Články

7.4: Integrácia racionálnych funkcií čiastočnými zlomkami


Učebné ciele

  • Integrujte racionálnu funkciu pomocou metódy čiastkových zlomkov.
  • Rozpoznajte jednoduché lineárne faktory v racionálnej funkcii.
  • Rozpoznajte opakujúce sa lineárne faktory v racionálnej funkcii.
  • Rozpoznať kvadratické faktory v racionálnej funkcii.

Videli sme niektoré techniky, ktoré nám umožňujú integrovať konkrétne racionálne funkcie. Napríklad to vieme

[ int dfrac {du} {u} = ln | u | + C nonumber ]

a

[ int dfrac {du} {u ^ 2 + a ^ 2} = dfrac {1} {a} tan ^ {- 1} doľava ( dfrac {u} {a} doprava) + C . nonumber ]

Zatiaľ však nemáme techniku, ktorá by nám umožňovala riešiť svojvoľné kvocienty tohto typu. Nie je teda okamžite zrejmé, ako postupovať pri hodnotení

[ int dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2} , dx. nonumber ]

Vieme to však z materiálu, ktorý bol predtým vyvinutý

[ int left ( dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2} right) , dx = ln | x + 1 | +2 ln | x − 2 | + C. Nonumber ]

Získanie spoločného menovateľa to v skutočnosti vidíme

[ dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2} = dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2}. nonumber ]

V dôsledku toho

[ int dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2} , dx = int doľava ( dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2} doprava ) , dx. nonumber ]

V tejto časti skúmame metódu rozklad parciálnych frakcií, čo nám umožňuje rozklad racionálne funkcie do súčtov jednoduchších a ľahšie integrovateľných racionálnych funkcií. Pomocou tejto metódy môžeme prepísať výraz, ako napríklad:

[ dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2} nonumber ]

ako výraz ako napr

[ dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2}. nonumber ]

Kľúčom k metóde rozkladu parciálnych zlomkov je schopnosť predvídať formu, akú bude mať rozklad racionálnej funkcie. Ako uvidíme, táto forma je predvídateľná aj vysoko závislá od faktorizácie menovateľa racionálnej funkcie. Je tiež mimoriadne dôležité mať na pamäti, že rozklad parciálnych zlomkov je možné použiť na racionálnu funkciu ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), iba ak (deg (P (x)) < deg (Q (x)) ). V prípade, že (deg (P (x)) ≥deg (Q (x)) ), musíme najskôr vykonať dlhé delenie, aby sme prepísali kvocient ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) v tvare (A (x) + dfrac {R (x)} {Q (x)} ), kde (deg (R (x))

Príklad ( PageIndex {1} ): Integrácia ( displaystyle int frac {P (x)} {Q (x)} , dx ), kde (deg (P (x)) ≥deg (Q (x)) )

Ohodnotiť

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 5} {x + 1} , dx. nonumber ]

Riešenie

Pretože (deg (x ^ 2 + 3x + 5) ≥deg (x + 1), ) vykonávame dlhé delenie, aby sme získali

[ dfrac {x ^ 2 + 3x + 5} {x + 1} = x + 2 + dfrac {3} {x + 1}. nonumber ]

Teda

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 5} {x + 1} , dx = int doľava (x + 2 + dfrac {3} {x + 1} doprava) , dx = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x + 3 ln | x + 1 | + C. nonumber ]

Navštívte tento web a skontrolujte dlhé rozdelenie polynómov.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Ohodnotiť

[ int dfrac {x − 3} {x + 2} , dx. nonumber ]

Pomôcka

Použite dlhé delenie na získanie ( dfrac {x − 3} {x + 2} = 1− dfrac {5} {x + 2}. Nonumber )

Odpoveď

[x − 5 ln | x + 2 | + C bez čísla ]

Integrovať ( Displaystyle int dfrac {P (x)} {Q (x)} , dx ), kde (deg (P (x))

Neopakované lineárne faktory

Ak možno (Q (x) ) započítať ako ((a_1x + b_1) (a_2x + b_2) ... (a_nx + b_n) ), kde je každý lineárny faktor odlišný, potom je možné nájsť konštanty ( A_1, A_2, ... A_n ) uspokojivé

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {a_1x + b_1} + dfrac {A_2} {a_2x + b_2} + ⋯ + dfrac {A_n} {a_nx + b_n }. label {eq: 7.4.1} ]

Dôkaz, že také konštanty existujú, presahuje rámec tohto kurzu.

V tomto ďalšom príklade vidíme, ako používať parciálne zlomky na integráciu racionálnej funkcie tohto typu.

Príklad ( PageIndex {2} ): Čiastočné zlomky s neopakovanými lineárnymi faktormi

Hodnotiť ( Displaystyle int dfrac {3x + 2} {x ^ 3 − x ^ 2−2x} , dx. )

Riešenie

Pretože (deg (3x + 2)

[ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = dfrac {A} {x} + dfrac {B} {x − 2} + dfrac {C} {x +1}. nonumber ]

Teraz musíme tieto konštanty nájsť. Začíname to tak, že vpravo dostaneme spoločného menovateľa. Teda

[ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = dfrac {A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x − 2 )} {x (x − 2) (x + 1)}. nonumber ]

Teraz sme nastavili čitateľov navzájom na seba, získame

[3x + 2 = A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x − 2). Label {Ex2Numerator} ]

Existujú dve rôzne stratégie na vyhľadanie koeficientov (A ), (B ) a (C ). Označujeme ich ako metóda vyrovnávania koeficientov a metóda strategickej substitúcie.

Stratégia jedna: Metóda vyrovnávania koeficientov

Prepíšte rovnicu ( ref {Ex2Numerator} ) do formulára

[3x + 2 = (A + B + C) x ^ 2 + (- A + B - 2C) x + (- 2A). nonumber ]

Vyrovnaním koeficientov sa vytvorí systém rovníc

[ begin {align *} A + B + C & = 0 [4pt] −A + B − 2C & = 3 [4pt] -2A & = 2. end {zarovnať *} ]

Pri riešení tohto systému najskôr pozorujeme, že (−2A = 2⇒A = −1. ) Dosadením tejto hodnoty do prvých dvoch rovníc získame systém

(B + C = 1 )

(B − 2C = 2 ).

Vynásobením druhej rovnice (−1 ) a pridaním výslednej rovnice k prvej vznikne

(−3C = 1, )

z čoho vyplýva, že (C = - dfrac {1} {3} ). Dosadením tejto hodnoty do rovnice (B + C = 1 ) sa získa (B = dfrac {4} {3} ). Riešením týchto rovníc teda vzniknú (A = -1, B = dfrac {4} {3} ) a (C = - dfrac {1} {3} ).

Je dôležité si uvedomiť, že systém produkovaný touto metódou je konzistentný, len ak máme správne nastavený rozklad. Ak je systém nekonzistentný, došlo k chybe v našom rozklade.

Stratégia dva: Metóda strategickej zámeny

Metóda strategickej substitúcie je založená na predpoklade, že sme správne nastavili rozklad. Ak je rozklad nastavený správne, potom musia existovať hodnoty (A, B, ) a (C ), ktoré vyhovujú Rovnici ( ref {Ex2Numerator} ) pre všetky hodnoty (x ). To znamená, že táto rovnica musí platiť pre každú hodnotu (x ), ktorú do nej chceme dosadiť. Preto starostlivým výberom hodnôt (x ) a ich dosadením do rovnice nájdeme ľahko (A, B ) a (C ). Napríklad, ak dosadíme (x = 0 ), rovnica sa zníži na (2 = A (−2) (1) ). Riešením pre (A ) výťažky (A = −1 ). Potom nahradením rovnice (x = 2 ) sa rovnica zníži na (8 = B (2) (3) ) alebo ekvivalentne (B = 4/3 ). Nakoniec do rovnice dosadíme (x = −1 ) a získame (−1 = C (−1) (- 3). ) Riešime, že máme (C = - dfrac {1} {3 } ).

Je dôležité mať na pamäti, že ak sa pokúsime použiť túto metódu s rozkladom, ktorý nebol nastavený správne, sme stále schopní nájsť hodnoty pre konštanty, ale tieto konštanty sú nezmyselné. Ak sa rozhodneme použiť metódu strategickej substitúcie, je dobré skontrolovať výsledok algebraickou rekombináciou výrazov.

Teraz, keď máme hodnoty (A, B, ) a (C, ), prepíšeme pôvodný integrál:

[ int dfrac {3x + 2} {x ^ 3 − x ^ 2−2x} , dx = int doľava (- dfrac {1} {x} + dfrac {4} {3} ⋅ dfrac {1} {x − 2} - dfrac {1} {3} ⋅ dfrac {1} {x + 1} vpravo) , dx. nonumber ]

Vyhodnotenie integrálu nám dáva

[ int dfrac {3x + 2} {x ^ 3 − x ^ 2−2x} , dx = - ln | x | + dfrac {4} {3} ln | x − 2 | - dfrac {1} {3} ln | x + 1 | + C. nonumber ]

V nasledujúcom príklade integrujeme racionálnu funkciu, v ktorej stupeň čitateľa nie je menší ako stupeň menovateľa.

Príklad ( PageIndex {3} ): Rozdelenie pred použitím čiastkových zlomkov

Hodnotiť ( Displaystyle int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} , dx. )

Riešenie

Pretože (deg (x ^ 2 + 3x + 1) ≥deg (x ^ 2−4), ), musíme vykonať dlhé rozdelenie polynómov. Výsledkom je

[ dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} = 1 + dfrac {3x + 5} {x ^ 2−4} nonumber ]

Ďalej vykonáme rozklad čiastkových frakcií na ( dfrac {3x + 5} {x ^ 2−4} = dfrac {3x + 5} {(x + 2) (x − 2)} ). Máme

[ dfrac {3x + 5} {(x − 2) (x + 2)} = dfrac {A} {x − 2} + dfrac {B} {x + 2}. nonumber ]

Teda

[3x + 5 = A (x + 2) + B (x -2). nonumber ]

Riešením pre (A ) a (B ) pomocou ktorejkoľvek z metód získame (A = 11/4 ) a (B = 1/4. )

Prepisujeme pôvodný integrál, máme

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} , dx = int doľava (1+ dfrac {11} {4} ⋅ dfrac {1} {x− 2} + dfrac {1} {4} ⋅ dfrac {1} {x + 2} vpravo) , dx. nonumber ]

Vyhodnocovanie integrálu produkuje

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} , dx = x + dfrac {11} {4} ln | x − 2 | + dfrac {1} {4 } ln | x + 2 | + C. nonumber ]

Ako vidíme v nasledujúcom príklade, je možné použiť techniku ​​rozkladu parciálnych zlomkov na neracionálnu funkciu. Trik spočíva v prevedení neracionálnej funkcie na racionálnu pomocou substitúcie.

Príklad ( PageIndex {4} ): Aplikácia čiastočných zlomkov po zámene

Vyhodnoťte ( Displaystyle int dfrac { cos x} { sin ^ 2x− sin x} , dx. )

Riešenie

Začnime tým, že (u = sin x. ) Následne (du = cos x , dx. ) Po vykonaní týchto substitúcií máme

[ int dfrac { cos x} { sin ^ 2x− sin x} , dx = int dfrac {du} {u ^ 2 − u} = int dfrac {du} {u ( u − 1)}. nonumber ]

Aplikácia rozkladu čiastočného zlomku na ( dfrac {1} {u (u − 1)} ) dáva ( dfrac {1} {u (u − 1)} = - dfrac {1} {u} + dfrac {1} {u − 1}. )

Teda

[ int dfrac { cos x} { sin ^ 2x− sin x} , dx = - ln | u | + ln | u − 1 | + C = - ln | sin x | + ln | sin x − 1 | + C. nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Hodnotiť ( Displaystyle int dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} , dx. )

Pomôcka

[ dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} = dfrac {A} {x + 3} + dfrac {B} {x − 2} nonumber ]

Odpoveď

[ dfrac {2} {5} ln | x + 3 | + dfrac {3} {5} ln | x − 2 | + C nonumber ]

Opakované lineárne faktory

Pre niektoré aplikácie musíme integrovať racionálne výrazy, ktoré majú menovatele s opakovanými lineárnymi faktormi - teda racionálne funkcie s najmenej jedným faktorom tvaru ((ax + b) ^ n, ), kde (n ) je kladné celé číslo väčšie alebo rovné (2 ). Ak menovateľ obsahuje opakovaný lineárny faktor ((ax + b) ^ n ), musí rozklad obsahovať

[ dfrac {A_1} {ax + b} + dfrac {A_2} {(ax + b) ^ 2} + ⋯ + dfrac {A_n} {(ax + b) ^ n}. label {eq: 7.4.2} ]

Ako vidíme v našom ďalšom príklade, základná technika použitá na riešenie pre koeficienty je rovnaká, ale na stanovenie čitateľov čiastkových zlomkov vyžaduje viac algebry.

Príklad ( PageIndex {5} ): Čiastočné zlomky s opakovanými lineárnymi faktormi

Hodnotiť ( Displaystyle int dfrac {x − 2} {(2x − 1) ^ 2 (x − 1)} , dx. )

Riešenie

Máme (deg (x − 2)

[ dfrac {A} {2x − 1} + dfrac {B} {(2x − 1) ^ 2} nonumber ]

v rozklade v rovnici ref {ekv.: 7.4.2}. Teda

[ dfrac {x − 2} {(2x − 1) ^ 2 (x − 1)} = dfrac {A} {2x − 1} + dfrac {B} {(2x − 1) ^ 2} + dfrac {C} {x − 1}. nonumber ]

Po získaní spoločného menovateľa a vyrovnaní čitateľov máme

[x − 2 = A (2x − 1) (x − 1) + B (x − 1) + C (2x − 1) ^ 2. label {Ex5Numerator} ]

Potom pomocou metódy vyrovnania koeficientov nájdeme hodnoty (A, B, ) a (C ).

[x − 2 = (2A + 4C) x ^ 2 + (- 3A + B − 4C) x + (A − B + C). nonumber ]

Vyrovnaním koeficientov sa dosiahnu výťažky (2A + 4C = 0 ), (- 3A + B − 4C = 1 ) a (A − B + C = −2 ). Riešením tohto systému sa získajú (A = 2, B = 3, ) a (C = -1. )

Prípadne môžeme použiť metódu strategickej substitúcie. V takom prípade nahradením (x = 1 ) a (x = 1/2) do rovnice ( ref {Ex5Numerator} ) ľahko vytvoríte hodnoty (B = 3 ) a (C = - 1 ). V tomto okamihu sa môže zdať, že sme došli dobré možnosti pre (x ), ale keďže už máme hodnoty pre (B ) a (C ), môžeme ich nahradiť a zvoliť akákoľvek hodnota pre (x ), ktorá sa predtým nepoužívala. Hodnota (x = 0 ) je dobrá voľba. V takom prípade dostaneme rovnicu (−2 = A (−1) (- 1) +3 (−1) + (- 1) (- 1) ^ 2 ) alebo ekvivalentne (A = 2 . )

Teraz, keď máme hodnoty pre (A, B, ) a (C ), prepíšeme pôvodný integrál a vyhodnotíme ho:

[ begin {align *} int dfrac {x − 2} {(2x − 1) ^ 2 (x − 1)} , dx & = int left ( dfrac {2} {2x − 1 } + dfrac {3} {(2x − 1) ^ 2} - dfrac {1} {x − 1} vpravo) , dx [4 pt]
& = ln | 2x − 1 | - dfrac {3} {2 (2x − 1)} - ln | x − 1 | + C. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Nastavte rozklad parciálnych frakcií na

[ int dfrac {x + 2} {(x + 3) ^ 3 (x − 4) ^ 2} , dx. nonumber ]

(Neriešiť koeficienty ani dokončiť integráciu.)

Pomôcka

Ako pomôcku použite metódu riešenia problémov z príkladu ( PageIndex {5} ).

Odpoveď

[ dfrac {x + 2} {(x + 3) ^ 3 (x − 4) ^ 2} = dfrac {A} {x + 3} + dfrac {B} {(x + 3) ^ 2 } + dfrac {C} {(x + 3) ^ 3} + dfrac {D} {(x − 4)} + dfrac {E} {(x − 4) ^ 2} nonumber ]

Všeobecná metóda

Teraz, keď začíname mať predstavu o tom, ako funguje technika rozkladu parciálnych zlomkov, načrtnime základnú metódu v nasledujúcej stratégii riešenia problémov.

Stratégia riešenia problémov: rozklad na čiastočné frakcie

Ak chcete rozložiť racionálnu funkciu (P (x) / Q (x) ), postupujte takto:

  1. Uistite sa, že (deg (P (x))
  2. Faktor (Q (x) ) do súčinu lineárnych a neredukovateľných kvadratických faktorov. Neredukovateľný kvadratický je kvadratický, ktorý nemá skutočné nuly.
  3. Za predpokladu, že (deg (P (x))
  4. Ak možno (Q (x) ) započítať ako ((a_1x + b_1) (a_2x + b_2) ... (a_nx + b_n) ), kde je každý lineárny faktor odlišný, potom je možné nájsť konštanty ( A_1, A_2, ... A_n ) vyhovujúce [ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {a_1x + b_1} + dfrac {A_2} {a_2x + b_2} + ⋯ + dfrac {A_n} {a_nx + b_n}. ]
  5. Ak (Q (x) ) obsahuje opakujúci sa lineárny faktor ((ax + b) ^ n ), musí rozklad obsahovať [ dfrac {A_1} {ax + b} + dfrac {A_2} { (sekera + b) ^ 2} + ⋯ + dfrac {A_n} {(sekera + b) ^ n}. ]
  6. Pre každý neredukovateľný kvadratický faktor (ax ^ 2 + bx + c ), ktorý (Q (x) ) obsahuje, musí rozklad obsahovať [ dfrac {Ax + B} {ax ^ 2 + bx + c}. ]
  7. Pre každý opakovaný neredukovateľný kvadratický faktor ((ax ^ 2 + bx + c) ^ n, ) musí rozklad obsahovať [ dfrac {A_1x + B_1} {ax ^ 2 + bx + c} + dfrac {A_2x + B_2} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ 2} + ⋯ + dfrac {A_nx + B_n} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ n}. ]
  8. Po určení vhodného rozkladu vyriešime konštanty.
  9. Na záver prepíšte integrál v jeho rozloženej podobe a vyhodnoťte ho pomocou predtým vyvinutých techník alebo integračných vzorcov.

Jednoduché kvadratické faktory

Teraz sa pozrime na integráciu racionálneho výrazu, v ktorom menovateľ obsahuje neredukovateľný kvadratický faktor. Pripomeňme, že kvadratický (ax ^ 2 + bx + c ) je neredukovateľný, ak (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) nemá skutočné nuly - teda ak (b ^ 2−4ac <0. )

Príklad ( PageIndex {6} ): Racionálne výrazy s ireducibilným kvadratickým faktorom

Ohodnotiť

[ int dfrac {2x − 3} {x ^ 3 + x} , dx. nonumber ]

Riešenie

Pretože (deg (2x − 3)

[ dfrac {2x − 3} {x (x ^ 2 + 1)} = dfrac {Ax + B} {x ^ 2 + 1} + dfrac {C} {x}. nonumber ]

Po získaní spoločného menovateľa a vyrovnaní čitateľov dostaneme rovnicu

[2x − 3 = (Ax + B) x + C (x ^ 2 + 1). Nonumber ]

Riešením pre (A, B, ) a (C, ) dostaneme (A = 3, B = 2, ) a (C = -3. )

Teda

[ dfrac {2x − 3} {x ^ 3 + x} = dfrac {3x + 2} {x ^ 2 + 1} - dfrac {3} {x}. nonumber ]

Nahradením späť do integrálu získame

[ begin {align *} int dfrac {2x − 3} {x ^ 3 + x} , dx & = int left ( dfrac {3x + 2} {x ^ 2 + 1} - dfrac {3} {x} vpravo) , dx nonumber [4 body]
& = 3 int dfrac {x} {x ^ 2 + 1} , dx + 2 int dfrac {1} {x ^ 2 + 1} , dx − 3 int dfrac {1} {x } , dx & & text {Rozdeliť integrál} [4pt]
& = dfrac {3} {2} ln ∣x ^ 2 + 1∣ + 2 tan ^ {- 1} x − 3 ln | x | + C. & & text {Vyhodnoťte každý integrál} end {align *} ]

Poznámka: ( ln ∣x ^ 2 + 1∣ = ln (x ^ 2 + 1) ) môžeme prepísať, pretože (x ^ 2 + 1> 0. )

Príklad ( PageIndex {7} ): Čiastočné zlomky s ireducibilným kvadratickým faktorom

Vyhodnoťte ( Displaystyle int dfrac {, dx} {x ^ 3−8}. )

Riešenie: Môžeme začať koeficientom (x ^ 3−8 = (x − 2) (x ^ 2 + 2x + 4). ) Vidíme, že kvadratický faktor (x ^ 2 + 2x + 4 ) je neredukovateľný od (2 ^ 2−4 (1) (4) = - 12 <0. ) Pomocou rozkladu opísaného v stratégii riešenia problémov dostaneme

[ dfrac {1} {(x − 2) (x ^ 2 + 2x + 4)} = dfrac {A} {x − 2} + dfrac {Bx + C} {x ^ 2 + 2x + 4 }. nonumber ]

Po získaní spoločného menovateľa a vyrovnaní čitateľov k tomu dôjde

[1 = A (x ^ 2 + 2x + 4) + (Bx + C) (x − 2). nonumber ]

Použitím obidvoch metód dostaneme (A = dfrac {1} {12}, B = - dfrac {1} {12}, ) a (C = - dfrac {1} {3}. )

Prepisovanie ( int dfrac {, dx} {x ^ 3−8}, ) máme

[ int dfrac {, dx} {x ^ 3−8} = dfrac {1} {12} int dfrac {1} {x − 2} , dx− dfrac {1} {12 } int dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 2x + 4} , dx. nonumber ]

To vidíme

[ int dfrac {1} {x − 2} , dx = ln | x − 2 | + C, nonumber ]

ale

[ int dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 2x + 4} , dx nonumber ]

vyžaduje trochu viac úsilia. Začnime tým dokončenie námestia na (x ^ 2 + 2x + 4 ) na získanie

[x ^ 2 + 2x + 4 = (x + 1) ^ 2 + 3. nonumber ]

Tým, že necháme (u = x + 1 ) a následne (du = , dx, ) vidíme, že

[ begin {align *} int dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 2x + 4} , dx & = int dfrac {x + 4} {(x + 1) ^ 2 + 3 } , dx & & text {Vyplňte štvorec v menovateli} [4pt]
& = int dfrac {u + 3} {u ^ 2 + 3} , du & & text {Náhradník} u = x + 1, , x = u − 1, text {a} du = dx [4 body]
& = int dfrac {u} {u ^ 2 + 3} du + int dfrac {3} {u ^ 2 + 3} du & & text {rozdeliť čitateľa od seba} [4pt]
& = dfrac {1} {2} ln ∣u ^ 2 + 3∣ + dfrac {3} { sqrt {3}} tan ^ {- 1} dfrac {u} { sqrt {3} } + C & & text {Vyhodnoťte každý integrál} [4pt]
& = dfrac {1} {2} ln ∣x ^ 2 + 2x + 4∣ + sqrt {3} tan ^ {- 1} doľava ( dfrac {x + 1} { sqrt {3} } right) + C & & text {Prepísať z hľadiska} x text {a zjednodušiť} end {zarovnať *} ]

Nahradenie späť do pôvodnej integrálnej a zjednodušujúce dáva

[ int dfrac {, dx} {x ^ 3−8} = dfrac {1} {12} ln | x − 2 | - dfrac {1} {24} ln | x ^ 2 + 2x + 4 | - dfrac { sqrt {3}} {12} tan ^ {- 1} doľava ( dfrac {x + 1} { sqrt {3}} doprava) + C. nonumber ]

Opäť tu môžeme klesnúť absolútnu hodnotu, ak to chceme urobiť, pretože (x ^ 2 + 2x + 4> 0 ) pre všetky (x ).

Príklad ( PageIndex {8} ): Nájdenie zväzku

Nájdite objem rotačného telesa získaný otáčaním oblasti ohraničenej grafom (f (x) = dfrac {x ^ 2} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} ) a X-osa za interval ([0,1] ) okolo r- os.

Riešenie

Začnime načrtnutím oblasti, ktorá sa má otáčať (pozri obrázok ( PageIndex {1} )). Z náčrtu vidíme, že metóda shellu je dobrou voľbou na riešenie tohto problému.

Objem je daný

[V = 2π int ^ 1_0x⋅ dfrac {x ^ 2} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} , dx = 2π int ^ 1_0 dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} , dx. nonumber ]

Pretože (deg ((x ^ 2 + 1) ^ 2) = 4> 3 = deg (x ^ 3), ) môžeme pokračovať v rozklade čiastočnými zlomkami. Všimnite si, že ((x ^ 2 + 1) ^ 2 ) je opakovaný neredukovateľný kvadratický. Pomocou rozkladu opísaného v stratégii riešenia problémov dostaneme

[ dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} = dfrac {Ax + B} {x ^ 2 + 1} + dfrac {Cx + D} {(x ^ 2 + 1 ) ^ 2}. nonumber ]

Nájdenie spoločného menovateľa a vyrovnanie čitateľov dáva

[x ^ 3 = (Ax + B) (x ^ 2 + 1) + Cx + D. nonumber ]

Pri riešení získame (A = 1, B = 0, C = -1, ) a (D = 0. ) Dosadením späť do integrálu máme

[V = 2π int _0 ^ 1 dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} , dx = 2π int _0 ^ 1 vľavo ( dfrac {x} {x ^ 2 +1} - dfrac {x} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} vpravo) , dx = 2π vľavo ( dfrac {1} {2} ln (x ^ 2 + 1) + dfrac {1} {2} ⋅ dfrac {1} {x ^ 2 + 1} vpravo) Veľký | ^ 1_0 = π vľavo ( ln 2− tfrac {1} {2} vpravo). nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Nastavte rozklad parciálnych zlomkov pre [ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {(x + 2) (x − 3) ^ 2 (x ^ 2 + 4) ^ 2} , dx. nonumber ]

Pomôcka

Použite stratégiu riešenia problémov.

Odpoveď

[ dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {(x + 2) (x − 3) ^ 2 (x ^ 2 + 4) ^ 2} = dfrac {A} {x + 2} + dfrac {B} {x − 3} + dfrac {C} {(x − 3) ^ 2} + dfrac {Dx + E} {x ^ 2 + 4} + dfrac {Fx + G} {(x ^ 2 + 4) ^ 2} nonumber ]

Kľúčové koncepty

  • Rozklad parciálnych zlomkov je technika používaná na rozdelenie racionálnej funkcie na súhrn jednoduchých racionálnych funkcií, ktoré je možné integrovať pomocou predtým naučených techník.
  • Pri použití rozkladu parciálnych zlomkov sa musíme ubezpečiť, že stupeň čitateľa je menší ako stupeň menovateľa. Ak nie, pred vykonaním rozkladu na parciálne frakcie musíme vykonať dlhé delenie.
  • Forma, ktorú rozklad trvá, závisí od typu faktorov v menovateli. Medzi typy faktorov patria neopakované lineárne faktory, opakované lineárne faktory, neopakované neredukovateľné kvadratické faktory a opakované neredukovateľné kvadratické faktory.

Glosár

rozklad parciálnych frakcií
technika používaná na rozdelenie racionálnej funkcie na súčet jednoduchých racionálnych funkcií

Prispievatelia a uvedenie zdroja

  • Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah spoločnosti OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.


Pozri si video: NO NAME, Karviná 2010 - part 33 (November 2021).