Články

7.4: Trojité integrály - matematika


Predtým sme diskutovali o dvojitom integrále funkcie (f (x, y) ) dvoch premenných nad obdĺžnikovou oblasťou v rovine. Ďalej v tejto časti rozšírime definíciu na všeobecnejšie oblasti v ( mathbb {R} ^ 3 ).

Integrovateľné funkcie troch premenných

Môžeme definovať obdĺžnikové políčko (B ) v ( mathbb {R} ^ 3 ) ako

[B = big {(x, y, z) , | , a leq x leq b, , c leq y leq d, , e leq z leq f big }. ]

Postupujeme podobne ako v minulosti. Rozdelíme interval ([a, b] ) na (l ) podintervaly ([x_ {i-1}, x_i] ) rovnakej dĺžky ( Delta x ) s

[ Delta x = dfrac {x_i - x_ {i-1}} {l}, ]

rozdeľte interval ([c, d] ) na (m ) podintervaly ([y_ {i-1}, y_i] ) rovnakej dĺžky ( Delta y ) s

[ Delta y = dfrac {y_j - y_ {j-1}} {m}, ]

a rozdeľte interval ([e, f] ) na (n ) podintervaly ([z_ {i-1}, z_i] ) rovnakej dĺžky ( Delta z ) s

[ Delta z = dfrac {z_k - z_ {k-1}} {n} ]

Potom sa obdĺžnikové políčko (B ) rozdelí na (lmn ) čiastkové schránky:

[B_ {ijk} = [x_ {i-1}, x_i] krát [y_ {i-1}, y_i] krát [z_ {i-1}, z_i], ]

ako je znázornené na obrázku ( PageIndex {1} ).

Pre každé (i, , j, ) a (k ) zvážte vzorový bod ((x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) ) v každé sub-box (B_ {ijk} ). Vidíme, že jeho objem je ( Delta V = Delta x Delta y Delta z ). Vytvorte trojitú Riemannovu sumu

[ sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ * ) , Delta x Delta y Delta z. ]

Trojitý integrál definujeme z hľadiska limitu trojitého Riemannovho súčtu, ako sme to urobili pre dvojitý integrál z hľadiska dvojitého Riemannovho súčtu.

Definícia: Trojitý integrál

Trojitý integrál funkcie (f (x, y, z) ) nad obdĺžnikovým štvorcom (B ) je definovaný ako

[ lim_ {l, m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) , Delta x Delta y Delta z = iiint_B f (x, y, z) , dV ], ak tento limit existuje.

Pokiaľ trojitý integrál existuje na (B ), funkcia (f (x, y, z) ) je považovaná za integrovateľnú na (B ). Trojitý integrál existuje aj vtedy, ak (f (x, y, z) ) je spojitý na (B ). Preto pre svoje príklady použijeme spojité funkcie. Kontinuita je však dostatočná, ale nie nevyhnutná; inými slovami, (f ) je ohraničené na (B ) a spojité okrem prípadného ohraničenia (B ). Vzorovým bodom ((x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) ) môže byť akýkoľvek bod v obdĺžnikovom čiastkovom poli (B_ {ijk} ) a všetky vlastnosti dvojitého integrálu platia pre trojitý integrál. Rovnako ako má dvojitý integrál mnoho praktických aplikácií, má aj trojitý integrál mnoho aplikácií, o ktorých si povieme v ďalších častiach.

Teraz, keď sme vyvinuli koncept trojitého integrálu, musíme vedieť, ako ho vypočítať. Rovnako ako v prípade dvojitého integrálu môžeme mať iterovaný trojitý integrál a v dôsledku toho verziu Fubiniho veta pre trojité integrály existuje.

Fubiniho veta pre trojité integrály

Ak (f (x, y, z) ) je spojité na obdĺžnikovom poli (B = [a, b] krát [c, d] krát [e, f] ), potom

[ iint_B f (x, y, z) , dV = int_e ^ f int_c ^ d int_a ^ b f (x, y, z) , dx , dy , dz. ]

Tento integrál sa tiež rovná ktorémukoľvek z ďalších piatich možných usporiadaní pre iterovaný trojitý integrál.

Pre (a, b, c, d, e ) a (f ) reálne čísla možno iterovaný trojitý integrál vyjadriť v šiestich rôznych usporiadaniach:

[ begin {align} int_e ^ f int_c ^ d int_a ^ bf (x, y, z) , dx , dy , dz & = int_e ^ f left ( int_c ^ d left ( int_a ^ bf (x, y, z) , dx vpravo) dy vpravo) dz & = int_c ^ d left ( int_e ^ f left ( int_a ^ bf (x, y, z) , dx pravý) dz pravý) dy & = int_a ^ b ľavý ( int_e ^ f ľavý ( int_c ^ df (x, y, z) , dy pravý) dz vpravo) dx & = int_e ^ f left ( int_a ^ b left ( int_c ^ df (x, y, z) , dy right) dx right) dz & = int_c ^ d left ( int_a ^ b left ( int_c ^ df (x, y, z) , dz right) dx right) dy & = int_a ^ b left ( int_c ^ d left ( int_e ^ ff (x, y, z) , dz doprava) dy doprava) dx end {zarovnať} ]

Pre obdĺžnikový rámček poradie integrácie nijako významne nelíši v úrovni náročnosti výpočtu. Trojité integrály vypočítavame pomocou Fubiniho vety a nie podľa definície Riemannovho súčtu. Poradie integrácie sledujeme rovnako ako pri dvojitých integráloch (teda zvnútra smerom von).

Príklad ( PageIndex {1} ): Vyhodnotenie trojitého integrálu

Vyhodnoťte trojitý integrál [ int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} int_ {x = -1} ^ {x = 5} (x + yz ^ 2) , dx , dy , dz. nonumber ]

Riešenie

Poradie integrácie je uvedené v úlohe, takže najskôr integrujte s ohľadom na (x ) r, a potom (z ).

[ begin {align *} & int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} int_ {x = -1} ^ {x = 5} ( x + yz ^ 2) , dx , dy , dz & = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} vľavo. left [ dfrac {x ^ 2} {2} + xyz ^ 2 right | _ {x = -1} ^ {x = 5} right] , dy , dz & text {Integrovať s ohľadom na $ x $.} & = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} dolava [12 + 6yz ^ 2 right] , dy , dz & text {Evaluate.} & = int_ {z = 0} ^ {z = 1} left [ left.12y + 6 dfrac {y ^ 2} {2} z ^ 2 right | _ {y = 2} ^ {y = 4} right] dz & text {Integrujte s ohľadom na $ y $.} & = int_ {z = 0} ^ {z = 1} [24+ 36z ^ 2] , dz & text {vyhodnotiť.} & = doľava [24z + 36 dfrac {z ^ 3} {3} doprava] _ {z = 0} ^ {z = 1} & text {Integrujte s ohľadom na $ z $.} & = 36. & text {vyhodnotiť.} end {align *} ]

Príklad ( PageIndex {2} ): Vyhodnotenie trojitého integrálu

Vyhodnoťte trojitý integrál

[ iiint_B x ^ 2 yz , dV ]

kde (B = veľký {(x, y, z) , | , - 2 leq x leq 1, , 0 leq y leq 3, , 1 leq z leq 5 veľké } ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {2} ).

Riešenie

Poradie nie je zadané, ale iterovaný integrál môžeme použiť v ľubovoľnom poradí bez zmeny úrovne obtiažnosti. Vyberte napríklad integráciu (y ), potom (x ) a potom (z ).

[ begin {align *} iiint limits_ {B} x ^ 2 yz , dV & = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 int_0 ^ 3 [x ^ 2 yz] , dy , dx , dz & = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 doľava [ doľava. x ^ 2 dfrac {y ^ 3} {3} z vpravo | _0 ^ 3 vpravo] dx , dz & = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 dfrac {y} {2 } x ^ 2 z , dx , dz & = int_1 ^ 5 doľava [ doľava. dfrac {9} {2} dfrac {x ^ 3} {3} z vpravo | _ {- 2} ^ 1 vpravo] dz = int_1 ^ 5 dfrac {27} {2} z , dz & = vľavo. dfrac {27} {2} dfrac {z ^ 2} {2} vpravo | _1 ^ 5 = 162. end {zarovnať *} ]

Teraz sa pokúste integrovať v inom poradí, len aby ste zistili, že dostaneme rovnakú odpoveď. Vyberte integráciu najskôr s (x ), potom (z ), potom (y )

[ begin {align *} iiiint limits_ {B} x ^ 2yz , dV & = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 [x ^ 2yz] , dx , dz , dy & = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 doľava [ doľava. dfrac {x ^ 3} {3} yz right | _ {- 2} ^ 1 right] dz , dy & = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 3yz ; dz , dy & = int_0 ^ 3 doľava. doľava [3r dfrac {z ^ 2} {2} doprava | _1 ^ 5 doprava] , dy & = int_0 ^ 3 36r ; dy & = vľavo. 36 dfrac {y ^ 2} {2} vpravo | _0 ^ 3 = 18 (9-0) = 162. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vyhodnoťte trojitý integrál

[ iint_B z , sin , x , cos , y , dV nonumber ]

kde (B = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq pi, , dfrac {3 pi} {2} leq y leq 2 pi , , 1 leq z leq 3 big } ).

Pomôcka

Postupujte podľa krokov v predchádzajúcom príklade.

Odpoveď

[ iint_B z , sin , x , cos , y , dV = 8 nonumber ]

Trojitá integrácia vo všeobecnom regióne

Trojitý integrál spojitej funkcie (f (x, y, z) ) vo všeobecnej trojrozmernej oblasti

[E = big {(x, y, z) , | , (x, y) v D, , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big } ]

v ( mathbb {R} ^ 3 ), kde (D ) je priemet (E ) do roviny (xy ), je

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D doľava [ int_ {u_1 (x, y)} ^ {u_2 (x, y)} f (x, y, z) , dz vpravo] dA. ]

Podobne môžeme uvažovať o všeobecne ohraničenej oblasti (D ) v rovine (xy ) - a dvoch funkciách (y = u_1 (x, z) ) a (y = u_2 (x, z) ) také, že (u_1 (x, z) leq u_2 (x, z) ) pre všetky (9x, z) ) v (D ). Potom môžeme označiť pevnú oblasť (E ) v ( mathbb {R} ^ 3 ) ako

[E = big {(x, y, z) , | , (x, z) v D, , u_1 (x, z) leq z leq u_2 (x, z) big } ] kde (D ) je priemet (E ) do roviny (xy ) a trojitý integrál je

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D doľava [ int_ {u_1 (x, z)} ^ {u_2 (x, z)} f ​​(x, y, z) , dy right] dA. ]

Nakoniec, ak (D ) je všeobecne ohraničená oblasť v rovine (xy ) - a máme dve funkcie (x = u_1 (y, z) ) a (x = u_2 (y, z) ) také, že (u_1 (y, z) leq u_2 (y, z) ) pre všetky ((y, z) ) v (D ), potom pevná oblasť (E ) v ( mathbb {R} ^ 3 ) možno opísať ako

[E = veľký {(x, y, z) , | , (y, z) v D, , u_1 (y, z) leq z leq u_2 (y, z) veľký } ] kde (D ) je priemet (E ) do roviny (xy ) a trojitý integrál je

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D doľava [ int_ {u_1 (y, z)} ^ {u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx vpravo] dA. ]

Upozorňujeme, že oblasť (D ) v ktorejkoľvek z rovín môže byť typu I alebo typu II, ako je opísané vyššie. Ak (D ) v rovine (xy ) je typu I (obrázok ( PageIndex {4} )), potom

[E = big {(x, y, z) , | , a leq x leq b, , g_1 (x) leq y leq g_2 (x), , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big }. ]

Potom sa stane trojitým integrálom

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} int_ {u_1 (x, y)} ^ {u_2 (x , y)} f (x, y, z) , dz , dy , dx. ]

Ak (D ) v rovine (xy ) je typu II (obrázok ( PageIndex {5} )), potom

[E = big {(x, y, z) , | , c leq x leq d, h_1 (x) leq y leq h_2 (x), , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big }. ]

Potom sa stane trojitým integrálom

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {x = h_1 (y)} ^ {x = h_2 (y)} int_ {z = u_1 (x, y)} ^ {z = u_2 (x, y)} f (x, y, z) , dz , dx , dy. ]

Príklad ( PageIndex {3A} ): Vyhodnotenie trojitého integrálu v rámci všeobecne ohraničenej oblasti

Vyhodnoťte trojný integrál funkcie (f (x, y, z) = 5x - 3y ) na pevnom štvorstene ohraničenom rovinami (x = 0, , y = 0, , z = 0 ) , a (x + y + z = 1 ).

Riešenie

Obrázok ( PageIndex {6} ) zobrazuje pevný štvorsten (E ) a jeho priemet (D ) do roviny (xy ).

Štvorsten pevnej oblasti môžeme opísať ako

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y veľký }. nonumber ]

Trojitý integrál teda je

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (5x - 3r) , dz , dy , dx. nonumber ]

Pre zjednodušenie výpočtu najskôr vyhodnotte integrál. ( Displaystyle int_ {z = 0} ^ {z = 1-x-y} (5x - 3y) , dz ). Máme

[ int_ {z = 0} ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz = (5x - 3y) z bigg | _ {z = 0} ^ {z = 1-xy} = (5x - 3r) (1 - x - y). Nonumber ]

Teraz zhodnoťte integrál

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (5x - 3r) (1 - x - y) , dy, nonumber ]

získanie

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (5x - 3y) (1 - x - y) , dy = dfrac {1} {2} (x - 1) ^ 2 (6x - 1). Nonumber ]

Nakoniec zhodnoťte

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} dfrac {1} {2} (x - 1) ^ 2 (6x - 1) , dx = dfrac {1} {12}. nonumber ]

Ak to všetko spojíme, máme

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (5x - 3r) , dz , dy , dx = dfrac {1} {12}. nonumber ]

Rovnako ako sme použili dvojitý integrál [ iint_D 1 , dA ] na nájdenie oblasti všeobecne ohraničenej oblasti (D ), môžeme použiť [ iiint_E 1 , dV ] na nájdenie objemu všeobecná pevná ohraničená oblasť (E ). Nasledujúci príklad ilustruje metódu.

Príklad ( PageIndex {3B} ): Nájdenie zväzku vyhodnotením trojitého integrálu

Nájdite objem pravej pyramídy, ktorá má štvorcovú základňu v (xy ) - rovine ([- 1,1] krát [-1,1] ) a vrchol v bode ((0, 0 , 1) ) ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Riešenie

V tejto pyramíde sa hodnota (z ) mení z 0 na 1 a pri každej výške (z ) je prierez pyramídy pre každú hodnotu (z ) štvorcový

[[- 1 + z, , 1 - z] krát [-1 + z, , 1 - z]. Nečíslo ]

Preto je objem pyramídy [ iiint_E 1 , dV nonumber ] kde

[E = veľký {(x, y, z) , | , 0 leq z leq 1, , -1 + z leq y leq 1 - z, , -1 + z leq x leq 1 - z big }. nonumber ]

Teda máme

[ begin {align *} iiint_E 1 , dV & = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 1 + z} ^ {1-z} int_ {x = 1 + z} ^ {1-z} 1 , dx , dy , dz & = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 1 + z} ^ {1-z } (2 - 2z) , dy , dz & = int_ {z = 0} ^ {z = 1} (2 - 2z) ^ 2 , dz = dfrac {4} {3}. end {zarovnať *} ]

Preto je objem pyramídy ( dfrac {4} {3} ) kubických jednotiek.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Zvážte pevnú guľu (E = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 big } ). Trojitý integrál [ iiint_E f (x, y, z) , dV nonumber ] pre ľubovoľnú funkciu (f ) napíšeme ako iterovaný integrál. Potom vyhodnotte tento trojitý integrál s (f (x, y, z) = 1 ). Všimnite si, že takto získate objem gule pomocou trojitého integrálu.

Pomôcka

Postupujte podľa krokov v predchádzajúcom príklade. Použite symetriu.

Odpoveď

[ begin {align *} iiint_E 1 , dV & = 8 int_ {x = -3} ^ {x = 3} int_ {y = - sqrt {9-z ^ 2}} ^ {y = sqrt {9-z ^ 2}} int_ {z = - sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2}} ^ {z = sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2}} 1 , dz , dy , dx & = 36 pi , text {kubické jednotky}. end {zarovnať *} ]

Zmena poradia integrácie

Ako sme už videli v dvojitých integráloch cez všeobecne ohraničené oblasti, zmena poradia integrácie sa robí pomerne často, aby sa zjednodušil výpočet. Ak je trojitý integrál umiestnený nad obdĺžnikovým rámčekom, poradie integrácie nezmení úroveň náročnosti výpočtu. Avšak s trojitým integrálom cez všeobecne ohraničenú oblasť môže výber vhodného poradia integrácie značne zjednodušiť výpočet. Niekedy môže byť veľmi užitočné vykonať zmenu polárnych súradníc. Tu demonštrujeme dva príklady.

Príklad ( PageIndex {4} ): Zmena poradia integrácie

Zvážte iterovaný integrál

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = y} f (x, y, z ) , dz , dy , dx. ]

Poradie integrácie je tu prvé s ohľadom na zpotom r, a potom X. Vyjadrite tento integrál zmenou poradia integrácie tak, aby bola prvá vo vzťahu k (x ), potom (z ) a potom (y ). Overíme, že hodnota integrálu je rovnaká, ak necháme (f (x, y, z) = xyz ).

Riešenie

Najlepší spôsob, ako to urobiť, je načrtnúť oblasť (E ) a jej projekcie do každej z troch súradnicových rovín. Tak teda

[E = veľký {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x ^ 2, , 0 leq z leq y veľké }. nečíslo ]

a

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = x ^ 2} f (x, y , z) , dz , dy , dx = iiint_E f (x, y, z) , dV. nečíslo ]

Tento trojitý integrál musíme vyjadriť ako

[ int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {z = v_1 (y)} ^ {z = v_2 (y)} int_ {x = u_1 (y, z)} ^ {x = u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx , dz , dy. nonumber ]

Ak poznáme región (E ), môžeme nakresliť nasledujúce projekcie (obrázok ( PageIndex {8} )):

na (xy ) - rovine je (D_1 = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x ^ 2 big } = {(x, y) , | , 0 leq y leq 1, , sqrt {y} leq x leq 1 big }, )

na (yz ) - rovine je (D_2 = big {(y, z) , | , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y ^ 2 big } ) a

na (xz ) - rovine je (D_3 = big {(x, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq z leq x ^ 2 big } ).

Teraz môžeme opísať rovnakú oblasť (E ) ako ( big {(x, y, z) , | , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y ^ 2 , , sqrt {y} leq x leq 1 big } ) a následne sa trojitý integrál stane

[ int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {z = v_1 (y)} ^ {z = v_2 (y)} int_ {x = u_1 (y, z)} ^ {x = u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx , dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = x ^ 2} int_ {x = sqrt {y}} ^ {x = 1} f (x, y, z) , dx , dz , dy ]

Teraz predpokladajme, že (f (x, y, z) = xyz ) v každom z integrálov. Potom máme

[ begin {align *} & int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} xyz , dz , dy , dx & = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} vľavo. left [xy dfrac {z ^ 2} {2} right | _ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} right] , dy , dx = int_ {x = 0} ^ { x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} vľavo (x dfrac {y ^ 5} {2} vpravo) dy , dx = int_ {x = 0} ^ { x = 1} vľavo. left [x dfrac {y ^ 6} {12} right | _ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} right] dx = int_ {x = 0} ^ {x = 1} dfrac {x ^ {13}} {12} dx = vľavo. dfrac {x ^ {14}} {168} vpravo | _ {x = 0} ^ {x = 1} = dfrac {1} {168}, end {zarovnať *} ]

[ begin {align *} & int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} int_ {x = sqrt {y}} ^ { x = 1} xyz , dx , dz , dy & = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} vľavo. dolava [yz dfrac {x ^ 2} {2} doprava | _ { sqrt {y}} ^ {1} doprava] dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} left ( dfrac {yz} {2} - dfrac {y ^ 2z} {2} right) dz , dy = int_ {y = 0 } ^ {y = 1} vľavo. left [ dfrac {yz ^ 2} {4} - dfrac {y ^ 2z ^ 2} {4} right | _ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} right] dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} doľava ( dfrac {y ^ 5} {4} - dfrac {y ^ 6} {4} doprava) dy = doľava. left ( dfrac {y ^ 6} {24} - dfrac {y ^ 7} {28} right) right | _ {y = 0} ^ {y = 1} = dfrac {1} {168 }. end {zarovnať *} ]

Odpovede sa zhodujú.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Napíšte päť rôznych iterovaných integrálov rovných danému integrálu

[ int_ {z = 0} ^ {z = 4} int_ {y = 0} ^ {y = 4-z} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} f (x , y, z) , dx , dy , dz. nonumber ]

Pomôcka

Postupujte podľa krokov v predchádzajúcom príklade a použite oblasť (E ) ako ( big {(x, y, z) , | , 0 leq z leq 4, , 0 leq y leq 4 - z, , 0 leq x leq sqrt {y} big } ) a opíšte a nakreslite projekcie na každú z troch rovín, päť rôznych časov.

Odpoveď

[(i) , int_ {z = 0} ^ {z = 4} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {4-z}} int_ {y = x ^ 2} ^ { y = 4-z} f (x, y, z) , dy , dx , dz, , (ii) , int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {z = 0 } ^ {z = 4-y} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} f (x, y, z) , dx , dz , dy, , (iii) , int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} int_ {z = 0} ^ {Z = 4-y} f (x, y, z) , dz , dx , dy, , nonumber ]

[(iv) , int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = 0} ^ {z = 4-r} f (x, y, z) , dz , dy , dx, , (v) int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {z = 0} ^ {z = 4-x ^ 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4-z} f (x, y, z) , dy , dz , dx nonumber ]

Príklad ( PageIndex {5} ): Zmena integračného poradia a súradnicových systémov

Vyhodnoťte trojitý integrál

[ iiint_ {E} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV, nonumber ]

kde (E ) je oblasť ohraničená paraboloidom (y = x ^ 2 + z ^ 2 ) (obrázok ( PageIndex {9} )) a rovinou (y = 4 ).

Riešenie

Projekcia pevnej oblasti (E ) na (xy ) - rovinu je oblasťou ohraničenou zhora (y = 4 ) a dole parabolou (y = x ^ 2 ), ako je to znázornené.

Teda máme

[E = big {(x, y, z) , | , -2 leq x leq 2, , x ^ 2 leq y leq 4, , - sqrt {y - x ^ 2} leq z sqrt {y - x ^ 2} big }. Nonumber ]

Trojitý integrál sa stáva

[ iiint_E sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = - sqrt {yx ^ 2}} ^ {y = sqrt {yx ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx. nonumber ]

Tento výraz je ťažké vypočítať, preto zvážte projekciu (E ) do roviny (xz ). Toto je kruhový disk (x ^ 2 + z ^ 2 leq 4 ). Takže získavame

[ iiint_E sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = - sqrt {yx ^ 2}} ^ {z = sqrt {yx ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {y = x ^ 2 + z ^ 2} ^ {y = 4} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dy , dz , dx. Nonumber ]

Tu sa mení poradie integrácie z prvého na (z ), potom (y ) a potom (x ) na prvé z hľadiska (y ), potom na (z ) a potom do (x ). Čoskoro bude jasné, ako môže byť táto zmena pre výpočet prospešná. Máme

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {y = x ^ 2 + z ^ 2} ^ {y = 4} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dy , dz , dx = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} (4 - x ^ 2 - z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + z ^ 2 } , dz , dx. nonumber ]

Teraz použite polárnu substitúciu (x = r , cos , theta, , z = r , sin , theta ) a (dz , dx = r , dr , d theta ) v rovine (xz ). Je to v podstate to isté, ako keď sme použili polárne súradnice v rovine (xy ), ibaže nahradíme (y ) znakom (z ). V dôsledku toho sa limity integrácie zmenia a pomocou (r ^ 2 = x ^ 2 + z ^ 2 ) máme

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} (4 - x ^ 2 - z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dx = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 2} (4 - r ^ 2) rr , dr , d theta = int_0 ^ {2 pi} vľavo. left [ dfrac {4r ^ 3} {3} - dfrac {r ^ 5} {5} right | _0 ^ 2 right] , d theta = int_0 ^ {2 pi} dfrac { 64} {15} , d theta = dfrac {128 pi} {15} nonumber ]

Priemerná hodnota funkcie troch premenných

Pripomeňme, že priemernú hodnotu funkcie dvoch premenných sme našli vyhodnotením dvojitého integrálu nad oblasťou v rovine a následným vydelením oblasťou oblasti. Podobne môžeme nájsť priemernú hodnotu funkcie v troch premenných vyhodnotením trojitého integrálu cez pevnú oblasť a potom vydelením objemom pevnej látky.

Priemerná hodnota funkcie troch premenných

Ak je (f (x, y, z) ) integrovateľné do pevnej ohraničenej oblasti (E ) s kladným objemom (V , (E), ), potom je priemerná hodnota funkcie

[f_ {ave} = dfrac {1} {V , (E)} iiint_E f (x, y, z) , dV. ]

Upozorňujeme, že hlasitosť je

[V , (E) = iiint_E 1 , dV. ]

Príklad ( PageIndex {6} ): Nájdenie priemernej teploty

Teplota v bode ((x, y, z) ) pevnej látky (E ) ohraničenej súradnicovými rovinami a rovinou (x + y + z = 1 ) je (T (x, y, z) = (xy + 8z + 20) , text {°} text {C} ). Zistite priemernú teplotu tuhej látky.

Riešenie

Použite vetu uvedenú vyššie a trojitý integrál na nájdenie čitateľa a menovateľa. Potom urobte rozdelenie. Všimnite si, že rovina (x + y + z = 1 ) má úseky ((1,0,0), , (0,1,0), ) a ((0,0,1) ). Oblasť (E ) vyzerá takto

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y big }. nonumber ]

Preto je trojitý integrál teploty

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (xy + 8z + 20) , dz , dy , dx = dfrac {147} {40}. nonumber ]

Hodnotenie objemu je

[V , (E) = iiint_E 1 , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} 1 , dz , dy , dx = dfrac {1} {6}. nonumber ]

Preto je priemerná hodnota

[T_ {ave} = dfrac {147/40} {1/6} = dfrac {6 (147)} {40} = dfrac {441} {20} , text {°} text { C} nonumber ].

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Nájdite priemernú hodnotu funkcie (f (x, y, z) = xyz ) nad kockou so stranami dĺžky 4 jednotky v prvom oktante s jedným vrcholom pri začiatku a hranami rovnobežnými s osami súradníc.

Pomôcka

Postupujte podľa krokov v predchádzajúcom príklade.

Odpoveď

(f_ {ave} = 8 )


Trojitý integrál s konečnými limitmi

Definujte anonymnú funkciu f (x, y, z) = y sin x + z cos x.

Integrácia cez oblasť 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 1 a - 1 ≤ z ≤ 1.

Integrál nad sférou jednotiek v karteziánskych súradniciach

Definujte anonymnú funkciu f (x, y, z) = x cos y + x 2 cos z.

Definujte limity integrácie.

Vyhodnoťte určitý integrál pomocou metódy „vykachličkovanej“.

Vyhodnoťte nesprávnu trojitú integráciu parametrizovanej funkcie

Definujte anonymnú parametrizovanú funkciu f (x, y, z) = 1 0 / (x 2 + y 2 + z 2 + a).

Vyhodnoťte trojitý integrál v regióne - & # 8734 ≤ x ≤ 0, - 1 0 0 ≤ y ≤ 0 a - 1 0 0 ≤ z ≤ 0.

Znovu vyhodnotte integrál a uveďte presnosť približne na 9 platných číslic.

4-D integrál sféry

Na výpočet objemu 4-D gule použite vnorené volania integrál3 a integrál.

Objem 4-D gule s polomerom r je

V 4 (r) = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 π ∫ 0 r r 3 sin 2 (θ) sin (ϕ) dr d θ d ϕ d ξ.

Integrované kvadratúrne funkcie v MATLABe & # 174 priamo podporujú 1-D, 2-D a 3-D integrácie. Ak však chcete vyriešiť integrály 4-D a vyššieho rádu, musíte vnoriť hovory riešiteľom.

Vytvorte popisovač funkcie f (r, θ, ϕ, ξ) pre integrand pomocou operátorov po jednotlivých prvkoch (. ^ A. *).

Ďalej vytvorte popisovač funkcie, ktorý pomocou integrálu3 vypočíta tri z integrálov.

Nakoniec použite Q ako celé číslo vo výzve na integrál. Riešenie tohto integrálu si vyžaduje výber hodnoty pre polomer r, takže použite r = 2.

Presná odpoveď je π 2 r 4 2 Γ (2).


Calculus 3, Triple Integrals

Mám zlú vizualizáciu vecí, takže, prirodzene, strašne hľadám hranice pre trojité integrály.
Nájdite hmotnosť telesa ohraničeného rovinou xy, rovinou yz, rovinou xz a rovinou (x / 3) + (y / 2) + (z / 6) = 1
ak je hustota tuhej látky daná rho (x, y, z) = x + y
Ja myslieť si najvnútornejší integrál je od 0 do 6-2x-3r.
A keďže
rovina xy je z = 0
rovina yz je x = 0 a
rovina xz je y = 0
Myslel som si, že potrebujem zistiť, kde sa šikmá rovina pretínala s každým y = 0 a x = 0
Nastavil som teda y = 0 = z = 6-2x-3y [0 = 6-2x-3y] a vyriešil som pre x

x = 3- (3/2) r
Takže si myslím, že stredný integrál je od 0 do 3- (3/2) r
ale potom som naozaj zaseknutý v tom, ako nájsť vonkajšie hranice. Povedzte mi tiež, či to, čo som už urobil, bolo úplné haraburdie.

EDIT: Po pohľade na to nastavím x = 3- (3/2) y rovné x = 0, aby som našiel y (čo dáva y = 2), takže moja vonkajšia hranica by bola od 0 do 2?

HallsofIvy

Člen elity

Áno, toto číslo je „štvorsten“ s vrcholmi na (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 2, 0) a (0, 0, 6).

Ak premietame do roviny xy, máme trojuholník s vrcholmi v (0, 0, 0), (3, 0, 0) a (0, 2, 0). Môžeme teda brať x prebiehajúce od 0 do 3. Horná strana tohto trojuholníka je priamka x / 3 + y / 2 = 1, takže pre každé x je y = 2- (2/3) x. Nasledujúci integrál má y od 0 do 2- (2/3) x (NOT & quoty = 3- (3/2) x!). A samozrejme, horná rovina, x / 3 + y / 2 + z / 6 = 1 sa dá vyriešiť pre z ako z = 6- x / 2- y / 3, takže integrál & quotinner & quot je od 0 do 6- x / 2- y / 3.

Hmotnosť je daná ( Displaystyle int_^ 3 int_^ <3- (3/2) x> int_^ <6- x / 2- y / 3> (x + y) dzdydx )


Trojité integrály cez boxy

Pozreli sme sa teda na integrály jednotlivých premenných funkcií so skutočnou hodnotou a integrály dvoch premenných funkcií so skutočnou hodnotou. Teraz pôjdeme ďalej a pozrieme sa na to, ako môžeme vyhodnotiť integrály funkcie troch premenných.

Najprv predpokladajme, že $ w = f (x, y, z) $ je funkcia s tromi premennými skutočnými hodnotami, ktorá je definovaná v obdĺžnikovom poli $ B = <(x, y, z): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s > $.

Vezmeme toto políčko $ B $ a rozdelíme ho na čiastkové krabice rovnakej dimenzie. To sa dá urobiť tak, že sa interval $ [a, b] $ rovnomerne rozdelí na $ l $ subintervaly $ [x_, x_i] $ so šírkou $ Delta x $, potom vezmeme interval $ [c, d] $ a rovnomerne ho rozdelíme na $ m $ subintervaly $ [y_, y_j] $ so šírkou $ Delta y $ a nakoniec vezmeme interval $ [r, s] $ a rovnomerne ho rozdelíme na $ n $ podintervaly $ [z_, z_k] $ so šírkou $ Delta z $. Celkovo získame $ l cdot m cdot n $ veľa podboxov s rovnakou dimenziou.

Teraz identifikujeme každé políčko $ B_$ ako:

Ďalej má každé z týchto čiastkových boxov objem $ Delta V $ a:

Teraz sme pripravení zostrojiť trojitú Riemannovu sumu a definovať trojitý integrál. Nech $ (x_^ *, y_^ *, z_^ *) $ bude vzorovým bodom obsiahnutým v poli $ B_$. Trojitá Riemannova suma je teda:

Teraz, keď vezmeme limit ako $ l, m, n až infty $ tejto trojitej Riemannovej sumy, dostaneme definíciu trojitého integrálu:

Definícia: Nech $ w = f (x, y, z) $ je tri premenné reálne ocenené funkcie definované v políčku $ B = <(x, y, z): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s > $. Potom Triple Integral $ f $ nad políčkom $ B $ je definované ako $ iiint_B f (x, y, z) : dV = lim_ sum_^ l sum_^ m sum_^ n f (x_^ *, y_^ *, z_^ *) Delta V $ za predpokladu, že tento limit existuje.

Následne sa pozrieme na Fubiniho vetu na hodnotenie trojitých integrálov cez obdĺžniky, že môžeme trojité integrály cez polia hodnotiť podobným spôsobom, pre ktorý sme hodnotili dvojité integrály cez obdĺžniky.


Trojnásobok integrálu trojnásobok bolesti

Keď ste špinavý fyzik, ktorý robí štatistickú mechaniku a bez akejkoľvek starostlivosti manipulujete s N-integrálmi.

štatistika fyzika: N integrály? je to iba jednoduchý integrál N

(keď N častice príliš interagujú)

Ak môžete urobiť 1 integrál, môžete urobiť n. Jednoduchá indukcia.

Baví niekoho iného trojitý integrál?

Láska em. Je to ako ja v Tichomorí a surfujem po najchudobnejšej vlne. Vlna, ktorá stále pokračuje - priamo do západu slnka.

na čo sa používajú trojité integrály? Vzal som si kalkulačky 1 a 2 a nevidel som nič okrem normálneho singla. (tiež, ak by niekto mohol vysvetliť integrál s kruhom cez to, snažil som sa na ňom prečítať, ale stále nedostal dôvod, prečo je to nevyhnutné)

Integrály viac ako jednej dimenzie majú dve formy: iterované integrály a viacnásobné integrály.

Trojité iterované integrály môžu byť integráciou niečoho trikrát, pokiaľ ide o tri rôzne premenné. V takom prípade by ste nastavili dolný a horný okraj na každý integrál ako obvykle.

Trojité integrály môžu byť aj viacnásobné integrály alebo „integrály objemu“, v ktorých namiesto hraníc vložíte pod integrály názov tvaru, ktorý ste definovali ako nejaká sféra alebo niečo podobné. Namiesto sčítania funkcie cez úsečku ako v jednorozmerných integráloch to môžete považovať za sčítanie hodnoty funkcie v celom tomto tvare.

Integrál s kruhom, ktorý prechádza cez neho, je integrál so slučkou. To znamená integrál taký, že horná hranica sa vráti späť k dolnej hranici. Nemusíte dávať kruh, aby ho ľudia iba pridali, aby ste ho označili ako integrálnu slučku a uľahčili tak čitateľovi pochopenie.


Argumenty vstupu

Zábava & # 8212 Integrand funkčná rukoväť

Integrand, špecifikovaný ako popisovač funkcie, definuje funkciu, ktorá má byť integrovaná v oblasti xmin ≤ x ≤ xmax, ymin (x) ≤ y ≤ ymax (x) a zmin (x, y) ≤ z ≤ zmax (x, y ). Funkčná zábava musí akceptovať tri polia rovnakej veľkosti a vrátiť pole zodpovedajúcich hodnôt. Musí vykonávať operácie po prvkoch.

Typy údajov: funkcna_obsluha

Xmin & # 8212 Dolná hranica X Reálne číslo

Dolná hranica X, zadaná ako skutočná skalárna hodnota, ktorá je buď konečná alebo nekonečná.

Typy údajov: dvojitý | slobodný

Xmax & # 8212 Horná hranica X Reálne číslo

Horná hranica X, zadaná ako skutočná skalárna hodnota, ktorá je buď konečná alebo nekonečná.

Typy údajov: dvojitý | slobodný

Ymin & # 8212 Dolná hranica r reálne číslo | funkčná rukoväť

Dolná hranica r, zadaná ako skutočná skalárna hodnota, ktorá je buď konečná alebo nekonečná. Môžete tiež určiť ymin ako popisovač funkcie (funkcia X) pri integrácii cez obdĺžnikovú oblasť.

Typy údajov: dvojitý | funkcna_obsluha | slobodný

Ymax & # 8212 Horná hranica r reálne číslo | funkčná rukoväť

Horná hranica r, zadaná ako skutočná skalárna hodnota, ktorá je buď konečná alebo nekonečná. Môžete tiež určiť ymax ako popisovač funkcie (funkcia X) pri integrácii cez obdĺžnikovú oblasť.

Typy údajov: dvojitý | funkcna_obsluha | slobodný

Zmin & # 8212 Dolná hranica z reálne číslo | funkčná rukoväť

Dolná hranica z, zadaná ako skutočná skalárna hodnota, ktorá je buď konečná alebo nekonečná. Môžete tiež určiť zmin ako popisovač funkcie (funkcia X,r) pri integrácii cez obdĺžnikovú oblasť.

Typy údajov: dvojitý | funkcna_obsluha | slobodný

Zmax & # 8212 Horná hranica z reálne číslo | funkčná rukoväť

Horná hranica z, zadaná ako skutočná skalárna hodnota, ktorá je buď konečná alebo nekonečná. Môžete tiež určiť zmax ako popisovač funkcie (funkcia X,r) pri integrácii cez obdĺžnikovú oblasť.

Typy údajov: dvojitý | funkcna_obsluha | slobodný

Argumenty dvojice názov-hodnota

Zadajte voliteľné páry čiarkami oddelených argumentov Názov, Hodnota. Názov je názov argumentu a Hodnota je zodpovedajúca hodnota. Meno musí byť uvedené v úvodzovkách. Môžete zadať niekoľko argumentov párov mien a hodnôt v ľubovoľnom poradí ako Názov1, Hodnota1. MenoN, HodnotaN.

Príklad: 'AbsTol', 1e-12 nastavuje absolútnu toleranciu chýb na približne 12 desatinných miest presnosti.

'AbsTol' & # 8212 Absolútna tolerancia chýb nezáporné reálne číslo

Absolútna tolerancia chýb, zadaná ako pár oddelený čiarkami, ktorý sa skladá z „AbsTol“ a nezáporného reálneho čísla. integrál3 používa absolútnu toleranciu chýb na obmedzenie odhadu absolútnej chyby, |qQ|, kde q je vypočítaná hodnota integrálu a Q je (neznáma) presná hodnota. integrál3 môže poskytnúť viac desatinných miest presnosti, ak znížite absolútnu toleranciu chýb. Predvolená hodnota je 1e-10.

AbsTol a RelTol spolupracujú. integrál3 môže vyhovovať absolútnej tolerancii chýb alebo relatívnej tolerancii chýb, ale nie nevyhnutne obidvom. Viac informácií o použití týchto tolerancií nájdete v časti Tipy.

Príklad: 'AbsTol', 1e-12 nastavuje absolútnu toleranciu chýb na približne 12 desatinných miest presnosti.

Typy údajov: dvojitý | slobodný

'RelTol' & # 8212 Relatívna tolerancia chýb nezáporné reálne číslo

Relative error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'RelTol' and a nonnegative real number. integral3 uses the relative error tolerance to limit an estimate of the relative error, |qQ|/|Q|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral3 might provide more significant digits of precision if you decrease the relative error tolerance. The default value is 1e-6 .

RelTol and AbsTol work together. integral3 might satisfy the relative error tolerance or the absolute error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

Príklad: 'RelTol',1e-9 sets the relative error tolerance to approximately 9 significant digits.

Typy údajov: double | slobodný

'Method' — Integration method 'auto' (default) | 'tiled' | 'iterated'

Integration method, specified as the comma-separated pair consisting of 'Method' and one of the methods described below.

Integration MethodPopis
'auto' For most cases, integral3 uses the 'tiled' method. It uses the 'iterated' method when any of the integration limits are infinite. This is the default method.
'tiled' integral3 calls integral to integrate over xmin ≤ x ≤ xmax . It calls integral2 with the 'tiled' method to evaluate the double integral over ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) and zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) .
'iterated' integral3 calls integral to integrate over xmin ≤ x ≤ xmax . It calls integral2 with the 'iterated' method to evaluate the double integral over ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) and zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) . The integration limits can be infinite.

Príklad: 'Method','tiled' specifies the tiled integration method.

Typy údajov: char | struna

The integral3 function attempts to satisfy:

The 'iterated' method can be more effective when your function has discontinuities within the integration region. However, the best performance and accuracy occurs when you split the integral at the points of discontinuity and sum the results of multiple integrations.

When integrating over nonrectangular regions, the best performance and accuracy occurs when any or all of the limits: ymin , ymax , zmin , zmax are function handles. Avoid setting integrand function values to zero to integrate over a nonrectangular region. If you must do this, specify 'iterated' method.

Use the 'iterated' method when any or all of the limits: ymin(x) , ymax(x) , zmin(x,y) , zmax(x,y) are unbounded functions.

When paramaterizing anonymous functions, be aware that parameter values persist for the life of the function handle. For example, the function fun = @(x,y,z) x + y + z + a uses the value of a at the time fun was created. If you later decide to change the value of a , you must redefine the anonymous function with the new value.

If you are specifying single-precision limits of integration, or if fun returns single-precision results, you may need to specify larger absolute and relative error tolerances.

To solve 4-D and higher order integrals, you can nest calls to integral , integral2 , and integral3 . Another option is to use the integralN function on the MATLAB ® File Exchange, which solves integrals of orders 4 - 6.


1. Find the volume of each of the solid regions considered in Examples 2 and 3 and Problems 2 and 3 above. Use at least two different methods in each case and compare the answers.

2. Integrate the function x^2 + y*z over the solid region above the paraboloid z = x^2 + y^2 and below the plane x + y + z = 10.

3. Integrate the function x^2 + 2y^2 + 3z^2 over the solid region interior to both the sphere x^2 + y^2 + z^2 = 9 and the cylinder (x-1)^2 + y^2 = 1.


Prerequisites, Co-requisites, and Post-requisites

The prerequisites to MATH 212 include MATH 115 Linear Algebra for Engineering, ECE 106 Physics of Electrical Engineering 2, MATH 211 Advanced Calculus 1 for Electrical and Computer Engineers.

There are no corequisites for MATH 212.

The following courses have MATH 212 as a prerequisite:

  • ECE 318 Communication Systems
  • ECE 375 Electromagnetic Fields and Waves
  • ECE 370 Electromagnetic Fields
  • ECE 471 Electromagnetic Waves
  • ECE 476 Antennas and Wireless Systems

How do you use the triple integral to find the volume of the solid in the first octant bounded by the coordinate planes and the plane 3x+6y+4z=12?

Graph the solid, determine the limits of integration, then integrate.

Explanation:

It is always useful (and usually necessary) to graph the solid you are trying to find the volume of in order to determine the limits of integration. This can be done quite easily by hand in this case.

You can graph the plane by finding the intercept for each axis and then simply connecting those points.

Setting #x# and #y# equal to #0# , we find that the #z# intercept occurs at #z=3# . Similarly, we find that the #y# intercept occurs at #y=2# and the #x# intercept occurs at #x=4# .

The given solid is thus bounded below by the #xy# -plane ( #z=0# ), behind by the #yz# -plane ( #x=0# ), to the left by the #xz# -plane ( #y=0# ), and to the right by the plane #3x+6y+4z=12# .

Here is a 3-dimensional graph of the given plane:

Here is a graph of the complete solid:

In this case, you can choose to integrate with respect to any order of the variables. I have chosen to follow the order #dzdydx# . We can now determine the limits of integration.

If we were to enter the solid along the #z# -axis (or any path in the #z# -direction), moving from negative #z# to positive #z# , we would first hit the bottom of the solid, which is in the #xy# -plane, i.e. #z=0# . Thus, our lower limit of integration with respect to #z# is #0# . Continuing to travel along the #z# -axis, we would eventually exit the solid through that orange surface, which is the given plane. We can solve for #z# to determine the upper limit of integration.

Thus, our upper limit of integration with respect to #z# is #1/4(12-3x-6y)# , and the inner-most integral looks like this:

We have now finished with #z# , and so we can imagine pushing this solid down to the #xy# -plane to determine our remaining limits of integration, which forms a triangle (2-D). You can also continue to visualize the solid in 3-dimensions and simply set the #z# variable to #0# whenever it is present in an equation.

Now with respect to #y# , we would first enter the solid at #y=0# along the #y# -axis (or any path in the #y# -direction). You may visualize this as beginning at the origin in 2-dimensions or the #xz# -plane in 3-dimensions. Thus, our lower limit of integration with respect to #y# is #0# . Continuing to travel along a #y# path, we would exit the triangle through the line #3x+6y=12# (setting #z=0# ). If you are visualizing in 3-dimensions, we would exit the solid through our plane, now with #z=0# . We can solve for #y# to find the upper limit of integration.

Thus, our upper limit with respect to #y# is #1/6(12-3x)# , and we now have a double integral of the form:

Finally, we can easily determine the upper and lower bounds for #x# . You can visualize this by pushing the triangle from the 2-dimensional orientation mentioned above to the #x# -axis. We can see that #x# will run from #0# to the point where the plane intersects the #x# -axis at #4# . Alternatively, you can set both #y# and #z# variables to #0# and solve the equation of the plane for #x# .

Thus, our upper limit with respect to #x# is #4# , and we now have a triple integral of the form:

To find the volume of the solid, we keep the integrand at a value of #1# . We integrate with respect to #z# first, then #y# , then #x# .


Wolfram Web Resources

The #1 tool for creating Demonstrations and anything technical.

Explore anything with the first computational knowledge engine.

Explore thousands of free applications across science, mathematics, engineering, technology, business, art, finance, social sciences, and more.

Join the initiative for modernizing math education.

Solve integrals with Wolfram|Alpha.

Walk through homework problems step-by-step from beginning to end. Hints help you try the next step on your own.

Unlimited random practice problems and answers with built-in Step-by-step solutions. Practice online or make a printable study sheet.

Collection of teaching and learning tools built by Wolfram education experts: dynamic textbook, lesson plans, widgets, interactive Demonstrations, and more.


Watch the video: Počáteční podmínky. 320 Integrály. Matematika. (November 2021).