Články

6.4: Riešenie aplikácií zmesí so systémami rovníc


Učebné ciele

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Riešiť aplikácie zmesí
  • Riešiť žiadosti o úroky
  • Riešte aplikácie funkcií nákladov a výnosov

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

  1. Vynásobte: (4 025 (1 562) ).
    Ak ste tento problém nestihli skontrolovať [odkaz].
  2. Napíšte 8,2% ako desatinné miesto.
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].
  3. Earlov účet za večeru dosiahol 32,50 dolárov a chcel nechať 18% prepitné. Koľko by mal byť hrot?
    Ak ste tento problém nestihli skontrolovať [odkaz].

Riešenie aplikácií zmesí

Aplikácia zmesi zahrnuje kombináciu dvoch alebo viacerých množstiev. Keď sme skôr riešili aplikácie zmesí s mincami a tiketmi, začali sme vytvorením tabuľky, aby sme mohli usporiadať informácie. Príklad mince s niklom a desetníkom, tabuľka vyzerala takto:

Použitie jednej premennej znamenalo, že sme museli dať do súvislosti počet niklov a počet desetníkov. Museli sme sa rozhodnúť, či to necháme n byť počet niklov a potom napísať počet desatín v zmysle n, alebo ak by sme to dovolili d byť počet desetníkov a napísať počet niklov v zmysle d.

Teraz, keď vieme, ako vyriešiť sústavy rovníc s dvoma premennými, to si teraz necháme n byť počet niklov a d byť počet desetníkov. Napíšeme jednu rovnicu na základe stĺpca s celkovou hodnotou, ako sme to napísali predtým, a druhá bude vychádzať zo stĺpca s číslami.

V prvom príklade urobíme problém s lístkom, keď sú ceny lístkov v celých dolároch, takže zatiaľ nebudeme musieť používať desatinné miesta.

Príklad ( PageIndex {1} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Vedecké centrum počas náročného víkendu predalo 1 363 lístkov. Príjmy dosiahli spolu 12 146 dolárov. Koľko lístkov pre dospelých v hodnote 12 dolárov a koľko detí v hodnote 7 dolárov sa predalo?

Odpoveď
Krok 1. Prečítajte si problém.Vytvoríme tabuľku na usporiadanie informácií.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáme.Hľadáme počet lístkov pre dospelých
a počet predaných detských lístkov.
Krok 3. Názov čo hľadáme.Nech (a = text {počet lístkov pre dospelých.} )
(c = text {počet detských lístkov} )
Tabuľka nám pomôže usporiadať údaje.
Máme dva typy lístkov, dospelý a detský.
Vpísať a a c pre počet lístkov.
Do spodnej časti napíšte celkový počet predaných lístkov
stĺpca Číslo.
Spolu sa predalo 1 363 kusov.
Do každého súboru napíšte hodnotu každého typu lístka
Stĺpec Hodnota.
Hodnota každého lístka pre dospelých je 12 dolárov.
Hodnota každého detského lístka je 7 dolárov.
Koľkokrát hodnota udáva celkovú hodnotu,
takže celková hodnota lístkov pre dospelých je (a · 12 = 12a ),
a celková hodnota detských lístkov je (c · 7 = 7c ).
Vyplňte stĺpec Celková hodnota.
Celková hodnota vstupeniek bola 12 146 dolárov.
Krok 4. Preložiť do sústavy rovníc.
Stĺpec Číslo a stĺpec Celková hodnota
daj nám sústavu rovníc.
Na riešenie použijeme eliminačnú metódu
tento systém. Vynásobte prvú rovnicu (- 7 ).
Zjednodušte a pridajte, potom vyriešte pre a.
Potom do prvej rovnice dosaďte (a = 521 )
vyriešiť pre c.
Krok 6. Skontrolujte odpoveď v
problém.
521 dospelých za 12 dolárov za lístok zarobí 6 252 dolárov
842 dieťaťa pri cene 7 dolárov za lístok $58,994
Celkový príjem je 12 146 $ ( začiarknutie )
Krok 7. Odpoveď otázka.Vedecké stredisko predalo 521 lístkov pre dospelých a
842 detských lístkov.

Príklad ( PageIndex {2} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

V pokladni v zoo predali jeden deň 553 lístkov. Príjmy dosiahli spolu 3 936 dolárov. Koľko lístkov pre dospelých za 9 dolárov a koľko detských lístkov za 6 dolárov sa predalo?

Odpoveď

206 dospelých, 347 detí

Príklad ( PageIndex {3} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Pokladňa v kine predala 147 lístkov na večernú šou a tržby dosiahli spolu 1 302 dolárov. Koľko 11 dolárov za dospelého a 8 dolárov za dieťa sa predalo?

Odpoveď

42 dospelých, 105 detí

V nasledujúcom príklade vyriešime problém s mincami. Teraz, keď vieme, ako pracovať so systémami dvoch premenných, bude pomenovanie premenných v stĺpci „number“ ľahké.

Príklad ( PageIndex {5} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Matilda má niekoľko štvrtí a centov v celkovej hodnote 8,55 dolárov. Počet štvrtín je o 3 viac ako dvojnásobok počtu desetníkov. Koľko má desetníky a koľko má štvrtín?

Odpoveď

13 centov a 29 štvrtín

Príklad ( PageIndex {6} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Priam má zbierku niklov a štvrtí v celkovej hodnote 7,30 USD. Počet niklov je šesť, čo je menej ako trojnásobok štvrtiny. Koľko má niklov a koľko má štvrtín?

Odpoveď

19 štvrtín a 51 niklov

Niektoré aplikácie zmesí zahŕňajú kombináciu jedál alebo nápojov. Príklady situácií môžu zahŕňať kombináciu hrozienok a orechov na prípravu zmesi cesta alebo použitie dvoch druhov kávových zŕn na výrobu zmesi.

Príklad ( PageIndex {7} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Carson chce pripraviť 20 libier trailového mixu pomocou orechov a čokoládových lupienkov. Jeho rozpočet vyžaduje, aby ho trailový mix stál 7,60 dolárov. za libru. Orechy stoja 9,00 dolárov za libru a čokoládové lupienky 2,00 dolárov za libru. Koľko libier orechov a koľko libier čokoládových lupienkov by mal použiť?

Odpoveď
Krok 1. Prečítajte si problém.
Vytvoríme tabuľku na usporiadanie informácií.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáme.Hľadáme počet libier
orechy a počet kilogramov čokolády
lupienky.
Krok 3. Názov čo hľadáme.Nech (n = text {počet libier orechov.} )
(c = text {počet libier čipov} )
Carson namieša orechy a čokoládové lupienky
trail mix.
Vpísať n a c pre počet libier
orechy a čokoládové lupienky.
Bude tam 20 libier trail mixu.
Uveďte cenu za libru každej položky
stĺpec Hodnota.
Posledný stĺpec vyplňte pomocou
( text {Number} • text {Value} = text {celková hodnota} )
Krok 4. Preložiť do sústavy rovníc.
Rovnice dostaneme z čísla
a Celková hodnota.
Krok 5. Vyriešiť sústava rovníc
Na vyriešenie systému použijeme elimináciu.
Vynásobte prvú rovnicu znakom (- 2 ), aby ste ju vylúčili c.
Zjednodušte a pridajte.
Vyriešiť pre n.
Ak chcete zistiť počet kilogramov čokolády
čipy, dosaďte (n = 16 ) do prvej rovnice,
potom vyriešiť pre c.
Krok 6. Skontrolujte odpoveď v probléme.
( begin {pole} {lll} 16 + 4 & = & 20 začiarknutie 9 · 16 + 2 · 4 & = & 152 začiarknutie end {pole} )
Krok 7. Odpoveď otázka.Carson by mal zmiešať 16 libier orechov so 4
kilogramov čokoládových lupienkov na vytvorenie stopy
zmiešať.

Príklad ( PageIndex {8} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Greta chce vyrobiť 5 libier orieškovej zmesi pomocou arašidov a kešu orieškov. Jej rozpočet vyžaduje, aby ju zmes stála 6 dolárov za libru. Arašidy sú 4 doláre za libru a kešu orechy sú 9 dolárov za libru. Koľko libier arašidov a koľko libier kešu by mala použiť?

Odpoveď

3 libry arašidy a 2 libry kešu

Príklad ( PageIndex {9} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Sammy má väčšinu prísad, ktoré potrebuje na prípravu veľkej dávky chilli. Jediné, čo mu chýba, sú fazuľa a mleté ​​hovädzie mäso. Potrebuje spolu 20 libier kombinovaných z fazule a mletého hovädzieho mäsa a má rozpočet 3 doláre za libru. Cena fazule je 1 $ za libru a cena mletého hovädzieho mäsa je 5 $ za libru. Koľko libier fazule a koľko libier mletého hovädzieho mäsa by si mal kúpiť?

Odpoveď

10 libier fazule, 10 libier mletého hovädzieho mäsa

Ďalšia aplikácia problémov so zmesou sa týka koncentrovaných čistiacich prostriedkov, iných chemikálií a miešaných nápojov. Koncentrácia je uvedená v percentách. Napríklad 20% koncentrovaný čistiaci prostriedok pre domácnosť znamená, že 20% z celkového množstva je čistiaci prostriedok a zvyšok predstavuje voda. Ak chcete pripraviť 35 uncí s 20% koncentráciou, zmiešajte 7 uncí (20% z 35) čistiaceho prostriedku s 28 uncami vody.

Pri týchto druhoch problémov so zmiešaním použijeme v jednom zo stĺpcov našej tabuľky namiesto „hodnoty“ „percent“.

Príklad ( PageIndex {10} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Sasheena je laborantkou na komunitnej vysokej škole. Pre laboratórny experiment potrebuje vyrobiť 200 mililitrov 40% roztoku kyseliny sírovej. Laboratórium má v sklade iba 25% a 50% roztokov. Koľko by mala zmiešať z 25% a 50% roztoku, aby vznikol 40% roztok?

Odpoveď
Krok 1. Prečítajte si problém.
Obrázok nám môže pomôcť vizualizovať
situácii vytvoríme tabuľku
organizovať informácie.
Sasheena musí zmiešať časť (25% ) roztoku a
niektoré (50% ) riešenie spolu, aby ste získali (200 medzera ml )
riešenie (40% ).
Krok 2. Identifikujte čo hľadáme.Hľadáme koľko z každého riešenia ona
potreby.
Krok 3. Názov čo hľadáme.Nech (x = text {počet} ml text {z} 25% text {riešenie.} )
(y = text {počet} ml text {z} 50% text {riešenie )
Tabuľka nám pomôže usporiadať údaje. Ona bude
zmiešať X (ml ) z (25% ) s r (ml ) z (50% ) na získanie (200 priestoru ml )
(40% ) roztoku. Percentá píšeme ako desatinné miesta
v grafe.
Vynásobíme počet jednotiek krát
koncentrácia na získanie celkového množstva
kyselinou sírovou v každom roztoku.
Krok 4. Preložiť do systému
rovnice.
Rovnice dostaneme z čísla
stĺpec a stĺpec Množstvo.
Teraz máme systém.
Krok 5. Vyriešiť sústava rovníc
Systém vyriešime elimináciou.
Vynásobte prvú rovnicu (- 0,5 ) na
vylúčiť r.
Zjednodušte a doplňte riešenie X.
Vyriešiť pre r, dosaďte (x = 80 ) do prvého
rovnica.
Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém.
( begin {array} {lll} 80 + 120 & = & 200 checkmark 0,25 (80) +0,50 (120) & = & 200 checkmark {} & {} & text {Yes!} end {pole} )
Krok 7. Odpoveď otázka.

Sasheena by mala zmiešať (80 priestor ml ) roztoku (25% ) s
(120 medzera ml ) z (50% ) riešenia na získanie (200 medzera ml ) roztoku
(40% ) riešenie.

Príklad ( PageIndex {11} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

LeBron potrebuje pre laboratórny experiment 150 mililitrov 30% roztoku kyseliny sírovej, má však prístup iba k 25% a 50% roztoku. Koľko z 25% a koľko z 50% roztoku by mal zmiešať, aby vznikol 30% roztok?

Odpoveď

120 ml 25% roztoku a 30 ml 50% roztoku

Príklad ( PageIndex {12} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Pre laboratórny pokus musí Anatol vyrobiť 250 mililitrov 25% roztoku kyseliny chlorovodíkovej. Laboratórium má v sklade iba 10% roztok a 40% roztok. Koľko z 10% a koľko zo 40% roztokov by mal zmiešať, aby vznikol 25% roztok?

Odpoveď

125 ml 10% roztoku a 125 ml 40% roztoku

Riešiť žiadosti o úroky

Vzorec na modelovanie aplikácií s jednoduchým záujmom je (I = Prt ). Úrok, Ja, je produktom príkazcu, P, Hodnotenie, ra čas, t. V našej práci tu vypočítame úrok získaný za jeden rok, takže t bude 1.

Upravíme názvy stĺpcov v tabuľke zmesí tak, aby ukazovali zaujímavý vzorec, ako uvidíte v nasledujúcom príklade.

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Adnan má 40 000 dolárov na investovanie a dúfa, že ročne zarobí (7,1% ) úrok. Časť peňazí vloží do akciového fondu, ktorý zarába 8% ročne, a zvyšok do dlhopisov, ktoré zarábajú 3% ročne. Koľko peňazí by mal vložiť do každého fondu?

Odpoveď
Krok 1. Prečítajte si problém.Tabuľka nám pomôže tieto informácie usporiadať.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáme.Hľadáme sumu, ktorú treba investovať do každého fondu.
Krok 3. Názov čo hľadáme.Nech (s = text {suma investovaná do akcií.} )
(b = text {suma investovaná do akcií} )
Úrokovú sadzbu napíšete ako desatinné miesto pre
každý fond.
Násobenie: Principál · Sadzba · Čas
Krok 4. Preložiť do systému
rovnice.
Náš systém rovníc dostaneme z
stĺpec Hlavný a
Stĺpec úrok.
Krok 5. Vyriešiť sústava rovníc
elimináciou.
Vynásobte hornú rovnicu (- 0,03 ).
Zjednodušte a doplňte riešenie s.
Nájsť b, náhradný s = 32 800 do
prvá rovnica.
Krok 6. Skontrolujte odpoveď v
problém.
Šek necháme na vás.
Krok 7. Odpoveď otázka.Adnan by mal investovať 32 800 dolárov do akcií a
7 200 dolárov v dlhopisoch.
Všimli ste si, že stĺpec Principal predstavuje celkovú investovanú sumu peňazí, zatiaľ čo stĺpec úrokov predstavuje iba zarobený úrok? Rovnako prvá rovnica v našom systéme, (s + b = 40 000 ), predstavuje celkovú investovanú sumu peňazí a druhá rovnica, (0,08s + 0,03b = 0,071 (40 000) ), predstavuje zarobený úrok. .

Príklad ( PageIndex {14} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Leon mal investovať 50 000 dolárov a dúfa, že ročne zarobí (6,2% ) na úrokoch. Časť peňazí vloží do akciového fondu, ktorý ročne zarobí 7%, a zvyšok na sporiaci účet, ktorý zarobí 2% ročne. Koľko peňazí by mal vložiť do každého fondu?

Odpoveď

42 000 dolárov v akciovom fonde a 8 000 dolárov na sporiteľskom účte

Príklad ( PageIndex {15} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Julius investoval 7 000 dolárov do dvoch investícií do akcií. Jedna akcia platila úrok 11% a druhá akcia platila úrok 13%. Získal (12,5% ) úrok z celkovej investície. Koľko peňazí vložil do každej akcie?

Odpoveď

1750 dolárov pri 11% a 5250 dolárov pri 13%

Nasledujúci príklad vyžaduje, aby sme istinu našli vzhľadom na výšku získaného úroku.

Príklad ( PageIndex {17} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Laura dlhuje na študentských pôžičkách 18 000 dolárov. Úroková sadzba bankového úveru je 2,5% a úroková sadzba federálneho úveru je 6,9%. Celková výška úrokov, ktoré zaplatila v minulom roku, bola 1 066 dolárov. Aká bola istina pri každej pôžičke?

Odpoveď

Banka 4 000 dolárov; Federálne 14 000 dolárov

Príklad ( PageIndex {18} )

Preložiť do systému rovníc a vyriešiť:

Jill’s Sandwich Shoppe dlhuje 65 200 dolárov na dvoch podnikateľských pôžičkách, jeden s úrokom 4,5% a druhý s úrokom 7,2%. Celková výška dlžného úroku v minulom roku bola 3 582 dolárov. Aká bola istina pri každej pôžičke?

Odpoveď

41 200 dolárov pri 4,5%, 24 000 dolárov pri 7,2%

Riešte aplikácie funkcií nákladov a výnosov

Predpokladajme, že spoločnosť vyrába a predáva X jednotky produktu. Náklady pre spoločnosť sú celkové náklady na výrobu X Jednotky. Toto sú náklady na výrobu pre každú jednotku času X, počet vyrobených jednotiek plus fixné náklady.

The príjem sú peniaze, ktoré spoločnosť prinesie v dôsledku predaja X Jednotky. Toto je predajná cena každej jednotky vynásobená počtom predaných jednotiek.

Keď sa náklady rovnajú príjmom, hovoríme, že podnik dosiahol bod zvratu.

FUNKCIE NÁKLADOV A PRÍJMOV

The nákladová funkcia sú náklady na výrobu každej jednotky krát X, počet vyrobených jednotiek plus fixné náklady.

[C (x) = ( text {cena za jednotku}) · x + text {fixné náklady} nonumber ]

The príjem funkcia je predajná cena každej jednotkovej doby X, počet predaných kusov.

[R (x) = ( text {predajná cena za jednotku}) · x nonumber ]

The bod zvratu je, keď sa výnos rovná nákladom.

[C (x) = R (x) nečíslo ]

Príklad ( PageIndex {19} )

Výrobca posilovacej lavice utratí za zostavenie každej lavice 105 dolárov a predáva ich za 245 dolárov. Výrobca tiež má každý mesiac fixné náklady vo výške 7 000 dolárov.

Ⓐ Nájdite funkciu nákladov C. kedy X lavičky sa vyrábajú.

Ⓑ Nájdite funkciu príjmu R kedy X lavičky sa predávajú.

Ⓒ Zobrazte bod zvratu pomocou grafu funkcií Výnosy a Náklady v rovnakej mriežke.

Ⓓ Nájdite bod zvratu. Interpretujte, čo znamená bod zvratu.

Odpoveď

Ⓐ Výrobca má fixné náklady 7 000 dolárov bez ohľadu na to, koľko lavičiek na cvičenie s hmotnosťou vyrába. Okrem fixných nákladov výrobca minie na výrobu každej lavice aj 105 dolárov. Predpokladajme X lavičky sa predávajú.

( begin {array} {ll} { text {Napíšte všeobecný vzorec nákladovej funkcie.}} & {C (x) = ( text {cena za jednotku}) · x + text {fixné náklady}} { text {Nahraďte v hodnotách nákladov.}} & {C (x) = 105x + 7000} end {pole} )

Ⓑ Výrobca predáva každú posilňovaciu lavicu za 245 dolárov. Celkový výnos získame vynásobením výnosu na jednotku a počtu predaných jednotiek.

( begin {array} {ll} { text {Napíšte všeobecnú funkciu výnosov.}} & {C (x) = ( text {predajná cena za jednotku}) · x} { text {Náhrada v výnos na jednotku.}} & {R (x) = 245x} end {array} )

Ⓒ V zásade máme systém lineárnych rovníc. Ukážeme graf systému, pretože to pomáha zviditeľniť myšlienku bodu zlomu.

[ left { begin {array} {l} C (x) = 105x + 7000 R (x) = 245x end {array} vpravo. quad text {alebo} quad left { begin {pole} {l} y = 105x + 7000 y = 245x end {pole} vpravo. nonumber ]

Ⓓ Aby sme zistili skutočnú hodnotu, pamätáme na to, že bod zvratu nastane, keď sa náklady rovnajú výnosom.

( begin {pole} {ll} { text {Napíšte zlomový vzorec.}} & { begin {pole} {l} {C (x) = R (x)} {105x + 7000 = 245x} end {pole}} { text {Vyriešiť.}} & { Begin {pole} {l} {7000 = 140x} {50 = x} end {pole}} koniec {pole} )

Pri predaji 50 lavíc sa náklady rovnajú výnosom.

Pri predaji 50 lavíc sú výnosy aj náklady 12 250 dolárov. Všimnite si, že to zodpovedá objednanému páru ((50,12250) ).

Príklad ( PageIndex {20} )

Výrobca posilňovacej lavice utratí za zostavenie každej lavice 15 dolárov a predáva ich za 32 dolárov. Výrobca tiež má každý mesiac fixné náklady vo výške 25 500 dolárov.

Ⓐ Nájdite funkciu nákladov C. kedy X lavičky sa vyrábajú.

Ⓑ Nájdite funkciu príjmu R kedy X lavičky sa predávajú.

Ⓒ Zobrazte bod zvratu pomocou grafu funkcií Výnosy a Náklady v rovnakej mriežke.

Ⓓ Nájdite bod zvratu. Interpretujte, čo znamená bod zvratu.

Odpoveď

Ⓐ (C (x) = 15x + 25 500 )

Ⓑ (R (x) = 32x )

1 500 1 500; pri predaji 1 500 lavičiek budú náklady aj výnosy 48 000

Príklad ( PageIndex {21} )

Výrobca posilovacej lavice utratí za zostavenie každej lavice 120 dolárov a predáva ich za 170 dolárov. Výrobca tiež má každý mesiac fixné náklady vo výške 150 000 dolárov.

Ⓐ Nájdite funkciu nákladov C. kedy X lavičky sa vyrábajú.

Ⓑ Nájdite funkciu príjmu R kedy X lavičky sa predávajú.

Ⓒ Zobrazte bod zvratu pomocou grafu funkcií Výnosy a Náklady v rovnakej mriežke.

Ⓓ Nájdite bod zvratu. Interpretujte, čo znamená bod zvratu.

Odpoveď

Ⓐ (C (x) = 120x + 150 000 )

Ⓑ (R (x) = 170x )

Ⓓ (3 000 ); pri predaji 3 000 lavičiek sú výnosy aj náklady 510 000 dolárov

Získajte prístup k tomuto online zdroju, kde získate ďalšie pokyny a praktiky so záujmami a kombináciami.

  • Záujem a zmesi

Kľúčové koncepty

  • Nákladová funkcia: Nákladová funkcia je cena výroby každej jednotky krát X, počet vyrobených jednotiek plus fixné náklady.

    (C (x) = ( text {cena za jednotku}) · x + text {fixné náklady} )

  • Príjmy: Funkcia výnosov je predajná cena každej jednotkovej doby X, počet predaných kusov.

    (R (x) = ( text {predajná cena za jednotku}) · x )

  • Bod zvratu: Bodom obratu je, keď sa výnos rovná nákladom.

    (C (x) = R (x) )

Glosár

nákladová funkcia
Funkciou nákladov sú náklady na výrobu každej jednotky krát xx, počet vyrobených jednotiek plus fixné náklady; C.(X) = (cena za jednotku)X + fixné náklady.
príjem
Výnosom je predajná cena každej jednotky krát X, počet predaných kusov; R (x) = (predajná cena za jednotku)X.
bod zvratu
Bod, v ktorom sa výnos rovná nákladom, je bodom rentability; C (x) = R (x).

6.4. Systémy lineárnych rovníc¶

Inžinieri milujú systémy lineárnych rovníc! Sú všade v systémoch, ktoré navrhujú inžinieri. Mnoho (možno väčšina) systémov je lineárnych. Systémy sú niekedy opísané diferenciálnymi rovnicami, ale tieto množiny rovníc je možné obvykle zmeniť na lineárne pomocou Laplaceovej transformácie. Hlavným bodom však je, že v aplikáciách na návrh a analýzu skutočných slov máme sústavy rovníc s viacerými neznámymi premennými, nielen s jednou rovnicou.

V časti Aplikácie lineárnych systémov zvážime niekoľko príkladov, odkiaľ pochádzajú systémy lineárnych rovníc. Zatiaľ zvážime, ako ich vyriešiť.


Lekcia Problémy s vetrom a prúdom

V tejto lekcii sú predstavené niektoré typické problémy s cestovaním a vzdialenosťou typu vietor a prúd pre motorový čln a lietadlo, ktoré uskutočňujú spiatočné lety.

V úlohách 1 a 2 je uvedená dĺžka cesty a čas strávený pohybom v každom smere.
Rýchlosť motorového člna (lietadla) v stojatej vode (nehybný vzduch) a aktuálna rýchlosť (vietor) nie sú známe.
Spôsob, ako vyriešiť tieto problémy, je znížiť ich na systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi a potom tento systém vyriešiť.

V úlohách 3 a 4 je doba jazdy daná každému smeru, ako aj jednej z dvoch rýchlostí.
Iná rýchlosť a dĺžka jazdy nie sú známe.
Spôsob, ako vyriešiť tieto problémy, je znížiť ich na jednu lineárnu rovnicu s jednou neznámou premennou - rýchlosťou a potom túto rovnicu vyriešiť.
Po dokončení môžete vypočítať dĺžku cesty.

Problém 1. Motorový čln pohybujúci sa po rieke proti prúdu a po prúde

Motorový čln prekoná 24 míľ proti prúdu rieky po prúde za 3 hodiny.
Spiatočná cesta s prúdom trvá 2 hodiny.
Nájdite rýchlosť motorového člna v stojatej vode a aktuálnu rýchlosť.

Nechaj u byť rýchlosť motorového člna v stojatej vode v míľach za hodinu,
a v je aktuálna rýchlosť v míľach za hodinu.
Potom je rýchlosť motorového člna u - v relatívna k brehom rieky, keď sa pohybuje proti prúdu, a u + v, keď sa pohybuje po prúde.
Pre cestu proti prúdu prúdu máte vo formulári rovnicu spájajúcu rýchlosť, čas a vzdialenosť

Pre cestu po prúde máte vo formulári podobnú rovnicu

Takto máte sústavu dvoch lineárnych rovníc v dvoch neznámych

V prvej rovnici vydelte obe strany číslom 3. V druhej rovnici vydelte obe strany číslom 2. Dostanete ekvivalentný systém

Pridajte prvú a druhú rovnicu. Dostaneš

Preto u = 10 míľ za hodinu.

Teraz nahraďte túto hodnotu u rovnicou u + v = 12. Dostanete

v = 12 - 10 = 2 míle za hodinu.

Odpoveď. Rýchlosť motorového člna v stojatej vode sa rovná 10 míľ za hodinu. Aktuálna rýchlosť je 2 míle za hodinu.

Úloha 2. Lietadlo letiace do vetra a vetra

Keď lietadlo letí do vetra, môže prekonať 3000 míľ za 6 hodín.
Keď letí s vetrom, môže prekonať rovnakú vzdialenosť za 5 hodín.
Nájdite rýchlosť nehybného lietadla a rýchlosť vetra.

Nech je u rýchlosť lietadla na pokojnom vzduchu v míľach za hodinu,
a v je rýchlosť vetra v míľach za hodinu.
Potom je rýchlosť letúna u - v relatívna so zemou, keď sa pohybuje do vetra, a u + v, keď sa pohybuje s vetrom.
Pre let do vetra máte rovnicu spájajúcu rýchlosť, čas a vzdialenosť vo forme

Pre let s vetrom máte podobnú rovnicu v tvare

Takto máte sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi

V prvej rovnici vydelte obe strany číslom 6. V druhej rovnici vydelte obe strany číslom 5. Dostanete ekvivalentný systém

Pridajte prvú a druhú rovnicu. Dostaneš

Preto u = 550 mil za hodinu.

Teraz nahraďte túto hodnotu u rovnicou u + v = 600. Dostanete

v = 600 - 550 = 50 míľ za hodinu.

Odpoveď. Rýchlosť nehybného letúna sa rovná 550 míľ za hodinu. Rýchlosť vetra je 50 míľ za hodinu.

Problém 3. Motorový čln pohybujúci sa po rieke proti prúdu a po prúde

Motorový čln podnikne cestu proti prúdu rieky po 3 hodinách proti prúdu, čo je 2 míle za hodinu.
Spiatočná cesta po prúde s rovnakým prúdom trvá 2 hodiny.
Nájdite rýchlosť motorového člna v stojatej vode a dĺžku cesty.

Označme u rýchlosť motorového člna v stojatej vode v míľach za hodinu.
Potom je rýchlosť motorového člna u - 2 vzhľadom na brehy rieky, keď sa pohybuje proti prúdu, a u + 2, keď sa pohybuje dole po prúde.
Dĺžka cesty proti prúdu je rovná 3 * (u - 2) míľ.
Dĺžka cesty po prúde sa rovná 2 * (u + 2) míľ.
Pretože je to rovnaká dĺžka, získate rovnicu s jednou neznámou

Poďme otvoriť zátvorky, pozbierajme premenné výrazy na ľavej strane, konštantné výrazy na pravej strane a redukujme podobné výrazy krok za krokom:

3u - 6 = 2u + 4,
3u - 2u = 6 + 4,
u = 10.

Takto sme našli rýchlosť motorového člna v stojatej vode na 10 míľ za hodinu.
Teraz určte dĺžku cesty nahradením u = 10 vo vzorci
L = 3 * (10 - 2) = 3 * 8 = 24 míľ.

Odpoveď. Rýchlosť motorového člna v stojatej vode sa rovná 10 míľ za hodinu. Dĺžka cesty sa rovná 24 míľ.

Úloha 4. Lietadlo letiace do vetra a vetra

Lietadlo letí 6 hodín proti vetru.
Spiatočná muška s rovnakým chvostovým vetrom trvá 5 hodín.
Rýchlosť letúna v nehybnom vzduchu je 550 míľ za hodinu.
Zistite rýchlosť vetra a dĺžku letu.

Nech u je rýchlosť vetra v míľach za hodinu.
Potom je rýchlosť letúna 550 - v, keď sa pohybuje proti vetru, a 550 + v, keď sa pohybuje s vetrom.
Letún letí 6 * (550-v) míľ, keď letí proti vetru.
Letún letí letí s vetrom 5 * (550 + v) míľ.
Pretože má rovnakú dĺžku, dá nám to rovnicu s jednou neznámou

Poďme otvoriť zátvorky, pozbierajme premenné výrazy na ľavej strane, konštantné výrazy na pravej strane a redukujme podobné výrazy krok za krokom:
3300 - 6v = 2750 + 5v,
3300 - 2750 = 5v + 6v,
11v = 550,
v = 50.

Takto sme zistili rýchlosť vetra 50 míľ za hodinu.
Teraz určte dĺžku cesty nahradením v = 50 vo vzorci
L = 6 (550 - v) = 6 * 500 = 3000 míľ.

Odpoveď. Rýchlosť vetra sa rovná 50 míľ za hodinu. Dĺžka letu sa rovná 3000 míľ.


6.4: Riešenie aplikácií zmesí so systémami rovníc

NÁZOV: Systémy rovníc - praktické aplikácie a riešenie problémov
VÝVOJÁR ÚLOH: James Ring
OBLASŤ OBSAHU A Trieda:
Základy algebry II. A 11. stupňa
ROZSAH PÔSOBNOSTI A POSTUPNOSŤ: Oddiel 8.8,8.9,10.10 Text algebry
DÁTUM VÝUČBY CIEĽA: 22. marca 23,26,27,28
ŠKOLA: Stredná škola Johna F. Kennedyho

VZORY A ALGEBRA - STUPEŇ 9.-12

ŠTANDARD 4,3 VZORY A ALGEBRA: Všetci študenti budú reprezentovať a analyzovať vzťahy medzi premennými veličinami a riešiť problémy týkajúce sa vzorcov, funkcií a algebraických konceptov a procesov.

Prameň A. Vzory: Na základe znalostí a zručností získaných v predchádzajúcich ročníkoch budú študenti do konca 12. ročníka:

3. Na vytvorenie zovšeobecnení použite induktívne uvažovanie.

Oblasť B. Funkcie a vzťahy: Na základe znalostí a zručností získaných v predchádzajúcich ročníkoch budú študenti do konca 12. ročníka:

1. Pochopte vzťahy a funkcie, vyberte ich, flexibilne medzi nimi konvertujte a použite pre ne rôzne znázornenia vrátane rovníc alebo nerovností, tabuliek a grafov.
2. Analyzujte a vysvetlite všeobecné vlastnosti a správanie funkcií jednej premennej pomocou vhodných grafických technológií.

  • Sklon priamky alebo krivky
  • Doména a rozsah
  • Odposluchy
  • Kontinuita
  • Maximum / minimum
  • Odhad koreňov rovníc
  • Priesečník ako riešenie sústavy rovníc
  • Sadzby zmeny

Prameň C. Modelovanie: Na základe znalostí a zručností získaných v predchádzajúcich ročníkoch budú študenti do konca 12. ročníka:

1. Použite funkcie na modelovanie skutočných javov a riešenie problémov, ktoré zahŕňajú rôzne veličiny.

  • Lineárne, kvadratické, exponenciálne, periodické (sínusové a kosínusové) a krokové funkcie (napr. Cena za odoslanie prvotriedneho listu za posledných 200 rokov)
  • Priama a inverzná variácia
  • Absolútna hodnota
  • Výrazy, rovnice a nerovnosti
  • Rovnaká funkcia môže modelovať rôzne javy
  • Rast / rozklad a zmeny v prírodnom svete
  • Aplikácie v matematike, biológii a ekonómii (vrátane zloženého úroku)

Prameň D. Postupy: Na základe znalostí a zručností získaných v predchádzajúcich ročníkoch budú študenti do konca 12. ročníka:

2. Vyberte a použite vhodné metódy na riešenie rovníc a nerovností.

  • Lineárne rovnice - algebraicky
  • Kvadratické rovnice - faktoring (keď je koeficient X 2 1) a použitie kvadratického vzorca
  • Všetky typy rovníc využívajúce techniky grafov, počítačov a grafov
  1. Študenti napíšu popis práce pre každý praktický problém s aplikáciou.
  2. Študenti napíšu kľúčové slová z tohto slovného bloku.
  3. Študenti napíšu vzorové úlohy z testu pre túto jednotku.
  4. Študenti využijú systémy rovníc na uskutočnenie praktickej aplikácie Real Real problem.
  5. Študenti budú riešiť rôzne typy praktických aplikácií Problémy z reálneho života.

Skutočné nastavenie sveta: Chemik

Ste chemik. Stretávate sa s problémom. Musíte pripraviť roztok zmiešaním dvoch daných roztokov. Musíte zistiť, koľko z každého daného riešenia by sa malo použiť na výrobu vášho nového riešenia. Po dokončení problému predstavíte svoje riešenie a postup použitý v triede.

SMARTSKILLS:

Úroveň I: Získavanie údajov - Údaje, ktoré študenti získajú v rámci tejto úlohy založenej na štandardoch:

  • Slovná zásoba: Študenti sa naučia definíciu kyslého roztoku, zmesí, riešenia problémov, množstva, kvality a riešenia.
  • Zručnosti: Študenti použijú & quot; proces & quot; pri riešení problémov:
    - Čo ty vieš
    - Čo hľadáš
    - Čo to znamená
  • Procesy: Študenti budú postupovať podľa viacerých krokov.

Úroveň II: Vizualizácia informácií - Údaje z úrovne I, ktoré sú vizualizované ako informácie v tejto úlohe založenej na štandardoch:

  • Organizovanie: Študenti si usporiadajú svoje myšlienky a prácu a umiestnia si ich do zošitov.
  • Vytváranie vzorov: študenti využijú schopnosti induktívneho a deduktívneho uvažovania podľa vzorcov nájdených v každom z problémov.
  • Vytvorenie významu: Študenti analyzujú problém s cieľom určiť systém rovníc, ktoré sa majú použiť.

Úroveň III: Uplatňovanie vedomostí - Vizualizované informácie z úrovne II, ktoré sú aplikovanými znalosťami v tejto úlohe založenej na štandardoch:

  • Robiť rozhodnutia: Študenti určia typ riešenia, ktoré sa má použiť pri riešení sústav rovníc.
  • Riešenie problémov: Študenti zovšeobecnia tento konkrétny príklad a podobným príkladom na hypotézu o problémoch so zmiešaním.
  • Vytváranie riešení: Študenti vytvoria schránku riešení pre riešenie praktických aplikačných riešení a miešanie úloh.

PREFERENCIE:

Zapojenie študentov - Študenti úlohu dokončia jednotlivo a ako kooperatívna skupina v prostredí celej triedy

Pokyn - Aktivity budú organizované a uskutočňované diferencovaním aktivít alebo stratégií tak, aby sa študentom ponúkli vhodné spôsoby učenia sa, ako súhrn praktických aktivít podporovaných učiteľom v brožúre pre študentov počas triedy

Špeciálne ubytovanie - Študenti so špeciálnymi potrebami budú vyžadovať nasledujúce elektronické zariadenia: Kalkulačky

Špeciálne ubytovanie - Študenti so špeciálnymi potrebami sa spoja so študentským partnerom.

Špeciálne ubytovanie - Študenti so špeciálnymi potrebami budú vyžadovať ďalšie spracovanie a čas odpovede, písomné kópie ústne predložených inštruktážnych alebo hodnotiacich materiálov a písomné alebo fotokopírované poznámky ústne predložených inštruktážnych alebo hodnotiacich materiálov.

Použitie zdrojov - Škola zabezpečí učebné materiály ako ceruzka, papier, zošity.

Použitie zdrojov - Študenti poskytnú učebné materiály ako ceruzky, papier, zošity a kalkulačky.

Zákazník za študentskú prácu - Študent predloží svoju prácu ako dôkaz splnenia úlohy rovesníkom,
učitelia a správcovia.

Hodnotenie študentskej práce - Do hodnotenia práce študentov vytvorených na dokončenie úlohy budú zapojení títo ľudia: Učiteľ a kolegovia študenta.

Výsledky hlásenia - Výsledky posúdenia sa uvedú ako bodový bod v rubrike a
ako listová známka.

Časová os - Odhadovaný čas potrebný na plánovanie, vyučovanie a skórovanie tejto úlohy je od 8 do 10 tried.

Aktivita 1: Preskúmanie včerajšej lekcie (odhadovaný čas: 10 min)

A) Požiadajte študentov, aby pri riešení praktických aplikačných problémov definovali „myšlienkový proces“.

B) Každý by mal vedieť, v čom je problém a čo hľadáte.

C) Preskúmanie CENY IMAX MOVIE problém s domácimi úlohami.

Technológia pre túto činnosť: Kalkulačky
Materiály pre túto činnosť: Notebooky, ceruzky a problémový balík s praktickými aplikáciami.
Študentský produkt alebo výkon pre túto aktivitu: Študenti vyrobia včerajší HW, poskytnú použité postupy a nové postupy si zapíšu do svojich zošitov.
Bodovací nástroj pre túto aktivitu: Teacher checklist

Activity 2: Mixture of Solution Problem (Est. time 10 min)

The teacher directs students to read the problem(#6 in packet) aloud. Ask a student to start the process.

DO NOT START IT FOR THEM.

WAIT for them they will get it started.

What you know: Label unknowns "x" and "y", a skill learned in past lessons.

"Thought Process" - from English sentences (the problem) make Mathematical sentences. The teacher will prompt them by asking and reinforcing "What are Math sentences?"Their response will be Math. sentences are EQUATIONS.

So let's make equations.

Activity 3: Synthesis and Analysis of Problem ( Est. time 20 min)

A) Have them reread the problem aloud and ask for the equations.

B) WAIT for them to determine what sentences will be used to determine the equations to be used in solving the problem.

C) Write 1st equation. x + y = 200. Ask what that represents? The response you are looking for is "quantity" - amount of stuff.

D) Ask "what is the 2nd equation?" and "what does it represent?"

E) WAIT! They will have trouble with this part which leads us to Activity 4.

Activity 4: Side Bar Example (Est. time 10 min)

A) Give this problem: you have 6 quarters and 3 dimes. What do you have? Let them answer.

B) WAIT!! Let them answer. A majority will respond $1.80.

C) Ask them to now think like a 1st grader and the response will be 9 coins.

D) Let them see that BOTH answers are correct.

E) Have them write equations:

F) Tell them to use this side bar exercise in figuring out what the 2nd equation in their problem will be

G) WAIT. They will come up with it.

Activity 5: Using Applications to Solve (Est. time 10 min)

    An equation about "stuff" will be:
    x + y = 200

B) Once you have both equations, change % values to decimal values

C) Ask how to remove decimals? Their response will be multiply by 100. A skill previously learned.

D) With both equations in "workable" (easier terms) form allow them to complete the "thought process" by solving these two equations. a skill they possess from previous lessons.

Activity 6: Recap the Problem (Est. time 10 min)

A) Once solutions are found ask various students to present their work and give the "thought process" they used in solving this problem

B) This will ensure they know the process needed to solve these problems

Activity 7: Discussion (Est. time 10 min)

A0 Initiate a group discussion of the process in solving these types of Real Life practical application problems

B) These discussions should lead to the presentation of a solution box for mixture problems

Materials for Activities 2-7: Notebooks, pencils, calculators, and Practical Application Packet (included below).

Scoring Tool for Activities 2-7: Assign problem 7 or 8 for homework and check notebooks

PRACTICAL APPLICATION PACKET

Applications and Problem Solving

    Pizza and Soda Prices. A campus vendor charges $3.50 for one slice of pizza and one medium soda and $9.15 for three slices of pizza and two medium sodas. Determine the price of one medium soda and the price of one slice of pizza.

Extra Credit

Phone Rates. Recently, AT&T offered an unlimited long-distance calling plan to anyone in the United States, 24 hours a day, 7 days a week, for $29.95 a month. Another plan charges $.07 a minute all day every day, but costs an additional $3.95 per month. For what number of minutes will the two plans cost the same? Remember "Thought Process."

BENCHMARKING:

Student Performance One: Problem solving "thought process"

Assessment Benchmarking Example: The student's ability to make "math sentences" (equations), properly list unknowns, and solve equations.

Student Performance Two: Solving Practical Applications

Assessment Benchmarking Example: The student will produce a valid solution. Each step will follow logically from previous steps and each step will correctly identify the methods used.

Student performance Three: Group discussions.

Assessment Benchmarking Example: The student will participate actively in the group discussions. The student's comments will be mathematically valid, relevant, and courteous to classmates and teacher.

The response indicates application of a reasonable strategy that may or may not lead to a correct solution. The representations are essentially correct. The explanation and/or justification is generally well developed, feasible, and supports the solution. The response demonstrates a clear understanding and analysis of the problem.

The response indicates an incomplete application of a reasonable strategy that may or may not lead to a correct solution. The representations are fundamentally correct. The explanation and/or justification supports the solution and is plausible, although it may not be well developed or complete. The response demonstrates a conceptual understanding and analysis of the problem.

The response indicates little or no application of a reasonable strategy. It may or may not have the correct answer. The representations are incomplete or missing. The explanation and/or justification reveals serious flaws in reasoning. The explanation and/or justification may be incomplete or missing. The response demonstrates a minimal understanding and analysis of the problem.

Justification refers to the student using mathematical principles to support the reasoning used to solve the problem or to demonstrate that the solution is correct. This could include the appropriate definitions, postulates and theorems.

Essentially correct representations may contain a few minor errors such as missing labels, reversed axes, or scales that are not uniform.

METACOGNITION:

Cognitive Information: I will collect the following information in a survey at the end of the unit.

  1. Describe what skills you needed to complete this task.
  2. Explain how you solved the goal, problem, or issue in this task.
  3. Give "thought process" used that helped you solve this task.
  4. Explain why you completed the task your way.

Attitude Information: I will collect the following information in a survey at the end of the unit.

  1. Do you feel that you are good in performing practical applications of systems of algebraic equations?
  2. Did you find this task to be difficult?
  3. Do you still find it a difficult task?
  4. Did you see the usefulness of what you were asked to do in real life?
  5. Did you enjoy the task?

Analyze: I will examine the data in my chart to look for trends, contributing factors, and implications of student performance over a series of assessments of the same learning standard.

Trends: I will look for improvement relative to previous lessons which included practical applications.

Reflect: I will consider two or more of the following stems to reflect on the results and instructional practices I used and others I might benchmark and apply in the future. Then, I'll write a brief summary about my findings, contributing factors, and implications for improvement.

As I relate my students' results with my lesson activities, I noticed that having the students understand the "thought process" and perform solving practical application problems has the most promise for becoming a best practice in my classroom because I find that the students have a better retention of algebraic concepts if they have a chance to see, understand, and perform real life practical applications rather than just reading, hearing, and copying them.

This connects to previous and subsequent lessons in the chapter on Systems of Equations. The students are becoming familiar with the techniques of problem solving and are using them correctly.

Action Plan: I will complete the following TaskBuilder Figure 8 Strategy Action Plan to prepare for my next standards-based task.

1. Plan - My next standards-based task will focus on:

  • Title: Rational Expressions in Algebra
  • Content Area:Algebra (10th and 11th grade)
  • Learning Standard(s):NJCCS
  • Intent:Define the concept of rational expressions and apply it to the simplification of algebraic expressions and practical real life applications.

5. Team or Grade Level Portfolio and School Web Site - I will insert the standards-based instruction or assessment task, results, samples of student work, and summary into my Team or Grade Level Portfolio and upload them to my School's Instructional Web Site on the following dates:
Target date for School Instructional Web Site:May 18, 2007


Appendix

5. Susan has seven more fish than Tammy. They have 43 fish altogether. How many fish does each have?

6. Bob is three years older than his brother. The sum of their ages is 33. How old is Bob?

7. Two angles are supplementary. The measure of one angle is 30 degrees more than the measure of the other. What is the measure of the larger angle?

8. The length of the rectangular garden is three times the width. If the perimeter is 32m, what are the dimensions of the garden?

13. Two small pitchers and one large pitcher can hold 8 cups of water. One large pitcher minus one small pitcher constitutes 2 cups of water. How many cups of water can each pitcher hold?

14. The sum of two numbers is 15. The difference of the same two numbers is one. What are the two numbers? ( 7,8 )

15. Twice a number, minus another number is equal to -10. The sum of these two numbers is 1,130. What are the two numbers? (750, 380)

16. Ted just produced a CD. He sells his new CD for $ 5.00. Brett just released a new CD as well. He sells his for $ 6.00 each. How many CD's would they each have to sell each if the difference in sales was $ 30.00 and the total sales were $ 90.00?

17. A total of $ 12,000 is invested in two funds paying 9% and 11%. If the yearly interest is $ 1,180, find out how much money they invested in each fund.

18. Teddy invested $ 5,000, part at 11% annual interest and the rest at 13% interest. If he receives $ 610 interest at the end of on year, how much did he invest at each rate?

19. Stuart invested $ 1,000 in two different funds. One paid 10% interest and the other paid 9% interest. At the end of the first year he made $ 94. How much did Stuart invest at each rate? (400, 600)

20. Margaret invested $ 510 in two stocks. The first stock had a return of 13% and the second had a return of 7%. The resulting interest after one year was $ 59.70. What was the amount of money she invested in each stock?

21. How many ounces of a 6% iodine solution needs to be added to 12 ounces of a 10% iodine solution to create a 7% iodine solution?

22. How many gallons of a 7% acid solution should be mixed with how many gallons of a 15% acid solution to equal 20 gallons of a 12% acid solution?

23. Dr. Hekyl plans to combine a 12% acid solution with a 30% acid solution to make 72 liters of a 20% solution. How many liters of each should be used?

24. How many liters of a solution that is 18% chlorine must be mixed with a solution that is 30% chlorine in order to get 50 liters of a solution that is 27% chlorine?

25. Flying against a head wind, a plane could fly 3000 km in 6 hours. The plane would require only 5 hours for the return trip with no change in wind. Find the wind speed and the air speed of the plane.

26. A boat travels 4 km in 20 min with the current. The return trip takes 24 min. find the speed of the current and the speed of the boat in still water.

27. Walking down a long moving escalator, Phil covered the 75 m distance in 25 sec. Walking back up against the motion of the escalator, the distance was covered in 75 sec. What was the speed of the escalator?

28. Steve flew his experimental plane 56.25 km with the wind in 45 min. The return trip took 75 min with no change in the wind. What was the wind speed?

29. 3x + 5y = 11 6x + 4y = 16 (2,1)

30. 3x + 6 y = -6 5x - 2y = 14 (2, -2)

31. 3x + 4y = -25 2x - 3y = 6 (-3, -4)

32. 7x - 5y = 76 4x + y = 55 (13, 3)

33. A landscaping company placed two orders with a nursery. The first order was for 13 bushes and 4 trees, and totaled $ 487. The second order was for 6 bushes and 2 trees, and totaled $ 232. The bill does not list the per-item price. What is the cost of one bush and of one tree?

34. The air-mail rate for letters to Europe is 45 cents per half-ounce and to Africa as 65 cents per ounce. If Shirley paid $ 18.55 to send 35 half-ounce letters abroad, how many did she send to Africa

35. Lucy and Desi are driving across the Mojave Desert when they run out of gas. Desi starts walking east to find a gas station at the same time Lucy walks west to find a phone. After 2 hours they are 4.2 miles apart. Desi walks .4miles per hour faster than Lucy. Find their rates of speed. (d=rt)


OpenAlgebra.com

Odpoveď: One player rushed for 310 yards and the other rushed for 1,240 yards.

The set-up determines the method that we will choose to solve the system. Since the r variable was isolated the easiest method to choose was the substitution method. However, it does not matter which method we choose - the answer will be the same.

Typical Word Problem: A particular Algebra textbook has a total of 1,382 pages which is broken up into two parts. The second part of the book has 64 more pages than the first part. How many pages are in each part of the book?

Odpoveď: There are 659 pages in the first part and 723 pages in the second.

Mixture Word Problem: Dennis mowed his next door neighbor's lawn for a handful of dimes and nickels, 80 coins in all. Upon completing the job, he counted out the coins and it came to $6.60. How many of each coin did he earn?

Odpoveď: He needs 2 ounces of the 50% alcohol liquor and 6 ounces of the 10% alcohol liquor.

Geometry Word Problem: Two angles are supplementary. The larger angle is 48 degrees more than 10 times the smaller angle. Nájdite mieru každého uhla. (Supplementary angle add to 180 degrees)

Odpoveď: The two angles measure 12 degrees and 168 degrees.

Odpoveď: The two angles measure 31 degrees and 59 degrees.

Perimeter Word Problem: The perimeter of a rectangular garden is 62 feet. The length is 1 foot more than twice the width. Find the dimensions of the garden.

When setting up these word problems look for totals. The above is very typical, notice that one of the equations consists of the total amount invested, X + r = 1,800. The other equation represents the total amount of interest for the year, 0.03X + 0.06r = 93. Two linear equations allow you to solve for the variables.

Also notice that it is wise to identify your variables every time. This focuses your efforts and aids you in finding the solution. It also tells you what our answers mean at the end.

Interest Word Problem: Millicent has $10,000 invested in two accounts. For the year she earned $535 more in interest from her 7% Mutual Fund account than she did from her 4% CD. How much does she have in each account?

Always check to make sure your answer makes sense in terms of the word problem. If you come up with an answer of say X = $20,000 in the problem above you know this is unreasonable since the total amount is $10,000. At that point you should go back and check your set-up then check your algebra from there.

To solve distance problems, sometimes called uniform motion problems, it helps to organize the given data. First identify the variables then try to fill in the chart with the appropriate values. Sometimes your set up can come from columns in the chart and other times the set up will come from the rows. Remember the formula D = r * t.

Uniform Motion Problem: An executive traveled 1,930 miles by car and by plane. He drove to the airport at an average speed of 60 miles per hour and the plane averaged 350 miles per hour. The total trip took 8 hours. How long did it take to get to the airport?


Word problems take practice. Be sure to do all of the assigned word problems and review them often. Do not plan on skipping them on the exams - this is not a winning strategy. Usually, once we set our word problems up correctly, the algebra is easier than other problems.

Video Examples on YouTube:


Distance, Rate, and Time Example

You'll usually encounter a distance, rate, and time question as a word problem in mathematics. Once you read the problem, simply plug the numbers into the formula.

For example, suppose a train leaves Deb's house and travels at 50 mph. Two hours later, another train leaves from Deb's house on the track beside or parallel to the first train but it travels at 100 mph. How far away from Deb's house will the faster train pass the other train?

To solve the problem, remember that d represents the distance in miles from Deb's house and t represents the time that the slower train has been traveling. You may wish to draw a diagram to show what is happening. Organize the information you have in a chart format if you haven't solved these types of problems before. Remember the formula:

When identifying the parts of the word problem, distance is typically given in units of miles, meters, kilometers, or inches. Time is in units of seconds, minutes, hours, or years. Rate is distance per time, so its units could be mph, meters per second, or inches per year.

Now you can solve the system of equations:

Substitute t = 4 into train No. 1

Now you can write your statement. "The faster train will pass the slower train 200 miles from Deb's house."


6.4: Solve Mixture Applications with Systems of Equations

Division of Engineering
Brown University

Lecture Notes, Spring 2005

These notes were written by Professor Allan Bower, Division of Engineering, Brown University, Providence RI 02912.
You are welcome to read or print them for your own personal use. All other rights are reserved.

You may also find the general introductory solid mechanics text posted at http://solidmechanics.org useful. This text contains extensive materials on elasticity, plasticity, constitutive models, FEA, beams, plates and shells, as well as more than 400 practice problems.

2. Theorems of Linear Elasticity

3. 3D Static Boundary Value Problems

4. 2D Static Boundary Value Problems I: Saint Venant Theory of Torsion

5. 2D Static Boundary Value Problems II: Anti-Plane Shear

6. 2D Static Boundary Value Problems III: Plane Elasticity

7. Complex Variable Methods for Plane Elastostatics


Algebra 4

equate b and v to get time t when they have equal keychains.

According to the question,
17x + 18y = 61.50 ----------> equation (1)
10x + 21y = 57 -----------------> equation (2)

Now,
Taking equation (1),
17x + 18y = 61.50
18y = 61.50 - 17x
y = (61.50 - 17x ) / 18 -----> equation (3)

Now, substituting the value of "y" in equation (2), we get,

10x+21 (61.50-17x/18)=57
10x+7 (61.50-17x/6)=57
10x+ 430.50-119x/6=57
10x*6/6 430.50-119x/6=57
60x/6+ 430.50-119x/6=57
430.50+60x-119x/6=57
430.50-59x=342
59x=430.50-342
x=88.5/59
x=1.5

ur 2 equations are :
y = 1/3x - 2 and y = 1/4x + 11. but we need them in standard form.

y = 1/3x - 2
-1/3x + y = -2 ..multiply by 3
-x + 3y = -6. or 3y - x = -6 <==

Number of orders in a = number of month + 2

Number of orders out = 2 number of month + 1

Every exponential function of form f (x) = a^x, act with these Properties -

1. The function applied to the zero value is always equal to 1: f (0) = a ^ 0 = 1

2. The exponential function of 1 is always equal to the base: f (1) = a ^ 1 = a.

3. The exponential function of a total is equal to the product of the use of the function on each value separately.

f (m + n) = a ^ (m + n) = a ^ m · a ^ n = f (m) · f (n).

4. The exponential function of subtraction is equal to the quotient use to a quantity or number which another is to be subtracted, then divided by the application to the quantity or number to be subtracted from another:

f (p - q) = a ^ (p - q) = a ^ p / a ^ q

Logarithm: In the log (b), a is called the base of the logarithm and b is called an argument, with a and b positive.


RD Sharma solutions for Class 11 Mathematics Textbook chapter 15 (Linear Inequations) include all questions with solution and detail explanation. This will clear students doubts about any question and improve application skills while preparing for board exams. The detailed, step-by-step solutions will help you understand the concepts better and clear your confusions, if any. Shaalaa.com has the CBSE Class 11 Mathematics Textbook solutions in a manner that help students grasp basic concepts better and faster.

Further, we at Shaalaa.com provide such solutions so that students can prepare for written exams. RD Sharma textbook solutions can be a core help for self-study and acts as a perfect self-help guidance for students.

Concepts covered in Class 11 Mathematics Textbook chapter 15 Linear Inequations are Inequalities - Introduction, Algebraic Solutions of Linear Inequalities in One Variable and Their Graphical Representation, Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables, Solution of System of Linear Inequalities in Two Variables.

Using RD Sharma Class 11 solutions Linear Inequations exercise by students are an easy way to prepare for the exams, as they involve solutions arranged chapter-wise also page wise. The questions involved in RD Sharma Solutions are important questions that can be asked in the final exam. Maximum students of CBSE Class 11 prefer RD Sharma Textbook Solutions to score more in exam.


Pozri si video: Riešenia pre bezproblémové fungovanie firemných aplikácií v cloude (December 2021).