Články

1.6: Eulerov vzorec - matematika


Eulerov vzorec (vyslovovaný ako „oilers“) spája komplexné exponenciály, polárne súradnice a sínusy a kosínusy. Vzorec je nasledovný:

[e ^ {i theta} = cos ( theta) + i sin ( theta). štítok {1.6.1} ]

Existuje mnoho spôsobov, ako pristupovať k Eulerovmu vzorcu. Náš prístup je jednoducho vziať rovnicu ref {1.6.1} ako definíciu komplexných exponenciálov. Je to legálne, ale to nepreukazuje, že je to dobrá definícia. Aby sme to dosiahli, musíme ukázať, že (e ^ {i theta} ) dodržiava všetky pravidlá, ktoré od exponenciálu očakávame. Aby sme to dosiahli, systematicky prechádzame vlastnosťami exponenciálov a kontrolujeme, či platia pre komplexné exponenciály.

(e ^ {i theta} ) sa správa ako skutočný exponenciál

P1

(e ^ {i t} ) rozlišuje podľa očakávania:

[ dfrac {de ^ {it}} {dt} = tj ^ {it}. nonumber ]

Dôkaz

Vyplýva to priamo z definície v Rovnici ref {1.6.1}:

[ begin {align *} dfrac {de ^ {it}} {dt} & = dfrac {d} {dt} ( cos (t) + i sin (t)) [4pt] & = - sin (t) + i cos (t) [4pt] & = i ( cos (t) + i sin (t)) [4pt] & = tj ^ {it}. end {zarovnať *} ]

P2

[e ^ {i cdot 0} = 1. nonumber ]

Dôkaz

Vyplýva to priamo z definície v Rovnici ref {1.6.1}:

(e ^ {i cdot 0} = cos (0) + i sin (0) = 1 ).

P3

Zvyčajné pravidlá exponentov platia:

[e ^ {ia} e ^ {ib} = e ^ {i (a + b)}. nonumber ]

Dôkaz

To sa opiera o vzorce na kosínus a sínusový prídavok a definíciu v Rovnici ref {1.6.1}:

[ begin {align *} e ^ {ia} cdot e ^ {ib} & = ( cos (a) + i sin (a)) cdot ( cos (b) + i sin (b )) [4pt] & = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b) + i ( cos (a) sin (b) + sin (a) ) cos (b)) [4pt] & = cos (a + b) + i sin (a + b) = e ^ {i (a + b)}. end {zarovnať *} ]

P4

Definícia (e ^ {i theta} ) je v súlade s výkonovým radom pre (e ^ x ).

Dôkaz

Aby sme to videli, musíme si spomenúť na výkonové rady pre (e ^ x ), ( cos (x) ) a ( sin (x) ). Oni sú

[ begin {align *} e ^ x & = 1 + x + dfrac {x ^ 2} {2!} + dfrac {x ^ 3} {3!} + dfrac {x ^ 4} {4 !} + ... [4pt] cos (x) & = 1 - dfrac {x ^ 2} {2!} + Dfrac {x ^ 4} {4!} - dfrac {x ^ 6 } {6!} + Ldots [4pt] sin (x) & = x - dfrac {x ^ 3} {3!} + Dfrac {x ^ 5} {5!} + ... koniec {zarovnať *} ]

Teraz môžeme napísať výkonový rad pre (e ^ {i theta} ) a potom ho rozdeliť na výkonový rad pre sínus a kosínus:

[ begin {align *} e ^ {i theta} & = sum_ {0} ^ { infty} dfrac {(i theta) ^ n} {n!} [4pt] & = sum_ {0} ^ { infty} (-1) ^ k dfrac { theta ^ {2k}} {(2k)!} + i sum_ {0} ^ { infty} (-1) ^ k dfrac { theta ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!} [4pt] & = cos ( theta) + i sin ( theta). end {zarovnať *} ]

Definícia Eulerovho vzorca je teda v súlade s obvyklou mocninou pre (e ^ x ).

Vlastnosti P1-P4 by vás malo presvedčiť, že (e ^ {i theta} ) sa správa ako exponenciál.

Komplexné exponenciály a polárna forma

Teraz sa poďme venovať vzťahu medzi polárnymi súradnicami a zložitými exponenciálmi.

Predpokladajme, že (z = x + iy ) má polárne súradnice (r ) a ( theta ). To znamená, že máme (x = r cos ( theta) ) a (y = r sin ( theta) ). Takto získame dôležitý vzťah

[ begin {align *} z & = x + iy [4pt] & = r cos ( theta) + ir sin ( theta) [4pt] & = r ( cos ( theta) ) + i sin ( theta)) [4pt] & = re ^ {i theta}. end {zarovnať *} ]

To je také dôležité, že by ste nemali pokračovať bez porozumenia. Zaznamenávame to aj bez medziľahlej rovnice.

[z = x + iy = r e ^ {i theta}. ]

Pretože (r ) a ( theta ) sú polárne súradnice ((x, y) ) nazývame (z = re ^ {i theta} ) polárnou formou (z ).

Poďme si teraz overiť, či veľkosť, argument, konjugát, násobenie a delenie sú v polárnej forme jednoduché.

Rozsah

(| e ^ {i theta} | = 1 ).

Dôkaz

[ begin {align *} | e ^ {i theta} | & = | cos ( theta) + i sin ( theta) | [4pt] & = sqrt { cos ^ 2 ( theta) + sin ^ 2 ( theta)} [4pt] & = 1. end {zarovnať *} ]

Povedané slovami, toto znamená, že (e ^ {i theta} ) je vždy v kruhu jednotiek - je dobré si to zapamätať!

Rovnako, ak (z = r e ^ {i theta} ), potom (| z | = r ). Môžete to vypočítať, ale z definícií by malo byť zrejmé: (| z | ) je vzdialenosť od (z ) k počiatku, čo je úplne rovnaká definícia ako pre (r ).

Argument

Ak (z = r e ^ {i theta} ) potom ( text {arg} (z) = theta ).

Dôkaz

Toto je opäť definícia: argumentom je polárny uhol ( theta ).

Konjugovať

( overline {(z = r e ^ {i theta})} = r e ^ {- i theta} ).

Dôkaz

[ begin {align *} overline {(z = re ^ {i theta})} & = overline {r ( cos ( theta) + i sin ( theta))}} [4 pt ] & = r ( cos ( theta) - i sin ( theta)) [4pt] & = r ( cos (- theta) + i sin (- theta)) [4pt ] & = re ^ {- i theta}. end {zarovnať *} ]

Slovami: komplexná konjugácia mení znamienko argumentu.

Násobenie

Ak (z_1 = r_1 e ^ {i theta_1} ) a (z_2 = r_2 e ^ {i theta_2} ) potom

[z_1 z_2 = r_1 r_2 e ^ {i ( theta_1 + theta_2)}. nonumber ]

Toto je to, čo matematici nazývajú triviálne, aby videli, stačí zapísať násobenie. Slovom, vzorec hovorí, že pre (z_1 z_2 ) sa veľkosti znásobia a argumenty sa pridajú.

Divízia

To je opäť triviálne

( dfrac {r_1 e ^ {i theta_1}} {r_2 e ^ {i theta_2}} = dfrac {r_1} {r_2} e ^ {i ( theta_1 - theta_2)}. )

Príklad ( PageIndex {1} ): Násobenie 2 (i )

Tu je jednoduchý, ale dôležitý príklad. Pri pohľade na graf vidíme, že číslo (2i ) má veľkosť 2 a argument ( pi / 2 ). Takže v polárnych súradniciach sa rovná (2e ^ {i pi / 2} ). To znamená, že násobenie pomocou (2i ) vynásobí dĺžky o 2 a pridá ( pi / 2 ) k argumentom, t. Efekt je znázornený na obrázkoch nižšie

Príklad ( PageIndex {2} ): Rasing na moc

Vypočítajme ((1 + i) ^ 6 ) a (( dfrac {1 + i sqrt {3}} {2}) ^ 3 )

Riešenie

(1 + i ) má veľkosť = ( sqrt {2} ) a ( text {arg} = pi / 4 ), takže (1 + i = sqrt {2} e ^ { i pi / 4} ). Razovanie energie je teraz jednoduché:

((1 + i) ^ 6 = ( sqrt {2} e ^ {i pi / 4}) ^ 6 = 8 e ^ {6i pi / 4} = 8 e ^ {3i pi / 2} = -8i ).

Podobne (( dfrac {1 + i sqrt {3}} {2} = e ^ {i pi / 3} ), takže (( dfrac {1 + i sqrt {3}} {2 }) ^ 3 = (1 cdot e ^ {i pi / 3}) ^ 3 = e ^ {i pi} = -1 )

Komplexifikácia alebo výmena komplexu

V nasledujúcom príklade si ukážeme techniku zložitosť alebo komplexná výmena. To možno použiť na zjednodušenie trigonometrického integrálu. Bude sa to hodiť, keď potrebujeme vypočítať určité integrály.

Príklad ( PageIndex {3} )

Na výpočet použite zložitú náhradu

[I = int e ^ x cos (2x) dx. ]

Riešenie

Máme Eulerov vzorec

[e ^ {2ix} = cos (2x) + i sin (2x), ]

takže ( cos (2x) = text {Re} (e ^ {2ix}) ). Komplexným trikom nahradenia je nahradenie ( cos (2x) ) znakom (e ^ {2ix} ). Dostaneme (odôvodnenie nižšie)

[I_c = int e ^ x cos 2x + ie ^ x sin 2x dx ]

s

[I = text {Re} (I_c) ]

Výpočet (I_c ) je jednoduchý:

[I_c = int e ^ xe ^ {i2x} dx = int e ^ {x (1 + 2i)} dx = dfrac {e ^ {x (1 + 2i)}} {1 + 2i} . ]

Tu urobíme výpočet najskôr v obdĺžnikových súradniciach. V aplikáciách, napríklad v priebehu 18.03, sa často uprednostňuje polárna forma, pretože je ľahšia a dáva odpoveď v použiteľnejšej forme.

[ begin {array} {rcl} {I_c} & = & { dfrac {e ^ {x (1 + 2i)}} {1 + 2i} cdot dfrac {1 - 2i} {1 - 2i} } {} & = & { dfrac {e ^ x ( cos (2x) + i sin (2x)) (1 - 2i)} {5}} {} & = & { dfrac { 1} {5} e ^ x ( cos (2x) + 2 sin (2x) + i (-2 cos (2x) + sin (2x)))}} end {pole} ]

Takže

[I = text {Re} (I_c) = dfrac {1} {5} e ^ x ( cos (2x) + 2 sin (2x)). ]

Odôvodnenie komplexnej výmeny. Trik prichádza šikovným pridaním nového integrálu do (I ) nasledovne, Let (J = int e ^ x sin (2x) dx ). Potom sme nechali

[I_c = I + iJ = int e ^ x ( cos (2x) + i sin (2x)) dx = int e ^ x 2 ^ {2ix} dx. ]

Je zrejmé, že podľa konštrukcie ( text {Re} (I_c) = I ), ako je uvedené vyššie.

Alternatívne použitie polárnych súradníc na zjednodušenie výrazu pre (I_c ):

V polárnej podobe máme (1 + 2i = re ^ {i phi} ), kde (r = sqrt {5} ) a ( phi = text {arg} (1 + 2i) = text {tan} ^ {- 1} (2) ) v prvom kvadrante. Potom:

(I_c = dfrac {e ^ {x (1 + 2i)}} { sqrt {5} e ^ {i phi}} = dfrac {e ^ x} { sqrt {5}} e ^ { i (2x - phi)} = dfrac {e ^ x} { sqrt {5}} ( cos (2x - phi) + i sin (2x - phi)) ).

Teda

[I = text {Re} (I_c) = dfrac {e ^ x} { sqrt {5}} cos (2x - phi). ]

(N ) korene

Budeme musieť byť schopní nájsť (n ) tie korene komplexných čísel, t. J. Vyriešiť rovnice tvaru

[z ^ N = c, ]

kde (c ) je dané komplexné číslo. Najvýhodnejšie to možno urobiť vyjadrením (c ) a (z ) v polárnom tvare, (c = Re ^ {i phi} ) a (z = re ^ {i theta} ) . Potom, keď dôjde k striedaniu, musíme vyriešiť

[r ^ N e ^ {iN theta} = Re ^ {i phi} ]

Aby boli komplexné čísla vľavo a vpravo rovnaké, ich veľkosti musia byť rovnaké a ich argumenty sa môžu líšiť iba o celočíselný násobok (2 pi ). Toto dáva

[r = R ^ {1 / N} ) (N theta = phi + 2 pi n ), kde (n = 0, pm 1, pm 2, ... ]

Riešime pre ( theta ), máme

[ theta = dfrac { phi} {N} + dfrac {2 pi n} {N}. ]

Príklad ( PageIndex {4} )

Nájdite všetkých 5 piatych koreňov z 2.

Riešenie

Pre (c = 2 ) máme (R = 2 ) a ( phi = 0 ), takže piate korene 2 sú

(z_n = 2 ^ {1/5} e ^ {2n pi i / 5} ), kde (n = 0, pm 1, pm 2, ... )

Pri pohľade na pravú stranu vidíme, že pre (n = 5 ) máme (2 ^ {1/5} e ^ {2 pi i} ), ktoré je úplne rovnaké ako koreň, keď (n = 0 ), tj (2 ^ {1/5} e ^ {0i} ). Rovnako (n = 6 ) dáva úplne rovnaký koreň ako (n = 1 ) atď. To znamená, že máme 5 rôznych koreňov zodpovedajúcich (n = 0, 1, 2, 3, 4 ).

(z_n = 2 ^ {1/5}, e ^ {1/5} e ^ {2 pi i / 5}, e ^ {1/5} e ^ {4 pi i / 5}, e ^ {1/5} e ^ {6 pi i / 5}, e ^ {1/5} e ^ {8 pi i / 5} )

Podobne môžeme povedať, že (c = Re ^ {i phi} ) má všeobecne (N ) odlišné (N ) th korene:

(z_n = r ^ {1 / N} e ^ {i phi / N + i 2 pi (n / N)} ) pre (n = 0, 1, 2, ..., N - 1 ).

Príklad ( PageIndex {5} )

Nájdite štvrté korene 1.

Riešenie

Musíme vyriešiť (z ^ 4 = 1 ), teda ( phi = 0 ). 4 odlišné štvrté korene sú teda v polárnej forme

[z_n = 1, e ^ {i pi / 2}, e ^ {i pi}, e ^ {i 3 pi / 2} ]

a v karteziánskom zastúpení

[z_n = 1, i, -1, -i. ]

Príklad ( PageIndex {6} )

Nájdite 3 kockové korene -1.

Riešenie

(z ^ 2 = -1 = e ^ {i pi + i 2 pi n} ). Takže (z_n = e ^ {i pi + i 2 pi (n / 3)} ) a 3 korene kocky sú (e ^ {i pi / 3} ), (e ^ { i pi} ), (e ^ {i 5 pi / 3} ). Pretože ( pi / 3 ) radiány sú (60 ^ { circ} ), môžeme to zjednodušiť:

(e ^ {i pi / 3} = cos ( pi / 3) + i sin ( pi / 3) = dfrac {1} {2} + i dfrac { sqrt {3}} {2} Rightarrow z_n = -1, dfrac {1} {2} pm i dfrac { sqrt {3}} {2} )

Príklad ( PageIndex {7} )

Nájdite 5 piatych koreňov (1 + i ).

Riešenie

[z ^ 5 = 1 + i = sqrt {2} e ^ {i ( pi / 4 + 2n pi)} ]

pre (n = 0, 1, 2, ... ). Takže 5 piatych koreňov je

(2 ^ {1/10} e ^ {i pi / 20} ), (2 ^ {1/10} e ^ {i9 pi / 20} ), (2 ^ {1/10 } e ^ {i17 pi / 20} ), (2 ^ {1/10} e ^ {i25 pi / 20} ), (2 ^ {1/10} e ^ {i33 pi / 20} ).

Pomocou kalkulačky by sme ich mohli napísať číselne ako (a + bi ), ale nenájdeme jednoduché zjednodušenie.

Príklad ( PageIndex {8} )

Mali by sme skontrolovať, či naša technika funguje podľa očakávania pri jednoduchom probléme. Nájdite 2 druhé odmocniny zo 4.

Riešenie

(z ^ 2 = 4 e ^ {i2 pi n} ). Takže (z_n = 2e ^ {i pi n} ), s (n = 0, 1 ). Takže dva korene sú (2e ^ 0 = 2 ) a (2e ^ {i pi} = -2 ) podľa očakávania!

Geometria (N ) tých koreňov

Pri pohľade na vyššie uvedené príklady vidíme, že korene sú vždy rovnomerne rozložené okolo kruhu sústredeného na počiatku. Napríklad piate korene (1 + i ) sú rozmiestnené v prírastkoch (2 pi / 5 ) radiánov okolo kružnice polomeru (2 ^ {1/5} ).

Všimnite si tiež, že korene reálnych čísel vždy prichádzajú v konjugovaných pároch.


Pozri si video: Přímá úměrnost (December 2021).