Články

1: Sady - Matematika


  • 1.1: Úvod do množín
    Sada je zbierka vecí. Veci sa nazývajú prvky množiny. Ide nám hlavne o množiny, ktorých prvkami sú matematické entity, ako sú napríklad čísla, body, funkcie atď. Množina sa často vyjadruje uvedením jej prvkov medzi čiarkami a zloženými zátvorkami. Napríklad kolekcia {2, 4, 6, 8} je množina, ktorá má štyri prvky, čísla 2, 4, 6 a 8. Niektoré množiny obsahujú nekonečne veľa prvkov. Zvážte napríklad zhromaždenie všetkých celých čísel.
  • 1.2: Kartézsky súčin
  • 1.3: Podskupiny
  • 1.4: Sady napájania
    Vzhľadom na množinu môžete vytvoriť novú súpravu pomocou operácie napájania.
  • 1.5: Únia, križovatka, rozdiel
    pretože čísla sú kombinované s operáciami ako sčítanie, odčítanie a násobenie, existujú rôzne operácie, ktoré možno použiť na množiny. Jednou z takýchto operácií je karteziánsky produkt; dané množiny (A ) a (B ), môžeme ich skombinovať s ( krát ), aby sme získali novú množinu (A krát B ). Tu sú tri nové operácie, ktoré sa nazývajú zjednotenie, križovatka a rozdiel.
  • 1.6: Doplnok
  • 1.7: Vennove diagramy
  • 1.8: Indexované množiny
    Ak matematický problém obsahuje veľa množín, je často vhodné ich sledovať pomocou indexov (indexy). Takže namiesto toho, aby sme označili tri množiny ako A, B a C, mohli by sme ich namiesto toho zapísať ako A1, A2 a A3. Nazývajú sa indexované množiny.
  • 1.8: Skupiny, ktoré sú číselnými systémami
  • 1.9: Russell’s Paradox

Otázky typu krátkej odpovede
Q1. Napíšte tieto sady do pekáča z


Q2. Napíšte tieto sady do pekáča:


Q4. Uveďte, ktoré z nasledujúcich tvrdení sú pravdivé a ktoré sú nepravdivé. Zdôvodnite svoju odpoveď.
(i) 35 ∈ .
(ii) 128 e
(iii) 3∉
(iv) 496 ∉.
Sol: (i) Faktory 35 sú 1, 5, 7 a 35. Takže 35 je prvkom množiny. Preto je tvrdenie pravdivé.

ii) Faktory 128, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 a 128.
Súčet faktorov = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255 * 2 x 128 Preto je tvrdenie nepravdivé.

(iii) Máme, x 4 & # 8211 5x 3 + 2x 2 & # 8211 1 12jc + 6 = 0 Forx = 3, máme
(3) 4 – 5(3) 3 + 2(3) 2 – 112(3) + 6 = 0
= & gt 81 & # 8211 135 + 18-336 + 6 = 0
= & gt -346 = 0, čo nie je pravda.
Takže 3 nie je prvkom množiny
Preto je tvrdenie pravdivé.

(iv) 496 = 2 4 x 31
Faktory 496 sú teda 1,2,4, 8, 16,31,62, 124,248 a 496.
Súčet faktorov = 1 +2 + 4 + 8+ 16 + 31 + 62 + 124 + 248 + 496 = 992 = 2 (496)
Takže 496 je prvok množiny. Výrok je teda nepravdivý

Q6. Ak sú A a B podmnožiny univerzálnej množiny U, potom to ukážte
(i) A⊂ A∪ B
ii) A⊂B⟺A∪B = B
(iii) (A∩B) ⊂ A



Q7. Vzhľadom na to, že N = <1,2,3, & # 8230, 100>. Potom napíš
i) podmnožina N, ktorej prvkami sú párne čísla.
ii) podmnožina N, ktorej prvkom sú dokonalé štvorcové čísla.
Sol: Máme, N = <1,2, 3,4, & # 8230, 100>
(i) podmnožina N, ktorej prvkami sú párne čísla = <2,4, 6, 8, & # 8230, 100>
ii) podmnožina N, ktorej prvky sú dokonalé štvorcové

Q8. Ak X = <1, 2, 3>, ak n predstavuje ktoréhokoľvek člena X, napíšte nasledujúce množiny obsahujúce všetky čísla predstavované znakom
(i) 4n
ii) n + 6
(iii) n / 2
(iv) n-1

Q9. Ak Y = <1,2,3, & # 8230, 10> a a predstavuje ľubovoľný prvok Y, napíšte nasledujúce množiny obsahujúce všetky prvky vyhovujúce daným podmienkam.

Q10. A, B a C sú podmnožiny univerzálnej množiny, ak A = <2, 4, 6, 8, 12, 20>, B = <3,6,9,12,15>, C = <5,10,15, 20> a U je množina všetkých celých čísel, nakreslite Vennov diagram, ktorý ukazuje vzťah U, A, B a C.

Q11. Nech U je množina všetkých chlapcov a dievčat v škole, G je množina všetkých dievčat v škole, B je množina všetkých chlapcov v škole a S je množina všetkých študentov v škole, ktorí plávajú . Niektorí, ale nie všetci, študenti v škole plávajú. Nakreslite Vennov diagram, ktorý ukazuje jeden z možných vzájomných vzťahov medzi množinami U, G, B a S.

Q12. Pre všetky množiny A, B a C ukážte, že (A & # 8211 B) ∩ (C & # 8211 B) = A & # 8211 (B ∪ C)

Pokyn k cvičeniu 13-17: Zistite, či sú všetky výroky v týchto cvičeniach pravdivé alebo nepravdivé. Zdôvodnite svoju odpoveď.

Q13. Pre všetky množiny A a B je (A & # 8211 B) ∪ (A∩ B) = A
Sol: Pravdaže
L.H.S. = (A-B) ∪ (A∩B) = [(A-B) ∪A] ∩ [(A & # 8211 B) ∪B]
= A∩ (A-B) = A = R.H.S.
Preto je dané tvrdenie pravdivé.

Q14. Pre všetky množiny A, B a C, A & # 8211 (B-C) = (A- B) -C
Sol: Falošné

Q15. Pre všetky množiny A, B a C, ak A ⊂ B, potom A ∩ C & lt⊂B ∩C

Sol: Pravdaže
Nech x ∈A∩C
= & gt x ∈ A a x∈ C.

Q16. Pre všetky množiny A, B a C, ak A⊂ B, potom A ∪ C⊂ B ∪ C
Sol: Pravdaže

Q17. Pre všetky množiny A, B a C, ak A⊂ C a B ⊂ C, potom A∪ B ⊂ C

Pokyn k cvičeniu 18-22: Používanie vlastností množín dokazuje tvrdenia uvedené v týchto cvičeniach.

Q18. Pre všetky množiny A a B platí A ∪ (B -A) = A ∪ B

Q19. Pre všetky množiny A a B je A & # 8211 (A & # 8211 B) = A ∩ B

Q20. Pre všetky množiny A a B je A & # 8211 (A ∩ B) = A & # 8211 B


Q21. Pre všetky množiny A a B platí (A ∪ B) - B = A-B


Dlhé odpovede na otázky typu

Q23. Nech A, B a C sú množiny. Potom ukážte, že A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Z (i) a (ii) dostaneme. .
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Q24. Zo 100 študentov 15 úspešne absolvovalo anglický jazyk, 12 úspešne absolvovalo matematiku, 8 prírodovedných predmetov, 6 anglických jazykov a matematiku, 7 matematických a prírodovedných predmetov 4 anglicky a prírodovedné predmety 4 vo všetkých troch. Zistite, koľko prešlo
i) v angličtine a matematike, ale nie v prírodných vedách
ii) z matematiky a prírodných vied, ale nie z anglického jazyka
(iii) iba v matematike
(iv) iba vo viac ako jednom predmete
Sol. Nech M je množina študentov, ktorí úspešne absolvovali matematiku, E je množina študentov, ktorí úspešne zvládli anglický jazyk, a S je množina študentov, ktorí úspešne zvládli prírodovedu.

Vzhľadom na n (U) = 100,
n (E) = 15, n (M) = 12, n (S) = 8,
n (E ∩ M) = 6, n (M ∩ S) = 7, n (E ∩ S) - 4, a n (E ∩ M ∩ S) = 4,

Počet študentov absolvovaných v angličtine a matematike, ale nie v prírodných vedách = b = 2
ii) Počet študentov absolvovaných v odbore matematika a prírodné vedy, ale nie v angličtine = d = 3
(iii) Počet študentov absolvovaných iba v matematike = e = 3
(iv) Počet študentov, ktorí úspešne absolvovali viac ako jeden predmet = a + b + c + d = 4 + 2 + 0 + 3 = 9

Q25. V triede so 60 žiakmi hrá 25 žiakov kriket a 20 žiakov tenis a obe tieto hry hrá 10 študentov. Nájdite počet študentov, ktorí nehrajú ani jeden.
Sol: Nech C je množina študentov, ktorí hrajú kriket, a T je množina študentov, ktorí hrajú tenis.
n (U) = 60, n (C) = 25, n (T) = 20 a n (C CT) = 10
n (C ∪ T) = n (C) + n (T) & # 8211 n (C n T) = 25 + 20 & # 8211 10 = 35

Q26. Prieskumom medzi 200 študentmi školy sa zistilo, že 120 študuje matematiku, 90 študuje fyziku a 70 študuje chémiu, 40 študuje matematiku a fyziku, 30 študuje fyziku a chémiu, 50 študuje chémiu a matematiku a 20 z týchto predmetov nie je. Nájdite počet študentov, ktorí študujú všetky tri predmety.
Sol: Nech M je množina študentov, ktorí študujú matematiku, P je množina študentov, ktorí študujú E fyziku, a C je množina študentov, ktorí študujú chémiu

Q27. V meste s 10 000 rodinami sa zistilo, že 40% rodín kupuje noviny A, 20% rodín kupuje noviny B, 10% rodín kupuje noviny C, 5% rodín kupuje A a B, 3% kupuje B a C a 4% kupuje A a C. Ak 2% rodiny kúpia všetky tri noviny. Nájsť
a) Počet rodín, ktoré kupujú iba noviny A.
b) počet rodín, ktoré si nekúpia nič z A, B a C.
Sol:
Nech A je množina rodín, ktoré kupujú noviny A, B je množina rodín, ktoré kupujú noviny B a C, je množina rodín, ktoré kupujú noviny C.

Počet rodín, ktoré si nekúpia nič z A, B a C = 10 000 x (40/100)

Q28. V skupine 50 študentov sa zistil nasledujúci počet študentov študujúcich francúzsky, anglicky a sanskrt: francúzsky = 17, anglický = 13, sanskrtský = 15, francúzsky a anglický = 09, anglický a sanskrtský = 4, francúzsky a Sanskrit = 5, angličtina, francúzština a sanskrit = 3. Nájdite počet študentov, ktorí študujú
i) iba francúzština
ii) iba v angličtine
(iii) Iba sanskrt
(iv) angličtina a sanskrt
v) francúzština a sanskrt, ale nie angličtina
vi) francúzština a angličtina, ale nie sanskrt
vii) najmenej jeden z troch jazykov
viii) žiadny z troch jazykov, ale nie francúzština

Sol: Nech F je množina študentov študujúcich francúzštinu, E je množina študentov študujúcich angličtinu a S je množina študentov študujúcich sanskrt.
Potom, n
n (F ∩ E) = 9, n (E ∩ S) = 4, n (F ∩ S) = 5, n (F ∩ E ∩ S) = 3


i) Počet študentov študujúcich iba francúzštinu = e = 6
ii) Počet študentov študujúcich iba angličtinu = g = 3
(iii) Počet študentov študujúcich iba sanskrt = f = 9
(iv) Počet študentov študujúcich angličtinu a sanskrt, ale nie francúzštinu = c = 1
(v) Počet študentov študujúcich francúzštinu a sanskrt, ale nie angličtinu = d = 2
(vi) Počet študentov študujúcich francúzštinu a angličtinu, ale nie sanskrt = b = 6
vii) Počet študentov študujúcich najmenej jeden z troch jazykov = a + b + c + d + e + f + g = 30
(viii) Počet študentov neštudujúcich žiadny z troch jazykov, ale nie francúzsky, = 50-30 = 20


Q30. Dve konečné množiny majú prvky m a n. Počet podmnožín prvej sady je o 112 viac ako počet druhej sady. Hodnoty m sú n (a) 4,7 (b) 7,4 (c) 4,4 (d) 7, 7


Q32. Nech F1 byť súborom paralelogramov, F2 množina obdĺžnikov, F3 súbor kosoštvorcov, F4 množina štvorcov a F5 súbor lichobežníkov v rovine. Potom F1sa môže rovnať
a) F2 ∩F3
b) F3 ∩F4
c) F2 u Fs

d) F2 ∪ F3 ∪ F4 ∪ F.1
Sol:
d) Každý obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec v rovine je rovnobežník, ale každé lichobežník nie je rovnobežník.
F1 = F.2 ∪ F.3 ∪ F.4 ∪ F1

Q33. Nech S = množina bodov vo vnútri štvorca, T = množina bodov vo vnútri trojuholníka a C = množina bodov vo vnútri kruhu. Ak sa trojuholník a kruh pretínajú navzájom a sú obsiahnuté vo štvorci, potom

Q34. Nech R je množina bodov vo vnútri obdĺžnika strán a a b (a, b> 1) s dvoma stranami pozdĺž kladného smeru osi x a osi y. Potom

Q35. V triede so 60 žiakmi hrá 25 žiakov kriket a 20 žiakov tenis a obe tieto hry hrá 10 študentov. Počet študentov, ktorí nehrajú ani jeden, potom nie je
a) 0 (b) 25 (c) 35 (d) 45
Sol: Nech C je množina študentov, ktorí hrajú kriket, a T je množina študentov, ktorí hrajú tenis.
n (U) = 60, n (C) = 25, n (T) = 20 a n (C ∩ T) = 10
n (C ∪ T) = n (C) + n (T) & # 8211 n (C n T) = 25 + 20 & # 8211 10 = 35

Q36. V meste s 840 osobami čítalo 450 osôb hindčinu, 300 anglicky a 200 obidvoch. Potom je počet osôb, ktoré nečítajú ani jeden
a) 210 (b) 290 (c) 180 (d) 260
Sol:
(b) Nech H je skupina osôb čítajúcich hindčinu a E je skupina osôb čítajúcich angličtinu.


Riešenia NCERT pre matematiku triedy 11, kapitola 1, sady Ex 1.2

Získajte zadarmo riešenia NCERT pre matematiku triedy 11, kapitola 1, sady Ex 1.2 PDF v hindčine a angličtine. Sady matematiky triedy 11, riešenia NCERT, sú pri domácich úlohách mimoriadne užitočné. Sady cvičení 1.2 Matematika triedy 11, riešenia NCERT pripravili učitelia v odbore Experienced LearnCBSE.in. Podrobné odpovede na všetky otázky v kapitole 1 Súpravy triedy 11, sada Ex 1.2, uvedené v učebnici NCERT.

Zadarmo na stiahnutie NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 1 sets Ex 1.2 PDF in Hindi Medium as well as in English Medium for CBSE, Uttarakhand, Bihar, MP Board, Gujarat Board, BIE, Intermediate and UP Board, who are using NCERT Books based o aktualizovaných študijných programoch CBSE pre zasadanie 2019-20.

Trieda 11 Matematika Riešenia NCERT Kapitola 1 Súpravy Ex 1.2

Otázka 1: Ktorý z nasledujúcich textov je nastavený na nulu?
i). Sada nepárnych prirodzených čísel, ktorá je deliteľná 2.
ii). Sada párnych čísel, ktoré sú prvočísla
(iii).
(iv).

Riešenie:

Q.2: Uveďte, či sú nasledujúce množiny nekonečné alebo konečné:
i). Sada mesiacov v roku.
ii). <1, 2, 3….>
(iii). <1, 2, 3 ... 99, 100>
(iv). Sada kladných celých čísel, ktoré sú väčšie ako 100.
(v). Sada prvočísiel, ktoré sú menšie ako 99

Riešenie:

Q.3: Uveďte, či sú nasledujúce množiny nekonečné alebo konečné:
i). Sada priamok rovnobežných s osou x.
ii). Sada písmen v samohláskach.
(iii). Sada čísel násobkom 10.
(iv). Súbor ľudí žijúcich na Zemi.
(v). Sada kruhov prechádzajúcich počiatkom (0, 0).

Riešenie:

Riešenie:

Q.5. Je si v nasledujúcej sade uvedenej dvojice rovnaká?
i). A = <3, 4>
B =
ii). A =
B =

Riešenie:

Riešenie:

Riešenia NCERT pre matematiku triedy 11, kapitola 1, nastavuje v hindčine výraz Ex 1.2


(v) 99 छोटे छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय <2, 3, 5, 7, & # 8230 & # 8230 97> है जिसमें अवयवों की संख्या निश्चित है।
Názov: यह यह परिमित समुच्समुच है।

न्रश्न 3.
निम्नलिखित समुच्चयों में से प्रत्येक के लिए बताइए कि कौन परिमित है और कौन अपरिमित है?
(i) x- अक्ष के समांतर रेखाओं का समुच्चय।
(ii) अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय अंग
(iii) उन संख्याओं का समुच्चय जो 5 के गुणज हैं।
(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय
(v) मूल बिन्दु (0, 0) से होकर जाने वाले वृत्तों का समुच्चय।
हल:
(i) x- अक्ष के समांतर अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं। अत: यह एक अपरिमित समुच्चय है।
ii) अंग्रेजी वर्णमाला में कुल 26 अक्षर होते हैं। इन अक्षरों से बनने वाला समुच्चय परिमित होगा।
(iii) 5 विभे विभाजित होने वाली संख्याओं का समुच्चय <5, 10, 15, 20, & # 8230.> है, जिसमें अनंत अवयव हैं। अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय परिमित होगा।
(v) मूल बिन्दु को केन्द्र मानकर अनन्त वृत्त चे जा सकते हैं। Názov: यह अपरिमित होगा।

न्रश्न 4.
निम्नलिखित में बताइए कि A = B है अथवा नहीं है।
i) A = , B =
(ii) A = <4, 8, 12, 16>, B = <8, 4, 16, 18>
(iii) A = <2, 4, 6, 8, 10>, B =
(iv) A = , B = <10, 15, 20, 25, 30 a # 8230>
हल:
(i) A और B दोनों समुच्चयों के अवयव a, b, c, d हैं अतः A = B.
ii) A में अवयव 12 है परन्तु B में नहीं है अतः A ≠ B.
(iii) A Bर B दोनों समुच्चयों में अवयव 2, 4, 6, 8 10र 10 हैं। अतः A = B.
(iv) A = <10, 20, 30, 40, & # 8230 ..>, B = <10, 15, 25, 30, & # 8230.>
10 ंे गुणजों में 5, 15, 25 नहीं आता है। अतः A ≠ B.

न्रश्न 5.
क्या निम्नलिखित समुच्चय युग्म समान हैं? कारण सहित बताइए।
(i) A = <2, 3>
B =
ii) A =
B =
हल:
(i) A = <2, 3>, B = x: x णरण x² + 5x + 6 = 0> = <-2, -3>
स्पष्ट है कि समुच्चय A और B के अवयव भिन्न हैं।
अत: A ≠ B.
ii) A = , B =
समुच्च्य A और B के अवयव समान हैं। अत: A = B.

न्रश्न 6.
नीचे दिए गए समुच्चयों में से समान समुच्चयों का चयन कीजिए:
A = <2, 4, 8, 12>
B = <1, 2, 3, 4>
C = <4, 8, 12, 14>
D = <3, 1, 4, 2>
E = <- 1, 1>
F = <0, a>
G = <1, -1>
H = <0,1,>
हल:
चयाँ समुच्चय B और D के अवयव 1, 2, 3, 4, हैं।
B = D
तथा समुच्चय E और G में -1, 1 mesiac समान हैं।
E = G


1: Sady - Matematika

Nechcem patriť do žiadneho klubu, ktorý bude za svojich členov prijímať ľudí ako som ja.

V našej snahe o rozum o veličinách a vzťahoch, chceli by sme spracovať veličiny, ktoré sú o niečo všeobecnejšie ako celé čísla (napríklad skutočné čísla). Radi by sme riešili aj vzťahy. Aby sme to dosiahli, vyvinieme jazyk, ktorý je v podstate ekvivalentný logike, ale jeho používanie je o niečo intuitívnejšie. Tento jazyk je jazykom sady.

Prehľad množín

  • Čo je to sada? (táto strana) Množiny sú ako otvorené vety.
  • Nastaviť operácie a podmnožiny. Sety sa dajú skombinovať tak, aby boli zaujímavejšie. Môže to byť zložité. Ako dokázať tvrdenia o množinách? Sady sú často určené otvorenými vetami. Môže to byť zložitejšie, ako sa zdá.
  • Rodiny množín a „zovšeobecnené“ operácie s množinami. Prečo sa zastaviť na dvoch setoch?
  • Cvičte so sadami.

Čo je to súprava?

Intuitívne vymedzenie množiny je iba súborom vecí. Toto samozrejme nie je veľká definícia. Mnoho matematikov na konci devätnásteho storočia si skutočne myslelo, že na presnej definícii množiny veľmi nezáleží. Ale filozof a matematik Bertrand Russell, ktorý písal v roku 1901, zistil, že musíme byť opatrnejší. Zvažoval nasledujúce:

Definícia. Voláme zbierku obyčajný ak neobsahuje sám seba. Inak hovoríme zbierka mimoriadny.

Väčšina zbierok je obyčajná, napríklad zbierka všetkých bernských salašníckych psov nie je sama o sebe bernským salašníckym psom. Množina všetkých prirodzených čísel nie je sama o sebe prirodzeným číslom. Niektoré zbierky sú však mimoriadne, napríklad:

  • Zbierka abstraktných myšlienok je abstraktná myšlienka.
  • Zbierka matematických objektov je matematický objekt.
  • Zbierka všetkých zbierok je zbierkou.

Russell si preto položil otázku: Je zbierka bežných zbierok bežná? Aby sme si to uľahčili, napíšme za zbierku mimoriadnych zbierok, do zbierky bežných zbierok a píšte a lebo „je mimoriadny“, respektíve „je obyčajný“. Teda zbierka uspokojuje presne kedy a presne kedy .

Existujú dve možnosti. Ak je zbierka bežných zbierok obyčajná (), potom to vieme musí byť obyčajný, takže nemôže obsahovať seba, t.j. . Ak je zbierka bežných zbierok mimoriadna, (), potom to vieme musí obsahovať sám seba, tak . Ale zbierka nemôže byť tak obyčajná, ako aj mimoriadna.

Takže takáto zbierka vedie k paradoxu - presne tak, ako to urobila veta, ktorá je nepravdivá. Russellov paradox ukazuje, že musíme byť veľmi opatrní pri slovách „je v“.

Definícia. A nastaviť je objekt, pre ktorý je položená otázka „Je v ? "má jednoznačnú odpoveď. Píšeme (čítať „ je prvkom ") ak je odpoveď kladná a ak je odpoveď nie.

Ďalším spôsobom, ako to formulovať, je: je množina presne kedy je otvorená veta.


Predhovor
Poznámka pre čitateľa
Náhľad
Časť I. Kategória súprav:
1. Súpravy, mapy, kompozícia
Časť II. Algebra zloženia:
2. Izomorfizmy
Časť III. Kategórie štruktúrovaných súprav:
3. Príklady kategórií
Časť IV. Základné vlastnosti univerzálneho mapovania:
4. Univerzálne mapovacie vlastnosti
Časť V. Vyššie vlastnosti univerzálneho mapovania:
5. Mapové objekty
6. Funtor kontravariantných častí
7. Funktor zložiek
Dodatok 1. Geometria obrazcov a algebra funkcií
Dodatok 2. Susedné funktory
Príloha 3. Vznik teórie kategórií v matematike
Príloha 4. Komentovaná bibliografia.

F. William Lawvere, Štátna univerzita v New Yorku, Buffalo
F. William Lawvere je emeritný profesor matematiky na Štátnej univerzite v New Yorku. Predtým pôsobil na pozíciách Reed College, University of Chicago a City University v New Yorku, ako aj navštevoval profesúry v iných inštitúciách po celom svete. Na medzinárodnom kongrese matematikov v Nice v roku 1970 predniesol profesor Lawvere pozvanú prednášku, na ktorej predstavil algebraickú verziu teórie topos, ktorá spojila niekoľko predtým „nesúvisiacich“ oblastí v geometrii a v teórii množín v rámci desiatok kníh, niekoľkých desiatok medzinárodných stretnutí a odvtedy sa objavili stovky výskumných prác, ktoré pokračujú v rozvíjaní dôsledkov tohto zjednotenia.


Úvod do škôlky a raquo

V Materskej škole by sa inštruktážny čas mal zamerať na dve kritické oblasti: (1) predstavovanie a porovnávanie celých čísel, spočiatku so súbormi objektov (2), ktoré popisujú tvary a priestor. Viac času na učenie v materskej škole by sa malo venovať číslu ako iným témam.

Študenti používajú čísla vrátane napísaných číslic na reprezentáciu veličín a na riešenie kvantitatívnych problémov, ako je počítanie objektov v množine počítanie daného počtu objektov porovnávaním množín alebo číslic a modelovanie jednoduchých situácií spájania a oddeľovania so sadami objektov, prípadne s rovnice ako 5 + 2 = 7 a 7 & # 8211 2 = 5. (Študenti materskej školy by mali vidieť rovnice sčítania a odčítania a študentom sa odporúča písanie rovníc v materskej škole, ale nie je to potrebné.) Študenti si vyberajú, kombinujú a aplikovať efektívne stratégie na zodpovedanie kvantitatívnych otázok, vrátane rýchleho rozpoznania kardinálností malých množín predmetov, počítania a výroby množín daných veľkostí, počítania počtu objektov v kombinovaných množinách alebo počítania počtu objektov, ktoré zostanú v množine po niekoľkých odvezený.


1: Sady - Matematika

Čítania k relácii 1 - (pokračovanie)

Súpravy a individuálna korešpondencia


Nastaviť
: V matematike nazývame zbierky predmetov sady.

V nasledujúcej relácii bude uvedená starostlivejšie formulovaná definícia súboru objektov, ktoré majú byť sadou. Správna notácia použitá pre množiny Prehliadač nepodporuje vložené rámce alebo je momentálne nakonfigurovaný tak, aby nezobrazoval vložené rámce. bude dané. Táto správna notácia bude použitá v tomto kurze a je použitá v iných kurzoch matematiky. Pre tento úvod je však táto neformálna definícia dosť dobrá.

Príklad: Zbierka hmyzu na predchádzajúcej stránke je súborom hmyzu.

Príklad: Zbierka číslic, ktorá predstavuje prvých dvanásť počítajúcich čísel, je množina <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12>.

Individuálna korešpondencia a rovnocennosť súprav: Ak možno prvky dvoch sád spárovať tak, že každý prvok je spárovaný s presne jedným prvkom z druhej sady, potom existuje osobná korešpondencia medzi týmito dvoma súpravami. Tieto dve sady vraj sú ekvivalent .

Notácia: Súpravy A a Bekvivalent a označuje sa ako A

Príklad: Z predchádzajúceho príkladu by dieťa povedalo, že existuje 12 druhov hmyzu, pretože dieťa vytvorilo korešpondenciu 1: 1 so súborom <1, 2, 3,…, 12> a súborom hmyzu.

Príklad: Zobraziť sadu A = < a, b, c > a nastav B = sú rovnocenné, t.j. A


Tieto dve sady sú rovnocenné, pretože medzi týmito dvoma sadami je možné uskutočňovať vzájomnú korešpondenciu. Poznač si to A

Poznámka: Tu rovnaké a ekvivalentné znamenajú dve rôzne veci. Rovnaké množiny sú ekvivalentné, ale ekvivalentné množiny môžu nie byť si rovný. Toto bolo ilustrované v uvedenom príklade, kde A

B, ale AB. Dve množiny sú si rovnaké, ak majú úplne rovnaké prvky, a množiny sú si rovnocenné, ak je možné medzi týmito dvoma množinami vytvoriť vzájomnú korešpondenciu.
Ukázali sme úzky vzťah medzi konceptom vzájomnej korešpondencie a predstavou počtu prvkov v množine, ktorá sa nazýva mohutnosť množiny. (Pozrite si vyššie uvedený počet hmyzu.) Tento prieskum nás priviedol k nasledujúcim definíciám týkajúcim sa súborov vášho prehliadača, ktoré nepodporujú vložené rámce alebo sú v súčasnosti nakonfigurované tak, aby nezobrazovali vložené rámce. prirodzené a celé čísla do množín. Ďalej si všimneme, že tento vzťah úzko súvisí s tým, ako sa malé deti učia počítať.

Sady čísel: Súbor prirodzené čísla (alebo počítanie čísel) je množina N = <1, 2, 3, …>.
Súbor celé čísla je sada Ž = <0, 1, 2, 3, …>.

Kardinálne číslo súpravy : Počet prvkov v súprave je Základná číslovka tej sady.

Notácia: Ak súprava A je ekvivalentom množiny <1, 2, 3,…, N>, píšeme n(A) = N a povedzte „Kardinálne číslo súpravy A je N.”
Tiež n(Ø) = 0. Kardinálne číslo pre prázdnu množinu je nula.

Príklad: Keď sme spočítali hmyz vo vyššie uvedenom príklade, ukázali sme si vzájomnú korešpondenciu medzi množinou <1, 2, 3,…, 12> a množinou hmyzu, tj. Ukázali sme množinu hmyzu a sada <1, 2, 3,. 12> sú ekvivalentné. Ukázali sme, že tieto dve sady sú rovnocenné. To znamená, že potom, čo sme spočítali hmyz a povedali, že existuje dvanásť hmyzu, povedali sme, že kardinálne číslo pre sadu hmyzu je 12.

Ďalšie príklady základných čísel pre množiny budú uvedené v nasledujúcej relácii.

Kardinálne číslo nula, 0, ste sa pravdepodobne naučili oveľa neskôr v živote, dosť potom, ako ste sa naučili počítať. To platí aj v histórii človeka. Kardinálne číslo nula bolo vynájdené oveľa neskôr ako ktorékoľvek z prirodzených čísel.


Sady Mandelbrot

Prevažná časť súpravy Mandelbrot je čierna kardioidná. (Kardioid je postava v tvare srdca). Je posiaty kruhmi po celej svojej hranici. Tu je zväčšenie oblasti kruhu nad kardioidom. Upozorňujeme, že tento kruh a všetky ďalšie kruhy, ktoré vidíte, sú tiež posiate kruhmi. Na kardioidei je nekonečne veľa kruhov, každý z týchto kruhov má na sebe nekonečne veľa kruhov a stále dokola donekonečna. To vytvára veľa kruhov!

Zelená figúrka je Julia s parametrom # 181 odobratým zo stredu kruhu na vrchu kardioidu.

Ak sa pozriete zblízka, uvidíte nad diskusným kruhom pramene tmavomodrej. Takže, čo sa tam hore deje? Toto je časť tejto figúry.

Aha! V hornej časti obrázka je niečo čierne. Čo je to?

Je to ďalší kardioid s pridruženými kruhmi! Nie úplne rovnaké, ale blízke. V skutočnosti existuje veľa týchto malých malých zhlukov. Nájdete ich pozdĺž vlákien spájajúcich všetko dohromady.


Riešenia NCERT pre matematiku triedy 11 súpravy kapitoly 1

Získajte riešenia NCERT pre množiny matematiky triedy 11 v tomto sprievodcovi krok za krokom. V niekoľkých štátnych radách a školách CBSE sa študenti učia prostredníctvom kníh NCERT. Keď sa kapitola končí, študenti dostanú v cvičení niekoľko otázok, aby zhodnotili svoje pochopenie kapitoly. Študenti často potrebujú poradenstvo pri riešení týchto riešení NCERT. Je prirodzené, že sa pri ich riešení zaseknete v cvičeniach, aby sme pomohli študentom dosiahnuť vyššie skóre, a preto sme pre všetky cvičenia matematických súprav triedy 11 krok za krokom poskytli riešenia NCERT, aby ste od nich mohli hľadať pomoc. Študenti by mali tieto cvičenia starostlivo vyriešiť, pretože z týchto otázok sú kladené otázky pri záverečných skúškach, takže tieto cvičenia majú priamy vplyv na konečné skóre študentov. Nižšie nájdete všetky riešenia NCERT pre matematické súbory triedy 11 a ľahko sa pripravte na skúšky.

Výhody riešení NCERT

Existuje niekoľko výhod riešení NCERT, ale niektoré z nich sú uvedené nižšie.
1. Poskytuje podrobné riešenia pre jasné pochopenie.
2. Spoločnosť Extramarks ponechala riešenia NCERT bezplatné.
3. Riešenia sú podrobné a systematické pre každú kapitolu.
4. CBSE trieda 11 NCERT riešenia umožňujú študentovi ľahko sa usadiť v prúde, ktorý si vybrali.
5. Je vydaný v jednoduchom jazyku, ktorý je ľahko zrozumiteľný pre študentov triedy 11.

Tipy a stratégie pre prípravu na skúšku triedy 11

1. Preštudujte si riešenia NCERT uvedené na webovej stránke Extramarks.
2. Študujte pomocou Extramarkov - The Learning App a pripravujte sa prostredníctvom interaktívnych výučbových video modulov.
3. Precvičte si použitie vzorových papierov, ktoré sú k dispozícii v učebnej aplikácii.
4. Pripravte si časový rozvrh a ušetrite čas na revíziu.
5. Získajte jasnosť koncepcie tým, že budete navštevovať kurzy klamstva od najlepších učiteľov v krajine

Prečo sa rozhodnúť pre riešenie Extramarks NCERT pre triedu 11?

Či už cvičíte doma alebo na hodinách, tieto riešenia prídu vhod, pretože budete pokračovať v riešení otázok za kratší čas a budete musieť svoje odpovede overovať súčasne. Extramarks Education si kladie za cieľ pomôcť študentom triedy 11 porozumieť koncepciám komplexným spôsobom tak, aby ich základňa bola silná pre skúšky 12. rady a konkurenčné skúšky.


CBSE Kapitola 1 stanovuje matematickú známku múdrej otázky pre triedu 11

Jedným z najlepších spôsobov, ako sa pripraviť na skúšku, je precvičenie kapitoly 1 - Matematika označuje otázku za múdru. Študenti získajú predstavu o testovacom vzore a schéme značenia. Taktiež oboznámi študentov s otázkami a úrovňou náročnosti otázok položených pri skúške. Niektoré výhody riešenia CBSE triedy 11 Kapitola 1 Nastavuje matematiku Známky múdra otázka sú uvedené nižšie.

  • Pomáha pri úplnom opracovaní konceptov
  • Pomáha prekonať strach pred skúškou
  • Zlepšuje schopnosti riadenia času
  • Rozvíja rýchlosť a presnosť
  • Pomáha pri opravovaní chýb

Ak sa pripravujete na skúšky na nástenke CBSE, nastal čas, keď plánujete efektívne a pracujete inteligentnejšie. Jedným zo spôsobov, ako študovať inteligentnejšie, je investovať svoje úsilie do najdôležitejších otázok a uistiť sa, že ste s týmito otázkami spokojní. Kapitoly, ktoré majú vysokú váhu, musíte dokončiť s maximálnou efektivitou, aby ste mohli vyriešiť každú otázku, ktorá sa ich týka. Na tejto stránke vám poskytneme otázky ohľadne známok CBSE triedy 11.

Uistite sa, že ste dokončili kompletný sylabus CBSE triedy 11 na základe známok múdrych otázok CBSE triedy 11 každej jednotky. Kapitola s vysokou hmotnosťou musí byť dôkladne dokončená. Zároveň musíte mať základné znalosti o všetkých kapitolách. Riešiť známky múdre otázky všetkých typov.

CBSE Trieda 11 Kapitola 1 Nastavuje matematiku Známky Múdra otázka PDF

Trieda 11 sa považuje za najdôležitejšiu časť pre študentov túžiacich po absolvovaní skúšky NEET. V CBSE triedy 11 je študentom predstavených niekoľko dôležitých kapitol, ktoré majú zásadný význam pre formovanie základných zručností potrebných pre kariéru lekára a zosilňovača.

Sylabus CBSE triedy 11 obsahuje rôzne dôležité témy, schémy a definície, ktoré musia študenti dôkladne absolvovať, aby boli schopní dobre skóre na skúške z 11. triedy. Aby študenti v triede 11 dosiahli dobré známky, musia sa dôkladne pripraviť a precvičiť si hru CBSE Class 11 Kapitola 1 Nastavuje matematiku známkami múdra otázka.

Nie je tiež ľahké dosiahnuť vysoké známky v CBSE. Učebné osnovy triedy 11 sa v priebehu rokov vyvíjali a stávali sa zložitejšími. Študenti budú musieť vynaložiť úsilie na zapamätanie si témy a inteligentnú prácu, aby dosiahli dobré výsledky pri skúškach z panelu. To znamená, že nemusí stačiť iba navštevovať školu a slepo študovať študijný program CBSE. Mnoho študentov ide na školné, aby dokázali vyriešiť všetky svoje pochybnosti.

CBSE Class 11 Kapitola 1 nastavuje matematiku ako rozumnú otázku pri riešení

Aby sme študentom pomohli efektívnejšie sa pripraviť na skúšky, uvádzame tu CBSE známky múdrych otázok pre triedu 11. Navrhuje sa skontrolovať tieto múdre otázky, aby bolo možné pri skúškach zvládnuť akúkoľvek otázku.

Pred skúškami sa odporúča dôkladne si precvičiť múdre otázky v CBSE triedy 11. Okrem týchto múdrych otázok sa študentom tiež odporúča, aby si skontrolovali nižšie uvedené odkazy, či neobsahujú vzorové a otáznikové dokumenty, a efektívnejšie sa pripravujú na skúšky.

As the importance of board examinations can never be understated, CBSE Class 11 mark wise questions Chapter 1 Sets can prove to be greatly beneficial for students. SelfStudys ensures that students can study better with our marks wise questions with Answers. The carefully crafted questions and answers provide students with a comprehensive understanding of the chapters involved. A lot of these questions are likely to appear in the board examination, making this an ultimate guide for students before their examinations.

CBSE Class 11 Chapter 1 Sets Mathematics Marks Wise Question with Answers


These CBSE Class 11 Chapter 1 Sets marks wise questions also comes with sample papers for them to solve, making learning a more comfortable process. These Mathematics Marks Wise Question come with step by step answers and shortcut techniques to get the same to save time in the examinations. This can help them perform great in their board exams. Without knowing all the marks wise questions from each chapter, They may face problems in solving questions and eventually the board exam. CBSE Class 11 Chapter 1 Sets marks wise questions with solutions provides them with comprehensive study material.

Why Should Students Download CBSE Class 11 Chapter 1 Sets Mathematics Marks Wise Question from SelfStudys?

These CBSE Class 11 Chapter 1 Sets marks wise questions for exams are framed by our best teachers. They also give solutions to these questions that explain the concepts in a short yet easy to understand manner.

We are providing something unique, useful and most importantly fun. By giving students a tool to find instant solutions to their doubts, we’re trying to make every student self-sufficient in practicing & completing their homework


Pozri si video: МАТЕМАТИКА. ПРИМЕРЫ для ДЕТЕЙ. 1 класс. ЗАДАНИЯ для детей по МАТЕМАТИКЕ (December 2021).