Články

7.3: Grafy ďalších trigonometrických funkcií


Zručnosti pre rozvoj

  • Analyzujte graf (y = tan x ).
  • Grafické variácie (y = tan x ).
  • Analyzujte grafy (y = sec x ) a (y = csc x ).
  • Variácie grafov (y = sec x ) a (y = csc x ).
  • Analyzujte graf (y = cot x ).
  • Variácie grafov (y = detská postieľka x ).

Vieme, že tangenciálnu funkciu je možné použiť na vyhľadanie vzdialeností, napríklad výšky budovy, hory alebo stožiaru. Čo však v prípade, že chceme merať opakované výskyty vzdialenosti? Predstavte si napríklad policajné auto zaparkované vedľa skladu. Rotujúce svetlo z policajného auta by v pravidelných intervaloch putovalo cez stenu skladu. Ak je vstupom čas, bude to výstupná vzdialenosť, ktorú lúč svetla prejde. Lúč svetla opakoval vzdialenosť v pravidelných intervaloch. Na priblíženie tejto vzdialenosti je možné použiť funkciu tangens. Na ilustráciu opakovaných cyklov, keď lúč beží rovnobežne so stenou, by boli potrebné asymptoty, pretože zdanlivo sa lúč svetla mohol navždy rozširovať. Graf funkcie dotyčnice by jasne ilustroval opakované intervaly. V tejto časti preskúmame grafy dotyčnice a ďalších trigonometrických funkcií.

Analýza grafu (y = tan x )

Začneme grafom funkcie tangens, vynesením bodov tak, ako sme to urobili pre funkcie sínus a kosínus. Pripomeňme si to

[ tan , x = dfrac { sin , x} { cos , x}. nonumber ]

Obdobie funkcie tangens je ( pi ), pretože graf sa opakuje v intervaloch (k pi ), kde (k ) je konštanta. Ak nakreslíme tangensovú funkciu na (- frac { pi} {2} ) do ( frac { pi} {2} ), môžeme vidieť správanie grafu v jednom úplnom cykle. Ak sa pozrieme na akýkoľvek väčší interval, uvidíme, že sa charakteristiky grafu opakujú.

To, či je dotyčnica nepárna alebo nepárna funkcia, môžeme určiť pomocou definície dotyčnice.

[ begin {align *} tan (-x) & = dfrac { sin (-x)} { cos (-x)} qquad text {definícia dotyčnice} & = dfrac { - sin , x} { cos , x} qquad text {Sínus je nepárna funkcia, kosínus je párny} & = - dfrac { sin , x} { cos , x} qquad text {Podiel nepárnej a párnej funkcie je nepárny} & = - tan , x qquad text {definícia tangenty} end {zarovnať *} ]

Preto je dotyčnica nepárna funkcia. Ďalej môžeme analyzovať grafické správanie funkcie tangens tak, že sa pozrieme na hodnoty pre niektoré špeciálne uhly uvedené v tabuľke ( PageIndex {1} ).

Tabuľka ( PageIndex {1} )
(X) (- dfrac { pi} {2} ) (- dfrac { pi} {3} ) (- dfrac { pi} {4} ) (- dfrac { pi} {6} )0 ( dfrac { pi} {6} ) ( dfrac { pi} {4} ) ( dfrac { pi} {3} ) ( dfrac { pi} {2} )
( tan x )nedefinované (- sqrt {3} )(–1) (- dfrac { sqrt {3}} {3} )0 ( dfrac { sqrt {3}} {3} )1 ( sqrt {3} )nedefinované

Tieto body nám pomôžu nakresliť náš graf, ale musíme určiť, ako sa graf správa, keď nie je definovaný. Ak sa bližšie pozrieme na hodnoty, keď ( frac { pi} {3}

Tabuľka ( PageIndex {2} )
(X)1.31.51.551.56
( tan x )3.614.148.192.6

Keď sa (x ) blíži ( dfrac { pi} {2} ), výstupy funkcie sa zväčšujú a zväčšujú. Pretože (y = tan , x ) je nepárna funkcia, v tabuľke ( PageIndex {3} ) vidíme zodpovedajúcu tabuľku záporných hodnôt.

Tabuľka ( PageIndex {3} )
(X)−1.3−1.5−1.55−1.56
( tan x )−3.6−14.1−48.1−92.6

Vidíme, že keď sa (x ) blíži (- frac { pi} {2} ), výstupy budú čoraz menšie. Pamätajte, že existujú určité hodnoty (x ), pre ktoré ( cos , x = 0 ). Napríklad ( cos left ( frac { pi} {2} right) = 0 ) a ( cos left ( frac {3 pi} {2} right) = 0 ) ). Pri týchto hodnotách nie je funkcia tangens definovaná, takže graf (y = tan , x ) má diskontinuity na (x = frac { pi} {2} ) a ( frac {3 pi} {2} ). Pri týchto hodnotách má graf dotyčnice vertikálne asymptoty. Obrázok ( PageIndex {1} ) predstavuje graf (y = tan , x ). Tangenta je kladná od (0 ) do ( frac { pi} {2} ) a od ( pi ) do ( frac {3 pi} {2} ), čo zodpovedá kvadranty I a III jednotkového kruhu.

Obrázok ( PageIndex {1} ): Graf funkcie dotyčnice

Variácie grafov (y = tan , x )

Rovnako ako u sínusových a kosínusových funkcií, tangenciálna funkcia možno opísať všeobecnou rovnicou.

[y = A tan (Bx) nonumber ]

Pomocou hodnôt (A ) a (B ) môžeme identifikovať horizontálne a vertikálne ťahy a kompresie. Horizontálne natiahnutie sa dá zvyčajne určiť z periódy grafu. Pri dotyčnicových grafoch je často potrebné určiť vertikálne natiahnutie pomocou bodu v grafe.

Pretože neexistujú žiadne maximálne alebo minimálne hodnoty funkcie tangens, výrazu amplitúda nemožno interpretovať tak, ako je to pre funkcie sínus a kosínus. Namiesto toho použijeme frázu činiteľ rozťahovania / stláčania keď sa odkazuje na konštantu (A ).

VLASTNOSTI GRAFU (y = A tan (Bx) )

  • Faktor rozťahovania je (| A | ).
  • Obdobie je (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  • Doménou sú všetky reálne čísla (x ), kde (x ≠ dfrac { pi} {2 | B |} + dfrac {π} {| B |} k ) také, že (k ) je celé číslo.
  • Rozsah je ((- infty, infty) ).
  • Asymptoty sa vyskytujú na (x = dfrac { pi} {2 | B |} + dfrac {π} {| B |} k ), kde (k ) je celé číslo.
  • (y = A tan (Bx) ) je nepárna funkcia.

Grafické znázornenie jednej periódy natiahnutej alebo komprimovanej tangenciálnej funkcie

Môžeme použiť to, čo vieme o vlastnostiach tangenciálna funkcia na rýchle načrtnutie grafu ľubovoľnej natiahnutej a / alebo stlačenej tangenciálnej funkcie tvaru (f (x) = A tan (Bx) ). Zameriavame sa na jediný obdobie funkcie vrátane pôvodu, pretože periodická vlastnosť nám umožňuje rozšíriť graf na zvyšok domény funkcie, ak si prajeme. Našou obmedzenou doménou je potom interval ( left (- dfrac {P} {2}, dfrac {P} {2} right) ) a graf má vertikálne asymptoty na ( pm dfrac {P } {2} ) kde (P = dfrac { pi} {B} ). On ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ), graf vyjde z ľavej asymptoty na (x = - dfrac { pi} {2} ), prechádzajte pôvodom a pokračujte v zvyšovaní, keď sa blíži k správnej asymptote na (x = dfrac { pi} {2} ). Aby funkcia priblížila asymptoty správnou rýchlosťou, musíme tiež nastaviť vertikálnu stupnicu skutočným vyhodnotením funkcie pre najmenej jeden bod, ktorým prejde graf. Napríklad môžeme použiť

[f left ( dfrac {P} {4} right) = A tan left (B dfrac {P} {4} right) = A tan left (B dfrac { pi} {4B} vpravo) = A nečíslo ]

pretože ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ).

Ako: Vzhľadom na funkciu (f (x) = A tan (Bx) ), nakreslite jednu periódu.

  1. Určite činiteľ napínania, (| A | ).
  2. Identifikujte B a určite bodku, (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  3. Nakreslite vertikálne asymptoty na (x = - dfrac {P} {2} ) a (x = dfrac {P} {2} ).
  4. Pre (A> 0 ) sa graf blíži k ľavému asymptotu pri záporných výstupných hodnotách a pravému asymptotu k pozitívnym výstupným hodnotám (opačne pre (A <0 )).
  5. Vykreslite referenčné body na ( doľava ( dfrac {P} {4}, A doprava) ), ((0,0) ) a ( doľava (- dfrac {P} {4}) , −A vpravo) ) a nakreslite graf cez tieto body.

Príklad ( PageIndex {1} ): skicovanie komprimovaného tangensu

Načrtnite graf jednej periódy funkcie (y = 0,5 tan vľavo ( dfrac { pi} {2} x vpravo) ).

Riešenie

Najskôr identifikujeme (A ) a (B ).

Obrázok ( PageIndex {2} )

Pretože (A = 0,5 ) a (B = dfrac { pi} {2} ), môžeme nájsť činiteľ rozťahovania / stláčania a obdobie. Perióda je ( dfrac { pi} { dfrac { pi} {2}} = 2 ), takže asymptoty sú na (x = ± 1 ). Za štvrťrok od vzniku máme

[ begin {align *} f (0,5) & = 0,5 tan left ( dfrac {0,5 pi} {2} right) & = 0,5 tan left ( dfrac { pi} { 4} vpravo) & = 0,5 end {zarovnať *} ]

To znamená, že krivka musí prechádzať bodmi ((0,5,0,5) ), ((0,0) ) a ((- 0,5, - 0,5) ). Jediný inflexný bod je na začiatku. Obrázok ( PageIndex {3} ) zobrazuje graf jednej periódy funkcie.

Obrázok ( PageIndex {3} )

( PageIndex {1} )

Načrtnite graf (f (x) = 3 tan doľava ( dfrac { pi} {6} x doprava) ).

Odpoveď

Obrázok ( PageIndex {4} )

Grafické znázornenie jednej periódy posunutej tangenciálnej funkcie

Teraz, keď môžeme vytvoriť graf a tangenciálna funkcia ktorý je natiahnutý alebo stlačený, pridáme vertikálny a / alebo horizontálny (alebo fázový) posun. V tomto prípade pridáme (C ) a (D ) do všeobecného tvaru funkcie tangens.

[f (x) = A tan (Bx-C) + D nečíslo ]

Graf transformovanej tangenciálnej funkcie sa líši od základnej tangenciálnej funkcie ( tan x ) niekoľkými spôsobmi:

Ako: Vzhľadom na funkciu (y = A tan (Bx − C) + D ), načrtnite graf jednej periódy.

  1. Vyjadrite funkciu uvedenú v tvare (y = A tan (Bx − C) + D ).
  2. Identifikujte naťahovanie / stláčanie činiteľ, (| A | ).
  3. Identifikujte (B ) a určite bodku, (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  4. Identifikujte (C ) a určte fázový posun ( dfrac {C} {B} ).
  5. Nakreslite graf (y = A tan (Bx) ) posunutý doprava o ( dfrac {C} {B} ) a nahor o (D ).
  6. Načrtnite zvislé asymptoty, ktoré sa vyskytujú na (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ), kde (k ) je nepárne celé číslo.
  7. Zostrojte ľubovoľné tri referenčné body a nakreslite graf cez tieto body.

Príklad ( PageIndex {2} ): Grafické znázornenie jednej periódy funkcie posunutej tangenty

Graf jednej periódy funkcie (y = −2 tan ( pi x + pi) −1 ).

Riešenie

  • Krok 1. Funkcia je už napísaná v tvare (y = A tan (Bx − C) + D ).
  • Krok 2.(A = −2 ), takže faktor rozťahovania je (| A | = 2 ).
  • Krok 3. (B = pi ), takže perióda je (P = dfrac { pi} {| B |} = dfrac { pi} {pi} = 1 ).
  • Krok 4. (C = - pi ), takže fázový posun je (CB = dfrac {- pi} { pi} = - 1 ).
  • Krok 5-7. Asymptoty sú na (x = - dfrac {3} {2} ) a (x = - dfrac {1} {2} ) a tri odporúčané referenčné body sú ((- 1,25,1) ), ((- 1, -1) ) a ((- 0,75, -3) ). Graf je znázornený na obrázku ( PageIndex {5} ).

Obrázok ( PageIndex {5} )

Analýza

Toto je klesajúca funkcia, pretože (A <0 ).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Ako by vyzeral graf v príklade ( PageIndex {2} ) inak, keby sme namiesto (- 2 ) vytvorili (A = 2 )?

Odpoveď

Odrazilo by sa to cez čiaru (y = −1 ) a stala by sa z toho narastajúca funkcia.

Postup: Na základe grafu funkcie dotyčnice identifikujte vodorovné a zvislé úseky.

  1. Nájdite bodku (P ) z medzery medzi nasledujúcimi vertikálnymi asymptotami alebo X- koncepty.
  2. Napíšte (f (x) = A tan doľava ( dfrac { pi} {P} x doprava) ).
  3. Určte vhodný bod ((x, f (x)) ) na danom grafe a použite ho na určenie (A ).

Príklad ( PageIndex {3} ): Identifikácia grafu roztiahnutej tangenty

Vyhľadajte vzorec pre funkciu znázornený na obrázku ( PageIndex {6} ).

Obrázok ( PageIndex {6} ): Natiahnutá tangenciálna funkcia

Riešenie

Graf má tvar dotykovej funkcie.

  • Krok 1. Jeden cyklus siaha od (- 4 ) do (4 ), takže perióda je (P = 8 ). Pretože (P = dfrac { pi} {| B |} ), máme (B = dfrac {π} {P} = dfrac { pi} {8} ).
  • Krok 2. Rovnica musí mať tvar (f (x) = A tan vľavo ( dfrac { pi} {8} x vpravo) ).
  • Krok 3. Na nájdenie vertikálneho úseku (A ) môžeme použiť bod ((2,2) ). [ begin {align *} 2 & = A tan left ( dfrac { pi} {8} cdot 2 right) & = A tan left ( dfrac { pi} {4} right) end {align *} ]

Pretože ( tan vľavo ( dfrac { pi} {4} vpravo) = 1 ), (A = 2 ).

Táto funkcia by mala vzorec (f (x) = 2 tan doľava ( dfrac { pi} {8} x doprava) ).

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Vzorec pre túto funkciu nájdeme na obrázku ( PageIndex {7} ).

Obrázok ( PageIndex {7} )

Odpoveď

(g (x) = 4 tan (2x) )

Analýza grafov (y = sec x ) a (y = csc x )

Sekunda bola definovaná recipročnou identitou (sec , x = dfrac {1} { cos x} ). Všimnite si, že funkcia nie je definovaná, keď je kosínus (0 ), čo vedie k vertikálnym asymptotám na ( dfrac { pi} {2} ), ( dfrac {3 pi} {2} ) atď. Pretože kosínus nikdy nie je väčší ako (1 ) v absolútnej hodnote, sečan, ktorý je recipročný, nikdy nebude menší ako (1 ) v absolútnej hodnote.

Môžeme vytvoriť graf (y = sec x ) pozorovaním grafu kosínusovej funkcie, pretože tieto dve funkcie sú vzájomné prevrátené. Viď obrázok ( PageIndex {8} ). Graf kosínusu je zobrazený ako prerušovaná oranžová vlna, aby sme videli vzťah. Tam, kde sa graf kosínusovej funkcie zmenšuje, sa zväčšuje graf sekansovej funkcie. Tam, kde sa zvyšuje graf kosínusovej funkcie, klesá aj graf sekansovej funkcie. Keď je kosínusová funkcia nula, sečnant je nedefinovaný.

Sekancový graf má vertikálne asymptoty pri každej hodnote (x ), kde kosínusový graf pretína os (x ) -; ukážeme ich v nižšie uvedenom grafe prerušovanými zvislými čiarami, ale nebudeme explicitne zobrazovať všetky asymptoty na všetkých ďalších grafoch obsahujúcich sekans a kosekans.

Pretože kosínus je párna funkcia, secan je tiež párna funkcia. To znamená ( sec (−x) = sec x ).

Obrázok ( PageIndex {8} ): Graf sečnovej funkcie, (f (x) = sec x = dfrac {1} { cos x} )

Rovnako ako pri funkcii tangens budeme aj naďalej označovať konštantu (| A | ) ako faktor rozťahovania, nie ako amplitúdu.

VLASTNOSTI GRAFU (y = A s (Bx) )

  • Faktor rozťahovania je (| A | ).
  • Bodka je ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  • Doména je (x ≠ dfrac { pi} {2 | B |} k ), kde (k ) je nepárne celé číslo.
  • Rozsah je ((- - ∞, - | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  • Vertikálne asymptoty sa vyskytujú na (x = dfrac { pi} {2 | B |} k ), kde (k ) je nepárne celé číslo.
  • Nie je tam žiadna amplitúda.
  • (y = A sec (Bx) ) je párna funkcia, pretože kosínus je párna funkcia.

Podobne ako secan, aj kosekans je definované recipročnou identitou ( csc x = dfrac {1} { sin x} ). Všimnite si, že funkcia nie je definovaná, keď je sínus (0 ), čo vedie k vertikálnemu asymptotu v grafe na (0 ), ( pi ) atď. Pretože sínus nikdy nie je väčší ako (1 ) v absolútnej hodnote, kosekans, ktorý je recipročný, nikdy nebude menší ako (1 ) v absolútnej hodnote.

Môžeme vytvoriť graf (y = csc x ) sledovaním grafu sínusovej funkcie, pretože tieto dve funkcie sú vzájomné prevrátené. Viď obrázok ( PageIndex {7} ). Graf sínusu je zobrazený ako prerušovaná oranžová vlna, aby sme videli vzťah. Tam, kde graf sínusovej funkcie klesá, sa zvyšuje graf kosekansovej funkcie. Tam, kde sa zvyšuje graf sínusovej funkcie, je graf kosekansová funkcia klesá.

Kosekansový graf má vertikálne asymptoty pri každej hodnote (x ), kde sínusový graf pretína os (x ) -; ukážeme ich na nasledujúcom grafe prerušovanými zvislými čiarami.

Pretože sínus je nepárna funkcia, funkcia kosekans je tiež nepárna funkcia. To znamená, ( csc (−x) = - csc x ).

Graf kosekansu, ktorý je zobrazený na obrázku ( PageIndex {9} ), je podobný grafu secantu.

Obrázok ( PageIndex {9} ): Graf funkcie kosekans, (f (x) = csc x = frac {1} { sin x} )

Variácie grafov (y = sec x ) a (y = csc x )

V prípade posunutých, komprimovaných a / alebo natiahnutých verzií funkcií sekans a kosekans môžeme postupovať podobnými metódami, aké sme použili pre tangens a kotangens. To znamená, že lokalizujeme vertikálne asymptoty a tiež vyhodnotíme funkcie pre niekoľko bodov (konkrétne lokálne extrémy). Ak chceme vykresliť iba jednu periódu, môžeme si interval pre periódu zvoliť viacerými spôsobmi. Postup pre sekans je veľmi podobný, pretože kofunkčná identita znamená, že sečanový graf je rovnaký ako kosekansový graf posunutý o pol periódy doľava. Vertikálne a fázové posuny možno na funkciu kosekans použiť rovnakým spôsobom ako na funkciu secant a ďalšie funkcie. Rovnice sa stávajú nasledujúcimi.

[y = A s (Bx-C) + D ]

[y = A csc (Bx-C) + D ]

VLASTNOSTI GRAFU (y = A s (Bx − C) + D )

  • Faktor rozťahovania je (| A | ).
  • Bodka je ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  • Doména je (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ), kde (k ) je nepárne celé číslo.
  • Rozsah je ((- - ∞, - | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  • Vertikálne asymptoty sa vyskytujú na (x = dfrac {C} {B} + dfrac {π} {2 | B |} k ), kde (k ) je nepárne celé číslo.
  • Nie je tam žiadna amplitúda.
  • (y = A sec (Bx) ) je párna funkcia, pretože kosínus je párna funkcia.

AKO: Vzhľadom na funkciu tvaru (y = A sec (Bx) ), graf jedna perióda

  1. Vyjadrite funkciu uvedenú v tvare (y = A s (Bx) ).
  2. Určte činiteľ rozťahovania / stláčania, (| A | ).
  3. Identifikujte (B ) a určite bodku, (P = dfrac {2 pi} {| B |} ).
  4. Načrtnite graf (y = A cos (Bx) ).
  5. Použite vzájomný vzťah medzi (y = cos , x ) a (y = sec , x ) na nakreslenie grafu (y = A sec (Bx) ).
  6. Načrtnite asymptoty.
  7. Zostrojte ľubovoľné dva referenčné body a nakreslite graf cez tieto body.

Otázky a odpovede: Ovplyvňujú vertikálny posun a natiahnutie / stlačenie dosah sekáča?

Áno. Rozsah (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) je ((- - ∞, - | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞) ).

Ako: Vzhľadom na funkciu tvaru (f (x) = A s (Bx − C) + D ), graf jedna perióda.

  1. Vyjadrite funkciu uvedenú v tvare (y = A s (Bx − C) + D ).
  2. Určte činiteľ rozťahovania / stláčania, (| A | ).
  3. Identifikujte (B ) a určte bodku, ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  4. Identifikujte (C ) a určte fázový posun ( dfrac {C} {B} ).
  5. Nakreslite graf (y = A s (Bx) ). ale posuňte ho doprava o ( dfrac {C} {B} ) a hore o (D ).
  6. Načrtnite zvislé asymptoty, ktoré sa vyskytujú na (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ), kde (k ) je nepárne celé číslo.

Príklad ( PageIndex {5} ): Vytvorenie grafu variácie Secant funkcie

Vytvorte graf jednej periódy (y = 4 s ľavý ( dfrac { pi} {3x} - dfrac { pi} {2} pravý) +1 ).

Riešenie

  • Krok 1. Vyjadrite funkciu uvedenú v tvare (y = 4 s ľavý ( dfrac { pi} {3x} - dfrac { pi} {2} pravý) +1 ).
  • Krok 2. Faktor rozťahovania / stláčania je (| A | = 4 ).
  • Krok 3. Obdobie je

[ begin {align *} dfrac {2 pi} {| B |} & = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {3}} & = 2 pi cdot dfrac {3} { pi} & = 6 end {zarovnať *} ]

  • Krok 4. Fázový posun je

[ begin {align *} dfrac {C} {B} & = dfrac { dfrac { pi} {2}} { dfrac { pi} {3}} & = dfrac { pi} {2} cdot dfrac {3} { pi} & = 1,5 end {zarovnať *} ]

  • Krok 5. Nakreslite graf (y = A sec (Bx) ), ale posuňte ho doprava o ( dfrac {C} {B} = 1,5 ) a nahor o (D = 6 ).
  • Krok 6. Načrtnite vertikálne asymptoty, ktoré sa vyskytujú na (x = 0 ), (x = 3 ) a (x = 6 ). Miestne minimum je ((1,5,5) ) a lokálne maximum ((4,5; -3) ). Obrázok ( PageIndex {12} ) zobrazuje graf.

Obrázok ( PageIndex {12} )

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Graf jedna perióda (f (x) = - 6 s (4x + 2) −8 ).

Odpoveď

Obrázok ( PageIndex {13} )

Q&A: Doména ( csc , x ) bola daná ako celá (x ) taká, že (x ≠ k pi ) pre akékoľvek celé číslo (k ). Bola by doména (y = A csc (Bx − C) + D ) (x ≠ dfrac {C + k pi} {B} )?

Áno. Vylúčené body domény sledujú vertikálne asymptoty. Ich umiestnenia ukazujú horizontálny posun a kompresiu alebo expanziu implikovanú transformáciou na vstup pôvodnej funkcie.

Ako: Vzhľadom na funkciu tvaru (y = A csc (Bx) ), nakreslite jednu periódu.

  1. Vyjadrite funkciu uvedenú v tvare (y = A csc (Bx) ).
  2. (| A | ).
  3. Identifikujte (B ) a určite bodku, (P = dfrac {2 pi} {| B |} ).
  4. Nakreslite graf (y = A sin (Bx) ).
  5. Použite vzájomný vzťah medzi (y = sin , x ) a (y = csc , x ) na nakreslenie grafu (y = A csc (Bx) ).
  6. Načrtnite asymptoty.
  7. Zostrojte ľubovoľné dva referenčné body a nakreslite graf cez tieto body.

Príklad ( PageIndex {6} ): Vytvorenie grafu variácie funkcie Cosecant

Graf jedna perióda (f (x) = - 3 csc (4x) ).

Riešenie

  • Krok 1. Daná funkcia je už napísaná vo všeobecnom tvare (y = A csc (Bx) ).
  • Krok 2. (| A | = | −3 | = 3 ), takže faktor rozťahovania je (3 ).
  • Krok 3. (B = 4 ), takže (P = dfrac {2 pi} {4} = dfrac { pi} {2} ). Perióda je ( dfrac { pi} {2} ) jednotiek.
  • Krok 4. Načrtnite graf funkcie (g (x) = - 3 sin (4x) ).
  • Krok 5. Na nakreslenie funkcie kosekans použite recipročný vzťah sínusových a kosekansových funkcií.
  • Kroky 6–7. Načrtnite tri asymptoty na (x = 0 ), (x = dfrac { pi} {4} ) a (x = dfrac { pi} {2} ). Môžeme použiť dva referenčné body, lokálne maximum na ( left ( dfrac { pi} {8}, - 3 right) ) a lokálne minimum na ( left ( dfrac {3 pi}) {8}, 3 vpravo) ). Obrázok ( PageIndex {14} ) zobrazuje graf.

Obrázok ( PageIndex {14} )

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Graf jedna perióda (f (x) = 0,5 csc (2x) ).

Odpoveď

Obrázok ( PageIndex {15} )

Ako: Vzhľadom na funkciu tvaru (f (x) = A csc (Bx − C) + D ), graf jedna bodka

  1. Vyjadrite funkciu uvedenú v tvare (y = A csc (Bx − C) + D ).
  2. Určte činiteľ rozťahovania / stláčania, (| A | ).
  3. Identifikujte (B ) a určte bodku, ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  4. Identifikujte (C ) a určte fázový posun ( dfrac {C} {B} ).
  5. Nakreslite graf (y = A csc (Bx) ), ale posuňte ho doprava o a hore o (D ).
  6. Načrtnite zvislé asymptoty, ktoré sa vyskytujú pri (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ), kde (k ) je celé číslo.

Príklad ( PageIndex {7} ): Vytvorenie grafu vertikálne natiahnutého, horizontálne stlačeného a vertikálne posunutého kosekanu

Načrtnite graf (y = 2 csc vľavo ( dfrac { pi} {2} x vpravo) +1 ). Aká je doména a rozsah tejto funkcie?

Riešenie

  • Krok 1. Vyjadrite funkciu uvedenú v tvare (y = 2 csc vľavo ( dfrac { pi} {2} x vpravo) +1 ).
  • Krok 2. Určte činiteľ rozťahovania / stláčania, (| A | = 2 ).
  • Krok 3. Perióda je ( dfrac {2 pi} {| B |} = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {2}} = 2 pi⋅ dfrac {2} { pi} = 4 ).
  • Krok 4. Fázový posun je ( dfrac {0} { dfrac { pi} {2}} = 0 ).
  • Krok 5. Nakreslite graf (y = A csc (Bx) ), ale posuňte ho nahor (D = 1 ).
  • Krok 6. Načrtnite zvislé asymptoty, ktoré sa vyskytujú na (x = 0 ), (x = 2 ), (x = 4 ).

Graf tejto funkcie je zobrazený na obrázku ( PageIndex {16} ).

Obrázok ( PageIndex {16} ): Transformovaná funkcia kosekans

Analýza

Vertikálne asymptoty zobrazené na grafe označujú jednu periódu funkcie a lokálne extrémy v tomto intervale sú zobrazené bodkami. Všimnite si, ako súvisí graf transformovaného kosekansu s grafom (f (x) = 2 sin left ( frac { pi} {2} x right) +1 ), ktorý sa zobrazuje ako oranžová prerušovaná vlna. .

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Vzhľadom na graf (f (x) = 2 cos left ( frac { pi} {2} x right) +1 ) zobrazený na obrázku ( PageIndex {17} ), načrtnite graf z (g (x) = 2 sec left ( dfrac { pi} {2} x right) +1 ) na rovnakých osiach.

Obrázok ( PageIndex {17} )

Odpoveď

Obrázok ( PageIndex {18} )

Analýza grafu (y = cot x )

Posledná trigonometrická funkcia, ktorú musíme preskúmať, je kotangens. Kotangens je definovaná vzájomnou identitou (cot , x = dfrac {1} { tan x} ). Všimnite si, že keď je tangenciálna funkcia (0 ), funkcia je nedefinovaná, čo vedie k vertikálnemu asymptotu v grafe na (0 ), ( pi ) atď. Pretože výstup tangenciálnej funkcie je všetko reálne čísla, výstupom kotangensovej funkcie sú tiež všetky reálne čísla.

Môžeme vytvoriť graf (y = cot x ) pozorovaním grafu tangenciálnej funkcie, pretože tieto dve funkcie sú vzájomné. Viď obrázok ( PageIndex {19} ). Tam, kde sa graf dotyčnicovej funkcie zmenšuje, sa zväčšuje graf kotančnej funkcie. Tam, kde sa zväčšuje graf funkcie dotyčnice, sa zmenšuje graf kotančnej funkcie.

Kotangensový graf má vertikálne asymptoty pri každej hodnote (x ), kde ( tan x = 0 ); ukážeme ich v nasledujúcom grafe prerušovanými čiarami. Pretože kotangens je recipročná tangenta, ( cot x ) má vertikálne asymptoty pri všetkých hodnotách (x ) kde ( tan x = 0 ) a ( cot x = 0 ) pri všetkých hodnotách (x ), kde ( tan x ) má svoje vertikálne asymptoty.

Obrázok ( PageIndex {19} ): Kotangensa funkcia

Variácie grafov (y = cot x )

Graf kotangensu môžeme transformovať rovnakým spôsobom, aký sme urobili pre dotyčnicu. Rovnica bude nasledovná.

[y = A detská postieľka (Bx − C) + D ]

VLASTNOSTI GRAFU (y = A detská postieľka (Bx-c) + D )

  • Faktor rozťahovania je (| A | ).
  • Obdobie je ( dfrac { pi} {| B |} )
  • Doména je (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ), kde (k ) je celé číslo.
  • Rozsah je ((- - ∞, - | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  • Vertikálne asymptoty sa vyskytujú na (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ), kde (k ) je celé číslo.
  • Nie je tam žiadna amplitúda.
  • (y = A cot (Bx) ) je nepárna funkcia, pretože ide o kvocient párnych a nepárnych funkcií (kosínus a sínus)

Príklad ( PageIndex {8} ): Grafické variácie funkcie Cotangent

Určte činiteľ rozťahovania, periódu a fázový posun (y = 3 cot (4x) ), a potom nakreslite graf.

Riešenie

  • Krok 1. Vyjadrenie funkcie v tvare (f (x) = A detská postieľka (Bx) ) dáva (f (x) = 3 detská postieľka (4x) ).
  • Krok 2. Faktor rozťahovania je (| A | = 3 ).
  • Krok 3. Obdobie je (P = dfrac { pi} {4} ).
  • Krok 4. Načrtnite graf (y = 3 tan (4x) ).
  • Krok 5. Zostrojte dva referenčné body. Dva také body sú ( left ( dfrac { pi} {16}, 3 right) ) a ( left ( dfrac {3 pi} {16}, - 3 right) ).
  • Krok 6. Pomocou vzájomného vzťahu nakreslite (y = 3 detská postieľka (4x) ).
  • Krok 7. Načrtnite asymptoty, (x = 0 ), (x = dfrac { pi} {4} ).

Oranžový graf na obrázku ( PageIndex {20} ) zobrazuje (y = 3 tan (4x) ) a modrý graf ukazuje (y = 3 cot (4x) ).

Obrázok ( PageIndex {20} )

Ako: Vzhľadom na upravenú kotangensovú funkciu tvaru (f (x) = A cot (Bx − C) + D ), graf jedna perióda.

  1. Funkciu vyjadrite v tvare (f (x) = A postieľka (Bx − C) + D ).
  2. Určite činiteľ napínania, (| A | ).
  3. Určte bodku, (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  4. Identifikujte fázový posun, ( dfrac {C} {B} ).
  5. Nakreslite graf (y = A tan (Bx) ) posunutý doprava o ( dfrac {C} {B} ) a nahor o (D ).
  6. Načrtnite asymptoty (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ), kde (k ) je celé číslo.
  7. Zostrojte ľubovoľné tri referenčné body a nakreslite graf cez tieto body.

Príklad ( PageIndex {9} ): Grafy upraveného kotangensu

Načrtnite graf jednej periódy funkcie (f (x) = 4 cot left ( dfrac { pi} {8} x− dfrac { pi} {2} right) −2 ).

Riešenie

  • Krok 1. Funkcia je už napísaná vo všeobecnom tvare (f (x) = A cot (Bx − C) + D ).
  • Krok 2. (A = 4 ), takže faktor napínania je (4 ).
  • Krok 3. (B = dfrac { pi} {8} ), takže perióda je (P = dfrac { pi} {| B |} = dfrac { pi} { dfrac { pi} { 8}} = 8 ).
  • Krok 4. (C = dfrac { pi} {2} ), takže fázový posun je (CB = dfrac { dfrac { pi} {2}} { dfrac { pi} {8}} = 4 ).
  • Krok 5. Nakreslíme (f (x) = 4 tan doľava ( dfrac { pi} {8} x− dfrac { pi} {2} doprava) −2 ).
  • Krok 6-7. Na orientáciu v grafe môžeme použiť tri body: ((6,2) ), ((8, -2) ) a ((10, −6) ). Pomocou recipročného vzťahu dotyčnice a kotangensu nakreslíme (f (x) = 4 cot left ( dfrac { pi} {8} x− dfrac { pi} {2} vpravo) −2 ).
  • Krok 8. Vertikálne asymptoty sú (x = 4 ) a (x = 12 ).

Graf je zobrazený na obrázku ( PageIndex {21} ).

Obrázok ( PageIndex {21} ): Jedno obdobie upravenej kotangensej funkcie

Využitie grafov trigonometrických funkcií na riešenie problémov v reálnom svete

Mnoho scenárov z reálneho sveta predstavuje periodické funkcie a je možné ich modelovať trigonometrickými funkciami. Ako príklad sa vráťme k scenáru z otvárača sekcií. Už ste niekedy videli policajný automobil tvorený rotujúcim svetlom a premýšľali ste nad pohybom samotného svetelného lúča po stene? Periodické chovanie vzdialenosti, na ktorú svetlo svieti ako funkcia času, je zrejmé, ale ako túto vzdialenosť určíme? Môžeme použiť tangenciálna funkcia.

Príklad ( PageIndex {10} ): Použitie trigonometrických funkcií na riešenie scenárov v reálnom svete.

Predpokladajme, že funkcia (y = 5 tan ( dfrac { pi} {4} t) ) označuje vzdialenosť v pohybe svetelného lúča od hornej časti policajného auta cez stenu, kde (t ) je čas v sekundách a (y ) je vzdialenosť v stopách od bodu na stene priamo oproti policajnému vozidlu.

  1. Nájdite a interpretujte činiteľ rozťahovania a obdobie.
  2. Graf na intervale ([0,5] ).
  3. Vyhodnoťte (f (1) ) a prediskutujte hodnotu funkcie pri danom vstupe.

Riešenie

  1. Z všeobecnej formy (y = A tan (Bt) ) vieme, že (| A | ) je činiteľ rozťahovania a ( dfrac { pi} {B} ) je bodka.

Obrázok ( PageIndex {22} )

Vidíme, že faktor rozťahovania je (5 ). To znamená, že svetelný lúč sa po polovici periódy pohne (5 ) stôp.

Bodka je ( dfrac { pi} { tfrac { pi} {4}} = dfrac { pi} {1} ⋅ dfrac {4} { pi} = 4 ). To znamená, že každých (4 ) sekúnd lúč svetla zametá stenu. Keď sa policajné auto priblíži, vzdialenosť od miesta naprieč policajným autom sa zväčšuje.

  1. Na vytvorenie grafu funkcie nakreslíme asymptotu na (t = 2 ) a použijeme rozťahovací faktor a bodku. Viď obrázok ( PageIndex {23} )

Obrázok ( PageIndex {23} )

  1. bodka: (f (1) = 5 tan ( frac { pi} {4} (1)) = 5 (1) = 5 ); po (1 ) sekunde sa lúč posunul (5 ) stôp od miesta naproti policajnému vozidlu.

Kľúčové rovnice

Posunutá, stlačená a / alebo natiahnutá tangenciálna funkcia (y = A tan (Bx − C) + D )
Posunutá, stlačená a / alebo natiahnutá sekánová funkcia (y = A s (Bx − C) + D )
Posunutá, stlačená a / alebo natiahnutá funkcia kosekans (y = A csc (Bx-C) + D )
Posunutá, stlačená a / alebo natiahnutá kotangensová funkcia (y = A detská postieľka (Bx − C) + D )

Kľúčové koncepty

  • Funkcia tangens má bodku (π ).
  • (f (x) = A tan (Bx − C) + D ) je dotyčnica s vertikálnym a / alebo horizontálnym natiahnutím / stlačením a posunom. Pozri príklady ( PageIndex {1} ), Example ( PageIndex {2} ) a Example ( PageIndex {3} ).
  • Sekans a kosekans sú periodické funkcie s periódou (2 pi ). (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) poskytuje posunutý, komprimovaný a / alebo natiahnutý graf sekansovej funkcie. Viď Príklady ( PageIndex {4} ) a Príklad ( PageIndex {5} ).
  • (f (x) = A csc (Bx-C) + D ) poskytne posunutý, komprimovaný a / alebo natiahnutý graf funkcie kosekans. Pozri príklady ( PageIndex {6} ) a Example ( PageIndex {7} ).
  • Kotangentová funkcia má periodické ( pi ) a vertikálne asymptoty na (0, ± pi, ± 2 pi ), ....
  • Rozsah kotangensu je ((−∞, ∞) ) a funkcia sa v každom bode rozsahu zmenšuje.
  • Kotangens je nula na (± dfrac { pi} {2}, ± dfrac {3 pi} {2} ), ....
  • (f (x) = A cot (Bx − C) + D ) je kotangens s vertikálnym a / alebo horizontálnym rozťahovaním / stláčaním a posúvaním. Pozri príklady ( PageIndex {8} ) a Example ( PageIndex {9} ).
  • Reálne scenáre je možné vyriešiť pomocou grafov trigonometrických funkcií. Viď príklad ( PageIndex {10} ).

7.3 Kruh jednotky

Hľadáte vzrušenie? Potom zvážte jazdu na Singapore Flyer, najvyššom ruskom kolese na svete. Ruské koleso sa nachádza v Singapure a stúpa do výšky 541 stôp - niečo viac ako desatinu míle! Jazdci, opísaní ako pozorovacie koleso, si užívajú nádherný výhľad, keď sa opakujúcimi cestami pohybujú od zeme k vrcholu a zase dole. V tejto časti budeme skúmať tento typ otáčavého pohybu okolo kruhu. Aby sme to mohli urobiť, musíme najskôr definovať typ kruhu a potom tento kruh umiestniť na súradnicový systém. Potom môžeme diskutovať o kruhovom pohybe z hľadiska párov súradníc.

Vyhľadanie trigonometrických funkcií pomocou kruhu jednotky

Goniometrické funkcie sme už definovali pomocou pravouhlých trojuholníkov. V tejto časti ich predefinujeme z hľadiska jednotkového kruhu. Pripomeňme, že jednotková kružnica je kružnica vystredená na počiatku s polomerom 1, ako je to znázornené na obrázku 2. Uhol (v radiánoch), ktorý pretína t t, vytvára oblúk dĺžky s. s. Pomocou vzorca s = r t, s = r t a s vedomím, že r = 1, r = 1, vidíme, že pre jednotkovú kružnicu s = t. s = t.

The X- a y-osi rozdeľujú rovinu súradníc na štyri štvrtiny nazývané kvadranty. Tieto kvadranty označíme tak, aby napodobňovali smer, ktorým by prešiel pozitívny uhol. Štyri kvadranty sú označené I, II, III a IV.

Jednotkový kruh

Definovanie sínusových a kosínusových funkcií z kruhu jednotky

Sínusové a kosínusové funkcie

Príklad 1

Nájdenie funkčných hodnôt pre sínus a kosínus

Riešenie

Vyskúšajte to # 1

Nájdenie sínusov a kosínusov uhlov na osi

Pre štvorhranné uhly padá zodpovedajúci bod na jednotkovej kružnici na X- alebo r- os. V takom prípade môžeme ľahko vypočítať kosínus a sínus z hodnôt x x a y. r.

Príklad 2

Výpočet sínusov a kosínusov pozdĺž osi

Riešenie

Potom môžeme použiť naše definície kosínu a sínusu.

Vyskúšajte # 2

Nájdite kosínus a sínus uhla π. π.

Pytagorova identita

Teraz, keď môžeme definovať sínus a kosínus, sa dozvieme, ako súvisia navzájom a jednotkovým kruhom. Pripomeňme si, že rovnica pre jednotkovú kružnicu je x 2 + y 2 = 1. x 2 + y 2 = 1. Pretože x = cos tx = cos t a y = sin t, y = sin t, môžeme nahradiť xx a yy to get cos 2 t + sin 2 t = 1. cos 2 t + sin 2 t = 1. This equation, cos 2 t + sin 2 t = 1 , cos 2 t + sin 2 t = 1 , is known as the Pythagorean Identity . See Figure 7.

We can use the Pythagorean Identity to find the cosine of an angle if we know the sine, or vice versa. However, because the equation yields two solutions, we need additional knowledge of the angle to choose the solution with the correct sign. If we know the quadrant where the angle is, we can easily choose the correct solution.

Pythagorean Identity

The Pythagorean Identity states that, for any real number t , t ,

Príklad 3

Finding a Cosine from a Sine or a Sine from a Cosine

Riešenie

Substituting the known value for sine into the Pythagorean Identity,

Because the angle is in the second quadrant, we know the X-value is a negative real number, so the cosine is also negative.

Try It #3

Finding Sines and Cosines of Special Angles

We have already learned some properties of the special angles, such as the conversion from radians to degrees, and we found their sines and cosines using right triangles. We can also calculate sines and cosines of the special angles using the Pythagorean Identity.

Finding Sines and Cosines of 45° 45° Angles

From the Pythagorean Theorem we get

We can then substitute y = x . y = x .

Next we combine like terms.

If we then rationalize the denominators, we get

Finding Sines and Cosines of 30° 30° and 60° 60° Angles

Next, we will find the cosine and sine at an angle of 30° , 30° , or π 6 . π 6 . First, we will draw a triangle inside a circle with one side at an angle of 30° , 30° , and another at an angle of −30° , −30° , as shown in Figure 11. If the resulting two right triangles are combined into one large triangle, notice that all three angles of this larger triangle will be 60° , 60° , as shown in Figure 12.

Because all the angles are equal, the sides are also equal. The vertical line has length 2 y , 2 y , and since the sides are all equal, we can also conclude that r = 2 y r = 2 y or y = 1 2 r . y = 1 2 r . Since sin t = y , sin t = y ,

Using the Pythagorean Identity, we can find the cosine value.

From the Pythagorean Theorem, we get

We have now found the cosine and sine values for all of the most commonly encountered angles in the first quadrant of the unit circle. Table 1 summarizes these values.

Figure 14 shows the common angles in the first quadrant of the unit circle.

Using a Calculator to Find Sine and Cosine

To find the cosine and sine of angles other than the special angles, we turn to a computer or calculator. Be aware: Most calculators can be set into “degree” or “radian” mode, which tells the calculator the units for the input value. When we evaluate cos ( 30 ) cos ( 30 ) on our calculator, it will evaluate it as the cosine of 30 degrees if the calculator is in degree mode, or the cosine of 30 radians if the calculator is in radian mode.

Given an angle in radians, use a graphing calculator to find the cosine.

  1. If the calculator has degree mode and radian mode, set it to radian mode.
  2. Press the COS key.
  3. Enter the radian value of the angle and press the close-parentheses key ")".
  4. Press ENTER.

Príklad 4

Using a Graphing Calculator to Find Sine and Cosine

Riešenie

Enter the following keystrokes:

Analýza

We can find the cosine or sine of an angle in degrees directly on a calculator with degree mode. For calculators or software that use only radian mode, we can find the sine of 20° , 20° , for example, by including the conversion factor to radians as part of the input:

Try It #4

Identifying the Domain and Range of Sine and Cosine Functions

Now that we can find the sine and cosine of an angle, we need to discuss their domains and ranges. What are the domains of the sine and cosine functions? That is, what are the smallest and largest numbers that can be inputs of the functions? Because angles smaller than 0 0 and angles larger than 2 π 2 π can still be graphed on the unit circle and have real values of x , y , x , y , and r , r , there is no lower or upper limit to the angles that can be inputs to the sine and cosine functions. The input to the sine and cosine functions is the rotation from the positive X-axis, and that may be any real number.

What are the ranges of the sine and cosine functions? What are the least and greatest possible values for their output? We can see the answers by examining the unit circle, as shown in Figure 15. The bounds of the X-coordinate are [ −1 , 1 ] . [ −1 , 1 ] . The bounds of the r-coordinate are also [ −1 , 1 ] . [ −1 , 1 ] . Therefore, the range of both the sine and cosine functions is [ −1 , 1 ] . [ −1 , 1 ] .

Finding Reference Angles

We have discussed finding the sine and cosine for angles in the first quadrant, but what if our angle is in another quadrant? For any given angle in the first quadrant, there is an angle in the second quadrant with the same sine value. Because the sine value is the r-coordinate on the unit circle, the other angle with the same sine will share the same r-value, but have the opposite X-hodnota. Therefore, its cosine value will be the opposite of the first angle’s cosine value.

Likewise, there will be an angle in the fourth quadrant with the same cosine as the original angle. The angle with the same cosine will share the same X-value but will have the opposite r-hodnota. Therefore, its sine value will be the opposite of the original angle’s sine value.

Recall that an angle’s reference angle is the acute angle, t , t , formed by the terminal side of the angle t t and the horizontal axis. A reference angle is always an angle between 0 0 and 90° , 90° , or 0 0 and π 2 π 2 radians. As we can see from Figure 17, for any angle in quadrants II, III, or IV, there is a reference angle in quadrant I.

  1. An angle in the first quadrant is its own reference angle.
  2. For an angle in the second or third quadrant, the reference angle is | π − t | | π − t | or | 180° − t | . | 180° − t | .
  3. For an angle in the fourth quadrant, the reference angle is 2 π − t 2 π − t or 360° − t . 360° − t .
  4. If an angle is less than 0 0 or greater than 2 π , 2 π , add or subtract 2 π 2 π as many times as needed to find an equivalent angle between 0 0 and 2 π . 2 π .

Príklad 5

Finding a Reference Angle

Find the reference angle of 225° 225° as shown in Figure 18.

Riešenie

Find the reference angle of 5 π 3 . 5 π 3 .

Using Reference Angles

Now let’s take a moment to reconsider the Ferris wheel introduced at the beginning of this section. Suppose a rider snaps a photograph while stopped twenty feet above ground level. The rider then rotates three-quarters of the way around the circle. What is the rider’s new elevation? To answer questions such as this one, we need to evaluate the sine or cosine functions at angles that are greater than 90 degrees or at a negative angle. Reference angles make it possible to evaluate trigonometric functions for angles outside the first quadrant. They can also be used to find ( x , y ) ( x , y ) coordinates for those angles. We will use the reference angle of the angle of rotation combined with the quadrant in which the terminal side of the angle lies.

Using Reference Angles to Evaluate Trigonometric Functions

We can find the cosine and sine of any angle in any quadrant if we know the cosine or sine of its reference angle. The absolute values of the cosine and sine of an angle are the same as those of the reference angle. The sign depends on the quadrant of the original angle. The cosine will be positive or negative depending on the sign of the X-values in that quadrant. The sine will be positive or negative depending on the sign of the r-values in that quadrant.

Using Reference Angles to Find Cosine and Sine

Angles have cosines and sines with the same absolute value as their reference angles. The sign (positive or negative) can be determined from the quadrant of the angle.

Given an angle in standard position, find the reference angle, and the cosine and sine of the original angle.


7.3: Graphs of the Other Trigonometric Functions

page 531:

problems 5, 12, 17, 29, 33

Possible Classroom Examples:

  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph .
  • Graph .
  • Graph .
  • Graph .
  • Graph .

Príklady

If sin A  =  9/15, find the other trigonometric ratios

sin  θ  =  Opposite side/hypotenuse side

Opposite side  =  9, Hypotenuse side  =  15

(Hypotenuse side) 2   =  (Opposite side) 2 + (Adjacent side) 2

cos A  =  Adjacent  side/hypotenuse side   =  12/15

cosec A   =  Hypotenuse side/Opposite side  =  15/9

sec A  =  H ypotenuse side/Adjacent side   =  15/12

If cos A  =  15/17, find the other trigonometric ratios

cos  θ  =  Adjacent side/hypotenuse side

Adjacent side  =  15, Hypotenuse side  =  17

(Hypotenuse side) 2   =  (Opposite side) 2  + (Adjacent side) 2

sin A  =  Opposite  side/hypotenuse side   =  8/17

cosec A   =  Hypotenuse side/Opposite side  =  17/8

sec A  =  H ypotenuse side/Adjacent side   =  17/15

If sec  θ   =  17/8, find the other trigonometric ratios

sec  θ  =  Hypotenuse side/Adjacent side

Hypotenuse side  =  17, Adjacent side  =  8

(Hypotenuse side) 2   =  (Opposite side) 2  + (Adjacent side) 2

cosec  θ   =  H ypotenuse side/Opposite side   =  17/15

Okrem vyššie uvedených vecí, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


7.3: Graphs of the Other Trigonometric Functions

Author’s word

These math lessons has been written especially to meet the requirements of higher grade students. I’ve tried my best to present the work in a clear, simple and easy style so that students may not face any difficulty. Each lesson has solved examples and practice problems with answers.

While adding new topics is an ongoing process, efforts has been made to put the concepts in a logical sequence. In spite of my best efforts to make these lessons error free, some typing errors might have gone unnoticed. I shall be grateful to generous fellows if same are brought to my notice.

Worthy suggestions for improvement of these math lessons are always welcome.

  • All Basic Trigonometric functions
  • All Trigonometric Identities and Formulas
  • Applications of Right triangle Trigonometry
  • Co-terminal Angles
  • De Moivre’s Theorem and nth Roots
  • Degree, Radians and their Conversions
  • Evaluating Trigonometric functions
  • Ferris Wheel problems (applications of trigonometric functions)
  • Graphing Sine and Cosine functions(stretching & shrinking)
  • Graphing Sine and Cosine functions ( vertical & Horizontal Translation)
  • Graphs of other Trigonometric functions (tanx , cotx, secx, cscx)
  • Law of Cosines and its Applications
  • Law of Sines and its Applications
  • Reference Angle
  • SOHCAHTOA rule and word problems.
  • Solving Trigonometric equations
  • Verify Trigonometric Identities
  • Applications of exponential functions (Compound interest)
  • Applications of exponential and logarithmic functions (Population and bacteria growth)
  • Applications of exponential functions (Intensity of earthquakes and sound loudness)
  • Domain and Range of log function
  • Exponential and Logarithmic functions
  • Log Functions and their Inverse
  • Logistic Functions and their graphs
  • Simplify Exponential expressions
  • Simplify logarithmic expressions
  • Solving Exponential Equations
  • Solving Logarithmic equations
  • Transforming and Graphing logarithmic functions

Ferris Wheel problems (applications of trigonometric functions)

Ferris Wheel (applications of trigonometric functions)

One of the most common applications of trigonometric functions is, Ferris wheel, since the up and down motion of a rider follows the shape of sine or cosine graph.

Equations used :

Y = aSin(bx-c)+d or

Y = aCos(bx-c)+d

Formula used :

vertical shift d=(max+min)/2

Example1. A Ferris wheel has a diameter of 30 m with its center 18 m above the ground. It makes one complete rotation every 60 seconds. Assuming rider starts at the lowest point, find the trigonometric function for this situation and graph the function.

Amplitude – radius of the wheel makes the amplitude so amplitude(a) = 30/2 =15.

Period– Wheel complete one rotation in 60 seconds so period is 60 sec. Using period we can find b value as,

Phase shift– There is no phase shift for this cosine function so no c value.

Vertical shift– Centre of wheel is 18m above the ground which makes the mid line, so d= 18.

Lowest point would be 18-15=3m and highest point would be 18+15= 33m above the ground. So the rider will start from 3m and reach to a height of 33 m in half the period (30 sec) and come back to lowest point (3m) again in 60 secs. So its graph would look like this.

As the graph start from lowest point and the pattern is upside down so we put a negative sign in front of cos. Summing up all the parameters above we get trigonometric function as,

Example2. A water wheel on a paddle boat has a radius of 2 m. The wheel rotates every 30 secs and bottom 0.6m of wheel is submerged in water.

  1. Considering the water surface as x axis , determine the cosine equation of the graph starting from a point at the top of wheel.
  2. Graph the height of a point on the wheel relative to the surface of water, starting from highest point.
  3. How long is the point on wheel under water.

Radius of wheel gives the amplitude so a= 2

Since radius is 2 and bottom point is -0.6, mid line will be at 2-0.6 =1.4m

Combining all the above parameters and considering top point as starting point , we get the cosine equation as,

c) To find the time for wheel under water we need to find x intercepts , intersection of cosine function with y=0(water surface) using graphic calculator. We get the intersection points as x=11.2s and x=18.8s So the total time for wheel underwater is 18.8-11.2 = 6 seconds.

Example3. The earliest sunset occurs at 5:34 PM on Dec. 21 and latest at 11:45 PM on June 21.

  1. Write cosine equation of the graph.
  2. Draw the graph approximating the sunrise time during the year.
  3. What is the sunset time on April 6.
  4. The sunset time is earlier than 8PM for what percentage of the year.

First of all we need to convert time from hour/min to decimal hour form. 5PM is equal to 17 hours and 34 min. are equal to 34/60=0.57 so we get 5:34PM equal to 17.57 hrs.

Same way we get 11:45PM equal to 23.75 hrs. because 11PM is equal to 12+11=23hrs and 45 min = 45/60 =0.75hrs.

Using these maximum and minimum values we get amplitude

For these type of problems, period is taken as 365 days. so,


Starting the graph on Jan1, max. value occurs on 21 June so

c = 31+28+31+30+31+21=172 days

d = (23.75+17.57)/2 = 20.66

Combining all above parameters , we get cosine function as,

This equation can also be written as,

considering 21 Dec. as lowest point.

3) To find sunset time on April6, we find what day of year it is.

So we plug in x as 96 into the equation found in part a.

Converting back 21.46 into decimal hour form we get,

So sunset time on April 6 is 9:28PM.

4) Sunset is earlier than 8PM for days 0 to 68 and then again days 276 to 365. So that total number of days are 157 which are 43 % of the year.

Example 4: The following table gives the average recorded monthly temperature throughout the year.

Write the cosine equation for the graph corresponding to the table given above.

Amplitude, a = [22-(-17)]/2 =39/2 = 19.5

Period = 12 months, here months are used instead of days.

Since the maximum temp. occur in the month of July which is the 7 th month so there is a phase shift of 7.

Vertical shift d =[22+(-17)]/2 = 5/2 =2.5

Combining all the parameters above, we get the final equation as,

Where x represents number of months and y represents approximate temperature.

Practice problems:

1) A Ferris wheel with radius 40 ft complete one revolution every 60 seconds. The lowest point of wheel is 5 m above the ground.

  • Draw the graph of the situation, starting with a person getting on the bottom of the wheel at t=0 seconds.
  • Determine an equation representing the path of the person on Ferris wheel.
  • Determine how high the person will be after riding for 40 seconds.
  • When the person first reach 50 ft.

2) The bottom of a windmill is 8m above the ground, and the top is 22m above the ground. The wheel rotates once every 5 seconds.

3)The average temp. for Regina is hottest at 27 on July 28, and coolest at -16 on January 10.

  • Draw the graph and write the cosine equation for the graph.
  • The average temp. is higher than 23 for how many days.

4)The latest sunrise occurs at 9:10 AM on Dec 21. The earliest occurs at 3:43 AM on June 21. Write the cosine equation for the graph.


7.3: Graphs of the Other Trigonometric Functions

The next trig function is the tangent, but that's difficult to show on the unit circle. So let's take a closer look at the sine and cosines graphs, keeping in mind that tan(&theta) = hriech(&theta)/cos(&theta) .

The tangent will be zero wherever its numerator (the sine) is zero. This happens at 0 , &pi , 2&pi , 3&pi , etc, and at &ndash&pi , &ndash2&pi , &ndash3&pi , etc. Let's just consider the region from &ndash&pi to 2&pi , for now. So the tangent will be zero (that is, it will cross the X-axis) at &ndash&pi , 0 , &pi , and 2&pi .

The tangent will be undefined wherever its denominator (the cosine) is zero. Thinking back to when you learned about graphing rational functions, a zero in the denominator means you'll have a vertical asymptote. So the tangent will have vertical asymptotes wherever the cosine is zero: at &ndash&pi/2 , &pi/2 , and 3&pi/2 . Let's put dots for the zeroes and dashed vertical lines for the asymptotes:

Now we can use what we know about sine, cosine, and asymptotes to fill in the rest of the tangent's graph: We know that the graph will never touch or cross the vertical asymptotes we know that, between a zero and an asymptote, the graph will either be below the axis (and slide down the asymptote to negative infinity) or else be above the axis (and skinny up the asymptote to positive infinity). Between zero and &pi/2 , sine and cosine are both positive. This means that the tangent, being their quotient, is positive, so the graph slides up the asymptote: Copyright © Elizabeth Stapel 2010-2011 All Rights Reserved

Between &pi/2 and &pi , sine is positive but cosine is negative. These opposite signs mean that the tangent quotient will be negative, so it will come up the asymptote from below, to meet the X -axis at X = &pi :

Since sine and cosine are periodic, then tangent has to be, as well. A quick check of the signs tells us how to fill in the rest of the graph:

  • &ndash&pi to &ndash&pi/2 : sine is negative and cosine is negative, so tangent is positive
  • &ndash&pi/2 to 0 : sine is negative but cosine is positive, so tangent is negative
  • &pi to 3&pi/2 : sine is negative and cosine is negative, so tangent is positive
  • 3&pi/2 to 2&pi : sine is negative but cosine is positive, so tangent is negative

Now we can complete our graph:

The Tangent Graph

As you can see, the tangent has a period of &pi , with each period separated by a vertical asymptote. The concept of "amplitude" doesn't really apply.

For graphing, draw in the zeroes at X = 0 , &pi , 2&pi , etc, and dash in the vertical asymptotes midway between each zero. Then draw in the curve. You can plot a few more points if you like, but you don't generally gain much from doing so.

If you prefer memorizing graphs, then memorize the above. But I always had trouble keeping straight anything much past sine and cosine, so I used the reasoning demonstrated above to figure out the tangent (and the other trig) graphs. As long as you know your sines and cosines very well, you'll be able to figure out everything else.


Frekvencia

It is the number of times something happens per unit of time.

Example – there is the sine function which is repeated 4 times between 0 and 1 –

Thus, the frequency is 4. The frequency and period are related to each other –
Frequency = 1 / period
Period = 1 / frequency

Example – 3 sin (100 (t + 0.01))

Here the period is 0.02π, thus the frequency will be 1 / 0.02π = 50π.

Thus, now you are clear with all the terms described and explained above, with examples.


Trigonometric functions

This online calculator computes the values of elementary trigonometric functions, such as sin, cos, tg, ctg, sec, cosec for an angle, which can be set in degrees, radians, or grads.

Trigonometric functions are the set of elementary functions that relates the angles of a triangle to the lengths of the sides of the triangle. They're also called circular functions. See picture.

The trigonometric functions are:
hriech — sine
cos — cosine
tg — tangent
ctg — cotangent
sec — secant
cosec — cosecant
versin — versine (versed sine)
vercos — vercosine (versed cosine)
haversin — haversed sine
exsec — exsecant
excsc — excosecant

To compute these functions, enter the angle value in the Angle field and get the table of results. The angle can be entered in degrees, radians, grads, minutes, or seconds.


Find the points at which f is discontinuous. At which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither? Sketch the graph of f.

First let us check the continuity at the point x  =  -1

By applying the limit, we get

By applying the limit, we get

So, the function is not continuous at x = -1.

Now let us check the continuity at the point x  =  1

By applying the limit, we get

By applying the limit, we get

So, the function is not continuous at x = 1.

To find a t which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither, we have to draw the number line.

Applying the limit, we get

Applying the limit, we get

Applying the limit, we get

Find the points at which f is discontinuous. At which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither? Sketch the graph of f.

First let us check the continuity at the point x  =  0

By applying the limit, we get

By applying the limit, we get

So, the function is not continuous at x = 0.

To find at which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither, we have to draw the number line.

Applying the limit, we get

Applying the limit, we get

After having gone through the stuff given above, we hope that the students would have understood, " How to Sketch the Graph and Find Continuity of Functions"

Apart from the stuff given in " How to Sketch the Graph and Find Continuity of Functions" ,   if you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


Trigonometric Function and the Unit Circle

The unit circle is often used to define a trigonometric function, like the versine.

A unit circle has a radius of 1, centered at the origin (0, 0) of the Cartesian plane. Many trigonometric functions are defined in terms of the unit circle, including the sine function, cosine function and tangent function. That’s why trig functions are sometimes called “circular” functions.


Pozri si video: Graf lineární funkce 1 - Jak na to? (December 2021).