Články

1.4: Reprezentácie celých čísel na rôznych základoch - matematika


V tejto časti si ukážeme, ako sa dá každé kladné celé číslo zapísať jedinečným spôsobom z hľadiska rozšírenia na celé kladné číslo. A zjavne mali Babylončania (30 ) prstov na každej ruke alebo (15 ) na každej ruke a každej nohe, pretože používali základňu (60 ).)

Zápis Celé číslo (a ) zapísané v základnom rozšírení (b ) je označené ((a) _b ).

[thm: basebexpansion] Nech (b v ZZ ) uspokojí (b> 1 ). Potom ( forall m in NN ), ( existuje l v NN ) a ( existuje a_1, dots, a_l v ZZ ) také, že [ begin {zarovnané} m = a_lb ^ l + a_ {l-1} b ^ {l-1} + dots + a_1b + a_0, 0 leq a_j

Opravte znak (m v NN ). Začneme vydelením (m ) číslom (b ) a dostaneme [m = q_0b + a_0, 0 leq a_0

Teraz, keď nahradíme rovnicu (q_0 = q_1b + a_1 ) v (m = q_0b + a_0 ), dostaneme [m = (q_1b + a_1) b + a_0 = q_1b ^ 2 + a_1b + a_0, ] postupne dosadením rovníc do (m ) dostaneme [ begin {aligned} m & = q_2b ^ 3 + a_2b ^ 2 + a_1b + a_0, & . & . & . & = q_ {l-1} b ^ l + a_ {l-1} b ^ {l-1} + dots + a_1b + a_0, & = a_lb ^ l + a_ {l-1} b ^ { l-1} + dots + a_1b + a_0. end {zarovnané} ] Zostáva dokázať, že znázornenie je jedinečné. Predpokladajme teraz, že [m = a_lb ^ l + a_ {l-1} b ^ {l-1} + dots + a_1b + a_0 = c_lb ^ l + c_ {l-1} b ^ {l-1} + dots + c_1b + c_0 ] kde, ak je počet výrazov v jednej expanzii odlišný, pridáme nulové koeficienty, aby sa počet výrazov zhodoval. Po odčítaní dvoch rozšírení dostaneme [(a_l-c_l) b ^ l + (a_ {l-1} -c_ {l-1}) b ^ {l-1} + dots + (a_1-c_1) b + (a_0 -c_0) = 0. ] Ak sú dve rozšírenia odlišné, potom existuje (0 leq j leq l ) také ako (c_j neq a_j ). Vo výsledku dostaneme [b ^ j ((a_l-c_l) b ^ {lj} + dots + (a_ {j + 1} -c_ {j + 1}) b + (a_j-c_j)) = 0 ] a keďže (b neq 0 ), dostaneme [(a_l-c_l) b ^ {lj} + dots + (a_ {j + 1} -c_ {j + 1}) b + (a_j-c_j) = 0. ] Teraz dostaneme [a_j-c_j = (a_l-c_l) b ^ {lj} + dots + (a_ {j + 1} -c_ {j + 1}) b, ] a ako výsledok , (b mid (a_j-c_j) ). Pretože (0 leq a_j

[def: base] Uvedené (b v ZZ ) uspokojivé (b> 1 ). Pre (m in NN ), nech ( ell in NN ) a (a_1, dots, a_ ell in ZZ ) zodpovedajú vyššie uvedenej vete ([thm: basebexpansion ]). Potom základný (b ) výraz pre (m ) je postupnosť číslic (m_b = a_ ell bodky a_1 ). Ak (b ge10 ), často používame niektoré ďalšie jednotlivé symboly na vyjadrenie možných hodnôt od (10 ​​) do (b-1 ) (a_i ). Napríklad [ begin {zarovnané} 10 & leftrightsquigarrow A 11 & leftrightsquigarrow B 12 & leftrightsquigarrow C & text { it atď.} End {zarovnané} ] Reprezentácia celých čísel na báze 2 zavolal binárne zastúpenie. Binárna reprezentácia je užitočná pre počítače: koeficienty (a_0, dots, a_l ) binárnej reprezentácie vyhovujú (0 le aj <2 ), sú teda 0 alebo 1. Teda predstavujú celé číslo na (l ) drôtov, jeden môže mať každý vodič buď s napätím (1), alebo bez neho (0). (V skutočnosti slovo trocha je kontrakcia Binárna číslica.)

Počítačoví programátori tiež často používajú základňu 8 a základňu 16, tzv osmičkový a hexadecimálne alebo hex, resp. Babylončania použili základňu (60 ), tzv sexagesimal.

[napr .: basetwo] Ak chcete zistiť rozšírenie 214 základne 3: urobíme nasledujúci [ begin {zarovnaný} 214 & = 3 cdot 71 + 1 71 & = 3 cdot 23 + 2 23 & = 3 cdot 7 + 2 7 & = 3 cdot 2 + 1 2 & = 3 cdot 0 + 2 koniec {zarovnané} ] Výsledkom je, že aby sme získali rozšírenie o základňu 3 o 214, vezmeme zvyšky divízie a dostaneme to ((214) _ {10} = (21221) _3 ).

[napr .: changebase] Ak chcete nájsť rozšírenie základne (10 ​​), t.j. desatinné rozšírenie ((364) _7 ): Robíme nasledovné: (4 cdot 7 ^ 0 + 6 cdot 7 ^ 1 + 3 cdot 7 ^ 2 = 4 + 42 + 147 = 193 ).

Cvičenia pre §4

Konvertovať ((7482) _ {10} ) na základný zápis 6.

Konvertovať ((98156) _ {10} ) na základný 8 zápis.

Prevod ((101011101) _2 ) na desatinný zápis.

Prevod ((AB6C7D) _ {16} ) na desatinný zápis.

Konvertovať ((9A0B) _ {16} ) na binárny zápis.


Pozri si video: Celá čísla - Matematika 7 (November 2021).