Články

2.3: Modelovanie pomocou diferenciálnych rovníc prvého rádu


Kedykoľvek existuje proces, ktorý sa má preskúmať, stáva sa možným matematický model. Pretože väčšina procesov zahŕňa niečo, čo sa mení, vstupujú do hry derivácie, ktorých výsledkom je diferenciálna rovnica. Budeme skúmať príklady toho, ako môžu diferenciálne rovnice modelovať tieto procesy.

Príklad ( PageIndex {1} ): Znečistenie

Rybník spočiatku obsahuje 500 000 galónov neznečistenej vody a má výpust, ktorý denne vypustí 10 000 galónov vody. Do rybníka prúdi potok s objemom 12 000 galónov denne, ktorý obsahuje vodu s koncentráciou znečisťujúcej látky 2 gramy na galón. Nájdite diferenciálnu rovnicu, ktorá modeluje tento proces, a určite, aká bude koncentrácia znečisťujúcej látky po 10 dňoch.

Riešenie

Necháme (x (t) ) množstvo znečisťujúcej látky v gramoch v jazierku po (t ) dňoch.

Používame základnú vlastnosť sadzieb:

[Celková sadzba = Sadzba - Sadzba. ]

Na nájdenie sadzby v používame

[ begin {align} dfrac { text {gram}} { text {day}} & = dfrac { text {gallons}} { text {day}} dfrac { text {gram}} { text {gallon}} & = dfrac {12 000} {1} dfrac {2} {1} & = 24 000 text {gramov za deň} end {zarovnať} ]

Aby sme zistili rýchlosť, najskôr si všimneme, že keďže v jazere bolo pôvodne 500 000 galónov vody a vodná hladina sa zvyšuje rýchlosťou 2 000 galónov za deň, celkový počet galónov vody v jazere po (t ) dní je

[galóny = 500 000 + 2 000 t. ]

Jednotky pre sadzbu out sú gramy za deň. Píšeme

[ begin {align} dfrac {gramy} {deň} = dfrac {galón}} {deň} dfrac {gram} {galón} & = dfrac {10 000} {1} dfrac {x} {500 000 a viac 2 000 , t} & = dfrac {10x} {500 + 2t} text {gramov za deň}. end {align} ]

Keď to všetko spojíme, máme to

[ dfrac {dx} {dt} = 24 000 - dfrac {10x} {500 + 2t}. ]

Toto je lineárna diferenciálna rovnica prvého poriadku s

[p (t) = dfrac {10} {500 + 2t} ; ; ; text {a} ; ; ; g (t) = 24 000. ]

Máme

[ begin {align} large mu & = e ^ { int frac {10} {500 + 2t} dt} & = e ^ {5 , ln (500 + 2t)} & = (500 + 2 t) ^ 5. end {align} ]

Vynásobenie integračným faktorom a použitie pravidla obráteného súčinu dáva

[((500 + 2t) ^ 5x) '= 24 000 (500 + 2t) ^ 5. ]

Teraz integrujte obe strany, aby ste dostali

[(500 + 2t) ^ 5x = 2 000 (500 + 2t) ^ 6 + C ]

[ znamená x = 2000 (500 + 2t) + dfrac {C} {(500 + 2t) ^ 5}. ]

Teraz použite počiatočnú podmienku na získanie

[x = 2000 (500) + dfrac {C} {(500) ^ 5} ]

[ znamená C = -3,125 krát 10 ^ {19}. ]

Teraz pripojte 10 pre (t ) a vypočítajte (x )

[ begin {align} x & = 2000 (500 + 2 (10)) + dfrac {-3,125 , text {x} , 10 ^ {19}} {(500 + 2 (10)) ^ 5} & = , 218 072 , text {gramy}. end {align} ]

Nižšie je uvedený graf

Príklad ( PageIndex {2} ): Šťastie

Práve ste vyhrali lotériu. Svojich výhier vo výške 5 000 000 dolárov ste vložili do fondu s návratnosťou 4%. Každý rok použijete 300 000 dolárov. Koľko peňazí budete mať o dvadsať rokov?

Riešenie

Toto je tiež a

[Celková sadzba = Sadzba - Sadzba ]

problém. Poďme

[x = text {zostatok po $ t $ rokoch.} ]

Sadzba von je

[300,000]

a sadzba v je

[0,04x. ]

Máme diferenciálnu rovnicu

[ dfrac {dx} {dt} = 0,04x - 300 000. ]

Toto je lineárne prvého rádu aj oddeliteľné. Oddeľujeme a integrujeme, aby sme získali

[ begin {align} int dfrac {dx} {0,04x - 300 000} & = int dt implikuje 25 , ln , (0,04 , x - 300 000) & = t + C_1 znamená 0,04x - 300 000 & = C_2 e ^ { frac {t} {25}} naznačuje x & = Ce ^ { frac {t} {25}} + 7 500 000. end {align} ]

Teraz použite počiatočnú podmienku, že keď (t = 0 ), (x = 5 000 000 )

[5 000 000 = C + 7 500 000. ]

Tak teda

[x = -2 500 000 , e ^ {t / 25} + 7 500 000. ]

Pripojením 20 za (t ) získate

[x = 1 936 148. ]

Zostanú vám asi 2 milióny dolárov.


Eulerova metóda

Najjednoduchšou numerickou metódou na aproximáciu riešení diferenciálnych rovníc je Eulerova metóda. Zvážte diferenciálnu rovnicu prvého poriadku s počiatočnou podmienkou:

Postup pre Eulerovu metódu je nasledovný:

Zostavte rovnicu dotyčnice k neznámej funkcii $ y (t) $ pri $ t = t_0 $:

kde $ y '(t_0) = f (y_0, t_0) $ je sklon $ y (t) $ pri $ t = t_0 $.

Použite dotyčnicu na aproximáciu $ y (t) $ v malom časovom kroku $ t_1 = t_0 + h $: $ y_1 = y_0 + f (y_0, t_0) (t_1 - t_0) $ kde $ y_1 cca y (t_1 ) $.

Zostrojte dotyčnicu v bode $ (t_1, y_1) $ a opakujte.

Vzorec pre Eulerovu metódu definuje rekurzívnu postupnosť:

$ y_ = y_n + f (y_n, t_n) (t_ - t_n) , y_0 = y (t_0) $

kde $ y_n cca y (t_n) $ za každý $ n $. Ak zvolíme rovnako rozložené hodnoty $ t $, vzorec sa stane

$ y_ = y_n + f (y_n, t_n) h , y_0 = y (t_0) , t_n = t_0 + nh $

s časovým krokom $ h = t_ - t_n $.

Všimnite si dve veľmi dôležité veci o Eulerovej metóde a numerických metódach všeobecne:

  • Menší časový krok $ h $ znižuje chybu v aproximácii.
  • Menší časový krok $ h $ vyžaduje viac výpočtov!

2.3: Oscilačné riešenia diferenciálnych rovníc

Okrajové podmienky pre reťazec držaný na nule na oboch koncoch tvrdia, že (u (x, t) ) sa v extrémoch reťazca zrúti na nulu (obrázok ( PageIndex <1> )).

Obrázok ( PageIndex <1> ): Stojaté vlny v reťazci (priestorovo aj časovo). z Wikipédie.

Bohužiaľ, keď (K & gt0 ), všeobecné riešenie (Rovnica 2.2.7) vedie k súčtu exponenciálnych rozpadov a rastov, ktoré nemôžu dosiahnuť okrajové podmienky (okrem triviálneho riešenia), preto (K ) výrazy v rovnici 2.2.5. Môžeme teda prepísať (K ):

Všeobecné riešenie diferenciálnych rovníc v tvare Rovnica ref <2.3.2> je

Overte, či Rovnica ( ref <2.3.3> ) je všeobecný tvar pre diferenciálne rovnice vo forme Rovnice ( ref <2.3.2> ), ktorá keď bude nahradená Rovnicou ( ref <2.3. 1> ) dať

Rozšírte komplexné exponenciály na trigonometrické funkcie pomocou Eulerovho vzorca ( (e ^ = cos theta + i sin theta ))

[X (x) = A doľava [ cos (px) + i sin (px) doprava) + B doľava [ cos (px) - i sin (px) doprava] nonumber ]

[X (x) = (A + B) cos (px) + i (A - B) sin (px) označenie <2.3.6> ]

Predstavte nové zložité konštanty (c_1 = A + B ) a (c_2 = i (A-B) ), aby bolo možné všeobecné riešenie v rovnici ( ref <2.3.6> ) vyjadriť ako oscilačné funkcie

[X (x) = c_1 cos (px) + c_2 sin (px) štítok <2.3.7> ]

Teraz použijeme okrajové podmienky z rovnice 2.2.7 na určenie konštánt (c_1 ) a (c_2 ). Dosadenie prvej okrajovej podmienky ( (X (x = 0) = 0 )) do všeobecných riešení rovnice ( ref <2.3.7> ) má za následok

[ začať X (x = 0) = c_1 cos (0) + c_2 sin (0) & amp = 0 nonumber [4pt] c_1 + 0 & amp = 0 nonumber [4pt] c_1 & amp = 0 label < 2.3.8c> koniec]

a dosadenie druhej okrajovej podmienky ( (X (x = L) = 0 )) do všeobecných riešení rovnice ( ref <2.3.7> ) má za následok

[X (x = L) = c_1 cos (pL) + c_2 sin (pL) = 0 označenie <2.3.9> ]

už vieme, že (c_1 = 0 ) od prvej okrajovej podmienky, takže rovnica ( ref <2.3.9> ) sa zjednodušuje na

Vzhľadom na vlastnosti sínusov sa rovnica ( ref <2.3.9> ) zjednodušuje na

s (n = 0 ) je triviálne riešenie že ignorujeme tak (n = 1, 2, 3. ).

Výsledkom nahradenia rovníc ( ref <2.3.12> ) a ( ref <2.3.8c> ) do rovnice ( ref <2.3.7> ) je

[X (x) = c_2 sin doľava ( dfrac right) nonumber ]

[X (x) = c_2 sin left ( omega x right) nonumber ]

Podobný argument platí aj pre druhú polovicu dohody ansatz ( (T (t) )).

Vzhľadom na dve cestujúce vlny: [ psi_1 = sin <(c_1 x + c_2 t)> textrm psi_2 = sin <(c_1 x-c_2 t)> nonumber ]

  1. Nájdite vlnovú dĺžku a rýchlosť vlny ( psi_1 ) a ( psi_2 )
  2. Nájdite nasledovné a identifikujte uzly: [ psi_ + = psi_1 + psi_2 textrm psi_- = psi_1 - psi_2 nonumber ]

( psi_1 ) je funkcia hriechu. Na každé celé číslo (n pi ), kde (n = 0, pm 1, pm 2,. ) Bude funkcia sin nulová. Teda ( psi_1 = 0 ) keď (c_1 x + c_2 t = pi n ). Riešenie pre x bez ignorovania triviálnych riešení:

Rýchlosť tejto vlny je:

Podobne pre ( psi_2 ). Na každé celé číslo (n pi ), kde (n = 0, pm 1, pm 2,. ) Bude funkcia sin nulová. Teda ( psi_2 = 0 ) keď (c_1 x - c_2 t = pi n ). Riešenie pre x, pre ( psi_2 ):

Rýchlosť tejto vlny je:

Vlnová dĺžka pre každú vlnu je dvojnásobkom vzdialenosti medzi dvoma po sebe nasledujúcimi uzlami. Inými slovami,

Nájdite ( psi_ + = psi_1 + psi_2 textrm psi_- = psi_1 - psi_2 ).

[ začať psi_ + & amp = sin (c_1 x + c_2 t) + sin (c_1 x - c_2 t) [4pt] & amp = sin (c_1 x) cos (c_2 t) + zrušiť < cos ( c_1 x) sin (c_1 t)> + sin (c_1 x) cos (c_2 t) - zrušiť < cos (c_1 x) sin (c_1 t)> [4pt] & amp = 2 sin (c_1 x) cos (c_2 t) koniec]

Toto by malo mať uzol na každom (x = n pi / c_1 ) a

[ začať psi_- & amp = sin (c_1 x + c_2 t) - sin (c_1 x - c_2 t) [4pt] & amp = cancel < sin (c_1 x) cos (c_2 t)> + cos (c_1 x) sin (c_1 t) - zrušiť < sin (c_1 x) cos (c_2 t)> + cos (c_1 x) sin (c_1 t) [4 body] & amp = 2 cos (c_1 x) sin (c_2 t) koniec]


Q = množstvo soli v nádrži.

dQ / dt má jednotky hmotnosti / času, je to tak?
Takže & quot; dovnútra & quot; a & quot; von & quot; musia mať tiež rovnaké jednotky.

Teraz do nádrže vstupuje čistá voda rýchlosťou 12 l / min. Toto množstvo v neobsahuje žiadnu soľ, preto množstvo v = 0.

Kurz je zložitý. Rýchlosť odchádzania soli je koncentrácia soli vynásobená rýchlosťou odchádzania roztoku. Všimnite si, že máte (kg / l) * (l / min), čo udáva kg / min - presne jednotky. Koncentrácia je množstvo soli (čo je vždy Q) v objeme roztoku (ktorý je spočiatku 2 000 l, ale potom sa mení o 6 l / min - 12 l / min).

Mali by ste to vidieť odtiaľto.

Nechápem to, ako to zaúčtujem? Vstupná rýchlosť je čistá voda, výstupná rýchlosť je riešenie, nemôžem zmiešať tieto dve rýchlosti, že? Jednotkovo by to nemalo zmysel.

Znamená to, aby sa tento problém zmenil na podnikanie typu „sadzba za hodinu“, alebo by som sa mal tejto myšlienky zbaviť?

Nechápem to, ako to zaúčtujem? Vstupná rýchlosť je čistá voda, výstupná rýchlosť je riešenie, nemôžem zmiešať tieto dve rýchlosti, že? Jednotkovo by to nemalo zmysel.

Znamená to, aby sa tento problém zmenil na podnikanie typu „sadzba za hodinu“, alebo by som sa mal tejto myšlienky zbaviť?

Je zrejmé, že rýchlosť vstupu soli do nádrže je 0, je to tak?

Rýchlosť odchodu závisí od koncentrácie a rýchlosti odchodu roztoku, je to tak?

Koncentrácia závisí od množstva soli a množstva roztoku.

Aké je neustále množstvo roztoku (alias objem nádrže)? Potrebujete to, aby ste neustále poznali koncentráciu, t.

Tu je začiatok.
dQ / dt = vstupuje miera soli - miera soli listy

To je za soľ. Teraz pre objem aka množstvo riešenia:
dV / dt = vstupuje dávkové riešenie - odchádza dávkové riešenie.
Vieme, že roztok vstupuje rýchlosťou 6 l / min (to je čistá voda, ale stále ovplyvňuje objem nádrže) a roztok opúšťa rýchlosťou 12 l / min (jedná sa o koncentráciu, ale stále ovplyvňuje objem nádrže.)
Preto
dV / dt = 6 - 12 = -6

Použite to (a danú počiatočnú podmienku) na nájdenie výrazu pre V kedykoľvek. Kam smeruje V do vašich rozdielov dQ / dt?


Prvý kurz diferenciálnych rovníc s modelovaním aplikácií, 11. vydanie

eTextbook
  • ZADARMO spiatočná preprava na konci semestra.
  • U výpožičiek nie sú zaručené prístupové kódy a doplnky.

Fulfillment by Amazon (FBA) je služba, ktorú ponúkame predajcom a ktorá im umožňuje ukladať svoje výrobky v centrách plnenia Amazonu. K týmto produktom priamo balíme, zasielame a poskytujeme zákaznícke služby. Dúfame, že sa vám bude obzvlášť páčiť: FBA položky majú nárok na dopravu ZDARMA a.

Ak ste predajca, spoločnosť Fulfillment od spoločnosti Amazon vám môže pomôcť rozšíriť vaše podnikanie. Získajte viac informácií o programe.

Nižšie zadajte svoje mobilné číslo alebo e-mailovú adresu a my vám pošleme odkaz na stiahnutie bezplatnej aplikácie Kindle. Potom môžete začať čítať knihy Kindle na svojom smartfóne, tablete alebo počítači - nie je potrebné žiadne zariadenie Kindle.


Obsah

Pretože väčšina chemických reakcií, ktoré sú dôležité pre vedecké pochopenie nášho sveta, zahŕňa zložité mechanizmy, vývoju matematických modelov takýchto reakcií musí predchádzať značné množstvo teoretickej a experimentálnej práce v chémii zameranej na zoznámenie sa s mechanizmami. V tomto module sa zameriame na štúdium jednoduché chemické reakcie. Jednoduché reakcie sú reakcie, ktoré nezahŕňajú zložité mechanizmy. Štúdium jednoduchých reakcií je dobrým východiskovým bodom pre osvojenie niektorých poznatkov z matematiky, ktoré sa tiež týkajú štúdia zložitejších reakcií.

1.1 Merné a notačné jednotky

Pretože molekuly sú veľmi malé, množstvá molekúl sa merajú v jednotkách krtkovia. Jeden mol molekúl je Avogadrovo číslo molekúl. Počet Avogadra je približne 6,022 a krát10 23. Preto sú napríklad dva móly rovnaké ako 1,2044 a krát1024 molekúl. Koncentrácie molekúl v roztoku sa merajú v jednotkách podobnosti (M). Jedna molarita je jeden mol rozpustenej látky na liter roztoku. Napríklad 2 M vodný roztok chloridu sodného (NaCl) je roztok pozostávajúci z dvoch mólov NaCI na každý liter roztoku. Označenie [A] označuje koncentráciu (v molaritách) molekuly A v roztoku. Ak teda napíšeme [NaCl] = 2 M, máme na mysli, že máme roztok s 2 M koncentráciou chloridu sodného.


Alternatívna metóda 1: Metóda konečných intervalov

Vďaka dlhoročným skúsenostiam sa dozviem, že nie každý dokáže zostaviť a vyriešiť diferenciálnu rovnicu. Namiesto skutočného riešenia diferenciálnej rovnice môžeme urobiť iba poučený odhad pomocou metódy konečných intervalov, ktorej sme sa podrobne venovali v predchádzajúcom článku. Tu je zhrnutie postupu.

  1. Rozhodnite o časovom intervale.
  2. Po pridaní nového roztoku sa vypočíta nová koncentrácia. Táto koncentrácia by sa mala rovnať koncentrácii odchádzajúceho roztoku. Uistite sa, že pridaný objem je v súlade s použitým časovým intervalom, t. J. Ak je objemová rýchlosť 5 l za minútu a časový interval je 0,5 minúty, pridaný objem za interval je (5) (0,5) = 2,5 l.
  3. Vypočítajte množstvo zvyšného soli po tomto intervale.
  4. Opakujte kroky 2 a 3, kým nedosiahnete požadovaný čas alebo množstvo.

Upozorňujeme, že metóda vyžaduje veľa času a úsilia, najmä ak používate iba vedeckú kalkulačku. Pre túto simuláciu som vytvoril vzorovú šablónu tabuľky pre prípad, že by ste si chceli precvičiť (pozri odkaz nižšie).

Pre vyššie uvedený problém s ukážkou máme nasledujúce vstupy:

V jednominútových intervaloch dostaneme (Q (10) = 10,97 ) a (Q (57,00) = 15 ). Vidíme tiež, že (Q (t) ) sa blíži k 30, pretože (t ) sa blíži k nekonečnu.

Osobne si myslím, že tento prístup je najlepší, keď ťažko zisťujete, ako nastaviť alebo vyriešiť model DE. Pokiaľ pochopíte princíp, budete pravdepodobne schopní vyriešiť (dobre, technicky slušne aproximovať) zmiešavacie problémy.


Riešenia pre kapitolu 2.3: Modelovanie pomocou diferenciálnych rovníc prvého rádu

Riešenia pre kapitolu 2.3: Modelovanie pomocou diferenciálnych rovníc prvého rádu

  • 2.3.1: Zvážte nádrž použitú pri určitých hydrodynamických experimentoch. Po jednej.
  • 2.3.2: Nádrž pôvodne obsahovala 120 l čistej vody. Zmes obsahujúca.
  • 2.3.3: Cisterna obsahuje 100 gal vody a 50 oz soli. Voda obsahuje.
  • 2.3.4: Predpokladajme, že nádrž obsahujúca určitú kvapalinu má v blízkosti výpust.
  • 2.3.5: Predpokladajme, že suma S0 je investovaná s ročnou mierou návratnosti r com.
  • 2.3.6: Mladý človek bez počiatočného kapitálu investuje k dolárov ročne a.
  • 2.3.7: Istý absolvent vysokej školy si požičia 8 000 dolárov na kúpu automobilu. Veriteľ c.
  • 2.3.8: Čerstvý absolvent vysokej školy si požičia 150 000 dolárov pri úrokovej sadzbe 6.
  • 2.3.9: Dôležitým nástrojom v archeologickom výskume je rádiokarbónové datovanie,.
  • 2.3.10: Predpokladajme, že určitá populácia má tempo rastu, ktoré sa líši.
  • 2.3.11: Predpokladajme, že určitá populácia spĺňa počiatočnú hodnotu probl.
  • 2.3.12: Newtonov zákon ochladzovania hovorí, že teplota objektu cha.
  • 2.3.13: Prenos tepla z tela do okolia žiarením, založený na o.
  • 2.3.14: Zvážte izolovanú skrinku (možno budovu) s vnútorným tempe.
  • 2.3.15: Uvažujme o jazere konštantného objemu V, ktoré v čase t obsahuje množstvo.
  • 2.3.16: Lopta s hmotnosťou 0,15 kg je vyhodená nahor s počiatočnou rýchlosťou 20.
  • 2.3.17: Predpokladajme, že podmienky sú ako v okrem toho, že existuje sila d.
  • 2.3.18: Predpokladajme, že podmienky sú ako v okrem toho, že existuje sila d.
  • 2.3.19: Teleso s konštantnou hmotnosťou m je priemetom zvislo nahor smerom dovnútra.
  • 2.3.20: Teleso o hmotnosti m sa premieta kolmo nahor s počiatočným vel.
  • 2.3.21: Teleso spadajúce do relatívne hustej tekutiny, napríklad oleja, je čin.
  • 2.3.22: Nech v (t) a w (t) sú horizontálne a vertikálne komponenty, resp.
  • 2.3.23: Realistickejší model (ako v 22) bejzbalu v lete v roku.
  • 2.3.24: Problém s brachistochrónom. Jeden zo slávnych problémov v histórii.
Učebnica: Elementárne diferenciálne rovnice a problémy s hraničnými hodnotami
Vydanie: 11
Autor: Boyce, Diprima, Meade
ISBN: 9781119256007

Kapitola 2.3: Modelovanie pomocou diferenciálnych rovníc prvého rádu obsahuje 24 úplných riešení krok za krokom. Táto príručka prežitia učebnice bola vytvorená pre učebnicu: Elementárne diferenciálne rovnice a problémy s hraničnými hodnotami, vydanie: 11. Elementárne diferenciálne rovnice a problémy s hraničnými hodnotami napísal autor a je spojená s ISBN: 9781119256007. Od 24 problémov v kapitole 2.3: Modelovanie pomocou Diferenciálne rovnice prvého rádu boli zodpovedané, viac ako 23 745 študentov si prezeralo úplné podrobné riešenia z tejto kapitoly. Táto rozsiahla príručka prežitia učebnice obsahuje nasledujúce kapitoly a ich riešenia.

Korene n sú vlastné hodnoty A.

Odstrániť riadok i a stĺpec j vynásobiť determinant (-I) i + j •

Musí mať n nezávislých vlastných vektorov (v stĺpcoch S automatic s n rôznymi vlastnými hodnotami). Potom S-I AS = A = matica vlastných čísel.

A = S-1 AS. A = matica vlastných čísel a S = vlastná vektorová matica A. A musí mať n nezávislých vlastných vektorov, aby bol S inverzný. Všetky Ak = SA k S-I.

A (B + C) = AB + AC. Pridajte a potom vynásobte alebo mUltiply a potom pridajte.

Postupnosť riadkových operácií, ktorá redukuje A na horné trojuholníkové U alebo na redukovanú formu R = rref (A). Potom A = LU s multiplikátormi eO v L alebo P A = L U s riadkovými výmenami v P alebo E A = R s invertovateľným E.

0,1,1,2,3,5,. uspokojiť Fn = Fn-l + Fn-2 = (A7 -A

) I () q-A2). Rýchlosť rastu Al = (1 + .J5) 12 je najväčšie vlastné číslo Fibonacciho matice [> A].

Stĺpy bez otočných čapov, toto sú kombinácie predchádzajúcich stĺpcov.

Sada n uzlov spojených po pár m okrajmi. Celý graf má všetkých n (n - 1) / 2 hrán medzi uzlami. Strom má iba n - 1 hrán a nemá uzavreté slučky.

Subpriestor preklenutý b, Ab,. , Aj-Ib. Numerické metódy aproximujú A -I b x x zvyškovým b - Ax j v tomto podpriestore. Dobrý základ pre K j vyžaduje v každom kroku iba násobenie A.

Vektor x, ktorý minimalizuje chybové pole 112, rieši AT Ax = ATb. Potom e = b - Ax je kolmý na všetky stĺpce A.

Najnižší stupeň polynómu s meA) = nulová matica. Toto je peA) = det (A - AI), ak sa neopakujú žiadne vlastné čísla, vždy meA) rozdeľuje peA).

Matica n x m, ktorá & quot; invertuje & quot; A z priestoru stĺpcov späť do priestoru riadkov, s N (A +) = N (AT). A + A a AA + sú projekčné matice do priestoru riadkov a stĺpov. Poradie (A +) = poradie (A).

= počet otočných čapov = rozmer priestoru stĺpca = rozmer priestoru riadku.

Jednotkový vektor u sa odráža na Qu = -u. Všetky x intheplanemirroruTx = o majú Qx = x. Všimnite si QT = Q-1 = Q.

Priestor všetkých (v vo V) + (w vo W). Priamy súčet: V n W = do>.

Záznamy AL = Ajj. AT je n x In, AT A je štvorec, symetrický, kladný semidefinit. Transpozície AB a A-I sú BT AT a (AT) -I.


1 Úvod 1

1.1 Niektoré základné matematické modely Smerové polia 1

1.2 Riešenie niektorých diferenciálnych rovníc 9

1.3 Klasifikácia diferenciálnych rovníc 16

2 Diferenciálne rovnice prvého poriadku 24

2.1 Metóda lineárnych diferenciálnych rovníc integrácie faktorov 24

2.2 Oddeliteľné diferenciálne rovnice 33

2.3 Modelovanie pomocou diferenciálnych rovníc prvého rádu 39

2.4 Rozdiely medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami 51

2.5 Autonómne diferenciálne rovnice a populačná dynamika 58

2.6 Presné diferenciálne rovnice a integračné faktory 70

2.7 Numerické aproximácie: Eulerova metóda 76

2.8 Veta o existencii a jedinečnosti 83

2.9 Rozdielne rovnice prvého rádu 91

3 Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu 103

3.1 Homogénne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi 103

3.2 Riešenie lineárnych homogénnych rovníc Wronskian 110

3.3 Komplexné korene charakteristickej rovnice 120

3.4 Redukcia opakovaných koreňov objednávky 127

3.5 Metóda nehomogénnych rovníc neurčitých koeficientov 133

3.6 Zmena parametrov 142

3.7 Mechanické a elektrické vibrácie 147

3.8 Nútené periodické vibrácie 159

4 Lineárne diferenciálne rovnice vyššieho rádu 169

4.1 Všeobecná teória n Lineárne diferenciálne rovnice tého rádu 169

4.2 Homogénne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi 174

4.3 Metóda neurčitých koeficientov 181

4.4 Metóda zmeny parametrov 185

5 Séria riešení lineárnych rovníc druhého rádu 189

5.1 Revízia výkonovej série 189

Riešenia série 5.2 Blízko obyčajného bodu, časť I 195

Riešenia série 5.3 v blízkosti obyčajného bodu, časť II 205

5.4 Eulerove rovnice Pravidelné singulárne body 211

Riešenia série 5.5 blízko pravidelného singulárneho bodu, časť I 219

Riešenia série 5.6 blízko pravidelného singulárneho bodu, časť II 224

6 Laplaceova transformácia 241

6.1 Definícia Laplaceovej transformácie 241

6.2 Riešenie problémov s počiatočnou hodnotou 248

6.4 Diferenciálne rovnice s diskontinuálnymi nútiacimi funkciami 264

6.6 Konvolučný integrál 275

7 Systémy lineárnych rovníc prvého rádu 281

7.3 Systémy lineárnych algebraických rovníc Lineárna nezávislosť, vlastné čísla, vlastné vektory 295


Pozri si video: Inecuatii de gradul I, inecuatii cu modul. (December 2021).