Články

1.6: Objem jadierok


Nech (S ) je guľa s polomerom (R ), stred na začiatku a nech (C ) je valec s polomerom (r ) ( (r

[x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 ]

a čiara

[x = r ]

a točí sa okolo osi (y ) -. Keď sa urobí priečny rez kolmý na os y a otočí sa okolo osi y, vznikne podložka. Vnútorný polomer podložky je (r ) a štvorec vonkajšieho polomeru podložky je

[R ^ 2 - y ^ 2 ]

Nech h je výška oblasti (od osi x).

[h = R ^ 2 - r ^ 2 ]

Preto je plocha práčky

[Plocha = p [(R ^ 2 - y ^ 2) - r ^ 2] = p [(R ^ 2 - r ^ 2) - y ^ 2] = p [h ^ 2 - y ^ 2] ]

Najmenšia (y ) hodnota, ktorú bude mať prierez, je (- h ) a najväčšia je (h ).

Môžeme to napísať ako integrál

[ begin {align *} pi int _ {- h} ^ {h} left (h ^ {2} -y ^ {2} right) dy & = pi left (h ^ {2} y- frac {1} {3} y ^ {3} vpravo] _ {- h} ^ {h} [4pt] & = pi doľava [ doľava (h ^ {3} - frac {1} {3} h ^ {3} vpravo) - doľava ((- h) ^ {3} - frac {1} {3} (- h) ^ {3} doprava) doprava) [4pt] & = frac {4} {3} pi h ^ {3} end {align *} ]

Upozorňujeme, že hlasitosť závisí iba od výšky regiónu.


Tvrdé gule

Tvrdé gule sa často používajú ako modelové častice v štatistickej mechanickej teórii tekutín a pevných látok. Sú definované jednoducho ako nepreniknuteľné sféry, ktoré sa nemôžu prekrývať v priestore. Napodobňujú mimoriadne silný („nekonečne elastický skákací“) odpor, ktorý atómy a sférické molekuly zažívajú na veľmi malé vzdialenosti. Systémy tvrdých gúľ sa študujú analytickými prostriedkami, simuláciami molekulárnej dynamiky a experimentálnym štúdiom určitých koloidných modelových systémov. Systém pevných gúľ poskytuje všeobecný model, ktorý vysvetľuje kvázi univerzálnu štruktúru a dynamiku jednoduchých kvapalín. [1]


Vzorec hlasitosti pre obdĺžnikový rámček je výška x šírka x dĺžka, ako je vidieť na obrázku nižšie:

Na výpočet objemu krabice alebo obdĺžnikovej nádrže potrebujete tri rozmery: šírku, dĺžku a výšku. Zvyčajne sa dajú ľahko merať kvôli pravidelnosti tvaru. Označením jedného rozmeru ako hĺbky alebo výšky obdĺžnikového hranola nám násobenie ďalších dvoch poskytne plochu, ktorú je potom potrebné vynásobiť hĺbkou / výškou, aby sa získal objem. Na výpočet objemu nádrže iného tvaru použite našu kalkulačku objemu nádrže.


Objem kalkulačky Sphere

Guľa s polomerom 5 jednotiek má objem 523 599 kubických jednotiek.

Výpočet objemu gule:

Objem (označený ako „V“) gule so známym polomerom (označený ako „r“) možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

V jednoduchej angličtine možno objem gule vypočítať tak, že sa vezmú štyri tretiny súčinu polomeru (r) kocky a PI.

Môžete odhadnúť PI pomocou: 3,14159. Ak číslo, ktoré ste dostali pre rádius, nemá veľa číslic, môžete použiť kratšiu aproximáciu. Ak má daný polomer veľa číslic, bude pravdepodobne potrebné použiť dlhšiu aproximáciu.

Tu je postupný prípad, ktorý ilustruje, ako nájsť objem gule s polomerom 5 metrov. Použijeme 3,14 na aproximáciu PI, pretože polomer, ktorý sme dostali, má iba jednu číslicu.


Návod na obsluhu¶

BodyContainer obsahuje objekty Body v simulácii, ktorá je prístupná ako O.body.

Vytváranie objektov Body¶

Body objekty sú len zriedka konštruované ručne ich komponentmi (tvar, ohraničenie, stav, materiál). Na ich vytvorenie sa používajú sférické, fazetové a stenové prvky. Používanie týchto funkcií tiež zaisťuje lepšiu budúcu kompatibilitu, ak sa nejako zmení vnútorná časť tela. Tieto funkcie prijímajú geometriu častice a niekoľko ďalších charakteristík. Podrobnosti nájdete v ich dokumentácii. Ak sa ten istý Materiál používa pre niekoľko (alebo veľa) tiel, dá sa zdieľať jeho pridaním do O.materiálov, ako je vysvetlené nižšie.

Definovanie materiálov¶

Objekt O.materials (inštancia Omega.materials) obsahuje definované spoločné materiály pre telá. Podporuje iba pridanie a zvyčajne bude obsahovať iba niekoľko inštancií (aj keď nie je obmedzený).

Štítok pridelený každému materiálu je voliteľný, ale môže byť prenesený do sféry a ďalších funkcií na zostavenie tela. Hodnota vrátená parametrom O.materials.append je ID materiálu, ktorý je možné preniesť aj do sféry - je to o niečo rýchlejšie ako pri použití štítku, aj keď to nie je viditeľné pre malý počet častíc a možno menej pohodlné.

Ak pri volaní gule nie je zadaný žiadny Materiál, posledný používa sa definovaný materiál, čo je pohodlné predvolené nastavenie. Ak ešte nie je definovaný žiadny materiál (teda nie je posledný materiál), vytvorí sa predvolený materiál: FrictMat (hustota = 1e3, mladý = 1e7, poisson = .3, trecí uhol = 0,5). Toto by sa nemalo stať pri vážnych simuláciách, ale je užitočné v jednoduchých skriptoch, kde sú presné vlastnosti materiálu viac-menej irelevantné.

Pridanie viacerých častíc¶

Ako je uvedené vyššie, telá sa pridávajú po jednom alebo viacerých súčasne pomocou metódy pridania:

Mnoho funkcií predstavených v nasledujúcich častiach vracia zoznam tiel, ktoré je možné ľahko pridať do simulácie, vrátane

Pretože tieto funkcie používajú interne sféru a fazetu, prijímajú ďalšie argumenty odovzdané týmto funkciám. Konkrétne sa materiál pre každý orgán vyberá podľa vyššie uvedených pravidiel (posledný, ak nie je uvedený, podľa štítku, indexu atď.).

Zhlukovanie častíc dohromady¶

V niektorých prípadoch možno budete chcieť vytvoriť tuhý agregát jednotlivých častíc (t.j. častice si počas simulácie zachovajú svoju vzájomnú polohu). Tomu hovoríme zhluk. Zhluk je interne reprezentovaný špeciálnym telom, na ktoré odkazuje clumpId jeho členov (pozri tiež isClump, isClumpMember a isStandalone). Ako každé teleso, aj chumáč má polohu, ktorá je (hmotným) rovnovážnym bodom medzi všetkými členmi. Samotné zhlukové teleso nemá žiadne interakcie s inými telesami. Interakcie medzi zhlukami sú reprezentované interakciami medzi členmi zhluku. Medzi členmi zhluku rovnakého zhluku nie sú žiadne interakcie.

YADE podporuje rôzne spôsoby vytvárania zhlukov:

Pre túto úlohu je určená funkcia appendClumped (). Mohli by sme napríklad pridať dve gule zviazané dohromady:

- & gt appendClumped () vráti n-ticu ID (clumpId, [memberId1, memberId2.])

V takom prípade je možné funkciu clump () použiť na zoznam existujúcich telies:

  • Ďalšou možnosťou je nahradiť samostatné gule z daného balenia (pozri SpherePack a makeCloud) zhlukami pomocou hromadných šablón.

To sa deje pomocou funkcie s názvom replaceByClumps (). Táto funkcia prevezme zoznam clumpTemplates () a zoznam súm a nahradí gule zhlukmi. Objem nového zhluku bude rovnaký ako objem gule, ktorá bola nahradená (objem zhluku / hmotnosť / zotrvačnosť predstavuje prekrytia za predpokladu, že existujú iba párové prekrytia).

- & gt replaceByClumps () vráti zoznam n-tic: [(clumpId1, [memberId1, memberId2.]), (clumpId2, [memberId1, memberId2.]). ]

Je tiež možné pridať telieska do zhluku a telá z nich uvoľniť. Môžete tiež vymazať zhluk (členovia zhluku sa stanú samostatnými).

Ďalej YADE umožňuje dosiahnuť guľatosť hrudky alebo koeficient guľatosti obalu. Časti obalu je možné vylúčiť z merania zaoblenia pomocou zoznamu vylúčených.

- & gt getRoundness () vráti koeficient zaoblenia RC obalu alebo časti obalu

Pozrite sa na príklady / zhluky / priečinok. Nájdete tu niekoľko príkladov, ktoré ukazujú použitie rôznych funkcií pre zhluky.

Guľové balenia¶

Reprezentácia telesa ľubovoľného tvaru usporiadaním gúľ predstavuje problém balenia gúľ, t. J. Priestorového usporiadania gúľ tak, aby bola daná pevná látka nimi približne naplnená. Na účely simulácie DEM môže existovať niekoľko požiadaviek.

  1. Distribúcia polomerov gulí. Ľubovoľný objem je možné úplne vyplniť guľami, ak v takom prípade neexistujú obmedzenia ich polomeru, počet guľôčok môže byť nekonečný a ich polomery sa blížia k nule. Pretože počet častíc aj minimálny polomer gule (prostredníctvom kritického časového kroku) určujú výpočtové náklady, je potrebné povinne uviesť distribúciu polomeru. Najtypickejšie rozdelenie je rovnomerné: stredná hodnota ± disperzia, ak je disperzia nulová, všetky gule budú mať rovnaký polomer.
  2. Hladká hranica. Niektoré algoritmy zaobchádzajú s hranicami tak, že gule sú na nich zarovnané, čím sú hladšie ako povrch.
  3. Hustota balenia alebo pomer objemu guľôčok a pevnej veľkosti. Úzko to súvisí s distribúciou polomeru.
  4. Koordinačné číslo, (priemerný) počet kontaktov na sféru.
  5. Izotropné materiály (týkajúce sa pravidelnosti / nepravidelnosti) s preferovanými smermi nie sú obvykle žiaduce, pokiaľ modelované teleso nemá také preferencie.
  6. Prekrývanie prípustných sfér niektoré algoritmy môžu vytvárať zhluky, pri ktorých sa gule mierne prekrývajú, pretože prekrytie zvyčajne spôsobuje sily v DEM. Prekrývajúce sa obaly sa niekedy nazývajú „bez stresu“.

Objemové zastúpenie¶

Existujú dva spôsoby reprezentácie presného objemu predmetnej látky v Yade: hraničné znázornenie a konštruktívna geometria telies. Napriek svojim zásadným rozdielom sú abstrahované v triede Yade v predikáte. Predicate poskytuje nasledujúce funkcie:

  1. definuje ohraničovacie pole zarovnané na os pre príslušné teleso (voliteľne definuje orientované ohraničovacie pole)
  2. môže rozhodnúť, či je daný bod vo vnútri alebo mimo telieska väčšina predikátov dokáže tiež (presne alebo približne) povedať, či je bod vo vnútri a spĺňa určitú vzdialenosť výplne od znázornenej hranice pevnej látky (aby sféra tohto objemu nevyčnievala z pevnej látky).
Konštruktívna plná geometria (CSG) ¶

Prístup CSG popisuje objem geometricky primitívi alebo primitívne pevné látky (guľa, valec, krabica, kužeľ, ...) a logické operácie na nich. Medzi primitívne látky definované v Yade patria inCylinder, inSphere, inEllipsoid, inHyperboloid, notInNotch.

Napríklad vzorka hyperboloidu (dogbone) pre test kompresie v ťahu môže byť zostavená týmto spôsobom (znázornené na obr. Img-hyperboloid):

Vzor skonštruovaný pomocou predikátu pack.inHyperboloid, zabalený pomocou pack.randomDensePack.

Hraničné zastúpenie (BREP) ¶

Reprezentácia telesa podľa jeho hranice je oveľa pružnejšia ako objemy CSG, ale je väčšinou iba približná. Yade rozhrania s knižnicou GNU Triangulated Surface Library (GTS) na import povrchov čitateľných GTS, ale tiež na ich výslovné vytváranie v rámci simulačných skriptov. Toto umožňuje parametrické zostavenie pomerne komplikovaných tvarov. Existujú funkcie na vytvorenie množiny 3D kriviek z 2d krivky (pack.revolutionSurfaceMeridians), na trianguláciu povrchu medzi takouto sadou 3D kriviek (pack.sweptPolylines2gtsSurface).

Môžeme napríklad skonštruovať jednoduchý lievik (examples / funnel.py, zobrazený na img-lieviku):

Triangulovaný lievik zostavený zo skriptu examples / funnel.py.

Povrchové objekty GTS je možné použiť na 2 veci:

    Funkcia dokáže vytvoriť triangulovaný povrch (z častíc Facet) v samotnej simulácii, ako je to znázornené v príklade zúženia. (Triangulovaný povrch je možné importovať aj priamo zo súboru STL pomocou súboru ymport.stl.) Je možné vytvoriť predikát pomocou povrchu ako hraničnej reprezentácie uzavretého zväzku.

Príklady / gts-horse / gts-horse.py (obr. Img-kôň) ukazujú najskôr obe možnosti, importuje sa povrch GTS:

Tento povrchový objekt sa používa ako predikát na zabalenie:

a potom po preložení ako základ pre triangulovanú plochu v samotnej simulácii:

Importovaný povrch GTS (kôň) použitý ako predikát balenia (hore) a povrch skonštruovaný z faziet (dole). Film tejto simulácie nájdete na stránke http://www.youtube.com/watch?v=PZVruIlUX1A.

Boolovské operácie s predikátmi¶

Booleovské operácie na páre predikátov (označené A a B) sú definované:

    A & amp (spojka): bod musí byť v oboch zahrnutých predikátoch. A | B (disjunkcia): bod musí byť v prvom alebo v druhom predikáte. A - B (spojenie s druhým predikátom negované): bod musí byť v prvom predikáte a nie v druhom. A ^ B (výlučná disjunkcia): bod musí byť presne v jednom z dvoch predikátov.

Zložené predikáty tiež správne definujú svoje ohraničujúce políčko. Napríklad môžeme vziať schránku a vybrať valec zvnútra pomocou operácie A - B (obr. Img-predikát-rozdiel):

Krabica s odstráneným valcom zvnútra, s použitím rozdielu týchto dvoch predikátov.

Algoritmy balenia¶

Algoritmy uvedené nižšie fungujú na geometrických sférach, ktoré sú definované ich stredom a polomerom. S niekoľkými výnimkami zdokumentovanými nižšie je postup nasledovný:

  1. Vypočítajú sa polohy a polomery guľôčok (niektoré funkcie na to používajú predikát hlasitosti, iné nie), pre každú pozíciu sa volá a vypočítaný polomer prijíma ďalšie argumenty kľúčového slova baliacej funkcie (tj argumenty, ktoré baliaca funkcia vo svojej definícii neurčuje). sú uvedené ** kw). Každé volanie gule vytvorí skutočné objekty tela pomocou sférického tvaru. Vráti sa zoznam objektov Body.
  2. Zoznam vrátený z funkcie balenia je možné pridať do simulácie pomocou funkcie toSimulation (). Starší kód použil volanie na O.bodies.append.

Vezmime si príklad prepichnutej škatule:

Argumenty kľúčových slov drôt, farba a materiál nie sú deklarované v pack.randomDensePack, preto sa odovzdajú do sféry, kde sú tiež zdokumentované. spheres je teraz objektom SpherePack .:

Algoritmy balenia opísané nižšie vytvárajú husté balíčky. Ak potrebujete voľné balenie, trieda SpherePack poskytuje funkcie na generovanie voľného balenia prostredníctvom metódy makeCloud (). Používa sa interne na generovanie počiatočnej konfigurácie v dynamických algoritmoch. Napríklad:

vyplní dané políčko guľami, až kým nebude možné umiestniť ďalšie guľôčky. Objekt možno použiť na pridanie gúľ do simulácie:

Geometrický¶

Medzi ich výhody patria geometrické algoritmy, ktoré počítajú zhluky bez vykonania dynamickej simulácie

  • rýchlosť
  • gule sa dotýkajú presne, nedochádza k prekrývaniu (čo niektorí ľudia nazývajú „bezstresové“ balenie)

ich hlavnou nevýhodou je, že distribúcia polomerov nemôže byť presne predpísaná, s výnimkou špecifických prípadov (bežné balenia) sú polomery guľôčok dané algoritmom, ktorý už robí systém určeným. Ak je pre váš problém dôležité presné rozdelenie polomeru, zvážte radšej dynamické algoritmy.

Pravidelné¶

Yade definuje generátory balenia pre gule s konštantnými polomermi, ktoré je možné použiť s objemovými predikátmi, ako je opísané vyššie. Sú to husté ortogonálne tesnenie (pack.regularOrtho) a husté šesťhranné tesnenie (pack.regularHexa). Ten vytvára takzvané „šesťhranné tesné balenie“, ktoré dosahuje maximálnu hustotu (http://en.wikipedia.org/wiki/Close-packing_of_spheres).

Jasnou nevýhodou bežných balení je, že majú veľmi silné smerové preferencie, čo v niektorých prípadoch nemusí byť problém.

Nepravidelné¶

Náhodné geometrické algoritmy sa vôbec neintegrujú s objemovými predikátmi opísanými vyššie, skôr majú svoju vlastnú definíciu hranice / objemu, ktorá sa používa pri umiestňovaní gule. To im na druhej strane umožňuje rešpektovať hranice v tom zmysle, že sa ich sféry dotknú na vhodných miestach, a nie nechať medzi nimi prázdny priestor.

je knižnica (modul python) na generovanie balenia vyvinutá s ESyS-Particle. Vytvára náplň náhodným vložením guličiek s daným rozsahom polomeru. Vložené gule sa navzájom presne dotýkajú a čo je dôležitejšie, dotýkajú sa aj hranice, ak sú v jej susedstve. Hranica je predstavovaná ako špeciálny objekt knižnice GenGeo (sféra, valec, skrinka, konvexný mnohosten, ...). GenGeo preto nemožno použiť s objemom predstavovaným yadickými predikátmi, ako je vysvetlené vyššie.

Obaly vygenerované týmto modulom je možné importovať priamo cez ymport.gengeo alebo z uloženého súboru cez ymport.gengeoFile. Existuje ukážka príkladov skriptov / test / genCylLSM.py. Kompletnú dokumentáciu pre GenGeo nájdete na webovej stránke dokumentácie ESyS.

Existujú debianové balíčky esys-particle a python-demgengeo.

Dynamický¶

Najuniverzálnejší algoritmus pre náhodné husté balenie poskytuje pack.randomDensePack. Počiatočné voľné zabalenie neprekrývajúcich sa guľôčok je generované ich náhodným umiestnením do kvádrového objemu, pričom polomery sú dané požadovaným (v súčasnosti iba jednotným) rozdelením polomerov. Ak už nie je možné vložiť viac guľôčok, obal sa komprimuje a potom nekomprimuje (presné hodnoty týchto „napätí“ nájdete v súbore py / pack / pack.py) spustením simulácie DEM Omega.switchScene sa používa, aby neovplyvnil existujúcu simuláciu). Nakoniec je výsledné balenie orezané pomocou poskytnutého predikátu, ako je vysvetlené vyššie.

Táto metóda môže zo svojej podstaty trvať pomerne dlho a na zníženie času výpočtu existujú dve ustanovenia:

  • Ak je zadaný počet gúľ pomocou parametra spheresInCell, iba menší exemplár s periodicky hranice sa vytvorí a potom sa opakuje, aby sa vyplnil predikát. To môže poskytnúť vysoko kvalitné balenie s nízkou pravidelnosťou v závislosti od parametra spheresInCell (odporúča sa hodnota niekoľkých tisíc).
  • Poskytnutie parametra memoizeDb umožní, aby sa pack.randomDensePack najskôr pozrel do poskytnutého súboru (databáza SQLite) pre obaly s podobnými parametrami. V prípade úspechu sa obal jednoducho načíta z databázy a vráti sa späť. Ak neexistuje žiadne podobné už existujúce balenie, spustí sa normálna procedúra a výsledok sa pred vrátením uloží do databázy, aby sa následné hovory s rovnakými parametrami rýchlo vrátili.

Ak potrebujete získať úplné pravidelné balenie (a nie balenie orezané predikátom), môžete použiť pack.randomPeriPack.

V prípade špecifických potrieb si môžete balenie pripraviť sami, „ručne“. Napríklad hranicu balenia je možné zostaviť z faziet, vďaka čomu môžu náhodne umiestnené guľôčky vo vesmíre spadnúť pôsobením gravitácie.

Trojuholníkové povrchy¶

Yade sa integruje s knižnicou GNU Triangulated Surface, odkrytou v pythone cez modul GTS. GTS poskytuje rôzne funkcie pre manipuláciu s povrchom (hrubnutie, teselácia, zjednodušenie, import), ktoré sú uvedené v jeho dokumentácii.

Plochy GTS sú geometrické objekty, ktoré je možné vložiť do simulácie ako množinu častíc, ktorých Body.shape je typu Facet - jednotlivé triangulačné prvky. pack.gtsSurface2Facets možno použiť na prevod povrchovej triangulácie GTS na zoznam tiel pripravených na vloženie do simulácie pomocou O.bodies.append.

Fazetové častice sa predvolene vytvárajú ako iné ako Body.dynamické (majú nulovú zotrvačnú hmotnosť). To znamená, že sú pevne spojené v priestore a nebudú sa pohybovať, ak budú vystavené silám. Môžete však

  • predpísať ľubovoľný pohyb fazetám pomocou PartialEngine (napríklad TranslationEngine alebo RotationEngine)
  • výslovne prideliť tejto častice hmotnosť a zotrvačnosť
  • urobiť túto časticu súčasťou zhluku a priradiť hmotnosť a zotrvačnosť samotného zhluku (popísané nižšie).

Fazety môžu (v súčasnosti) interagovať iba s guľami, nie s inými fazetami, aj keď sú dynamický. Zrážka 2 faziet nevytvorí interakciu, preto na fazety nevzniknú žiadne sily.

Importovať¶

Yade v súčasnosti ponúka 3 formáty na import trojuholníkových plôch z externých súborov v module ymport:

ymport.gts textový súbor v natívnom formáte GTS. ymport.stl Formát STereoLitography, buď v textovej alebo binárnej forme, exportovaný z Blenderu, ale aj z mnohých CAD systémov. ymport.gmsh. textový súbor v natívnom formáte pre GMSH, populárny sieťový program s otvoreným zdrojovým kódom.

Ak potrebujete pred vytvorením zoznamu faziet manipulovať s povrchmi, môžete si prečítať súbor py / ymport.py, kde sú definované funkcie importu. Vo väčšine prípadov sú dosť jednoduché.

Parametrická konštrukcia¶

Modul GTS poskytuje pohodlný spôsob vytvárania povrchu vrcholmi, hranami a trojuholníkmi.

Často však možno povrch pohodlne označiť ako povrch medzi krivkami v priestore. Napríklad valec je povrch medzi dvoma mnohouholníkmi (uzavreté čiary). Pack.sweptPolylines2gtsSurface ponúka funkciu spojenia niekoľkých kriviek s trianguláciou.

Implementácia pack.sweptPolylines2gtsSurface je dosť zjednodušujúca: všetky krivky musia mať rovnakú dĺžku a sú spojené trojuholníkmi medzi bodmi nasledujúcimi po ich indexoch v každej krivke (nie podľa vzdialenosti). Na druhej strane môžu byť body spoločné, pokiaľ je parameter prahu kladný: degenerované trojuholníky s vrcholmi bližšími k tejto prahovej hodnote sú automaticky eliminované.

Efektívna manipulácia so zoznamami (z hľadiska dĺžky kódu) vyžaduje oboznámenie sa s porozumením zoznamov v pythone.

Ďalšie príklady nájdete v examples / mill.py (plne parametrizované) alebo examples / funnel.py (s pevne zakódovanými číslami).

Vytváranie interakcií¶

V typických prípadoch sa interakcie vytvárajú počas simulácií pri zrážke častíc. To sa deje pomocou Collidera, ktorý detekuje približný kontakt medzi časticami, a potom pomocou IGeomFunctora, ktorý detekuje presnú kolíziu.

Niektoré materiálové modely (napríklad konkrétny model) sa spoliehajú na počiatočnú interakčnú sieť, ktorá je hustejšia ako geometrický kontakt sfér: polomery gule sú „zväčšené“ bezrozmerným faktorom tzv. polomer interakcie (alebo interakčný pomer) na vytvorenie tejto počiatočnej siete. Robí sa to zvyčajne týmto spôsobom (príklad nájdete v príkladoch / concrete / uniax.py):

Približná detekcia kolízie je upravená tak, aby boli detekované približné kontakty aj medzi časticami v rámci polomeru interakcie. Spočíva v nastavení hodnoty Bo1_Sphere_Aabb.aabbEnlargeFactor na hodnotu polomeru interakcie.

Funktor geometrie (Ig2) by za normálnych okolností povedal, že „nedochádza ku kontaktu“, ak sú dané dve gule, ktoré nie sú v kontakte. Preto jej musí byť pridelená rovnaká hodnota ako pre Bo1_Sphere_Aabb.aabbEnlargeFactor (Ig2_Sphere_Sphere_ScGeom.interactionDetectionFactor).

Upozorňujeme, že sú podporované iba interakcie Sphere + Sphere, v Ig2_Facet_Sphere_ScGeom neexistuje žiadny analogický parameter ako distFactor. Je to zámerné, pretože polomer interakcie má zmysel v prípade sypkého materiálu predstavovaného balením guľôčok, zatiaľ čo fazety zvyčajne predstavujú okrajové podmienky, ktoré by mali byť z tejto hustej interakčnej siete vyňaté.

Spustite jeden krok simulácie tak, aby sa vytvorila počiatočná sieť.

Znova nastavte polomer interakcie v obidvoch funktoroch Bo1 a Ig2 na pôvodnú hodnotu.

Pokračujte v simulačných interakciách, ktoré sú už nadviazané, nebudú odstránené (funkčný funkcionalita Law2 umožňuje).

V kóde môže takýto scenár vyzerať podobne ako tento (označovanie je vysvetlené v časti Označovanie vecí):

Individuálne interakcie na požiadanie¶

Je možné vytvoriť interakciu medzi dvojicou častíc nezávisle od detekcie kolízie pomocou createInteraction. Táto funkcia vyhľadáva a používa zodpovedajúce funktory Ig2 a Ip2. Interakcia sa vytvorí bez ohľadu na vzdialenosť medzi danými časticami (prechodom špeciálneho parametra do funktora Ig2, aby sa vynútilo vytvorenie interakcie aj bez akéhokoľvek geometrického kontaktu). Mali by sa použiť príslušné konštitutívne zákony, aby sa zabránilo odstráneniu interakcie v ďalšom simulačnom kroku.

Táto metóda bude dosť pomalá, ak sa má vytvoriť veľa interakcií (hľadanie funktora sa bude opakovať pre každú z nich). V takom prípade požiadajte na zoznamoch yade-dev & # 64 & launchpad # 46 & # 46 net, aby funkcia createInteraction akceptovala aj zoznam párov id.

Základné motory¶

Typická simulácia DEM v Yade robí v každom kroku aspoň toto (podrobnosti nájdete v časti Funkčné komponenty):

  1. Obnovte sily z predchádzajúceho kroku
  2. Zistiť nové kolízie
  3. Riešiť interakcie
  4. Použite sily a aktualizujte polohy častíc

Každý z týchto bodov zodpovedá jednému alebo viacerým motorom:

Poradie motorov je dôležité. Vo väčšine prípadov po InteractionLoop umiestnite akýkoľvek ďalší modul:

  • ak použije silu, mala by prísť pred Newton Integrator, inak sila nikdy nebude účinná.
  • ak využíva polohy telies, malo by tiež prísť pred NewtonIntegrator, inak sa použijú polohy v ďalšom kroku (nemusí to byť v mnohých prípadoch kritické, napríklad výstup pre vizualizáciu pomocou VTKRecorder).

Postupnosť motorov O. musí byť vždy priradená naraz (dôvodom je skutočnosť, že hoci samotné motory prechádzajú odkazom, postupnosť je skopírované z c ++ do Pythonu alebo z Pythonu do c ++). Patrí sem aj úprava existujúcich O. motorov

namiesto toho sa musí použiť. Na vloženie motora za pozíciu # 2 (napríklad) použite notáciu rezu python:

Pri spustení Yade je O.engines naplnený primeraným predvoleným zoznamom, takže pri skúmaní jednoduchých vecí nie je nevyhnutne potrebné ho predefinovať. Predvolená scéna bude správne spracovávať gule, polia a fazety s trecími vlastnosťami a časovú schému dynamicky upravuje. Príklad nájdete v examples / simple-scene / simple-scene-default-engines.py.

Výber funktorov¶

V uvedenom príklade sme vynechali funktory, píšeme iba elipsy. namiesto toho. Ako je vysvetlené v Dispečeroch a funktoroch, existujú 4 druhy funktorov a pridružených dispečerov. Užívateľ si môže zvoliť, ktoré z nich použije, aj keď výber musí byť konzistentný.

Funktory Bo1¶

Funktory Bo1 musia byť vybrané v závislosti od používaného urýchľovača, ktoré sa dávajú priamo urýchľovaču (ktorý interne používa BoundDispatcher).

V tejto chvíli (január 2019) je najbežnejšou voľbou InsertionSortCollider, ktorá pri použití Aabb používa v takom prípade funktory Aabb. V závislosti od tvarov častíc vo svojej simulácii vyberte príslušné funktory:

Používanie viac funktorov, ako je potrebné (napríklad Bo1_Facet_Aabb, ak v simulácii nie sú žiadne fazety), nemá žiadny trest za výkon. Na druhej strane chýbajúce funktory pre existujúce tvary spôsobia, že sa tieto telá nezrazia s inými telesami (budú sa voľne prenikať).

Existujú aj ďalšie urýchľovače, aj keď ich použitie je iba experimentálne:

    je urýchľovač referencie správnosti pracujúci na Aabb, je podstatne pomalší ako InsertionSortCollider. funguje iba na sférach, nepoužíva BoundDispatcher, pretože pracuje na sférach priamo. je grid-based urýchľovač proof-of-concept, ktorý interne počíta pozície mriežky (tiež žiadny BoundDispatcher)
Funktory Ig2¶

Výber funktora Ig2 (všetky sú odvodené od IGeomFunctor) závisí od

kombinácie tvarov, ktoré by sa mali zraziť napríklad:

bude riešiť kolízie pre Sphere + Sphere, ale nie pre Facet + Sphere - ak je to potrebné, musí sa použiť ďalší funktor:

Chýbajúca kombinácia opäť spôsobí, že sa dané tvarové kombinácie navzájom voľne preniknú. Pre každú dvojicu existuje niekoľko možných možností funktora, preto ich nie je možné predvolene vložiť do InsertionSortCollider. Častou chybou telies prechádzajúcich navzájom je, že nebol pridaný potrebný funktor.

Typ IGeom akceptovaný funktorom Law2 (nižšie), je to prvá časť názvu funktora po Law2 (napríklad Law2_ScGeom_CpmPhys_Cpm akceptuje ScGeom).

Funktory IP2¶

Funktory Ip2 (odvodené od IPhysFunctor) je potrebné zvoliť v závislosti od

    kombinácie v rámci simulácie. Funktory Ip2 vo väčšine prípadov zvládajú 2 inštancie tej istej triedy materiálu (napríklad Ip2_FrictMat_FrictMat_FrictPhys pre 2 telá s FrictMat) akceptované konštitutívnym zákonom (funktor Law2), ktorý je druhou časťou názvu funktora Law2 (napr. Law2_ScGeom_FrictPhys_CundallStrack) akceptuje

Na rozdiel od funktorov Bo1 a Ig2 je neošetrená kombinácia materiálov chybovým stavom signalizovaným výnimkou.

Funktor (y) Law2 ¶

Funktor Law2 bol hlavným kritériom pre výber funktorov Ig2 a Ip2, jeho výber sám o sebe nie je nijako obmedzený, pretože aplikuje sily iba bez vytvárania nových objektov.

Vo väčšine simulácií sa bude používať iba jeden funktor Law2, je však možné mať niekoľko z nich vyslaných na základe kombinácie IGeom a IPhys, ktoré boli predtým vyrobené funktormi Ig2 a Ip2 (naopak na základe kombinácie tvarov a materiálov) ).

Rovnako ako v prípade funktorov Ip2 je prijatie kombinácie IGeom a IPhys, ktorú nespracováva žiadny funktor Law2, chybou.

V Yade existuje veľa zákonov2 a nové sa môžu objaviť kedykoľvek. V niektorých prípadoch sú rôzne funktory iba rôznymi implementáciami toho istého kontaktného zákona (napr. Law2_ScGeom_FrictPhys_CundallStrack a Law2_L3Geom_FrictPhys_ElPerfPl). Tiež sa niekedy môže zvláštnosť jedného funktora reprodukovať ako špeciálny prípad všeobecnejšieho. Preto pre dané konštitutívne správanie môže mať používateľ výber z rôznych funktorov. Ak sa rozhodnete pre takúto voľbu, dôrazne sa odporúča uprednostniť najpoužívanejšiu a najviac validovanú implementáciu. Tu sa aktualizuje zoznam dostupných funktorov klasifikovaných od dospelých po neudržiavané, ktoré slúžia ako pomôcka pri výbere.

Príklady¶

Uveďme niekoľko príkladov reťazca vytvorených a prijatých typov.

Základný model DEM¶

Predpokladajme, že chceme použiť konštitutívny zákon Law2_ScGeom_FrictPhys_CundallStrack. Vidíme to

  1. funktori Ig2 musia vytvoriť ScGeom. Ak máme v simulácii napríklad gule a polia, budeme potrebovať funktory prijímajúce kombinácie Sphere + Sphere a Box + Sphere. Nechceme interakcie medzi samotnými schránkami (v skutočnosti taký funktor vlastne neexistuje). To nám dáva Ig2_Sphere_Sphere_ScGeom a Ig2_Box_Sphere_ScGeom.
  2. funktory Ip2 by mali vytvoriť FrictPhys. Pri pohľade na InteractionPhysicsFunctors existuje iba Ip2_FrictMat_FrictMat_FrictPhys. To nás núti používať FrictMat na častice.

Výsledkom bude:

Konkrétny model¶

V takom prípade je našim cieľom použitie konštitutívneho zákona Law2_ScGeom_CpmPhys_Cpm.

  • V simulácii používame sféry a fazety, ktoré vyberajú funktory Ig2, ktoré akceptujú tieto typy a produkujú ScGeom: Ig2_Sphere_Sphere_ScGeom a Ig2_Facet_Sphere_ScGeom.
  • Musíme použiť Materiál, ktorý sa dá použiť na vytvorenie CpmPhys. Zistili sme, že CpmPhys je vytvorený iba Ip2_CpmMat_CpmMat_CpmPhys, ktorý určuje výber CpmMat pre všetky častice.

Ukladajúce podmienky¶

Vo väčšine simulácií nie je žiaduce, aby všetky častice voľne plávali v priestore. Existuje niekoľko spôsobov, ako zaviesť okrajové podmienky, ktoré blokujú pohyb všetkých alebo niektorých častíc s ohľadom na globálny priestor.

Obmedzenia pohybu¶

Body.dynamic určuje, či bude telo urýchľované pomocou NewtonIntegrator. Pre telá s nulovou hmotnosťou je povinné nastaviť túto hodnotu na nepravú. Ak by použitie nenulovej sily malo za následok nekonečné posunutie.

Fazety sú v danom prípade bodom: fazeta ich predvolene robí nedynamickými, pretože majú nulový objem a nulovú hmotnosť (to sa dá zmeniť tak, že odovzdáte dynamic = True do fazety alebo nastavíte Body.dynamic setting State.mass na non- nulová hodnota). To isté platí pre stenu.

Nerobenie dynamiky sféry sa dá dosiahnuť jednoducho:

State.blockedDOFs umožňuje selektívne blokovanie ktoréhokoľvek zo 6 stupňov voľnosti v globálnom priestore. Napríklad guľa sa dá pohybovať iba v rovine xy vyslovením:

Na rozdiel od Body.dynamic blokované DOO blokujú sily (a zrýchlenie) iba vo vybraných smeroch. V skutočnosti je b.dynamic = False takmer iba skratkou pre b.state.blockedDOFs == 'xyzXYZ'. Jemný rozdiel je v tom, že prvý z nich automaticky resetuje komponenty rýchlosti, zatiaľ čo ten najnovší nie. If you prescribed linear or angular velocity, they will be applied regardless of blockedDOFs. It also implies that if the velocity is not zero when degrees of freedom are blocked via blockedDOFs assignements, the body will keep moving at the velocity it has at the time of blocking. The differences are shown below:

It might be desirable to constrain motion of some particles constructed from a generated sphere packing, following some condition, such as being at the bottom of a specimen this can be done by looping over all bodies with a conditional:

Arbitrary spatial predicates introduced above can be expoited here as well:

Imposing motion and forces¶

Imposed velocity¶

If a degree of freedom is blocked and a velocity is assigned along that direction (translational or rotational velocity), then the body will move at constant velocity. This is the simpler and recommended method to impose the motion of a body. This, for instance, will result in a constant velocity along (x) (it can still be freely accelerated along (y) and (z) ):

Conversely, modifying the position directly is likely to break Yade’s algorithms, especially those related to collision detection and contact laws, as they are based on bodies velocities. Therefore, unless you really know what you are doing, don’t do that for imposing a motion:

Imposed force¶

Applying a force or a torque on a body is done via functions of the ForceContainer. It is as simple as this:

This way, the force applies for one time step only, and is resetted at the beginning of each step. For this reason, imposing a force at the begining of one step will have no effect at all, since it will be immediatly resetted. The only way is to place a PyRunner inside the simulation loop.

Applying the force permanently is possible with another function (in this case it does not matter if the command comes at the begining of the time step):

The force will persist across iterations, until it is overwritten by another call to O.forces.setPermF(id,f) or erased by O.forces.reset(resetAll=True) . The permanent force on a body can be checked with O.forces.permF(id) .

Boundary controllers¶

Engines deriving from BoundaryController impose boundary conditions during simulation, either directly, or by influencing several bodies. You are referred to their individual documentation for details, though you might find interesting in particular

    for applying strain along one axis at constant rate useful for plotting strain-stress diagrams for uniaxial loading case. See examples/concrete/uniax.py for an example. which applies prescribed stress/strain along 3 perpendicular axes on cuboid-shaped packing using 6 walls (Box objects) for applying stress/strain along 3 axes independently, for simulations using periodic boundary conditions (Cell)

Field appliers¶

Engines deriving from FieldApplier are acting on all particles. The one most used is GravityEngine applying uniform acceleration field (GravityEngine is deprecated, use NewtonIntegrator.gravity instead).

Partial engines¶

Engines deriving from PartialEngine define the ids attribute determining bodies which will be affected. Several of them warrant explicit mention here:

    and RotationEngine for applying constant speed linear and rotational motion on subscribers. and TorqueEngine applying given values of force/torque on subscribed bodies at every step. for applying generalized displacement delta at every timestep designed for precise control of motion when testing constitutive laws on 2 particles.

The real value of partial engines is when you need to prescribe a complex type of force or displacement field. For moving a body at constant velocity or for imposing a single force, the methods explained in Imposing motion and forces are much simpler. There are several interpolating engines (InterpolatingDirectedForceEngine for applying force with varying magnitude, InterpolatingHelixEngine for applying spiral displacement with varying angular velocity see examples/test/helix.py and possibly others) writing a new interpolating engine is rather simple using examples of those that already exist.

Convenience features¶

Labeling things¶

Engines and functors can define a label attribute. Whenever the O.engines sequence is modified, python variables of those names are created/updated since it happens in the __builtins__ namespaces, these names are immediately accessible from anywhere. This was used in Creating interactions to change interaction radius in multiple functors at once.

Make sure you do not use label that will overwrite (or shadow) an object that you already use under that variable name. Take care not to use syntactically wrong names, such as “er*452” or “my engine” only variable names permissible in Python can be used.

Simulation tags¶

Omega.tags is a dictionary (it behaves like a dictionary, although the implementation in C++ is different) mapping keys to labels. Contrary to regular python dictionaries that you could create,

After Yade startup, O.tags contains the following:

You can add your own tags by simply assigning value, with the restriction that the left-hand side object must be a string and must not contain = .

Saving python variables¶

Python variable lifetime is limited in particular, if you save simulation, variables will be lost after reloading. Yade provides limited support for data persistence for this reason (internally, it uses special values of O.tags ). The functions in question are saveVars and loadVars.

saveVars takes dictionary (variable names and their values) and a mark (identification string for the variable set) it saves the dictionary inside the simulation. These variables can be re-created (after the simulation was loaded from a XML file, for instance) in the yade.params. mark namespace by calling loadVars with the same identification mark:

Enumeration of variables can be tedious if they are many creating local scope (which is a function definition in Python, for instance) can help:


Sphere calculator

Foods, Nutrients and Calories

CREAMY MINTS, UPC: 071720530153 contain(s) 423 calories per 100 grams (&asymp3.53 ounces) [ price ]

Gravels, Substances and Oils

CaribSea, Marine, Aragonite, Special Coarse Aragonite weighs 1 153.3 kg/m³ (71.99817 lb/ft³) with specific gravity of 1.1533 relative to pure water. Calculate how much of this gravel is required to attain a specific depth in a cylindrical, quarter cylindrical or in a rectangular shaped aquarium or pond [ weight to volume | volume to weight | price ]

Volume to weight, weight to volume and cost conversions for Refrigerant R-23, liquid (R23) with temperature in the range of -95.56°C (-140.008°F) to 4.45°C (40.01°F)

Weights and Measurements

A square centimeter per hour (cm²/h) is a derived metric SI (System International) measurement unit of kinematic viscosity.

Magnetic flux density is a vecor quantity that measures the direction and magnitude of a magnetic field.


Volume Of Sphere

A sphere is a solid with all its points the same distance from the center. The distance is known as the radius of the sphere. The maximum straight distance through the center of a sphere is known as the diameter of the sphere. The diameter is twice the radius.

The following figure gives the formula for the volume of sphere. Scroll down the page for examples and solutions.


How to find the volume of a sphere?

The volume of a sphere is equal to four-thirds of the product of pi and the cube of the radius.

The volume and surface area of a sphere are given by the formulas:

kde r is the radius of the sphere.

Príklad:
Calculate the volume of sphere with radius 4 cm.

Riešenie:
Volume of sphere

We can also change the subject of the formula to obtain the radius given the volume.

Príklad:
The volume of a spherical ball is 5,000 cm 3 . What is the radius of the ball?

How to use the formula to calculate the volume of a sphere?

Príklad:
Find the volume of a sphere with a diameter of 14 cm.

Volume of a hemisphere

What is a hemisphere?

A hemisphere is half a sphere, with one flat circular face and one bowl-shaped face.

How to find the volume of a hemisphere?

The volume of a hemisphere is equal to two-thirds of the product of pi and the cube of the radius.

The volume of a hemisphere is given by the formula:

How to find the volume of a hemisphere?

Príklad:
Find the volume of a fishbowl with a diameter of 33cm.

How to solve word problems about spheres?
The following video shows how to solve problems involving the formulas for the surface area and volume of spheres.

Príklad:
A sphere has a volume of 288π. Nájdite jeho oblasť. Leave you answer in terms of π

Príklad:
A ball has a diameter of 18 cm.
a) Sketch a cylinder that fits the ball and label its height and base.
b) What is the volume of the cylinder?
c) What is the volume of the ball?

Príklad:
The cylinder is melted down into a sphere of radius r. Find an expression for r in terms of x.

How to proof the Formula of the Volume of a Sphere?
This video gives a proof for the formula of the volume of a sphere that does not involve calculus. This is an "approximated" proof. You would need to use calculus for a more rigorous proof.

How to derive the formula of a sphere using calculus?

How Archimedes derived the volume of a sphere?
To do so, he had to use a formula for the volume of a cone.

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, aby ste si precvičili rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


Filled Volume

The volume or capacity of a tank can be found in a few easy steps. Of course, the calculator above is the easiest way to calculate tank volume, but follow along to learn how to calculate it yourself.

Step One: Measure the Tank

The first step is to measure the key dimensions of the tank. For round tanks find the diameter and length or height. For rectangular or cubes, find the length, width, and height.

Step Two: Find the Tank Volume Formula

In order to calculate a tank’s capacity a formula for volume will be needed. The volume formula varies by the style of tank being measured. See the formulas below and select the one for your style.

Cylinder Tank Formula

r = radius (diameter ÷ 2)
l = length (or height for a vertical tank)

Oval Tank Formula

area = ((h – w) × w) + (&pi × r 2 )
tank volume = area × l

r = radius (tank width ÷ 2)
w = width
l = length
h = height

Capsule Tank Formula

cylinder volume = &pi × r 2 × l
sphere volume = 4/3 &pi × r 3
tank volume = cylinder volume + sphere volume

r = radius (diameter ÷ 2)
l = length (or height for a vertical tank)

Rectangular Tank Formula

l = length
w = width
h = height

Not finding a formula for the shape of your tank? Find even more volume formulas.

Step Three: Solve the Volume Formula

When you have the tank dimensions and the appropriate formula to solve for volume, simply enter the dimensions into the formula and solve.

Napríklad, let’s find the volume of a cylinder tank that is 36″ in diameter and 72″ long.

tank volume = &pi × 18 2 × 72
tank volume = 73,287 cu in

Thus, the capacity of this tank is 73,287 cubic inches.

Step Four: Convert Volume Units

The resulting tank volume will be in the cubic form of the initial measurements. For instance, if the initial tank measurements were in inches, then the volume measurement will be in cubic inches. Often other forms of volume, such as gallons or liters, are needed.

Thus, the final step is to convert from one volume measurement to the desired unit of the result. Try our volume conversion calculators to convert the results.


1.6: The Volume of Cored Sphere

Earth&rsquos core is the very hot, very dense center of our planet.

Earth Science, Geology, Geography, Physical Geography, Physics

Illustration by Chuck Carter

Planetary Cores
All known planets have metal cores. Even the gas giants of our solar system, such as Jupiter and Saturn, have iron and nickel at their cores.

process by which a substance grows by the collection and clustering of different parts.

mixture of two or more metals.

process of studying a problem or situation, identifying its characteristics and how they are related.

material remains of a culture, such as tools, clothing, or food.

irregularly shaped planetary body, ranging from 6 meters (20 feet) to 933 kilometers (580 miles) in diameter, orbiting the sun between Mars and Jupiter.

(atm) unit of measurement equal to air pressure at sea level, about 14.7 pounds per square inch. Also called standard atmospheric pressure.

the basic unit of an element, composed of three major parts: electrons, protons, and neutrons.

single axis or line around which a body rotates or spins.

seismic wave that travels through the interior of the Earth.

to exist on the edge of a boundary.

line separating geographical areas.

seismic boundary between Earth's liquid outer core and solid inner core.

type of stony meteorite containing hardened droplets, called chondrules, of silicate minerals.

to mix vigorously or violently.

arrangement of the parts of a work or structure in relation to each other and to the whole.

instance of being pressed together or forced into less space.

items gathered closely together in one place.

to transmit, transport, or carry.

puzzling question or problem.

transfer of heat by the movement of the heated parts of a liquid or gas.

movement of a fluid from a cool area to a warm area.

the extremely hot center of Earth, another planet, or a star.

force that explains the paths of objects on rotating bodies.

rocky outermost layer of Earth or other planet.

type of mineral that is clear and, when viewed under a microscope, has a repeating pattern of atoms and molecules.

temperature at which a ferromagnetic material loses its ferromagnetism&mdashits ability to possess magnetism in the absence of a magnetic field.

steady, predictable flow of fluid within a larger body of that fluid.

(singular: datum) information collected during a scientific study.

to put out of shape or distort.

having parts or molecules that are packed closely together.

device that compresses a test substance to up to 6 million atmospheres of pressure.

to break up or disintegrate.

the sudden shaking of Earth's crust caused by the release of energy along fault lines or from volcanic activity.

set of physical phenomena associated with the presence and flow of electric charge.

chemical that cannot be separated into simpler substances.

imaginary line around the Earth, another planet, or star running east-west, 0 degrees latitude.

on the outside or outdoors.

to constantly change back and forth.

material that is able to flow and change shape.

temperature at which liquid becomes solid the freezing point of water is 0 degrees Celsius (32 degrees Fahrenheit).

rate of occurrence, or the number of things happening in a specific area over specific time period.

device used for heating by burning a fuel, such as wood or coal.

process by which a celestial body generates a magnetic field.

having to do with the physical formations of the Earth.

change in a celestial body's magnetic field so that the magnetic North and South Poles are switched.

gradual change in temperature from the Earth's core (hot) to its crust (cool), about 25° Celsus per kilometer of depth (1° Fahrenheit per 70 feet of depth).

process of a glacier moving and changing the landscape.

to move toward or be attracted to something.

chemical substance with a specific gravity of at least 5.0.

half of a sphere, or ball-shaped object.

intensely hot region deep within the Earth that rises to just underneath the surface. Some hot spots produce volcanoes.

deepest layer of the Earth, beneath the outer core.

oddly crystallized structure at the heart of our planet, with iron crystals oriented east-west instead of north-south (as with the inner core).

to explain or understand the meaning of something.

chemical element with the symbol Fe.

(Ӱ billion years ago) point in Earth's planetary formation when the temperature reached the melting point of iron and heavy elements (mostly iron and nickel) gravitated toward the center of the planet.

(acronym for light amplification by stimulated emission of radiation) an instrument that emits a thin beam of light that does not fade over long distances.

outer, solid portion of the Earth. Also called the geosphere.

(large low shear velocity province) seismically anomalous region at the deepest part of Earth's mantle. Also called a superplume or thermo-chemical pile.

able to produce a force field that can attract or repel certain substances, usually metals (magnets).

area around and affected by a magnet or charged particle.

direction that all compass needles point.

flexible and capable of reforming itself without breaking when under stress.

middle layer of the Earth, made of mostly solid rock.

temperature at which a solid turns to liquid.

type of rock that has crashed into Earth from outside the atmosphere.

inorganic material that has a characteristic chemical composition and specific crystal structure.

representation of a process, concept, or system, often created with a computer program.

solid material turned to liquid by heat.

nickel-iron alloys that form Earth's core.

to move in a circular pattern around a more massive object.

relative positions of specific atoms or molecules in a chemical compound.

liquid, iron-nickel layer of the Earth between the solid inner core and lower mantle.

layer in the atmosphere containing the gas ozone, which absorbs most of the sun's ultraviolet radiation.

to look quickly or from a secret location.

very important or crucial point.

large, spherical celestial body that regularly rotates around a star.

process of separating different layers of a planetary body by chemical and physical mechanisms.

state of matter with no fixed shape and molecules separated into ions and electrons.

valuable metal, such as gold, silver, or platinum.

seismic shock wave that represents longitudinal motion. Also called a primary wave or pressure wave.

transformation of an unstable atomic nucleus into a lighter one, in which radiation is released in the form of alpha particles, beta particles, gamma rays, and other particles. Also called radioactivity.

ray extending from the center of a circle or sphere to its surface or circumference.

natural substance composed of solid mineral matter.

object's complete turn around its own axis.

shock wave of force or pressure that travels through the Earth.

moving, measurable change in pressure and density of a material.

material that has a chemical affinity for iron.

most common group of minerals, all of which include the elements silicon (Si) and oxygen (O).

to create an image, representation, or model of something.

the sun and the planets, asteroids, comets, and other bodies that orbit around it.

flow of charged particles, mainly protons and electrons, from the sun to the edge of the solar system.

series of changes affecting natural and human activity on Earth's surface.

series of changes affecting natural and human activity on Earth's surface.

area where one tectonic plate slides under another.

seismic shock wave that represents perpendicular motion. Also called a secondary wave or shear wave.

massive slab of solid rock made up of Earth's lithosphere (crust and upper mantle). Also called lithospheric plate.

degree of hotness or coldness measured by a thermometer with a numerical scale.

to pass along information or communicate.

powerful light waves that are too short for humans to see, but can penetrate Earth's atmosphere. Ultraviolet is often shortened to UV.

exactly the same in some way.

measurement of the rate and direction of change in the position of an object.

measure of the resistance of a fluid to a force or disturbance.

activity that includes a discharge of gas, ash, or lava from a volcano.

upward movement of molten material from within the Earth to the surface, where it cools and hardens.

radiation in the electromagnetic spectrum with a very short wavelength and very high energy.

Media Credits

The audio, illustrations, photos, and videos are credited beneath the media asset, except for promotional images, which generally link to another page that contains the media credit. The Rights Holder for media is the person or group credited.

Editor

Jeannie Evers, Emdash Editing

Producer

Caryl-Sue, National Geographic Society

Last Updated

For information on user permissions, please read our Terms of Service. If you have questions about how to cite anything on our website in your project or classroom presentation, please contact your teacher. They will best know the preferred format. When you reach out to them, you will need the page title, URL, and the date you accessed the resource.

Médiá

If a media asset is downloadable, a download button appears in the corner of the media viewer. If no button appears, you cannot download or save the media.

Text on this page is printable and can be used according to our Terms of Service.

Interactives

Any interactives on this page can only be played while you are visiting our website. You cannot download interactives.

Súvisiace zdroje

Earth Structure

The structure of the earth is divided into four major components: the crust, the mantle, the outer core, and the inner core. Each layer has a unique chemical composition, physical state, and can impact life on Earth's surface. Movement in the mantle caused by variations in heat from the core, cause the plates to shift, which can cause earthquakes and volcanic eruptions. These natural hazards then change our landscape, and in some cases, threaten lives and property. Learn more about how the earth is constructed with these classroom resources.

Earth's Interior

Dig deep&mdashreally deep&mdashwith our gallery of illustrations and a downloadable poster of Earth's interior.

Sediment Core

Photo of a kneeling woman with a sediment core.

Ice Coring

Photo: Man cuts cores out of ice in an ice cave.

Súvisiace zdroje

Earth Structure

The structure of the earth is divided into four major components: the crust, the mantle, the outer core, and the inner core. Each layer has a unique chemical composition, physical state, and can impact life on Earth's surface. Movement in the mantle caused by variations in heat from the core, cause the plates to shift, which can cause earthquakes and volcanic eruptions. These natural hazards then change our landscape, and in some cases, threaten lives and property. Learn more about how the earth is constructed with these classroom resources.

Earth's Interior

Dig deep&mdashreally deep&mdashwith our gallery of illustrations and a downloadable poster of Earth's interior.


1.6: The Volume of Cored Sphere

What is a Tetrahedron? A tetrahedron is a three-dimensional figure with four equilateral triangles. If you lift up three triangles (1), you get the tetrahedron in top view (2). Generally it is shown in perspective (3).

If you look at the word tetrahedron (tetrahedron means "with four planes"), you could call every pyramid with a triangle as the base a tetrahedron.

However the tetrahedron is the straight, regular triangle pyramid on this website.

Pieces of the Tetrahedron top
Height and area of a lateral triangle
Four equilateral triangles form a tetrahedron.

. A triangle is picked out: The three heights intersect each other in one point as in every triangle. This is the centre of the triangle. The height can be calculated by the side a as h=sqr(3)/2*a using the Pythagorean theorem.
The heights also are medians and intersect with the ratio 2:1. That is used in the following calculations.

The area of the triangle is A=sqr(3)/4*a².
Space Height The height of the tetrahedron is between the centre of the basic triangle (1) and the vertex (2). For calculations you regard the so-called support triangle (3, yellow), which is formed by one edge and two triangle heights. There is H=sqr(6)/3*a using the Pythagorean theorem.
Centre, Circumscribed Sphere, and Inscribed Sphere The centre of a tetrahedron is the intersection of two space heights (1,2,3). It is centre of gravity, centre of the sphere through the four corners, and centre of the largest sphere, which still fits inside the tetrahedron (4).

. You get two formulas for r and R with the help of the Pythagorean theorem (1) and H=R+r (2):
There is r=sqr(6)/12*a , R=sqr(6)/4*a.
Uhol
. The angle of inclination (edge angle) between a lateral triangle and the base is seen in the yellow support triangle.
There is 70,5°.
Povrch
. The area of the base and the lateral faces form the surface O. There is O=4*A (triangle) = sqr(3)a².
Objem

If you put a prism (1) with the volume A(triangle)*H around the tetrahedron and move the vertex to the corners of the prism three times (2,3,4), you get three crooked triangle pyramids with the same volume. They fill the prism (5).
Thus the volume of a triangle pyramid is (1/3)*A(triangle)*H.
There is V=sqr(2)/12*a³ for the tetrahedron.

Tetrahedal Numbers top

. You can build a tetrahedron with layers of spheres. The number of the spheres in one layer is 1,3,6,10. generally n(n+1)/2.
If you add the spheres layer by layer, you get the tetrahedral numbers 1,4,10,20. generally 1+3+6+10+. +n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6.
. If you glue 20 marbles to two groups with four and two with six, you get a well known puzzle: You must form a pyramid with four pieces.
There are many similar puzzles.

Tetrahedron in the Cube top
Six face diagonals form a tetrahedron in the cube.
If you know the 3D-view, you can three-dimensionally look at the following two cube pairs. The volume of the tetrahedron is the third part of the volume of the cube.

If you draw a second tetrahedron and the lines of intersection, you get a penetration of two tetrahedrons.

The figure consists of the face diagonals and the connecting lines of the centres of the lateral squares of the original cube. The last ones form an octahedron.

Rings of Tetrahedrons top
You can make paper tetrahedrons and stick an even number of them to a ring. The ring can continually twist inwards or outwards through the centre. This is a pretty toy. - These rings are also called kaleidocycles. You find more on my web page Kaleidocycles.

Tetrahedra on the Internet top

H.B.Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Tetraeder

Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Tetrahedron

H.B.Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Tetrahedron

Wikipedia
Tetrahedron, Tetrapod (structure), Tetrahedral number
Gail from Oregon, thank you for supporting me in my translation.

Feedback: Email address on my main page


Pozri si video: Раскоксовка двигателя химией: миф или реальность? Мы проверили и были удивлены! (December 2021).