Články

4.7: Pomerové a koreňové testy - matematika


Učebné ciele

  • Na určenie absolútnej konvergencie série použite test pomeru.
  • Použite koreňový test na určenie absolútnej konvergencie série.
  • Popíšte stratégiu testovania konvergencie danej série.

V tejto časti dokazujeme posledné dva rady konvergenčných testov: test pomeru a koreňový test. Tieto testy sú obzvlášť pekné, pretože nevyžadujú, aby sme našli porovnateľnú sériu. Test pomeru bude obzvlášť užitočný pri diskusii o silových sériách v nasledujúcej kapitole. V tejto kapitole sme videli, že žiadny test konvergencie nefunguje pre všetky série. Na konci tejto časti preto hovoríme o stratégii výberu konvergenčného testu, ktorý sa má pre danú sériu použiť.

Pomerový test

Uvažujme o rade ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ). Z našej predchádzajúcej diskusie a príkladov vieme, že ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n = 0 ) nie je dostatočnou podmienkou na to, aby sa séria spojila. Potrebujeme nielen (a_n → 0 ), ale aj (a_n → 0 ) dosť rýchlo. Zvážte napríklad radu ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n} ) a sériu ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ 2} ). Vieme, že ( frac {1} {n} → 0 ) a ( frac {1} {n ^ 2} → 0 ). Konverguje však iba rad ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ 2} ). Séria ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n} ) sa líšia, pretože výrazy v poradí ( left { frac {1} {n} right } ) nepribližujte sa k nule dostatočne rýchlo ako (n → ∞ ). Tu predstavujeme pomerový test, ktorá poskytuje spôsob merania toho, ako rýchlo sa podmienky série blížia k nule.

Pomerový test

Nech ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) je séria s nenulovými výrazmi. Poďme

[ρ = lim_ {n → ∞} doľava | frac {a_ {n + 1}} {a_n} doprava |. ]

  1. Ak (0≤ρ <1, ) potom ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) absolútne konverguje.
  2. Ak sa (ρ> 1 ) alebo (ρ = ∞ ), potom ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) rozchádzajú.
  3. Ak (ρ = 1, ), test neposkytuje žiadne informácie.

Dôkaz

Nech je ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) rad s nenulovými výrazmi.

Začíname s dôkazom časti i. V tomto prípade (ρ = lim_ {n → ∞} ∣ frac {a_ {n + 1}} {a_n} ∣ <1. ) Pretože (0≤ρ <1 ), existuje ( R ) také, že (0≤ρ 0 ). Podľa definície limitu postupnosti existuje nejaké celé číslo (N ) také, že

[ left | left | frac {a_ {n + 1}} {a_n} right | −ρ right | <ε, ; text {pre všetky} ; n≥N. ]

Preto

[ left | frac {a_ {n + 1}} {a_n} right | <ρ + ε = R, ; text {pre všetky} ; n≥N ]

a teda,

(| a_ {N + 1} |

(_A_ {N + 2} ∣

(_A_ {N + 3} ∣

(_A_ {N + 4} ∣

( ⋮.)

Pretože (R <1, ) je geometrický rad

[R∣a_N∣ + R ^ 2∣a_N∣ + R ^ 3∣a_N∣ + ⋯ ]

konverguje. Vzhľadom na vyššie uvedené nerovnosti môžeme použiť porovnávací test a dospieť k záveru, že séria

[| a_ {N + 1} | + | a_ {N + 2} | + | a_ {N + 3} | + | a_ {N + 4} | + ⋯ ]

konverguje. Preto od

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ | a_n | = sum_ {n = 1} ^ N | a_n | + sum_ {n = N + 1} ^ ∞ | a_n | ]

kde ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ N | a_n | ) je konečný súčet a ( displaystyle sum_ {n = N + 1} ^ ∞ | a_n | ) konverguje, dospejeme k záveru, že ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ | a_n | ) konverguje.

Pre časť ii.

[ρ = lim_ {n → ∞} doľava | frac {a_ {n + 1}} {a_n} doprava |> 1. ]

Pretože (ρ> 1, ) existuje (R ) také, že (ρ> R> 1 ). Nech (ε = ρ − R> 0 ). Podľa definície limitu postupnosti existuje celé číslo (N ) také, že

[ left | left | frac {a_ {n + 1}} {a_n} right | −ρ right | <ε, ; text {pre všetky} ; n≥N. ]

Preto

[R = ρ − ε < doľava | frac {a_ {n + 1}} {a_n} doprava |, ; text {pre všetkých} ; n≥N, ]

a teda,

(| a_ {N + 1} |> R | a_N | )

(_A_ {N + 2} ∣> R∣a_ {N + 1} ∣> R ​​^ 2∣a_N∣ )

(_A_ {N + 3} ∣> R∣a_ {N + 2} ∣> R ​​^ 2∣a_ {N + 1} ∣> R ​​^ 3∣a_N∣ )

(_A_ {N + 4} ∣> R∣a_ {N + 3} ∣> R ​​^ 2∣a_ {N + 2} ∣> R ​​^ 3∣a_ {N + 1} ∣> R ​​^ 4∣a_N ∣. )

Pretože (R> 1, ) je geometrický rad

[R∣a_N∣ + R ^ 2∣a_N∣ + R ^ 3∣a_N∣ + ⋯ ]

rozchádza sa. Pri použití porovnávacieho testu sme dospeli k záveru, že táto séria

[| a_ {N + 1} | + | a_ {N + 2} | + | a_ {N + 3} | + ⋯ ]

sa rozchádzajú, a preto sa séria ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ | a_n | ) rozchádzajú.

Pre časť iii. ukážeme, že test neposkytuje žiadne informácie, ak (ρ = 1 ) zvážením (p − série ) ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {1} {n ^ p} ). Pre akékoľvek reálne číslo (p ),

[ρ = lim_ {n → ∞} frac {1 / (n + 1) ^ p} {1 / n ^ p} = lim_ {n → ∞} frac {n ^ p} {(n + 1) ^ p} = 1. ]

Vieme však, že ak (p≤1, ) platí séria p ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {1} {n ^ p} ) sa rozchádzajú, zatiaľ čo ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {1} {n ^ p} ) konverguje, ak (p> 1 ).

Test pomeru je obzvlášť užitočný pre série, ktorých členy obsahujú faktoriály alebo exponenciálne, kde pomer členov zjednodušuje výraz. Pomerový test je vhodný, pretože nevyžaduje, aby sme našli komparatívnu sériu. Nevýhodou je, že test niekedy neposkytuje žiadne informácie týkajúce sa konvergencie.

Príklad ( PageIndex {1} ): Použitie testu pomeru

Pre každú z nasledujúcich sérií použite test pomeru na určenie, či sa séria zbližuje alebo rozchádza.

  1. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {2 ^ n} {n!} )
  2. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {n ^ n} {n!} )
  3. ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {(- 1) ^ n (n!) ^ 2} {(2n)!} )

Riešenie

a. Z pomerového testu to vidíme

[ρ = lim_ {n → ∞} frac {2 ^ {n + 1} / (n + 1)!} {2 ^ n / n!} = lim_ {n → ∞} frac {2 ^ {n + 1}} {(n + 1)!} ⋅ frac {n!} {2 ^ n}. ]

Keďže ((n + 1)! = (N + 1) ⋅n!, )

[ρ = lim_ {n → ∞} frac {2} {n + 1} = 0. ]

Pretože (ρ <1, ) séria konverguje.

b. To vidíme

[ρ = lim_ {n → ∞} frac {(n + 1) ^ {n + 1} / (n + 1)!} {n ^ n / n!} = lim_ {n → ∞} frac {(n + 1) ^ {n + 1}} {(n + 1)!} ⋅ frac {n!} {n ^ n} = lim_ {n → ∞} ( frac {n + 1} {n}) ^ n = lim_ {n → ∞} (1+ frac {1} {n}) ^ n = e. ]

Pretože (ρ> 1, ) sa séria rozchádzajú.

c. Odkedy

[∣ frac {(- 1) ^ {n + 1} ((n + 1)!) ^ 2 / (2 (n + 1))!} {(- 1) ^ n (n!) ^ 2 / (2n)!} ∣ = frac {(n + 1)! (N + 1)!} {(2n + 2)!} ⋅ frac {(2n)!} {N! N!} = Frac {(n + 1) (n + 1)} {(2n + 2) (2n + 1)} ]

vidíme to

[ρ = lim_ {n → ∞} frac {(n + 1) (n + 1)} {(2n + 2) (2n + 1)} = frac {1} {4}. ]

Pretože (ρ <1 ), séria konverguje.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Použite test pomeru na určenie, či sa rad konverguje alebo rozchádza. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {n ^ 3} {3 ^ n} )

Pomôcka

Hodnotiť ( Displaystyle lim_ {n → ∞} frac {(n + 1) ^ 3} {3 ^ {n + 1}} ⋅ frac {3 ^ n} {n ^ 3}. )

Odpoveď

Séria konverguje.

Koreňový test

Prístup koreňový test je podobné ako pri teste pomeru. Zvážte sériu ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) takú, že ( displaystyle lim_ {n → ∞} sqrt [n] {| a_n |} = ρ ) pre nejaké skutočné číslo (ρ ). Potom pre (N ) dostatočne veľkú, (∣a_N∣≈ρN. ) Preto môžeme aproximovať ( displaystyle sum_ {n = N} ^ ∞ | a_n | )

[∣a_N∣ + ∣a_ {N + 1} ∣ + ∣a_ {N + 2} ∣ + ⋯ ≈ρ ^ N + ρ ^ {N + 1} + ρ ^ {N + 2} + ⋯. ]

Výraz na pravej strane je geometrický rad. Rovnako ako v teste pomeru, aj séria ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) absolútne konverguje (0≤ρ <1 ) a séria sa rozchádza, ak (ρ≥1 ). Ak (ρ = 1 ), test neposkytuje žiadne informácie. Napríklad pre ktorúkoľvek sériu p vidíme, že ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ p} )

[ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {∣ frac {1} {n ^ p} ∣} = lim_ {n → ∞} frac {1} {n ^ {p / n }} ].

Na vyhodnotenie tohto limitu používame funkciu prirodzeného logaritmu. Keď to urobíme, vidíme to

( ln ρ = ln ( lim_ {n → ∞} frac {1} {n ^ {p / n}}) = lim_ {n → ∞} ln ( frac {1} {n} ) ^ {p / n} = lim_ {n → ∞} frac {p} {n} ⋅ ln ( frac {1} {n}) = lim_ {n → ∞} frac {p ln (1 / n)} {n}. )

Z pravidla L’Hôpital vyplýva, že ( ln ρ = 0 ), a teda (ρ = 1 ) pre všetkých (p ). Vieme však, že séria p konverguje iba ak (p> 1 ) a líši sa ak (p <1 ).

Koreňový test

Zvážte sériu ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ). Poďme

[ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {| a_n |} ].

  1. Ak (0≤ρ <1, ) potom ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) absolútne konverguje.
  2. Ak sa (ρ> 1 ) alebo (ρ = ∞ ), potom ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) rozchádzajú.
  3. Ak (ρ = 1 ), test neposkytuje žiadne informácie.

Koreňový test je vhodný pre série, ktorých členy zahŕňajú exponenciály. Najmä pre sériu, ktorých výrazy (a_n ) vyhovujú (| a_n | = (b_n) ^ n ), potom ( sqrt [n] {| a_n |} = b_n ) a musíme hodnotiť iba ( Displaystyle lim_ {n → ∞} b_n ).

Príklad ( PageIndex {2} ): Použitie koreňového testu

Pre každú z nasledujúcich sérií použite koreňový test na určenie, či sa séria zbližuje alebo rozchádza.

  1. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {(n ^ 2 + 3n) ^ n} {(4n ^ 2 + 5) ^ n} )
  2. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {n ^ n} {( ln (n)) ^ n} )

Riešenie

a. Ak chcete použiť koreňový test, vypočítame

[ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {(n ^ 2 + 3n) ^ n / (4n ^ 2 + 5) ^ n} = lim_ {n → ∞} frac {n ^ 2 + 3n} {4n ^ 2 + 5} = frac {1} {4}. ]

Pretože (ρ <1, ) séria absolútne konverguje.

b. Máme

[ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {n ^ n / ( ln n) ^ n} = lim_ {n → ∞} frac {n} { ln n} = ∞ quad text {podľa pravidla L'Hôpital.} ]

Pretože (ρ = ∞ ), séria sa rozchádza.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Pomocou koreňového testu zistite, či sa séria ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} 1 / n ^ n ) zbieha alebo rozbieha.

Pomôcka

Vyhodnoťte ( displaystyle lim_ {n → ∞} sqrt [n] { frac {1} {n ^ n}} ).

Odpoveď

Séria konverguje.

Výber testu konvergencie

V tejto chvíli máme k dispozícii dlhý zoznam konvergenčných testov. Nie všetky testy však možno použiť pre všetky série. Keď dostaneme sériu, musíme určiť, ktorý test je najlepšie použiť. Tu je stratégia hľadania najlepšieho možného testu.

Stratégia riešenia problémov: Výber testu konvergencie pre sériu

Zvážte sériu ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n. ) V nasledujúcich krokoch načrtneme stratégiu určovania, či sa séria konverguje.

  1. Je ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) známa séria? Ide napríklad o harmonické rady (ktoré sa rozchádzajú) alebo striedavé harmonické rady (ktoré sa zbiehajú)? Je to séria p alebo geometricky rad? Ak je to tak, skontrolujte výkon (p ) alebo pomer (r ) a zistite, či sa séria konverguje.
  2. Je to striedavá séria? Zaujíma nás absolútna konvergencia alebo iba konvergencia? Ak nás zaujíma iba to, či sa séria konverguje, použite test striedavej série. Ak nás zaujíma absolútna konvergencia, pokračujte krokom (3 ), berúc do úvahy sériu absolútnych hodnôt ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ | a_n |. )
  3. Je séria podobná a séria p alebo geometricky rad? Ak je to tak, vyskúšajte porovnávací test alebo limitný porovnávací test.
  4. Obsahujú pojmy v sérii faktoriál alebo mocninu? Ak sú výrazy mocniny také, že (a_n = (b_n) ^ n, ) najskôr vyskúšajte koreňový test. V opačnom prípade najskôr vyskúšajte pomerový test.
  5. Použite test divergencie. Ak tento test neposkytuje žiadne informácie, vyskúšajte integrálny test.

Na tejto webovej stránke nájdete ďalšie informácie o testovacích sériách konvergencie, ako aj všeobecné informácie o postupnostiach a sériách.

Príklad ( PageIndex {3} ): Použitie konvergenčných testov

Pre každú z nasledujúcich sérií určite, ktorý konvergenčný test je najlepšie použiť, a vysvetlite prečo. Potom určite, či sa séria zbieha alebo rozbieha. Ak je séria striedavá, určite, či konverguje absolútne, podmienene alebo diverguje.

  1. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {n ^ 2 + 2n} {n ^ 3 + 3n ^ 2 + 1} )
  2. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {(- 1) ^ {n + 1} (3n + 1)} {n!} )
  3. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {e ^ n} {n ^ 3} )
  4. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {3 ^ n} {(n + 1) ^ n} )

Riešenie

a. Krok 1. Séria nie je a p – séria alebo geometrické rady.

Krok 2. Séria sa nestrieda.

Krok 3. Pri veľkých hodnotách (n ) aproximujeme rady výrazom

( frac {n ^ 2 + 2n} {n ^ 3 + 3n ^ 2 + 1} ≈ frac {n ^ 2} {n ^ 3} = frac {1} {n}. )

Preto sa javí ako rozumné použiť porovnávací test alebo limitný porovnávací test pomocou radu ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞1 / n ). Pomocou testu porovnania limitov to vidíme

( Displaystyle lim_ {n → ∞} frac {(n ^ 2 + 2n) / (n ^ 3 + 3n ^ 2 + 1)} {1 / n} = lim_ {n → ∞} frac { n ^ 3 + 2n ^ 2} {n ^ 3 + 3n ^ 2 + 1} = 1. )

Pretože séria ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞1 / n )

rozchádza sa, rozchádza sa aj táto séria.

b. Krok 1. Séria nie je známa.

Krok 2. Séria sa strieda. Pretože nás zaujíma absolútna konvergencia, zvážte túto sériu

( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {3n} {(n + 1)!}. )

Krok 3. Séria nie je podobná sérii p alebo geometrickej sérii.

Krok 4. Pretože každý výraz obsahuje faktoriál, použite test pomeru. Vidíme to

( Displaystyle lim_ {n → ∞} frac {(3 (n + 1)) / (n + 1)!} {(3n + 1) / n!} = lim_ {n → ∞} frac {3n + 3} {(n + 1)!} ⋅ frac {n!} {3n + 1} = lim_ {n → ∞} frac {3n + 3} {(n + 1) (3n + 1 )} = 0. )

Preto táto séria konverguje a vyvodzujeme záver, že pôvodná séria konverguje absolútne, a teda konverguje.

c. Séria nie je známa.

Krok 2. Nejde o striedajúcu sa sériu.

Krok 3. Neexistuje žiadna zrejmá séria, s ktorou by sa dala porovnať táto séria.

Krok 4. Neexistuje žiadny faktoriál. Existuje sila, ale nie je to ideálna situácia pre koreňový test.

Krok 5. Ak chcete použiť test divergencie, vypočítame to

( Displaystyle lim_ {n → ∞} frac {e ^ n} {n ^ 3} = ∞. )

Preto sa testom divergencie séria rozchádzajú.

d. Táto séria nie je známa.

Krok 2. Pretože každý člen je mocninou n, môžeme použiť koreňový test. Odkedy

( Displaystyle lim_ {n → ∞} sqrt [n] {( frac {3} {n + 1}) ^ n} = lim_ {n → ∞} frac {3} {n + 1} = 0, )

koreňovým testom dospejeme k záveru, že séria konverguje.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Pre sériu určte, ktorý konvergenčný test je najlepšie použiť, a vysvetlite prečo. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {2 ^ n} {3 ^ n + n} )

Pomôcka

Séria je podobná geometrickej rade ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} vľavo ( frac {2} {3} vpravo) ^ n ).

Odpoveď

Porovnávací test, pretože ( dfrac {2 ^ n} {3 ^ n + n} < dfrac {2 ^ n} {3 ^ n} ) pre všetky kladné celé čísla (n ). Mohol by sa použiť aj test porovnania limitov.

V tabuľke sumarizujeme konvergenčné testy a informácie o tom, kedy je možné ich použiť. Všimnite si, že zatiaľ čo porovnávací test, limitný porovnávací test a integrálny test vyžadujú, aby séria mala nezáporné výrazy, ak ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ^ ∞a_n ) má negatívne výrazy, tieto testy je možné použiť na testovanie absolútnej konvergencie na ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ | a_n | ).

Zhrnutie konvergenčných testov
Séria alebo TestZáveryPripomienky

Test divergencie

Pre ktorúkoľvek sériu ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) zhodnoťte ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n ).

Ak ( Displaystyle lim_ {n → ∞} a_n = 0 ), je test nepresvedčivý.Tento test nemôže dokázať konvergenciu série.
Ak ( Displaystyle lim_ {n → ∞} a_n ≠ 0 ), séria sa rozchádza.

Geometrická séria

( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} ar ^ {n − 1} )

Ak (| r | <1 ), séria konverguje na (a / (1 − r) ).Ľubovoľnú geometrickú sériu je možné opätovne indexovať tak, aby bola napísaná vo forme (a + ar + ar ^ 2 +) ), kde (a ) je počiatočný člen a r je pomer.
Ak (| r | ≥1, ) sa séria rozchádzajú.

séria p

( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {1} {n ^ p} )

Ak (p> 1 ), séria konverguje.Pre (p = 1 ) máme harmonický rad ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} 1 / n ).
Ak (p≤1 ), séria sa rozchádza.

Porovnávací test

Pre ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) s nezápornými výrazmi porovnajte so známou sériou ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ).

Ak (a_n≤b_n ) pre všetky (n≥N ) a ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) konverguje, potom ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) konverguje.Zvyčajne sa používa pre sériu podobnú geometrickým alebo (p ) - sériám. Nájsť vhodnú sériu môže byť niekedy ťažké.
Ak sa (a_n≥b_n ) pre všetky (n≥N ) a ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) rozchádzajú, potom ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) sa rozchádzajú.

Porovnávací test limitov

Pre ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) s kladnými výrazmi porovnajte so sériou ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) hodnotením

(L = displaystyle lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n}. )

Ak (L ) je reálne číslo a (L ≠ 0 ), potom ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) a ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) obe konvergujú alebo sa rozchádzajú.Zvyčajne sa používa pre sériu podobnú geometrickým alebo (p ) - sériám. Aplikuje sa často ľahšie ako porovnávací test.
Ak konverguje (L = 0 ) a ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ), potom konverguje ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ).
Ak sa (L = ∞ ) a ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) rozchádzajú, potom sa ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) rozchádzajú.

Integrálny test

Ak existuje pozitívna, spojitá, klesajúca funkcia (f ) taká, že (a_n = f (n) ) pre všetkých (n≥N ), hodnotiť ( displaystyle ∫ ^ ∞_Nf (x) dx . )

(∫ ^ ∞_Nf (x) dx ) a ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) obidve konvergujú alebo sa líšia.Obmedzené na tie série, pre ktoré možno ľahko integrovať zodpovedajúcu funkciu f.

Striedavá séria

( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} (- 1) ^ {n + 1} b_n ) alebo ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} (- 1) ^ nb_n )

Ak (b_ {n + 1} ≤b_n ) pre všetky (n≥1 ) a (b_n → 0 ), potom séria konverguje.Platí iba pre striedavé série.

Pomerový test

Pre ktorúkoľvek sériu ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) s nenulovými výrazmi, nech ( displaystyle ρ = lim_ {n → ∞} doľava | frac {a_ {n + 1} } {a_n} doprava | )

Ak (0≤ρ <1 ), séria absolútne konverguje.

Často sa používa pre série zahŕňajúce faktoriály alebo exponenciály.

Ak (ρ> 1 ) alebo (ρ = ∞ ), séria sa rozchádza.
Ak (ρ = 1 ), je test nepresvedčivý.

Koreňový test

Pre ktorúkoľvek sériu ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ), nech ( displaystyle ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {| a_n |} ).

Ak (0≤ρ <1 ), séria absolútne konverguje.Často sa používa pre série, kde (| a_n | = (b_n) ^ n ).
Ak (ρ> 1 ) alebo (ρ = ∞ ), séria sa rozchádza.
Ak (ρ = 1 ), je test nepresvedčivý.

Konvergenčné rady k (π ) a (1 / π )

Existujú desiatky sérií, ktoré konvergujú k (π ) alebo algebraickému výrazu obsahujúcemu (π ). Tu sa pozrieme na niekoľko príkladov a porovnáme ich mieru konvergencie. Pod mierou konvergencie rozumieme počet pojmov potrebných na to, aby sa čiastkový súčet pohyboval v určitej hodnote skutočnej hodnoty. Sériové zastúpenia (π ) v prvých dvoch príkladoch je možné vysvetliť pomocou série Maclaurin, ktorej sa venuje ďalšia kapitola. Tretí príklad sa opiera o materiál presahujúci rámec tohto textu.

1. Séria

[π = 4 sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {2n − 1} = 4− frac {4} {3} + frac {4} {5} - frac {4} {7} + frac {4} {9} - ⋯ ]

bol objavený Gregorom a Leibnizom koncom (1600) . Tento výsledok vyplýva zo série Maclaurin pre (f (x) = tan ^ {- 1} x ). O tejto sérii si povieme niečo v nasledujúcej kapitole.

a. Dokážte, že táto séria konverguje.

b. Vyhodnoťte čiastkové sumy (S_n ) pre (n = 10,20,50,100. )

c. Použite zvyšok odhadu pre striedavé rady, aby ste dostali ohraničenie chyby (R_n ).

d. Aká je najmenšia hodnota (N ), ktorá zaručuje (| R_N | <0,01 )? Vyhodnoťte (S_N ).

2. Séria

[π = 6 sum ^ ∞_ {n = 0} frac {(2n)!} {2 ^ {4n + 1} (n!) ^ 2 (2n + 1)} = 6 doľava ( frac {1} {2} + frac {1} {2⋅3} vľavo ( frac {1} {2} vpravo) ^ 3 + frac {1⋅3} {2⋅4⋅5} ⋅ vľavo ( frac {1} {2} vpravo) ^ 5 + frac {1⋅3⋅5} {2⋅4⋅6⋅7} vľavo ( frac {1} {2} vpravo) ^ 7 + ⋯ vpravo) ]

bol pripísaný Newtonovi koncom (1600s ). Dôkazom tohto výsledku je séria Maclaurin pre (f (x) = sin ^ {- 1} x ).

a. Dokážte, že séria konverguje.

b. Vypočítajte čiastkové sumy (S_n ) pre (n = 5,10,20. )

c. Porovnajte (S_n ) s (π ) pre (n = 5,10,20 ) a diskutujte o počte správnych desatinných miest.

3. Séria

[ frac {1} {π} = frac { sqrt {8}} {9801} sum_ {n = 0} ^ ∞ frac {(4n)! (1103 + 26390n)} {(n!) ^ 4396 ^ {4n}} ]

bol objavený používateľom Ramanujan na začiatku (20. storočia). William Gosper, Jr., použil túto sériu na výpočet (π ) s presnosťou viac ako (17 ) miliónov číslic v (polovica 80. rokov ). V tom čase to bol svetový rekord. Od tej doby táto séria a ďalšie, ktoré vytvoril Ramanujan, viedli matematikov k nájdeniu mnohých ďalších reprezentácií sérií pre (π ) a (1 / π ).

a. Zhodnoťte prvý semester v tejto sérii. Porovnajte toto číslo s hodnotou (π ) z výpočtového programu. Na koľko desatinných miest sa tieto dve čísla zhodujú? Čo ak k tomu pridáme prvé dva pojmy v sérii?

c. Preskúmajte život Srinivasa Ramanujana ((1887–1920) ) a napíšte krátke zhrnutie. Ramanujan je jedným z najfascinujúcejších príbehov v dejinách matematiky. Bol v podstate samouk, bez formálneho vzdelania v matematike, napriek tomu veľmi originálnym spôsobom prispieval do mnohých pokročilých oblastí matematiky.

Kľúčové koncepty

  • Pre pomerový test uvažujeme

[ρ = lim_ {n → ∞} ∣ frac {a_ {n + 1}} {a_n} ∣. ]

Ak (ρ <1 ), rad ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) absolútne konverguje. Ak (ρ> 1 ), séria sa rozchádza. Tento test je užitočný pre série, ktorých výrazy zahŕňajú faktoriály.

  • Pre koreňový test uvažujeme

[ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {| a_n |} ].

Ak (ρ <1 ), rad ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) absolútne konverguje. Koreňový test je vhodný pre série, ktorých výrazy zahŕňajú mocniny.

  • Pre sériu, ktorá je podobná geometrickej sérii alebo séria p, zvážte jeden z porovnávacích testov.

Glosár

pomerový test
pre sériu ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) s nenulovými výrazmi, nech ( displaystyle ρ = lim_ {n → ∞} | a_ {n + 1} / a_n | ) ; ak (0≤ρ <1 ), séria konverguje absolútne; ak (ρ> 1 ), séria sa rozchádza; ak (ρ = 1 ), je test nepresvedčivý
koreňový test
pre rad ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n, ) nech ( displaystyle ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {| a_n |} ); ak (0≤ρ <1 ), séria konverguje absolútne; ak (ρ> 1 ), séria sa rozchádza; ak (ρ = 1 ), je test nepresvedčivý


Pozri si video: Přijímací zkoušky na SŠ 2021- ilustrační test řešení příkladů, Cermat (November 2021).