Články

2: Rovnice prvého rádu - matematika


V tejto kapitole študujeme diferenciálne rovnice prvého rádu, pre ktoré existujú všeobecné metódy riešenia.

  • 2.1: Oddeliteľné rovnice
    Táto časť sa zaoberá oddeliteľnými rovnicami, najjednoduchšími nelineárnymi rovnicami. V tejto časti uvádzame myšlienku implicitného a konštantného riešenia diferenciálnych rovníc a poukazujeme na niektoré rozdiely medzi vlastnosťami lineárnych a nelineárnych rovníc.
    • 2.1E: Oddeliteľné rovnice (cvičenia)
  • 2.2: Lineárne rovnice prvého rádu
    Táto časť sa zaoberá lineárnymi rovnicami, najjednoduchším druhom rovníc prvého rádu. V tejto časti uvádzame metódu variácie parametrov. Myšlienka tejto metódy bude zjednocujúcou témou pre náš prístup k riešeniu mnohých rôznych druhov diferenciálnych rovníc v celej knihe.
    • 2.2E: Lineárne rovnice prvého rádu (cvičenia)
  • 2.3: Existencia a jedinečnosť riešení nelineárnych rovníc
    Aj keď existujú metódy na riešenie niektorých nelineárnych rovníc, je nemožné nájsť užitočné vzorce pre väčšinu riešení. Či už hľadáme presné riešenia alebo numerické aproximácie, je užitočné poznať podmienky, ktoré naznačujú existenciu a jedinečnosť riešení úloh počiatočných hodnôt pre nelineárne rovnice. V tejto časti uvedieme takúto podmienku a ilustrujeme ju na príkladoch.
    • 2.3E: Existencia a jedinečnosť riešení nelineárnych rovníc (cvičenia)
  • 2.4: Transformácia nelineárnych rovníc na oddeliteľné rovnice
    Táto časť sa zaoberá nelineárnymi rovnicami, ktoré nie sú oddeliteľné, ale je možné ich transformovať na oddeliteľné rovnice postupom podobným variácii parametrov.
    • 2.4E: Transformácia nelineárnych rovníc na oddeliteľné rovnice (cvičenia)
  • 2.5: Presné rovnice
    Táto časť sa venuje presným diferenciálnym rovniciam, ktoré dostávajú tento názov, pretože metóda ich riešenia využíva predstavu presného diferenciálu z počtu.
    • 2.5E: Presné rovnice (cvičenia)
  • 2.6: Integrujúce faktory
    Táto časť sa zaoberá rovnicami, ktoré nie sú presné, ale je možné ich spresniť ich vynásobením funkciou známou ako integračný faktor.
    • 2.6E: Integračné faktory (cvičenia)
  • 2.7: Eulerova metóda
    Táto časť sa zaoberá Eulerovou metódou, ktorá je skutočne príliš hrubá na to, aby sa dala v praktických aplikáciách veľmi dobre využiť. Jeho jednoduchosť však umožňuje zoznámiť sa s myšlienkami potrebnými na pochopenie lepších metód diskutovaných v ďalších dvoch častiach.
    • 2.7E: Eulerova metóda (cvičenia)

2: Rovnice prvého rádu - matematika

Zvážte PDE begin au_t + bu_x = 0. štítok koniec Upozorňujeme, že výraz vľavo je a smerová derivácia $ u $ v smere $ ell = (a, b) $. Zvážte integrálne čiary tohto vektorového poľa: begin frac

= frac. štítok koniec

Poznámka 1. Odvolanie z ODE Cours, že integrálna čiara vektorového poľa je priamka, ktorá je k nej dotyčná v každom bode.

Konštantné koeficienty

Ak sú $ a $ a $ b $ konštantné, potom sú integrálne krivky iba priame čiary $ t / a -x / b = C $, kde $ C $ je konštanta pozdĺž integrálnych kriviek a označuje ich (aspoň pokiaľ uvažujeme celé lietadlo $ (x, t) $). Preto $ u $ závisí iba od $ C $: begin u = phi bigl ( frac- frac bigr) štítok koniec kde $ phi $ je ľubovoľná funkcia.

Toto je všeobecné riešenie našej rovnice.

Ak $ a = 1 $ môžeme prepísať všeobecné riešenie v tvare $ u (x, t) = phi_1 (x-bt) $, kde $ phi_1 (x) = phi (-x / b) $ je ďalší ľubovoľný funkcie.

Definícia 1. Riešenia $ u = chi (x-ct) $ sú bežiace vlny kde $ c $ je a rýchlosť šírenia.

Variabilné koeficienty

Ak $ a $ a / alebo $ b $ nie sú konštantné, sú tieto integrálne čiary krivky.

Príklad 1. Zvážte rovnicu $ u_t + tu_x = 0 $. Potom je rovnica integrálnej krivky $ frac

<1> = frac$ alebo ekvivalentne $ tdt-dx = 0 $, ktoré sú vyriešené ako $ x- frac <1> <2> t ^ 2 = C $ a teda $ u = phi (x- frac <1> <2> t ^ 2) $ je všeobecné riešenie tejto rovnice.

Je ľahké vidieť, že $ u = f (x- frac <1> <2> t ^ 2) $ je riešením IVP.

Príklad 2. Zvážte rovnakú rovnicu, ale uvažujme o IVP ako $ x = 0 $: $ u (0, t) = g (t) $. Nie je to však dobrý problém: po prvé, niektoré integrálne krivky pretínajú priamku $ x = 0 $ viackrát a ak sú v rôznych priesečníkoch tej istej krivky počiatočné hodnoty odlišné, dostaneme rozpor (problém preto nie je pre $ g $, ktoré nie sú ani funkciami).

Na druhej strane, ak vezmeme do úvahy aj funkciu $ g $ (alebo ekvivalentne uložíme počiatočnú podmienku iba pre $ t> 0 $), potom $ u $ nie je definované v krivkách, ktoré sa nepretínajú $ x = 0 $ (čo znamená, že $ u $ nie je definované pre $ x> frac <1> <2> t ^ 2 $.)

V tomto príklade oboje riešiteľnosť a jednotnosť sú rozbité.

Pravý výraz

Príklad 3. Zvážte problém $ u_t + u_x = x $. Potom $ frac<1> = frac

<1> = frac$. Potom $ xt = C $ a $ u- frac <1> <2> x ^ 2 = D $ a dostaneme $ u- frac <1> <2> x ^ 2 = phi (xt) $ ako vzťah medzi $ C $ a $ D $, ktoré sú obidve konštanty pozdĺž integrálnych kriviek. Tu $ phi $ je ľubovoľná funkcia. Takže $ u = frac <1> <2> x ^ 2 + phi (x-t) $ je všeobecné riešenie. Ukladanie Ukladanie počiatočná podmienka $ u | _= 0 $ (určite by sme mohli uložiť ďalšiu podmienku) máme $ phi (x) = - frac <1> <2> x ^ 2 $ a zapojením do $ u $ dostaneme $ u (x, t) = frac <1> <2> x ^ 2- frac <1> <2> (xt) ^ 2 = xt - frac <1> <2> t ^ 2 $.

Príklad 4. Zvážte $ u_t + xu_x = x t $. Potom $ frac

<1> = frac= frac$. Riešenie prvej rovnice $ t- ln x = - ln C znamená x = Ce ^ t $, dostaneme integrálne krivky. Teraz sme začali frac= dt implikuje du = x t dt = Cte ^ t dt implikuje u = C (t-1) e ^ t + D = x (t-1) + D end kde $ D $ musí byť konštantné pozdĺž integrálnych kriviek a preto $ D = phi (xe ^ <-t>) $ s ľubovoľnou funkciou $ phi $. Takže $ u = x (t-1) + phi (xe ^ <-t>) $ je všeobecné riešenie tejto rovnice.

Ukladanie počiatočnej podmienky $ u | _= 0 $ (určite by sme mohli uložiť ďalšiu podmienku) máme $ phi (x) = x $ a potom $ u = x (t-1 + e ^ <-t>) $.

Lineárne a semilineárne rovnice

Definícia 2. Ak $ a = a (x, t) $ a $ b = b (x, t) $ rovnica je semilineárny.

V tomto prípade najskôr definujeme integrálne krivky, ktoré nezávisia od $ u $, a potom nájdeme $ u $ ako riešenie ODR pozdĺž týchto kriviek.

Definícia 3. Ďalej, ak $ f $ je lineárna funkcia $ u $: $ f = c (x, t) u + g (x, t) $ pôvodná rovnica je lineárny.

V tomto prípade je posledný ODR tiež lineárny.

Príklad 5. Zvážte $ u_t + xu_x = u $. Potom $ frac

<1> = frac= frac$. Riešenie prvej rovnice $ t- ln x = - ln C znamená x = Ce ^ t $, dostaneme integrálne krivky. Teraz sme začali frac= dt implikuje ln u = t + ln D implikuje u = De ^ t = phi (xe ^ <-t>) e ^ t end čo je všeobecné riešenie tejto rovnice.

Ukladanie počiatočnej podmienky $ u | _= x ^ 2 $ (určite by sme mohli uložiť ďalšiu podmienku) máme $ phi (x) = x ^ 2 $ a potom $ u = x ^ 2 e ^ <-t> $.

Príklad 6. Zvážte $ u_t + xu_x = -u ^ 2 $. Potom $ frac

<1> = frac= - frac$. Riešením prvej rovnice $ x = Ce ^ t $ dostaneme integrálne krivky. Teraz sme začali - frac= dt implikuje u ^ <-1> = t + D implikuje u = (t + phi (xe ^ <-t>)) ^ <-1>. koniec čo je všeobecné riešenie tejto rovnice.

Kvazilineárne rovnice

Definícia 4. Ak $ a $ a / alebo $ b $ závisia od $ u $, je to tak kvazineárne rovnica.

Pre také rovnice závisia integrálne krivky od riešenia, ktoré môže viesť k rozbitiu roztoku.

Príklad 7. Zvážte Hopfovu rovnicu $ u_t + uu_x = 0 $ (čo je mimoriadne zjednodušený model dynamiky plynov.) Máme $ frac

<1> = frac= frac<0> $ a teda $ u = const $ pozdĺž integrálnych kriviek, a preto sú integrálne krivky $ x-ut = C $.

Zvážte počiatočný problém $ u (x, 0) = f (x) $. Vezmeme počiatočný bod $ (y, 0) $, nájdeme tu $ u = f (y) $, potom $ xf (y) t = y $ (premýšľame prečo?) A dostaneme $ u = f (y) $ kde $ y = y (x, t) $ je riešením rovnice $ x = f (y) t + y $.

Problém je v tom, že môžeme definovať $ y $ pre všetky $ x $, iba ak $ frac < partial> < partial y> bigl (f (y) t + y bigr) $ nezmizne. Takže $ f '(y) t +1 ne 0 $.

Toto je možné pre všetkých $ t> 0 $ práve vtedy, ak $ f '(y) ge 0 $, t. J. $ F $ je monotónna neklesajúca funkcia.

Takže klasické riešenie nefunguje, ak $ f $ nie je monotónna neklesajúca funkcia. Správne pochopenie globálne riešenie lebo takáto rovnica ide omnoho ďalej ako náš kurz.

Zvážte IBVP (problém počiatočnej hraničnej hodnoty) pre rovnicu konštantného koeficientu začať doľava < začiatok& ampu_t + cu_x = 0, qquad & amp & ampx> 0, t> 0, & ampu | _= f (x) qquad & amp & ampx> 0. koniecsprávny. štítok koniec

Všeobecné riešenie je $ u = phi (x-ct) $ a zapojením do počiatočných dát dostaneme $ phi (x) = f (x) $ (ako $ x> 0 $).

Takže $ u (x, t) = f (x-ct) $. Hotovo! - Nie tak rýchlo. $ f $ je definované iba pre $ x> 0 $, takže $ u $ je definované pre $ x-ct> 0 $ (alebo $ x> ct $). Pokrýva celý kvadrant, ak $ c le 0 $ (takže vlny prebiehajú vľavo) a iba v tomto prípade sme hotoví.

Ak $ c> 0 $ (vlny smerujú doprava) $ u $ nie je definované ako $ x & lt ct $ a na jeho definovanie tu potrebujeme hraničná podmienka pri $ x = 0 $. Takže dostaneme IBVP (problém počiatočnej hraničnej hodnoty) begin doľava < začiatok& ampu_t + cu_x = 0, qquad & amp & ampx> 0, t> 0, & ampu | _= f (x) qquad & amp & ampx> 0, & ampu | _= g (t) qquad & amp & amp; amp;> 0. koniecsprávny. štítok koniec Potom dostaneme $ phi (-ct) = g (t) $ ako $ t> 0 $, čo znamená $ phi (x) = g (- frac <1>x) $ ako $ x & lt0 $ a potom $ u (x, t) = g (- frac <1>(x-ct)) = g (t- frac <1>x) $ ako $ x & lt ct $.

Nelineárne rovnice (pokročilá téma)

Poznámka 2. Nelineárna rovnica začiatok F (x_1, x_2, u, u_, u_) = 0 štítok koniec (tu dávame prednosť takýmto zápisom) tiež je možné vyriešiť pomocou ODR, ale je to oveľa komplikovanejšie: je potrebné súčasne nájsť $ x, u $ a $ p_j = u_$ pozdĺž trajektórií zo sústavy rovníc: začať doľava < začiatok& amp frac

= F_, & amp frac
= -F_-F_u p_j, & amp frac
= sum_^ n F_p_j koniecsprávny. štítok koniec kde v pravých výrazoch považujeme za funkciu premenných $ 2n + 1 $ $ x_1, ldots, x_n, u, p_1, ldots, p_n $, $ n = 2 $. Viac

Multidimenzionálne rovnice

Poznámka 3. Multidimenzionálne rovnice (od lineárnych po semilineárne) začiatok au_t + sum_^ n b_j u_= f (x_1, ldots, x_n, t, u) label koniec a nelineárne začať F (x_1, ldots, x_n, t, u, u_, ldots, u_, u_t) = 0 štítok koniec by sa dali vyriešiť rovnakými metódami.

Napríklad ak $ a = 1 $, $ b_j = const $ a $ f = 0 $, všeobecné riešenie ( ref) je $ u = phi (x_1-b_1t, ldots, x_n-b_nt) $, kde $ phi $ je ľubovoľná funkcia premenných $ n $.


B.Tech RGPV uvádza flexibilné učebné osnovy AICTE Bachelor of technology

LEKCIA 1:
Modul 1: Bežné diferenciálne rovnice I: (6 hodín): Diferenciálne rovnice prvého rádu a prvého stupňa (Leibnitz linear, Bernoulli & # 8217s, presne), diferenciálne rovnice prvého rádu a vyššieho stupňa, diferenciálne rovnice vyššieho rádu s konštantnými koeficientmi, homogénne Lineárne diferenciálne rovnice, simultánne diferenciálne rovnice.

JEDNOTKA 2:
Modul 2: Obyčajné diferenciálne rovnice II: (8 hodín): Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s variabilnými koeficientmi, Metóda variácie parametrov, Riešenia výkonových radov Legendrove polynómy, Besselovy funkcie prvého druhu a ich vlastnosti.

JEDNOTKA 3:
Modul 3: Parciálne diferenciálne rovnice: (8 hodín): Formulácia parciálnych diferenciálnych rovníc, lineárne a nelineárne parciálne diferenciálne rovnice, homogénne lineárne parciálne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi.

JEDNOTKA 4:
Modul 4: Funkcie komplexnej premennej: (8 hodín): Funkcie komplexnej premennej: Analytické funkcie, Harmonický konjugát, Cauchy-Riemannovy rovnice (bez dôkazu), Line Integral, Cauchy-Goursatova veta (bez dôkazu), Cauchy Integral formula (bez proof), Singulárne body, Poliaci a zvyšky, veta o zvyškoch, Aplikácia vety o zvyškoch na hodnotenie skutočnej integrácie (Unit Circle).

JEDNOTKA 5:
Modul 5: Vektorový počet: (10 hodín): Diferenciácia vektorov, funkcia skalárnych a vektorových bodov, gradient, geometrický význam gradientu, smerová derivácia, divergencia a zvlnenie, líniová integrácia, povrchová integrácia a objemová integrácia, Gaussova divergencia, Stokesova a zelená vety.


Diferenciálne rovnice prvého rádu

Prvou technikou používanou na „separovateľné“ diferenciálne rovnice prvého poriadku je separácia premenných. O diferenciálnej rovnici prvého rádu (dy / dt ) sa hovorí, že je možné ju oddeliť, ak ju môžeme napísať v tvare:

Potom oddelenie premenných znamená rozdeliť pomocou (f (y) ) a potom integrovať vzhľadom na (t ), t. J .:

Naozaj tu nie je nič viac! I keď samozrejme integrály na ľavej a pravej strane nemusia byť obzvlášť jednoduché, často vyžadujú náhradu. To je jeden z dôvodov, prečo má integrácia na úrovni A naruby kľúčový význam a preto by ste mali zvážiť aj prechod cez modul 10, kde nájdete nejaké tipy a tipy.

Metóda integrácie faktorov

Naša druhá technika využíva produktové pravidlo na diferenciáciu na riešenie diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktoré je možné zapísať vo forme:

Naším cieľom je vedieť napísať ľavú stranu ako ( frac

[g (t) y] ) pre niektorú funkciu (g (t) ). Nemusíte sa príliš trápiť tým, prečo, ale ak vezmeme (g (t) = e ^ < int p (t) dt> ), máme to, čo chceme. (g ) tu je to, čo zvyčajne označujeme ako náš integračný faktor. To konkrétne znamená, že naše kroky sú:

Teraz, ako nádejný objasňujúci príklad, vezmime jednoduchý prípad:

Náš integračný faktor je potom:

A preskočíme na konečný vzorec vyššie:

Sú to teda dve techniky, s ktorými sa musíte oboznámiť, aby ste sa začali zaoberať problémami diferenciálnej rovnice KROKU prvého rádu. Ak si však chcete veci skutočne otestovať, pokračujeme v práci prostredníctvom časti predchádzajúcej otázky STEP.

Príklad

Tento výňatok pochádza z 6. otázky z KROKU III 2008 a poskytuje pekný úvod k diferenciálnym rovniciam prvého poriadku v KROKU. Najskôr sa od nás vyžaduje, aby sme rozlišovali (y ) vzhľadom na (x ). Je potrebné pamätať na to, že (p ) je sama osebe funkciou (x ), a preto robíme implicitnú diferenciáciu. Nájdeme:

Potom, keď si uvedomíme, že LHS (dy / dx ) je možné nahradiť znakom (p ), a vhodným usporiadaním nájdeme:

Takže teraz máme diferenciálnu rovnicu pre (x ), ktorú musíme vyriešiť. Najprv si položíme otázku, či je to oddeliteľné, a dúfajme, že odpoveď by mala jednoznačne znieť nie. Je to však forma, ktorá nám umožňuje používať integrujúce faktory. Toto by malo byť oveľa jasnejšie, ak to napíšeme ako:

Najprv musíme nájsť náš integračný faktor. Tu je dané:

Znásobením a pokračovaním v krokoch, ktoré sme si predtým všeobecne prešli, alebo prechodom na konečný vzorec máme:

podľa potreby. Potom nám naša podmienka (p = -3 ), (x = 2 ) dá (A ):

( hspace <1,7 palca> 2 = - frac <2> <3> (-3) + A frac <1> <(- 3) ^ 2> šípka doprava 2 = 2 + A frac <1> <9> Rightarrow A = 0. )

Takže máme (x = - frac <2> <3> p ) alebo (p = - frac <3> <2> x ) a dosadíme to do našej pôvodnej rovnice za (y ) máme konečnú odpoveď:


Elementárne diferenciálne rovnice

MATH 223 alebo MATH 243, MATH 127 alebo MATH 147 so známkou C- alebo vyššou a MATH 290 alebo MATH 291. Nie je určené študentom s kreditom v MATH 220.

KAPITOLA

2. Diferenciálne rovnice prvého rádu

3. Lineárne rovnice druhého rádu

7. Systémy lineárnych rovníc prvého rádu

9. Nelineárne diferenciálne rovnice a stabilita *

Počítačové aplikácie s programami Mathematica, Maple alebo Matlab *

* Tieto a ďalšie témy podľa uváženia inštruktora môžu byť pokryté, ak to čas umožňuje.

Grant na transformáciu kurzu CTE pomáha Emily Wittovej, docentke matematiky, rozvíjať aktívne učenie so študentskými skupinami v počte. Pozitívne výsledky sa dosiahli pomocou modulov vyvinutých s Justinom Lyleom a Amandou Wilkensovou, postgraduálnymi študentmi matematiky. Čítaj viac.

Math and COVID-19: Zdroje o tom, ako sa matematika používa na sledovanie vírusu a jeho šírenia. AMS odkaz.

Prelom matematika a hudobníka spája východ, západ. Čítaj viac.

Inovatívny prístup výskumného pracovníka k mapovaniu povodní podporuje riadenie krízových situácií a vodohospodárskych úradníkov. Čítaj viac.

Nicole Johnson našla spôsob, ako vyjadriť točenie obušku pomocou matematiky. Viď video.


Obsah

Zatiaľ čo sa propozičná logika zaoberá jednoduchými deklaratívnymi výrokmi, logika prvého rádu navyše pokrýva predikáty a kvantifikáciu.

Predikát berie entitu alebo entity v doméne diskurzu ako vstup, zatiaľ čo výstupy sú True alebo False. Zvážte dve vety „Sokrates je filozof“ a „Platón je filozof“. V propozičnej logike sa tieto vety považujú za nesúvisiace a možno ich označiť napríklad premennými ako napr. p a q. Predikát „je filozof“ sa vyskytuje v obidvoch vetách, ktoré majú spoločnú štruktúru „a je filozof. “Premenná a je v prvej vete označený ako „Sokrates“ a v druhej vete je označený ako „Platón“. Zatiaľ čo logika prvého rádu umožňuje použitie predikátov, ako napríklad „je filozof“ v tomto príklade, výroková logika to neumožňuje. [5]

Vzťahy medzi predikátmi je možné určiť pomocou logických spojok. Zvážte napríklad vzorec prvého rádu „ak a je teda filozof a je vedec ". Tento vzorec je podmieneným výrokom s"a je filozof „ako jeho hypotéza, a“a je vedec "ako jeho záver. Pravda tohto vzorca závisí od toho, ktorý objekt je označený a, a o interpretáciách predikátov „je filozof“ a „je učenec“.

Kvantifikátory je možné použiť na premenné vo vzorci. Premenná a v predchádzajúcom vzorci možno univerzálne kvantifikovať napríklad vetou prvého rádu „Pre každého a, ak a je teda filozof a je vedec ". Univerzálny kvantifikátor" pre každého "v tejto vete vyjadruje myšlienku, že tvrdenie" ak. " a je teda filozof a je vedec "platí pre všetko možnosti a.

The negácia vety „Za každú a, ak a je teda filozof a je učenec “je logicky ekvivalentné s vetou„ Existuje a také, že a je filozof a a nie je učenec ". Existenciálny kvantifikátor" existuje "vyjadruje myšlienku, že tvrdenie"a je filozof a a nie je učenec "platí pre niektoré výber z a.

Predikáty „je filozof“ a „je učenec“ majú každý jednu premennú. Všeobecne môžu predikáty obsahovať niekoľko premenných. Vo vete prvého poriadku „Sokrates je Platónovým učiteľom“ predikát „je učiteľom“ vezme dve premenné.

Interpretácia (alebo model) vzorca prvého rádu určuje, čo každý predikát znamená, a entity, ktoré môžu vytvoriť inštanciu premenných. Tieto entity tvoria doménu diskurzu alebo vesmíru, od ktorých sa zvyčajne vyžaduje, aby boli neprázdnou množinou. Napríklad pri interpretácii s doménou diskurzu pozostávajúceho zo všetkých ľudských bytostí a predikátu „je filozof“, chápaného ako „bol autorom“ republika“, veta„ Existuje a také, že a je filozof „sa považuje za pravdu, o čom svedčí Platón.

Logika prvého rádu má dve kľúčové časti. Syntax určuje, ktoré konečné sekvencie symbolov sú dobre tvarované výrazy v logike prvého rádu, zatiaľ čo sémantika určuje významy za týmito výrazmi.

Upraviť abecedu

Na rozdiel od prirodzených jazykov, ako je napríklad angličtina, je jazyk logiky prvého rádu úplne formálny, takže sa dá mechanicky určiť, či je daný výraz správne sformovaný. Existujú dva kľúčové typy dobre tvarovaných výrazov: podmienky, ktoré intuitívne predstavujú objekty, a vzorce, ktoré intuitívne vyjadrujú predikáty, ktoré môžu byť pravdivé alebo nepravdivé. Výrazy a vzorce logiky prvého rádu sú reťazce symboly, kde všetky symboly tvoria spolu abeceda jazyka. Rovnako ako vo všetkých formálnych jazykoch, samotná povaha symbolov je mimo rámca formálnej logiky a často sa považujú iba za písmená a interpunkčné symboly.

Je bežné rozdeliť symboly abecedy na logické symboly, ktoré majú vždy rovnaký význam a nelogické symboly, ktorého význam sa líši podľa interpretácie. Napríklad logický symbol represents < displaystyle land> vždy predstavuje „a“ nikdy sa nevykladá ako „alebo“, čo je reprezentované logickým symbolom. [6] Na druhej strane nelogický predikátový symbol, ako napríklad Phil (X) možno interpretovať tak, že znamená „X je filozof ","X je muž menom Filip “alebo akýkoľvek iný unárny predikát v závislosti od použitej interpretácie.

Logické symboly Upraviť

V abecede je niekoľko logických symbolov, ktoré sa líšia podľa autora, ale zvyčajne medzi ne patria: [6] [7]

  • Symboly kvantifikátora: ∀ pre univerzálnu kvantifikáciu a ∃ pre existenciálnu kvantifikáciu
  • Logické spojky: ∧ pre spojku, ∨ pre disjunkciu, → pre implikáciu, ↔ pre dvojpodmienečné spojenie, ¬ pre negáciu. Príležitostne sú zahrnuté aj ďalšie logické spojovacie symboly. Niektorí autori [8] používajú Cpq, namiesto → a Epq, namiesto ↔, najmä v kontextoch, kde → sa používa na iné účely. Podkova ⊃ môže navyše nahradiť → trojitá tyč ≡ môže nahradiť ↔ vlnovku (

Nie všetky tieto symboly sú povinné - postačuje iba jeden z kvantifikátorov, negácia a spojka, premenné, zátvorky a rovnosť. Existuje množstvo menších variácií, ktoré môžu definovať ďalšie logické symboly:

  • V niektorých prípadoch konštanty pravdy T, Vpqalebo ⊤ pre „true“ a F, Opq, alebo ⊥ pre „false“ sú zahrnuté. Bez akýchkoľvek takýchto logických operátorov valencie 0 možno tieto dve konštanty vyjadriť iba pomocou kvantifikátorov.
  • V iných prípadoch sú zahrnuté ďalšie logické spojky, napríklad Shefferov ťah, D.pq (NAND) a exkluzívne alebo, Jpq.

Nelogické symboly Upraviť

Nelogické symboly predstavujú predikáty (vzťahy), funkcie a konštanty v oblasti diskurzu. Kedysi bolo štandardným zvykom používať na všetky účely pevnú, nekonečnú množinu nelogických symbolov. Novšou praxou je použitie rôznych nelogických symbolov podľa aplikácie, ktorú má človek na mysli. Preto je nevyhnutné pomenovať množinu všetkých nelogických symbolov použitých v konkrétnej aplikácii. Táto voľba sa vykonáva prostredníctvom a podpis. [9]

Tradičným prístupom je mať iba jednu nekonečnú množinu nelogických symbolov (jeden podpis) pre všetky aplikácie. Podľa tradičného prístupu teda existuje iba jeden jazyk logiky prvého rádu. [10] Tento prístup je stále bežný, najmä vo filozoficky zameraných knihách.

  1. Pre každé celé číslo n ≥ 0, existuje zbierka n-aryalebo n-miesto, predikátové symboly. Pretože predstavujú vzťahy medzi n prvky sa tiež nazývajú vzťahové symboly. Za každú aritu n, máme ich nekonečné množstvo: Pn0, Pn1, Pn2, Pn3, .
  2. Pre každé celé číslo n ≥ 0, je ich nekonečne veľa n-ary funkčné symboly: f n0, f n1, f n2, f n3, .

V súčasnej matematickej logike sa podpis líši podľa aplikácie. Typické podpisy v matematike sú <1, ×> alebo iba <×> pre skupiny alebo <0, 1, +, ×, & lt> pre usporiadané polia. Počet nelogických symbolov nie je nijako obmedzený. Podpis môže byť prázdny, konečný alebo nekonečný, dokonca nespočetný. Nespočetné množstvo podpisov sa vyskytuje napríklad v moderných dôkazoch vety Löwenheim – Skolem.

V tomto prístupe je každý nelogický symbol jedného z nasledujúcich typov.

  1. A predikátový symbol (alebo vzťahový symbol) s niektorými valencia (alebo arity, počet argumentov) väčšie alebo rovné 0. Tieto sa často označujú veľkými písmenami, ako napr P, Q a R. [6]
    • Vzťahy valencie 0 možno identifikovať pomocou výrokových premenných. Napríklad, P, ktorý môže stáť za akýmkoľvek tvrdením.
    • Napríklad, P(X) je predikátová premenná valencie 1. Jedna možná interpretácia je „X je človek “.
    • Q(X,r) je predikátová premenná valencie 2. Možné interpretácie zahŕňajú „X je väčší ako r„a“X je otcom r".
  2. A funkčný symbol, s nejakou valenciou väčšou alebo rovnou 0. Tieto sa často označujú malými rímskymi písmenami, ako napr f, g a h. [6]
    • Príklady: f(X) možno vykladať ako „otec otca X". V aritmetike môže znamenať„ -x ". V teórii množín môže znamenať„ množinu síl x ". V aritmetike, g(X,r) môže znamenať „X+rPodľa teórie množín to môže znamenať spojenie Únie X a r".
    • Funkčné symboly valencie 0 sa volajú konštantné symboly, a sú často označované malými písmenami na začiatku abecedy, ako napr a, b a c. [6] Symbol a môže znamenať Sokrata. V aritmetike môže stáť 0. V teórii množín môže takáto konštanta znamenať prázdnu množinu.

Tradičný prístup je možné obnoviť v modernom prístupe jednoduchým zadaním „vlastného“ podpisu, ktorý pozostáva z tradičných sekvencií nelogických symbolov.

Pravidlá formovania Upraviť

Pravidlá formovania definujú pojmy a vzorce logiky prvého rádu. [13] Ak sú výrazy a vzorce vyjadrené ako reťazce symbolov, tieto pravidlá možno použiť na napísanie formálnej gramatiky výrazov a vzorcov. Tieto pravidlá sú spravidla bezkontextové (každá produkcia má na ľavej strane jeden symbol), až na to, že množina symbolov môže byť nekonečná a môže existovať veľa počiatočných symbolov, napríklad premenných v prípade výrazov.

Podmienky Upraviť

Súbor podmienky je indukčne definované nasledujúcimi pravidlami:

  1. Premenné. Akákoľvek premenná je výraz.
  2. Funkcie. Akýkoľvek výraz f(t1. tn) z n argumenty (kde každý argument ti je pojem a f je funkčný symbol valencie n) je výraz. Najmä symboly označujúce jednotlivé konštanty sú symboly nululárnych funkcií, a teda sú to pojmy.

Iba výrazy, ktoré je možné získať konečným počtom aplikácií pravidiel 1 a 2, sú výrazy. Napríklad žiadny výraz zahŕňajúci predikátový symbol nie je výraz.

Úpravy vzorcov

Súbor vzorce (tiež nazývaný dobre formulované vzorce [14] alebo WFF) je indukčne definovaný nasledujúcimi pravidlami:

  1. Predikátové symboly. Ak P je n-ary symbol predikátu a t1, . tn sú potom pojmy P(t1. tn) je vzorec.
  2. Rovnosť. Ak sa symbol rovnosti považuje za súčasť logiky, a t1 a t2 sú teda pojmy t1 = t2 je vzorec.
  3. Negácia. Ak je vzorec, potom je vzorec. Φ < Displaystyle varphi>
  4. Binárne spojky. Ak sú vzorce vzorce φ < Displaystyle varphi> a ψ < Displaystyle psi>, potom je vzorec. Φ → ψ < displaystyle varphi rightarrow psi> Podobné pravidlá platia aj pre ďalšie binárne logické spojky.
  5. Kvantifikátory. Ak je vzorec φ < Displaystyle varphi> a X je premenná, potom ∀ x φ < displaystyle forall x varphi> (pre všetky platí) a there x φ < displaystyle existuje x varphi> (existuje x také, že φ < Displaystyle varphi>) sú vzorce.

Vzorce sú iba výrazy, ktoré je možné získať pomocou konečného množstva aplikácií pravidiel 1–5. Hovorí sa, že vzorce získané z prvých dvoch pravidiel sú atómové vzorce.

∀ x ∀ y (P (f (x)) → ¬ (P (x) → Q (f (y), x, z)))

je vzorec, ak f je unárny funkčný symbol, P unárny predikátový symbol a Q ternárny predikátový symbol. Na druhej strane, ∀ x x → < displaystyle forall x , x rightarrow> nie je vzorec, hoci ide o reťazec symbolov z abecedy.

Úlohou zátvoriek v definícii je zaistiť, že akýkoľvek vzorec je možné získať iba jedným spôsobom - podľa indukčnej definície (t. J. Pre každý vzorec existuje jedinečný syntaktický strom). Táto vlastnosť je známa ako jedinečná čitateľnosť vzorcov. Existuje veľa konvencií, kedy sa vo vzorcoch používajú zátvorky. Niektorí autori napríklad používajú namiesto zátvoriek dvojbodky alebo bodky alebo menia miesta, do ktorých sa zátvorky vkladajú. Ku konkrétnej definícii každého autora musí byť priložený doklad o jedinečnej čitateľnosti.

Táto definícia vzorca nepodporuje definovanie funkcie if-then-else ite (c, a, b), kde „c“ je podmienka vyjadrená ako vzorec, ktorý by vrátil „a“, ak c je pravda, a „ b „ak je nepravdivé. Je to tak preto, lebo predikáty aj funkcie môžu prijímať pojmy iba ako parametre, prvým parametrom je však vzorec. Niektoré jazyky založené na logike prvého rádu, ako napríklad SMT-LIB 2.0, to pridávajú. [15]

Notačné konvencie Edit

Pre pohodlie boli vyvinuté konvencie o prednosti logických operátorov, aby sa v niektorých prípadoch zabránilo nutnosti písať zátvorky. Tieto pravidlá sú podobné ako poradie operácií v aritmetike. Spoločný dohovor je:

Okrem toho je možné vložiť ďalšiu interpunkciu, ktorú definícia nevyžaduje, aby sa vzorce ľahšie čítali. Teda vzorec

V niektorých poliach je bežné používať notáciu infix pre binárne vzťahy a funkcie namiesto prefixovej notácie definovanej vyššie. Napríklad v aritmetike sa zvyčajne píše „2 + 2 = 4“ namiesto „= (+ (2,2), 4)“. Je bežné považovať vzorce v infixovom zápise za skratky pre zodpovedajúce vzorce v notovom predpise, porovnaj. tiež štruktúra pojmov vs. zastúpenie.

∀ x ∀ y (P (f (x)) → ¬ (P (x) → Q (f (y), x, z)))

Voľné a viazané premenné Upraviť

Vo vzorci sa môže vyskytnúť premenná zadarmo alebo viazaný (alebo obaja). Intuitívne je premenný výskyt vo vzorci voľný, ak nie je kvantifikovaný: [16] v ∀r P(X, r), jediný výskyt premennej X je zadarmo, zatiaľ čo z r je zviazaný. Voľné a viazané premenné výskyty vo vzorci sú definované indukčne nasledovne.

Atómové vzorce Ak φ je atómový vzorec X sa vyskytuje zadarmo v φ keby a len keby X sa vyskytuje v φ. Navyše v žiadnom atómovom vzorci nie sú žiadne viazané premenné. Negácia X sa vyskytuje zadarmo v ¬φ keby a len keby X sa vyskytuje zadarmo v φ. X vyskytuje sa viazaný v ¬φ keby a len keby X sa vyskytuje viazaný v φ Binárne spojky X sa vyskytuje zadarmo v (φψ) ak a len ak X vyskytuje sa zadarmo v obidvoch φ alebo ψ. X sa vyskytuje viazaný v (φψ) ak a len ak X sa vyskytuje viazaný v obidvoch φ alebo ψ. Rovnaké pravidlo platí pre akýkoľvek iný binárny spojovací prostriedok namiesto →. Kvantifikátory X sa vyskytuje zadarmo v ∀r φ , len a len vtedy, ak sa x vyskytne zadarmo v φ a X je iný symbol ako r. Tiež X vyskytuje sa viazaný v ∀r φ , keby a len keby X je r alebo X sa vyskytuje viazaný v φ. Rovnaké pravidlo platí pre ∃ namiesto ∀.

Napríklad v ∀Xr (P(X) → Q(X,f(X),z)) , X a r vyskytujú sa iba viazane, [17] z sa vyskytuje iba zadarmo a w nie je ani preto, že sa vo vzorci nevyskytuje.

Voľné a viazané premenné vo vzorci nemusia byť disjunktné množiny: vo vzorci P(X) → ∀X Q(X), prvý výskyt X, ako argument P, je zadarmo, zatiaľ čo druhý je argumentom Q, je zviazaný.

Vzorec v logike prvého poriadku bez výskytu voľných premenných sa nazýva a veta prvého poriadku. Toto sú vzorce, ktoré budú mať pri interpretácii presne definované pravdivé hodnoty. Napríklad či vzorec ako Phil (X) je pravda, musí závisieť od čoho X predstavuje. Ale veta ∃X Phil (X) budú v danom výklade pravdivé alebo nepravdivé.

Príklad: usporiadané abelianske skupiny Upraviť

V matematike má jazyk usporiadaných abelianskych skupín jeden konštantný symbol 0, jeden unárny funkčný symbol -, jeden binárny funkčný symbol + a jeden binárny vzťahový symbol ≤. Potom:

  • Výrazy + (X, r) a + (X, +(r, −(z))) sú podmienky. Spravidla sa píšu ako X + r a X + rz.
  • Výrazy + (X, r) = 0 a ≤ (+ (X, +(r, −(z))), +(X, r)) sú atómové vzorce. Spravidla sa píšu ako X + r = 0 a X + rzX + r.
  • Výraz (∀ x ∀ y [≤ ⁡ (+ ⁡ (x, y), z) → ∀ x ∀ y + ⁡ (x, y) = 0)] < displaystyle ( forall x forall y , [ mathop < leq> ( mathop <+> (x, y), z) to forall x , forall y , mathop <+> (x, y) = 0)]> je a vzorec, ktoré sa zvyčajne píše ako ∀ x ∀ y (x + y ≤ z) → ∀ x ∀ y (x + y = 0). < displaystyle forall x forall y (x + y leq z) to forall x forall y (x + y = 0).> Tento vzorec má jednu voľnú premennú, z.

Axiómy pre usporiadané abelianske skupiny je možné vyjadriť ako množinu viet v jazyku. Napríklad axióm o tom, že skupina je komutatívna, sa zvyčajne píše (∀ x) (∀ y) [x + y = y + x].

Interpretácia jazyka prvého rádu priraďuje každému nelogickému symbolu v danom jazyku denotáciu. Určuje tiež oblasť diskurzu, ktorá určuje rozsah kvantifikátorov. Výsledkom je, že každému členu je priradený objekt, ktorý predstavuje, každému predikátu je priradená vlastnosť objektov a každej vete je priradená hodnota pravdy. Týmto spôsobom poskytuje interpretácia sémantický význam pojmom, predikátom a vzorcom jazyka. Štúdium interpretácií formálnych jazykov sa nazýva formálna sémantika. Nasleduje popis štandardnej alebo Tarskianovej sémantiky pre logiku prvého rádu. (Je tiež možné definovať hernú sémantiku pre logiku prvého rádu, ale okrem požadovania axiómy výberu, herná sémantika súhlasí s tarskianskou sémantikou pre logiku prvého rádu, takže herná sémantika tu nebude ďalej rozpracovaná.)

Interpretácia funkčného symbolu je funkcia. Napríklad ak doména diskurzu pozostáva z celých čísel, funkčného symbolu f arity 2 možno interpretovať ako funkciu, ktorá dáva súčet jeho argumentov. Inými slovami, symbol f je spojená s funkciou, ktorá je v tejto interpretácii doplnkom. I (f) < displaystyle I (f)>

Interpretácia konštantného symbolu je funkciou z množiny jedného prvku D 0 až D, ktoré možno jednoducho identifikovať s objektom v D. Napríklad interpretácia môže konštantnému symbolu priradiť hodnotu. I (c) = 10 < Displaystyle I (c) = 10>

Výklad n-ary symbol predikátu je sada n- n-tica prvkov domény diskurzu. To znamená, že pri interpretácii je predikátový symbol a n prvkov domény diskurzu možno podľa danej interpretácie zistiť, či je predikát pravdivý pre tieto prvky. Napríklad tlmočenie I (P) symbolu binárneho predikátu P môže byť množina celých párov taká, že prvé je menšie ako druhé. Podľa tohto výkladu predikát P by bola pravda, ak je jeho prvý argument menší ako druhý.

Štruktúry prvého rádu Upraviť

Najbežnejším spôsobom špecifikácie interpretácie (najmä v matematike) je špecifikácia a štruktúra (nazývané tiež a Model Pozri nižšie). Štruktúru tvorí neprázdna množina D ktorý tvorí doménu diskurzu a výkladu nelogických výrazov podpisu. Samotný tento výklad je funkciou:

Vyhodnotenie pravdivostných hodnôt Edit

Vzorec sa pri interpretácii vyhodnotí ako pravdivý alebo nepravdivý a a variabilné priradenie μ, ktorý priraďuje prvok domény diskurzu ku každej premennej. Priradenie premennej je potrebné preto, aby bolo možné dať vzorcom s voľnými premennými význam, ako napríklad y = x < displaystyle y = x>. Pravdivostná hodnota tohto vzorca sa mení podľa toho, či X a r označujú toho istého jednotlivca.

Po prvé, priradenie premennej μ je možné rozšíriť na všetky termíny jazyka, takže každý termín sa mapuje na jeden prvok oblasti diskurzu. Na vykonanie tohto priradenia sa používajú nasledujúce pravidlá:

  1. Premenné. Každá premenná X hodnotí na μ(X)
  2. Funkcie. Dané termíny t 1,…, t n < displaystyle t_ <1>, ldots, t_> ktoré boli vyhodnotené na prvky d 1, ..., d n < displaystyle d_ <1>, ldots, d_> z oblasti diskurzu a a n-aryárny funkčný symbol f, pojem f (t 1, ..., t n) < Displaystyle f (t_ <1>, ldots, t_)> hodnotí sa podľa (I (f)) (d 1,…, d n) < Displaystyle (I (f)) (d_ <1>, ldots, d_)> .

Ďalej je každému vzorcu priradená hodnota pravdy. Induktívna definícia použitá na vykonanie tohto priradenia sa nazýva T-schéma.

  1. Atómové vzorce (1). A vzorec P (t 1, ..., t n) < Displaystyle P (t_ <1>, ldots, t_)> je priradená hodnota true alebo false v závislosti od toho, či ⟨proti 1,…, proti n v ∈ I (P) < displaystyle langle v_ <1>, ldots, v_ rangle v I (P)>, kde proti 1,…, proti n < displaystyle v_ <1>, ldots, v_> sú vyhodnotenie výrazov t 1,…, t n < displaystyle t_ <1>, ldots, t_> a ja (P) < displaystyle I (P)> je interpretácia P < displaystyle P>, ktorá je za predpokladu podmnožinou D n < displaystyle D ^> .
  2. Atómové vzorce (2). Vzorec je priradený ako pravdivý, ak je t 1 = t 2 < Displaystyle t_ <1> = t_ <2>> t 1 < Displaystyle t_ <1>> t 2 = Displaystyle t_ <2>> t oblasti diskurzu (pozri časť o rovnosti nižšie).
  3. Logické spojky. Vzorec vo forme atď. Sa hodnotí podľa pravdivostnej tabuľky pre príslušné spojivové spojenie, ako je to v výrokovej logike. ¬ ϕ < Displaystyle neg phi>, ϕ → ψ < displaystyle phi rightarrow psi> atď.
  4. Existenčné kvantifikátory. Vzorec according x ϕ (x) < displaystyle existuje x phi (x)> platí podľa M a μ < Displaystyle mu> ak existuje hodnotenie premenných, ktoré sa líši iba od vyhodnotenia μ < Displaystyle mu> μ ′ < displaystyle mu '> X a také, že φ je podľa interpretácie pravdivé M a priradenie premennej μ ′ < displaystyle mu '>. Táto formálna definícia vystihuje myšlienku, že ∃ x ϕ (x) < displaystyle existuje x phi (x)> je pravda vtedy a len vtedy, ak existuje spôsob, ako zvoliť hodnotu pre X také, že φ (X) je spokojný.
  5. Univerzálne kvantifikátory. Vzorec ∀ x ϕ (x) < displaystyle forall x phi (x)> platí podľa M a μ < Displaystyle mu> ak φ (X) platí pre každú dvojicu tvorenú interpretáciou M a niektoré premenné priradenie, ktoré sa líši od μ < Displaystyle mu> iba od hodnoty X. To vystihuje myšlienku, že true x ϕ (x) < displaystyle forall x phi (x)> je pravda, ak je každá možná voľba hodnoty pre X spôsobuje φ (X) byť pravdivý.

Ak vzorec neobsahuje voľné premenné, rovnako ako veta, potom počiatočné priradenie premennej neovplyvní jeho pravdivostnú hodnotu. Inými slovami, veta je pravdivá podľa M a μ < displaystyle mu> práve a len vtedy, ak je to pravda podľa M a každé ďalšie priradenie premennej μ ′ < displaystyle mu '>.

Existuje druhý spoločný prístup k definovaniu pravdivostných hodnôt, ktorý sa nespolieha na funkcie variabilného priradenia. Namiesto toho podaný výklad Mjeden najskôr pridá k podpisu zbierku konštantných symbolov, jeden pre každý prvok v oblasti diskurzu v jazyku M to hovor pre každého d v doméne konštantný symbol cd je opravený. Interpretácia je rozšírená tak, že každému novému konštantnému symbolu je priradený jeho zodpovedajúci prvok domény. Pravda pre kvantifikované vzorce je teraz definovaná syntakticky takto:

Tento alternatívny prístup dáva všetkým vetám úplne rovnaké pravdivé hodnoty ako prístup pomocou variabilných priradení.

Platnosť, uspokojivosť a logický dôsledok Upraviť

Ak sa veta pod daným výkladom vyhodnotí ako Pravda M, hovorí jeden M uspokojuje φ toto sa označuje [18] M ⊨ φ < displaystyle M vDash varphi>. Veta je uspokojivý ak existuje nejaký výklad, podľa ktorého je to pravda.

Uspokojiteľnosť vzorcov s voľnými premennými je komplikovanejšia, pretože samotná interpretácia neurčuje pravdivostnú hodnotu takéhoto vzorca. Najbežnejšia konvencia je, že sa hovorí, že vzorec s voľnými premennými je uspokojený interpretáciou, ak vzorec zostáva pravdivý bez ohľadu na to, ktorí jednotlivci z oblasti diskurzu sú priradení k jeho voľným premenným. To má rovnaký účinok ako tvrdenie, že vzorec je splnený, len ak je splnený jeho univerzálny záver.

Vzorec je logicky platné (alebo jednoducho platný) ak je pravdivý pri každom výklade. [19] Tieto vzorce hrajú v propozičnej logike podobnú úlohu ako tautológie.

Vzorec φ je a logický dôsledok vzorca ψ ak každá interpretácia, ktorá robí ψ pravdivou, robí aj φ pravdivou. V tomto prípade sa dá povedať, že φ je logicky implikované ψ.

Algebraizácia Upraviť

Alternatívny prístup k sémantike logiky prvého rádu postupuje prostredníctvom abstraktnej algebry. Tento prístup zovšeobecňuje algebry Lindenbaum – Tarski výrokovej logiky. Existujú tri spôsoby, ako vylúčiť kvantifikované premenné z logiky prvého rádu, ktoré nezahŕňajú nahradenie kvantifikátorov inými operátormi viazania termínov na premenné:

Tarski a Givant (1987) ukázali, že fragment logiky prvého rádu, ktorý nemá atómovú vetu ležiacu v rozsahu viac ako troch kvantifikátorov, má rovnakú výpovednú silu ako relačná algebra. [20]: 32–33 Tento fragment je veľmi zaujímavý, pretože postačuje pre Peanoovu aritmetickú a najaxiomatickejšiu teóriu množín, vrátane kanonického ZFC. Dokazujú tiež, že logika prvého rádu s primitívnym usporiadaným párom je ekvivalentná s relačnou algebrou s dvoma projekčnými funkciami usporiadaných párov. [21]: 803

Teórie, modely a základné triedy prvého rádu Upraviť

A teória prvého rádu konkrétneho podpisu je sada axiómov, čo sú vety pozostávajúce zo symbolov z tohto podpisu. Množina axiómov je často konečná alebo rekurzívne spočítateľná, v takom prípade sa nazýva teória efektívne. Niektorí autori požadujú, aby teórie obsahovali aj všetky logické dôsledky axiómov. Axiómy sa považujú za axiómy v teórii a z nich možno odvodiť ďalšie vety, ktoré v teórii platia.

O štruktúre prvého rádu, ktorá spĺňa všetky vety v danej teórii, sa hovorí a Model teórie. An elementárna trieda je množina všetkých štruktúr vyhovujúcich konkrétnej teórii. Tieto triedy sú hlavným predmetom štúdia teórie modelov.

Mnoho teórií má zamýšľaný výklad, určitý model, ktorý sa pamätá pri štúdiu teórie. Napríklad zamýšľaná interpretácia Peanovej aritmetiky pozostáva z obvyklých prirodzených čísel s ich obvyklými operáciami. Teória Löwenheim – Skolem však ukazuje, že väčšina teórií prvého rádu bude mať aj iné, neštandardné modely.

Teória je dôsledný ak nie je možné dokázať rozpor z axióm teórie. Teória je kompletný ak pre každý vzorec v jeho podpise je tento vzorec alebo jeho negácia logickým dôsledkom axiómov teórie. Gödelova veta o neúplnosti ukazuje, že efektívne teórie prvého rádu, ktoré obsahujú dostatočnú časť teórie prirodzených čísel, nikdy nemôžu byť konzistentné a úplné.

Prázdne domény Upraviť

Vyššie uvedená definícia vyžaduje, aby oblasť diskurzu akéhokoľvek výkladu nebola prázdna. Existujú nastavenia, napríklad inkluzívna logika, kde sú povolené prázdne domény. Navyše, ak trieda algebraických štruktúr obsahuje prázdnu štruktúru (napríklad je tu prázdna poseta), môže byť touto triedou v logike prvého rádu iba elementárna trieda, ak sú povolené prázdne domény alebo je prázdna štruktúra z triedy odstránená. .

S prázdnymi doménami je však niekoľko problémov:

  • Mnoho bežných odvodených pravidiel je platných, iba ak sa vyžaduje, aby doména diskurzu nebola neprázdna. Jedným príkladom je pravidlo, ktoré hovorí, že keď ϕ ∨ ∃ X ψ < Displaystyle phi lor existuje x psi> znamená when x (ϕ ∨ ψ) < displaystyle existuje x ( phi lor psi)> X nie je voľná premenná v ϕ < displaystyle phi>. Toto pravidlo, ktoré sa používa na uvedenie vzorcov do normálnej formy, je platné v neprázdnych doménach, ale nezdravé, ak je povolená prázdna doména.
  • Definícia pravdy vo výklade, ktorý používa funkciu priradenia premenných, nemôže pracovať s prázdnymi doménami, pretože neexistujú žiadne funkcie priradenia premenných, ktorých rozsah je prázdny. (Podobne nie je možné priradiť interpretácie konštantným symbolom.) Táto definícia pravdy vyžaduje, aby bolo možné definovať pravdivostné hodnoty aj pre atómové vzorce, aby sa zvolila funkcia priradenia premenných (μ vyššie). Potom je pravdivostná hodnota vety definovaná ako jej pravdivostná hodnota pri akomkoľvek premennom priradení a je dokázané, že táto pravdivostná hodnota nezávisí od toho, ktoré priradenie je vybrané. Táto technika nefunguje, ak neexistujú vôbec žiadne funkcie priradenia, musí sa zmeniť tak, aby vyhovovala prázdnym doménam.

Keď je teda prázdna doména povolená, musí sa s ňou často zaobchádzať ako so zvláštnym prípadom. Väčšina autorov však prázdnu doménu podľa definície jednoducho vylúči.

A deduktívny systém sa používa na preukázanie čisto syntaktického základu, že jeden vzorec je logickým dôsledkom iného vzorca. Existuje mnoho takýchto systémov pre logiku prvého rádu, vrátane deduktívnych systémov v štýle Hilberta, prirodzenej dedukcie, postupného počtu, metódy tablo a rozlíšenie. Zdieľajú spoločnú vlastnosť, že odpočet je konečný syntaktický objekt, formát tohto objektu a spôsob jeho konštrukcie sa veľmi líšia. Samotné tieto konečné odpočty sa často nazývajú derivácie v teórii dôkazov. Často sa im hovorí aj dôkazy, ale na rozdiel od matematických dôkazov v prírodnom jazyku sú úplne formalizované.

Deduktívny systém je zvuk ak je ľubovoľný vzorec, ktorý je možné odvodiť v systéme, logicky platný. Naopak, deduktívny systém je kompletný ak je každý logicky platný vzorec odvoditeľný. Všetky systémy diskutované v tomto článku sú spoľahlivé a úplné. Zdieľajú tiež majetok, ktorý je možné efektívne overiť, že údajne platný odpočet je vlastne odpočet, ktorým sa tieto systémy odpočtov nazývajú efektívne.

Kľúčovou vlastnosťou deduktívnych systémov je, že sú čisto syntaktické, takže derivácie je možné overiť bez zváženia akejkoľvek interpretácie. V každej možnej interpretácii jazyka je teda správny argument správny, bez ohľadu na to, či sa táto interpretácia týka matematiky, ekonómie alebo inej oblasti.

Logický dôsledok v logike prvého rádu je všeobecne len semidecidovateľný: ak veta A logicky implikuje vetu B, potom ju možno zistiť (napríklad hľadaním dôkazu, kým sa nenájde, pomocou účinného, ​​spoľahlivého a úplného dôkazu). systém). Ak však A logicky neimplikuje B, neznamená to, že A logicky implikuje negáciu B. Neexistuje efektívny postup, ktorý by pri vzorcoch A a B vždy správne rozhodol, či A logicky implikuje B.

Pravidlá vyvodzovania

A pravidlo dedukcie uvádza, že vzhľadom na konkrétny vzorec (alebo skupinu vzorcov) s určitou vlastnosťou ako hypotézu možno odvodiť ako záver iný konkrétny vzorec (alebo skupinu vzorcov). Pravidlo je zdravé (alebo zachováva pravdu), ak si zachováva platnosť v tom zmysle, že vždy, keď akákoľvek interpretácia uspokojí hypotézu, uspokojí tento záver aj záver.

Napríklad jedno spoločné pravidlo pre odvodenie je pravidlo substitúcie. Ak t je výraz a φ je vzorec, ktorý pravdepodobne obsahuje premennú X, potom φ [t/X] je výsledkom nahradenia všetkých bezplatných inštancií súboru X od t v φ. Substitučné pravidlo hovorí, že pre akýkoľvek φ a akýkoľvek výraz t, možno vyvodiť záver φ [t/X] z φ za predpokladu, že žiadna voľná premenná z t sa stane viazaným počas procesu substitúcie. (Ak je nejaká voľná premenná t stane sa viazaným, potom nahradí t pre X najskôr je potrebné zmeniť viazané premenné φ, aby sa líšili od voľných premenných φ t.)

Pravidlo substitúcie demonštruje niekoľko bežných aspektov pravidiel dedukcie. Je úplne syntaktické, že je možné zistiť, či bola správne použitá, bez toho, aby bolo potrebné odvolať sa na akýkoľvek výklad. Má (syntakticky definované) obmedzenia, kedy je možné ho uplatniť, ktoré je potrebné rešpektovať, aby sa zachovala správnosť derivácií. Okrem toho, ako to často býva, sú tieto obmedzenia potrebné z dôvodu interakcií medzi voľnými a viazanými premennými, ktoré sa vyskytujú počas syntaktických manipulácií vzorcov zahrnutých v inferenčnom pravidle.

Systémy podľa Hilberta a prirodzená dedukcia

Dedukcia v deduktívnom systéme podľa Hilberta je zoznam vzorcov, z ktorých každý je a logická axióma, hypotéza, ktorá sa predpokladala pre danú deriváciu, alebo vyplýva z predchádzajúcich vzorcov prostredníctvom pravidla odvodenia. Logické axiómy pozostávajú z niekoľkých schém axiómu logicky platných vzorcov, ktoré obsahujú značné množstvo výrokovej logiky. Pravidlá dedukcie umožňujú manipuláciu s kvantifikátormi. Typické systémy podľa Hilberta majú malý počet pravidiel vyvodzovania spolu s niekoľkými nekonečnými schémami logických axiómov. Je bežné mať iba modus ponens a univerzálne zovšeobecnenie ako odvodzovacie pravidlá.

Prirodzené dedukčné systémy sa podobajú systémom Hilbertovho štýlu v tom, že dedukcia je konečným zoznamom vzorcov. Systémy prirodzenej dedukcie však nemajú logické axiómy, ktoré by kompenzovali pridaním ďalších pravidiel odvodenia, ktoré možno použiť na manipuláciu s logickými väzbami vo vzorcoch v dôkaze.

Postupný počet Upraviť

Sekvenčný počet bol vyvinutý na štúdium vlastností systémov prirodzenej dedukcie. [22] Namiesto práce s jedným vzorcom súčasne používa sekvencie, čo sú výrazy formy

Tableauxova metóda Upraviť

Na rozdiel od práve opísaných metód, derivácie v metóde tablo nie sú zoznamy vzorcov. Namiesto toho je derivácia stromom vzorcov. Na preukázanie toho, že vzorec A je dokázateľný, sa tabuľková metóda pokúša preukázať, že negácia A je neuspokojivá. Strom odvodenia má pri koreni vetvy stromu tak, aby odrážali štruktúru vzorca. ¬ A < Displaystyle lnot A> Napríklad preukázať, že je neuspokojiteľný C ∨ D < Displaystyle C lor D> vyžaduje preukázanie, že C a D sú každý z nich neuspokojivý, čo zodpovedá bodu rozvetvenia v strome s materským C ∨ D < Displaystyle C lor D> a deti C a D.

Upraviť rozlíšenie

Pravidlo riešenia je jediné odvodené pravidlo, ktoré je spolu so zjednotením spoľahlivé a úplné pre logiku prvého rádu. Rovnako ako v prípade tabelovej metódy, aj vzorec sa dokazuje preukázaním, že negácia vzorca je neuspokojivá. Rozlíšenie sa bežne používa pri automatizovanom dokazovaní viet.

Metóda riešenia rozlíšenia funguje iba u vzorcov, ktoré sú disjunkciami atómových vzorcov. Ľubovoľné vzorce je potrebné najskôr previesť do tohto tvaru pomocou skolemizácie. Pravidlo rezolúcie uvádza, že z hypotéz A 1 ∨ ⋯ ∨ A k ∨ C < displaystyle A_ <1> lor cdots lor A_ lor C> a B 1 ∨ ⋯ ∨ B l ∨ ¬ C < displaystyle B_ <1> lor cdots lor B_ lor lnot C>, záver A 1 ∨ ⋯ ∨ A k ∨ B 1 ∨ ⋯ ∨ B l < displaystyle A_ <1> lor cdots lor A_ lor B_ <1> lor cdots lor B_> možno získať.

Preukázateľné identity Upraviť

Je možné dokázať veľa identít, ktoré ustanovujú ekvivalencie medzi konkrétnymi vzorcami. Tieto identity umožňujú preusporiadanie vzorcov presunutím kvantifikátorov cez ďalšie spojovacie prvky a sú užitočné na uvedenie vzorcov do normálnej formy prenex. Medzi preukázateľné identity patrí:

Existuje niekoľko rôznych konvencií na použitie rovnosti (alebo identity) v logike prvého rádu. Najbežnejšia konvencia, známa ako logika prvého rádu s rovnosťou, zahŕňa symbol rovnosti ako primitívny logický symbol, ktorý sa vždy interpretuje ako skutočný vzťah rovnosti medzi členmi oblasti diskurzu, takže „dvaja“ členovia sú rovnakí členovia. Tento prístup tiež pridáva určité axiómy o rovnosti do použitého deduktívneho systému. Tieto axiómy rovnosti sú: [23]: 198–200

  1. Reflexivita. Pre každú premennú X, X = X.
  2. Nahradenie funkcií. Pre všetky premenné X a ra akýkoľvek funkčný symbol f, X = rf(. X. ) = f(. r. ).
  3. Nahradenie vzorcov. Pre akékoľvek premenné X a r a akýkoľvek vzorec φ (X), ak sa φ 'získa nahradením ľubovoľného počtu voľných výskytov X v φ s r, takže tieto zostanú bezplatnými výskytmi rpotom X = r → (φ → φ ').

Toto sú schémy axiómu, z ktorých každá špecifikuje nekonečnú množinu axiómov. Tretia schéma je známa ako Leibnizov zákon„Zásada substitučnosti“, „nerozoznateľnosť identít“ alebo „náhradná vlastnosť“. Druhá schéma zahŕňajúca funkčný symbol f, je (ekvivalentné) špeciálnemu prípadu tretej schémy pomocou vzorca

X = r → (f(. X. ) = z → f(. r. ) = z).

Mnoho ďalších vlastností rovnosti je dôsledkom vyššie uvedených axiómov, napríklad:

  1. Symetria. Ak X = r potom r = X. [24]
  2. Prechodnosť. Ak X = r a r = z potom X = z. [25]

Logika prvého rádu bez rovnosti Upraviť

Alternatívny prístup považuje vzťah rovnosti za nelogický symbol. Tento dohovor je známy ako logika prvého rádu bez rovnosti. Ak je v podpise zahrnutý vzťah rovnosti, musia sa teraz do uvažovaných teórií pridať axiómy rovnosti, ak je to potrebné, namiesto toho, aby sa považovali za pravidlá logiky. Hlavný rozdiel medzi touto metódou a logikou prvého rádu s rovnosťou je v tom, že interpretácia môže teraz interpretovať dvoch odlišných jednotlivcov ako „rovnocenných“ (hoci podľa Leibnizovho zákona budú pri akejkoľvek interpretácii uspokojovať úplne rovnaké vzorce). To znamená, že vzťah rovnosti možno v súčasnosti interpretovať svojvoľným vzťahom rovnocennosti v oblasti diskurzu, ktorý je v súlade s funkciami a vzťahmi výkladu.

Ak sa použije tento druhý dohovor, použije sa pojem normálny model sa používa na označenie interpretácie, pri ktorej neexistujú nijaké odlišné osoby a a b uspokojiť a = b. V logike prvého rádu s rovnosťou sa berú do úvahy iba normálne modely, a preto pre iný model neexistuje iný výraz ako normálny model. Keď sa študuje logika prvého rádu bez rovnosti, je potrebné upraviť tvrdenia o výsledkoch, ako je veta Löwenheim – Skolem, aby sa zohľadňovali iba bežné modely.

Logika prvého rádu bez rovnosti sa často používa v kontexte aritmetiky druhého rádu a iných teórií aritmetiky vyššieho rádu, kde sa zvyčajne vynecháva vzťah rovnosti medzi množinami prirodzených čísel.

Definovanie rovnosti v rámci teórie Edit

Ak má teória binárny vzorec A(X,r) ktorý uspokojuje reflexivitu a Leibnizov zákon, sa hovorí, že teória má rovnosť alebo že je teóriou s rovnosťou. Teória nemusí mať všetky inštancie vyššie uvedených schém ako axiómy, ale skôr ako odvoditeľné vety. Napríklad v teóriách bez funkčných symbolov a konečného počtu vzťahov je možné definovať rovnosť z hľadiska vzťahov definovaním dvoch výrazov. s a t sa rovná, ak sa akýkoľvek vzťah nezmení zmenou s do t v akomkoľvek argumente.

Niektoré teórie umožňujú iné ad hoc definície rovnosti:

  • V teórii čiastkových príkazov s jedným vzťahovým symbolom ≤ by sa dalo definovať s = t byť skratkou pre stts.
  • V teórii množín s jedným vzťahom may možno definovať s = t byť skratkou pre ∀X (sXtX) ∧ ∀X (XsXt). Táto definícia rovnosti potom automaticky spĺňa axiómy rovnosti. V takom prípade by sa malo nahradiť obvyklé axióme extenzivity, ktorú možno označiť ako ∀ x ∀ y [∀ z (z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y] < displaystyle forall x forall y [ forall z (z in x Left rightarrow z in y) Rightarrow x = y]>, s alternatívnou formuláciou ∀ x ∀ y [∀ z (z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ ∀ z (x ∈ z ⇔ y ∈ z)] < displaystyle forall x forall y [ forall z (z in x Leftrightarrow z in y) Rightarrow forall z (x in z Leftrightarrow y in z)]>, ktorý hovorí, že ak množiny X a r majú rovnaké prvky, potom tiež patria do rovnakých množín.

Jednou motiváciou pre použitie logiky prvého rádu namiesto logiky vyššieho rádu je, že logika prvého rádu má veľa metalogických vlastností, ktoré silnejšia logika nemá. Tieto výsledky sa týkajú skôr všeobecných vlastností samotnej logiky prvého rádu, ako vlastností jednotlivých teórií. Poskytujú základné nástroje na stavbu modelov teórií prvého rádu.

Úplnosť a nerozhodnosť

Gödelova veta o úplnosti, ktorú preukázal Kurt Gödel v roku 1929, ustanovuje, že existujú spoľahlivé, úplné a účinné deduktívne systémy pre logiku prvého rádu, a teda vzťah logických dôsledkov prvého rádu je zachytený konečnou dokázateľnosťou. Naivne tvrdenie, že vzorec φ logicky implikuje vzorec ψ, závisí od každého modelu φ, ktorý bude mať tieto modely všeobecne ľubovoľne veľkej mohutnosti, a preto logické dôsledky nemožno efektívne overiť kontrolou každého modelu. Je však možné vymenovať všetky konečné derivácie a hľadať deriváciu ψ z φ. Ak je ψ logicky implikované z φ, takáto derivácia sa nakoniec nájde. Logický dôsledok prvého rádu je teda semidecidovateľný: je možné vytvoriť efektívny výpočet všetkých párov viet (φ, ψ) tak, aby ψ bolo logickým dôsledkom φ.

Na rozdiel od výrokovej logiky je logika prvého rádu nerozhodnuteľná (aj keď čiastočne semidovateľná) za predpokladu, že jazyk má najmenej jeden predikát arity najmenej 2 (okrem rovnosti). To znamená, že neexistuje žiadny rozhodovací postup, ktorý by určoval, či sú ľubovoľné vzorce logicky platné. Tento výsledok stanovili nezávisle Alonzo Church a Alan Turing v rokoch 1936, respektíve 1937, čím poskytli negatívnu odpoveď na problém Entscheidungs, ktorý predstavili David Hilbert a Wilhelm Ackermann v roku 1928. Ich dôkazy ukazujú súvislosť medzi neriešiteľnosťou rozhodovacieho problému pre logika poriadku a neriešiteľnosť problému zastavenia.

Existujú systémy slabšie ako úplná logika prvého rádu, pre ktoré je rozhodujúci vzťah logických následkov. Patria sem výroková logika a monadická predikátová logika, čo je logika prvého rádu obmedzená na unárne predikátové symboly a žiadne funkčné symboly. Ostatné logiky, ktoré nemajú rozhodujúce funkčné symboly, sú strážený fragment logiky prvého rádu, ako aj logika dvoch premenných. Rozhodujúca je aj trieda vzorcov prvého rádu Bernays – Schönfinkel. V rámci logiky popisu sa študujú aj rozhodujúce podmnožiny logiky prvého rádu.

Löwenheim – Skolemova veta Edit

Teória Löwenheim – Skolem ukazuje, že ak má teória mohutnosti prvého rádu λ nekonečný model, potom má modely každej nekonečnej mohutnosti väčšie alebo rovné λ. Jeden z prvých výsledkov v teórii modelov znamená, že nie je možné charakterizovať počítateľnosť alebo nepočítateľnosť v jazyku prvého rádu s počítateľným podpisom. To znamená, že neexistuje vzorec prvého rádu φ (X) taký, že ľubovoľná štruktúra M spĺňa φ práve vtedy, ak je oblasť prejavu M spočítateľná (alebo v druhom prípade nespočetná).

Z vety Löwenheim – Skolem vyplýva, že nekonečné štruktúry nemožno v logike prvého rádu kategoricky axiomatizovať. Napríklad neexistuje žiadna teória prvého rádu, ktorej jediným modelom je skutočná línia: akákoľvek teória prvého rádu s nekonečným modelom má tiež model mohutnosti väčší ako kontinuum. Pretože skutočná čiara je nekonečná, akákoľvek teória uspokojená skutočnou čiarou je uspokojená aj niektorými neštandardnými modelmi. Keď sa veta Löwenheim – Skolem použije na teórie množín prvého rádu, neintuitívne dôsledky sú známe ako Skolemov paradox.

Veta o kompaktnosti Edit

Veta o kompaktnosti tvrdí, že množina viet prvého rádu má model práve vtedy, ak má model iba každá jeho konečná podmnožina. [26] To znamená, že ak je vzorec logickým dôsledkom nekonečnej množiny axiómov prvého rádu, potom je logickým dôsledkom určitého konečného počtu týchto axiómov. Túto vetu najskôr dokázal Kurt Gödel ako dôsledok vety o úplnosti, časom však bolo získaných veľa ďalších dôkazov. Je to ústredný nástroj v teórii modelov a poskytuje základnú metódu na konštrukciu modelov.

Veta o kompaktnosti má obmedzujúci vplyv na to, ktoré zbierky štruktúr prvého rádu sú elementárne triedy. Napríklad veta o kompaktnosti naznačuje, že každá teória, ktorá má ľubovoľne veľké konečné modely, má nekonečný model. Trieda všetkých konečných grafov teda nie je elementárnou triedou (to isté platí pre mnoho ďalších algebraických štruktúr).

Existujú aj jemnejšie obmedzenia logiky prvého rádu, ktoré vyplývajú z vety o kompaktnosti. Napríklad v informatike možno veľa situácií modelovať ako usmernený graf stavov (uzly) a spojenia (smerované hrany). Overenie platnosti takého systému môže vyžadovať preukázanie, že zo žiadneho „dobrého“ stavu nemožno dosiahnuť žiadny „zlý“ stav. Preto sa človek snaží zistiť, či sú dobré a zlé stavy v rôznych prepojených komponentoch grafu. Vetu o kompaktnosti však možno použiť na ukážku, že spojené grafy nie sú v logike prvého rádu elementárnou triedou a neexistuje vzorec φ (X,r) logiky prvého rádu, v logike grafov, ktorá vyjadruje myšlienku, že existuje cesta od X do r. Prepojenosť sa dá vyjadriť v logike druhého rádu, ale nielen s existenčnými množinami kvantifikátorov, pretože kompaktnosť má aj Σ 1 1 < displaystyle Sigma _ <1> ^ <1>>.

Lindströmova veta Edit

Per Lindström ukázal, že práve diskutované metalogické vlastnosti skutočne charakterizujú logiku prvého rádu v tom zmysle, že tieto vlastnosti nemôže mať ani silnejšia logika (Ebbinghaus a Flum 1994, kapitola XIII). Lindström definoval triedu abstraktných logických systémov a dôslednú definíciu relatívnej sily člena tejto triedy. Pre systémy tohto typu ustanovil dve vety:

  • Logický systém vyhovujúci Lindströmovej definícii, ktorý obsahuje logiku prvého rádu a uspokojuje vetu Löwenheim – Skolem aj vetu kompaktnosti, musí byť ekvivalentný logike prvého rádu.
  • Logický systém vyhovujúci Lindströmovej definícii, ktorý má vzťah čiastočne logického dôsledku a vyhovuje vete Löwenheim – Skolem, musí byť ekvivalentný logike prvého rádu.

Aj keď logika prvého rádu stačí na formalizáciu veľkej časti matematiky a bežne sa používa v informatike a iných odboroch, má určité obmedzenia. Patria sem obmedzenia jeho expresivity a obmedzenia fragmentov prirodzených jazykov, ktoré dokáže opísať.

Napríklad logika prvého rádu je nerozhodná, čo znamená, že spoľahlivý, úplný a konečný rozhodovací algoritmus pre preukázateľnosť je nemožný. To viedlo k štúdiu zaujímavých rozhodujúcich fragmentov, ako je napríklad C.2: logika prvého rádu s dvoma premennými a počítacie kvantifikátory ∃ ≥ n < displaystyle existuje ^ < geq n >> a ∃ ≤ n < displaystyle existuje ^ < leq n >>. [27]

Úpravnosť

Teória Löwenheim – Skolem ukazuje, že ak má teória prvého rádu akýkoľvek nekonečný model, potom má nekonečné modely každej mohutnosti. Najmä žiadna teória prvého rádu s nekonečným modelom nemôže byť kategorická. Neexistuje teda teória prvého rádu, ktorej jediný model má ako doménu množinu prirodzených čísel alebo ktorej jediný model má ako doménu množinu reálnych čísel. Mnoho rozšírení logiky prvého rádu, vrátane nekonečných logík a logík vyššieho rádu, je expresívnejších v tom zmysle, že umožňujú kategorické axiomatizácie prirodzených čísel alebo skutočných čísel. Táto expresívnosť však vychádza z metalogických nákladov: podľa Lindströmovej vety nemôže byť veta o kompaktnosti a zostupná Löwenheim-Skolemova veta v žiadnej logike silnejšej ako v prvom poradí.

Formalizovanie prirodzených jazykov Upraviť

Logika prvého rádu je schopná formalizovať mnoho jednoduchých konštrukcií kvantifikátorov v prirodzenom jazyku, napríklad „každý človek, ktorý žije v Perthe, žije v Austrálii“. Existuje ale oveľa viac komplikovaných funkcií prirodzeného jazyka, ktoré sa nedajú vyjadriť v (jednorazovej) logike prvého rádu. „Každý logický systém, ktorý je vhodný ako nástroj na analýzu prirodzeného jazyka, potrebuje oveľa bohatšiu štruktúru ako predikátová logika prvého rádu.“ [28]

Existuje veľa variácií logiky prvého rádu. Niektoré z nich sú nepodstatné v tom zmysle, že iba menia notáciu bez ovplyvnenia sémantiky. Iné menia výrazovú silu významnejšie rozšírením sémantiky o ďalšie kvantifikátory alebo ďalšie nové logické symboly. Napríklad nekonečná logika umožňuje vzorce nekonečnej veľkosti a modálne logiky pridávajú symboly pre možnosť a nevyhnutnosť.

Obmedzené jazyky Upraviť

Logiku prvého rádu je možné študovať v jazykoch s menším počtom logických symbolov, ako bolo popísané vyššie.

  • Pretože can x ϕ (x) < Displaystyle existuje x phi (x)> môže byť vyjadrená ako a ∀ ¬ ∀ x ¬ ϕ (x) < displaystyle neg for all x neg phi (x)> x ϕ (x) < displaystyle forall x phi (x)> možno vyjadriť ako jeden z týchto dvoch spôsobov ¬ ∃ x ¬ ϕ (x) < displaystyle neg existuje x neg phi (x)> kvantifikátory ∃ < displaystyle existuje> a ∀ < displaystyle forall> môžu byť vypustené.
  • Pretože can ∨ ψ < Displaystyle phi lor psi> možno vyjadriť ako ¬ (¬ ϕ ∧ ¬ ψ) < displaystyle lnot ( lnot phi land lnot psi)> a ϕ ∧ ψ < možno vyjadriť ako ¬ (¬ ϕ ∨ ¬ ψ) < displaystyle lnot ( lnot phi lor lnot psi)>, buď ∨ < displaystyle vee> alebo ∧ < displaystyle wedge> možno upustiť. Inými slovami, stačí mať iba logické spojky. ¬ < Displaystyle neg> a ∨ < Displaystyle vee> alebo ¬ < Displaystyle neg> a ∧ < Displaystyle wedge>
  • Podobne stačí mať iba logické spojky ¬ < displaystyle neg> a → < displaystyle rightarrow> alebo mať iba Shefferov ťah (NAND) alebo operátor šípky Peirce (NOR).
  • Je možné sa úplne vyhnúť funkčným symbolom a konštantným symbolom a vhodným spôsobom ich prepisovať pomocou predikátových symbolov. Napríklad namiesto použitia konštantného symbolu je možné použiť predikát (interpretovaný ako x) (0 = Displaystyle x = 0) 0 (x) < displaystyle 0 (x)> a nahradiť každý predikát, ako napríklad P (0, y) < Displaystyle P (0, y)> ∀ X (0 (x) → P (x, y)) < displaystyle forall x (0 (x ) pravá šípka P (x, y))>. Funkcia ako napríklad f (x 1, x 2,.,., X n) < Displaystyle f (x_ <1>, x_ <2>. X_)> bude podobne nahradený predikátom F (x 1, x 2, ...., x n, y) < displaystyle F (x_ <1>, x_ <2>. x_, y)> interpretované ako y = f (x 1, x 2,.., x n) < displaystyle y = f (x_ <1>, x_ <2>. x_)>. Táto zmena vyžaduje pridanie ďalších axiómov k teórii, aby interpretácie použitých predikátových symbolov mali správnu sémantiku. [29]

Takéto obmedzenia sú užitočné ako technika na zníženie počtu odvodzovacích pravidiel alebo schém axiómov v deduktívnych systémoch, čo vedie k kratším dôkazom metalogických výsledkov. Náklady na obmedzenia spočívajú v tom, že je čoraz ťažšie vyjadrovať výroky v prirodzenom jazyku vo formálnom systéme, pretože logické spojky použité vo výrokoch v prirodzenom jazyku musia byť nahradené ich (dlhšími) definíciami v zmysle obmedzeného zhromažďovania logické spojky. Podobne môžu byť derivácie v obmedzených systémoch dlhšie ako derivácie v systémoch, ktoré obsahujú ďalšie spojovacie prvky. Existuje teda kompromis medzi ľahkosťou práce vo formálnom systéme a ľahkosťou preukázania výsledkov formálneho systému.

Je tiež možné obmedziť arity funkčných symbolov a predikátových symbolov v dostatočne expresívnych teóriách. V teóriách, ktoré obsahujú párovaciu funkciu, je možné v zásade úplne upustiť od funkcií arity väčších ako 2 a predikátov arity vyšších ako 1. Toto je funkcia arity 2, ktorá zoberie páry prvkov domény a vráti usporiadaný pár, ktorý ich obsahuje. Postačuje tiež mať dva predikátové symboly arity 2, ktoré definujú projekčné funkcie od usporiadaného páru po jeho komponenty. V obidvoch prípadoch je potrebné, aby boli splnené prirodzené axiómy párovacej funkcie a jej projekcie.

Mnohostranná logika Upraviť

Bežné interpretácie prvého rádu majú jednu oblasť diskurzu, v ktorej sa všetky kvantifikátory pohybujú. Veľa vytriedená logika prvého rádu umožňuje rôzne premenné triedi, ktoré majú rôzne domény. Toto sa tiež nazýva zadaná logika prvého rádua volané druhy typy (ako v dátovom type), ale nie je to to isté ako teória typu prvého rádu. Pri štúdiu aritmetiky druhého rádu sa často používa veľa vytriedená logika prvého rádu. [30]

Keď je v teórii iba definitívne veľa druhov, možno mnoho triedenú logiku prvého rádu zredukovať na jednoradenú logiku prvého rádu. [31]: 296–299 Jeden zavádza do teórie jedného triedenia unárny predikátový symbol pre každý druh v teórii mnohých triedení a pridáva axiómu, ktorá hovorí, že tieto unárne predikáty rozdeľujú oblasť diskurzu. Napríklad ak existujú dva druhy, jeden pridá predikátové symboly a axiómu P 1 (x) < Displaystyle P_ <1> (x)> a P 2 (x) < Displaystyle P_ <2> (x)>

Ďalšie kvantifikátory Upraviť

K logike prvého rádu je možné pridať ďalšie kvantifikátory.

  • Niekedy je užitočné povedať, že „ P(X) platí presne pre jeden X", ktoré možno vyjadriť ako ∃!XP(X). Tento zápis, ktorý sa nazýva kvantifikácia jedinečnosti, je možné použiť na skrátenie vzorca, napríklad ∃X (P(X) ∧∀r (P(r) → (X = r))) .
  • Logika prvého rádu s ďalšími kvantifikátormi má nové kvantifikátory Qx. s význammi ako „existuje veľa X také, že. ". Tiež pozri rozvetvovacie kvantifikátory a množné kvantifikátory Georga Boolosa a ďalších.
  • Ohraničené kvantifikátory sa často používajú pri štúdiu teórie množín alebo aritmetiky.

Infinitary logics Edit

Logika nekonečna umožňuje nekonečne dlhé vety. Napríklad je možné povoliť spojenie alebo disjunkciu nekonečne veľa vzorcov alebo kvantifikáciu cez nekonečne veľa premenných. V matematike vrátane topológie a teórie modelov vznikajú nekonečne dlhé vety.

Infinitary logic zovšeobecňuje logiku prvého rádu, aby umožňoval vzorce nekonečnej dĺžky. Najbežnejším spôsobom, ako sa vzorce môžu stať nekonečnými, sú nekonečné spojky a disjunkcie. Je však tiež možné pripustiť zovšeobecnené podpisy, v ktorých môžu mať funkčné a relačné symboly nekonečné arity alebo v ktorých môžu kvantifikátory viazať nekonečne veľa premenných. Pretože nekonečný vzorec nemôže byť reprezentovaný konečným reťazcom, je potrebné zvoliť nejaké iné zastúpenie vzorcov, obvyklým zastúpením v tomto kontexte je strom. Takto sú vzorce v zásade identifikované skôr s ich analyzovanými stromami, ako s analyzovanými reťazcami.

Označujú sa najčastejšie študované nekonečné logiky Ľαβ, kde α a β sú každé základné čísla alebo symbol ∞. V tejto notácii je obvyklá logika prvého rádu Ľωω. V logike Ľ∞ω, pri zostavovaní vzorcov sú povolené ľubovoľné spojenia alebo disjunkcie a existuje neobmedzený prísun premenných. Všeobecnejšie je logika, ktorá pripúšťa spojky alebo disjunkcie s menej ako κ zložkami, známa ako Ľκω. Napríklad, Ľω1ω umožňuje spočítateľné spojenia a disjunkcie.

Množina voľných premenných vo vzorci Ľκω môže mať akúkoľvek mohutnosť striktne menšiu ako κ, napriek tomu iba veľa z nich môže byť v rozsahu ľubovoľného kvantifikátora, keď sa vzorec javí ako podformula iného. [32] V iných nekonečných logikách môže mať podformula rozsah nekonečne veľa kvantifikátorov. Napríklad v Ľκ∞, jeden univerzálny alebo existenčný kvantifikátor môže viazať ľubovoľne veľa premenných súčasne. Podobne logika Ľκλ umožňuje simultánne kvantifikovanie cez menej ako λ premenných, ako aj spojky a disjunkcie veľkosti menšej ako κ.

Neklasická a modálna logika Upraviť

  • Intuicionistická logika prvého rádu používa napríklad intuitívny než klasický výrokový počet, ¬¬φ nemusí byť ekvivalentné φ.
  • Prvá objednávka modálna logika umožňuje človeku opísať ďalšie možné svety, ako aj tento náhodne pravý svet, ktorý obývame. V niektorých verziách sa množina možných svetov líši v závislosti od toho, v ktorom možnom svete človek žije. Modálna logika má navyše modálne operátory s význammi, ktoré možno neformálne charakterizovať napríklad ako „je potrebné, aby φ“ (platí vo všetkých možných svetoch) a „je možné, že φ“ (platí v niektorých možných svetoch). So štandardnou logikou prvého rádu máme jednu doménu a každému predikátu je priradené jedno rozšírenie. S modálnou logikou prvého rádu máme a doménová funkcia ktorá priraďuje každému možnému svetu jeho vlastnú doménu, takže každý predikát dostane rozšírenie iba vo vzťahu k týmto možným svetom. To nám umožňuje modelovať prípady, keď je napríklad Alex filozof, ale mohol byť matematik a nemusel existovať vôbec. V prvom možnom svete P(a) je pravda, v druhej P(a) je nepravdivé a v treťom možnom svete neexistuje a v doméne vôbec.
  • Fuzzy logiky prvého rádu sú rozšírenia prvého rádu výrokovej fuzzy logiky skôr ako klasický výrokový počet.

Logika fixného bodu Upraviť

Logika fixného bodu rozširuje logiku prvého poriadku pridaním uzávierky pod najmenej pevné body kladných operátorov. [33]

Logiky vyššieho rádu Upraviť

Charakteristickým rysom logiky prvého rádu je, že jednotlivcov je možné kvantifikovať, ale nie predikáty. Teda

je právny vzorec prvého poriadku, ale

vo väčšine formalizácií logiky prvého rádu nie je. Logika druhého rádu rozširuje logiku prvého rádu pridaním druhého typu kvantifikácie. Ostatné logiky vyššieho rádu umožňujú kvantifikáciu ešte vyššími typmi, ako sú logické povolenia druhého rádu. Tieto vyššie typy zahŕňajú vzťahy medzi vzťahmi, funkcie od vzťahov k vzťahom medzi vzťahmi a ďalšie objekty vyššieho typu. „Prvý“ v logike prvého rádu teda popisuje typ objektov, ktoré je možné kvantifikovať.

Na rozdiel od logiky prvého rádu, pre ktorú sa študuje iba jedna sémantika, pre logiku druhého poriadku existuje niekoľko možných sémantík. Najčastejšie používaná sémantika pre logiku druhého a vyššieho rádu je známa ako úplná sémantika. Kombinácia ďalších kvantifikátorov a úplnej sémantiky týchto kvantifikátorov robí logiku vyššieho rádu silnejšou ako logika prvého rádu. Najmä vzťah (sémantický) logického dôsledku pre logiku druhého a vyššieho rádu nie je semidecídny, pre logiku druhého rádu neexistuje efektívny systém dedukcie, ktorý by bol pevný a úplný v rámci úplnej sémantiky.

Logika druhého rádu s plnou sémantikou je expresívnejšia ako logika prvého rádu. Napríklad je možné vytvoriť systémy axiómy v logike druhého rádu, ktoré jedinečne charakterizujú prirodzené čísla a skutočnú čiaru. Náklady na túto expresivitu sú také, že logika druhého a vyššieho rádu má menej atraktívnych metalogických vlastností ako logika prvého rádu. Napríklad veta Löwenheim – Skolem a veta o kompaktnosti logiky prvého rádu sa stanú nepravdivými, keď sa zovšeobecnia na logiku vyššieho rádu s plnou sémantikou.

Automatizované dokazovanie viet sa týka vývoja počítačových programov, ktoré hľadajú a nachádzajú odvodeniny (formálne dôkazy) matematických viet. [34] Nájsť derivácie je náročná úloha, pretože priestor na hľadanie môže byť veľmi veľký. Vyčerpávajúce vyhľadávanie všetkých možných derivácií je síce teoreticky možné, ale pre mnoho matematicky zaujímavých systémov výpočtovo nemožné. Takto sú vyvinuté komplikované heuristické funkcie, ktoré sa snažia nájsť deriváciu v kratšom čase ako slepé hľadanie. [ potrebná citácia ]

Súvisiaca oblasť automatizovaného overovania dôkazov pomocou počítačových programov kontroluje, či sú dôkazy vytvorené človekom správne. Na rozdiel od komplikovaných automatizovaných dokazovačov viet môžu byť verifikačné systémy dostatočne malé na to, aby sa dala skontrolovať ich správnosť ručne aj prostredníctvom automatizovaného overenia softvéru. Toto overenie overovateľa dôkazu je potrebné na zabezpečenie dôveryhodnosti toho, že akýkoľvek odvodený výraz označený ako „správny“ je skutočne správny.

Niektorí overovatelia dôkazov, napríklad Metamath, trvajú na tom, že ako vstup budú mať úplnú deriváciu. Ostatní, napríklad Mizar a Isabelle, vezmú dobre naformátovaný náčrt korektúry (ktorý môže byť stále veľmi dlhý a podrobný) a doplnia chýbajúce časti jednoduchým korektúrnym skúmaním alebo použitím známych rozhodovacích postupov: výsledná derivácia sa potom overí malé, základné „jadro“. Mnoho takýchto systémov je primárne určených na interaktívne použitie ľudskými matematikmi: sú známe ako korektori. Môžu tiež používať formálnu logiku, ktorá je silnejšia ako logika prvého rádu, napríklad teória typov. Pretože úplná derivácia ľubovoľného netriviálneho výsledku v deduktívnom systéme prvého rádu bude pre človeka mimoriadne dlhá, [35] výsledky sa často formujú ako séria lemat, pre ktoré je možné derivácie zostaviť osobitne.

Na implementáciu formálneho overovania v informatike sa používajú aj automatické ukazovatele viet. V tomto nastavení sa testovacie vety vety používajú na overenie správnosti programov a hardvéru, ako sú procesory, s ohľadom na formálnu špecifikáciu. Pretože takáto analýza je časovo náročná a teda nákladná, je obvykle vyhradená pre projekty, pri ktorých by porucha mala vážne ľudské alebo finančné následky.

Pokiaľ ide o problém kontroly modelu, je známe, že o účinkoch algoritmov rozhodujúcich o tom, či vstupná konečná štruktúra spĺňa vzorec prvého rádu, okrem hraníc výpočtovej zložitosti: pozri Kontrola modelu # Logika prvého rádu.


Lineárne rovnice prvého rádu

A lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu má nasledujúcu formu:

Všeobecné riešenie je dané

nazývaný integračný faktor. Ak je daná počiatočná podmienka, použite ju na nájdenie konštanty C.

Tu je niekoľko praktických krokov, ktoré je potrebné dodržať: 1. Ak je diferenciálna rovnica uvedená ako

2. Nájdite integračný faktor

3. Vyhodnoťte integrál. 4. Zapíšte si všeobecné riešenie

5. Ak dostanete IVP, pomocou počiatočnej podmienky nájdite konštantu C.


Príklad: Nájdite konkrétne riešenie:

Riešenie: Použime kroky: Krok 1: Nie je potrebné prepisovať diferenciálnu rovnicu. Máme

Krok 2: Integračný faktor

Krok 4: Všeobecné riešenie je dané

Krok 5: Aby sme našli konkrétne riešenie daného IVP, použijeme počiatočnú podmienku na nájdenie C. Skutočne, máme

Riešením preto je

Upozorňujeme, že posledný krok možno nebudete musieť urobiť, ak sa od vás vyžaduje, aby ste našli všeobecné riešenie (nie IVP).


Argumenty vstupu

Eqn1. eqnN & # 8212 Diferenciálne rovnice vyššieho rádu symbolická diferenciálna rovnica pole symbolických diferenciálnych rovníc

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu, špecifikované ako symbolická diferenciálna rovnica alebo pole symbolických diferenciálnych rovníc. Na vytvorenie rovnice použite operátor ==. Na označenie diferenciácie použite funkciu diff. Napríklad reprezentovať d 2 r(t)/dt 2 = t r(t) zadaním nasledujúceho príkazu.


Presné diferenciálne rovnice prvého rádu

Vezmite diferenciálnu rovnicu

Premenné nie je možné oddeliť, všimnite si však, že ľavá strana sa rovná $ frac(xy) $ z pravidla produktu. Potom sa stane diferenciálna rovnica

Integrujte obe strany, pokiaľ ide o $ x $, aby ste získali všeobecné riešenie

Diferenciálne rovnice tejto formy, kde jedna strana je presným derivátom produktu, a druhú je možné integrovať vzhľadom na nezávislú premennú (v tomto prípade $ x $), je presná diferenciálna rovnica prvého rádu.


Matematická schéma práce pre ZŠ 2 (1. semester, 2. sem. A 3. sem.)

SCHÉMA PRÁCE PRE MATEMATIKU SS 2 PRVÉ OBDOBIE

  1. Logaritmy
  2. Aproximácie a presnosť
  3. Postupnosti a série
  4. Kvadratické rovnice
  5. Simultánne, lineárne a kvadratické rovnice
  6. Gradient krivky a úsečiek

SCHÉMA PRÁCE PRE MATEMATIKU SS 2 DRUHÁ DOBA

  1. Logické zdôvodnenie
  2. Určenie gradientu krivky odčítaním grafu
  3. Lineárne nerovnosti
  4. Algebraické zlomky
  5. Vlastnosť akordu (geometria kruhu I)
  6. Kruhové vety (Geometria kruhu II)
  7. Trigonometria (derivácia sínusového pravidla)

SCHÉMA PRÁCE PRE MATEMATIKU SS 2 TRETIA TERMÍN

  1. Trigonometria (derivácia pravidla kosinusu)
  2. Trigonometrické pomery (revízia) a uhly elevácie a depresie
  3. Ložiská
  4. Štatistika (zoskupené údaje)
  5. Pravdepodobnosť

Toto je vládou schválená matematická schéma práce pre SS 2 od prvého do tretieho semestra, ktorá sa momentálne nachádza v Nigérii. Môžete si však stiahnuť bezplatný súbor PDF na účely záznamu.

Ak máte akékoľvek otázky týkajúce sa schémy práce pre matematiku pre SS 2 (prvé semester, 2. semestr a 3. semestr), môžete tak urobiť prostredníctvom poľa pre poznámky nižšie a my na to odpovieme.


Pozri si video: LDR, Lineární diferenciální rovnice s obecnou pravou stranou (December 2021).