Články

2.4: Komplexné čísla - matematika


Učebné ciele

  • Sčítajte a odčítajte komplexné čísla.
  • Znásobte a vydelte komplexné čísla.
  • Riešte kvadratické rovnice s komplexnými číslami

Sada Mandelbrot, ktorú objavil Benoit Mandelbrot okolo roku 1980, je jedným z najznámejších fraktálnych obrázkov. Obrázok je postavený na teórii sebapodobnosti a fungovania iterácie. Priblíženie fraktálneho obrazu prináša veľa prekvapení, najmä vo vysokej miere opakovania detailov, ktorá sa objavuje pri zvýšení zväčšenia. Rovnica, ktorá generuje tento obrázok, sa ukazuje ako dosť jednoduchá.

Aby sme tomu lepšie porozumeli, musíme sa oboznámiť s novou množinou čísel. Majte na pamäti, že štúdium matematiky neustále nadväzuje na seba. Napríklad záporné celé čísla vyplňujú prázdnotu, ktorá zostala po súbore kladných celých čísel. Množina racionálnych čísel zasa vypĺňa prázdnotu, ktorá zostala po množine celých čísel. Množina reálnych čísel vypĺňa prázdnotu zanechanú množinou racionálnych čísel. Nie je prekvapením, že množina reálnych čísel má tiež prázdne miesta. V tejto časti preskúmame množinu čísel, ktorá vyplní prázdne množiny reálnych čísel, a zistíme, ako v nej pracovať.

Vyjadrenie štvorcových záporných čísel ako násobkov (i )

Vieme, ako nájsť druhú odmocninu ľubovoľného kladného reálneho čísla. Podobným spôsobom môžeme nájsť druhú odmocninu ľubovoľného záporného čísla. Rozdiel je v tom, že koreň nie je skutočný. Ak je hodnota v rádii záporná, o odmocnine sa hovorí ako o imaginárnom čísle. Pomyselné číslo (i ) je definované ako druhá odmocnina z (- 1 ).

[ sqrt {-1} = i ]

Takže pomocou vlastností radikálov

[i ^ 2 = ( sqrt {-1}) ^ 2 = -1 ]

Môžeme napísať druhú odmocninu ľubovoľného záporného čísla ako násobok (i ). Zvážte druhú odmocninu (- 49 ).

[ begin {align *} sqrt {-49} & = sqrt {49 times (-1)} [4pt] & = sqrt {49} sqrt {-1} [4pt] & = 7i end {align *} ]

Používame (7i ) a nie (- 7i ), pretože hlavný koreň (49 ) je pozitívny koreň.

Komplexné číslo je súčtom skutočného čísla a imaginárneho čísla. Komplexné číslo je vyjadrené v štandardnej forme, keď je napísané (a + bi ), kde (a ) je skutočná časť a (b ) je imaginárna časť. Napríklad (5 + 2i ) je komplexné číslo. Tiež je (3 + 4i sqrt {3} ).

Imaginárne čísla sa líšia od skutočných čísel v tom, že štvorcové imaginárne číslo vytvára negatívne reálne číslo. Pripomeňme si, že keď je kladné reálne číslo na druhú, výsledkom je kladné reálne číslo a keď je záporné reálne číslo na druhú, výsledkom je aj kladné reálne číslo. Komplexné čísla pozostávajú z reálnych a imaginárnych čísel.

Pojem: IMAGINÁRNE A KOMPLEXNÉ ČÍSLA

A komplexné číslo je číslo v tvare (a + bi ), kde

  1. (a ) je skutočná časť komplexného čísla.
  2. (b ) je imaginárna časť komplexného čísla.

Ak (b = 0 ), potom (a + bi ) je reálne číslo. Ak sa (a = 0 ) a (b ) nerovná (0 ), komplexné číslo sa nazýva číre imaginárne číslo. An imaginárne číslo je párny koreň záporného čísla.

Ako: Vzhľadom na imaginárne číslo ho vyjadrte v štandardnej podobe komplexného čísla

  1. Napíšte ( sqrt {-a} ) ako ( sqrt {a} sqrt {-1} ).
  2. Express ( sqrt {-1} ) ako (i ).
  3. Napíšte ( sqrt {a} krát i ) v najjednoduchšej forme.

Príklad ( PageIndex {1} ): Vyjadrenie imaginárneho čísla v štandardnom tvare

Express ( sqrt {-9} ) v štandardnom tvare.

Riešenie

[ begin {align *} sqrt {-9} & = sqrt {9} sqrt {-1)} [4pt] & = 3i [4pt] end {align *} ]

V štandardnom tvare je to (0 + 3i ).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Express ( sqrt {-24} ) v štandardnom tvare.

Odpoveď

( sqrt {-24} = 0 + 2i sqrt {6} )

Vynesenie komplexného čísla na komplexnú rovinu

Nemôžeme vykresliť komplexné čísla na číselnej čiare, pretože by sme mohli reálne čísla. Stále ich však môžeme znázorniť graficky. Aby sme predstavovali komplexné číslo, musíme sa zaoberať dvoma zložkami čísla. Používame zložitá rovina, čo je súradnicový systém, v ktorom vodorovná os predstavuje skutočnú zložku a zvislá os predstavuje imaginárnu zložku. Komplexné čísla sú body v rovine vyjadrené ako usporiadané páry ((a, b) ), kde (a ) predstavuje súradnicu pre vodorovnú os a (b ) predstavuje súradnicu pre zvislú os.

Uvažujme číslo (- 2 + 3i ). Skutočná časť komplexného čísla je (- 2 ) a imaginárna časť je (3 ). Vynesieme usporiadaný pár ((- 2,3) ), ktorý predstavuje komplexné číslo (- 2 + 3i ), ako je znázornené na obrázku ( PageIndex {2} ).

KOMPLEXNÁ ROVINA

V komplexnej rovine je vodorovná os skutočnou osou a vertikálna osou imaginárnou osou, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {3} ).

Ako: Vzhľadom na komplexné číslo predstavuje jeho komponenty v komplexnej rovine

  1. Určte skutočnú časť a imaginárnu časť komplexného čísla.
  2. Pohybujte sa pozdĺž vodorovnej osi, aby ste zobrazili skutočnú časť čísla.
  3. Pohybujte sa rovnobežne so zvislou osou, aby sa zobrazila imaginárna časť čísla.
  4. Vyneste bod.

Príklad ( PageIndex {2} ): Vynesenie komplexného čísla do komplexnej roviny

Vynesieme komplexné číslo (3−4i ) na komplexnú rovinu.

Riešenie

Skutočná časť komplexného čísla je (3 ) a imaginárna časť je (- 4 ). Vynesieme usporiadaný pár ((3, −4) ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {4} ).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vyneste komplexné číslo (- 4 − i ) na komplexnú rovinu.

Odpoveď

Sčítanie a odčítanie zložitých čísel

Rovnako ako pri reálnych číslach, aj pri komplexných číslach môžeme vykonávať aritmetické operácie. Ak chcete sčítať alebo odčítať zložité čísla, skombinujeme reálne časti a potom spojíme imaginárne časti.

KOMPLEXNÉ ČÍSLA: DODATOK A ODBER

Sčítanie komplexných čísel:

[(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i ]

Odčítanie komplexných čísel:

[(a + bi) - (c + di) = (a − c) + (b − d) i ]

Ako: Vzhľadom na dve komplexné čísla nájdite súčet alebo rozdiel

  1. Identifikujte skutočnú a imaginárnu časť každého čísla.
  2. Sčítajte alebo odčítajte skutočné časti.
  3. Sčítajte alebo odčítajte imaginárne časti.

Príklad ( PageIndex {3} ): Sčítanie a odčítanie zložitých čísel

Sčítajte alebo odčítajte, ako je uvedené.

  1. ((3−4i) + (2 + 5i) )
  2. ((- - 5 + 7i) - (- 11 + 2i) )

Riešenie

  1. [ begin {align *} (3-4i) + (2 + 5i) & = 3-4i + 2 + 5i [4pt] & = 3 + 2 + (- 4i) + 5i [4pt] & = (3 + 2) + (- 4 + 5) i [4pt] & = 5 + i end {zarovnať *} ]
  2. [ begin {align *} (-5 + 7i) - (- 11 + 2i) & = -5 + 7i + 11-2i [4pt] & = -5 + 11 + 7i-2i [4pt ] & = (-5 + 11) + (7-2) i [4pt] & = 6 + 5i end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Odčítajte (2 + 5i ) od (3–4i ).

Odpoveď

((3 - 4i) - (2 + 5i) = 1 - 9i )

Násobenie zložitých čísel

Násobenie komplexných čísel je podobné ako násobenie dvojčlenov. Zásadný rozdiel je v tom, že s reálnou a imaginárnou časťou pracujeme osobitne.

Vynásobenie komplexného čísla skutočným číslom

Začnime vynásobením komplexného čísla skutočným číslom. Reálne číslo rozdelíme rovnako ako pri dvojčlene. Zvážte napríklad (3 (6 + 2i) ):

Ako: Vzhľadom na komplexné číslo a skutočné číslo vynásobte produkt, aby ste ho našli

  1. Použite distribučný majetok.
  2. Zjednodušiť.

Príklad ( PageIndex {4} ): Vynásobenie komplexného čísla skutočným číslom

Nájdite produkt (4 (2 + 5i) ).

Riešenie

Distribuujte (4 ).

[ begin {align *} 4 (2 + 5i) & = (4 cdot 2) + (4 cdot 5i) [4pt] & = 8 + 20i end {align *} ]

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Nájdite produkt: ( dfrac {1} {2} (5−2i) ).

Odpoveď

( dfrac {5} {2} -i )

Znásobenie komplexných čísel dohromady

Teraz vynásobme dve komplexné čísla. Môžeme použiť buď distribučnú vlastnosť, alebo konkrétnejšie metódu FOIL, pretože máme do činenia s dvojčlenmi. Pripomeňme, že FOIL je skratka pre spoločné násobenie prvého, vnútorného, ​​vonkajšieho a posledného výrazu. Rozdiel od komplexných čísel je, že keď dostaneme štvorcový výraz, (i ^ 2 ), rovná sa (- 1 ).

[ begin {align *} (a + bi) (c + di) & = ac + adi + bci + bdi ^ 2 [4pt] & = ac + adi + bci-bd (-1) qquad i ^ 2 = -1 [4pt] & = ac + adi + bci-bd [4pt] & = (ac-bd) + (ad + bc) i end {align *} ]

Zoskupte reálne a imaginárne výrazy.

Ako: Vzhľadom na dve komplexné čísla produkt nájdite vynásobením

  1. Použite distribučnú vlastnosť alebo metódu FOIL.
  2. Pamätajte, že (i ^ 2 = -1 ).
  3. Zoskupte skutočné a imaginárne výrazy

Príklad ( PageIndex {5} ): Vynásobenie komplexného čísla komplexným číslom

Vynásobte ((4 + 3i) (2-5i) ).

Riešenie

[ begin {align *} (4 + 3i) (2-5i) & = 4 (2) -4 (5i) + 3i (2) - (3i) (5i) [4pt] & = 8- 20i + 6i-15 (i ^ 2) [4pt] & = (8 + 15) + (- 20 + 6) i [4pt] & = 23-14i end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Vynásobte: ((3−4i) (2 + 3i) ).

Odpoveď

(18 + i )

Delenie zložitých čísel

Delenie dvoch komplexných čísel je komplikovanejšie ako sčítanie, odčítanie alebo násobenie, pretože sa nemôžeme deliť imaginárnym číslom, čo znamená, že každá zlomok musí mať na napísanie odpovede v štandardnom tvare menovateľa skutočného čísla (a + bi ). Potrebujeme nájsť pojem, ktorým môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa, ktorý vylúči imaginárnu časť menovateľa, aby sme ako menovateľ nakoniec dostali reálne číslo. Tento termín sa nazýva komplexný konjugát menovateľa, ktorý sa zistí zmenou znamienka pomyselnej časti komplexného čísla. Inými slovami, komplexný konjugát (a + bi ) je (a − bi ). Napríklad súčin (a + bi ) a (a − bi ) je

[ begin {align *} (a + bi) (a-bi) & = a ^ 2-abi + abi-b ^ 2i ^ 2 [4pt] & = a ^ 2 + b ^ 2 end { zarovnať *} ]

Výsledkom je reálne číslo.

Všimnite si, že komplexné konjugáty majú opačný vzťah: Komplexný konjugát (a + bi ) je (a − bi ) a komplexný konjugát (a − bi ) je (a + bi ). Ďalej, ak má kvadratická rovnica so skutočnými koeficientmi komplexné riešenia, riešenia sú vždy komplexné konjugáty navzájom.

Predpokladajme, že chceme (c + di ) vydeliť (a + bi ), kde ani (a ), ani (b ) sa nerovná nule. Najprv napíšeme delenie ako zlomok, potom nájdeme komplexnú konjugáciu menovateľa a vynásobíme.

( dfrac {c + di} {a + bi} ) kde (a ≠ 0 ) a (b ≠ 0 )

Vynásobte čitateľa a menovateľa komplexným konjugátom menovateľa.

[ begin {align *} dfrac {(c + di)} {(a + bi)} cdot dfrac {(a-bi)} {(a-bi)}} = = dfrac {(c + di) (a-bi)} {(a + bi) (a-bi)} [4pt] & = dfrac {ca-cbi + adi-bdi ^ 2} {a ^ 2-abi + abi-b ^ 2i ^ 2} qquad text {Použiť distribučnú vlastnosť} [4pt] & = dfrac {ca-cbi + adi-bd (-1)} {a ^ 2-abi + abi-b ^ 2 ( -1)} qquad text {Zjednodušte, pamätajte na to} i ^ 2 = -1 [4pt] & = dfrac {(ca + bd) + (ad-cb) i} {a ^ 2 + b ^ 2} end {align *} ]

Definícia: KOMPLEXNÝ KONJUGÁT

Zložitý konjugát komplexného čísla (a + bi ) je (a − bi ). Zistí sa to zmenou znamienka imaginárnej časti komplexného čísla. Skutočná časť čísla zostáva nezmenená.

  1. Keď sa komplexné číslo vynásobí jeho komplexným konjugátom, výsledkom je reálne číslo.
  2. Keď sa k komplexnému konjugátu pridá komplexné číslo, výsledkom bude reálne číslo.

Príklad ( PageIndex {6} ): Hľadanie komplexných konjugátov

Nájdite komplexný konjugát každého čísla.

  1. (2 + i sqrt {5} )
  2. (- dfrac {1} {2} i )

Riešenie

  1. Číslo je už v tvare (a + bi ). Komplexný konjugát je (a − bi ) alebo (2 − i sqrt {5} ).
  2. Toto číslo môžeme prepísať do tvaru (a + bi ) ako (0− dfrac {1} {2} i ). Komplexný konjugát je (a-bi ) alebo (0+ dfrac {1} {2} i ). Toto je možné zapísať jednoducho ako ( dfrac {1} {2} i ).

Analýza

Aj keď sme videli, že môžeme nájsť komplexnú konjugáciu imaginárneho čísla, v praxi všeobecne nájdeme komplexné konjugáty iba komplexných čísel so skutočnou aj imaginárnou zložkou. Na získanie skutočného čísla z pomyselného čísla môžeme jednoducho vynásobiť (i ).

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Nájdite komplexný konjugát (- 3 + 4i ).

Odpoveď

(- 3−4i )

Ako: Vzhľadom na dve komplexné čísla vydelte jedno druhé

  1. Napíšte problém s rozdelením ako zlomok.
  2. Určte komplexný konjugát menovateľa.
  3. Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku komplexným konjugátom menovateľa.
  4. Zjednodušiť.

Príklad ( PageIndex {7} ): Delenie zložitých čísel

Vydeľte ((2 + 5i) ) ((4 − i) ).

Riešenie

Začneme písaním úlohy ako zlomku.

[ dfrac {(2 + 5i)} {(4 − i)} nonumber ]

Potom vynásobíme čitateľa a menovateľa komplexným konjugátom menovateľa.

[ dfrac {(2 + 5i)} {(4 − i)} ⋅ dfrac {(4 + i)} {(4 + i)} nonumber ]

Na vynásobenie dvoch komplexných čísel produkt rozšírime, ako by sme to robili s polynómami (pomocou FÓLIE).

[ begin {align *} dfrac {(2 + 5i)} {(4-i)} cdot dfrac {(4 + i)} {(4 + i)} & = dfrac {8 + 2i + 20i + 5i ^ 2} {16 + 4i-4i-i ^ 2} [4pt] & = dfrac {8 + 2i + 20i + 5 (-1)} {16 + 4i-4i - (- 1 )} ; i ^ 2 = -1 [4pt] & = dfrac {3 + 22i} {17} [4pt] & = dfrac {3} {17} + dfrac {22} {17i} end { zarovnať *} ]

Oddeľte skutočné a vymyslené časti.

Toto vyjadruje kvocient v štandardnej forme.

Zjednodušenie právomocí (i )

Sily (i ) sú cyklické. Pozrime sa, čo sa stane, keď zvýšime (i ) na zvyšujúce sa právomoci.

[i ^ 1 = i nonumber ] [i ^ 2 = -1 nonumber ] [i ^ 3 = i ^ 2⋅i = -1⋅i = -i nonumber ] [i ^ 4 = i ^ 3⋅i = -i⋅i = -i ^ 2 = - (- 1) = 1 nonumber ] [i ^ 5 = i ^ 4⋅i = 1⋅i = i nonumber ]

Vidíme, že keď sa dostaneme k piatej mocnine i, rovná sa prvej mocnine. Keď budeme ďalej množiť (i ) zvyšovaním síl, uvidíme cyklus štyroch. Pozrime sa na ďalšie štyri mocniny (i ).

[i ^ 6 = i ^ 5⋅i = i⋅i = i ^ 2 = -1 nonumber ] [i ^ 7 = i ^ 6⋅i = i ^ 2⋅i = i ^ 3 = -i nonumber ] [i ^ 8 = i ^ 7⋅i = i ^ 3⋅i = i ^ 4 = 1 nonumber ] [i ^ 9 = i ^ 8⋅i = i ^ 4⋅i = i ^ 5 = i nonumber ]

Cyklus sa opakuje nepretržite: (i, −1, −i, 1, ) každé štyri mocniny.

Príklad ( PageIndex {8} ): Zjednodušenie právomocí (i )

Vyhodnoťte: (i ^ {35} ).

Riešenie

Pretože (i ^ 4 = 1 ), môžeme problém zjednodušiť tak, že vyfaktorujeme čo najviac faktorov (i ^ 4 ). Ak to chcete urobiť, najskôr určte, koľkokrát (4 ) vstupuje do (35: 35 = 4⋅8 + 3 ).

[i ^ {35} = i ^ {4⋅8 + 3} = i ^ {4⋅8} ⋅i ^ 3 = {(i ^ 4)} ^ 8⋅i ^ 3 = i ^ 8⋅i ^ 3 = i ^ 3 = −i nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Vyhodnotiť: (i ^ {18} )

Odpoveď

(−1)

Otázky a odpovede

Môžeme napísať (i ^ {35} ) inými užitočnými spôsobmi?

Ako sme videli v príklade ( PageIndex {8} ), zredukovali sme (i ^ {35} ) na (i ^ 3 ) vydelením exponenta (4 ) a pomocou zvyšku nájdeme zjednodušená forma. Ale možno bude užitočnejšia iná faktorizácia (i ^ {35} ). Tabuľka ( PageIndex {1} ) zobrazuje niektoré ďalšie možné faktorizácie.

Tabuľka ( PageIndex {1} )
Faktorizácia (i ^ {35} ) (i ^ {34} ⋅i ) (i ^ {33} ⋅i ^ 2 ) (i ^ {31} ⋅i ^ 4 ) (i ^ {19} ⋅i ^ {16} )
Znížená forma ({(i ^ 2)} ^ {17} ⋅i ) (i ^ {33} ⋅ (−1) ) (i ^ {31} ⋅1 ) (i ^ {19} ⋅ {(i ^ 4)} ^ 4 )
Zjednodušená forma ({(- 1)} ^ {17} ⋅i ) (- i ^ {33} ) (i ^ {31} ) (i ^ {19} )

Každá z nich nakoniec vyústi do odpovede, ktorú sme dostali vyššie, ale môže vyžadovať niekoľko ďalších krokov ako naša predchádzajúca metóda.

Médiá

Získajte prístup k týmto online zdrojom pre ďalšie inštruktáže a precvičovanie so zložitými číslami.

  1. Sčítanie a odčítanie zložitých čísel
  2. Znásobte komplexné čísla
  3. Násobenie komplexných konjugátov
  4. Zvyšovanie sily

Kľúčové koncepty

  • Druhá odmocnina ľubovoľného záporného čísla sa dá zapísať ako násobok (i ). Pozri príklad.
  • Na vykreslenie komplexného čísla použijeme dve číselné rady, preškrtnuté a vytvoríme komplexnú rovinu. Horizontálna os je skutočná os a vertikálna os je imaginárna os. Pozri príklad.
  • Komplexné čísla je možné sčítať a odčítať kombináciou skutočných častí a kombináciou imaginárnych častí. Pozri príklad.
  • Komplexné čísla je možné násobiť a deliť.
    • Ak chcete znásobiť komplexné čísla, rozdeľte ich rovnako ako pri polynómoch. Pozri príklad a príklad.
    • Ak chcete rozdeliť komplexné čísla, vynásobte čitateľa aj menovateľa komplexným konjugátom menovateľa, aby ste vylúčili komplexné číslo od menovateľa. Pozri príklad a príklad.
  • Sily i sú cyklické a opakujú sa každú štvrtú. Pozri príklad.

Aby sme splnili vaše požiadavky, zostavili sme nižšie uvedený zoznam komplexných číselných vzorcov. Najnáročnejšie problémy môžete vyriešiť príliš ľahko a rýchlo pomocou jednoduchých vzorcov pre komplexné čísla. Tieto vám jednoznačne pomôžu prekonať ťažkosti s uskutočňovaním zdĺhavých výpočtov vašich matematických úloh.

  • Prirodzené číslo (N): N =
  • Celé číslo (W): W = <0, 1, 2, & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..> = +
  • Celé čísla (Z alebo I): Z alebo I =
  • Racionálne čísla (Q): Čísla, ktoré majú formu p / q (kde p, q ∈ I, q ≠ 0)
  • Iracionálne čísla: Čísla, ktoré nie sú racionálne, t. J. Ktoré nemožno vyjadriť vo forme p / q alebo ktorých desatinná časť sa nekončí, neopakuje sa, ale ktoré môžu predstavovať veľkosť fyzikálnych veličín. napr. ( sqrt <2> ), 5 1/3, π, e, & # 8230 & # 8230 & # 8230 atď.
  • Skutočné čísla (R): Množina racionálnych a iracionálnych čísel sa nazýva množina skutočných čísel, tj. N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

2. Imaginárne číslo
x = ± ( sqrt <-1> ) je imaginárny a ( sqrt <-1> ) = i (iota)

3. Integrovaná sila ioty
i = ( sqrt <-1> ), takže i 2 = -1 i 3 = -i a i 4 = 1
Preto i 4n + 1 = i i 4n + 2 = -1 i 4n + 3 = -i i 4n alebo i 4n + 4 = 1

4. Komplexné číslo
Číslo tvaru z = x + iy, kde x, y ∈ R a i = ( sqrt <-1> ) sa nazýva komplexné číslo, kde x sa nazýva reálna časť a y sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla a sú vyjadrené ako
Re (z) = x, Im (z) = y, | z | = ( sqrt+ y ^ <2>> ) amp (z) = arg (z) = θ = tan -1 = ( frac)

  • Polárne znázornenie: x = r cos θ, y = r sin θ & amp r = ( sqrt+ y ^ <2>> ) = | z |
  • Exponenciálna forma: z = re iθ
  • Vektorové znázornenie: P (x, y), potom jeho vektorové znázornenie je z = ( overrightarrow < mathrm>)

5. Vlastnosti komplexného čísla konjugátu
Ak z = a + ib

  • ( overline <( bar)> ) = z
  • z + ( bar) = 2a = 2 Re (z) = čisto skutočné
  • z & # 8211 ( bar) = 2ib = 2i Im (z) = čisto imaginárne
  • z ( bar) = a 2 + b 2 = | z | 2
  • z + ( bar) = 0 alebo z = & # 8211 ( bar) ⇒ z = 0 alebo z je čisto imaginárne
  • z = ( bar) ⇒ z je čisto skutočné

6. Vlastnosti modulu komplexného čísla

  • Ak z = x + iy potom | z | = ( sqrt+ y ^ <2>> )
  • & # 8220 | z | & # 8221 je vzdialenosť ktoréhokoľvek bodu & # 8220z & # 8221 na argandovej rovine od začiatku
  • | z1z2 & # 8230 & # 8230.zn| = | z1|. | z2|. | z3| & # 8230 & # 8230 & # 8230 | zn|, ak z1 = z2 = & # 8230. = zn potom | z n | = | z | n
  • ( doľava | frac>> right | = frac < left | z_ <1> right |> < left | z_ <2> right |> ), kde | z2| ≠ 0
  • || z1| & # 8211 | z2|| ≤ | z1 & # 8211 z2| ≤ | z1| + | z2|
  • z ( bar) = | z | 2
  • z -1 = ( frac < bar> <| z | ^ <2>> )
  • | z1 ± z2| 2 = | z1| 2 + | z2| 2 ± 2Re (z1 ( bar_<2>))
  • | z1 + z2| 2 + | z1 & # 8211 z2| 2 = 2 [| z1| 2 + | z2| 2 ]

7. Vlastnosti argumentu komplexného čísla

  • Pre ľubovoľné komplexné číslo z = x + iy,
    arg (z) alebo amp (z) = tan -1 ( left ( frac right) ) alebo amp (z) = tan -1 ( left [ frac right] )
  • Pre akékoľvek komplexné číslo.z, -π ≤ amp (z) ≤ π
  • amp (akékoľvek skutočné kladné číslo) = 0
  • amp (akékoľvek skutočné záporné číslo) = π
  • zosilňovač (z & # 8211 ( bar)) = ± π / 2
  • zosilňovač (z1 . z2) = amp (z1) + zosilňovač (z2)
  • amp ( left ( frac>> right) ) = amp (z1) & # 8211 amp (z2)
  • zosilňovač ( ( bar)) = & # 8211 amp (z) = zosilňovač (1 / z)
  • amp (- z) = amp (z) ± n
  • amp (z n) = n amp (z)
  • amp (z) + amp ( ( bar)) = 0

8. Druhá odmocnina komplexného čísla
Druhá odmocnina z = a + ib je
( sqrt) = ± ( left [ sqrt < frac <| z | + a> <2>> + i sqrt < frac <| z | -a> <2>> right] ) pre b & gt 0 a
= ± ( left [ sqrt < frac <| z | + a> <2>> -i sqrt < frac <| z | -a> <2>> right] ) pre b & lt 0 .

Podmienka rovnosti, znak rovnosti platí, ak z1, z2 a pôvod sú kolineárne.

iii) Amplitúda komplexného čísla:
Amplitúda alebo argument komplexného čísla z je sklon smerovaného úsečky predstavujúcej z so skutočnou osou. Amplitúda z sa všeobecne píše ako amp z alebo arg z, teda ak x = x + iy, potom amp z = tan -1 (y / x).

(iv) Pri hľadaní riešenia rovnice tvaru x 2 + 1 = 0, x 2 + x + 1 = 0 sa množina reálneho čísla rozšírila na množinu komplexných čísel. Najskôr & # 8216Euler & # 8217 predstavuje ( sqrt <-1> ) symbolom i a dokázal, že korene každej algebraickej rovnice sú číslo tvaru a + ib, kde a, b ∈ R. Počet táto forma sa nazýva komplexné číslo.

v) Vzorec vzdialenosti:
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi P (z1) a Q (z2) je daný
PQ = | z2 & # 8211 z1|
= | pripevnenie Q & # 8211 pripevnenie P |

Vzorec oddielu:
Ak Re (z) rozdeľuje úsečku spájajúcu P (z1) a Q (z2) v pomere m1 : m2 (m1, m2 & gt 0)
Potom,
(a) Pre vnútorné rozdelenie z = ( frac z_ <2> + m_ <2> z_ <1>>+ m_ <2>> )
(b) Pre vonkajšie delenie z = ( frac z_ <2> -m_ <2> z_ <1>>-m_ <2>> )

(c) Rovnica kruhu v strede je | z & # 8211 z0| = r kde z0 je stred a r je polomer kruhu ďalej po štvorcoch, dostaneme
| z & # 8211 z0| 2 = r 2 ⇒ (z & # 8211 z0) ( doľava ( bar- bar_ <0> vpravo) ) = r 2

d) Všeobecná rovnica kruhu:
(z bar+ a bar_ <0> -z bar_ <0> - bar z_ <0> ) = r 2, kde b ∈ R a je pevné komplexné číslo. Pre túto kružnicu sú stredom body a a polomer = ( sqrt <| a | ^ <2> -b> )

11. Nech z1, z2 sú dva komplexné č. & # 8217s potom v komplexnej rovine

(i) | z1 & # 8211 z2| je vzdialenosť medzi dvoma komplexmi č

ii) potom z = ( frac right) pm n left (z_ <1> right)>) & # 8220 + & # 8221 pre vnútorné rozdelenie, & # 8220 - & # 8221 pre vonkajšie rozdelenie

(iii) Nech & # 8220z & # 8221 je ľubovoľný premenný bod, potom | z & # 8211 z1| + | z & # 8211 z2| = 2a kde | z1 & # 8211 z2| & lt 2a, potom lokus z je elipsa, z1, z2 sú dve ohniská.

(iv) Ak | z & # 8211 z1| & # 8211 | z & # 8211 z2| = 2a kde | z1 & # 8211 z2| & gt 2a potom z opisuje hyperbolu, kde z1, z2 sú dve ohniská.

(v) ( doľava | frac>> right | ) = k je kružnica, ak k ≠ 1, a priamka, ak k = 1

(viii) Kruh sa môže dať ktorýmkoľvek z nasledujúcich spôsobov

(ix) ( frac-z_ <3>>-z_ <2>> = frac < left | z_ <1> -z_ <3> right |> < left | z_ <1> -z_ <2> right |> ) e iα.

x) najväčšia a najmenšia hodnota | z | ak ( dolava | z + frac <1> right | ) = a je
( frac<>+4 >> <2> ) a ( frac <-a + sqrt+4>><2>)

Časté otázky o vzorcoch komplexných čísel

1. Ako riešite výrazy s komplexným číslom?

Výrazy komplexných čísel môžete ľahko vyriešiť pomocou Fomulasa a následne ich primerane zjednodušiť.

2. Kde získam zbierku vzorcov komplexného čísla?

Zbierku vzorcov komplexných čísel môžete získať na stránke Onlinecalculator.guru

3. Ako vám pomáhajú vzorce s komplexným číslom?

Vzorec pre komplexné čísla vám pomôže príliš ľahko vyriešiť zložité problémy s komplexnými číslami a uľahčí vám prácu.

4. Ako si zapamätať vzorce so zložitým číslom?

Najlepším spôsobom, ako si zapamätať vzorce s komplexným číslom, je dôsledná prax, pretože je to jediný spôsob, ako ich správne uchopiť.


2.4: Komplexné čísla - matematika

Množina všetkých komplexných čísel je označená znakom & # 160. Operácia druhá odmocnina je uzavretá nad [8]. Rovnako ako v prípade reálnych čísel, operácia s uzavretou druhou odmocninou je iba čiastočne zodpovedná za dôležitosť komplexných čísel.

Každé komplexné číslo je možné určiť ako dvojicu reálnych čísel:

Pretože existuje jednoduchý homomorfizmus,

Algoritmy na výpočet so zložitými číslami sú zložitejšie ako algoritmy pre reálne čísla. Aj pri zložitejších algoritmoch má tento číselný systém mnoho populárnych vlastností systému skutočných čísel. Sčítanie a násobenie majú inverzie (čiastočné pre násobenie), sú asociatívne a komutatívne a spoločne vyhovujú distribučnému zákonu. Väčšina bežných operátorov je nad komplexmi zatvorená. Pre komplexné čísla však neexistuje žiadny prirodzený usporiadací vzťah.

Konštrukciu komplexných čísel z reálnych čísel je možné chápať ako aplikáciu všeobecného „postupu zdvojnásobenia“, postupu, ktorý vytvára číselné systémy, ktorých prvky sú reprezentované ako -násobky reálnych čísel. Rovnaký postup možno použiť na zostrojenie sústavy kvartónov a Cayleyových čísel [33].

Komplexné čísla sú veľmi užitočné pri modelovaní niektorých javov. Pri výpočte priamo so zložitými číslami sa stretávajú rovnaké ťažkosti ako pri výpočte so skutočnými číslami. To je zrejmé, pretože reálne čísla sú homomorfné s komplexnými číslami a naopak, komplexné čísla sú zostavené z reálnych čísel pozoruhodne jednoduchým spôsobom. Všetky numerické systémy vytvorené pomocou aplikácií zdvojnásobenia je možné emulovať priamo pomocou skutočných čísel ako základného číselného systému.


Tq pane & # 10084 & # 10084 veliya hotovosť platiť panni sollitharanga apo kooda unga alavuku yarum eduka matinguranga u sú taký úžasný učiteľ pane U AR TAKÝTO SLUŽBY pane & # 10084 & # 10084

& # 8221 Pane, veľmi vám ďakujem, pane. Bez vašich online kurzov by som nezískal skóre 93/100. Za 11 som dostal iba 81. Ale o vašich online kurzoch som sa dozvedel, až keď mi povedal môj priateľ. Bolo to úplne kvôli vám, dostal som túto značku, pane. Ďakujem pekne, pane & # 8221

„Pane, dostal som 89. Stratil som známku kvôli neopatrným chybám

Pane vážne, bez teba túto známku nezískam

Boh ťa vždy poteší, pane “

„Ahoj pane, bol som slabý v matematike a zvykol som si dávať hraničné známky v matematike. Vaše videá mi pomohli dosiahnuť skóre 82/100. Ďakujem, pane“

„Pane, veľmi vám ďakujem, pane, kvôli matematike a matematike som dostal 96 za matematiku. Ešte raz vám veľmi pekne ďakujem.“

„Pane, s pomocou vášho vedenia som z verejnej matematickej skúšky získal 84 známok. Je vhodný okamih na vyjadrenie vďačnosti. Ďakujem, pane.“


Pohybovanie obrysom integrácie

Cauchyho a rsquosova veta má veľmi dôležitý dôsledok: pre integrál od (z_a ) do (z_b ) v komplexnej rovine nebude mať pohyb obrysu v oblasti, kde je analytická funkcia, vplyv na výsledok, pretože rozdiel medzi integrálom cez pôvodný obrys a integrálom cez posunutý obrys je integrál okolo uzavretého obvodu, a teda nulový, ak je funkcia v uzavretej oblasti analytická.

Pre integrál okolo uzavretého obrysu, ak jedinými singularitami ohraničenými obrysom sú póly, sa obrys môže zmenšiť a prerušiť, aby sa stal súčtom samostatných malých obrysov, jeden okolo každého pólu, potom je integrál okolo pôvodného obrysu súčet zvyškov na póloch.


Matematika na úrovni A / OCR / FP1 / Komplexné čísla

Pred pochopením komplexných čísel musíme vedieť o imaginárnej jednotke, t.j. Vychádzam z potreby vedieť vypočítať druhú odmocninu záporných čísel.

Celá logika vám hovorí, že nemôžete nič sám znásobiť a dosiahnuť záporné číslo, a je to pravda. Dáme mu teda hodnotu i.

Z toho vidíme, že:

Odtiaľto môžeme odvodiť, že:

Užitočná rada!
Pri jednaní s mocnosťami i < displaystyle i> sa niektorým zdá užitočné zaoberať sa dvojicami. Napríklad myslenie na i 4 < Displaystyle i ^ <4>> ako i 2 ⋅ i 2 < displaystyle i ^ <2> cdot i ^ <2>>.
ja 4 = 1 < Displaystyle i ^ <4> = 1>

Ako -1 na druhú sa rovná 1.

Vďaka tomu máme veľmi cenný nástroj a teraz dokážeme robiť druhé odmocniny záporných čísel.

Komplexné čísla sú čísla, ktoré pozostávajú zo skutočného čísla a imaginárneho čísla. Prichádzajú vo forme x + y i < displaystyle x + yi>. (S x < displaystyle x> a y < displaystyle y> sú skutočné čísla a ja < displaystyle i> je imaginárna jednotka).

Sčítajú sa veľmi, ako by ste si predstavovali. Vezmite dve komplexné čísla (2 + 3i) a (3 + 4i). Sčítanie týchto dvoch prvkov je také jednoduché ako pridanie skutočných častí (v tomto prípade: 2 + 3 = 5) a pridanie imaginárnych častí (3i + 4i = 7i), aby sme získali konečné komplexné číslo (5 + 7i).

To isté platí pre odčítanie. Zoberme si príklad komplexných čísel (2 + 3i) a (3 + 4i). Iba odčítame skutočnú časť (2 - 3 = -1) a odčítame imaginárnu časť (3i - 4i = -i), aby sme dostali naše nové komplexné číslo (-1-i).

Násobenie je podobné rozšíreniu kvadratických a kubických rovníc. Jednoducho, zoberiete dve komplexné čísla, posadíte ich vedľa seba a znásobíte. Ak vezmeme náš príklad komplexných čísel, urobíme nasledovné:

(2 + 3 i) (3 + 4 i) = (2 ⋅ 3) ​​+ (2 ⋅ 4 i) + (3 i ⋅ 3) ​​+ (3 i ⋅ 4 i) = 6 + 8 i + 9 i + 12 ja 2 = 12 i 2 + 17 i + 6 < Displaystyle (2 + 3i) (3 + 4i) = (2 cdot 3) + (2 cdot 4i) + (3i cdot 3) + (3i cdot 4i) = 6 + 8i + 9i + 12i ^ <2> = 12i ^ <2> + 17i + 6>

The modul komplexného čísla je dĺžka priamky, ktorá spája počiatok Argandovho diagramu s bodom, ktorý predstavuje komplexné číslo, a je daná vzťahom:

The argument komplexného čísla je uhol v radiánoch bodu komplexného čísla od skutočnej osi (os x), meraný proti smeru hodinových ručičiek. Argument pre komplexné číslo z, označený arg (z), je daný:

ak je v prvom kvadrante.

Keď reprezentujeme komplexné číslo na Argandovom diagrame, môžeme to vidieť

Pretože komplexné číslo z môže byť reprezentované x + iy,

Komplexné číslo môže byť vyjadrené v karteziánskej alebo polárnej forme. Polárna forma je:

z = r (cos ⁡ (θ) + i sin ⁡ (θ))

Polárny tvar komplexného čísla je veľmi podobný tomu, ako reprezentujeme vektory. Modul komplexného čísla je teda analogický s výslednicou zložiek xay a argumentom je smer výsledného vektora.

Nahradením tohto komplexného čísla do polárneho tvaru môžeme vidieť, že ďalší spôsob zápisu komplexného čísla z je:

Konjugáty sú iba odrazom súradníc na Argandovom diagrame. Odrážajú sa cez skutočnú os a tým sa mení iba imaginárna súradnica (z povedzme 2 + 2i na 2 - 2i). Inými slovami, znamienko imaginárnej časti sa mení (z negatívneho na pozitívne alebo naopak).

Komplexné konjugáty sú užitočné pri delení komplexných čísel, pretože menovateľ sa dá uskutočniť vynásobením hornej a dolnej časti zlomku komplexným konjugátom menovateľa, napríklad: 2 + 4 i 1 + i = (2 + 4 i) ( 1 - i) (1 + i) (1 - i) = 2 + 2 i + 4 1 + 1 = 6 + 2 ja 2 = 3 + ja < Displaystyle < frac <2 + 4i> <1 + i> > = < frac <(2 + 4i) (1-i)> <(1 + i) (1-i) >> = < frac <2 + 2i + 4> <1 + 1 >> = < frac <6+2i> <2>> = 3 + i>

Tomu sa hovorí uvedomenie si (racionalizačná verzia s komplexným číslom) menovateľa.

Konjugáty sú tiež užitočné pri riešení rovníc so skutočnými koeficientmi. Ak má takáto rovnica komplexný koreň, potom konjugát komplexného čísla bude tiež koreňom rovnice, čo vám umožní vo väčšine prípadov pri skúškach úplne zohľadniť rovnicu.

x 3 + 4 x 2 + 9 x + 10 = (x - b) (x - (- 1 + 2 i)) (x - (- 1 - 2 i)) < Displaystyle x ^ <3> + 4x ^ <2> + 9x + 10 = (xb) (x - (- 1 + 2i)) (x - (- 1-2i))>.

= (x - b) (x 2 + x + 2 xi + x + 1 + 2 ja - 2 xi - 2 ja - 4 i 2) < displaystyle = (xb) (x ^ <2> + x + 2xi + x + 1 + 2i-2xi-2i-4i ^ <2>)>


Teraz, keď vieme o komplexných číslach, môžeme začať riešiť kvadratické rovnice, ktorých determinant je záporný (t.j. kvadratické rovnice, ktoré nekrižujú alebo sa nedotýkajú osi x na karteziánskom grafe).

Príklad: Vyriešte rovnicu. X 2 - 2 x + 5 = 0 < Displaystyle x ^ <2> -2x + 5 = 0>.

Každé komplexné číslo má dve komplexné druhé odmocniny. Aby sme ich našli pre všeobecné komplexné číslo x + yi, označíme odpoveď p + iq a rovníme:

Keby sme sa snažili nájsť druhú odmocninu povedzme 2 + 4i, mali by sme:

Pomocou kvadratického vzorca:

Pretože q je skutočné, musí sa rovnať druhej odmocnine z kladnej hodnoty u:

Toto je súčasť modulu FP1 (Ďalšia čistá matematika 1) textu matematiky na úrovni A.


Oddiel 2.4 Komplexné čísla - PowerPoint PPT prezentácia

PowerShow.com je popredný web na zdieľanie prezentácií a prezentácií. Či už je vašou aplikáciou podnikanie, návody, vzdelávanie, medicína, škola, kostol, predaj, marketing, online školenia alebo len pre zábavu, PowerShow.com je skvelým zdrojom. A čo je najlepšie, väčšina jeho skvelých funkcií je bezplatná a ľahko použiteľná.

Môžete použiť PowerShow.com na vyhľadanie a stiahnutie ukážkových online prezentácií PowerPoint ppt týkajúcich sa takmer akejkoľvek témy, ktorú si dokážete predstaviť, aby ste sa mohli dozvedieť, ako môžete zadarmo vylepšiť svoje vlastné snímky a prezentácie. Alebo ho použite na vyhľadanie a stiahnutie vysoko kvalitných prezentácií programu PowerPoint ppt s ilustrovanými alebo animovanými snímkami, ktoré vás naučia, ako robiť niečo nové, a to tiež zadarmo. Alebo ho použite na nahranie vlastných snímok z PowerPointu, aby ste ich mohli zdieľať so svojimi učiteľmi, triedami, študentmi, šéfmi, zamestnancami, zákazníkmi, potenciálnymi investormi alebo so svetom. Alebo ich použite na vytvorenie skutočne skvelých prezentácií fotografií - s prechodmi 2D a 3D, animáciami a výberom hudby - ktoré môžete zdieľať so svojimi priateľmi na Facebooku alebo v kruhoch Google+. To je tiež všetko zadarmo!

Za malý poplatok môžete získať najlepšie online súkromie v tomto odbore alebo verejne propagovať svoje prezentácie a prezentácie pomocou najlepších hodnotení. Ale okrem toho je to zadarmo. Dokonca prevedieme vaše prezentácie a prezentácie do univerzálneho formátu Flash so všetkou ich originálnou multimediálnou slávou vrátane animácií, 2D a 3D prechodových efektov, vloženej hudby alebo iného zvuku alebo dokonca videa vloženého do snímok. Všetko zadarmo. Väčšina prezentácií a prezentácií na PowerShow.com je zadarmo na prezeranie, veľa z nich je dokonca zadarmo na stiahnutie. (Môžete sa rozhodnúť, či umožníte ľuďom sťahovať vaše pôvodné prezentácie v PowerPointe a prezentácie fotografií za poplatok alebo bezplatne alebo vôbec.) Skontrolujte stránku PowerShow.com ešte dnes - ZDARMA. Naozaj si každý môže nájsť niečo!

prezentácie zadarmo. Alebo ho použite na vyhľadanie a stiahnutie vysoko kvalitných prezentácií programu PowerPoint ppt s ilustrovanými alebo animovanými snímkami, ktoré vás naučia, ako robiť niečo nové, a to tiež zadarmo. Alebo ho použite na nahranie vlastných snímok z PowerPointu, aby ste ich mohli zdieľať so svojimi učiteľmi, triedami, študentmi, šéfmi, zamestnancami, zákazníkmi, potenciálnymi investormi alebo so svetom. Alebo ich použite na vytvorenie skutočne skvelých prezentácií fotografií - s prechodmi 2D a 3D, animáciami a výberom hudby - ktoré môžete zdieľať so svojimi priateľmi na Facebooku alebo v kruhoch Google+. To je tiež všetko zadarmo!


Komplexné čísla

Nájdenie druhej odmocniny záporného čísla je podobné ako nájdenie druhej odmocniny kladného čísla. Jedinou zmenou je, čo robiť so záporným znamienkom. sú druhé odmocniny záporných čísel. , i je definované ako druhá odmocnina z -1.

Vyrovnanie oboch strán produkuje,

Názov „imaginárny“ je trochu zlý. Riadia sa všetkým pravidlom „skutočných“ čísel. Nie sú len vymyslené, ale pochádzajú z riešenia matematických úloh. Nenechajte sa zmiasť menom.

sú kombinovaná reálna množina a imaginárna množina čísel. Sú písané so skutočnou a vymyslenou časťou vo forme a + bi napríklad nižšie uvedené číslo. Modrá časť je skutočná a červená časť s i je imaginárny.

Imaginárne a komplexné čísla:

A je číslo formulára a + bi kde

  • a je skutočná časť komplexného čísla.
  • bi je imaginárna časť komplexného čísla.

Ak b = 0 potom a + bi je reálne číslo. Ak a = 0 a b & ne 0, komplexné číslo sa nazýva an imaginárne číslo.

Vyjadrite komplexné číslo v štandardnej forme

Príklad 1: Vyhodnoťte druhú odmocninu záporného čísla

Riešenie

Začnite vyjadrením štvorca ako ( sqrt sqrt <-1> ).

Nahraďte znak ( sqrt <-1> ) znakom i.

Vyskúšajte IT 1
Odpoveď

2. Bežné príklady

2.1. Binárna Fourierova analýza dňa

Nechajme nejaké kladné celé číslo, takže uvažujeme o funkciách akceptujúcich binárne hodnoty. Potom funkcie tvoria -rozmerný vektorový priestor a my ho obdaríme vnútornou formou

je priemer štvorcov, ktorý určuje, a ktorý je tiež pozitívny určitý.

V takom prípade multilineárne polynómy form a basis of , that is the polynomials

Thus our frequency set is actually the subsets . Thus, we have a decomposition

Príklad 2 (An example of binary Fourier analysis)

Let . Then binary functions have a basis given by the four polynomials

For example, consider the function which is at and elsewhere. Then we can put

So the Fourier coefficients are for each of the four ‘s.

This notion is useful in particular for binary functions for these functions (and products thereof), we always have .

It is worth noting that the frequency plays a special role:

2.2. Fourier analysis on finite groups

This is the Fourier analysis used in this post and this post. Here, we have a finite abelian group , and consider functions this is a -dimensional vector space. The inner product is the same as before:

Now here is how we generate the characters. We equip with a non-degenerate symmetric bilinear form

Experts may already recognize this as a choice of isomorphism between and its Pontryagin dual. This time the characters are given by

In this way, the set of frequencies is also , but the play very different roles from the “physical” . (It is not too hard to check these indeed form an orthonormal basis in the function space , since we assumed that is non-degenerate.)

Príklad 4 (Cube roots of unity filter)

Suppose , with the inner form given by . Let be a primitive cube root of unity. Poznač si to

Then given with , , , we obtain

In this way we derive that the transforms are

Olympiad contestants may recognize the previous example as a “roots of unity filter”, which is exactly the point. For concreteness, suppose one wants to compute

In that case, we can consider the function

such that but . By abuse of notation we will also think of as a function . Then the sum in question is

In our situation, we have , and we have evaluated the desired sum. More generally, we can take any periodic weight and use Fourier analysis in order to interchange the order of summation.

Príklad 6 (Binary Fourier analysis)

Suppose , viewed as an abelian group under pointwise multiplication hence isomorphic to . Assume we pick the dot product defined by

We claim this coincides with the first example we gave. Indeed, let and let which is at positions in , and at positions not in . Then the character form the previous example coincides with the character in the new notation. In particular, .

Thus Fourier analysis on a finite group subsumes binary Fourier analysis.

2.3. Fourier series for functions

Now we consider the space of square-integrable functions , with inner form

Sadly, this is nie a finite-dimensional vector space, but fortunately it is a Hilbert space so we are still fine. In this case, an orthonormal basis must allow infinite linear combinations, as long as the sum of squares is finite.

Now, it turns out in this case that

is an orthonormal basis for . Thus this time the frequency set is infinite. So every function decomposes as

This is a little worse than our finite examples: instead of a finite sum on the right-hand side, we actually have an infinite sum. This is because our set of frequencies is now , which isn’t finite. In this case the need not be finitely supported, but do satisfy .

Since the frequency set is indexed by , we call this a Fourier series to reflect the fact that the index is .

Often we require that the function satisfies , so that becomes a periodic function, and we can think of it as .

2.4. Zhrnutie

We summarize our various flavors of Fourier analysis in the following table.

In fact, we will soon see that all these examples are subsumed by Pontryagin duality for compact groups .


  • 2.1 Pre Notes
  • 2.1 Post Notes
  • 2.2 Pre Notes
  • 2.2 Post Notes
  • 2.3 Pre Notes
  • 2.3 Post Notes
  • 2.4 Pre Notes
  • 2.4 Post Notes
  • 2.5 Pre Notes
  • 2.5 Post Notes
  • 2.6 Pre Notes
  • 2.6 Post Notes

(Note: This corresponds with Chapter 7 in the book we referenced for these videos.)

  • 4.1 Pre Notes
  • 4.1 Post Notes
  • 4.2 Pre Notes
  • 4.2 Post Notes
  • 4.3 Pre Notes
  • 4.3 Post Notes
  • 4.4 Pre Notes
  • 4.4 Post Notes
  • 4.5 Pre Notes
  • 4.5 Post Notes
  • 4.6 Pre Notes
  • 4.6 Post Notes