Články

8.5: Trojuholníky, pravidelné šesťuholníky a nepravidelné polygóny - matematika


8.5: Trojuholníky, pravidelné šesťuholníky a nepravidelné polygóny - matematika

5.20: Pravidelné a nepravidelné polygóny

Pochopte a identifikujte pravidelné a nepravidelné polygóny.

Obrázok ( PageIndex <1> )

Logan sledoval ulice po svojom meste. Pripravuje sa na vysledovanie uvedenej ulice. Naznačí tvar a okrúhle hrany nakreslí ako priame čiary. Bude výsledný tvar pravidelný alebo nepravidelný mnohouholník, a o aký typ mnohouholníka pôjde?

V tomto koncepte sa naučíte, ako zistiť, či je mnohouholník pravidelný alebo nepravidelný.


Polygon Puzzle

Účelom tejto aktivity je zapojiť študentov do využívania vlastností nepravidelných polygónov na riešenie problému.

Základné vedomosti a zručnosti, ktoré by sa mali získať pred a / alebo počas tejto činnosti, sú uvedené v nasledujúcom diagrame:

  • Vlastnosti polygónov
    Pomenujte 2D uzavretý tvar, ktorý má sedem strán.
  • Vlastnosti bežných polygónov
    Ak má trojuholník všetky tri uhly rovnakej veľkosti, bude to isté platiť o dĺžkach troch strán?
  • Vlastnosti nepravidelných polygónov
    Ak má štvoruholník poradie rotačnej symetrie jedna, je to pravidelný alebo nepravidelný mnohouholník?
  • Riešenie problému týkajúceho sa znakov 2-D tvarov.
    Dopravná značka je vyrobená z dvoch nepravidelných päťuholníkov, ktoré sú spolu spojené svojimi najdlhšími stranami. Dopravná značka je pravidelný mnohouholník. Čo ti hovorí značka?

Táto aktivita sa môže uskutočňovať s postupným vedením alebo umožnením študentovi riadiť sa jeho vlastnou metódou riešenia. Tento prístup by sa mal zvoliť na základe pochopenia schopností a hĺbky porozumenia študentov.

Učiteľ matematiky chce vytvoriť puzzle z nepravidelných mnohouholníkov, po jednom od trojuholníka po sedmiúhelník, ktoré by do seba zapadli a vytvorili lístok formátu A4.


Súčet vnútorných uhlov šesťuholníka sa rovná 720 °.

Ako je znázornené na obrázku vyššie, je možné nakresliť tri uhlopriečky, ktoré rozdelia šesťuholník na štyri trojuholníky. Modré čiary hore ukazujú iba jeden spôsob rozdelenia šesťuholníka na trojuholníky, existujú aj ďalšie. Súčet vnútorných uhlov štyroch trojuholníkov sa rovná súčtu vnútorných uhlov šesťuholníka. Pretože súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 °, je súčet vnútorných uhlov šesťuholníka 4 & # 215 180 & deg = 720 °.


(Matematický) problém s päťuholníkmi

Detské bloky ležia roztrúsené na podlahe. Začnete sa s nimi hrať - štvorce, obdĺžniky, trojuholníky a šesťuholníky - posúvať ich, obracať a vidieť, ako do seba zapadajú. Z usporiadania týchto tvarov do dokonalého vzoru pocítite prvotné uspokojenie, čo vás pravdepodobne mnohokrát potešilo. Ale videli ste niekedy zo všetkých blokov, ktoré ležali naplocho na stole alebo podlahe, nejaké tvarované ako päťuholníky?

Ľudia už tisíce rokov študujú, ako spojiť tvary, aby vytvorili hračky, podlahy, steny a umenie - a porozumieť matematike, ktorá za týmito vzormi stojí. Ale až tento rok sme konečne vyriešili otázku, ako päťstranné polygóny „obkladajú lietadlo“. Prečo päťuholníky tak dlho predstavovali taký veľký problém?

Jedná sa o najjednoduchšie nakláňanie roviny. Sú „monohedrálne“, pretože pozostávajú iba z jedného typu polygonálnych dlaždíc, sú „od okraja po okraj“, čo znamená, že rohy mnohouholníkov sa vždy zhodujú s ostatnými rohmi a sú „pravidelné“, pretože jedna dlaždica opakovane používaný pravidelný mnohouholník, ktorého bočné dĺžky sú rovnaké, rovnako ako jeho vnútorné uhly. Naše vyššie uvedené príklady používajú rovnostranné trojuholníky (pravidelné trojuholníky), štvorce (pravidelné štvoruholníky) a pravidelné šesťuholníky.

Zdieľajte tento článok

Skopírované!

Spravodaj

Nechajte si časopis Quanta časopis doručovať do schránky

Je pozoruhodné, že tieto tri príklady sú jedinými pravidelnými monohedrálnymi náklonmi roviny od okraja k okraju: Žiadny iný pravidelný mnohouholník nebude fungovať. Matematici tvrdia, že žiadny iný pravidelný polygón „nepripúšťa“ monohedrálny obklad roviny od okraja po okraj. A tento ďalekosiahly výsledok je v skutočnosti celkom ľahké zistiť pomocou iba dvoch jednoduchých geometrických faktov.

Po prvé, je tu skutočnosť, že v mnohouholníku s n strany, kde n musí byť najmenej 3, súčet an n-gonove vnútorné uhly, merané v stupňoch, sú

To platí pre každý polygón s n strany, pravidelné alebo nie, a vyplýva to zo skutočnosti, že an n-stranný polygón môžeme rozdeliť na (n - 2) trojuholníky a súčet mier vnútorných uhlov každého z nich (n - 2) trojuholníky majú 180 stupňov.

Po druhé, pozorujeme, že miera uhla úplnej cesty okolo ktoréhokoľvek bodu je 360 ​​stupňov. To je niečo, čo môžeme vidieť pri pretínaní kolmých čiar, pretože 90 + 90 + 90 + 90 = 360.

Čo majú tieto dve skutočnosti spoločné s obkladmi pravidelných polygónov? Podľa definície sú vnútorné uhly pravidelného mnohouholníka rovnaké a keďže poznáme počet uhlov (n) a ich súčet (180 (n - 2)), stačí rozdeliť a vypočítať mieru každého jednotlivého uhla.

Pravidelne môžeme vytvoriť graf na meranie vnútorného uhla n-góny. Tu sú až n = 8, pravidelný osemuholník.

n názov Súčet vnútorných uhlov Jeden vnútorný uhol
3 Rovnostranný trojuholník 180 60
4 Námestie 360 90
5 Pentagón 540 108
6 Šesťhran 720 120
7 Heptagon 900 $ latex 128 frac <4> <7> $
8 Osemuholník 1080 135

Tento graf vyvoláva najrôznejšie zaujímavé matematické otázky, ale teraz len chceme vedieť, čo sa stane, keď sa pokúsime dať veľa rovnakých n-góny spolu v určitom okamihu.

Pokiaľ ide o obklad rovnostranného trojuholníka, vidíme šesť trojuholníkov, ktoré sa spájajú pri každom vrchole. To funguje perfektne: Miesto každého vnútorného uhla rovnostranného trojuholníka je 60 stupňov a 6 × 60 = 360, čo je presne to, čo potrebujeme okolo jedného bodu. Podobne aj pre štvorce: Štyri štvorce okolo jedného bodu pri 90 stupňoch nám dávajú 4 × 90 = 360.

Ale počnúc päťuholníkmi sa dostávame do problémov. Tri päťuholníky vo vrchole nám dávajú 324 stupňov, čo ponecháva medzeru 36 stupňov, ktorá je príliš malá na to, aby sa vyplnila ďalším päťuholníkom. A štyri päťuholníky v jednom bode vytvárajú nežiaduce prekrývanie.

Bez ohľadu na to, ako ich usporiadame, nikdy nedostaneme päťuholníky, ktoré by sa tesne vyrovnali okolo vrcholu bez medzery a prekrytia. To znamená, že pravidelný päťuholník nepripúšťa žiadny monohedrálny obklad roviny od okraja po okraj.

Podobný argument ukáže, že po šesťuholníku - ktorého 120-stupňové uhly úhľadne vypĺňajú 360 stupňov - nebude fungovať žiadny iný pravidelný polygón: Uhly v každom vrchole jednoducho nepridajú až 360, ako je požadované. A s tým sú úplne pochopené pravidelné, monohedrálne náklony roviny od okraja po okraj.

To samozrejme matematikom nikdy nestačí. Po vyriešení konkrétneho problému začneme podmienky uvoľňovať. Napríklad čo ak sa neobmedzíme na bežné polygonálne dlaždice? Držíme sa „vypuklých“ mnohouholníkov, tých, ktorých vnútorné uhly sú menšie ako 180 stupňov, a dovolíme im nimi pohybovať, otáčať ich a obracať ich. Ale nebudeme predpokladať, že bočné dĺžky a vnútorné uhly sú rovnaké. Za akých okolností by také polygóny mohli obložiť lietadlo?

Pre trojuholníky a štvoruholníky je odpoveď pozoruhodne vždy! Môžeme ľubovoľným trojuholníkom otočiť o 180 stupňov okolo stredu jednej z jeho strán, aby sme vytvorili rovnobežník, ktorý sa dá ľahko obkladať.

Podobná stratégia funguje pre akýkoľvek štvoruholník: Štvoruholník jednoducho otočte o 180 stupňov okolo stredu každej zo svojich štyroch strán. Opakovaním tohto procesu sa vytvorí legitímna dlažba roviny.

Všetky trojuholníky a štvoruholníky - teda aj nepravidelné - teda pripúšťajú monohedrálny obklad roviny od okraja po okraj.

Ale s nepravidelnými päťuholníkmi to nie je také jednoduché. Naše skúsenosti s nepravidelnými trojuholníkmi a štvoruholníkmi by sa mohli zdať ako dôvod nádeje, ale je ľahké vytvoriť nepravidelný, konvexný päťuholník, ktorý nepripúšťa monohedrálny obklad roviny od okraja po okraj.

Zvážte napríklad päťuholník nižšie, ktorého vnútorné uhly merajú 100, 100, 100, 100 a 140 stupňov. (Nemusí byť zrejmé, že taký päťuholník môže existovať, ale pokiaľ neurčíme nijaké obmedzenia v dĺžkach strán, môžeme vytvoriť päťuholník z ľubovoľných piatich uhlov, ktorých rozmery sú 540 stupňov.)

Päťuholník vyššie nepripúšťa nijaký monohedrálny obklad roviny od okraja po okraj. Aby sme to dokázali, musíme si iba uvedomiť, ako by bolo možné usporiadať viac kópií tohto päťuholníka na vrchole. Vieme, že pri každom vrchole v našom obklade musia byť miery uhlov súčet 360 stupňov. Ale nie je možné dať dohromady 100-stupňové a 140-stupňové uhly, aby sme vytvorili 360 stupňov: Ak chcete získať presne 360, nemôžete pridať 100 a 140 s.

Kombinácie uhlov Deficit
140 + 140 = 280 80
140 + 100 + 100 = 340 20
100 + 100 + 100 = 300 60

Bez ohľadu na to, ako sa snažíme tieto päťuholníkové dlaždice spojiť, vždy skončíme s medzerou menšou ako je dostupný uhol. Konštrukcia nepravidelného päťuholníka týmto spôsobom nám ukazuje, prečo nie všetky nepravidelné päťuholníky môžu obkladať rovinu: Existujú určité obmedzenia v uhloch, ktoré nie všetky päťuholníky spĺňajú.

Ale ani mať sadu piatich uhlov, ktoré môžu vytvárať kombinácie, ktoré vytvárajú až 360 stupňov, nestačí na to, aby zaručil, že daný päťuholník dokáže obložiť rovinu. Zvážte päťuholník uvedený nižšie.

Tento päťuholník bol skonštruovaný tak, aby mal uhly 90, 90, 90, 100 a 170 stupňov. Všimnite si, že každý uhol je možné nejakým spôsobom skombinovať s ostatnými a vytvoriť tak 360 stupňov: 170 + 100 + 90 = 360 a 90 + 90 + 90 + 90 = 360.

Boky boli tiež skonštruované osobitným spôsobom: dĺžky AB, BC, CD, DE a EA sú 1, 2, 3, X a r, resp. Môžeme vypočítať X a r, ale stačí vedieť, že sú chaotické iracionálne čísla a že sa nerovnajú 1, 2 alebo 3 alebo navzájom. To znamená, že keď sa pokúsime vytvoriť obklad roviny od okraja po okraj, každá strana tohto päťuholníka má iba jednu možnú zhodu z inej dlaždice.

S týmto vedomím môžeme rýchlo zistiť, že tento päťuholník nepripúšťa nijaké obkladanie roviny od okraja po okraj. Zvážte stranu dĺžky 1. Tu sú jediné dva možné spôsoby spojenia dvoch takýchto päťuholníkov na tejto strane.

Prvý vytvára medzeru 20 stupňov, ktorú nemožno nikdy vyplniť. Druhý vytvára 100-stupňovú medzeru. Máme 100-stupňový uhol, s ktorým môžeme pracovať, ale kvôli obmedzeniu okrajov na r strane máme iba dve možnosti.

Ani jedno z týchto usporiadaní nevytvára platné nakláňanie od okraja po okraj. Tento konkrétny päťuholník teda nemožno použiť pri obkladoch roviny od okraja po okraj.

Začíname vidieť, že komplikované vzťahy medzi uhlami a stranami robia monohedrálne tilingy od okraja po okraj s päťuholníkmi obzvlášť zložité. Potrebujeme päť uhlov, z ktorých každý sa dá skombinovať s kópiami seba samého a ostatných s celkovým počtom 360. Potrebujeme však aj päť strán, ktoré sa k týmto uhlom zmestia. Ďalej to komplikuje, že strany a uhly päťuholníka nie sú nezávislé: Nastavením obmedzenia uhlov sa vytvoria obmedzenia pre dĺžky strán a naopak. S trojuholníkmi a štvoruholníkmi všetko vždy zapadne, ale pokiaľ ide o päťuholníky, je to vyváženie, ktoré všetko napraví.

Ale niektoré spravodlivé päťuholníky existujú. Tu je príklad objavený Marjorie Riceovou v 70. rokoch.

Riceov päťuholník pripúšťa obklad lietadla od okraja po okraj.

Veci sa stávajú zložitejšími, keď uvoľníme viac podmienok. Keď odstránime obmedzenie od okraja po okraj, otvorí sa nám úplne nový svet obkladov. Napríklad jednoduchý obdĺžnik 2: 1 pripúšťa iba jeden obklad roviny od okraja po okraj, ale pripúšťa nekonečne veľa náklonov roviny, ktoré nie sú od okraja po okraj!

U päťuholníkov to dodáva ďalší rozmer zložitosti už tak zložitému problému nájsť správnu kombináciu strán a uhlov. To je čiastočne dôvod, prečo trvalo vyriešenie otázky 100 rokov, viacerým prispievateľom a nakoniec vyčerpávajúcemu počítačovému vyhľadávaniu. 15 typov konvexných päťuholníkov, ktoré umožňujú nakláňanie (nie všetky hrany) lietadla, objavili Karl Reinhardt v roku 1918, Richard Kershner v roku 1968, Richard James v roku 1975, Marjorie Rice v roku 1977, Rolf Stein v roku 1985 a Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann a David Von Derau v roku 2015. A ďalšiemu matematikovi v roku 2017, Michaëlovi Raovi, trvalo výpočtové overenie, že žiadne iné také päťuholníky nemôžu fungovať. Spolu s ďalšími existujúcimi poznatkami, ako napríklad so skutočnosťou, že žiadny konvexný polygón s viac ako šiestimi stranami nedokáže obložiť rovinu, sa tým nakoniec stala dôležitá otázka v matematickom štúdiu obkladov.

Pokiaľ ide o obkladanie lietadla, päťuholníky zaberajú oblasť medzi nevyhnutelným a nemožným. Mať päť uhlov znamená, že priemerný uhol bude dosť malý na to, aby dal päťuholníku šancu na dokonalé prispôsobenie, ale tiež to znamená, že by mohlo existovať dostatočné množstvo nezhôd medzi stranami, aby sa tomu zabránilo. Jednoduchý päťuholník nám ukazuje, že aj po tisíckach rokov nás otázky týkajúce sa obkladov stále vzrušujú, inšpirujú a ohromujú. A s mnohými otvorenými otázkami, ktoré zostávajú v oblasti matematických obkladov - ako je hľadanie hypotetického konkávneho „einsteinovského“ tvaru, ktorý dokáže rovinu obkladať iba neperiodicky -, pravdepodobne budeme tieto časti dávať dokopy ešte dlho.

Stiahnite si pracovný list & # 8220Math Problem With Pentagons & # 8221 PDF, aby ste si precvičili koncepty a zdieľali ich so študentmi.


Tessellations v reálnom živote

Tessellations sú kombináciou matematiky, umenia a zábavy. V tomto ohľade existuje veľa aplikácií v reálnom živote, od vzorov na podlahách až po skladačky s priamočiarou pílou. Tessellations sú pozorované v niektorých dielach veľkých umelcov ako M.C. Escher. Príklady krásnych tessalácií v prírode sú praskliny v sušenom bahne alebo keramike, bunkové štruktúry v biológii a kryštály v kovových ingotoch.

Táto galéria predstavuje niekoľko príkladov mozaikovania v umení a vo svete.


Súčet uhlov

Viete, že súčet vnútorných uhlov v ľubovoľnom trojuholníku je 180 °. Môžete povedať niečo o uhloch v iných polygónoch?

Asi viete, že obdĺžniky majú štyri 90 ° uhly. Takže ak, ak majú všetky štvoruholníky rovnaký súčet vnútorného uhla, musí to byť 360 ° (od 4 × 90 ° = 360 °).

Ale všimnite si: Nemusíme mať nutne dôvod domnievať sa, že táto konštantná suma by bola pravdivá. Pamätajte, že kongruencia SSS platí pre trojuholníky, ale nie pre iné polygóny. Trojuholníky sú zvláštne a nemali by sme predpokladať, že pravdivé výroky o trojuholníkoch budú platiť aj pre iné tvary.

Mysli / spáruj / zdieľaj

Akýkoľvek štvoruholník možno rozdeliť na dva trojuholníky, kde sa všetky vrcholy trojuholníkov zhodujú s vrcholmi štvoruholníka:

Použite obrázky vyššie na dôkladné vysvetlenie toho, prečo všetky štvoruholníky skutočne majú súčet uhlov 360 °.

Na vlastnú päsť

Na nasledujúcich cvičeniach pracujte samostatne alebo s partnerom.

  1. Na papier nakreslite niekoľko rôznych päťuholníkov. Ukážte, že každý z nich možno rozdeliť na presne tri trojuholníky tak, aby sa všetky vrcholy trojuholníkov zhodovali s vrcholmi päťuholníka.
  2. Využite skutočnosť, že každý päťuholník je možné rozdeliť týmto spôsobom na tri trojuholníky, aby ste našli súčet uhlov v ľubovoľnom päťuholníku.
  3. Na papier nakreslite niekoľko rôznych šesťuholníkov. Ukážte, že každý z nich možno rozdeliť na presne štyri trojuholníky, aby sa všetky vrcholy trojuholníkov zhodovali s vrcholmi šesťuholníka.
  4. Využite skutočnosť, že každý šesťuholník je možné týmto spôsobom rozdeliť na štyri trojuholníky, aby ste našli súčet uhlov v ľubovoľnom šesťuholníku.

Úloha 7

Svoju prácu na vyššie uvedených cvičeniach využite na vyplnenie tohto všeobecného tvrdenia:

Súčet uhlov v polygónoch

Súčet vnútorných uhlov v n-uholníku (mnohouholník s n stranami) je

Vysvetlite, ako viete, že vaše tvrdenie je pravdivé.

Definícia

A pravidelné mnohouholník má všetky strany rovnako dlhé a všetky uhly majú rovnakú mieru.

Napríklad štvorce sú pravidelné štvoruholníky - všetky štyri strany majú rovnakú dĺžku a všetky štyri uhly merajú 90 °. Ale štvorcový obdĺžnik nie je nie pravidelné. Aj keď sú všetky uhly 90 °, bočné strany nie sú rovnako dlhé. Podobne je to aj štvorcový kosoštvorec nie pravidelné. Aj keď sú strany kosoštvorca rovnako dlhé, uhly môžu byť rôzne.

Úloha 8

Pretože štvorec je pravidelný štvoruholník, viete, že každý uhol v pravidelnom štvoruholníku meria 90 °. A čo uhly v iných bežných polygónoch?


Mnohosteny možno klasifikovať mnohými spôsobmi. Môžu byť napríklad klasifikované ako pravidelné a nepravidelné mnohosteny. Pravidelný mnohosten je mnohosten, ktorého tváre sú všetky kongruentné pravidelné mnohouholníky. Akýkoľvek mnohosten, ktorý nespĺňa tieto podmienky, sa považuje za nepravidelný.

Mnohosteny možno tiež klasifikovať ako konvexné a konkávne. Konkávny mnohosten má najmenej jednu plochu, ktorá je konkávnym polygónom. Mnohosten, ktorý nie je konkávny, je konvexný. Mnohosteny možno klasifikovať aj podľa počtu tvárí, ktoré majú. Napríklad štvorsten má 4 tváre, päťuholník má 5 tvárí a šesťuholník má 6 tvárí.

Nasleduje zoznam výrazov, ktoré sa často používajú na opis mnohosteny na základe ich charakteristík.

Hranoly

Hranoly sú mnohosteny, ktoré majú dve zhodné tváre, nazývané základy, ležiace v rovnobežných rovinách. Hranol sa zvyčajne nazýva podľa tvaru svojich mnohouholníkových podstavcov. Bočné plochy (strany, ktoré nie sú základmi) sú rovnobežníky, obdĺžniky alebo štvorce.

Pravidelný hranol Nepravidelný hranol
Základne pre pravidelný šesťhranný hranol uvedené vyššie majú základne, ktoré sú pravidelnými šesťuholníkmi. Podklady pre šesťhranný hranol uvedené vyššie sú nepravidelný šesťuholník.

Pyramídy

Pyramídy sú mnohosteny, ktoré majú ako základňu mnohouholník a všetky ostatné tváre majú trojuholníky. Pyramída sa tiež zvyčajne nazýva tvarom svojej mnohouholníkovej základne.

Pravidelná pyramída Nepravidelná pyramída
Základňa štvorcovej pyramídy hore má základňu, ktorá je štvorcom (pravidelný mnohouholník). Základom pre lichobežníkovú pyramídu je lichobežník s nerovnými stranami (ide teda o nepravidelný mnohouholník).

Pravidelná mnohostena

Pravidelný mnohosten je mnohosten, ktorého tváre sú všetky zhodné, pravidelné mnohouholníky. Pravidelný mnohosten je pomenovaný na základe počtu tvárí. Existuje iba päť mnohostenov, ktoré sú pravidelnými mnohostenmi, ktoré sa označujú ako platónske pevné látky.

Päť platónskych pevných látok

Vo vyššie uvedenom diagrame je každá pravidelná mnohostena pomenovaná na základe počtu tvárí. Sieť pod každým náčrtom zobrazuje 2D obraz všetkých tvárí mnohostena.

Väčšina pravidelných hranolov sa všeobecne nepovažuje za pravidelný mnohosten. Kocka je jediný pravidelný hranol, ktorý je možné klasifikovať aj ako pravidelný mnohosten.


Rovnako pravidelný štvorsten je jedinou pravidelnou pyramídou, ktorá je tiež pravidelným mnohostenom.


Čo sú to pravidelné tvary a nepravidelné tvary?

the rozdiel medzi pravidelným tvarom a nepravidelné tvary. Thaera, A pravidelný mnohouholník je taká, kde sú všetky strany zhodné a všetky vnútorné uhly sú zhodné. An nepravidelný mnohouholník je taký, ktorý nie je pravidelné.

Je obdĺžnik tiež pravidelný tvar? A pravidelný mnohouholník musia byť rovnostranné (všetky strany majú rovnakú dĺžku) aj rovnostranné (všetky uhly rovnakej miery). A obdĺžnik je rovnoramenný. Avšak a obdĺžnik nikdy nemôže byť, podľa definície, rovnostranný. Všetky jeho strany nemôžu mať nikdy rovnakú dĺžku, takže nikdy nemôžu byť pravidelné.

Čo sú to tiež nepravidelné tvary a príklady?

Nepravidelné mnohouholníky môžu byť stále päťuholníky, šesťuholníky a nonagony, ale nemajú zhodné uhly alebo rovnaké strany. Tu je niekoľko príkladov nepravidelných polygónov. V týchto polygónoch sú niektoré strany zreteľne dlhšie ako iné a niektoré uhly sú širšie ako ostatné, musia byť preto nepravidelné.

Čo je to objekt nepravidelného tvaru?

Nazývajú sa tie látky, ktoré nemajú pevný geometrický tvar nepravidelné predmety. Niektoré z príkladov nepravidelné predmety sú kúsky rozbitého skla, kúsok kameňa, kúsok papiera, kúsok tehly, lístia atď.


Polygóny

Polygóny sú uzavreté postavy vyrobené z priamych línií bez križovatiek. Pravidelné mnohouholníky majú všetky strany rovnako dlhé. V týchto pracovných listoch študenti identifikujú mnohouholníky a pravidelné mnohouholníky.

K5 Learning ponúka bezplatné pracovné listy, kartičky a lacné pracovné zošity pre deti v materskej škole do 5. ročníka. Pomáhame vašim deťom budovať dobré študijné návyky a vyniknúť v škole.

K5 Learning ponúka bezplatné pracovné listy, kartičky a lacné pracovné zošity pre deti v materskej škole do 5. ročníka. Pomáhame vašim deťom budovať dobré študijné návyky a vyniknúť v škole.


Pozri si video: Kružnica vpísaná do trojuholníka (December 2021).