Články

11.1: Sekvencie - matematika


Aj keď je myšlienka postupnosti čísel (a_1, a_2, a_3, ldots ) ​​jasná, je užitočné uvažovať o postupnosti ako o funkcii. Sekvencie sú písané niekoľkými rôznymi spôsobmi, všetky sú ekvivalentné; všetky znamenajú to isté:

[ displaylines {a_1, a_2, a_3, ldots cr left {a_n right } _ {n = 1} ^ { infty} cr left {f (n) right } _ {n = 1} ^ { infty} cr} ]

Rovnako ako pri funkciách na reálnych číslach, aj tu sa najčastejšie stretneme so sekvenciami, ktoré je možné vyjadriť vzorcom. Postupnosť (a_i = f (i) = 1-1 / 2 ^ i ) sme už videli a ďalšie sa dajú ľahko nájsť:

[ eqalign {f (i) & = {i over i + 1} cr f (n) & = {1 over2 ^ n} cr f (n) & = sin (n pi / 6 ) cr f (i) & = {(i-1) (i + 2) over2 ^ i}. cr} ]

Tieto vzorce budú mať často zmysel, ak sa budú považovať za funkcie s doménou ( mathcal {R} ) alebo ( mathcal {N} ), aj keď niekedy bude mať zmysel iba celočíselné hodnoty.

Tvárou v tvár sledu nás zaujíma limit ( lim_ {i to infty} f (i) = lim_ {i to infty} a_i. ) Už rozumieme ( lim_ {x to infty} f (x) ) keď (x ) je premenná so skutočnou hodnotou; teraz jednoducho chceme obmedziť hodnoty „vstupu“ na celé čísla. V definícii limitu sa nevyžaduje žiadny skutočný rozdiel, okrem toho, že implicitne špecifikujeme, že premenná je celé číslo. Porovnajte túto definíciu s definíciou 4.10.2.

Definícia 11.1.1: Konvergenčné a divergenčné sekvencie

Predpokladajme, že ( left {a_n right } _ {n = 1} ^ { infty} ) je postupnosť. Hovoríme, že ( lim_ {n to infty} a_n = L ), ak pre každého ( epsilon> 0 ) existuje (N> 0 ), takže kedykoľvek (n> N ) , (| a_n-L | < epsilon ). Ak ( lim_ {n to infty} a_n = L ) hovoríme, že postupnosť konverguje, inak to rozchádza sa.

Ak (f (i) ) definuje postupnosť a (f (x) ) má zmysel a ( displaystyle lim_ {x až infty} f (x) = L ), potom je zrejmé, že ( lim_ {i to infty} f (i) = L ), ale je potrebné poznamenať, že opak tohto tvrdenia nie je pravdivý. Napríklad od ( lim_ {x to infty} (1 / x) = 0 ) je zrejmé, že aj ( lim_ {i to infty} (1 / i) = 0 ) , teda čísla

[{1 over1}, {1 over2}, {1 over3}, {1 over4}, {1 over5}, {1 over6}, ldots ]

priblížte sa a priblížte k 0. Zvážte však toto: Nech (f (n) = sin (n pi) ).

Toto je postupnosť

[ sin (0 pi), sin (1 pi), sin (2 pi), sin (3 pi), ldots = 0,0,0,0, ldots ]

odkedy

[ sin (n pi) = 0 ]

keď (n ) je celé číslo. Teda ( lim_ {n to infty} f (n) = 0 ). Ale ( lim_ {x to infty} f (x) ), keď (x ) je skutočné, neexistuje: keď sa (x ) zväčšuje a zväčšuje, hodnoty ( sin ( x pi) ) nedostanete sa bližšie a bližšie k jednej hodnote, ale znova a znova preberajte všetky hodnoty medzi (- 1 ) a (1 ). Všeobecne platí, že kedykoľvek chcete vedieť ( lim_ {n to infty} f (n) ), mali by ste sa najskôr pokúsiť vypočítať ( lim_ {x to infty} f (x) ), pretože ak existuje druhá, rovná sa tiež prvej hranici. Pokiaľ ale z nejakého dôvodu ( lim_ {x to infty} f (x) ) neexistuje, stále môže platiť, že ( lim_ {n to infty} f (n) ) existuje , ale budete musieť prísť na iný spôsob, ako to vypočítať.

Príležitostne je užitočné uvažovať o grafe postupnosti. Pretože je funkcia definovaná iba pre celočíselné hodnoty, graf je iba postupnosťou bodiek. Na obrázku 11.1.1 vidíme grafy dvoch sekvencií a grafy zodpovedajúcich reálnych funkcií.

Obrázok 11.1.1. Grafy sekvencií a im zodpovedajúce reálne funkcie.

Nie je prekvapením, že vlastnosti limitov skutočných funkcií sa celkom ľahko premenia na vlastnosti sekvencií. Veta 2.3.6 o limitoch sa stáva

Definícia 11.1.2

Predpokladajme, že ( lim_ {n to infty} a_n = L ) a ( lim_ {n to infty} b_n = M ) a (k ) je nejaká konštanta. Potom

[ eqalign {& lim_ {n to infty} ka_n = k lim_ {n to infty} a_n = kL cr & lim_ {n to infty} (a_n + b_n) = lim_ {n to infty} a_n + lim_ {n to infty} b_n = L + M cr & lim_ {n to infty} (a_n-b_n) = lim_ {n to infty} a_n - lim_ {n to infty} b_n = LM cr & lim_ {n to infty} (a_nb_n) = lim_ {n to infty} a_n cdot lim_ {n to infty} b_n = LM cr & lim_ {n to infty} {a_n over b_n} = { lim_ {n to infty} a_n over lim_ {n to infty} b_n} = {L cez M}, hbox {ak (M ) nie je 0}. cr} ]

Rovnako tak Veta o stlačení (4.3.1) sa stáva

Veta 11.1.3

Predpokladajme, že

[a_n le b_n le c_n ]

pre všetkých (n> N ), pre niektorých (N ). Ak

[ lim_ {n to infty} a_n = lim_ {n to infty} c_n = L, ]

potom

[ lim_ {n to infty} b_n = L. ]

A posledný užitočný fakt:

Veta 11.1.4

[ lim_ {n to infty} | a_n | = 0 ]

keby a len keby

[ lim_ {n to infty} a_n = 0. ]

Táto veta hovorí jednoducho o tom, že veľkosť (a_n ) sa blíži k nule, len ak sa (a_n ) blíži k nule.

Príklad 11.1.5

Určte, či ( left {{n over n + 1} right } _ {n = 0} ^ { infty} ) konverguje alebo sa líši. Ak konverguje, vypočítajte limit.

Riešenie

Pretože to má zmysel pre reálne čísla, uvažujeme

[ lim_ {x to infty} {x over x + 1} = lim_ {x to infty} 1- {1 over x + 1} = 1-0 = 1. ]

Postupnosť teda konverguje k 1.

Príklad 11.1.6

Určte, či ( bigg {{ ln n over n} bigg } _ {n = 1} ^ { infty} ) konverguje alebo sa rozchádza. Ak konverguje, vypočítajte limit.

Riešenie

Vypočítame ( lim_ {x to infty} { ln x over x} = lim_ {x to infty} {1 / x over 1} = 0, ) pomocou pravidla L'Hôpital. Postupnosť teda konverguje k 0.

Príklad 11.1.7

Určte, či ( {(- 1) ^ n } _ {n = 0} ^ { infty} ) konverguje alebo sa rozchádza. Ak konverguje, vypočítajte limit.

Riešenie

To nemá zmysel pre všetkých skutočných exponentov, ale postupnosť je ľahko pochopiteľná: je to (1, -1,1, -1,1 ldots ) ​​a jasne sa líši.

Príklad 11.1.8

Určte, či ( {(- 1/2) ^ n } _ {n = 0} ^ { infty} ) konverguje alebo sa rozchádza. Ak konverguje, vypočítajte limit.

Riešenie

Zvažujeme postupnosť

[ {| (-1/2) ^ n | } _ {n = 0} ^ { infty} = {(1/2) ^ n } _ {n = 0} ^ { infty} . ]

Potom

[ lim_ {x to infty} vľavo ({1 over2} vpravo) ^ x = lim_ {x to infty} {1 over2 ^ x} = 0, ]

teda podľa vety 11.1.4 postupnosť konverguje k 0.

Príklad 11.1.9

Určte, či ( {( sin n) / sqrt {n} } _ {n = 1} ^ { infty} ) konverguje alebo sa líši. Ak konverguje, vypočítajte limit.

Riešenie

Keďže (| sin n | le 1 ), (0 le | sin n / sqrt {n} | le 1 / sqrt {n} ) a môžeme použiť vetu 11.1.3 s (a_n = 0 ) a (c_n = 1 / sqrt {n} ). Pretože ( lim_ {n to infty} a_n = lim_ {n to infty} c_n = 0 ), ( lim_ {n to infty} sin n / sqrt {n} = 0 ) a postupnosť konverguje k 0.

Príklad 11.1.10

Obzvlášť bežná a užitočná postupnosť je ( {r ^ n } _ {n = 0} ^ { infty} ) pre rôzne hodnoty (r ). Niektorým je celkom ľahké porozumieť: Ak (r = 1 ) postupnosť konverguje k 1, pretože každý člen je 1, a podobne ak (r = 0 ), postupnosť konverguje k 0. Ak (r = -1 ) toto je postupnosť príkladu 11.1.7 a rozchádzajú sa. Ak (r> 1 ) alebo (r <-1 ) sa výrazy (r ^ n ) zväčšia bez obmedzenia, sekvencia sa rozchádza. Ak (0

Niekedy nebudeme schopní určiť hranicu postupnosti, ale stále by nás zaujímalo, či konverguje. V niektorých prípadoch to môžeme určiť aj bez toho, aby sme boli schopní vypočítať limit.

Sekvencia sa volá pribúdajúce alebo niekedy prísne pribúda if (a_i neklesajúci alebo niekedy (bohužiaľ) pribúdajúce if (a_i le a_ {i + 1} ) pre všetky (i ). Podobne je postupnosť klesajúci ak (a_i> a_ {i + 1} ) pre všetky (i ) a nerastúci if (a_i ge a_ {i + 1} ) pre všetky (i ). Ak má sekvencia niektorú z týchto vlastností, volá sa monotónny.

Príklad 11.1.11

Postupnosť

[ left { dfrac {2 ^ i-1} {2 ^ i} right } _ {i = 1} ^ { infty} = dfrac {1} {2}, dfrac {3} {4}, dfrac {7} {8}, dfrac {15} {16}, bodky ]

zvyšuje sa,

a

[ left {{n + 1 over n} right } _ {i = 1} ^ { infty} = {2 over1}, {3 over2}, {4 over3}, {5 over4}, ldots ]

klesá.

Sekvencia je ohraničený vyššie ak existuje nejaké číslo (N ) také, že (a_n le N ) pre každé (n ), a ohraničené nižšie ak existuje nejaké číslo (N ) také, že (a_n ge N ) pre každé (n ). Ak je sekvencia ohraničená vyššie a je ohraničená nižšie ohraničený. Ak sekvencia ( {a_n } _ {n = 0} ^ { infty} ) rastie alebo neklesá, je ohraničená nižšie (znakom (a_0 )) a ak je klesajúca alebo zvyšovanie je ohraničené vyššie (znakom (a_0 )). Nakoniec môžeme so všetkou touto novou terminológiou vysloviť dôležitú vetu.

Veta 11.1.12

Ak je sekvencia ohraničená a monotónna, potom konverguje.

Nebudeme to dokazovať; dôkaz sa objavuje v mnohých knihách o počte. Nie je ťažké tomu uveriť: predpokladajme, že postupnosť rastie a je ohraničená, takže každý člen je väčší ako ten predtým, ale nikdy nie väčší ako nejaká pevná hodnota (N ). Výrazy sa potom musia čoraz viac približovať k hodnote medzi (a_0 ) a (N ). Nemusí to byť (N ), pretože (N ) môže byť „príliš veľkorysá“ horná hranica; limit bude najmenšie číslo, ktoré je nad všetkými výrazmi (a_i ).

Príklad 11.1.13

Všetky výrazy ((2 ^ i-1) / 2 ^ i ) sú menšie ako 2 a postupnosť sa zvyšuje. Ako sme videli, limit postupnosti je 1 --- 1 je najmenšie číslo, ktoré je väčšie ako všetky výrazy v postupnosti. Podobne sú všetky výrazy ((n + 1) / n ) väčšie ako (1/2 ) a limit je 1 --- 1 je najväčšie číslo, ktoré je menšie ako členy sekvencie .

Na uplatnenie tejto vety vlastne nepotrebujeme vedieť, že postupnosť je monotónna - stačí vedieť, že postupnosť je „nakoniec“ monotónna, to znamená, že sa v určitom okamihu zvyšuje alebo zmenšuje. Napríklad postupnosť (10 ​​), (9 ), (8 ), (15 ), (3 ), (21 ), (4 ), (3/4 ), (7/8 ), (15/16 ), (31/32, ldots ) ​​sa nezvyšuje, pretože medzi prvými niekoľkými výrazmi nie je. Ale počnúc výrazom (3 / 4 ) sa zvyšuje, takže veta nám hovorí, že postupnosť (3/4, 7/8, 15/16, 31/32, ldots ) ​​konverguje. Pretože konvergencia závisí iba od toho, čo sa stane ( n ) sa zväčší, pridanie niekoľkých výrazov na začiatku nemôže zmeniť konvergentnú sekvenciu na divergentnú.

Príklad 11.1.14

Ukážte, že ( {n ^ {1 / n} } ) konverguje.

Riešenie

Najprv ukážeme, že táto sekvencia klesá, to znamená (n ^ {1 / n}> (n + 1) ^ {1 / (n + 1)} ). Zvážte skutočnú funkciu (f (x) = x ^ {1 / x} ), keď (x ge1 ). Môžeme vypočítať deriváciu (f '(x) = x ^ {1 / x} (1- ln x) / x ^ 2 ) a všimnite si, že keď (x ge 3 ) je to záporné . Pretože má funkcia záporný sklon, (n ^ {1 / n}> (n + 1) ^ {1 / (n + 1)} ) keď (n ge 3 ). Pretože všetky členy sekvencie sú kladné, sekvencia sa znižuje a je ohraničená, keď (n ge3 ), a tak sekvencia konverguje. (Ako sa stane, v tomto prípade môžeme vypočítať limit, ale vieme, že konverguje aj bez znalosti limitu; pozri cvičenie 1.)

Príklad 11.1.15

Ukážte, že ( {n! / N ^ n } ) konverguje.

Riešenie

Opäť ukážeme, že sekvencia klesá a keďže každý člen je pozitívny, sekvencia konverguje. Deriváciu tentokrát nemôžeme vziať, pretože (x! ) Nemá zmysel pre (x ) real. Ale všimneme si, že ak (a_ {n + 1} / a_n <1 ) potom (a_ {n + 1}

[a_ {n + 1} / a_n: {a_ {n + 1} over a_n} = {(n + 1)! over (n + 1) ^ {n + 1}} {n ^ n over n!} = {(n + 1)! nad n!} {n ^ n nad (n + 1) ^ {n + 1}} = {n + 1 nad n + 1} vľavo ({n over n + 1} right) ^ n = left ({n over n + 1} right) ^ n <1. ]

(Opäť je možné vypočítať limit, pozri cvičenie 2.)


11.1: Sekvencie - matematika

Ak sa vám páči toto Stránky o riešení matematických problémov, dajte vedieť spoločnosti Google kliknutím na ikonu +1 tlačidlo. Ak sa vám páči toto Strana, prosím kliknite na to +1 tlačidlo tiež.

Poznámka: Ak je tlačidlo +1 tmavo modré, už ste tomu dali +1. Ďakujem za tvoju podporu!

(Ak nie ste prihlásení do svojho účtu Google (napr. GMail, Docs), po kliknutí na sa otvorí prihlasovacie okno. +1 . Prihlásenie zaregistruje váš „hlas“ pomocou Google. Ďakujem!)

Poznámka: Nie všetky prehliadače zobrazujú +1 tlačidlo.

Domovská stránka

Mapa stránok

Hľadať na tomto webe

Matematická pomoc zadarmo

Matematické symboly (všetky)

Prevádzkové symboly

Symboly vzťahu

  • Úmerný k
  • Pomer
  • Znamienko rovnosti
  • Nerovná sa
  • Nerovná sa
  • Väčší než
  • Menej ako
  • Oveľa väčšie ako
  • Oveľa menej ako
  • Väčší ako alebo rovný
  • Menej ako alebo rovnaké
  • Približne rovnako
  • Podobný
  • Zhodné

Zoskupovacie symboly

Nastavte symboly notácie

  • Nastaviť traky
  • Nulová sada
  • Prvok množiny
  • NIE prvok sady
  • „Správna“ podmnožina (vľavo) - 1. formát
  • NIE správna podmnožina (vľavo)
  • Podmnožina „Správne“ alebo „Nesprávne“ (vľavo)
  • „Správna“ podmnožina (vľavo) - 2. formát
  • „Správna“ podmnožina (vpravo) - 1. formát
  • Podskupina „správne“ alebo „nesprávne“ (vpravo)
  • „Správna“ podmnožina (vpravo) - 2. formát
  • ÚNIA dvoch sád
  • PRIESTOK dvoch sád
  • Špecializovaná množinová notácia

Rôzne symboly

Kalkulačky

Matematika a čísla

  • Prehľad skutočných čísel
  • Porovnanie dvoch celých čísel na číselnej čiare
  • Porovnanie dvoch desatinných miest na číselnej čiare
  • Porovnanie dvoch zlomkov na číselnej čiare
  • Porovnanie dvoch zlomkov bez použitia číselnej rady
  • Porovnanie dvoch čísel pomocou percent
  • Porovnanie dvoch rôznych meracích jednotiek
  • Porovnávanie čísel, ktoré majú hranicu chyby
  • Porovnávanie čísel, ktoré majú chyby zaokrúhľovania
  • Porovnávanie čísel z rôznych časových období
  • Porovnanie čísel vypočítaných pomocou rôznych metodík

Vlastnosti čísel

  • Asociačné vlastníctvo
  • Komutatívne vlastníctvo
  • Distribučný majetok
  • Vlastnosť identity
  • Inverzné vlastníctvo
  • Vlastnosť uzavretia a hustoty
  • Vzťahy rovnocennosti
  • Vlastnosti ekvivalencie
  • Príklady rovnocennosti
  • Trichotómia Vlastnosť nerovnosti
  • Prechodné vlastníctvo nerovnosti
  • Zrušenie majetku nerovnosti
  • Doplnková vlastnosť nerovnosti
  • Multiplikatívna vlastnosť nerovnosti
  • Exponenti a korene Vlastnosti nerovnosti

Exponenti, radikáli a korene

  • Zvyšovanie čísel na mocnosť
  • Násobenie čísel s exponentmi
  • Rozdelenie čísel s exponentmi
  • Distribučný majetok Exponentov
  • Negatívni exponenti
  • Nulový exponent
  • Exponent Videá a bezplatné zdroje
  • Sčítanie a odčítanie radikálov
  • Násobenie radikálov
  • Rozdelenie radikálov
  • Racionalizovať Menovateľa
  • Frakčné exponenty a radikály
  • Zjednodušenie radikálov
  • Vypočítajte druhú odmocninu bez použitia kalkulačky
  • Vypočítajte korene pomocou rovníc
  • Radikálne videá a bezplatné zdroje

Zásady ochrany osobných údajov

& # 160Príklady problémov & # 160- & # 160Geometrické & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Poradie

& # 160Príklady problémov & # 160- & # 160Aritmetika & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160Sekvencia

& # 160Príklady problémov & # 160- & # 160 Racionalizácia & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160Jmenovateľ

& # 160Príklady problémov & # 160- & # 160Quadratic & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160Rovnice

& # 160Príklady problémov & # 160- & # 160Pracovná sadzba & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160Problémy

& # 160Príklady problémov & # 160- & # 160 štatistika & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160

+1 Riešenie matematických problémov

Ak sa vám páči toto Stránky o riešení matematických problémov, dajte vedieť spoločnosti Google kliknutím na ikonu +1 tlačidlo. Ak sa vám páči toto Strana, prosím kliknite na to +1 tlačidlo tiež.

Poznámka: Ak je tlačidlo +1 tmavo modré, už ste tomu dali +1. Ďakujem za tvoju podporu!

(Ak nie ste prihlásení do svojho účtu Google (napr. GMail, Docs), po kliknutí na sa otvorí prihlasovacie okno. +1 . Prihlásenie zaregistruje váš „hlas“ pomocou Google. Ďakujem!)

Poznámka: Nie všetky prehliadače zobrazujú +1 tlačidlo.


Fibonacciho fraktály

V tejto kapitole sa dozvieme o aritmetickom fraktáli Fibonacciho sekvencie a uvidíme, ako sa prejaví v mnohých systémoch. Nájdeme Fibonacciho čísla v prírodných procesoch, ako sú rodokmene a skutočné stromy, uvidíme Fibonacciho čísla v obdobiach žiaroviek fraktálu Mandelbrotovej sady a uvidíme, ako súvisí Fibonacciho postup so Zlatým pomerom, a ako vytvára dokonalé špirály.

Fibonacciho sekvencia

Ešte predtým, ako Leonardo da Vinci skúmal fraktálnu povahu riek, stromov a krvných ciev, ďalší Leonardo - menom Leonardo z Pisy - skúmal fraktálne vzory aritmeticky. V roku 1202 vydal knihu pod pseudonymom „Fibonacci“. Táto kniha bola významná v dejinách matematiky, pretože zaviedla do Európy použitie arabských číslic, ktoré by nahradili rímske číslice. Ako jeden z príkladov vo svojej knihe opísal postupnosť čísel, ktoré by sa začali volať Fibonacciho čísla. (Aj keď sa číselná postupnosť používala aj v sanskrtskej poézii už v roku 450 pred n. L.).

Fibonacciho postupnosť je veľmi jednoduchá. Začnite s číslami 1 a 1a spojiť ich. Odpoveď samozrejme je 2. Ak chcete vytvoriť ďalšie číslo v poradí, stačí pridať aktuálne číslo (2) na pred ním (1), vyúsťujúce do 3. Ďalšie číslo v poradí je 3 + 2 = 5. Ďalšie číslo je 5 + 3 = 8. Tento jednoduchý proces môžete stále opakovať navždy. Fibonacciho čísel je nekonečne veľa a rýchlo sa zväčšujú.

Čísla môžeme označiť nasledovne:
F 0 = 0
F 1 = 1
F 2 = 1
F 3 = 2
F 4 = 3
F 5 = 5
F 6 = 8
F 7 = 13
F 8 = 21
F 9 = 34
F 10 = 55
F 11 = 89
F 12 = 144
atd kde F n je Fibonacciho číslo pre danú iteráciu n.

Fibonacciho králiky

  • Na chov treba pár králikov
  • Králiky musia dozrieť dva mesiace predtým, ako sa môžu množiť. Potom sa množia raz mesačne
  • Pár králikov vytvorí vrh jedného samca a jednej samice králika (zjavne zjednodušený)

Počnúc vrcholom, prvou generáciou (alebo iteráciou) tu je jeden pár novonarodených králikov, ale na chov je príliš mladý. Pri druhej generácii stále existuje iba jedna jeden pár. V tretej generácii môžu králiky chovať a vytvárajú nový pár, takže ich už je teraz dva páry králikov. Vo štvrtej generácii prvý pár produkuje ďalší pár, zatiaľ čo druhý pár je ešte príliš mladý na to, aby sa mohol množiť, takže ich je teraz tri páry. Do piatej generácie prvý pár produkuje ďalší pár a druhý pár je už dosť starý na to, aby produkoval aj ďalší pár. Teraz existujú päť páry.

Proces pokračuje takto a rodokmeň rastie s tým, že celkový počet králikov v danej generácii je číslo vo Fibonacciho sekvencii. Počet králičích párov v danej generácii je súčtom počtu králičích párov v predchádzajúcich dvoch generáciách.

Všimnite si fraktálnu štruktúru rodokmeňa. Napríklad od generácie 3 sa ľavá vetva podobá na celý rodokmeň a od generácie 4 sa pravá vetva podobá na celý strom. V celom rodokmeni existuje oveľa viac úrovní podobnosti so sebou.

Otázky:
Koľko párov králikov je v 8. generácii? []

Koľko párov nezrelý zajace su tam 8. generacie? []

Koľko párov chov zajace su tam 8. generacie? []

Pravda alebo lož: V každej generácii je vždy viac nezrelých králikov ako dospelých králikov. []

Koľko párov králikov by bolo v 14. generácii? []

Fibonacciho pobočky

Rodokmene sú iba metaforické stromy, sú však veľmi užitočné na sledovanie vzťahov. Teraz sa pozrime na doslovnejší príklad stromu. Keď sme v prvej kapitole skúmali vetvenie stromov, urobili sme zjednodušenie a predstierali sme, že strom sa symetricky rozvetvuje z kmeňa na 2 vetvy a potom z 2 na 4 vetvy a potom na 8, 16, 32 atď. spravidla sa však riadia takým jednoduchým vzorom.

Realistickejšia mapa rozvetvenia stromu (alebo rôznych iných rastlín) je zobrazená na obrázku nižšie. V takom prípade strom rastie zdola nahor a platí tu pravidlo, že konár v každej iterácii vyrastie o jednu jednotku dlho. Ak je vetva dlhá dve jednotky, je dostatočne silná na to, aby podporovala a uzol, kde sa odštepuje nová vetva. Vetvy sa striedajú vľavo a vpravo a veľmi rýchlo sa objaví rozpoznateľný rastlinný vzor.

Pravidlá, ktoré generujú tento fraktál, sú skutočne totožné s pravidlami pre rodokmeň králikov vyššie, pretože trvá dve iterácie, aby vetva v rodokmeni králikov rozdvojiť, A tiež trvá dve vetvy stromu, ktoré sú dostatočne silné na to, aby sa rozvetvili. Objavuje sa rovnaký druh podobného vzoru, pretože v každom kroku sa môžete na nový králičí pár alebo vetvu pozerať ako na začiatok úplne novej sekvencie. Malý konár na strome je možné odrezať a zasadiť a vytvorí z neho úplne nový strom. Zajačie vnúča sa môže zmeniť na prarodiča mnohých králikov. Akákoľvek jednotka v akejkoľvek iterácii je iba zmenšenou verziou ktorejkoľvek inej jednotky v systéme.


Otázky:
Koľko pobočiek je v 6. generácii? []

Všimnite si, ako dobre zapadajú rôzne vetvy do stromu a vyplňujú priestor, ale neprekrývajú sa. Jednou z výhod Fibonacciho sekvencie je, že umožňuje veľmi efektívne vyplniť priestor. Pravidlo, ktoré vytvára tento vzor, ​​umožňuje vetvám striedať sa zo strany na stranu. Porovnajte tento realistickejší vzor so zjednodušenou predstavou stromu, ktorý sa jednoducho vetví, a potom sa všetky vetvy znova vetvia súčasne.


Odpovedzte na túto otázku

Matematika prosím pomôžte ak môžete

1. Explicitný vzorec an = 2-5 (n-1) predstavuje aritmetickú postupnosť. Napíšte rekurzívny vzorec pre postupnosť.

Algebra

Mohol by niekto skontrolovať moju prácu 1. Generujte prvých päť výrazov v poradí pomocou explicitného vzorca. yn = –5n - 5 –30, –25, –20, –15, –10 30, 25, 20, 15, 10 –10, –15, –20, –25, –30 (moja odpoveď) 10, 15 ,

-3, 12, -48,. Napíšte explicitné a rekurzívne vzorce pre geometrickú postupnosť. Pomocou svojho explicitného vzorca vypočítajte šiesty výraz v poradí.

Môže mi niekto pomôcť ?!

1., 5. a 13. člen aritmetickej postupnosti sú prvé tri členy geometrickej postupnosti so spoločným pomerom 2. Ak je 21. člen aritmetickej postupnosti 72, vypočítajte súčet prvých 10 členov aritmetickej postupnosti

Matematika PROSÍM POMOC PROSÍM, PROSÍM, PROSÍM, PROSÍM

Otázka 1 Napíšte prvé štyri členy postupnosti, ktorej všeobecný výraz je uvedený. an = 3n - 1 Odpoveď 2, 3, 4, 5 2, 5, 8, 11 -2, -5, -8, -11 4, 7, 10, 13 3 body Otázka 2 Napíšte prvé štyri výrazy postupnosti ktorého generál

Ďalšia otázka algebra

napíš explicitný vzorec pre postupnosť 7,2, -3, -8, -13 a potom nájdi a14

Matematika

5., 9. a 16. člen lineárnej sekvencie A.P sú po sebe nasledujúce členy exponenciálnej sekvencie. Nájdite spoločný rozdiel lineárnej sekvencie z hľadiska prvého člena.

1. Poskytnite dva príklady funkcií: (1) ako tabuľku hodnôt a (2) ako graf. Vysvetlite definíciu funkcie. Nezabudnite do svojej odpovede zahrnúť matematický slovník. 2. V odseku vysvetlite, čo je doména a

Matematika

Vzhľadom na explicitný výraz f (n) = 4n + 2 napíšte množinu ukazujúcu postupnosť. (1 bod) <2, 6, 10, 14.> <6, 8, 10, 12.> <4, 8, 12 , 16.> <6, 10, 14, 18.> Pri explicitnom výraze f (n) = 5n − 2 napíš množinu ukazujúcu

1. Čo je prvých 5 výrazov postupnosti daných vzorcom a_n = 6n + 1? a. 7, 13, 19, 25, 31 b. 1, 7, 13, 19, 25 písm. 6, 12, 18, 24, 30 dní. 13, 19, 25, 31, 37 2. Napíšte rekurzívnu definíciu pre postupnosť 8, 6, 4, 2,. ,

Napíšte rekurzívny vzorec a explicitný vzorec pre postupnosť <3,6,12,24,48. >. Zobraziť všetky práce.

Algebra

Aký je explicitný vzorec pre všeobecný výraz v aritmetickej postupnosti, kde a6 = 13 a a10 = 25?


Sureshot otázky, dôležité otázky a odpovede na skúšky CBSE

Sureshot otázky pre CBSE

CBSE určite pripravené otázky na skúšky sú tu. Tieto otázky sú najdôležitejšími otázkami, ktoré sa zvyčajne opakujú takmer každý rok v tej či onej podobe. Precvičovanie týchto otázok predstavuje inteligentný spôsob prípravy na skúšky a spoľahlivý spôsob ich absolvovania. Príspevky predstavenstva CBSE a analýza referátov z predchádzajúceho roku musia pochopiť vzor skúšky a tieto dôležité otázky sa pripravujú podľa najnovšieho vzoru príspevku a schémy označovania.


11.1: Sekvencie - matematika

Nasleduje niekoľko tém z teórie čísel.

Obsah tejto stránky
Pascalov trojuholník
Perfektné čísla
Fermatova posledná veta
Kúzelné štvorce
Moessnerova mágia

Pascalov trojuholník prvýkrát predstavil čínsky matematik Yang Hui. Názov však dostal od Blaisa Pascala, ktorý ho o 500 rokov neskôr znovu objavil spolu s Omarom Khayyamom.

Trojuholník slúži na zisťovanie pravdepodobnosti akejkoľvek konkrétnej udalosti. Existuje mnoho ďalších vecí, ktoré možno nájsť v trojuholníku. Ďalej je uvedených niekoľko z nich a spôsoby, ako ich dosiahnuť.

PASCALOV Trojuholník
Ako urobiť Pascalov trojuholník. Riadok 0 je prvý riadok, bude mať 1. Riadok 1 je vlastne druhý riadok, ktorý bude mať 1 a 1, ale nesmie sa zamieňať s 11. Ďalším riadkom sú čísla 1 a 2 a 1. Teraz, ako to urobilo dostaneme tieto čísla? 1 bude VŽDY prvé číslo v rade, ale aby sa trojuholník zväčšil, pridajte dve vyššie uvedené čísla. Príklad: 1 + 2 = 3 a 2 + 1 = 3, takže pre ďalší riadok budeme mať 1 (vždy zvonku) a 3 a 3 a potom ešte raz. Nasledujúci riadok sa ešte zväčší, 1 (opäť vonku) 1 + 3 = 4 a 3 + 3 = 6 a 3 + 1 = 4, a potom ešte raz.

Môže to trvať tak dlho, ako to niekto chce.

SILA 11
Prvých 5 mocností z 11 je v hornej časti trojuholníka. 11 0 = 1, 11 1 = 11, 11 2 = 121, 11 3 = 1331 a 11 4 = 14641. Keď sú tieto čísla naskladané do pyramídy, vytvorí hornú časť trojuholníka.

ĎALŠIE ODPOVEDE
Ak začnete na ktorejkoľvek danej 1 a pôjdete šikmo nadol a potom urobíte jeden krok doľava, nájdete odpoveď na čísla, ktoré ste práve sledovali. Napríklad: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 alebo skúste iné číslo 1 + 8 + 36 + 120 + 330 = 495.

VYTVORENÉ
Vezmite ľubovoľné číslo vedľa jedného a vytvorte trojuholník s číslom priamo vedľa neho a s číslom pod dvoma. Keď bude toto číslo štvorcové, budete mať odpoveď na dve ďalšie čísla, keď sa spočítajú. Napríklad: 5 2 = 25, pri pohľade napravo od 5 je 10, teraz sa pozrite na číslo pod 5 a 10, malo by to byť 15, teraz 10 + 15 = 25.

PRIDAJTE RIADKY
Akýkoľvek riadok začínajúci sa na 1 je možné pridať rovno a nájsť tak súčet 2 k sile daného čísla riadku. Príklad: 2 0 = 1, 2 1 = pridanie nasledujúceho riadku (1 + 1) = 2, 2 2 = (1 + 2 + 1) = 4, 2 3 = (1 + 3 + 3 + 1) = 8, a čo 10. riadok? 1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 512, čo je 2 9. WOW!! Je to zábava?

FIBONACCI ČÍSLA
Súčet čísel v diagonálnej čiare nadol je prvým číslom Fibonnacciho sekvencie. Príklad: 1 je sám, takže = 1, potom ďalší by bol tiež 1 = až 1, potom 1 a 1 = 2, 2 a 1 = 3, 1 a 3 a 1 = 5, 3 a 4 a 1 = 8, 1 a 6 a 5 a 1 = 13, to je možné urobiť úplne dole v trojuholníku (s zväčšovaním trojuholníka to bude trochu mätúce, takže nezabudnite vyfarbiť čísla, ktoré ste už použili). Teraz vezmite = čísla takto: 1 + 1 = ďalšie číslo 2. 1 + 2 = ďalšie číslo 3, 2 + 3 = ďalšie číslo 5, 3 + 5 = ďalšie číslo 8, atď. Mimochodom, Fibonacciho sekvencia bola použitá na opis krivky nájdenej v mnohých strunových nástrojoch.

Pytagorejčania vytvorili teóriu čísel pozostávajúcu z numerológie a vedeckých špekulácií. V ich numerológii boli párne čísla ženské a nepárne čísla mužské. Čísla tiež predstavovali abstraktné pojmy, ako napríklad 1 stál za rozumom, 2 stál za názorom, 3 stál za harmóniu, 4 za spravodlivosť atď. Ich aritmetika mala teóriu špeciálnych tried čísel. Existovalo perfektné číslo dvoch druhov. Prvý druh zahŕňal iba 10, čo bolo základné pre desatinnú sústavu a súčet prvých štyroch čísel 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Druhý druh „dokonalých“ čísel bol rovný súčtu ich správnych deliteľov .

Perfektné číslo je kladné celé číslo, ktoré sa rovná súčtu jeho deliteľov. Pre prípad dokonalého čísla však do sumy nie je zahrnuté samotné číslo. Gréci nazvali číslo ako 6 alebo 28 ako „dokonalé“ číslo, pretože súčet správnych deliteľov sa v každom prípade rovná počtu, ktorý majú správne delitele 6, sú 1, 2 a 3 a ich súčet je 6.

Aj keď sa dokonalé čísla považujú za aritmetické kuriozity, ich štúdium pomohlo rozvinúť teóriu čísel. Euklid dokázal, že číslo n formy (2 n -1) * 2 n-1 je perfektné číslo, ak je faktor 2 n -1 prvočíselný. Napríklad, ak n predpokladá hodnotu 2, 3, 5 alebo 7, výraz 2 n -1 nadobúda hodnotu 3, 7, 31 alebo 127, ktoré sú všetky prvočíselné. Pre tieto hodnoty n dostaneme dokonalé čísla 6, 28, 496 a 8,128.

Novoplatonici Nicomachus z Gerasy a Iamblichus z Chalcis vymenovali tieto dokonalé čísla a dospeli k záveru, že sa riadia vzorom: Striedavo končia číslicami 6 alebo 8 a pre každý interval od 1 do 10, 10 až 100, 100 je jedno dokonalé číslo na 1 000 a 1 000 až 10 000. Predpokladali, že obe časti vzoru budú pokračovať, ale v tomto sa mýlili. Piate dokonalé číslo, ktoré bolo objavené v piatom storočí, zodpovedá n = 13 a je 33 550 336, pričom má osem číslic a nie šesť. Navyše šieste dokonalé číslo, rovnako ako piate, končí šestkou.

V roku 1961 sa našlo dvadsiate dokonalé číslo. Obsahuje 2 663 číslic v desatinnom vyjadrení a zodpovedá prípadu, keď n = 4 423. Dnes je známych dvadsaťtri dokonalých čísel. Najväčšie z nich je 2 11 212 (2 11 213 -1), ktoré obsahujú 6 751 číslic. Nie je známe, či existuje nekonečné množstvo dokonalých čísel.

V roku 1757 Leonhard Euler zistil, že každé párne číslo musí byť Euklidovho tvaru. Je tiež dokázané, že každé párne dokonalé číslo musí končiť šiestou alebo ôsmou, a ak končí šiestimi, musí byť číslica pred ním nepárna. Nikto doposiaľ neobjavil nepárne dokonalé číslo, je však známe, že pod 10 20 neexistuje.

Calinger, Ronald, Classics of Mathematics, Prentice Hall, New Jersey 1995.

Boyer, Carl B., A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., New York 1989.

Fermatova (vyslovuje sa Fer mah ') Posledná veta je názov záhadného problému, ktorý vytvoril francúzsky amatérsky matematik Pierre Fermat (1601-1665). Aj keď prispieval do niekoľkých matematických odvetví, jeho preferovanou oblasťou bola teória čísel - vzťahy, ktoré medzi číslami existujú.

Až keď študoval kópiu starodávnej práce o hádankách s číslami, začal uvažovať o Pythagorovej rovnici (pravá Pi tha 'gor us) o pravouhlých trojuholníkoch. Pythagoras, grécky matematik, ktorý žil viac ako 2000 rokov pred Fermatom, dokázal, že druhé mocniny dĺžok dvoch končatín pravouhlého trojuholníka sa sčítajú tak, že sa budú rovnať štvorcu dĺžky najdlhšej strany, ktorá sa zvyčajne uvádza ako 2 + b 2 = c 2.

Keď Fermat meditoval nad touto rovnicou, začal špekulovať nad príbuznou, 3 + b 3 = c 3. Skúšaním a omylom čoskoro videl, že nájdenie celých čísel, vďaka ktorým je táto rovnica pravdivá, sa zdá byť nemožné. Keď vyskúšal mocnosti 4 a 5 a bol rovnako frustrovaný, napísal na okraj tohto starodávneho textu, že neexistujú čísla, ktoré by vytvorili všeobecnú rovnicu
a n + b n = c n, keď 'n' je celé číslo väčšie ako 2.
Génius potom šibalsky dodal: „Môžem to dokázať, ale nemám dostatok priestoru, aby som to napísal na okraj.“

Už 300 rokov sa matematici snažia nájsť dôkaz alebo vysvetlenie, ktoré Fermat nenapísal, Fermatovu poslednú vetu. Americký matematik Andrew Wiles vytvoril dôkaz, hoci mu to trvalo osem rokov. Dôkaz bol publikovaný v Annals of Mathematics v roku 1995, 330 rokov po Fermatovej smrti, ale zjavne to nebol Fermatov dôkaz, pretože Wiles používal matematiku, ktorá nebola k dispozícii v 17. storočí. Objaví niekto Fermatov dôkaz? Táto otázka zostáva nezodpovedaná.

Singh, Simon. Fermatova záhada: Epické hľadanie riešenia najväčšieho matematického problému na svete. New York: Doubleday, 1997.

Ball, W.W. Rouse. Krátky opis dejín matematiky. 1908.

Pôvodne mali magické štvorce malý matematický význam, keď ich objavil okolo roku 2000 pred naším letopočtom čínsky cisár Yu Veľký. Za vlády Yu Veľkého narazil na dve zvieratá, ktoré údajne mali magickú moc, korytnačka a dračí kôň. On the back of the tortoise was a pattern or symbol, now known as the lo shu, which represented a square array of numbers. These numbers were first depicted by knots tied in strings, with white knots for odd numbers and black knots for even.

These mystical squares found their way to Japan, India, and the Middle East. There is evidence of magic squares being found in Arabia and even in Hebrew writings. So, why all the magic connected with these squares?

The ancient people thought the squares were magic, or at least possessed some sort of good luck, because the sums of the numbers in each row, in each column and in each major diagonal was the same. Silver plates used to be engraved with magic squares and prescribed as a charm against the plague and other serious illnesses. They were also connected to alchemy and astrology and were used by fortune tellers to decorate bowls and amulets.

During the thirteenth century, a mathematician name Yang Hui, actually began to study magic squares, referred to as vertical and horizontal diagrams. He extrapolated the ideas to construct a magic circle where the sum of the numbers on any diameter or along any of the concentric circles would be the same sum. Yang Hui also generalized some rules for constructing magic squares. In a 4X4 square there are 16 squares. Using the numbers 1 through 16, fill in the matrix starting with upper left corner and counting down. Number five will be next to number 1. If the numbers at the corners of the inner square and the outer square are transposed, or swapped, a magic square will result with all rows, columns and diagonals adding up to 34.

Albrecht Durer is credited with showing the first magic square in print. This magic square appeared in an engraving and was a 4X4 square with all rows, columns and diagonals summing to 34. In the bottom row the numbers appear in the following order: 4, 15, 14, 1. The year that the engraving was made was worked into these numbers. Can you guess the year of the engraving? The engraving s date was 1514.

Durer's Magic Square
163213
510118
96712
415141

Magic Squares were studied in France and in Poland in the seventeenth century and methods of constructing magic squares were revealed. Three dimensional magic squares were also constructed by Adamas Kochansky in 1686.

During the nineteenth century, magic squares were taken seriously and were applied to problems dealing with probability and analysis. A type of magic square, developed by Euler, referred to as the Greco-Latin square, had use in designing experiments.

As recently as 1978, Allen Adler, a mathematician, has published papers about magic squares. His opinion is that most mathematicians view magic squares as a waste of valuable time because entertainment or recreation is the most that one could get from reaching a solution. However, he is convinced that the use of magic squares in the classroom could teach factorization into primes and association. Allen Adler has a strong message that reaches way beyond the topic of mathematics and the notion of magical experiences. On his web page that is dedicated to magic squares, there is an autobiography that reveals the course of study and exploration that has progressed. Of his experience he writes:

  1. The National Council of Teachers of Mathematics. (1969).
  2. Historical Topics for the Mathematics Classroom. Washington, DC: Heck, W. and Fey, J.

Number sequences can be very interesting and thought provoking. Most number sequences involve building some kind of pattern and seeing what comes next. One well-known number sequence is Pascal's triangle. A number sequence not so well-known is Moessner's magic.

Let's consider the sequence of counting numbers:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, . . . .

Now, cross out every second number, leaving

form the cumulative totals of these numbers: 1, (1 + 3), (4 + 5), (9 + 7), (16 + 9), (25 + 11), (36 + 13), (49 + 15) . . .

and you get the sequence of consecutive squares:

This transformation of the sequence of counting numbers into another was first discovered and explored by Alfred Moessner in the early 1950s.

Now, suppose we start with the sequence of counting numbers just like before, but now we take out every third number and add what's left.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, . . .

1, (1 + 2), (3 + 4), (7 + 5), (12 + 7), (19 + 8), (27 + 10), (37 + 11), (48 + 13) + (61 + 14) .

1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48, 61, 75, . . .

Now, remove every second number in the new list and add the remaining numbers.

1, (1 + 7), (8 + 19), (27 + 37), (64 + 61), .

Amazing! This is the sequence of cubes. Now, if you go through the same procedure again, this time crossing out every fourth number at the beginning, the result should not be surprising. You end up with the sequence of fourth powers: 1, 16, 81, 256, . . . . In general, taking out the n th number to begin with gives a resulting sequence of n th powers.


Worked example 7: General formula for the sum of an arithmetic sequence

Find the sum of the first ( ext<30>) terms of an arithmetic series with (T_ = 7n - 5) by using the formula.

Use the general formula to generate terms of the sequence and write down the known variables

This gives the sequence: (2 9 16 ldots)

[a = 2 quad d = 7 quad n = 30]

Write down the general formula and substitute the known values

Write the final answer


Recurrence Sequences

Recurrence sequences are of great intrinsic interest and have been a central part of number theory for many years. Moreover, these sequences appear almost everywhere in mathematics and computer science. This book surveys the modern theory of linear recurrence sequences and their generalizations. Particular emphasis is placed on the dramatic impact that sophisticated methods from Diophantine analysis and transcendence theory have had on the subject. Related work on bilinear recurrences and an emerging connection between recurrences and graph theory are covered. Applications and links to other areas of mathematics are described, including combinatorics, dynamical systems and cryptography, and computer science. The book is suitable for researchers interested in number theory, combinatorics, and graph theory.

Reviews & Endorsements

The mathematical community should be grateful to the authors for the pains-taking work that they have done, and for the very useful book that they have produced as a result.

-- Bulletin of the London Mathematical Society

Surprisingly enough, there was no book in the literature entirely devoted to recurrence sequences &hellip With the book under review, the authors fill this gap in a remarkable way &hellip this well-written book will be extremely useful for anyone interested in any of the many aspects of linear recurrence sequences.


NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 Probability

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 Probability

Topics and Sub Topics in Class 11 Maths Chapter 16 Probability:

Section Name Topic Name
16 Pravdepodobnosť
16.1 Úvod
16.2 Random Experiments
16.3 Udalosť
16.4 Axiomatic Approach to Probability

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 Exercise.16.1

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-1

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-2

Ans.

More Resources for CBSE Class 11

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-3

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-4

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-5

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-6

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-7

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-8

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-9

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-10

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-11

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-12

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-13

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-14

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-15

Ans.

Ex 16.1 Class 11 Maths Question-16

Ans.

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 Probability (प्रायिकता) Hindi Medium Ex 16.1







NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 Exercise.16.2

Ex 16.2 Class 11 Maths Question-1

Ans.

Ex 16.2 Class 11 Maths Question-2

Ans.

Ex 16.2 Class 11 Maths Question-3

Ans.

Ex 16.2 Class 11 Maths Question-4

Ans.

Ex 16.2 Class 11 Maths Question-5

Ans.

Ex 16.2 Class 11 Maths Question-6

Ans.

Ex 16.2 Class 11 Maths Question-7

Ans.

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 Exercise.16.3

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-1

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-2

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-3

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-4

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-5

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-6

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-7

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-8

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-9

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-10

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-11

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-12

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-13

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-14

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-15

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-16

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-17

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-18

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-19

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-20

Ans.

Ex 16.3 Class 11 Maths Question-21

Ans.

Class 11 Maths NCERT Solutions – Miscellaneous Questions

Miscellaneous Exercise Class 11 Maths Class 11 Maths Question-1

Ans.

Miscellaneous Exercise Class 11 MathsQuestion-2

Ans.

Miscellaneous Exercise Class 11 MathsQuestion-3

Ans.

Miscellaneous Exercise Class 11 MathsQuestion-4

Ans.

Miscellaneous Exercise Class 11 MathsQuestion-5

Ans.

Miscellaneous Exercise Class 11 MathsQuestion-6

Ans.

Miscellaneous Exercise Class 11 MathsQuestion-7

Ans.

Miscellaneous Exercise Class 11 MathsQuestion-8

Ans.

Miscellaneous Exercise Class 11 Maths Question-9

Ans.

Miscellaneous Exercise Class 11 MathsQuestion-10

Ans.

Exercise 16.1

Write the sample space when a coin is tossed thrice.

Write the sample space when a dice is rolled twice.

Write the sample space when a coin is tossed four times.

Find the sample space of a coin and a die are tossed together.

Find the sample space when a die is rolled and a coin is tossed only if in case there is head in the coin.

Room x is having 2 girls and 2 boys while Room y is having 3 girls and 1 boy. Determine the sample space where a person gets a room.

A bag contains dies of several colors such as red, white and blue. Dies are selected as random and rolled and the colour and the number in it’s uppermost face is noted down. Determine the sample space.

An experimental setup consists of a family consisting a boy and a girl with 2 children.

(i) Determine the sample space if the person conducting the experiment is interested in knowing whether it is a boy or a girl according to the order of their birth.

(ii) Determine the sample space if the person conducting the experiment is interested in knowing the number of girls in the family?

A experimental setup consists of a box containing 1 red ball and 3 identical white balls. At a time 2 balls are drawn at random in succession without replacement. Find the sample space of the experimental setup.

Question 10

An experimental setup consists of tossing up of a coin in the air and if head comes up it is tossed again. If a tail occurs in the first event then a die is rolled only once. Find the sample space of the experiment.

Question 11

3 bulbs are selected at a random from a bag of bulbs. Depending upon several tests each bulb is termed as defective or non-defective . Determine the sample space of this series of events.

Question 12

An experiment consists of tossing a coin. During the conduction of the experiment if head comes up then a die is thrown instantly , if there is any even number on the die then it is thrown again . determine the sample space of the experiment.

Question 13

A box containing 4 slips of paper written 1,2,3 and 4 separately. They are then mixed thoroughly and drawn one at a time twice without replacement. Determine the sample space of the experiment

Question 14

An experiment consists of rolling a die then tossing a coin if any even number comes up while rolling the die. Also it was noted that if any odd number comes up the coin is tossed twice. Determine the sample space of the experiment.

Question 15

A coin is tossed if tail comes up a ball is drawn from a box containing 3 black balls and 2 red balls . A die is thrown is head comes up. Determine the sample space of the experiment.

Question 16

A die is rolled continuously unless and until a six shows up. Determine the sample space for this experiment.

Exercise 16.2

An experiment consists of rolling of a die .Event E denotes that the die shows 4 and event F denotes that the die shows even number.

Are these both events that is A and B mutually exclusive?

An experiment consists of a die thrown in which the following events occurred:

(a) P : numbers less than 7

(b) Q : numbers larger than 7

(c) R : numbers which are product of 3

(d) S : numbers which are smaller than 4

(e) T : even numbers which are larger than 4

(f) U : numbers not less than 3

Also, P ∪ Q , P ∩ Q , Q ∪ R , T ∩ U ,

S ∩ T , P – R , S – T ,

An experiment consists throwing of a pair of dice and noting down the numbers that came up. Determine the following events:

(i) The sum of numbers is larger than 8

(ii) 2 occur on both of the die.

(iii) The sum of numbers is at least 7 and a multiple of 3.

Determine the events which are mutually exclusive?

In an experiment 3 coins at a time .Let P be the event in which there 3 heads. Q be the event in which there is 2 heads and 1 tail and R be the event in which there is 3 tails and S denotes the event in which head shows in the first coin. Find the events:

(a) Mutually exclusive?

Question 5

In an experiment 3 coins are tossed.

(a) 2 events which are mutually exclusive.

(b) 3 events which are mutually exhaustive and exclusive.

(c) 2 events, which are not mutually exclusive.

(d) 2 events which are mutually exclusive but not exhaustive.

(e) 3 events which are mutually exclusive but not exhaustive.

An experiment consists of throwing up of a dice and includes events A,B and C:

A = an even number on throwing of the first die

B = an odd number on throwing of the first die

C = sum of numbers on the dice will less than equals to 5.

(a) A (b) not B (c) A or B (d) A and B

(e) A but not C (f) B or C (g) B or C (h) A ∩ B ′ ∩ C ′

An experiment consists of throwing up of a dice and includes A, B and C.

A = an even number on throwing of the first die

B = an odd number on throwing of the first die

C = sum of numbers on the dice will less than equals to 5.

Give answer in true or false.

(a) B and A are mutually exclusive events.

(b) B and A are mutually exclusive and exhaustive events.

(d) A and C are mutually exclusive and exhaustive events.

(e) B’ and A are mutually exclusive events.

(f) A’ , B’ & C are mutually exhaustive and exclusive.

Exercise 16.3

An experiment consists of tossing up of a coin, determine the probability of getting at least one tail?

An experiment consists of throwing of a dice in which the following events occurs:

(a) A prime number

(b) Number larger than 3

(c) Number less than or equal to 1

(d) Number more than 6

(e) Number less than 6

An experiment consists of a pack of 52 cards.

(a) Find the number of elements present in the sample space.

(b) Find the probability of ace of spades

(c) Find the probability of (i) an ace (ii) black card

An unbiased coin is marked 1 on one face while 6 on the other face , while the die is having markings such as 1,2,3,4,5,6 on its 6 faces .

Determine the probability that the sum of the numbers turning up is

A city council consists of 4 men and 6 women .Find the probability of selecting a woman among the council members if the selection is on random basis.

An experiment consists of tossing up of an unbiased coin 4 times. Each time head appears a person is awarded with Re.1 and each time a tail a turns up that person looses Rs.1.50. Determine sample space of different money of 4 tosses and the propability of each of the head and tail.

An experiment consists of tossing up of 3 coins .Find out the probability of the following events:

(a) Three heads

(b) Two heads

(c) At least two heads

(d) At most two heads

(f) Three tails

(g) Exactly two tails

(i) At most two tails

Question 10

From the word ‘ASSASSINATION’ a letter is chosen at a random basis. Then, determine the probability of getting (a) a vowel (b) an consonant

Question 11

A person chooses 6 different natural numbers at random basis from numbers ranging from 1 to 20. If and only if this 6-digit number matches with the number decided by the lottery committee , the person wins the prize. Determine the probability of wining the prize ?

Question 12

Check whether the following probabilities are defined or not :

(i) P(Q) = 0.5 , P(R) = 0.7 , P( Q ∩ R ) = 0.6

(ii) P(Q) = 0.5 , P(R) = 0.4 , P( Q ∪ R ) = 0.8

Question 16

Events Q and R are such that P(not Q or not R ) = 0.25 . Find out whether Q and R are mutually exclusive or not ?

Question 17

Events Q and R are such that P(Q) = 0.42 , P® = 0.48 & P(Q and R) = 0.16. Find:

Question 18

In class XII of a school , 40% of the students studies mathematics & 30% of the students studies biology. 10% of the students of the class studies both maths and biology. If a student is selected as a random from the class , determine the probability of the student studying mathematics or biology.

Question 19

In an entrance test that is based on the basis of two examinations, the probability of a random student passing the examination is 0.8 and the probability of the candidate passing the second examination is 0.7. The probability of passing at least one of the examination is 0.95. find out the probability of passing both the examinations?

Question 20

The probability that a student will pass the final examination in oth English and Hindi is 0.5. The probability of passing the neither of the subjects is 0.1. If the probability of passing the subject English alone is 0.75 then, find out the probability of passing in the Hindi subject?

Question 21

A class of strength 60 students , 30 students opted for NCC, 32 opted for NSS and 24 students opted for both NCC and NSS. Find the probability if one student is selected at a random that:


Quadratic Patterns


Charlie has been playing with calculations again.

$2 imes 4 + 1 = 9$
$4 imes 6 + 1 = 25$
$5 imes 7 + 1 = 36$
$9 imes 11 + 1 = 100$

Čo si všímate?

Click below to see what Charlie said:


Can you explain what's happening?

Click below to see Charlie's explanation:


Alison drew a diagram to explain the results. Click below to see:


Can you make sense of Charlie's method and Alison's diagrams?

Here are some more number patterns to explore. Some have been expressed numerically, some in words, and some algebraically.

Can you represent each pattern in all four ways,

  1. $2 imes 3 + 3 = , ?$
    $5 imes 6 + 6 = , ?$
    $4 imes 5 + 5 = , ?$
    $9 imes 10 + 10 = , ?$
    Čo si všímate?
  2. Choose three consecutive numbers, square the middle one, and subtract the product of the other two.
    Repeat with some other sets of numbers.
    Čo si všímate?
  3. $3 imes 3 - 1 imes 1 = , ?$
    $8 imes 8 - 6 imes 6 = , ?$
    $7 imes 7 - 5 imes 5 = , ?$
    $10 imes 10 - 8 imes 8 = , ?$
    Čo si všímate?
  4. $n(n+1) - (n-1)(n+2) = , ?$
    $(n+1)(n+2) - n(n+3) = , ?$
    $(n-3)(n-2) - (n-4)(n-1) = , ?$
    Čo si všímate?
  5. $3 imes 5 + 1= , ?$
    $5 imes 7 + 1= , ?$
    $7 imes 9 + 1= , ?$
    $9 imes 11 + 1= , ?$
    Čo si všímate?
  6. Choose three consecutive numbers and add the product of the smallest two to the product of the greatest two.
    Repeat with some other sets of numbers.
    Čo si všímate?


With thanks to Don Steward, whose ideas formed the basis of this problem.

You may be interested in the other problems in our Factorise This! Feature.


Pozri si video: Обзор лампового военного дозиметра-радиометра ДП-11-Б Soviet military tube Geiger counter DP-11-B (December 2021).