože najmenší spoločný menovateľ je x 2 tan x,

čitateľ tan x - x 2 → 0

a menovateľ x 2 pálenie x → 0.

Preto môžeme použiť pravidlo spoločnosti L’Hôpital. Keď vezmeme deriváty čitateľa a menovateľa, máme

a x 2 sekundy 2 x + 2 x pálenie x → 0.

Pretože menovateľ je kladný ako x

sa blíži k nule sprava, vyvodzujeme to

Vyhodnoťte lim x → 0 + (1 x - 1 hriech x).

Rozdiel zlomkov prepíšte ako jediný zlomok.

Ďalším typom neurčitej formy, ktorý vzniká pri hodnotení limitov, sú exponenty. Výrazy 0 0,

všetky sú neurčiteľné formy. Samotné tieto výrazy sú bezvýznamné, pretože v skutočnosti ich nemôžeme vyhodnotiť, pretože by sme vyhodnotili výraz zahŕňajúci reálne čísla. Tieto výrazy skôr predstavujú formy, ktoré vznikajú pri hľadaní limitov. Teraz skúmame, ako možno pravidlo L’Hôpital použiť na vyhodnotenie limitov týkajúcich sa týchto neurčitých foriem.

Pretože pravidlo L’Hôpital platí pre kvocienty, používame funkciu prirodzeného logaritmu a jeho vlastnosti na zníženie problému s hodnotením limitu zahŕňajúceho exponenty na súvisiaci problém zahŕňajúci limit kvocientu. Predpokladajme napríklad, že chceme vyhodnotiť lim x → a f (x) g (x)

a dospejeme k neurčitému tvaru ∞ 0.

(Neurčitý tvar 0 0

je možné postupovať podobne.) Postupujeme nasledovne. Poďme

vieme, že lim x → a ln (f (x)) = ∞.

Preto lim x → a g (x) ln (f (x))

je neurčitej formy 0 · ∞,

a môžeme použiť techniky diskutované skôr na prepísanie výrazu g (x) ln (f (x))

vo forme, aby sme mohli použiť pravidlo L’Hôpital. Predpokladajme, že lim x → a g (x) ln (f (x)) = L,


Otázka: Vysvetlite, prečo vektor 2u × 3v smeruje rovnakým smerom ako vektor u × v.

Odpoveď: Zvážte vektory: u = x1i ^ + x2j ^ + x3k ^ v = y1i ^ + y2j ^ + y3k ^

Otázka: Vyplňte prázdne políčko / y, ako je uvedené:

ODPOVEĎ: Ako vieme: - Definícia pravostranného limitu: - As & # x27x & # x27 sa priblíži k približne zostáva väčším ako & # x27a & # x27,.

Otázka: Pre akékoľvek ortogonálne nenulové vektory u a v, potom u + v 7 0. Vyberte jeden: O True O False

Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

Otázka: Vyhodnocovanie integrálov Vyhodnoťte nasledujúci integrál.

Odpoveď: Dané- ∫0π23∫0xycosx3dydx Na nájdenie- Hodnota vyššie uvedeného integrálu.

Q: (x) = (2x +3) ² pri x = 0. Nájdite druhú deriváciu funkcie

Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

Otázka: Popíšte typ neurčitej formy (ak existuje), ktorá sa získa priamou substitúciou. a) Hodnotené.

A: limx → ∞xtan1x Aplikáciou limitu dostaneme limx → ∞xtan1x = ∞ · tan1∞ = ∞ · tan0 = ∞ · 0

Q: Daný graf funkcie z = f (x, y) a jej stopy v rovinách x = 4, y = 1 a y = 3 (pozri.

Otázka: Nech A (x) = | f (t) dt pre f (x) na obrázku 8. (а) Vypočítajte A (2), A (3), A & # x27 (2) a A & # x27 (3). (b) Nájsť pre.

Odpoveď: Dané, A (x) = ∫0xf (t) dt Graf f (x) je

Otázka: Vyhodnoťte limit, ak existuje. Ak nie, určite, či existujú jednostranné limity. Pre limity th.

Odpoveď: Vyhodnotiť limit: limθ → π4secθ Riešenie: Vyhodnotenie daného limitu. limθ → π4secθ = secπ4 = 2 Preto.


Úvod do pravidla L & # 39Hopital & # 39s

Pravidlo „Najlepšie“ a # 39s je mocný nástroj, ktorý sa dá použiť, keď ste uviaznutí na určitých druhoch derivátov. Mnoho derivátov, ktoré sa inak javia ako nedefinované, je možné rozdeliť pomocou pravidla L & # 39Hopital & # 39s. Tento článok bude skúmať dve časti tohto pravidla a pomôže študentom kalkulu stať sa trefnejším a sebavedomejším pri výpočtových limitoch. Príklady v tomto dokumente môže použiť aj učiteľ na komplexné uvedenie do predmetu.

0 vydelené 0 neurčitými formulármi

Jeden scenár, v ktorom je použiteľné pravidlo L & # 39 Home & # 39 s, je ten, kde sa čitateľ aj menovateľ limitu blížia k nule. Ak (f (x) ) a (g (x) ) sú čitateľom a menovateľom limitu (x pravá šípka a ) a ( lim_f (x) = 0 ) a ( lim_g (x) = 0 ), potom máme

Toto je prvá časť pravidla L & # 39Hopital & # 39s. Tiež predpokladá, že čitateľ aj menovateľ sú diferencovateľné funkcie. (a ) môže byť akékoľvek reálne číslo, kladné alebo záporné. Ak chcete zistiť, či platí táto forma pravidla L & # 39 Home & # 39 s, použite priamu náhradu v čitateľovi aj v menovateli s daným limitom. Ak dostanete ( frac <0> <0> ), môžete použiť túto formu pravidla L & # 39Hopital & # 39s. Rozlišujte čitateľa aj menovateľa a opakujte postup, kým nezískate určitú hodnotu limitu alebo ju nedostanete do inej neurčitej podoby. To, čo robíte s inou neurčitou formou, sa líši a teraz sa tým nebudeme zaoberať.

Príklad 1: Vypočítajte limit ( lim_ frac < sin x>). Toto je klasický príklad!

Riešenie: Limit čitateľa aj menovateľa je (0 ). Preto je toto ( frac <0> <0> ) neurčitá forma a môžeme použiť pravidlo L & # 39Hopital & # 39s. Derivácia čitateľa je ( cos x ) a derivácia deonimnátora je (1 ), teda podľa pravidla L & # 39 Home & # 39 s:

Možno sa pýtate, prečo je pravidlo L & # 39Hopital & # 39s pravda. Existuje formálny dôkaz, ale bude vynechaný, pretože je dosť prepracovaný a vyžaduje informácie, ktoré sa zvyčajne nevyučujú na stredoškolských kurzoch.

Príklad 2: Vypočítajte limit ( lim_ frac).

Riešenie 1: Môže vás lákať ponoriť sa priamo do používania pravidla L & # 39 Home & # 39 s, a to tu funguje dobre, pretože priame nahradenie vedie k ( frac <0> <0> ):

Príklad 3: Vypočítajte limit ( lim_ frac).

Riešenie: Rýchla inšpekcia čitateľa a menovateľa nám umožňuje zistiť, že obidve sa pri danom limite blížia k nule. Môžeme teda použiť pravidlo L & # 39Hopital & # 39s:

Nerobte chybu, že opäť použijete pravidlo L & # 39Hopital & # 39s Rule, pretože už nemáme neurčitú formu ( frac <0> <0> ). Namiesto toho použite priame nahradenie:

Nekonečno vydelené neurčitými formulármi

Existuje iná forma pravidla L & # 39 Home & # 39s Rule, ktorá sa nazýva forma ( frac < infty> < infty> ). V tomto prípade sa čitateľ aj menovateľ zlomku blížia k nekonečnu s daným limitom. Hodnota, ku ktorej sa premenná blíži, je zvyčajne kladná alebo záporná nekonečnosť, ale niekedy to môže byť niečo iné. Ak sú čitateľ aj menovateľ diferencovateľné funkcie a blížia sa k nekonečnu s daným limitom:

Toto je úplne rovnaká operácia, ktorá sa vykoná, keď sa čitateľ aj menovateľ priblížia k nule! Takže v zásade jediným rozdielom medzi oboma časťami pravidla L & # 39Hopital & # 39s Rule je scenár, v ktorom je pravidlo uplatniteľné. Uvedomte si však, že pravidlo L&Hopital # 39s nemožno použiť, keď sa čitateľ blíži k nekonečnu a menovateľ k nule.

Príklad 4: Vypočítajte limit ( lim_ frac).

Riešenie 1: Čitateľ aj menovateľ limitu sa blížia k nekonečnu, takže môžeme rozlíšiť čitateľa a menovateľa:

Riešenie 2: Ak ste nepoznali pravidlo L & # 39 Home & # 39 s, mohli by ste zlomok jednoducho prepísať takto:

Termín s premennou, ktorá zostáva, sa rovná nule, pretože menovateľ sa postupne zväčšuje, zlomok sa zmenšuje a blíži sa k nule (graf (f (x) = frac <1>)) ak si to nemôžete predstaviť). Celý limit je teda stále (1 ).

Príklad 5: Vypočítajte limit ( lim_ frac).

Riešenie: Zapojením nekonečna do čitateľa a menovateľa vrátite nekonečno obidvom z nich. Môžeme teda rozlíšiť čitateľa a menovateľa, aby sme dostali novú formu limitu:

Vynásobte čitateľa a menovateľa znakom (x ), aby ste vymazali zložitý zlomok:

Tento limit má opäť neurčitý tvar ( frac < infty> < infty> ), takže opäť používame pravidlo L & # 39Hopital & # 39s (rýchly tip: môžete ho použiť toľkokrát, koľkokrát potrebujete. v jednom probléme, pokiaľ vždy platia podmienky pre použitie pravidla):

Použite ho ešte raz, pretože je stále v rovnakej neurčitej podobe:

Riešenie 1: Prvým z riešení je použitie pravidla L & # 39Hopital & # 39s Rule, pretože čitateľ aj menovateľ sa opäť blížia k nekonečnu.

Každý výraz má spoločný faktor (x ^ 2 ), takže ho možno započítať a odstrániť:

Po kontrole vidíme, že limit je stále v neurčitej podobe, ktorá nám umožňuje použiť pravidlo L & # 39 Home & Rule druhýkrát:

Pred pokračovaním si uvedomte, že v čitateľovi a menovateli je spoločný faktor (4 ). Faktor to:

Teraz použite pravidlo L & # 39Hopital & # 39s ešte raz:

Všeobecne platí, že ak sú čitateľ aj menovateľ polynóm, ak má čitateľ výraz s najvyššou degreáciou, potom sa limit bude blížiť k pozitívnemu alebo negatívnemu nekonečnu.

Riešenie 2: Oveľa rýchlejšie riešenie existuje, keď čitateľ aj menovateľ sú oba polynómy. Vydeľte čitateľa aj menovateľa výrazom s najvyššou stupnicou vo frakcii. V takom prípade je to (x ^ 7 ):

Každý člen v čitateľovi aj v menovateli sa sám blíži k nule - okrem osamelého (2 ) v čitateľovi. To znamená, že limit sa rovná

Príklad 7: Vysvetlite, prečo nemožno pravidlo L & # 39Hopital & # 39s použiť na výpočet limitu ( lim_ frac< cos x> ).

Riešenie: Funkcia kosínus neustále osciluje, že sa nepribližuje k určitej hodnote, pretože (x ) sa blíži k nekonečnu. Inými slovami, ( lim_ cos x ) nie je definované. Toto teda nemôže byť neurčitá forma ( frac <0> <0> ) alebo ( frac < infty> < infty> ). Vo výsledku nemôže byť pravidlo L & # 39Hopital & # 39s použité.


Požiadavka existencie limitu

  • Tu je základný príklad zahrnujúci exponenciálnu funkciu, ktorá zahŕňa neurčitý tvar 0/0 v X = 0 :
  • Toto je zložitejší príklad zahŕňajúci 0/0. Jednorazové použitie pravidla L'Hôpital má stále neurčitú podobu. V takom prípade možno limit vyhodnotiť trojnásobným uplatnením pravidla:
  • Tu je ďalší príklad 0/0:
  • Tu je príklad zahrnujúci neurčitý formulár 0 & # 183 & # 8734 (pozri nižšie), ktorý je prepísaný ako formulár & # 8734 / & # 8734:
  • Tu je príklad zahrnujúci vzorec na splácanie hypotéky a 0/0. Poďme P byť istinou (výškou pôžičky), r - úroková sadzba za obdobie a - n počet období. Kedy r je nula, výška splátky za obdobie je P n < displaystyle < frac

    >> (keďže sa spláca iba istina), je to v súlade so vzorcom pre nenulové úrokové sadzby:

  • Dá sa tiež použiť pravidlo L'Hôpital na dokázanie nasledujúcej vety. Ak f je diferencovateľný v susedstve X a dvakrát diferencovateľné pri X potom
  • Niekedy sa pravidlo spoločnosti L'Hôpital odvoláva zložitým spôsobom: predpokladajme f(X) + f′(X) konverguje ako X & # 8594 & # 8734 a že e x & # 8901 f (x) < displaystyle e ^ cdot f (x)> konverguje do kladného alebo záporného nekonečna. Potom:

3.2: Pravidlo spoločnosti L'Hôpital

Pojem limit sme definovali a použili predovšetkým pri vývoji derivácie. Pripomeňme, že $ ds lim_f (x) = L $ je pravda, ak sa v presnom zmysle slova $ f (x) $ priblíži a priblíži k $ L $, keď sa $ x $ priblíži a priblíži k $ a $. Zatiaľ čo niektoré limity sú ľahko viditeľné, iné berú osobitne vynaliezavosť, limity, ktoré definujú deriváty, sú na ich tvári vždy ťažké, pretože v $ lim_ < Delta x to 0>$ čitateľ aj menovateľ sa blížia k nule. Typically this difficulty can be resolved when $f$ is a "nice'' function and we are trying to compute a derivative. Occasionally such limits are interesting for other reasons, and the limit of a fraction in which both numerator and denominator approach zero can be difficult to analyze. Now that we have the derivative available, there is another technique that can sometimes be helpful in such circumstances.

Before we introduce the technique, we will also expand our concept of limit, in two ways. When the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $a$ does not exist, it may be useful to note in what way it does not exist. We have already talked about one such case: one-sided limits. Another case is when "$f$ goes to infinity''. We also will occasionally want to know what happens to $f$ when $x$ "goes to infinity''.

Example 4.10.1 What happens to $1/x$ as $x$ goes to 0? From the right, $1/x$ gets bigger and bigger, or goes to infinity. From the left it goes to negative infinity.

Example 4.10.2 What happens to the function $ds cos(1/x)$ as $x$ goes to infinity? It seems clear that as $x$ gets larger and larger, $1/x$ gets closer and closer to zero, so $cos(1/x)$ should be getting closer and closer to $cos(0)=1$.

As with ordinary limits, these concepts can be made precise. Roughly, we want $ds lim_f(x)=infty$ to mean that we can make $f(x)$ arbitrarily large by making $x$ close enough to $a$, and $ds lim_f(x)=L$ should mean we can make $f(x)$ as close as we want to $L$ by making $x$ large enough. Compare this definition to the definition of limit in section 2.3, definition 2.3.2.

Definition 4.10.3 If $f$ is a function, we say that $ds lim_f(x)=infty$ if for every $N>0$ there is a $delta>0$ such that whenever $|x-a| N$. We can extend this in the obvious ways to define $ds lim_f(x)=-infty$, $ds lim_f(x)=pminfty$, and $ds lim_f(x)=pminfty$.

Definition 4.10.4 (Limit at infinity) If $f$ is a function, we say that $ds lim_f(x)=L$ if for every $epsilon>0$ there is an $N > 0$ so that whenever $x>N$, $|f(x)-L| Theorem 4.10.5 (L'Hôpital's Rule) For "sufficiently nice'' functions $f(x)$ and $g(x)$, if $dslim_ f(x)= 0 = lim_ g(x)$ or both $dslim_ f(x)= pminfty$ and $lim_ g(x)=pminfty$, and if $dslim_$ exists, then $dslim_=lim_$. This remains true if "$x o a

Counterexamples to L'Hôpital's Rule

Subject classification(s): Calculus | Single Variable Calculus | Limity
Applicable Course(s): 3.0 Calculus | 3.2 Mainstream Calculus II | 4.0 Advanced Mathematics | 4.11 Advanced Calc I, II, & Real Analysis

From the introduction, "I am not, of course, claiming that L'Hôpital's rule is wrong, merely that unless it is stated and used very carefully it is capable of yielding spurious results."

A pdf copy of the article can be viewed by clicking below. Since the copy is a faithful reproduction of the actual journal pages, the article may not begin at the top of the first page.

These pdf files are furnished by JSTOR.

Classroom Capsules would not be possible without the contribution of JSTOR.

JSTOR provides online access to pdf copies of 512 journals, including all three print journals of the Mathematical Association of America: The American Mathematical Monthly, College Mathematics Journal, and Mathematics Magazine. We are grateful for JSTOR's cooperation in providing the pdf pages that we are using for Classroom Capsules.

Capsule Course Topic(s):
One-Variable Calculus | Integration Methods


Pozri si video: Chirurgická klinika UK. 2. LF a FN Motol (December 2021).