Články

12.4: Krížový produkt - matematika


Učebné ciele

  • Vypočítajte krížový produkt dvoch daných vektorov.
  • Na výpočet krížového súčinu použite determinanty.
  • Nájdite vektor kolmý na dva dané vektory.
  • Určte oblasti a objemy pomocou krížového produktu.
  • Vypočítajte krútiaci moment danej sily a vektor polohy.

Predstavte si, že mechanik otáča kľúčom, aby utiahol skrutku. Mechanik vyvinie silu na koniec kľúča. Takto sa vytvorí otáčanie alebo krútiaci moment, ktorý skrutku utiahne. Môžeme použiť vektory na vyjadrenie sily aplikovanej mechanikom a vzdialenosti (polomeru) od skrutky po koniec kľúča. Potom môžeme krútiaci moment reprezentovať vektorom orientovaným pozdĺž osi rotácie. Pamätajte, že vektor krútiaceho momentu je kolmý na vektor sily aj na polomer.

V tejto časti vyvíjame operáciu s názvom krížový produkt, čo nám umožňuje nájsť vektor kolmý na dva dané vektory. Výpočet krútiaceho momentu je dôležitou aplikáciou krížových produktov a krútiaci moment podrobnejšie skúmame ďalej v tejto časti.

Krížový produkt a jeho vlastnosti

Bodový súčin je násobením dvoch vektorov, ktorých výsledkom je skalár. V tejto časti uvádzame produkt dvoch vektorov, ktorý generuje tretí vektor kolmý na prvé dva. Zvážte, ako by sme mohli nájsť taký vektor. Nech ( vecs u = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ ) a ( vecs v = ⟨v_1, v_2, v_3⟩ ) nie sú nenulové vektory. Chceme nájsť vektor ( vecs w = ⟨w_1, w_2, w_3⟩ ) kolmý na ( vecs u ) aj ( vecs v ) - to znamená, že chceme nájsť ( vec w ) také, že ( vecs u ⋅ vecs w = 0 ) a ( vecs v⋅ vecs w = 0 ). Preto (w_1 ), (w_2, ) a (w_3 ) musia vyhovovať

[u_1w_1 + u_2w_2 + u_3w_3 = 0 štítok {eq1} ]

[v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3 = 0. label {eq2} ]

Ak vynásobíme hornú rovnicu (v_3 ) a spodnú rovnicu (u_3 ) a odčítame, môžeme eliminovať premennú (w_3 ), ktorá dáva

[(u_1v_3 − v_1u_3) w_1 + (u_2v_3 − v_2u_3) w_2 = 0. nonumber ]

Ak vyberieme

[ begin {align *} w_1 & = u_2v_3 − u_3v_2 [4pt] w_2 & = - (u_1v_3 − u_3v_1), end {align *} ]

dostaneme možný vektor riešenia. Dosadením týchto hodnôt späť do pôvodných rovníc (Rovnice ref {eq1} a ref {eq2}) získate

[w_3 = u_1v_2 − u_2v_1. nonumber ]

Teda vektor

[ vecs w = ⟨u_2v_3 − u_3v_2, - (u_1v_3 − u_3v_1), u_1v_2 − u_2v_1⟩ nonumber ]

je kolmý na obidve ( vecs u ) a ( vecs v ), čo nás vedie k definovaniu nasledujúcej operácie nazývanej krížový produkt.

Definícia: Krížový produkt

Nech ( vecs u = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ ) a ( vecs v = ⟨v_1, v_2, v_3⟩. ) Potom krížový produkt ( vecs u × vecs v ) je vektor

[ begin {align} vecs u × vecs v & = (u_2v_3 − u_3v_2) mathbf { hat i} - (u_1v_3 − u_3v_1) mathbf { hat j} + (u_1v_2 − u_2v_1) mathbf { hat k} nonumber [4pt] & = ⟨u_2v_3 − u_3v_2, - (u_1v_3 − u_3v_1), u_1v_2 − u_2v_1⟩. label {cross} end {align} ]

Z toho, ako sme vyvinuli ( vecs u × vecs v ), by malo byť zrejmé, že krížový súčin je ortogonálny k ( vecs u ) aj ( vecs v ). Nikdy to však nezaškodí skontrolovať. Aby sme ukázali, že ( vecs u × vecs v ) je kolmý na ( vecs u ), vypočítame bodový súčin ( vecs u ) a ( vecs u × vecs v ) .

[ begin {align *} vecs u⋅ ( vecs u × vecs v) & = ⟨u_1, u_2, u_3⟩⋅⟨u_2v_3 − u_3v_2, −u_1v_3 + u_3v_1, u_1v_2 − u_2v_1⟩ [4pt] & = u_1 (u_2v_3 − u_3v_2) + u_2 (−u_1v_3 + u_3v_1) + u_3 (u_1v_2 − u_2v_1) [4 body]
& = u_1u_2v_3 − u_1u_3v_2 − u_1u_2v_3 + u_2u_3v_1 + u_1u_3v_2 − u_2u_3v_1 [4pt]
& = (u_1u_2v_3 − u_1u_2v_3) + (- u_1u_3v_2 + u_1u_3v_2) + (u_2u_3v_1 − u_2u_3v_1) [4 body]
& = 0 end {align *} ]

Podobným spôsobom môžeme ukázať, že krížový produkt je tiež kolmý na ( vecs v ).

Príklad ( PageIndex {1} ): Nájdenie krížového produktu

Nech ( vecs p = ⟨− 1,2,5⟩ ) a ( vecs q = ⟨4,0, −3⟩ ) (Obrázok ( PageIndex {1} )). Nájdite ( vecs p × vecs q ).

Riešenie

Komponenty vektorov nahraďte rovnicou ref {cross}:

[ begin {align *} vecs p × vecs q & = ⟨− 1,2,5⟩ × ⟨4,0, −3⟩ [4pt] & = ⟨p_2q_3 − p_3q_2, - (p_1q_3− p_3q_1), p_1q_2 − p_2q_1⟩ [4pt] & = ⟨2 (−3) −5 (0), - (- 1) (- 3) +5 (4), (- 1) (0) -2 (4)⟩ [4pt] & = ⟨− 6,17, −8⟩. End {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Nájdite ( vecs p × vecs q ) pre ( vecs p = ⟨5,1,2⟩ ) a ( vecs q = ⟨− 2,0,1⟩.) Odpoveď vyjadrite pomocou štandardné jednotkové vektory.

Pomôcka

Použite vzorec ( vecs u × vecs v = (u_2v_3 − u_3v_2) mathbf { hat i} - (u_1v_3 − u_3v_1) mathbf { hat j} + (u_1v_2 − u_2v_1) mathbf { hat k }. )

Odpoveď

( vecs p × vecs q = mathbf { hat i} −9 mathbf { hat j} +2 mathbf { hat k} )

Aj keď to z rovnice ref {kríž} nemusí byť zrejmé, smer ( vecs u × vecs v ) je daný pravidlom pravej ruky. Ak držíme pravú ruku s prstami smerujúcimi v smere ( vecs u ), potom stočíme prsty smerom k vektoru ( vecs v ), palec ukazuje v smere krížového produktu, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {2} ).

Všimnite si, čo to znamená pre smer ( vecs v × vecs u ). Ak použijeme pravidlo pravej ruky na ( vecs v × vecs u ), začneme prstami namierenými v smere ( vecs v ), potom ich stočíme smerom k vektoru ( vecs u ). V takom prípade ukazuje palec v opačnom smere ( vecs u × vecs v ). (Skús to!)

Príklad ( PageIndex {2} ): Antikomutativita krížového produktu

Nech ( vecs u = ⟨0,2,1⟩ ) a ( vecs v = ⟨3, −1,0⟩ ). Vypočítajte ( vecs u × vecs v ) a ( vecs v × vecs u ) a zakreslite ich do grafu.

Riešenie

Máme

( vecs u × vecs v = ⟨(0 + 1), - (0−3), (0−6) ⟨= ⟨1,3, −6⟩ )

( vecs v × vecs u = ⟨(−1−0), - (3−0), (6−0)⟩ = ⟨− 1, −3,6⟩. )

Vidíme, že v tomto prípade ( vecs u × vecs v = - ( vecs v × vecs u) ) (Obrázok ( PageIndex {4} )). Všeobecne to dokazujeme ďalej v tejto časti.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Predpokladajme, že vektory ( vecs u ) a ( vecs v ) ležia v rovine (xy ) - ( (z ) - zložka každého vektora je nula). Teraz predpokladajme, že (x ) - a (y ) - komponenty ( vecs u ) a (y ) - komponenty ( vecs v ) sú všetky pozitívne, zatiaľ čo ( x ) - zložka ( vecs v ) je záporná. Za predpokladu, že súradnicové osi sú orientované v obvyklých polohách, ktorým smerom smeruje ( vecs u × vecs v )?

Pomôcka

Pamätajte na pravidlo pravej ruky (Obrázok ( PageIndex {2} )).

Odpoveď

Hore (kladný (z ) - smer)

Krížové produkty štandardných jednotkových vektorov ( mathbf { hat i} ), ( mathbf { hat j} ) a ( mathbf { hat k} ) môžu byť užitočné na zjednodušenie niektorých výpočty, zvážme teda tieto krížové produkty. To ukazuje priame použitie definície

[ mathbf { hat i} × mathbf { hat i} = mathbf { hat j} × mathbf { hat j} = mathbf { hat k} × mathbf { hat k} = vecs 0. ]

(Krížový produkt dvoch vektorov je vektor, takže každý z týchto produktov má za následok nultý vektor, nie skalárny (0 ).) Je na vás, aby ste výpočty overili sami.

Ďalej, pretože krížový súčin dvoch vektorov je kolmý na každý z týchto vektorov, vieme, že krížový súčin ( mathbf { hat i} ) a ( mathbf { hat j} ) je rovnobežný s ( mathbf { hat k} ). Podobne je vektorový produkt ( mathbf { hat i} ) a ( mathbf { hat k} ) paralelný s ( mathbf { hat j} ) a vektorový produkt ( mathbf { hat j} ) a ( mathbf { hat k} ) sú paralelné s ( mathbf { hat i} ).

Na určenie smeru každého produktu môžeme použiť pravidlo pravej ruky. Potom máme

[ begin {align *} mathbf { hat i} × mathbf { hat j} & = mathbf { hat k} [4pt]
mathbf { hat j} × mathbf { hat i} & = - mathbf { hat k} [10 bodov]
mathbf { hat j} × mathbf { hat k} & = mathbf { hat i} [4pt]
mathbf { hat k} × mathbf { hat j} & = - mathbf { hat i} [10 bodov]
mathbf { hat k} × mathbf { hat i} & = mathbf { hat j} [4pt]
mathbf { hat i} × mathbf { hat k} & = - mathbf { hat j}. end {zarovnať *} ]

Tieto vzorce prídu vhod neskôr.

Príklad ( PageIndex {3} ): Krížový súčin štandardných vektorov jednotiek

Nájdite ( mathbf { hat i} × ( mathbf { hat j} × mathbf { hat k}) ).

Riešenie

To vieme ( mathbf { hat j} × mathbf { hat k} = mathbf { hat i} ). Preto ( mathbf { hat i} × ( mathbf { hat j} × mathbf { hat k}) = mathbf { hat i} × mathbf { hat i} = vecs 0. )

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Vyhľadajte (( mathbf { hat i} × mathbf { hat j}) × ( mathbf { hat k} × mathbf { hat i}). )

Pomôcka

Pamätajte na pravidlo pravej ruky (Obrázok ( PageIndex {2} )).

Odpoveď

(- mathbf { hat i} )

Ako sme videli, produkt s bodkami sa často nazýva skalárny súčin pretože to má za následok skalár. Výsledkom krížového produktu je vektor, takže sa mu niekedy hovorí vektorový produkt. Tieto operácie sú obidve verzie násobenia vektorov, ale majú veľmi odlišné vlastnosti a aplikácie. Pozrime sa na niektoré vlastnosti krížového produktu. Dokazujeme iba niekoľko z nich. Dôkazy o ďalších vlastnostiach sa ponechávajú ako cviky.

Vlastnosti krížového produktu

Nech ( vecs u, vecs v, ) a ( vecs w ) sú vektory v priestore a (c ) je skalár.

  1. Antikomutatívna vlastnosť: [ vecs u × vecs v = - ( vecs v × vecs u) ]
  2. Distribučná vlastnosť: [ vecs u × ( vecs v + vecs w) = vecs × × vecs v + vecs × × vecs
  3. Násobenie konštantou: [c ( vecs u × vecs v) = (c vecs u) × vecs v = vecs × (c vecs v) ]
  4. Krížový súčin nulového vektora: [ vecs u × vecs 0 = vecs 0 × vecs u = vecs 0 ]
  5. Krížový produkt vektora sám so sebou: [ vecs v × vecs v = vecs 0 ]
  6. Skalárny trojitý produkt: [ vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) = ( vecs u × vecs v) ⋅ vecs w ]

Dôkaz

Pre vlastnosť (i ) chceme ukázať ( vecs u × vecs v = - ( vecs v × vecs u). ) Máme

[ begin {align *} vecs u × vecs v & = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ × ⟨v_1, v_2, v_3⟩ [4pt] & = ⟨u_2v_3 − u_3v_2, −u_1v_3 + u_3v_1, u_1v_2 −u_2v_1⟩ [4pt] & = - ⟨u_3v_2 − u_2v_3, −u_3v_1 + u_1v_3, u_2v_1 − u_1v_2⟩ [4pt] & = - ⟨v_1, v_2, v_3⟩ × ⟨u_1, u_2, u_3⟩ [4pt] & = - ( vecs v × vecs u). End {align *} ]

Na rozdiel od väčšiny operácií, ktoré sme videli, nie je krížový produkt komutatívny. To dáva zmysel, ak uvažujeme o pravidle pravej ruky.

Pre vlastnosť (iv ). To vyplýva priamo z definície krížového produktu. Máme

[ vecs u × vecs 0 = ⟨u_2 (0) −u_3 (0), - (u_2 (0) −u_3 (0)), u1 (0) −u_2 (0)⟩ = ⟨0,0, 0⟩ = vecs 0. ]

Potom tiež vlastnosťou i. ( Vecs 0 × vecs u = vecs 0 ). Pamätajte, že bodovým súčinom vektora a nulového vektora je skalárny (0 ), zatiaľ čo vedľajší produkt vektora s nulovým vektorom je vektor ( vecs 0 ).

Majetok (vi ). vyzerá ako asociatívna vlastnosť, ale všimnite si zmenu operácií:

[ begin {align *} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = u⋅⟨v_2w_3 − v_3w_2, −v_1w_3 + v_3w_1, v_1w_2 − v_2w_1⟩ [4pt]
& = u_1 (v_2w_3 − v_3w_2) + u_2 (−v_1w_3 + v_3w_1) + u_3 (v_1w_2 − v_2w_1) [4 body]
& = u_1v_2w_3 − u_1v_3w_2 − u_2v_1w_3 + u_2v_3w_1 + u_3v_1w_2 − u_3v_2w_1 [4 body]
& = (u_2v_3 − u_3v_2) w_1 + (u_3v_1 − u_1v_3) w_2 + (u_1v_2 − u_2v_1) w_3 [4 pt]
& = ⟨U_2v_3 − u_3v_2, u_3v_1 − u_1v_3, u_1v_2 − u_2v_1⟩⋅⟨w_1, w_2, w_3⟩ = ( vecs u × vecs v) ⋅ vecs w. End {align *} ]

( ámestie)

Príklad ( PageIndex {4} ): Použitie vlastností krížového produktu

Použite vlastnosti krížového produktu na výpočet ((2 mathbf { hat i} × 3 mathbf { hat j}) × mathbf { hat j}. )

Riešenie

[ begin {align *} (2 mathbf { hat i} × 3 mathbf { hat j}) × mathbf { hat j} & = 2 ( mathbf { hat i} × 3 mathbf { hat j}) × mathbf { hat j} [4pt]
& = 2 (3) ( mathbf { hat i} × mathbf { hat j}) × mathbf { hat j} [4pt]
& = (6 mathbf { hat k}) × mathbf { hat j} [4pt]
& = 6 ( mathbf { hat k} × mathbf { hat j}) [4 body]
& = 6 (- mathbf { hat i}) = - 6 mathbf { hat i}. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Použite vlastnosti krížového produktu na výpočet (( mathbf { hat i} × mathbf { hat k}) × ( mathbf { hat k} × mathbf { hat j}). )

Pomôcka

( vecs u × vecs v = - ( vecs v × vecs u) )

Odpoveď

(- mathbf { hat k} )

Zatiaľ sme sa v tejto časti zaoberali smerom vektora ( vecs u × vecs v ), ale jeho veľkosť sme nerozoberali. Ukazuje sa, že existuje jednoduchý výraz pre veľkosť ( vecs u × vecs v ) zahŕňajúci veľkosti ( vecs u ) a ( vecs v ) a sínus uhla medzi ich.

Veľkosť krížového produktu

Nech ( vecs u ) a ( vecs v ) sú vektory a (θ ) je uhol medzi nimi. Potom (‖ vecs u × vecs v‖ = ‖ vecs u‖⋅‖ vecs v‖⋅ sin θ. )

Dôkaz

Nech ( vecs u = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ ) a ( vecs v = ⟨v_1, v_2, v_3⟩ ) sú vektory a (θ ) označuje medzi nimi uhol. Potom

[ begin {align *} ‖ vecs u × vecs v‖ ^ 2 & = (u_2v_3 − u_3v_2) ^ 2 + (u_3v_1 − u_1v_3) ^ 2 + (u_1v_2 − u_2v_1) ^ 2 [4pt]
& = u ^ 2_2v ^ 2_3−2u_2u_3v_2v_3 + u ^ 2_3v ^ 2_2 + u ^ 2_3v ^ 2_1−2u_1u_3v_1v_3 + u ^ 2_1v ^ 2_3 + u ^ 2_1v ^ 2_2−2u_1u_2v_1v_2 + u ^ 2_2v ^ 2_1 [4pt]
& = u ^ 2_1v ^ 2_1 + u ^ 2_1v ^ 2_2 + u ^ 2_1v ^ 2_3 + u ^ 2_2v ^ 2_1 + u ^ 2_2v ^ 2_2 + u ^ 2_2v ^ 2_3 + u ^ 2_3v ^ 2_1 + u ^ 2_3v ^ 2_2 + u ^ 2_3v ^ 2_3− (u ^ 2_1v ^ 2_1 + u ^ 2_2v ^ 2_2 + u ^ 2_3v ^ 2_3 + 2u_1u_2v_1v_2 + 2u_1u_3v_1v_3 + 2u_2u_3v_2v_3) [4pt]
& = (u ^ 2_1 + u ^ 2_2 + u ^ 2_3) (v ^ 2_1 + v ^ 2_2 + v ^ 2_3) - (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) ^ 2 [4pt]
& = ‖ Vecs u‖ ^ ​​2‖ vecs v‖ ^ 2 - ( vecs u⋅ vecs v) ^ 2 [4pt]
& = ‖ Vecs u‖ ^ ​​2‖ vecs v‖ ^ 2 − ‖ vecs u‖ ^ ​​2‖ vecs v‖ ^ 2 cos ^ 2θ [4pt]
& = ‖ Vecs u‖ ^ ​​2‖ vecs v‖ ^ 2 (1− cos ^ 2θ) [4pt]
& = ‖ Vecs u‖ ^ ​​2‖ vecs v‖ ^ 2 ( sin ^ 2θ). end {zarovnať *} ]

Keď vezmeme odmocniny a všimneme si, že ( sqrt { sin ^ 2θ} = sinθ ) pre (0≤θ≤180 °, ) máme požadovaný výsledok:

[‖ Vecs u × vecs v‖ = ‖ vecs u‖‖ vecs v‖ sin θ. ]

Táto definícia krížového produktu nám umožňuje vizualizovať alebo interpretovať produkt geometricky. Je napríklad zrejmé, že krížový produkt je definovaný iba pre vektory v troch rozmeroch, nie pre vektory v dvoch rozmeroch. V dvoch dimenziách je nemožné generovať vektor súčasne kolmý na dva neparalelné vektory.

Príklad ( PageIndex {5} ): Výpočet krížového produktu

Pomocou Note nájdite veľkosť krížového súčinu ( vecs u = ⟨0,4,0⟩ ) a ( vecs v = ⟨0,0, −3⟩ ).

Riešenie

Máme

[ begin {align *} ‖ vecs u × vecs v‖ & = ‖ vecs u‖⋅‖ vecs v‖⋅ sinθ [4pt]
& = sqrt {0 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} ⋅ sqrt {0 ^ 2 + 0 ^ 2 + (- 3) ^ 2} ⋅ sin { dfrac {π} {2}} [4 body]
& = 4 (3) (1) = 12 end {align *} ]

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Pomocou Note nájdite veľkosť ( vecs u × vecs v ), kde ( vecs u = ⟨− 8,0,0⟩ ) a ( vecs v = ⟨0,2,0⟩ ).

Pomôcka

Vektory ( vecs u ) a ( vecs v ) sú ortogonálne.

Odpoveď

16

Determinanty a krížový produkt

Použitie rovnice ref {kríž} na nájdenie krížového súčinu dvoch vektorov je priame a predstavuje krížový súčin v podobe užitočnej súčasti. Vzorec je však zložitý a ťažko zapamätateľný. Našťastie máme alternatívu. Krížový súčin dvoch vektorov môžeme vypočítať pomocou determinantnej notácie.

Determinant (2 × 2 ) je definovaný vzťahom

[ begin {vmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {vmatrix} = a_1b_2 − b_1a_2. ]

Napríklad,

[ begin {vmatrix} 3 & -2 5 & 1 end {vmatrix} = 3 (1) −5 (−2) = 3 + 10 = 13. ]

Determinant (3 × 3 ) je definovaný ako (2 × 2 ) determinanty takto:

[ begin {vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 c_1 & c_2 & c_3 end {vmatrix} = a_1 begin {vmatrix} b_2 & b_3 c_2 & c_3 end {vmatrix } −a_2 begin {vmatrix} b_1 & b_3 c_1 & c_3 end {vmatrix} + a_3 begin {vmatrix} b_1 & b_2 c_1 & c_2 end {vmatrix}. Label {expandEqn} ]

Rovnica ref {expandEqn} sa označuje ako rozšírenie determinantu pozdĺž prvého riadku. Všimnite si, že multiplikátory každého z (2 × 2 ) determinantov na pravej strane tohto výrazu sú záznamami v prvom riadku (3 × 3 ) determinantu. Ďalej každý z (2 × 2 ) determinantov obsahuje položky z (3 × 3 ) determinantu, ktoré by zostali, keby ste prečiarkli riadok a stĺpec obsahujúci multiplikátor. Pre prvý člen vpravo je teda (a_1 ) multiplikátor a determinant (2 × 2 ) obsahuje položky, ktoré zostanú, ak vyčiarknete prvý riadok a prvý stĺpec (3 × 3 ) determinant. Podobne pre druhý člen je multiplikátor (a_2 ) a determinant (2 × 2 ) obsahuje položky, ktoré zostanú, ak vyčiarknete prvý riadok a druhý stĺpec (3 × 3 ) určujúci. Všimnite si však, že koeficient druhého členu je záporný. Tretí termín možno vypočítať podobným spôsobom.

Príklad ( PageIndex {6} ): Použitie rozšírenia pozdĺž prvého riadku na výpočet determinantu (3 × 3 )

Vyhodnoťte determinant ( begin {vmatrix} 2 & 5 & −1 - 1 & 1 & 3 - 2 & 3 & 4 end {vmatrix} ).

Riešenie

Máme

[ begin {align *} begin {vmatrix} 2 & 5 & −1 - 1 & 1 & 3 - 2 & 3 & 4 end {vmatrix} & = 2 begin {vmatrix} 1 & 3 3 & 4 end {vmatrix} −5 begin {vmatrix} −1 & 3 - 2 & 4 end {vmatrix} −1 begin {vmatrix} −1 & 1 - 2 & 3 end {vmatrix} [4 body]
& = 2 (4−9) −5 (−4 + 6) −1 (−3 + 2) [4 body]
& = 2 (−5) −5 (2) −1 (−1) = - 10−10 + 1 [4 body]
& = - 19 end {align *} ]

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Vyhodnoťte determinant ( begin {vmatrix} 1 & −2 & −1 3 & 2 & −3 1 & 5 & 4 end {vmatrix} ).

Pomôcka

Rozbaľte pozdĺž prvého riadku. Nezabudnite, že druhý termín je negatívny!

Odpoveď

40

Technicky sú determinanty definované iba z hľadiska polí reálnych čísel. Avšak determinantný zápis poskytuje užitočné mnemotechnické pomôcky pre vzorec krížového produktu.

Pravidlo: Krížový produkt vypočítaný determinantom

Nech ( vecs u = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ ) a ( vecs v = ⟨v_1, v_2, v_3⟩ ) sú vektory. Potom je krížový súčin ( vecs u × vecs v ) daný vzťahom

[ vecs u × vecs v = begin {vmatrix} mathbf { hat i} & mathbf { hat j} & mathbf { hat k} u_1 & u_2 & u_3 v_1 & v_2 & v_3 end {vmatrix} = begin {vmatrix} u_2 & u_3 v_2 & v_3 end {vmatrix} mathbf { hat i} - begin {vmatrix} u_1 & u_3 v_1 & v_3 end { vmatrix} mathbf { hat j} + begin {vmatrix} u_1 & u_2 v_1 & v_2 end {vmatrix} mathbf { hat k}. ]

Príklad ( PageIndex {7} ): Použitie determinantnej notácie na nájdenie ( vecs p × vecs q )

Nech ( vecs p = ⟨− 1,2,5⟩ ) a ( vecs q = ⟨4,0, −3⟩ ). Nájdite ( vecs p × vecs q ).

Riešenie

Náš determinant sme nastavili tak, že do prvého radu dáme štandardné jednotkové vektory, do druhého radu komponenty ( vecs u ) a do tretieho radu komponenty ( vecs v ). Potom máme

[ begin {align *} vecs p × vecs q & = begin {vmatrix} mathbf { hat i} & mathbf { hat j} & mathbf { hat k} - 1 & 2 & 5 4 & 0 & −3 end {vmatrix} = begin {vmatrix} 2 & 5 0 & −3 end {vmatrix} mathbf { hat i} - begin {vmatrix} - 1 & 5 4 & −3 end {vmatrix} mathbf { hat j} + begin {vmatrix} −1 & 2 4 & 0 end {vmatrix} mathbf { hat k} [4 b.]
& = (−6−0) mathbf { hat i} - (3-20) mathbf { hat j} + (0-8) mathbf { hat k} [4pt]
& = - 6 mathbf { hat i} +17 mathbf { hat j} −8 mathbf { hat k}. End {zarovnať *} ]

Všimnite si, že táto odpoveď potvrdzuje výpočet krížového produktu v príklade ( PageIndex {1} ).

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Pomocou determinantnej notácie nájdite ( vecs a × vecs b ), kde ( vecs a = ⟨8,2,3⟩ ) a ( vecs b = ⟨− 1,0,4⟩. )

Pomôcka

Vypočítajte determinant ( begin {vmatrix} mathbf { hat i} mathbf { hat j} mathbf { hat k} 8 & 2 & 3 - 1 & 0 & 4 end {vmatrix } ).

Odpoveď

( vecs a × vecs b = 8 mathbf { hat i} −35 mathbf { hat j} +2 mathbf { hat k} )

Používanie produktu Cross

Krížový produkt je veľmi užitočný pre niekoľko typov výpočtov, medzi ktoré patrí vyhľadanie vektora kolmého na dva dané vektory, výpočet oblastí trojuholníkov a rovnobežníkov a dokonca aj určenie objemu trojrozmerného geometrického tvaru vytvoreného z rovnobežníkov známych ako rovnobežnosten. Nasledujúce príklady ilustrujú tieto výpočty.

Príklad ( PageIndex {8} ): Nájdenie jednotkového vektora kolmého na dva dané vektory

Nech ( vecs a = ⟨5,2, −1⟩ ) a ( vecs b = ⟨0, −1,4⟩ ). Nájdite jednotkový vektor kolmý na ( vecs a ) aj ( vecs b ).

Riešenie

Krížový súčin ( vecs a × vecs b ) je kolmý na obidva vektory ( vecs a ) a ( vecs b ). Môžeme to vypočítať s determinantom:

[ begin {align *} vecs a × vecs b & = begin {vmatrix} mathbf { hat i} & mathbf { hat j} & mathbf { hat k} 5 & 2 & −1 0 & −1 & 4 end {vmatrix} = begin {vmatrix} 2 & −1 - 1 & 4 end {vmatrix} mathbf { hat i} - begin {vmatrix} 5 & ​​−1 0 & 4 end {vmatrix} mathbf { hat j} + begin {vmatrix} 5 & 2 0 & −1 end {vmatrix} mathbf { hat k} [4 b.]
& = (8−1) mathbf { hat i} - (20−0) mathbf { hat j} + (- 5−0) mathbf { hat k} [4pt]
& = 7 mathbf { hat i} −20 mathbf { hat j} −5 mathbf { hat k}. End {zarovnať *} ]

Normalizujte tento vektor, aby ste našli jednotkový vektor v rovnakom smere:

( | vecs a × vecs b | = sqrt {(7) ^ 2 + (- 20) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = sqrt {474} ).

Teda ( left langle dfrac {7} { sqrt {474}}, dfrac {−20} { sqrt {474}}, dfrac {−5} { sqrt {474}} vpravo rangle ) je jednotkový vektor kolmý na ( vecs a ) a ( vecs b ).

Zjednodušene sa tento vektor zmení na ( left langle dfrac {7 sqrt {474}} {474}, dfrac {−10 sqrt {474}} {237}, dfrac {55 sqrt {474} } {474} doprava rangle ).

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Nájdite jednotkový vektor kolmý na ( vecs a ) aj ( vecs b ), kde ( vecs a = ⟨4,0,3⟩ ) a ( vecs b = ⟨1,1 , 4⟩. )

Pomôcka

Normalizujte krížový produkt.

Odpoveď

( left langle dfrac {−3} { sqrt {194}}, dfrac {−13} { sqrt {194}}, dfrac {4} { sqrt {194}} right rangle ) alebo zjednodušene ako ( left langle dfrac {−3 sqrt {194}} {194}, dfrac {−13 sqrt {194}} {194}, dfrac {2 sqrt {194 }} {97} doprava rangle )

Aby sme mohli použiť krížový produkt na výpočet plôch, uvádzame a dokazujeme nasledujúcu vetu.

Oblasť rovnobežníka

Ak nájdeme vektory ( vecs u ) a ( vecs v ) také, že tvoria susedné strany rovnobežníka, potom je plocha rovnobežníka daná vzťahom (‖ vecs u × vecs v‖ ) (Obrázok ( PageIndex {5} )).

Dôkaz

Ukazujeme, že veľkosť krížového súčinu sa rovná základnej násobku výšky rovnobežníka.

[ begin {align *} text {Plocha rovnobežníka} & = text {base} × text {height} [4pt] & = ‖ vecs u‖ (‖ vecs v‖ sin θ ) [4pt] & = ‖ vecs u × vecs v‖ end {align *} ]

Príklad ( PageIndex {9} ): Nájdenie oblasti trojuholníka

Nech (P = (1,0,0), Q = (0,1,0), ) a (R = (0,0,1) ) sú vrcholy trojuholníka (obrázok ( PageIndex {6} )). Nájdite jeho oblasť.

Riešenie

Máme ( vecd {PQ} = ⟨0−1,1−0,0−0⟩ = ⟨− 1,1,0⟩ ) a ( vecd {PR} = ⟨0−1,0− 0,1−0⟩ = ⟨− 1,0,1⟩ ). Plocha rovnobežníka so susednými stranami ( vecd {PQ} ) a ( vecd {PR} ) je daná znakom (∥ vecd {PQ} × vecd {PR} ∥ ):

[ begin {align *} vecd {PQ} times vecd {PR} & = begin {vmatrix} mathbf { hat i} & mathbf { hat j} & mathbf { hat k} - 1 & 1 & 0 - 1 & 0 & 1 end {vmatrix} [4pt]
& = (1−0) mathbf { hat i} - (- 1−0) mathbf { hat j} + (0 - (- 1)) mathbf { hat k} [4pt]
& = mathbf { hat i} + mathbf { hat j} + mathbf { hat k} [10 bodov]
∥ vecd {PQ} × vecd {PR} ∥ & = ∥⟨1,1,1⟩∥ [4 body]
& = sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2} [4 body]
& = sqrt {3}. end {zarovnať *} ]

Plocha (ΔPQR ) je polovica plochy rovnobežníka alebo ( sqrt {3} / 2 , text {units} ^ 2 ).

Cvičenie ( PageIndex {9} )

Nájdite plochu rovnobežníka (PQRS ) s vrcholmi (P (1,1,0) ), (Q (7,1,0) ), (R (9,4,2) ) a (S (3,4,2) ).

Pomôcka

Načrtnite rovnobežník a identifikujte dva vektory, ktoré tvoria susedné strany rovnobežníka.

Odpoveď

(6 sqrt {13} , text {jednotky} ^ 2 )

Trojitý skalárny produkt

Pretože krížovým produktom dvoch vektorov je vektor, je možné kombinovať bodový produkt a krížový produkt. Bodový súčin vektora s krížovým súčinom dvoch ďalších vektorov sa nazýva trojitý skalárny súčin pretože výsledok je skalárny.

Definícia: Trojitý skalárny produkt

Trojitý skalárny súčin vektorov ( vecs u ), ( vecs v, ) a ( vecs w ) je

[ vecs u⋅ ( vecs v × vecs w). ]

Výpočet trojitého skalárneho produktu

Trojitý skalárny súčin vektorov

[ vecs u = u_1 mathbf { hat i} + u_2 mathbf { hat j} + u_3 mathbf { hat k} ]

[ vecs v = v_1 mathbf { hat i} + v_2 mathbf { hat j} + v_3 mathbf { hat k} ]

a

[ vecs w = w_1 mathbf { hat i} + w_2 mathbf { hat j} + w_3 mathbf { hat k} ]

je determinant matice (3 × 3 ) tvorenej zložkami vektorov:

[ vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) = begin {vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 v_1 & v_2 & v_3 w_1 & w_2 & w_3 end {vmatrix}. label {triple2} ]

Dôkaz

Výpočet je priamy.

[ begin {align *} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = ⟨u_1, u_2, u_3⟩⋅⟨v_2w_3 − v_3w_2, −v_1w_3 + v_3w_1, v_1w_2 − v_2w_1⟩ [4pt] & = u_1 (v_2w_3 − v_3w_2) + u_2 (−v_1w_3 + v_3w_1) + u_3 (v_1w_2 − v_2w_1) [4 body]
& = u_1 (v_2w_3 − v_3w_2) −u_2 (v_1w_3 − v_3w_1) + u_3 (v_1w_2 − v_2w_1) [4 body]
& = begin {vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 v_1 & v_2 & v_3 w_1 & w_2 & w_3 end {vmatrix}. end {align *} ]

Príklad ( PageIndex {10} ): Výpočet produktu Triple Scalar

Nech ( vecs u = ⟨1,3,5⟩, , vecs v = ⟨2, −1,0⟩ ) a ( vecs w = ⟨− 3,0, ⟩1⟩ ). Vypočítajte trojitý skalárny súčin ( vecs u⋅ ( vecs v × vecs w). )

Riešenie

Použite rovnicu ref {triple2} priamo:

[ begin {align *} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = begin {vmatrix} 1 a 3 a 5 2 & −1 & 0 - 3 & 0 & −1 end {vmatrix} [4 body]
& = 1 begin {vmatrix} −1 & 0 0 & −1 end {vmatrix} −3 begin {vmatrix} 2 & 0 - 3 & −1 end {vmatrix} +5 begin { vmatrix} 2 & −1 - 3 & 0 end {vmatrix} [4pt]
& = (1-0) -3 (-2-2) +5 (0-3) [4 body]
& = 1 + 6−15 = −8. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {10} )

Vypočítajte trojitý skalárny súčin ( vecs a⋅ ( vecs b × vecs c), ) kde ( vecs a = ⟨2, −4,1⟩, vecs b = ⟨0,3, −1 ⟩ ) A ( vecs c = ⟨5, −3,3⟩. )

Pomôcka

Umiestnite vektory ako riadky matice (3 × 3 ) a potom vypočítajte determinant.

Odpoveď

(17)

Keď vytvárame maticu z troch vektorov, musíme si dávať pozor na poradie, v akom vektory uvádzame. Ak ich uvedieme v matici v jednom poradí a potom usporiadame riadky, absolútna hodnota determinantu zostane nezmenená. Zakaždým, keď sa dva riadky prepnú na iné miesto, znak determinantnej zmeny:

( begin {vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 c_1 & c_2 & c_3 end {vmatrix} = d quad quad begin {vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 a_1 & a_2 & a_3 c_1 & c_2 & c_3 end {vmatrix} = - d quad quad begin {vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 c_1 & c_2 & c_3 a_1 & a_2 & a_3 end { vmatrix} = d quad quad begin {vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 b_1 & b_2 & b_3 a_1 & a_2 & a_3 end {vmatrix} = - d )

Overenie tejto skutočnosti je priame, ale dosť chaotické. Pozrime sa na to na príklade:

[ begin {align *} begin {vmatrix} 1 & 2 & 1 - 2 & 0 & 3 4 & 1 & −1 end {vmatrix} & = begin {vmatrix} 0 & 3 1 & −1 end {vmatrix} −2 begin {vmatrix} −2 & 3 4 & −1 end {vmatrix} + begin {vmatrix} −2 & 0 4 & 1 end { vmatrix} [4 body]
& = (0-3) -2 (2-12) + (- 2-0) [4 body]
& = - 3 + 20−2 = 15. end {zarovnať *} ]

Prepínanie horných dvoch riadkov máme

[ begin {align *} begin {vmatrix} −2 & 0 & 3 1 & 2 & 1 4 & 1 & −1 end {vmatrix} & = - 2 begin {vmatrix} 2 & 1 1 & -1 end {vmatrix} +3 begin {vmatrix} 1 & 2 4 & 1 end {vmatrix} [4pt]
& = - 2 (−2−1) +3 (1−8) [4 body]
& = 6−21 = −15. end {zarovnať *} ]

Zmena usporiadania vektorov v trojitých produktoch je ekvivalentná zmene poradia riadkov v matici determinantu. Nech ( vecs u = u_1 mathbf { hat i} + u_2 mathbf { hat j} + u_3 mathbf { hat k}, vecs v = v_1 mathbf { hat i} + v_2 mathbf { hat j} + v_3 mathbf { hat k}, ) a ( vecs w = w_1 mathbf { hat i} + w_2 mathbf { hat j} + w_3 mathbf { hat k} . ) Uplatnenie poznámky, máme

[ vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) = begin {vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 v_1 & v_2 & v_3 w_1 & w_2 & w_3 end {vmatrix} ]

a

[ vecs u⋅ ( vecs w × vecs v) = begin {vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 w_1 & w_2 & w_3 v_1 & v_2 & v_3 end {vmatrix}. ]

Determinant pre výpočet ( vecs u⋅ ( vecs w × vecs v) ) môžeme získať prepnutím spodných dvoch riadkov ( vecs u⋅ ( vecs v × vecs w). ) Preto , ( vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) = - vecs u⋅ ( vecs × × vecs v). )

Po tomto uvažovaní a skúmaní rôznych spôsobov, ako môžeme zameniť premenné v trojitom skalárnom súčine, dôjde k týmto identitám:

[ begin {align} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = - vecs u⋅ ( vecs w × vecs v) [10 bodov]
vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = vecs v⋅ ( vecs w × vecs u) = vecs w⋅ ( vecs u × vecs v). end {align} ]

Nech ( vecs u ) a ( vecs v ) sú dva vektory v štandardnej polohe. Ak ( vecs u ) a ( vecs v ) nie sú navzájom skalárne násobky, potom tieto vektory tvoria susedné strany rovnobežníka. V poznámke sme videli, že plocha tohto rovnobežníka je (‖ vecs u × vecs v‖ ). Teraz predpokladajme, že pridáme tretí vektor ( vecs w ), ktorý neleží v rovnakej rovine ako ( vecs u ) a ( vecs v ), ale stále zdieľa rovnaký počiatočný bod. Potom tieto vektory tvoria tri okraje a rovnobežnosten, trojrozmerný hranol so šiestimi plochami, z ktorých každý je rovnobežník, ako je znázornené na obrázku. Objem tohto hranola je súčinom výšky postavy a plochy jej základne. Trojitý skalárny súčin ( vecs u, vecs v, ) a ( vecs w ) poskytuje jednoduchú metódu na výpočet objemu rovnobežnostenu definovaného týmito vektormi.

Objem rovnobežnostenu

Objem rovnobežnostenu so susednými hranami daný vektormi ( vecs u, vecs v ) a ( vecs w ) je absolútna hodnota trojitého skalárneho súčinu (Obrázok ( PageIndex {7}) )):

[V = || vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) ||. ]

Upozorňujeme, že ako naznačuje názov, trojitý skalárny súčin produkuje skalár. Práve prezentovaný objemový vzorec používa absolútnu hodnotu skalárnej veličiny.

Dôkaz

Plocha základne rovnobežnostenu je daná (‖ vecs v × vecs w‖. ) Výška figúry je daná ( | text {proj} _ { vecs v × vecs w} vecs u |. ) Objem rovnobežnostenu je súčinom výšky a plochy základne, takže máme

[ begin {align *} V & = ∥ text {proj} _ { vecs v × vecs w} vecs u∥‖ vecs v × vecs w‖ [4pt]
& = ∣∣ dfrac { vecs u⋅ ( vecs v × vecs w)} {‖ vecs v × vecs w‖} ∣∣‖ vecs v × vecs w‖ [4pt]
& = | vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) |. end {zarovnať *} ]

Príklad ( PageIndex {11} ): Výpočet objemu rovnobežnostenu

Nech ( vecs u = ⟨− 1, −2,1⟩, vecs v = ⟨4,3,2⟩, ) a ( vecs w = ⟨0, −5, −2⟩ ). Nájdite objem rovnobežnostenu so susednými okrajmi ( vecs u, vecs v ) a ( vecs w ) (obrázok ( PageIndex {8} )).

Riešenie

Máme

[ begin {align *} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = begin {vmatrix} −1 & −2 & 1 4 & 3 & 2 0 & −5 & - 2 end {vmatrix} [4pt]
& = (−1) begin {vmatrix} 3 & 2 - 5 & −2 end {vmatrix} +2 begin {vmatrix} 4 & 2 0 & −2 end {vmatrix} + begin {vmatrix} 4 a 3 0 & −5 end {vmatrix} [4 pt]
& = (- 1) (- 6 + 10) +2 (−8-0) + (- 20-0) [4 body]
& = - 4−16−20 [4 body]
& = - 40. end {align *} ]

Teda objem rovnobežnostenu je (| −40 | = 40 ) jednotiek3

Cvičenie ( PageIndex {11} )

Nájdite objem rovnobežnostenu tvorený vektormi ( vecs a = 3 mathbf { hat i} +4 mathbf { hat j} - mathbf { hat k}, vecs b = 2 mathbf { hat i} - mathbf { hat j} - mathbf { hat k}, ) a ( vecs c = 3 mathbf { hat j} + mathbf { hat k}. )

Pomôcka

Vypočítajte trojitý skalárny súčin nájdením determinantu.

Odpoveď

(8 ) jednotiek3

Aplikácie krížového produktu

Krížový produkt sa objavuje v mnohých praktických aplikáciách v matematike, fyzike a inžinierstve. Pozrime sa tu na niektoré z týchto aplikácií, vrátane myšlienky krútiaceho momentu, ktorou sme začali v tejto časti. Ďalšie aplikácie sa objavia v ďalších kapitolách, najmä v našom štúdiu vektorových polí, ako sú gravitačné a elektromagnetické polia (Úvod do vektorového počtu).

Príklad ( PageIndex {12} ): Použitie produktu Triple Scalar

Pomocou trojitého skalárneho súčinu ukážte, že vektory ( vecs u = ⟨2,0,5⟩, vecs v = ⟨2,2,4⟩ ) a ( vecs w = ⟨1, −1, 3⟩ ) sú koplanárne - to znamená, že tieto vektory ležia v rovnakej rovine.

Riešenie

Začnite výpočtom trojitého skalárneho súčinu a nájdite objem rovnobežnostenu definovaný ( vecs u, vecs v, ) a ( vecs w ):

[ begin {align *} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = begin {vmatrix} 2 a 0 a 5 2 & 2 & 4 1 & −1 & 3 end {vmatrix} [4 body]
& = [2 (2) (3) + (0) (4) (1) +5 (2) (- 1)] - [5 (2) (1) + (2) (4) (- 1) + (0) (2) (3)] [4 body]
& = 2−2 = 0. end {zarovnať *} ]

Objem rovnobežnostenu je (0 ) jednotiek3, takže jedna z dimenzií musí byť nulová. Preto všetky tri vektory ležia v rovnakej rovine.

Cvičenie ( PageIndex {12} )

Sú vektory ( vecs a = mathbf { hat i} + mathbf { hat j} - mathbf { hat k}, vecs b = mathbf { hat i} - mathbf { hat j} + mathbf { hat k}, ) a ( vecs c = mathbf { hat i} + mathbf { hat j} + mathbf { hat k} ) koplanárne?

Pomôcka

Vypočítajte trojitý skalárny súčin.

Odpoveď

No, the triple scalar product is (−4≠0,) so the three vectors form the adjacent edges of a parallelepiped. They are not coplanar.

Example (PageIndex{13}): Finding an Orthogonal Vector

Only a single plane can pass through any set of three noncolinear points. Find a vector orthogonal to the plane containing points (P=(9,−3,−2),Q=(1,3,0),) and (R=(−2,5,0).)

Riešenie

The plane must contain vectors (vecd{PQ}) and (vecd{QR}):

(vecd{PQ}=⟨1−9,3−(−3),0−(−2)⟩=⟨−8,6,2⟩)

(vecd{QR}=⟨−2−1,5−3,0−0⟩=⟨−3,2,0⟩.)

The cross product (vecd{PQ}×vecd{QR}) produces a vector orthogonal to both (vecd{PQ}) and (vecd{QR}). Therefore, the cross product is orthogonal to the plane that contains these two vectors:

[egin{align*} vecd{PQ}×vecd{QR} &= egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}−8 & 6 & 2−3 & 2 & 0end{vmatrix}[4pt]
&=0mathbf{hat i}−6mathbf{hat j}−16mathbf{hat k}−(−18mathbf{hat k}+4mathbf{hat i}+0mathbf{hat j})[4pt]
&=−4mathbf{hat i}−6mathbf{hat j}+2mathbf{hat k}. end {zarovnať *} ]

We have seen how to use the triple scalar product and how to find a vector orthogonal to a plane. Now we apply the cross product to real-world situations.

Sometimes a force causes an object to rotate. For example, turning a screwdriver or a wrench creates this kind of rotational effect, called torque.

Definition: Torque

Torque, (vecs au) (the Greek letter tau), measures the tendency of a force to produce rotation about an axis of rotation. Let (vecs r) be a vector with an initial point located on the axis of rotation and with a terminal point located at the point where the force is applied, and let vector (vecs F) represent the force. Then torque is equal to the cross product of (r) and (F):

[vecs au=vecs r×vecs F.]

See Figure (PageIndex{9}).

Think about using a wrench to tighten a bolt. The torque τ applied to the bolt depends on how hard we push the wrench (force) and how far up the handle we apply the force (distance). The torque increases with a greater force on the wrench at a greater distance from the bolt. Common units of torque are the newton-meter or foot-pound. Although torque is dimensionally equivalent to work (it has the same units), the two concepts are distinct. Torque is used specifically in the context of rotation, whereas work typically involves motion along a line.

Example (PageIndex{14}): Evaluating Torque

A bolt is tightened by applying a force of (6) N to a 0.15-m wrench (Figure (PageIndex{10})). The angle between the wrench and the force vector is (40°). Find the magnitude of the torque about the center of the bolt. Round the answer to two decimal places.

Riešenie:

Substitute the given information into the equation defining torque:

[ egin{align*} ‖vecs τ‖ &=|vecs r×vecs F| [4 body]
&=‖vecs r‖∥vecs F∥sinθ [4pt]
&=(0.15, ext{m})(6, ext{N})sin 40° [4pt]
&≈0.58, ext{N⋅m.} end{align*}]

Cvičenie ( PageIndex {14} )

Calculate the force required to produce (15) N⋅m torque at an angle of (30º) from a (150)-cm rod.

Pomôcka

(‖vecs τ‖=15) N⋅m and (‖vecs r‖=1.5) m

Odpoveď

(20) N

Key Concepts

  • The cross product (vecs u×vecs v) of two vectors (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) is a vector orthogonal to both (vecs u) and (vecs v). Its length is given by (‖vecs u×vecs v‖=‖vecs u‖⋅‖vecs v‖⋅sin θ,) where (θ) is the angle between (vecs u) and (vecs v). Its direction is given by the right-hand rule.
  • The algebraic formula for calculating the cross product of two vectors,

(vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩), is

(vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k}.)

  • The cross product satisfies the following properties for vectors (vecs u,vecs v,) and (vecs w), and scalar (c):

(vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u))

(vecs u×(vecs v+vecs w)=vecs u×vecs v+vecs u×vecs w)

(c(vecs u×vecs v)=(cvecs u)×vecs v=vecs u×(cvecs v))

(vecs u×vecs 0=vecs 0×vecs u=vecs 0)

(vecs v×vecs v=vecs 0)

(vecs u⋅(vecs v×vecs w)=(vecs u×vecs v)⋅vecs w)

  • The cross product of vectors (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) is the determinant (egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3end{vmatrix})
  • If vectors (vecs u) and (vecs v) form adjacent sides of a parallelogram, then the area of the parallelogram is given by (|vecs u×vecs v|.)
  • The triple scalar product of vectors (vecs u, vecs v,) and (vecs w) is (vecs u⋅(vecs v×vecs w).)
  • The volume of a parallelepiped with adjacent edges given by vectors (vecs u,vecs v), and (vecs w) is (V=|vecs u⋅(vecs v×vecs w)|.)
  • If the triple scalar product of vectors (vecs u,vecs v,) and (vecs w) is zero, then the vectors are coplanar. The converse is also true: If the vectors are coplanar, then their triple scalar product is zero.
  • The cross product can be used to identify a vector orthogonal to two given vectors or to a plane.
  • Torque (vecs τ) measures the tendency of a force to produce rotation about an axis of rotation. If force (vecs F) is acting at a distance (displacement) (vecs r) from the axis, then torque is equal to the cross product of (vecs r) and (vecs F: vecs τ=vecs r×vecs F.)

Kľúčové rovnice

  • The cross product of two vectors in terms of the unit vectors

[vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k}]

Glosár

cross product

(vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k},) where (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩)

determinant

a real number associated with a square matrix

parallelepiped

a three-dimensional prism with six faces that are parallelograms

torque

the effect of a force that causes an object to rotate

triple scalar product

the dot product of a vector with the cross product of two other vectors: (vecs u⋅(vecs v×vecs w))

vector product

the cross product of two vectors

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah spoločnosti OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.


Cross

C = cross( A,B ) returns the cross product of A and B .

If A and B are vectors, then they must have a length of 3.

If A and B are matrices or multidimensional arrays, then they must have the same size. In this case, the cross function treats A and B as collections of three-element vectors. The function calculates the cross product of corresponding vectors along the first array dimension whose size equals 3.

C = cross( A,B , dim ) evaluates the cross product of arrays A and B along dimension, dim . A and B must have the same size, and both size(A,dim) and size(B,dim) must be 3. The dim input is a positive integer scalar.


Engineering Statics: Open and Interactive

This interactive shows the relation of the cross product to the two vectors and the angle between them.

The vector is a mathematical operation applied to two vectors which produces a third mutually perpendicular vector as a result. It’s sometimes called the , to emphasize this and to distinguish it from the dot product which produces a scalar value. The ( imes) symbol is used to indicate this operation.

Cross products are used in mechanics to find the moment of a force about about a point.

The cross product is a vector multiplication process defined by

The result is a vector mutually perpendicular to the first two with a sense determined by the right hand rule. If (vec) and (vec) are in the (xy) plane, this is

The operation is not commutative, in fact

Ntice that all the terms in the cross product equation are similar to those of the dot product, except that (sin) is used rather than (cos) and the product includes a unit vector (hat>) making the result a vector. This unit vector (hat>) is simple to find in a two-dimensional problem as it will always be perpendicular to the page, but for three-dimensional cross products it is advisable to use a vector determinant method discussed here.

Subsection 2.8.1 Cross Product of Arbitrary Vectors

The cross product of two three-dimensional vectors can be calculated by evaluating the determinant of this (3 imes 3) matrix.

Here, the first row are the unit vectors, the second row are the components of (vec) and the third row are the components of (vec text <.> )

Calculating the (3 imes 3) determinant can be reduced to calculating three (2 imes 2) determinants using the method of cofactors, as follows

Finally a (2 imes 2) determinant can be evaluated with the formula

After simplifying, the resulting formula for a three-dimensional cross product is

In practice, the easiest way to remember this equation is to use the augmented determinant below, where the first two columns have been copied and placed after the determinant. The cross product is then calculated by adding the product of the red diagonals and subtracting the product of blue diagonals.

which is mathematically equivalent to equation (2.8.6).

This equation produces the same result as equation (2.8.1) and you may use it if it is more convenient.

Example 2.8.2 . 2-D Cross Product.

Determine the cross product (vec imes vec text <.> )

In this solution we will apply equation (2.8.1).

The direction of the the cross product is determined by applying the right hand rule. With the right hand, rotating (vec) towards (vec) we find that our thumb points into the (xy) plane, so the direction of (hat>) is (-khat ext<.>)

Example 2.8.3 . 3-D Cross Product.

To solve, set up the augmented determinant and evaluate it by adding the left-to-right diagonals and subtracting the right-to-left diagonals. (2.8.6).

Calculating three-dimensional cross products by hand is tedious and error prone. Whenever you can, you should use technology to do the grunt work for you and focus on the meaning of the results. In this solution we will use an embedded Sage calculator to calculate the cross product. This same calculator can be used to do other problems.

Try changing the third line to B.cross_product(A) . What changes?

Subsection 2.8.2 Cross Product of Unit Vectors

Since unit vectors have a magnitude of one and are perpendicular to each other, the magnitude of the cross product of two perpendicular unit vectors will be one by (2.8.1). The direction is determined by the right hand rule. On the other hand, whenever you cross a unit vector with itself, the result is zero since ( heta=0 ext<.>)

One way to apply the right hand rule is to hold your right hand flat and point your fingers in the direction of the first vector, then curl them towards the second vector. When you do, your thumb will be oriented in the direction of the cross product.

To illustrate, imagine unit vectors (ihat) and (jhat) drawn on a white board in the normal orientation — (ihat) pointing right, (jhat) pointing up. Orient your right hand with your fingers pointing to the right along (ihat ext<,>) then curl them towards (jhat) and your thumb will point out of the board and establish that the direction of (ihat imes jhat=khat ext<.>) Now try to cross (-ihat) with (jhat) and you will find that your thumb now points into the board.

You should be able to convince yourself that the cross products of the positive unit vectors are

An alternate way to remember this is to use the cross product circle shown. For example when you cross (ihat) with (jhat) you are going in the positive (counterclockwise) direction around the blue inner circle and thus the answer is (+khat ext<.>) But when you cross (jhat) into (ihat) you go in the negative (clockwise) direction around the circle and thus get a (-khat ext<.>) Remember that the order of cross products matter. If you put the vectors in the wrong order you will introduce a sign error.

If you have any negative unit vectors it is easiest to separate the negative values until after you have taken the cross product, so for example


What is a Vector?

It is a measurement of one point in space relative to another point in space. It has two components – magnitude and direction. Vectors are helpful to know the position, displacement, velocity, and acceleration of an object.

Magnitude is the value of the length of the vector. It is denoted by ‘||a||.’

Direction is the angle of rotation of the vector with respect to east, west, north, and south. It is denoted by ‘ , which has two ends: the tail a hlava . The direction of the arrow depends on the vector, i.e., if it’s forwards, backwards, upwards, or downwards (usually just forwards and backwards).


12.4: The Cross Product - Mathematics

Besides the usual addition of vectors and multiplication of vectors by scalars, there are also two types of multiplication of vectors by other vectors. One type, the dot product, is a scalar product the result of the dot product of two vectors is a scalar. The other type, called the cross product, is a vector product since it yields another vector rather than a scalar. As with the dot product, the cross product of two vectors contains valuable information about the two vectors themselves.

The cross product of two vectors a =<a_1,a_2,a_3> and b =<b_1,b_2,b_3> is given by

Although this may seem like a strange definition, its useful properties will soon become evident. There is an easy way to remember the formula for the cross product by using the properties of determinants. Recall that the determinant of a 2x2 matrix is

and the determinant of a 3x3 matrix is

Notice that we may now write the formula for the cross product as

Príklad

The cross product of the vectors a =<3,-2,-2> and b =<-1,0,5> is

  • The length of the cross product of two vectors is
  • The length of the cross product of two vectors is equal to the area of the parallelogram determined by the two vectors (see figure below).
  • Anticommutativity:
  • Multiplication by scalars:
  • Distributivity:
  • The scalar triple product of the vectors a , b , and c :
  • The volume of the parallelepiped determined by the vectors a , b , and c is the magnitude of their scalar triple product.
  • The vector triple product of the vectors a , b , and c :

Note that the result for the length of the cross product leads directly to the fact that two vectors are parallel if and only if their cross product is the zero vector. This is true since two vectors are parallel if and only if the angle between them is 0 degrees (or 180 degrees).

Príklad

To find the area of the triangle with vertices (1,1,3), (4,-1,1), and (0,1,8), one could find the length of one of the altitudes of the triangle and proceed to find A=1/2(altitude)(base). However, this may not be an easy task in three dimensions. So consider finding the one-half the area of the parallelogram determined by the vector a from (1,1,3) to (4,-1,1) and the vector b from (1,1,3) to (0,1,8). Then a =<2-1,2-(-1),2-3>=<3,-2,-2> and b =<-1,0,5>. Using the result from the previous example and property number two above, we have the length of the cross product (and therefore the parallelogram determined by a and b ) as

So, the area of the traingle is one-half this quantity, or 8.26.

The cross product occurs in many formulas in physics. Some examples include the curl of a vector field (see also Stoke's Theorem), torque, and many integrals over surfaces.


Definícia. Let $<f u>=(u_1,u_2,u_3)$ and $<f v>=(v_1,v_2,v_3)$. Then the cross product $<f u> imes <f v>$ is defined by eginlabel<f u> imes<f v>=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)end The cross product can be also written as the determinant začaťlabel<f u> imes<f v>=egin <f i>& <f j>& <f k>u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3endkoniec One can calculate the determinant as shown in Figure 1. You multiply three entries along each indicated arrow. When you multiply three entries along each red arrow, you also multiply by −1. Toto sa nazýva Rule of Sarrus named after a French mathematician Pierre Frédéric Sarrus.

Unlike the dot product, the outcome of the dot product is a vector. Also unlike the dot product, the cross product is anticommutative i.e. $<f u> imes<f v>=-<f v> imes<f u>$ Furthermore, $<f u> imes<f v>$ is orthogonal to both $<f u>$ and $<f v>$. This can be seen by showing that $(<f u> imes<f v>)cdot<f u>=(<f u> imes<f v>)cdot<f v>=0$ The cross product tells us about the orientation of the plane containing two vectors $<f u>$ and $<f v>$ as shown in Figure 2.

Dôkaz. It would require some work with algebra but one can show that $|<f u> imes<f v>|^2=|<f u>|^2|<f v>|^2-(<f u>cdot<f v>)^2$ This, along with $<f u>cdot<f v>=|<f u>||<f v>|cos heta$, will lead to eqref.

From eqref, we can easily see that two nonzero vectors $<f u>$ and $<f v>$ are parallel if and only if $<f u> imes<f v>=0$.

The following theorem summarizes the properties of the cross product.

Veta. Let $<f u>$, $<f v>$, and $<f w>$ be vectors and $c$ a scalar. Potom

  1. $<f u> imes<f v>=-<f v> imes<f u>$
  2. $(c<f u>) imes<f v>=c(<f u> imes<f v>)=<f u> imes(c<f v>)$
  3. $<f u> imes(<f v>+<f w>)=<f u> imes<f v>+<f u> imes<f w>$
  4. $(<f u>+<f v>) imes<f w>=<f u> imes<f w>+<f v> imes<f w>$
  5. $<f u>cdot(<f v> imes<f w>)=(<f u> imes<f v>)cdot<f w>$
  6. $<f u> imes(<f v> imes<f w>)=(<f u>cdot<f w>)<f v>-(<f u>cdot<f v>)<f w>$

The products in 5 and 6 are called, respectively, a scalar triple product and a vector triple product.

From Figure 3, we see that eginlabel|<f u> imes<f v>|end is equal to the area of the parallelogram determined by $<f u>$ and $<f v>$.

Príklad. Find a vector perpendicular to the plane that passes through the points $P(1,4,6)$, $Q(-2,5,-1)$, and $R(1,-1,1)$.

Riešenie. The vectors $overrightarrow=(-3,1,-7)$ and $overrightarrow=(0,-5,-5)$ lie in the plane through $P,Q,R$. So the cross product $overrightarrow imesoverrightarrow=(-40,-15,15)$ is perpendicular to the plane.

Príklad. Find the area of the triangle with vertices $P(1,4,6)$, $Q(-2,5,-1)$, and $R(1,-1,1)$.

Riešenie. In the previous example, we found $overrightarrow imesoverrightarrow=(-40,-15,15)$ and by eqref we know that $|overrightarrow imesoverrightarrow|=sqrt<(-40)^2+(-15)^2+<15>^2>=5sqrt<82>$ is the area of the parallelogram determined by the two vectors $overrightarrow$ and $overrightarrow$. The area of the triangle with vertices $P$, $Q$, and $R$ is just the half of the area of the parallelogram i.e. $frac<5><2>sqrt<82>$.

From Figure 4, the volume of the parallelepiped determined by $<f u>$, $<f v>$, and $<f w>$ is $V=|<f v> imes<f w>||<f u>|cos heta=<f u>cdot(<f v> imes<f w>)$ In Figure 4, the vectors $<f u>$, $<f v>$, and $<f w>$ are positioned well enough so that the triple scalar product $<f u>cdot(<f v> imes<f w>)$ is positive but depending on how they are positioned, it could be negative. Since the volume always has to be positive, it is given by eginlabelV=|<f u>cdot(<f v> imes<f w>)|end

The scalar triple product $<f u>cdot(<f v> imes<f w>)$ can be written nicely by the determinant eginlabel<f u>cdot(<f v> imes<f w>)=eginu_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3w_1 & w_2 & w_3endkoniec The calculation of the determinant can be done by the rule of Sarrus shown in Firgure 1.

Riešenie. From Figure 4 above, one can easily see that the three vectors $<f u>$, $<f v>$ and $<f w>$ are coplanar (i.e. they are in the same plane) if and only if $ heta=frac<2>$ if and only if $<f u>cdot (<f v> imes<f w>)=0$. začať<f u>cdot (<f v> imes<f w>)&=egin1 & 4 & -72 & -1 & 4 & -9 & 18end&=0end Therefore, $<f u>$, $<f v>$ and $<f w>$ are coplanar.

The notion of the cross product can be used to describe physical effects involving rotations such as the circulation of electric/magnetic fields or fluids. Here we discuss the torque as a physical application of the cross product. Look at Figure 5.

Assume that a force $<f F>$ is acting on a rigid body at a point given by a position vector $<f r>$. The resulting turning effect $<f au>$, called the torque, can be measured by eginlabel<f au>=<f r> imes<f F>end

Príklad. A bolt is tightened by applying a 40 N force to a 0.25 m wrench as shown in Figure 6. Find the magnitude of the torque about the center of the bolt.

Riešenie. The magnitude of the torque is egin|<f au>|&=|<f r> imes<f F>|=|<f r>||<f F>|sin 75^circ=(0.25)(40)sin 75^circ&=10sin 75^circapprox 9.66 mathrmkoniec

Examples in this note have been taken from [1].

[1] Calculus, Early Transcendentals, James Stewart, 6th Edition, Thompson Brooks/Cole

Leave a Reply Cancel reply

Support MathPhys Archive

If you like what you read here and think it is helpful for you, please kindly consider a donation to support maintaining this site and its server, and to support improving the quality of its blog content.


12.4: The Cross Product - Mathematics

You are about to erase your work on this activity. Are you sure you want to do this?

Updated Version Available

There is an updated version of this activity. If you update to the most recent version of this activity, then your current progress on this activity will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?

Mathematical Expression Editor

The cross product is a special way to multiply two vectors in three-dimensional space.

The cross product is linked inextricably to the determinant, so we will first introduce the determinant before introducing this new operation.

Determinants

Typically, when one computes the determinant of a matrix, we think of the terms as follows.

Cross products

Determinants in have many uses. In , one of the uses is the definition of the cross product.

is efficient, because you immediately have the components of the desired vector without additional simplification.

Notice that the cross product is not commutative! In fact, it is anticommutative, meaning the statement below.

Let’s examine the cross product on famous unit vectors.

One way to remember the cross products of the unit vectors , , and is to use the diagram below.

Since we see that the cross product of two basic unit vectors produces a vector orthogonal to oboje unit vectors, we are led to our next theorem (which could be verified through brute force computations).

In three-dimensional space, when seeking a vector perpendicular to both and , we could choose one of two directions: the direction of , or the direction of . The direction of the cross product is given by the right-hand rule. Given and in with the same initial point, point the index finger of your right hand in the direction of and let your middle finger point in the direction of (much as we did when establishing the right-hand rule for the 3-dimensional coordinate system). Your thumb will naturally extend in the direction of . If you switch your fingers, pointing the index finder in the direction of and the middle finger in the direction of , your thumb will now point in the opposite direction, allowing you to “visualize” the anticommutative property of the cross product.

The geometry of the cross product

Just as we related the angle between two vectors and their dot product, there is a similar relationship relating the cross product of two vectors to the angle between them. Before we get started, we need an identity.

The theorems above help us make a strong connection between the cross product and geometry.

Note that if and are in , we can stále use the cross product to compute the area of the parallelogram spanned by and . We just add a -component of to each vector.

Aplikácie

In addition to the geometric applications we have already seen, we can also use the cross product in some physical applications.

Torque

Imagine turning a wrench. The wrench originates at a point and terminates at a point . Let . You apply a force to the end of the wrench. If points in the same direction as , the bolt will not twist at all, since you will just be pulling on the handle. If is perpendicular to the handle, then we expect quite a bit of twisting to occur.

Magnetism

When a charged particle moves through a magnetic field, it experiences a force. If the charge is , the velocity of the particle is , and the magnetic field is , then the force is given by

The algebra of the cross product

Below, we summarize some rules for working with cross products.

Moreover, these properties determine the cross product uniquely.

We will not prove that the cross product is the only function with these properties, but that is an important point. If you ever wondered where this crazy formula came from, the uniqueness of the cross product is your explanation. If you want these properties, there is only one operation which gives them to you, and it is the cross product. We leave you with the following curious fact. The cross product only exists in and . While a proof of this fact is beyond the scope of this course, we hope that this mystery encourages you to travel deeper into your studies.


2.4 The Cross Product

Imagine a mechanic turning a wrench to tighten a bolt. The mechanic applies a force at the end of the wrench. This creates rotation, or torque, which tightens the bolt. We can use vectors to represent the force applied by the mechanic, and the distance (radius) from the bolt to the end of the wrench. Then, we can represent torque by a vector oriented along the axis of rotation. Note that the torque vector is orthogonal to both the force vector and the radius vector.

In this section, we develop an operation called the cross product, which allows us to find a vector orthogonal to two given vectors. Calculating torque is an important application of cross products, and we examine torque in more detail later in the section.

The Cross Product and Its Properties

The dot product is a multiplication of two vectors that results in a scalar. In this section, we introduce a product of two vectors that generates a third vector orthogonal to the first two. Consider how we might find such a vector. Let u = 〈 u 1 , u 2 , u 3 〉 u = 〈 u 1 , u 2 , u 3 〉 and v = 〈 v 1 , v 2 , v 3 〉 v = 〈 v 1 , v 2 , v 3 〉 be nonzero vectors. We want to find a vector w = 〈 w 1 , w 2 , w 3 〉 w = 〈 w 1 , w 2 , w 3 〉 orthogonal to both u u and v v —that is, we want to find w w such that u · w = 0 u · w = 0 and v · w = 0 . v · w = 0 . Therefore, w 1 , w 1 , w 2 , w 2 , and w 3 w 3 must satisfy

we get a possible solution vector. Substituting these values back into the original equations gives


Properties of the Cross Product

The fact that (keginvec imes veckoniec = egin kveckoniec imes vec = vec imes egin kveckoniec) can often be used to make calculation easier.

Príklad

For example, say we're given (vec = 20vec + 60 vec + 40 vec) and (vec = vec + 5vec - 4vec) and that we have to find (vec imes vec). Then we can use this property to make our calculations a little simpler (and therefore faster) by noticing that (vec = 20 egin vec + 3 vec + 2 vec koniec) and using this property to write: [egin vec & vec & vec 20 & 60 & 40 1 & 5 & -4 end = 20 egin vec & vec & vec 1 & 3 & 2 1 & 5 & -4 end]

Príklad

Another example could be, to calculate (vec imes vec), where (vec = 5 vec - 20 vec + 10 vec) and (vec = 9 vec +6 vec -3 vec). Noticing that (vec = 5egin1vec - 4vec + 2 vec koniec) a ( vec = 3 začať 3 vec + 2 vec - veckoniec) môžeme napísať: [ begin vec & vec & vec 5 & -20 & 10 9 & 6 & -3 end = 5 krát 3 začať vec & vec & vec 1 & -4 & 2 3 & 2 & -1 end = 15 začať vec & vec & vec 1 & -4 & 2 3 & 2 & -1 end]


GEOMETRIA VEKTOROVÉHO KALKULU

Krížový produkt je v zásade smerovanou oblasťou. The rozsah krížového produktu je definovaná ako plocha rovnobežníka, ktorého bočné strany sú dvoma vektormi v krížovom produkte.

Na obrázku vyššie je výška rovnobežníka (| ww | sin theta text <,> ), takže jeho plocha je

čo je teda veľkosť krížového produktu.

Okamžitým dôsledkom rovnice (3.15.1) je, že ak sú dva vektory rovnobežné, ich krížový produkt je nula,

The smer krížového súčinu je dané pravidlom pravej ruky: Prsty svojej pravej ruky nasmerujte pozdĺž prvého vektora ( ( vv )) a ohnite prsty smerom k druhému vektoru ( ( ww )). Možno to bude potrebné otočiť rukou. Teraz vystrčte palec, ktorý je v smere ( vv times ww text <.> ). V príklade uvedenom vyššie ukazuje ( vv times ww ) mimo stránku. Pravidlo pravej ruky to naznačuje

ako by ste si mali sami overiť vhodným umiestnením ruky. Krížový produkt teda nie je komutatívny. 1 Ďalšou dôležitou vlastnosťou krížového súčinu je, že krížový súčin vektora so sebou samým je nula,

ktorá vyplýva z ktorejkoľvek z predchádzajúcich troch rovníc.

Pokiaľ ide o štandardný ortonormálny základ, geometrický vzorec sa rýchlo vráti

Túto cyklickú povahu krížového produktu možno zdôrazniť skrátením tejto tabuľky znásobenia, ako je to znázornené na obrázku nižšie. 2

Výrobky v smere šípky dostanú znamienko plus výrobky proti šípke znamienko mínus.

Použitím ortonormálneho základu, ako je ( < xhat, yhat, zhat > text <,> ), sa geometrický vzorec redukuje na štandardnú zložkovú formu krížového produktu. 3 Ak ( vv = v_x , ​​ xhat + v_y , yhat + v_z , zhat ) a ( ww = w_x , ​​ xhat + w_y , yhat + w_z , zhat text <,> ) potom

ktorá sa často píše ako symbolický determinant

Odporúčame vám používať (3.15.6) namiesto jednoduchého memorovania (3.15.5). Odporúčame vám tiež vypočítať determinant, ako je popísané nižšie. Namiesto použitia neplnoletých osôb to vedie k minimalizácii chýb znamienka. Determinant (3 times3 ) je možné vypočítať vo forme

kde jeden násobí výrazy pozdĺž každej diagonálnej čiary, odčítaním produktov získaných pozdĺž línií smerujúcich doľava od tých, ktoré vedú pozdĺž línií smerujúcich doprava. Aj keď táto metóda funguje iba pre ( (2 times2 ) a) (3 times3 ) determinanty, zdôrazňuje cyklickú povahu krížového produktu.

Ďalšou dôležitou zručnosťou je vedieť, kedy nie vôbec použiť determinant. Pre jednoduché krížové produkty, ako napríklad (( xhat + 3 , yhat) times zhat text <,> ), je jednoduchšie priamo použiť multiplikačnú tabuľku.

Je tiež potrebné zdôrazniť, že multiplikačná tabuľka a determinantná metóda sa prirodzene zovšeobecňujú na akýkoľvek (pre pravákov) ortonormálny základ Všetko, čo je potrebné, je nahradiť obdĺžnikový základ ( < xhat, yhat, zhat > ) tým, ktorý sa používa (v správnom poradí!). Napríklad vo valcových súradniciach nielenže je

(a cyklické permutácie), ale krížové produkty možno vypočítať ako

kde samozrejme ( vv = v_r , rhat + v_ phi , phat + v_z , zhat ) a podobne pre ( ww text <.> )

Dobrým problémom zdôrazňujúcim geometriu krížového produktu je nájsť oblasť trojuholníka vytvoreného spojením hrotov vektorov ( xhat text <,> ) ( yhat text <,> ) ( zhat ) (ktorého základ je v počiatku).


Pozri si video: Matematika 18. - Geometrická tělesa (December 2021).