Články

10.2: Nepravé trojuholníky - zákon kosínov


Učebné ciele

V tejto časti budete:

  • Použite zákon kozínov na riešenie šikmých trojuholníkov.
  • Vyriešte aplikované problémy pomocou zákona o kosínoch.
  • Pomocou Heronovho vzorca nájdite oblasť trojuholníka.

Predpokladajme, že loď opustí prístav, prekoná míle, otočí sa o 20 stupňov a prejde ďalších 8 míľ, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {1} ). Ako ďaleko od prístavu je loď?

Bohužiaľ, zatiaľ čo zákon Sines nám umožňuje venovať sa mnohým prípadom nepravouhlých trojuholníkov, nepomáha nám pri trojuholníkoch, kde je známy uhol medzi dvoma známymi stranami, trojuholníkom SAS (bočný uhol-bočný), alebo keď sú všetky tri strany sú známe, ale nie sú známe žiadne uhly, trojuholník SSS (side-side-side). V tejto časti preskúmame ďalší nástroj na riešenie šikmých trojuholníkov opísaných v týchto dvoch posledných prípadoch.

Využitie zákona kozínov na riešenie šikmých trojuholníkov

Nástrojom, ktorý potrebujeme na vyriešenie problému so vzdialenosťou člna od prístavu, je Zákon kosínov, ktorá definuje vzťah medzi meraniami uhlov a dĺžkami strán v šikmých trojuholníkoch. Zákon kozínov tvoria tri vzorce. Na prvý pohľad sa vzorce môžu zdať komplikované, pretože obsahujú veľa premenných. Akonáhle je však vzor pochopený, s kosínovým zákonom sa dá ľahšie pracovať ako s väčšinou vzorcov na tejto matematickej úrovni.

Pochopenie toho, ako sa odvodzuje zákon kozínov, pomôže pri používaní vzorcov. Derivácia začína zovšeobecnenou Pytagorovou vetou, ktorá je rozšírením Pytagorovej vety o neregulárne trojuholníky. Funguje to takto: Ľubovoľný nepravý trojuholník (ABC ) je umiestnený v súradnicovej rovine s vrcholom (A ) v počiatku, stranou (c ) nakreslenou pozdĺž X-osa a vrchol (C ) umiestnený v určitom bode ((x, y) ) v rovine, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {2} ). Spravidla existujú trojuholníky kdekoľvek v rovine, ale pre toto vysvetlenie umiestnime trojuholník tak, ako je uvedené.

Môžeme klesnúť kolmicu z (C ) na X-os (to je nadmorská výška alebo výška). Pripomíname základné trigonometrické identity, vieme to

( cos theta = dfrac {x (susedné)} {b (prepona)} ) a ( sin theta = dfrac {y (oproti)} {b (prepona)} )

Z hľadiska ( theta ), (x = b cos theta ) a (y = b sin theta ). Bod ((x, y) ) nachádzajúci sa na (C ) má súradnice ((b cos theta, b sin theta) ). Ak použijeme stranu ((x − c) ) ako jednu nohu pravouhlého trojuholníka a (y ) ako druhú nohu, môžeme pomocou Pythagorovej vety zistiť dĺžku prepony (a ). Teda

( begin {array} {ll} a ^ 2 = {(x − c)} ^ 2 + y ^ 2 [4pt] ; ; ; ; ; = {(b cos theta −c)} ^ 2 + {(b sin theta)} ^ 2 & text {Náhradník} (b cos theta) text {pre} x text {a} (b sin theta) text {for} y [4pt] ; ; ; ; ; ; = (b ^ 2 { cos} ^ 2 theta − 2bc cos theta + c ^ 2) + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta & text {Rozbaliť dokonalý štvorec.} [4pt] ; ; ; ; ; = b ^ 2 { cos} ^ 2 theta + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta + c ^ 2−2bc cos theta & text {skupinové výrazy s tým, že} {{cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 [4pt] ; ; ; ; ; = b ^ 2 ({ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta) + c ^ 2−2bc cos theta & text {Factor out} b ^ 2 [4pt] end {array} )

(a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta )

Odvodený vzorec je jednou z troch rovníc Zákona kozínov. Ostatné rovnice sa nachádzajú podobným spôsobom.

Majte na pamäti, že pri riešení uhlov alebo strán je vždy užitočné načrtnúť trojuholník. V scenári zo skutočného sveta sa pokúste nakresliť diagram situácie. Keď sa objaví viac informácií, bude možno potrebné diagram zmeniť. Vykonajte tieto zmeny v diagrame a nakoniec sa problém bude ľahšie riešiť.

ZÁKON KOZÍN

Zákon kosínusov hovorí, že štvorec ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu ostatných dvoch strán a kosínusu zahrnutého uhla.

Pre trojuholníky označené ako na obrázku ( PageIndex {3} ) s uhlami ( alpha ), ( beta ) a ( gamma ) a protiľahlými zodpovedajúcimi stranami (a ), (b ), respektíve (c ), je zákon kosínusov daný ako tri rovnice.

[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha ]

[b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta ]

[c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma ]

Na riešenie merania chýbajúcej strany je potrebné zodpovedajúce meranie opačného uhla.

Pri riešení uhla je potrebná zodpovedajúca miera na opačnej strane. Na riešenie uhla môžeme použiť inú verziu Zákona kozínov.

[ cos alpha = dfrac {b ^ 2 + c ^ 2 − a ^ 2} {2bc} ]

[ cos beta = dfrac {a ^ 2 + c ^ 2 − b ^ 2} {2ac} ]

[ cos gamma = dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 − c ^ 2} {2ab} ]

Ako: Vzhľadom na dve strany a uhol medzi nimi (SAS), nájdite miery zostávajúcej strany a uhly trojuholníka

  1. Načrtnite trojuholník. Určte miery známych strán a uhlov. Použite premenné na vyjadrenie mier neznámych strán a uhlov.
  2. Použite zákon kozínov na zistenie dĺžky neznámej strany alebo uhla.
  3. Použite zákon sinusov alebo kosínusov na nájdenie miery druhého uhla.
  4. Vypočítajte mieru zostávajúceho uhla.

Príklad ( PageIndex {1} ): Nájdenie neznámej strany a uhlov trojuholníka SAS

Na obrázku ( PageIndex {4} ) nájdite neznámu stranu a uhly trojuholníka.

Riešenie

Najskôr si všimnite, čo je dané: dve strany a uhol medzi nimi. Táto dohoda je klasifikovaná ako SAS a poskytuje údaje potrebné na uplatnenie zákona o kozínoch.

Každý jeden z troch zákonov kosínu začína štvorcom neznámej strany oproti známemu uhlu. Pre tento príklad je prvou stranou, ktorú treba vyriešiť, strana (b ), pretože poznáme meranie opačného uhla ( beta ).

( begin {array} {ll} b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta [4pt] b ^ 2 = {10} ^ 2 + {12} ^ 2−2 ( 10) (12) cos (30 °) & text {Nahraďte merania známymi veličinami.} [4pt] b ^ 2 = 100 + 144-240 vľavo ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) & text {Vyhodnoťte kosínus a začnite zjednodušovať.} [4pt] b ^ 2 = 244-120 sqrt {3} [4pt] b = sqrt {244-120 sqrt {3}} & text {Použite vlastnosť druhej odmocniny.} [4pt] b≈6,013 end {pole} )

Pretože riešime dĺžku, použijeme iba kladnú druhú odmocninu. Teraz, keď poznáme dĺžku (b ), môžeme pomocou sinusového zákona vyplniť zostávajúce uhly trojuholníka. Riešime pre uhol ( alfa ), máme

( begin {array} {cc} dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} [4pt] dfrac { sin alpha} {10} = dfrac { sin (30 °)} {6.013} [4pt] sin alpha = dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} & text {Vynásobte obe strany rovnice} 10 . [4pt] alpha = { sin} ^ {- 1} doľava ( dfrac {10 sin (30 °)} {6,013} doprava) & text {Nájdite inverzný sínus} dfrac {10 sin (30 °)} {6.013}. [4pt] alpha≈56,3 ° end {pole} )

Ďalšou možnosťou pre ( alpha ) by bolo ( alpha = 180 ° -56,3 ° ≈123,7 ° ). V pôvodnom diagrame je ( alpha ) priľahlé k najdlhšej strane, takže ( alpha ) je ostrý uhol, a preto (123,7 ° ) nemá zmysel. Všimnite si, že ak sa rozhodneme uplatniť zákon kozínov, dospejeme k jedinečnej odpovedi. Ostatné možnosti brať do úvahy nemusíme, pretože kosínus je jedinečný pre uhly medzi (0 ° ) a (180 ° ). Postupujúc k ( alfa≈56,3 ° ), môžeme nájsť tretí uhol trojuholníka.

[ begin {align *} gamma & = 180 ^ { circ} -30 ^ { circ} -56,3 ^ { circ} & cca 93,7 ^ { circ} end {align *} ]

Kompletná sada uhlov a strán je

( alfa = 56,3 ° ) (a = 10 )

( beta = 30 ° ) (b≈6,013 )

( gama = 93,7 ° ) (c = 12 )

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Nájdite chýbajúcu stranu a uhly daného trojuholníka: ( alfa = 30 ° ), (b = 12 ), (c = 24 ).

Odpoveď

(a≈14,9 ), ( beta≈23,8 ° ), ( gama≈126,2 ° ).

Príklad ( PageIndex {2} ): Riešenie pre uhol trojuholníka SSS

Nájdite uhol ( alfa ) pre daný trojuholník, ak je bočné (a = 20 ), bočné (b = 25 ) a bočné (c = 18 ).

Riešenie

V tomto príklade nemáme žiadne uhly. Môžeme vyriešiť akýkoľvek uhol pomocou zákona kosínov. Na riešenie uhla ( alfa ) máme

( begin {array} {ll} a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha [4pt] {20} ^ 2 = {25} ^ 2 + {18} ^ 2− 2 (25) (18) cos alpha & text {Nahraďte príslušné merania.} [4pt] 400 = 625 + 324−900 cos alpha & text {Zjednodušte v každom kroku.} [ 4pt] 400 = 949−900 cos alpha [4pt] −549 = −900 cos alpha & text {izolovať} cos alpha. [4pt] −549−900 = cos alfa [4pt] 0,61≈ cos alpha [4pt] 0,61≈ cos alpha & text {Nájdite inverzný kosínus.} [4pt] alpha≈52,4 ° end {pole} )

Viď obrázok ( PageIndex {5} ).

Analýza

Pretože inverzný kosínus môže vrátiť akýkoľvek uhol medzi stupňami (0 ) a (180 ), pri použití tejto metódy nebudú existovať žiadne nejednoznačné prípady.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vzhľadom na (a = 5 ), (b = 7 ) a (c = 10 ) nájdite chýbajúce uhly.

Odpoveď

( alfa ≈ 27,7 ° ), ( beta ≈ 40,5 ° ), ( gama ≈ 111,8 ° )

Riešenie aplikovaných problémov pomocou zákona o kozinuse

Rovnako ako zákon Sínusov poskytoval príslušné rovnice na riešenie mnohých aplikácií, je zákon kosínusov použiteľný aj v situáciách, v ktorých dané údaje zodpovedajú kosínovým modelom. Možno ich uvidíme v oblasti navigácie, geodetických prác, astronómie a geometrie, aby sme vymenovali aspoň niektoré.

Príklad ( PageIndex {3A} ): Použitie zákona kosínusov na vyriešenie komunikačného problému

Na mnohých mobilných telefónoch s GPS je možné určiť približnú polohu pred prijatím signálu GPS. Toho sa dosahuje pomocou procesu nazývaného triangulácia, ktorý funguje pomocou vzdialeností od dvoch známych bodov. Predpokladajme, že v dosahu mobilného telefónu sú dve veže mobilných telefónov. Tieto dve veže sú umiestnené pozdĺž rovnej diaľnice vedúcej z východu na západ a mobilný telefón je severne od diaľnice. Na základe oneskorenia signálu je možné určiť, že signál je vzdialený 5050 stôp od prvej veže a 2420 stôp druhej veže. Určte polohu mobilného telefónu na sever a na východ od prvej veže a určite, ako ďaleko je od diaľnice.

Riešenie

Pre jednoduchosť začneme tým, že nakreslíme diagram podobný obrázku ( PageIndex {6} ) a označíme dané informácie.

Pomocou zákona kosínov môžeme vyriešiť pre uhol ( theta ). Pamätajte, že zákon kosínov používa štvorec jednej strany na nájdenie kosínu opačného uhla. V tomto príklade nechajme (a = 2420 ), (b = 5050 ) a (c = 6000 ). Teda ( theta ) zodpovedá opačnej strane (a = 2420 ).

[ begin {align *} a ^ 2 & = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta [4pt] {(2420)} ^ 2 & = {(5050)} ^ 2 + {( 6000)} ^ 2−2 (5050) (6000) cos theta [4pt] cos theta & ≈ 0,9183 [4pt] cos theta & ≈ 0,9183 [4pt] theta & ≈ { cos} ^ {- 1} (0,9183) [4pt] theta & ≈ 23,3 ° end {zarovnať *} ]

Ak chcete odpovedať na otázky týkajúce sa polohy telefónu na sever a na východ od veže a vzdialenosti od diaľnice, položte kolmicu na polohu mobilného telefónu, ako na obrázku ( PageIndex {7} ). To vytvára dva pravé trojuholníky, aj keď pre tento problém potrebujeme iba pravý trojuholník, ktorý obsahuje prvú vežu.

Pomocou uhla ( theta = 23,3 ) ° a základných trigonometrických identít nájdeme riešenia. Teda

[ begin {align *} cos (23,3 °) & = dfrac {x} {5050} [4pt] x & = 5050 cos (23,3 °) [4pt] x & ≈ 4638,15 , stopy [4pt] sin (23,3 °) & = dfrac {y} {5050} [4pt] y & = 5050 sin (23,3 °) [4pt] y & ≈1997,5 , stopy koniec {zarovnať *} ]

Mobilný telefón je vzdialený približne 4648 metrov východne a severne od prvej veže 1998 metrov od diaľnice.

Príklad ( PageIndex {3B} ): Výpočet prejdenej vzdialenosti pomocou trojuholníka SAS

Ak sa vrátime k nášmu problému na začiatku tejto časti, predpokladajme, že loď opustí prístav, prepláva (10) míľ, otočí (20) stupňov a prepláva ďalších (8) míľ. Ako ďaleko od prístavu je loď? Diagram sa tu opakuje na obrázku ( PageIndex {8} ).

Riešenie

Loď sa otočila o 20 stupňov, takže tupý uhol nepravého trojuholníka je dodatočný uhol (180 ° - 20 ° = 160 ° ). Pomocou toho môžeme pomocou zákona kosínusov nájsť chýbajúcu stranu tupého trojuholníka - vzdialenosť člna od prístavu.

[ begin {align *} x ^ 2 & = 8 ^ 2 + {10} ^ 2−2 (8) (10) cos (160 °) [4pt] x ^ 2 & = 314,35 [ 4pt] x & = sqrt {314,35} [4pt] x & ≈17,7 , míle end {zarovnať *} ]

Loď je vzdialená asi 17 míľ od prístavu.

Použitie Heronovho vzorca na nájdenie oblasti trojuholníka

Už sme sa naučili, ako nájsť oblasť šikmého trojuholníka, keď poznáme dve strany a uhol. Poznáme tiež vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka pomocou základne a výšky. Keď poznáme tri strany, môžeme ich použiť Heronov vzorec namiesto zistenia výšky. Volavka Alexandrijská bol geometer, ktorý žil v prvom storočí nášho letopočtu. Objavil vzorec na hľadanie oblasti šikmých trojuholníkov, keď sú známe tri strany.

HERONOVÝ FORMULÁR

Heronov vzorec nájde oblasť šikmých trojuholníkov, v ktorých sú známe strany (a ), (b ) a (c ).

[Plocha = sqrt {s (s − a) (s − b) (s − c)} ]

kde (s = dfrac {(a + b + c)} {2} ) je polovica obvodu trojuholníka, ktorá sa niekedy nazýva polovica obvodu.

Príklad ( PageIndex {4} ): Použitie Heronovho vzorca na nájdenie oblasti daného trojuholníka

Vyhľadajte oblasť trojuholníka na obrázku ( PageIndex {9} ) pomocou Heronovho vzorca.

Riešenie

Najskôr vypočítame (s ).

[ begin {align *} s & = dfrac {(a + b + c)} {2} s & = dfrac {(10 + 15 + 7)} {2} & = 16 end { zarovnať *} ]

Potom použijeme vzorec.

[ begin {align *} Area & = sqrt {s (sa) (sb) (sc)} Area & = sqrt {16 (16-10) (16-15) (16-7)} Plocha a približne 29,4 koniec {zarovnať *} ]

Táto oblasť má rozlohu približne (29,4 ) štvorcových jednotiek.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Pomocou Heronovho vzorca nájdite oblasť trojuholníka so stranami dĺžok (a = 29,7 ) stôp, (b = 42,3 ) stôp a (c = 38,4 ) stôp.

Odpoveď

Plocha = (552 ) štvorcových stôp

Príklad ( PageIndex {5} ): Aplikácia Heronovho vzorca na problém v reálnom svete

Developer z Chicaga chce postaviť budovu pozostávajúcu z umelcových loftov na trojuholníkovom pozemku ohraničenom ulicami Rush Street, Wabash Avenue a Pearson Street. Priečelie pozdĺž ulice Rush je približne (62,4 ) metrov, pozdĺž ulice Wabash Avenue je to približne (43,5 ) metrov, a pozdĺž ulice Pearson je to približne (34,1 ) metrov. Koľko metrov štvorcových má developer k dispozícii? Na obrázku ( PageIndex {10} ) nájdete pohľad na mestský majetok.

Riešenie

Nájdite meranie pre (s ), čo je polovica obvodu.

[ begin {align *} s & = dfrac {(62,4 + 43,5 + 34,1)} {2} s & = 70 ; m text {Použiť Heronov vzorec.} Plocha & = sqrt {70 (70-62,4) (70-43,5) (70-34,1)} Plocha & = sqrt {506 118,2} Plocha & približne 711,4 end {zarovnať *} ]

Developer má asi (711,4 ) metrov štvorcových.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Nájdite plochu trojuholníka s (a = 4,38 ) stôp, (b = 3,79 ) stôp a (c = 5,22 ) stôp.

Odpoveď

asi (8,15 ) štvorcových stôp

Médiá

Získajte prístup k týmto online zdrojom pre ďalšie inštruktáže a precvičovanie pomocou Zákona kozínov.

  • Zákon kosínov
  • Zákon kozínov: Aplikácie
  • Zákon kozínov: Aplikácie 2

Kľúčové rovnice

Zákon kosínov

(a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alfa )

(b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta )

(c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma )

Heronov vzorec

(Plocha = sqrt {s (s − a) (s − b) (s − c)} )

kde (s = dfrac {(a + b + c)} {2} )

Kľúčové koncepty

  • Zákon kosínusov definuje vzťah medzi meraniami uhlov a dĺžkami strán v šikmých trojuholníkoch.
  • Zovšeobecnená Pytagorova veta je zákon kosínov pre dva prípady šikmých trojuholníkov: SAS a SSS. Vypustením imaginárnej kolmice sa šikmý trojuholník rozdelí na dva pravé trojuholníky alebo sa vytvorí jeden pravý trojuholník, ktorý umožňuje vzájomné prepojenie strán a výpočet rozmerov. Viď Príklady ( PageIndex {1} ) a Príklad ( PageIndex {2} ).
  • Zákon kozínov je užitočný pri mnohých druhoch aplikovaných problémov. Prvým krokom pri riešení týchto problémov je spravidla nakreslenie náčrtu predloženého problému.Ak uvedené informácie zodpovedajú jednému z troch modelov (tromi rovnicami), potom pomocou zákona kozínov nájdite riešenie. Viď Príklady ( PageIndex {3} ) a Príklad ( PageIndex {4} ).
  • Heronov vzorec umožňuje výpočet plochy v šikmých trojuholníkoch. Je známe, že všetky tri strany používajú Heronov vzorec. Pozri ukážku ( PageIndex {5} ) a ukážku ukážky ( PageIndex {6} ).

Využitie zákona kozínov na riešenie šikmých trojuholníkov

Nástrojom, ktorý potrebujeme na vyriešenie problému so vzdialenosťou člna od prístavu, je Zákon kosínov, ktorá definuje vzťah medzi meraniami uhlov a dĺžkami strán v šikmých trojuholníkoch. Zákon o kozínoch tvoria tri vzorce. Na prvý pohľad sa vzorce môžu zdať komplikované, pretože obsahujú veľa premenných. Akonáhle je však vzor pochopený, s kosínovým zákonom sa dá ľahšie pracovať ako s väčšinou vzorcov na tejto matematickej úrovni.

Pochopenie toho, ako sa odvodzuje zákon kozínov, pomôže pri používaní vzorcov. Derivácia začína zovšeobecnenou Pytagorovou vetou, ktorá je rozšírením Pytagorovej vety o neregulárne trojuholníky. Funguje to takto: Ľubovoľný nepravý trojuholník A B C A B C sa umiestni do súradnicovej roviny s vrcholom A A v počiatku, stranou c c nakreslenou pozdĺž X-osa a vrchol C C umiestnený v určitom bode (x, y) (x, y) v rovine, ako je znázornené na [linku]. Spravidla existujú trojuholníky kdekoľvek v rovine, ale pre toto vysvetlenie umiestnime trojuholník tak, ako je uvedené.

Odvodený vzorec je jednou z troch rovníc Zákona kozínov. Ostatné rovnice sa nachádzajú podobným spôsobom.

Majte na pamäti, že pri riešení uhlov alebo strán je vždy užitočné načrtnúť trojuholník. V scenári zo skutočného sveta sa pokúste nakresliť diagram situácie. Keď sa objaví viac informácií, bude možno potrebné diagram zmeniť. Vykonajte tieto zmeny v diagrame a nakoniec sa problém bude ľahšie riešiť.

Zákon kosínov tvrdí, že štvorec ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu ostatných dvoch strán a kosínusu zahrnutého uhla. Pre trojuholníky označené ako [odkaz], s uhlami α, β, α, β a γ, γ a protiľahlými zodpovedajúcimi stranami a, b, a, b, a c, c, je zákon kosínov daný ako tri rovnice.

Na riešenie merania chýbajúcej strany je potrebné zodpovedajúce meranie opačného uhla.

Pri riešení uhla je potrebná zodpovedajúca miera na opačnej strane. Na riešenie uhla môžeme použiť inú verziu Zákona kozínov.

Vzhľadom na dve strany a uhol medzi nimi (SAS) nájdite miery zostávajúcej strany a uhly trojuholníka.

  1. Načrtnite trojuholník. Určte miery známych strán a uhlov. Použite premenné na vyjadrenie mier neznámych strán a uhlov.
  2. Použite zákon kozínov na zistenie dĺžky neznámej strany alebo uhla.
  3. Použite zákon sinusov alebo kosínusov na nájdenie miery druhého uhla.
  4. Vypočítajte mieru zostávajúceho uhla.

Nájdite neznámu stranu a uhly trojuholníka v časti [link].

Najskôr si všimnite, čo je dané: dve strany a uhol medzi nimi. Táto dohoda je klasifikovaná ako SAS a poskytuje údaje potrebné na uplatnenie zákona o kozínoch.

Každý jeden z troch zákonov kosínu začína štvorcom neznámej strany oproti známemu uhlu. Pre tento príklad je prvou stranou, ktorú treba vyriešiť, strana b, b, keďže poznáme meranie opačného uhla β. β.

Pretože riešime dĺžku, použijeme iba kladnú druhú odmocninu. Teraz, keď poznáme dĺžku b, b, môžeme pomocou sinusového zákona vyplniť zostávajúce uhly trojuholníka. Riešenie pre uhol α, α, máme

Kompletná sada uhlov a strán je

Nájdite chýbajúcu stranu a uhly daného trojuholníka: α = 30 °, b = 12, c = 24. α = 30 °, b = 12, c = 24.


51 Nepravé trojuholníky: zákon kosínov

Predpokladajme, že čln opustí prístav, prejde 10 míľ, otočí sa o 20 stupňov a prejde ďalších 8 míľ, ako je to znázornené na obrázku (Obrázok). Ako ďaleko od prístavu je loď?

Bohužiaľ, zatiaľ čo zákon Sines nám umožňuje riešiť mnoho prípadov pravouhlých trojuholníkov, nepomáha nám pri trojuholníkoch, kde je známy uhol medzi dvoma známymi stranami, trojuholníkom SAS (bočný uhol-bočný), alebo keď sú všetky tri strany sú známe, ale nie sú známe žiadne uhly, trojuholník SSS (side-side-side). V tejto časti preskúmame ďalší nástroj na riešenie šikmých trojuholníkov opísaných v týchto dvoch posledných prípadoch.

Využitie zákona kozínov na riešenie šikmých trojuholníkov

Nástrojom, ktorý potrebujeme na vyriešenie problému so vzdialenosťou člna od prístavu, je Zákon kosínov, ktorá definuje vzťah medzi meraniami uhlov a dĺžkami strán v šikmých trojuholníkoch. Zákon o kozínoch tvoria tri vzorce. Na prvý pohľad sa vzorce môžu zdať komplikované, pretože obsahujú veľa premenných. Akonáhle je však vzor pochopený, s kosínovým zákonom sa dá ľahšie pracovať ako s väčšinou vzorcov na tejto matematickej úrovni.

Pochopenie toho, ako sa odvodzuje zákon kozínov, pomôže pri používaní vzorcov. Derivácia začína zovšeobecnenou Pytagorovou vetou, ktorá je rozšírením Pytagorovej vety o neregulárne trojuholníky. Funguje to takto: Ľubovoľný nepravý trojuholníkje umiestnený v súradnicovej rovine s vrcholompri vzniku, stranenakreslené pozdĺž X-osa a vrcholnachádza sa v určitom okamihuv rovine, ako je znázornené na (obrázku). Spravidla existujú trojuholníky kdekoľvek v rovine, ale pre toto vysvetlenie umiestnime trojuholník tak, ako je uvedené.

Môžeme klesnúť kolmo zdo X-os (to je nadmorská výška alebo výška). Pripomíname základné trigonometrické identity, vieme to

V zmysleaThebod nachádzajúci sa namá súradnicePomocou bočnej stranyako jedna noha pravého trojuholníka aako druhú nohu môžeme zistiť dĺžku preponypomocou Pytagorovej vety. Teda

Odvodený vzorec je jednou z troch rovníc Zákona kozínov. Ostatné rovnice sa nachádzajú podobným spôsobom.

Majte na pamäti, že pri riešení uhlov alebo strán je vždy užitočné načrtnúť trojuholník. V scenári zo skutočného sveta sa pokúste nakresliť diagram situácie. Keď sa objaví viac informácií, bude možno potrebné diagram zmeniť. Vykonajte tieto zmeny v diagrame a nakoniec sa problém bude ľahšie riešiť.

Zákon kosínov tvrdí, že štvorec ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu ostatných dvoch strán a kosínusu zahrnutého uhla. Pre trojuholníky označené ako na obrázku (Obrázok), s uhlami a a protiľahlé zodpovedajúce strany aZákon kosínov je daný ako tri rovnice.

Na riešenie merania chýbajúcej strany je potrebné zodpovedajúce meranie opačného uhla.

Pri riešení uhla je potrebná zodpovedajúca miera na opačnej strane. Na riešenie uhla môžeme použiť inú verziu Zákona kozínov.

Vzhľadom na dve strany a uhol medzi nimi (SAS) nájdite miery zostávajúcej strany a uhly trojuholníka.

  1. Načrtnite trojuholník. Určte miery známych strán a uhlov. Použite premenné na vyjadrenie mier neznámych strán a uhlov.
  2. Použite zákon kozínov na zistenie dĺžky neznámej strany alebo uhla.
  3. Použite zákon sinusov alebo kosínusov na nájdenie miery druhého uhla.
  4. Vypočítajte mieru zostávajúceho uhla.

Nájdite neznámu stranu a uhly trojuholníka v (obrázok).

Najskôr si všimnite, čo je dané: dve strany a uhol medzi nimi. Táto dohoda je klasifikovaná ako SAS a poskytuje údaje potrebné na uplatnenie zákona o kozínoch.

Každý jeden z troch zákonov kosínu začína štvorcom neznámej strany oproti známemu uhlu. Pre tento príklad je prvou stranou, ktorú treba vyriešiť, stranaako poznáme meranie opačného uhla

Pretože riešime dĺžku, použijeme iba kladnú druhú odmocninu. Teraz, keď vieme dĺžkumôžeme použiť sinusový zákon na vyplnenie zostávajúcich uhlov trojuholníka. Riešenie pre uholmáme

Iná možnosť prebolo byV pôvodnom diagramesusedí s najdlhšou stranou, takžeje ostrý uhol, a pretonedáva zmysel. Všimnite si, že ak sa rozhodneme uplatniť zákon kozínov, dospejeme k jedinečnej odpovedi. Nemusíme brať do úvahy ďalšie možnosti, pretože kosínus je jedinečný pre uhly medziaPokračujem spotom môžeme nájsť tretí uhol trojuholníka.

Kompletná sada uhlov a strán je

Nájdite chýbajúcu stranu a uhly daného trojuholníka:

Nájdite uholpre daný trojuholník ak bočnýstranea bočné

V tomto príklade nemáme žiadne uhly. Môžeme vyriešiť akýkoľvek uhol pomocou zákona kosínov. Riešiť pre uholmáme

Pretože inverzný kosínus môže vrátiť akýkoľvek uhol od 0 do 180 stupňov, pri použití tejto metódy nebudú existovať žiadne nejednoznačné prípady.

Danéanájsť chýbajúce uhly.

Riešenie aplikovaných problémov pomocou zákona o kozinuse

Rovnako ako zákon Sínusov poskytoval príslušné rovnice na riešenie mnohých aplikácií, je zákon kosínusov použiteľný aj v situáciách, v ktorých dané údaje zodpovedajú kosínovým modelom. Môžeme ich vidieť v oblasti navigácie, geodetických snímok, astronómie a geometrie, aby sme vymenovali aspoň niektoré.

Na mnohých mobilných telefónoch s GPS je možné určiť približnú polohu pred prijatím signálu GPS. Toho sa dosahuje pomocou procesu nazývaného triangulácia, ktorý funguje pomocou vzdialeností od dvoch známych bodov. Predpokladajme, že v dosahu mobilného telefónu sú dve veže mobilných telefónov. Tieto dve veže sa nachádzajú 6 000 metrov od seba pozdĺž rovnej diaľnice vedúcej z východu na západ a mobilný telefón severne od diaľnice. Na základe oneskorenia signálu je možné určiť, že signál je 5 050 stôp od prvej veže a 2 420 stôp od druhej veže. Určte polohu mobilného telefónu na sever a na východ od prvej veže a určite, ako ďaleko je od diaľnice.

Pre jednoduchosť začneme nakreslením diagramu podobného ako na (obrázku) a označením našich daných informácií.

Pomocou zákona kozínov môžeme vyriešiť uholPamätajte, že zákon kosínov používa štvorec jednej strany na nájdenie kosínu opačného uhla. Pre tento príklad dovoľteaTedazodpovedá opačnej strane

Ak chcete odpovedať na otázky týkajúce sa polohy telefónu na sever a východ od veže a vzdialenosti od diaľnice, položte kolmicu na polohu mobilného telefónu, ako je to na obrázku (Obrázok). To vytvára dva pravé trojuholníky, aj keď pre tento problém potrebujeme iba pravý trojuholník, ktorý obsahuje prvú vežu.

Pomocou uhlaa základné trigonometrické identity, môžeme nájsť riešenia. Teda

Mobilný telefón je vzdialený približne 4638 metrov východne a 1998 metrov severne od prvej veže a 1998 metrov od diaľnice.

Keď sa vrátime k nášmu problému na začiatku tejto časti, predpokladajme, že loď opustí prístav, prejde 10 míľ, otočí sa o 20 stupňov a prejde ďalších 8 míľ. Ako ďaleko od prístavu je loď? Diagram sa tu opakuje na (obrázku).

Loď sa otočila o 20 stupňov, takže tupý uhol nepravého trojuholníka je doplnkový uhol,Pomocou toho môžeme pomocou zákona kosínusov nájsť chýbajúcu stranu tupého trojuholníka - vzdialenosť člna od prístavu.

Loď je vzdialená asi 28 km od prístavu.

Použitie Heronovho vzorca na nájdenie oblasti trojuholníka

Už sme sa naučili, ako nájsť oblasť šikmého trojuholníka, keď poznáme dve strany a uhol. Poznáme tiež vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka pomocou základne a výšky. Keď poznáme tri strany, môžeme namiesto zistenia výšky použiť Heronov vzorec. Volavka Alexandrijská bol geometer, ktorý žil v prvom storočí nášho letopočtu. Objavil vzorec na hľadanie oblasti šikmých trojuholníkov, keď sú známe tri strany.

Heronov vzorec nachádza oblasť šikmých trojuholníkov, v ktorých stranáchasú známe.

kde je jedna polovica obvodu trojuholníka, niekedy sa nazýva aj polovičný obvod.

Vyhľadajte oblasť trojuholníka v (Obrázok) pomocou Heronovho vzorca.

Najprv spočítame

Potom použijeme vzorec.

Rozloha je približne 29,4 štvorcových jednotiek.

Pomocou Heronovho vzorca nájdite oblasť trojuholníka so stranami dĺžoka

Developer z Chicaga chce postaviť budovu pozostávajúcu z umelcových loftov na trojuholníkovom pozemku ohraničenom ulicami Rush Street, Wabash Avenue a Pearson Street. Priečelie pozdĺž ulice Rush je približne 62,4 metra, pozdĺž ulice Wabash Avenue je to približne 43,5 metra a pozdĺž ulice Pearson je to približne 34,1 metra. Koľko metrov štvorcových má developer k dispozícii? Pozri (obrázok) pre pohľad na mestský majetok.

Nájdite meranie prečo je polovica obvodu.

Developer má zhruba 711,4 metrov štvorcových.

Vyhľadajte oblasť daného trojuholníkaa

Získajte prístup k týmto online zdrojom pre ďalšie inštruktáže a precvičovanie pomocou Zákona kozínov.

Kľúčové rovnice

Zákon kosínov
Heronov vzorec

Kľúčové koncepty

  • Zákon kosínusov definuje vzťah medzi meraniami uhlov a dĺžkami strán v šikmých trojuholníkoch.
  • Zovšeobecnená Pytagorova veta je zákon kosínov pre dva prípady šikmých trojuholníkov: SAS a SSS. Vypustením imaginárnej kolmice sa šikmý trojuholník rozdelí na dva pravé trojuholníky alebo sa vytvorí jeden pravý trojuholník, ktorý umožňuje vzájomné prepojenie strán a výpočet rozmerov. Pozri (Obrázok) a (Obrázok).
  • Zákon kozínov je užitočný pri mnohých druhoch aplikovaných problémov. Prvým krokom pri riešení týchto problémov je spravidla nakreslenie náčrtu predloženého problému. Ak uvedené informácie zodpovedajú jednému z troch modelov (tromi rovnicami), potom pomocou zákona kozínov nájdite riešenie. Pozri (Obrázok) a (Obrázok).
  • Heronov vzorec umožňuje výpočet plochy v šikmých trojuholníkoch. Je známe, že všetky tri strany používajú Heronov vzorec. Pozri (obrázok) a pozri (obrázok).

Sekčné cvičenia

Slovné

Ak hľadáte chýbajúcu stranu trojuholníka, čo potrebujete vedieť pri používaní Zákona kozínov?

dve strany a uhol oproti chýbajúcej strane.

Ak hľadáte chýbajúci uhol trojuholníka, čo potrebujete vedieť pri používaní Zákona kozínov?

Vysvetlite čopredstavuje vo Heronovom vzorci.

je polovičný obvod, čo je polovica obvodu trojuholníka.

Vysvetlite vzťah medzi Pytagorovou vetou a zákonom o kozinuse.

Kedy musíte použiť Zákon kozínov namiesto Pytagorovej vety?

Pre každý šikmý (nespravný) trojuholník sa musí použiť zákon kosínov.

Algebraické

Pri nasledujúcich cvičeniach predpokladajmeje opačná strana je opačná stranaa je opačná stranaAk je to možné, vyriešte každý trojuholník pre neznámu stranu. Zaokrúhlené na najbližšiu desatinu.

V nasledujúcich cvičeniach pomocou zákona kosínusov vyriešte chýbajúci uhol šikmého trojuholníka. Zaokrúhlené na najbližšiu desatinu.

nájsť uhol

nájsť uhol

nájsť uhol

nájsť uhol

nájsť uhol

Pri nasledujúcich cvičeniach vyriešte trojuholník. Zaokrúhlené na najbližšiu desatinu.

V nasledujúcich cvičeniach pomocou Heronovho vzorca nájdite oblasť trojuholníka. Zaokrúhlené na najbližšiu stotinu.

Nájdite oblasť trojuholníka so stranami dĺžky 18 palcov, 21 palcov a 32 palcov. Zaokrúhlite na najbližšiu desatinu.

Nájdite plochu trojuholníka so stranami dĺžky 20 cm, 26 cm a 37 cm. Zaokrúhlené na najbližšiu desatinu.

Grafické

Pri nasledujúcich cvikoch zistite dĺžku boku Zaokrúhlené na najbližšiu desatinu.

Pre nasledujúce cvičenia vyhľadajte meranie uhla

Nájdite mieru každého uhla v trojuholníku znázornenom na obrázku (Obrázok). Zaokrúhlené na najbližšiu desatinu.

Pri nasledujúcich cvičeniach vyriešte pre neznámu stranu. Zaokrúhlené na najbližšiu desatinu.

Pri nasledujúcich cvičeniach vyhľadajte oblasť trojuholníka. Zaokrúhlené na najbližšiu stotinu.

Prípony

Rovnobežník má strany s dĺžkou 16 jednotiek a 10 jednotiek. Kratšia uhlopriečka je 12 jednotiek. Nájdite mieru dlhšej uhlopriečky.

Bočné strany rovnobežníka sú 11 stôp a 17 stôp. Dlhšia uhlopriečka je 22 stôp. Nájdite dĺžku kratšej uhlopriečky.

Boky rovnobežníka sú 28 centimetrov a 40 centimetrov. Veľkosť väčšieho uhla je 100 °. Nájdite dĺžku kratšej uhlopriečky.

Pravidelný osemuholník je vpísaný do kruhu s polomerom 8 palcov. (Pozri (Obrázok).) Nájdite obvod osemuholníka.

Pravidelný päťuholník je vpísaný do kruhu s polomerom 12 cm. (Pozri (Obrázok).) Nájdite obvod päťuholníka. Zaokrúhlené na najbližšiu desatinu centimetra.

Predpokladajme, že pri nasledujúcich cvičeniachpredstavuje vzťah troch strán trojuholníka a kosínusu uhla.

Nájdite dĺžku tretej strany.

Pri nasledujúcich cvičeniach vyhľadajte oblasť trojuholníka.

Skutočné aplikácie

Geodet urobil merania uvedené na (obrázku). Nájdite vzdialenosť cez jazero. Zaokrúhlené odpovede na najbližšiu desatinu.

Družica počíta vzdialenosti a uhol zobrazené na obrázku (nie v mierke). Nájdite vzdialenosť medzi týmito dvoma mestami. Zaokrúhlené odpovede na najbližšiu desatinu.

Lietadlo letí 220 míľ s kurzom 40 ° a potom letí 180 míľ s kurzom 170 °. Ako ďaleko je lietadlo od východiskového bodu a k akému smeru? Zaokrúhlené odpovede na najbližšiu desatinu.

Veža so šírkou 113 stôp sa nachádza na kopci, ktorý je sklonený o 34 ° k horizontále, ako je to znázornené na obrázku (Obrázok). K vrcholu veže sa má pripevniť lanko. Kotviace lanko sa pripevní k vrcholu veže a ukotví v bode 98 stôp do kopca od základne veže. Nájdite potrebnú dĺžku drôtu.

Dve lode opustili prístav súčasne. Jedna loď išla rýchlosťou 18 míľ za hodinu a smerovala k 320 °. Druhá loď išla rýchlosťou 22 míľ za hodinu a smerovala k 194 °. Nájdite vzdialenosť medzi týmito dvoma loďami po 10 hodinách cesty.

Graf na (Obrázok) predstavuje dve lode vyplávajúce súčasne z rovnakého doku.Prvý čln jazdí rýchlosťou 18 míľ za hodinu pri kurze 327 ° a druhý čln jazdí rýchlosťou 4 míle za hodinu pri kurze 60 °. Nájdite vzdialenosť medzi dvoma člnmi po 2 hodinách.

Trojuholníkový bazén meria na jednej strane 40 stôp a na druhej strane 65 stôp. Tieto strany tvoria uhol, ktorý meria 50 °. Aká dlhá je tretia strana (s presnosťou na desatiny)?

Pilot letí rovnou cestou 1 hodinu 30 min. Potom vykoná korekciu kurzu, smeruje 10 ° napravo od pôvodného kurzu a letí 2 hodiny novým smerom. Ak udržuje konštantnú rýchlosť 680 míľ za hodinu, ako ďaleko je od svojej východiskovej polohy?

Los Angeles je od Chicaga vzdialené 2 744 km, Chicago je vzdialené 714 km od New Yorku a New York je vzdialený 3 451 km od Los Angeles. Nakreslite trojuholník spájajúci tieto tri mestá a nájdite uhly v trojuholníku.

Philadelphia je vzdialená 140 míľ od Washingtonu, D.C., Washington, D.C. je vzdialená 722 míľ od Bostonu a Boston je vzdialený 315 míľ od Philadelphie. Nakreslite trojuholník spájajúci tieto tri mestá a nájdite uhly v trojuholníku.

Dve lietadlá opúšťajú rovnaké letisko v rovnakom čase. Jeden letí 20 ° východne od severu rýchlosťou 500 míľ za hodinu. Druhá letí 30 ° východne na juh rýchlosťou 600 míľ za hodinu. Ako ďaleko sú lietadlá po 2 hodinách?

Dve lietadlá štartujú rôznymi smermi. Jeden cestuje 300 mph na západ a druhý 25 ° severozápadne rýchlosťou 420 mph. Ako ďaleko sú po 90 minútach za predpokladu, že letia v rovnakej výške?

Rovnobežník má strany s dĺžkou 15,4 jednotky a 9,8 jednotky. Jeho rozloha je 72,9 štvorcových jednotiek. Nájdite mieru dlhšej uhlopriečky.

Štyri následné strany štvoruholníka majú dĺžky 4,5 cm, 7,9 cm, 9,4 cm a 12,9 cm. Uhol medzi dvoma najmenšími stranami je 117 °. Aká je plocha tohto štvoruholníka?

Štyri následné strany štvoruholníka majú dĺžku 5,7 cm, 7,2 cm, 9,4 cm a 12,8 cm. Uhol medzi dvoma najmenšími stranami je 106 °. Aká je plocha tohto štvoruholníka?

Nájdite plochu trojuholníkového pozemku, ktorý meria na jednej strane 30 stôp a na druhej 42 stôp. Zahrnutý uhol meria 132 °. Zaokrúhlené na najbližší celý štvorcový meter.

Nájdite plochu trojuholníkového pozemku, ktorý meria na jednej strane 110 stôp a na druhej 250 stôp. Zahrnutý uhol meria 85 °. Zaokrúhlené na najbližší celý štvorcový meter.

Glosár


Využitie zákona kozínov na riešenie šikmých trojuholníkov

Nástrojom, ktorý potrebujeme na vyriešenie problému so vzdialenosťou člna od prístavu, je Zákon kosínov, ktorá definuje vzťah medzi meraniami uhlov a dĺžkami strán v šikmých trojuholníkoch. Zákon o kozínoch tvoria tri vzorce. Na prvý pohľad sa vzorce môžu zdať komplikované, pretože obsahujú veľa premenných. Akonáhle je však vzor pochopený, s kosínovým zákonom sa dá ľahšie pracovať ako s väčšinou vzorcov na tejto matematickej úrovni.

Pochopenie toho, ako sa odvodzuje zákon kozínov, pomôže pri používaní vzorcov. Derivácia začína na, čo je rozšírenie trojuholníkov od nepravých. Funguje to takto: Ľubovoľný nepravý trojuholník A B C A B C sa umiestni do súradnicovej roviny s vrcholom A A v počiatku, stranou c c nakreslenou pozdĺž X-osa a vrchol C C umiestnený v určitom bode (x, y) (x, y) v rovine, ako je znázornené na obrázku 2. Spravidla existujú trojuholníky kdekoľvek v rovine, ale pre toto vysvetlenie umiestnime trojuholník tak, ako je uvedené.

Obrázok 2

Môžeme klesnúť kolmo z C C na X-os (to je nadmorská výška alebo výška). Pripomínajúc základné, vieme to

Z hľadiska θ, x = b cos θ θ, x = b cos θ a y = b sin θ. y = b sin θ. Bod (x, y) (x, y) nachádzajúci sa na C C má súradnice (b cos θ, (b cos θ, b sin θ). B sin θ). Pomocou strany (x - c) (x - c) ako jednej nohy pravouhlého trojuholníka a y y ako druhej nohy môžeme pomocou Pythagorovej vety zistiť dĺžku prepony a a. Teda

Odvodený vzorec je jednou z troch rovníc Zákona kozínov. Ostatné rovnice sa nachádzajú podobným spôsobom.

Majte na pamäti, že pri riešení uhlov alebo strán je vždy užitočné načrtnúť trojuholník. V scenári zo skutočného sveta sa pokúste nakresliť diagram situácie. Keď sa objaví viac informácií, bude možno potrebné diagram zmeniť. Vykonajte tieto zmeny v diagrame a nakoniec sa problém bude ľahšie riešiť.

Poznámka: Zákon kosínov:

Uvádza, že štvorec ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu ostatných dvoch strán a kosínusu zahrnutého uhla. Pre trojuholníky označené ako na obrázku 3, s uhlami α, β, α, β a γ, γ a protiľahlými zodpovedajúcimi stranami a, b, a, b, a c, c, je zákon kosínusov uvedený ako tri rovnice.

Obrázok 3

Na riešenie merania chýbajúcej strany je potrebné zodpovedajúce meranie opačného uhla.

Pri riešení uhla je potrebná zodpovedajúca miera na opačnej strane. Na riešenie uhla môžeme použiť inú verziu Zákona kozínov.

Ako:

Vzhľadom na dve strany a uhol medzi nimi (SAS) nájdite miery zostávajúcej strany a uhly trojuholníka.

  1. Načrtnite trojuholník. Určte miery známych strán a uhlov. Použite premenné na vyjadrenie mier neznámych strán a uhlov.
  2. Použite zákon kozínov na zistenie dĺžky neznámej strany alebo uhla.
  3. Použite kosínus alebo nájdite mieru druhého uhla.
  4. Vypočítajte mieru zostávajúceho uhla.

Príklad 1

Úloha 1

Nájdenie neznámej strany a uhlov trojuholníka SAS

Na obrázku 4 nájdite neznámu stranu a uhly trojuholníka.

Obrázok 4
Riešenie

Najskôr si všimnite, čo je dané: dve strany a uhol medzi nimi. Táto dohoda je klasifikovaná ako SAS a poskytuje údaje potrebné na uplatnenie zákona o kozínoch.

Každý jeden z troch zákonov kosínu začína štvorcom neznámej strany oproti známemu uhlu. Pre tento príklad je prvou stranou, ktorú treba vyriešiť, strana b, b, keďže poznáme meranie opačného uhla β. β.

Pretože riešime dĺžku, použijeme iba kladnú druhú odmocninu. Teraz, keď poznáme dĺžku b, b, môžeme pomocou sinusového zákona vyplniť zostávajúce uhly trojuholníka. Riešenie pre uhol α, α, máme

Ďalšou možnosťou pre α α by bolo α = 180 ° - 56,3 ° ≈ 123,7 °. α = 180 ° - 56,3 ° ≈ 123,7 °. V pôvodnom diagrame α α susedí s najdlhšou stranou, takže α α je ostrý uhol, a preto 123,7 ° 123,7 ° nemá zmysel. Všimnite si, že ak sa rozhodneme použiť, dospejeme k jedinečnej odpovedi. Ostatné možnosti brať do úvahy nemusíme, pretože kosínus je jedinečný pre uhly medzi 0 ° 0 ° a 180 °. 180 °. Postupujúc s α ≈ 56,3 °, α ≈ 56,3 °, môžeme nájsť tretí uhol trojuholníka.


Preskúmanie

Pomocou zákona kosínusov nájdite v úlohách 1 až 6 hodnotu (x ) na najbližší stupeň.


  1. Obrázok ( PageIndex <3> )

  2. Obrázok ( PageIndex <4> )

  3. Obrázok ( PageIndex <5> )

  4. Obrázok ( PageIndex <6> )

  5. Obrázok ( PageIndex <7> )

  6. Obrázok ( PageIndex <8> )
  7. Nájdite mieru najmenšieho uhla v trojuholníku s dĺžkami strán 150, 165 a 200 metrov.
  8. Nájdite mieru najväčšieho uhla v trojuholníku s dĺžkou strany 59, 83 a 100 metrov.
  9. Nájdite (m uhol C ) ak (a = 6 ), (b = 9 ) a (c = 13 ).
  10. Nájdite (m uhol B ) ak (a = 15 ), (b = 8 ) a (c = 9 ).
  11. Nájdite (m uhol A ) ak (a = 24 ), (b = 20 ) a (c = 14 ).
  12. Trojuholníkový pozemok je ohraničený cestou, plotom a potokom. Ak je úsek pozdĺž cesty 100 metrov, dĺžka plotu 115 metrov a strana pozdĺž potoka 90 metrov, v akom uhle sa plot a cesta stretávajú?

Odpovede na problémy s kontrolou

Ak chcete vidieť Odpovede na recenziu, otvorte tento súbor PDF a vyhľadajte sekciu 13.16.


ZÁKON KOZÍN

POUŽÍVAME ZÁKON O KOSINÁCH A ZÁKON O HRIECHOCH na riešenie trojuholníkov, ktoré nie sú pravouhlé. Takéto trojuholníky sa nazývajú šikmé trojuholníky. Zákon kosínov sa používa oveľa širšie ako zákon sínusový. Konkrétne, keď poznáme dve strany trojuholníka a ich zahrnutý uhol, potom zákon kosínusov umožňuje nájsť tretiu stranu.

Ak teda poznáme strany a a b a ich zahrnutý uhol & theta, potom zákon kosínov tvrdí:

(Zákon kozínov je rozšírením Pytagorovej vety, pretože ak by & theta boli pravý uhol, mali by sme c 2 = a 2 + b 2.)

Príklad 1. V trojuholníku DEF strana e = 8 cm, f = 10 cm a uhol v D je 60 °. Nájdite stranu d.

Riešenie. . Poznáme dve strany a ich zahrnutý uhol. Preto podľa Zákona o kozínoch:

d 2 = e 2 + f 2 & mínus 2 ef cos 60 & deg

Úloha 1. V šikmom trojuholníku ABC nájdite stranu b, ak strana a = 5 cm, c = cm, a zahŕňajú a uhol 45 °. Žiadne tabuľky.

Ak chcete vidieť odpoveď, prejdite kurzorom myši nad farebnou oblasťou.
Ak chcete odpovedať znova, kliknite na tlačidlo „Obnoviť“ („Načítať“).

b 2 = a 2 + c 2 & mínus 2 ac cos 45 °

Úloha 2. V šikmom trojuholníku PQR nájdite stranu r, ak strana p = 5 palcov, q = 10 palcov, a zahŕňajú a uhol 14 °. (Tabuľka)

r 2 = 5 2 + 10 2 & mínus 2 & middot 5 & middot 10 cos 14 & deg

= 25 + 100 a mínus 100 (0,970), z tabuľky.

Príklad 2. V príklade 1 sme zistili, že d =, čo je približne 9,17.

Na dokončenie riešenia trojuholníka DEF použite sinusový zákon. To znamená nájsť uhly E a F.

Riešenie. Na nájdenie uhla F máme túto verziu Neznáme
Známe
:

hriech F
hriech D
= f
d
hriech F
hriech 60 stupňov
= 10
9.17
hriech F = (.866) 10
9.17
od stola,
.944 pomocou kalkulačky.

Preto pri kontrole tabuľky, či uhol, ktorého sínus je najbližší k 0,944,

Uhol E = 180 stupňov a mínus (71 stupňov a 60 stupňov)
= 180 stupňov a mínus 131 stupňov
= 49 °

A tak sme pomocou Zákonov sínusov a kosínusov úplne vyriešili trojuholník.

Zákon kosínusov platí aj vtedy, keď je zahrnutý uhol tupý. Ale v takom prípade je kosínus negatívny. Pozri tému 16.

Dôkaz zákona o kozínoch

Nech ABC je trojuholník so stranami a, b, c. Ukážeme

c 2 = a 2 + b 2 & mínus 2 ab cos C.

(Goniometrické funkcie sú definované v zmysle pravouhlého trojuholníka. Preto môžeme dokázať čokoľvek iba pomocou pravouhlých trojuholníkov)

Nakreslite BD kolmo na CA a rozdeľte trojuholník ABC na dva pravé trojuholníky BDC, BDA. BD je výška h trojuholníka ABC.

Volajte CD x. Potom DA je celé b mínus segment x: b & mínus x.

Teraz v pravom trojuholníku BDC podľa Pytagorovej vety

Pre h 2, dosadme riadok (2):

c 2 = a 2 & mínus x 2 + b 2 & mínus 2 bx + x 2

Nakoniec pre x dosadme riadok (1):

c 2 = a 2 + b 2 & mínus 2 b & stredná bodka a cos C.

c 2 = a 2 + b 2 & mínus 2 ab cos C.

To sme chceli dokázať.

Rovnakým spôsobom by sme to mohli dokázať

a 2 = b 2 + c 2 & mínus 2 bc cos A

b 2 = a 2 + c 2 & mínus 2 ac cos B.

Toto je zákon kozínov.

Poskytnite dar, aby bola stránka TheMathPage online.
Pomôže dokonca 1 dolár.


4.1.9: Aplikácia zákona o kozinuse

Vzťah medzi tromi stranami a uhol pre nepravé trojuholníky.

Keď budete pomáhať svojej mame piecť jeden deň, dostanete vy dvaja neobvyklý nápad. Chcete nakrájať koláč na kúsky a potom každý kúsok zamrznúť na povrchu. Začnete tým, že si vykrojíte plátok koláča, ale ten plátok nevykrojíte úplne správne. Nakoniec to bude šikmý trojuholník, ktorý má stranu 5 palcov, stranu 6 palcov a uhol (70 ^ < circle> ) medzi stranami, ktoré ste merali. Môžete pomôcť svojej matke určiť dĺžku tretej strany, aby mohla prísť na to, koľko polevy uhasiť?

Zákon kosínov

Zákon kozínov je fantastickým rozšírením Pytagorovej vety o šikmých trojuholníkoch. V tejto časti si ukážeme niekoľko zaujímavých spôsobov, ako využiť tento vzorec na analýzu situácií v reálnom svete.

Poďme sa pozrieť na niekoľko problémov, pri ktorých používame Zákon kozínov.

1. Pri hre s biliardom musí hráč vložiť loptu s ôsmimi loptičkami do ľavého dolného vrecka stola. Momentálne je loptička s osmičkou vzdialená 6,8 stôp od ľavého dolného vrecka. Kvôli polohe bielej gule však musí strelu z pravého bočného nárazníka nakloniť. Ak je loptička s veľkosťou 8 stôp vzdialená 2,1 stopy od miesta na nárazníku, musí udrieť a vytvorí s vreckom a bodom na nárazníku uhol (168 ^ < circle> ), v akom uhle musí byť loptička opustiť nárazník?

Obrázok ( PageIndex <1> )

Poznámka: Toto je vlastne trikový výstrel, ktorý sa uskutoční roztočením ôsmej gule, a táto osmička sa v skutočnosti nebude pohybovať v priamych dráhach. Na zjednodušenie problému však predpokladajme, že sa pohybuje po priamkach.

Vo vyššie uvedenom scenári máme SAV prípade, čo znamená, že na začatie riešenia tohto problému musíme použiť Kozinov zákon. Zákon kosínov nám umožní zistiť vzdialenosť od miesta na nárazníku k vrecku (y). Keď poznáme y, pomocou sinusového zákona nájdeme uhol (X).

2. Vzdialenosť od miesta na nárazníku k vrecku je 8,86 stôp. Teraz môžeme použiť túto vzdialenosť a Sinov zákon na nájdenie uhla X. Pretože nachádzame uhol, čelíme prípadu SSA, čo znamená, že nemôžeme mať žiadne riešenie, jedno riešenie alebo dve riešenia. Pretože však poznáme všetky tri strany, tento problém prinesie iba jedno riešenie.

V predchádzajúcom príklade sme sa pozreli na to, ako môžeme spoločne použiť sinusový zákon a kosínový zákon na vyriešenie problému týkajúceho sa prípadu SSA. V tejto časti sa pozrieme na situácie, keď môžeme použiť nielen sinusový zákon a zákon kosínusov, ale aj Pytagorovu vetu a trigonometrické pomery. Pozrime sa tiež na ďalšiu aplikáciu v reálnom svete zahŕňajúcu prípad SSA.

3. Traja vedci pripravujú zariadenie na zhromažďovanie údajov o miestnej hore. Osoba 1 je vzdialená 131,5 metrov od osoby 2, ktorá je vzdialená 67,8 metrov od osoby 3. Osoba 1 je vzdialená 72,6 metrov od hory. Hory tvoria u osoby 1 a osoby 3 uhol (103 ^ < circ> ), zatiaľ čo Osoba 2 uhol 1 (u osoby 1 a osoby 3), uhol (92,7 ^ < circ> ). Osoba 3 s osobou 1 a na horu.

Obrázok ( PageIndex <2> )

V trojuholníku tvorenom tromi ľuďmi poznáme dve strany a zahrnutý uhol (SAS). Pomocou zákona kozínov nájdeme zostávajúcu stranu tohto trojuholníka, ktorú budeme nazývať x. Keď poznáme x, vytvoríme dve strany a nezahrnutý uhol (SSA) v trojuholníku tvorenom osobou 1, osobou 2 a horou. Potom budeme môcť pomocou sinusového zákona vypočítať uhol tvorený osobou 3 s osobou 1 a horou, ktorú budeme označovať ako (Y ).

Teraz, keď vieme (x = 150,8 ), môžeme pomocou sinusového zákona nájsť (Y ). Pretože sa jedná o prípad SSA, musíme skontrolovať, či nebudeme mať žiadne riešenie, jedno riešenie alebo dve riešenia. Od verzie 150.8 a gt72.6 vieme, že budeme mať iba jedno riešenie tohto problému.

4. Katie konštruuje draka v tvare trojuholníka.

Obrázok ( PageIndex <3> )

Vie, že dĺžky strán sú a = 13 palcov, b = 20 palcov a c = 19 palcov. Aká je miera uhla medzi stranami & ( (a ) & quot a & ( b))?

Pretože pozná dĺžku každej zo strán trojuholníka, môže pomocou zákona kosínusov nájsť požadovaný uhol:

Predtým vás požiadali, aby ste určili dĺžku tretej strany.

Pomocou zákona o kosinuse môžete pomôcť svojej mame zistiť dĺžku tretej strany koláča:

Kus koláča je len niečo málo cez 9 palcov dlhý.

Striháte do školy trojuholník, ktorý vyzerá takto:

Obrázok ( PageIndex <4> )

Nájdite stranu (c ) (čo je strana oproti uhlu (14 ^ < circ> )) a ( uhol B ) (čo je uhol oproti strane, ktorá má dĺžku 14).

Viete, že dve zo strán majú dĺžku 11 a 14 palcov a že uhol medzi nimi je (14 ^ < circ> ). Môžete to použiť na zistenie dĺžky tretej strany:

A s týmto môžete použiť sinusový zákon na riešenie neznámeho uhla:

Počas turistiky jeden deň kráčate 2 míle jedným smerom. Potom zabočíte (110 ^ < circ> ) doľava a kráčate ďalšie 3 míle. Vaša cesta vyzerá takto:

Obrázok ( PageIndex <5> )

Keď znova odbočíte doľava, aby ste dokončili trojuholník, ktorý je vaším denným turistickým chodníkom, ako ďaleko budete musieť prejsť, aby ste dokončili tretiu stranu? Aký uhol by ste mali otočiť, skôr ako sa vydáte späť domov?

Pretože poznáte dĺžky dvoch nôh trojuholníka, spolu s uhlom medzi nimi, môžete pomocou kosínového zákona zistiť, ako ďaleko budete musieť kráčať pozdĺž tretej nohy:

Teraz máte dostatok informácií na to, aby ste vyriešili vnútorný uhol trojuholníka, ktorý je doplnkom k uhlu, ktorý musíte otočiť:

Uhol (48,25 ^ < circ> ) je vnútorný uhol trojuholníka. Mali by ste teda otočiť (90 ^ < circ> + (90 ^ < circ> & mínus 48,25 ^ < circ>) = 90 ^ < circ> + 41,75 ^ < circ> = 131,75 ^ < circ> ) doľava pred odchodom domov.

Opora na stavbe sa používa na pridržanie dosky tak, aby vytvorila trojuholník, napríklad takto:

Obrázok ( PageIndex <6> )

Ak je uhol medzi podperou a zemou (17 ^ < circ> ), je dĺžka podpery 2,5 metra a vzdialenosť medzi doskami, ktoré sa dotýkajú zeme a spodkom podpery, je 3 metre, ako ďaleko pozdĺž dosky sa dotýka podpora? Aký je uhol medzi doskou a zemou?

Najprv by ste mali použiť zákon kozínov na vyriešenie vzdialenosti od zeme po miesto, kde sa podpora stretáva s doskou:


Zákon kosínov

The Zákon kosínov sa používa na nájdenie zostávajúcich častí šikmého (nespravného) trojuholníka, keď je známa buď dĺžka dvoch strán a miera zahrnutého uhla (SAS), alebo dĺžky troch strán (SSS).V obidvoch z týchto prípadov je nemožné použiť sinusový zákon, pretože nemôžeme stanoviť riešiteľný podiel.

Zákon o kozínoch uvádza:

c 2 = a 2 + b 2 & mínus 2 a b & thinsp & thinsp cos C.

Toto sa podobá Pytagorovej vete s výnimkou tretieho člena a ak C je pravý uhol, tretí člen sa rovná 0, pretože kosínus 90 & deg je 0 a dostaneme Pytagorovu vetu. Pytagorova veta je teda zvláštnym prípadom Zákona kozínov.

Zákon kozínov možno tiež uviesť ako

b 2 = a 2 + c 2 & mínus 2 a c & thinsp & thinsp cos B alebo

a 2 = b 2 + c 2 & mínus 2 b c & thinsp & thinsp cos A.

Príklad 1: Dve strany a zahrnutý uhol-SAS

Dané a = 11, b = 5 a m a C = 20 °. Nájdite zostávajúcu stranu a uhly.

c 2 = a 2 + b 2 & mínus 2 a b & thinsp & thinsp cos C

c = a 2 + b 2 & mínus 2 a b & thinsp & thinsp cos C

& thinsp & thinsp = 11 2 + 5 2 & mínus 2 (11) (5) (cos 20 a deg)

Na nájdenie zostávajúcich uhlov je teraz najjednoduchšie použiť sinusový zákon.

Upozorňujeme, že uhol A je oproti najdlhšej strane a trojuholník nie je pravý trojuholník. Keď teda použijete inverznú hodnotu, musíte vziať do úvahy tupý uhol, ktorého sínus je 11 sín (20 stupňov) 6,53 a asymp 0,5761.

Príklad 2: Tri strany-SSS

Dané a = 8, b = 19 a c = 14. Nájdite miery uhlov.

Najlepšie je nájsť najskôr uhol oproti najdlhšej strane. V tomto prípade je to strana b.

cos B = b 2 & mínus a 2 & mínus c 2 & mínus 2 a c = 19 2 & mínus 8 2 & mínus 14 2 & mínus 2 (8) (14) & asymp & mínus 0,45089

Pretože cos B je záporný, vieme, že B je tupý uhol.

Pretože B je tupý uhol a trojuholník má najviac jeden tupý uhol, vieme, že uhol A aj uhol C sú ostré.


Nepravé trojuholníky: zákon kosínov

Predpokladajme, že čln opustí prístav, prejde 10 míľ, otočí sa o 20 stupňov a prejde ďalších 8 míľ, ako je to znázornené na obrázku (Obrázok). Ako ďaleko od prístavu je loď?

Postava 1.

Bohužiaľ, zatiaľ čo zákon Sines nám umožňuje riešiť mnoho prípadov pravouhlých trojuholníkov, nepomáha nám pri trojuholníkoch, kde je známy uhol medzi dvoma známymi stranami, trojuholníkom SAS (bočný uhol-bočný), alebo keď sú všetky tri strany sú známe, ale nie sú známe žiadne uhly, trojuholník SSS (side-side-side). V tejto časti preskúmame ďalší nástroj na riešenie šikmých trojuholníkov opísaných v týchto dvoch posledných prípadoch.

Využitie zákona kozínov na riešenie šikmých trojuholníkov

Nástrojom, ktorý potrebujeme na vyriešenie problému so vzdialenosťou člna od prístavu, je Zákon kosínov, ktorá definuje vzťah medzi meraniami uhlov a dĺžkami strán v šikmých trojuholníkoch. Zákon o kozínoch tvoria tri vzorce. Na prvý pohľad sa vzorce môžu zdať komplikované, pretože obsahujú veľa premenných. Akonáhle je však vzor pochopený, s kosínovým zákonom sa dá ľahšie pracovať ako s väčšinou vzorcov na tejto matematickej úrovni.

Pochopenie toho, ako sa odvodzuje zákon kozínov, pomôže pri používaní vzorcov. Derivácia začína zovšeobecnenou Pytagorovou vetou, ktorá je rozšírením Pytagorovej vety o nepravé trojuholníky. Funguje to takto: Ľubovoľný nepravý trojuholníkje umiestnený v súradnicovej rovine s vrcholompri vzniku, stranenakreslené pozdĺž X-osa a vrcholnachádza sa v určitom okamihuv rovine, ako je znázornené na (obrázku). Spravidla existujú trojuholníky kdekoľvek v rovine, ale pre toto vysvetlenie umiestnime trojuholník tak, ako je uvedené.

Obrázok 2.

Môžeme klesnúť kolmo zdo X-os (to je nadmorská výška alebo výška). Pripomíname základné trigonometrické identity, vieme to

V zmysleaThebod nachádzajúci sa namá súradnicePomocou bočnej stranyako jedna noha pravého trojuholníka aako druhú nohu môžeme zistiť dĺžku preponypomocou Pytagorovej vety. Teda

Odvodený vzorec je jednou z troch rovníc Zákona kozínov. Ostatné rovnice sa nachádzajú podobným spôsobom.

Majte na pamäti, že pri riešení uhlov alebo strán je vždy užitočné načrtnúť trojuholník. V scenári zo skutočného sveta sa pokúste nakresliť diagram situácie. Keď sa objaví viac informácií, bude možno potrebné diagram zmeniť. Vykonajte tieto zmeny v diagrame a nakoniec sa problém bude ľahšie riešiť.

Zákon kosínov

Zákon kosínov tvrdí, že štvorec ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu ostatných dvoch strán a kosínusu zahrnutého uhla. Pre trojuholníky označené ako na obrázku (Obrázok), s uhlami a a protiľahlé zodpovedajúce strany aZákon kosínov je daný ako tri rovnice.

Obrázok 3.

Na riešenie merania chýbajúcej strany je potrebné zodpovedajúce meranie opačného uhla.

Pri riešení uhla je potrebná zodpovedajúca miera na opačnej strane. Na riešenie uhla môžeme použiť inú verziu Zákona kozínov.

Vzhľadom na dve strany a uhol medzi nimi (SAS) nájdite miery zostávajúcej strany a uhly trojuholníka.

  1. Načrtnite trojuholník. Určte miery známych strán a uhlov. Použite premenné na vyjadrenie mier neznámych strán a uhlov.
  2. Použite zákon kozínov na zistenie dĺžky neznámej strany alebo uhla.
  3. Použite zákon sinusov alebo kosínusov na nájdenie miery druhého uhla.
  4. Vypočítajte mieru zostávajúceho uhla.

Nájdenie neznámej strany a uhlov trojuholníka SAS

Nájdite neznámu stranu a uhly trojuholníka v (obrázok).

Obrázok 4.

Najskôr si všimnite, čo je dané: dve strany a uhol medzi nimi. Táto dohoda je klasifikovaná ako SAS a poskytuje údaje potrebné na uplatnenie zákona o kozínoch.

Každý jeden z troch zákonov kosínu začína štvorcom neznámej strany oproti známemu uhlu. Pre tento príklad je prvou stranou, ktorú treba vyriešiť, stranaako poznáme meranie opačného uhla

Pretože riešime dĺžku, použijeme iba kladnú druhú odmocninu. Teraz, keď vieme dĺžkumôžeme použiť sinusový zákon na vyplnenie zostávajúcich uhlov trojuholníka. Riešenie pre uholmáme

Iná možnosť prebolo byV pôvodnom diagramesusedí s najdlhšou stranou, takžeje ostrý uhol, a pretonedáva zmysel. Všimnite si, že ak sa rozhodneme uplatniť zákon kozínov, dospejeme k jedinečnej odpovedi. Nemusíme brať do úvahy ďalšie možnosti, pretože kosínus je jedinečný pre uhly medziaPokračujem spotom môžeme nájsť tretí uhol trojuholníka.

Kompletná sada uhlov a strán je

[/ skrytá odpoveď]

Zákon kozínov

Ako vidíte na predchádzajúcom obrázku, prípad I uvádza, že musíme poznať v cene uhol. Poďme preskúmať, či je to skutočne nevyhnutné alebo nie.

Interaktívne Ukážka vzorec zákona o kozínoch

Interaktívna ukážka uvedená nižšie ilustruje vzorec zákona kosínov v akcii. Ťahaním okolo bodov v trojuholníku sledujte, kto funguje. Skúste kliknúť na začiarkavacie políčko „Pravý trojuholník“ a preskúmajte, ako tento vzorec súvisí s Pytagorovou vetou. (Applet sám o sebe)

Príklady

Príklad 1

Dané: 2 strany a 1 uhol

$ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac cdot text(44) červená x ^ 2 = 14 ^ 2 + 10 ^ 2 -2 cdot 14 cdot 10 text(44 ^ circ) red x ^ 2 = 14 ^ 2 + 10 ^ 2 -2 cdot 14 cdot 10 text(44 ^ circ) red x ^ 2 = 296 -280 text(44 ^ circ) red x ^ 2 = 94,5848559051777 red x = sqrt <94,5848559051777> red x = 9,725474585087234 $

Príklad 2

Dané: 3 strany

$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cdot text( red A) 25 ^ 2 = 32 ^ 2 + 37 ^ 2 -2 cdot 32 cdot 37 cdot text( red A) 625 = 2393 - 2368 cdot text( red A) frac <625-2393> <- 2368> = cos ( red A) 0,7466216216216216 = cos ( red A) red A = cos ^ <-1> (0,7466216216216216) red A = 41.70142633732469 ^ circ $

Prax Problém

Problémy uvedené nižšie sú tie, ktoré vás požiadajú o použitie vzorca na riešenie priamych otázok. Ak sa začnú zdať príliš ľahké, vyskúšajte naše náročnejšie problémy.

Úloha 1

Na výpočet dĺžky strany C použite vzorec zákona kosínov.

Ukáž odpoveď

$ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cdot text(66 ^ circ) c ^ 2 = 20 ^ 2 + 13 ^ 2 - 2 cdot20 cdot 13 cdot text(66 ^ circ) c ^ 2 = 20 ^ 2 + 13 ^ 2 - 2 cdot20 cdot 13 cdot text(66 ^ circ) c ^ 2 = 357,4969456005839 c = sqrt <357,4969456005839> c = 18,907589629579544 $

Problém 2

Použite vzorec zákona kosínusov na výpočet miery $ uhol x $

Ukáž odpoveď

$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cdot text(A) x ^ 2 = y ^ 2 + z ^ 2 - 2yz cdot text(X) 14 ^ 2 = 20 ^ 2 + 12 ^ 2 - 2 cdot 20 cdot 12 cdot text(X) 196 = 544-480 cdot text(X) frac <196 -544> <480> = text(X) 0,725 = text(X) X = cos ^ <-1> (0,725) X = 43,531152167372454 $

Problém 3

Na výpočet dĺžky strany b použite vzorec zákona kosínusov.

Ukáž odpoveď

$ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac cdot text(115 ^ circ) b ^ 2 = 16 ^ 2 + 5 ^ 2 - 2 cdot 16 cdot 5 text (115 ^ circ) b ^ 2 = 294.523784375712 b = sqrt <294,523784375712> b = 17,1616952652036098 $

Úloha 4

Na výpočet X použite vzorec kosínusového vzorca.

Ukáž odpoveď

$ x ^ 2 = 17 ^ 2 + 28 ^ 2 - 2 cdot 17 cdot 28 text (114 ^ circ) x ^ 2 = 1460.213284208162 x = sqrt <1460.213284208162> x = 38,21273719858552 $

Úloha 5

Pozrite sa na tri trojuholníky nižšie. Pre ktoré z nich môžete pomocou kosínusového zákona zistiť dĺžku neznámej strany, strany a ?

$ fbox red a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cdot cos (A) red a ^ 2 = 18,5 ^ 2 + 16 ^ 2 - 2 cdot 18,5 cdot 16 cdot cos (44 ^ circ) red a ^ 2 = 144,751689673565 red a = sqrt <144,751689673565> = 12,031279635748021 $

$ fbox red a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cdot cos (A) red a ^ 2 = 18,5 ^ 2 + 16 ^ 2 - 2 cdot 18,5 cdot 16 cdot cos ( farba) $

Pretože nepoznáme zahrnutý uhol, $ uhol A $, náš vzorec nepomáha - skončíme 1 rovnicou a 2 neznámymi.

$ fbox red a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cdot cos (A) red a ^ 2 = 18,5 ^ 2 + 16 ^ 2 - 2 cdot 18,5 cdot 16 cdot cos ( červená A) $

Pretože nepoznáme zahrnutý uhol, $ uhol A $, náš vzorec nepomáha - skončíme 1 rovnicou a 2 neznámymi.

Úloha 6

Hodnotu x v nižšie uvedenom trojuholníku môžeme zistiť pomocou zákona kosínov alebo Pytagorovej vety. Aké závery môžete vyvodiť zo vzťahu týchto dvoch vzorcov?

$ fbox x ^ 2 = 73,24 ^ 2 + 21 ^ 2 - 2 cdot 73,24 cdot 21 text (90 ^ circ) text red < text(90 ^ circ) = 0> x ^ 2 = 73,24 ^ 2 + 21 ^ 2 - 2 cdot 73,24 cdot 21 cdot red 0 x ^ 2 = 73,24 ^ 2 + 21 ^ 2 - červená 0 ​​ x ^ 2 = 73,24 ^ 2 + 21 ^ 2 fbox a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 a ^ 2 = 73,24 ^ 2 + 21 ^ 2 $

Ako vidíte, Pytagorova veta je v súlade so zákonom kosínusov. Ukázalo sa, že Pytagorova veta je len zvláštnym prípadom zákona kozínov.


Pozri si video: Matematică; cl. VII-a, Proprietăți ale triunghiului dreptunghic (December 2021).