Články

2.5E: Limity pre nekonečno CVIČENIA - Matematika


Pri nasledujúcich cvičeniach preskúmajte grafy. Identifikujte, kde sú umiestnené vertikálne asymptoty.

251)

Odpoveď:
(x = 1 )

252)

253)

Odpoveď:
(x = -1, x = 2 )

254)

255)

Odpoveď:
(x = 0 )

Pre nasledujúce funkcie (f (x) ) určite, či je v (x = a ) asymptota. Svoju odpoveď zdôvodnite bez toho, aby ste na kalkulačke vytvorili grafy.

256) (f (x) = frac {x + 1} {x ^ 2 + 5x + 4}, a = −1 )

257) (f (x) = frac {x} {x − 2}, a = 2 )

Odpoveď:
Áno, existuje vertikálny asymptot

258) (f (x) = (x + 2) ^ {3/2}, a = −2 )

259) (f (x) = (x − 1) ^ {- 1/3}, a = 1 )

Odpoveď:
Áno, existuje vertikálny asymptot

260) (f (x) = 1 + x ^ {- 2/5}, a = 1 )


Pri nasledujúcich cvičeniach zhodnoťte limit.

261) ( Displaystyle lim_ {x → ∞} frac {1} {3x + 6} )

Odpoveď:
(0)

262) ( Displaystyle lim_ {x → ∞} frac {2x − 5} {4x} )

263) ( Displaystyle lim_ {x → ∞} frac {x ^ 2−2x + 5} {x + 2} )

Odpoveď:
(∞)

264) ( Displaystyle lim_ {x → −∞} frac {3x ^ 3−2x} {x ^ 2 + 2x + 8} )

265) ( Displaystyle lim_ {x → −∞} frac {x ^ 4−4x ^ 3 + 1} {2−2x ^ 2−7x ^ 4} )

Odpoveď:
(- frac {1} {7} )

266) ( Displaystyle lim_ {x → ∞} frac {3x} { sqrt {x ^ 2 + 1}} )

267) ( Displaystyle lim_ {x → −∞} frac { sqrt {4x ^ 2−1}} {x + 2} )

Odpoveď:
(−2)

268) ( Displaystyle lim_ {x → ∞} frac {4x} { sqrt {x ^ 2−1}} )

269) ( Displaystyle lim_ {x → −∞} frac {4x} { sqrt {x ^ 2−1}} )

Odpoveď:
(−4)

270) ( Displaystyle lim_ {x → ∞} frac {2 sqrt {x}} {x− sqrt {x} +1} )


Pre nasledujúce cvičenia vyhľadajte vodorovné a zvislé asymptoty.

271) (f (x) = x− frac {9} {x} )

Odpoveď:
Horizontálne: žiadne, vertikálne: (x = 0 )

272) (f (x) = frac {1} {1 − x ^ 2} )

273) (f (x) = frac {x ^ 3} {4 − x ^ 2} )

Odpoveď:
Horizontálne: žiadne, vertikálne: (x = ± 2 )

274) (f (x) = frac {x ^ 2 + 3} {x ^ 2 + 1} )

275) (f (x) = hriech (x) hriech (2x) )

Odpoveď:
Horizontálne: žiadne, vertikálne: žiadne

276) (f (x) = cosx + cos (3x) + cos (5x) )

277) (f (x) = frac {xsin (x)} {x ^ 2−1} )

Odpoveď:
Horizontálne: (y = 0, ) vertikálne: (x = ± 1 )

278) (f (x) = frac {x} {sin (x)} )

279) (f (x) = frac {1} {x ^ 3 + x ^ 2} )

Odpoveď:
Horizontálne: (y = 0, ) vertikálne: (x = 0 ) a (x = -1)

280) (f (x) = frac {1} {x − 1} −2x )

281) (f (x) = frac {x ^ 3 + 1} {x ^ 3−1} )

Odpoveď:
Horizontálne: (y = 1, ) vertikálne: (x = 1 )

282) (f (x) = frac {sinx + cosx} {sinx − cosx} )

283) (f (x) = x − sinx )

Odpoveď:
Horizontálne: žiadne, vertikálne: žiadne

284) (f (x) = frac {1} {x} - sqrt {x} )


Pre nasledujúce cvičenia zostrojte funkciu (f (x) ), ktorá má dané asymptoty.

285) (x = 1 ) a (y = 2 )

Odpoveď:
Odpovede sa budú líšiť, napríklad: (y = frac {2x} {x − 1} )

286) (x = 1 ) a (y = 0 )

287) (y = 4, x = -1 )

Odpoveď:
Odpovede sa budú líšiť, napríklad: (y = frac {4x} {x + 1} )

288) (x = 0 )


KAPITOLA RECENZIE CVIČENIA

CR 1) ( Displaystyle lim_ {x → ∞} frac {3x sqrt {x ^ 2 + 1}} { sqrt {x ^ 4−1}} )

Odpoveď:
(3)

CR 2) ( Displaystyle lim_ {x → ∞} cos ( frac {1} {x}) )

CR 3) ( Displaystyle lim_ {x → 1} frac {x − 1} {sin (πx)} )

Odpoveď:
(- frac {1} {π} )

CR 4) ( Displaystyle lim_ {x → ∞} (3x) ^ {1 / x} )


2.5E: Limity pre nekonečno CVIČENIA - Matematika

Naučte sa intuíciu a jednoduché techniky, ako ich vyriešiť

Čo sú limity na nekonečno? Toto sú limity, kde sa nezávislá premenná x blíži k nekonečnu.

Toto je vzrušujúci okamih, pravdepodobne prvýkrát budete mať do činenia s nekonečnom.

Čo to znamená, že x sa blíži k nekonečnu? Z praktického hľadiska to znamená, že pod limitom slova máte x → a namiesto x → a.

Pravdepodobne už poznáte symbol nekonečna, ∞.

Nekonečno nie je číslo, je skôr pomocným konceptom, ktorý používame v kontexte limitov. Keď hovoríme, že x sa blíži k nekonečnu, máme na mysli, že premenná x rastie bez hraníc.

Alebo inak povedané, že x nadobúda hodnoty väčšie ako akékoľvek číslo, na ktoré prídete. Hovoríš 10 miliónov? Premenná x nadobúda hodnoty vyššie.

Náš koncept limitu nám umožňuje hovoriť o týchto veciach presne. & # Xa0 Napríklad uvažujme o nasledujúcom limite:

Toto sa číta „limit, keď sa x blíži k nekonečnu jedného nad x“.

Tu nemôžete jednoducho „zapojiť“ nekonečno a zistiť, čo získate, pretože ∞ nie je číslo. Pomocou nášho intuitívneho porozumenia však môžeme hádať, aký bude tento limit.

Zoberte si kalkulačku a skúste 1 vydeliť veľmi veľkým číslom. Teraz skúste vydeliť 1 ešte väčším číslom. Dostávate veľmi malé počty, však?

To znamená, že 1 delené x sa blíži k 0, keď x sa blíži k nekonečnu. Ukážem vám graf tejto funkcie:

Teraz, aby sme boli trochu prísni, musíme určiť, či sa x blíži k pozitívnemu alebo negatívnemu nekonečnu:

  • x → + ∞ znamená, že x sa blíži k veľkým kladným číslam. Napríklad: 10 miliónov, 50 miliónov atď.
  • x → -∞ znamená, že x sa blíži k „veľkým“ záporným číslam. Napríklad -10 miliónov, -50 miliónov atď.
  • x → ∞ (bez znamienka) znamená, že x berie veľké čísla, či už kladné alebo záporné

Existuje neprehľadná konvencia jednoduchého použitia & # xa0x → ∞ v každom prípade. Aby sme boli presní, hovoríme, že limit, keď sa & # xa0x → something rovná niečomu, znamená, že limity, keď sa & # xa0x → + ∞ a & # xa0x → -∞ rovnajú niečomu.

To je prípad príkladu funkcie 1 nad x.

Na vyššie uvedenom grafe vidíme, že keď sa x blíži k veľmi veľkým číslam, kladným alebo záporným, 1 delené x sa blíži k nule. Takže:

To znamená, že dva limity, keď & # xa0x → + ∞ a keď & # xa0x → -∞, sa rovnajú nule. Na túto notáciu si zvyknete s niekoľkými ďalšími príkladmi.

Riešenie limitov na nekonečno

Úžasné na limitoch na nekonečno je, že pomocou jedinej techniky budete schopní vyriešiť takmer akýkoľvek limit tohto typu.

V nasledujúcom videu si prejdem techniku ​​a ukážem jeden príklad použitia tejto techniky. V texte prechádzam rovnakým príkladom, takže si môžete zvoliť sledovanie videa alebo prečítanie stránky, odporúčam vám urobiť oboje.

Pozrime sa na tento príklad:

Nemôžeme zapojiť nekonečno a nemôžeme faktorovať. Takže teraz použijeme základná technika používaná na riešenie takmer všetkých limitov na nekonečno. Je to malý algebraický trik.

Pamätáte si vlastnosť zlomkov, ktorá hovorila, že čitateľa aj menovateľa môžete vydeliť rovnakým číslom a zlomok zostáva rovnaký? Je to len o tom.

Túto hranicu vydelíme x na najväčšieho exponenta nájdeného vo funkcii. V tomto prípade je to x 3. Vydeľme teda čitateľa aj menovateľa x 3:

Teraz môžeme každý člen vydeliť x ³:

Niektoré veci môžeme zrušiť:

Teraz vieme, že každé číslo delené veľmi veľkým číslom je rovné (takmer) nule. Keď sa teda x priblíži k nekonečnu, všetky čísla vydelené x akejkoľvek mocnine sa priblížia k nule. Pripojením tohto máme:

Ďalšie techniky riešenia limitov v nekonečne

V nasledujúcich príkladoch nebudeme používať základnú techniku ​​delenia najväčšou mocou x. Budeme používať niečo ešte základnejšie. Vo videu prechádzam rovnakými príkladmi ako v texte, takže si môžete zvoliť sledovanie a počúvanie alebo čítanie.

& # xa0 Predpokladajme, že máme tento limit:

Túto frakciu môžeme „oddeliť“:

Pri pridávaní frakcií sme postupovali opačne. Skúste pridať dve zlomky na pravú stranu a získate pôvodnú funkciu. Kedykoľvek máte v čitateľovi dva alebo viac výrazov a v menovateli iba jeden výraz, môžete to skúsiť urobiť.

Každý výraz jednoducho vložíte do čitateľa vydeleného menovateľom a pridáte ho.

Teraz vieme, že 1 / x sa blíži k nule, keď sa x blíži k nekonečnu. Takže máme:

Teraz sa pozrieme na skutočne zaujímavý problém. Zvážme limit:

V čitateli máme súčet všetkých čísel od 1 do "n", kde "n" môže byť akékoľvek prirodzené číslo. & # Xa0

Teraz, keď sa n blíži k nekonečnu, počet členov v čitateli sa tiež blíži k nekonečnu, pretože existuje n výrazov. Takže čitateľ sa blíži k nekonečnému súčtu. Nie je to zaujímavé?

Aby sme tento limit vyriešili, skúsme si spomenúť na niektoré základné fakty o aritmetických postupoch.

Aritmetický postup je usporiadaná množina čísel, kde existuje konštantný „rozdiel“ medzi po sebe nasledujúcimi výrazmi.

Napríklad: 1, 2, 3, 4. Toto je aritmetický postup. Rozdiel medzi po sebe nasledujúcimi členmi je 1. Poznáme tiež vzorec, ktorý nám dáva súčet „n“ výrazov aritmetickej postupnosti:

Vo videu vyššie uvádzam krátky odpočet tohto vzorca. V našom limite máme aritmetický postup v čitateľovi. Máme:

Podľa vzorca máme:

Môžeme to nahradiť v našom limite:

Teraz môžeme použiť techniku, ktorú sme použili v predchádzajúcom príklade. V menovateli máme iba jeden výraz, takže zlomok „oddelíme“. Máme:

Wow! Tento typ výsledkov mi väčšinou vyfúkne z hlavy. Zistili sme, že súčet všetkých prirodzených čísel do n, vydelený n ², sa blíži ku konečnej hodnote: jednej polovici. & # Xa0

Limity na nekonečno neexistujú

Niektoré limity nekonečna nemusia existovať. Skúsme napríklad vypočítať tento limit:

Použijeme základnú techniku ​​delenia najväčšou mocou x. Vydeľme všetky výrazy x na druhú:

Všetky čísla vydelené ľubovoľnou mocninou x sa budú blížiť k 0, keď sa x blíži k nekonečnu. Takže máme:

Delenie nulou nie je definované, takže tento limit neexistuje. Niektorí autori učebníc tvrdia, že tento limit sa rovná nekonečnu, čo znamená, že táto funkcia rastie bez obmedzenia.

Je to intuitívne, pretože keď vydelíte 1 veľmi malými číslami, získate veľmi veľké čísla. & # Xa0

Limity na nekonečno s radikálmi

Teraz obráťme našu pozornosť na limity na nekonečno funkcií zahŕňajúcich radikály. V tomto prípade môžeme použiť aj základnú techniku ​​delenia x na najväčšieho exponenta.

Vo videu uvádzam rovnaký príklad, aby ste si mohli video pozrieť alebo prečítať zvyšok stránky.

V čitateľovi máme radikál. Používame základnú techniku ​​delenia čitateľa aj menovateľa. V tomto prípade vydelíme x:

Pamätajte, že x sa rovná druhej odmocnine z x na druhú. Takže vložíme x do čitateľa vnútri radikálu. Aby sme to dosiahli, musíme to zarovnať. Takže máme:

Všimnite si, že jednoducho môžete vziať x na druhú z druhej odmocniny a budete mať pôvodný výraz. Teraz rozdelíme každý výraz:

Teraz sa opäť všetky výrazy delené x priblížia k nule. Takže máme:

Tu máme situáciu, ktorú sme predtým nemali. Môžeme mať buď kladné alebo záporné znamienko. To závisí od toho, či x sa blíži k pozitívnemu alebo negatívnemu nekonečnu. Vidíme to na grafe:

Keď sa x blíži k pozitívnemu nekonečnu, funkcia sa blíži k kladnej 1. A keď sa x blíži k negatívnemu nekonečnu, funkcia sa blíži k zápornej 1. Dedukcia týchto dvoch prípadov je podrobnejšie vysvetlená vo videu vyššie.

Súvisiace stránky

Máte pochybnosti o tejto téme? Máte „nemožný problém“?

Ak máte o koncepte len všeobecné pochybnosti, pokúsim sa vám pomôcť. Ak máte problém alebo súbor problémov, ktoré nemôžete vyriešiť, pošlite mi spolu s vašou otázkou aj váš pokus o riešenie. Tieto sa objavia na novej stránke webu spolu s mojou odpoveďou, takže z toho môže mať prospech každý.

Čo sa pýtali ďalší návštevníci

Kliknutím nižšie zobrazíte príspevky ostatných návštevníkov tejto stránky.

Obmedzenia do nekonečna zlomkov so spúšťacími funkciami Zatiaľ nehodnotené
Problém je nasledovný: d (t) = 100 / 8 + 4sin (t) Nájdite limit, keď ide t do nekonečna. Predpokladá sa, že t> 0. Ako by to fungovalo? viem & hellip


Limity

Vieme, ako použiť vety na vyhodnotenie limitov pri konečnom počte, ale teraz sa musíme naučiť, ako vyhodnotiť limity pri nekonečnom. Tieto limity používame na nájdenie vodorovných asymptot funkcií. Začneme tým, že sa z grafu funkcie naučíme definíciu horizontálneho asymptotu.

Graf funkcie s horizontálnym asymptotom y = L v kladnom smere môže vyzerať ako ten, ktorý je zobrazený na obrázku 3.26 nižšie (pozri tiež obrázok 2 na strane 85 učebnice).

Obrázok 3.26. Funkcia s vodorovnou asymptotou y = L v kladnom smere

Graf funkcie s horizontálnym asymptotom y = L v negatívnom smere môže vyzerať ako na obrázku 3.27 nižšie (pozri tiež obrázok 3 na strane 85 učebnice).

Obrázok 3.27. Funkcia s vodorovnou asymptotou y = L v negatívnom smere

To, čo robí z priamky y = L asymptotu, je skutočnosť, že hodnoty funkcie f (x) sú blízke L a čím väčšie a kladné alebo menšie a záporné x je, tým bližšie f (x) je k L. Aby sme naznačili, že x je veľmi veľké a kladné - to znamená, že x sa zvyšuje bez obmedzenia - napíšeme x & # x2192 & # x221E. Aby sme naznačili, že x je veľmi malé a záporné - to znamená, že x klesá bez obmedzenia - napíšeme x & # x2192 - & # x221E.

Mylná je predstava, že funkcia má vodorovnú asymptotu, keď sa funkcia priblíži k vodorovnej čiare, ale nikdy sa jej nedotkne. Ako vidíte na obrázku 2 na strane 85 učebnice, funkcia osciluje okolo vodorovnej čiary a hodnoty funkcie sa blížia k hodnote L alebo sú jej rovné.

Definícia * 3.27.

Nech f je funkcia definovaná na intervale (a, & # x221E) pre niektoré a.

Limita f, pretože x rastie bez obmedzenia, je L, ak hodnoty f (x) možno ľubovoľne priblížiť k L (tak blízko, ako chceme) tak, že x dostaneme dostatočne veľké a kladné. Píšeme

Nech f je funkcia definovaná na intervale (- & # x221E, a) pre niektoré a.

Limita f, pretože x klesá bez obmedzenia, je L, ak hodnoty f (x) možno ľubovoľne priblížiť k L (tak blízko, ako chceme) tak, že x vezmeme dostatočne malé a záporné. Píšeme

F (x) & # x2192 L napíšeme tiež ako x & # x2192 & # x221E. Tento výraz sa zvyčajne číta, & ldquothe limit f, keď sa x blíži k nekonečnu, je L, & rdquo alebo & ldquothe limit f, keď x rastie bez viazanosti, je L. & rdquo

Podobne napíšeme f (x) & # x2192 L ako x & # x2192 - & # x221E a tento výraz sa zvyčajne číta, & ldquothe limit f, pretože x sa blíži k zápornej nekonečnosti, je L, & rdquo alebo & ldquothe limit f, ako x klesá bez obmedzenia, je L. & rdquo

Pamätajte: Symboly & # x221E a - & # x221E áno nie predstavujú čísla a musíme správne interpretovať zápis x & # x2192 & # x221E a x & # x2192 - & # x221E. Aj keď hovoríme, že & ldquo x sa blíži k nekonečnu, & rdquo máme na mysli, že x sa zvyšuje bez obmedzenia, nie viac a menej.

Ak potrebujete pomoc s konceptom vodorovných asymptot, pozrite si nižšie uvedené výukové programy pre PowerPoint. Prístup k výučbe:

  1. Kliknutím na odkaz na súbor ho otvoríte.
  2. Uložte súbor (.ppsx) na pevný disk počítača a disku rsquos.
  3. Kliknutím zobrazíte súbor PowerPoint.

PowerPoint 1: Pre veľké X, hodnoty funkcie f(X) majú tendenciu M. Preto r = M je horizontálny asymptot.

PowerPoint 2: Pre záporné malé X, hodnoty funkcie f(X) majú tendenciu M. Preto r = M je horizontálny asymptot.

Definícia 3.28. Priamka y = L je a horizontálny asymptot krivky y = f (x) ak

lim x & # x2192 & # x221E f (x) = L alebo lim x & # x2192 - & # x221E f (x) = L.

Príklad 3.63. Z obrázku 3.19 vidíme, že y = 0 je horizontálny asymptot v oboch smeroch funkcie f (x) = 1 x. To je

Príklad 3.64. Z grafu funkcie f znázorneného na obrázku 3.28 nižšie vidíme, že zvislé čiary x = M a x = 0 sú zvislé asymptoty a vodorovná čiara y = L je vodorovná asymptota.

lim x & # x2192 M - f (x) = & # x221E, lim x & # x2192 0 + f (x) = & # x221E, lim x & # x2192 & # x221E f (x) = L, lim x & # x2192 - & # x221E f (x) = & # x221E.

Obrázok 3.28. Funkcia s dvoma vertikálnymi asymptotami a jedným horizontálnym asymptotom

Cvičenia

Všimnite si, že podľa definície 3.27, aby sme mohli brať limit na nekonečno, musí byť funkcia definovaná na intervale (c, & # x221E), pre niektoré c a na to, aby sme mohli hodnotiť limity na negatívnom nekonečne, musí byť definovaná funkcia v intervale (- & # x221E, d) pre nejaké číslo d. Napríklad nemôžeme brať limit na nekonečno alebo zápornú nekonečnosť funkcií tangens, kotangens, secan alebo kosekans. Vidíme tiež, že sínusová a kosínusová funkcia oscilujú medzi - 1 a 1, keď x rastie (kladne) alebo klesá (záporne). Preto limity

Niektoré z definícií a viet, ktoré používame na hodnotenie konečných limitov, platia aj pre nekonečné limity. Presnejšie, nasledujúca definícia a výsledky sú platné, ak nahradíme x & # x2192 a (a x & # x2192 b vo vete 3.20) buď x & # x2192 & # x221E alebo x & # x2192 - & # x221E.

Príklad 3.65. (Veta 4 na strane 87 učebnice).

je spojitý v intervaloch (- & # x221E, 0) a (0, & # x221E).

Ak je r kladné racionálne číslo, potom je funkcia f (x) = xr spojitá na 0 sprava, a ak u = 1 & # x2215 x, potom u & # x2192 0 + ako x & # x2192 & # x221E . [Prečo?]

lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 1 x r = lim u & # x2192 0 + & # x00A0 u r = 0.

Podobne, ak r je kladné racionálne číslo také, že f (x) = x r je definované pre interval (- & # x221E, c) pre niektoré c, potom

lim x & # x2192 - & # x221E & # x00A0 1 x r = lim u & # x2192 0 - & # x00A0 u r = 0.

Konkrétny prípad príkladu 3.65 nastane, keď n je akékoľvek kladné celé číslo. Potom

je definované na intervaloch (- & # x221E, 0) a (0, & # x221E), a preto

lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 1 x n = 0 a lim x & # x2192 - & # x221E & # x00A0 1 x n = 0.

Príklad 3.66. Hovorí to príklad 3.65, kde r = 1/3

Aby sme mohli vyhodnotiť limity v nekonečnosti racionálnych funkcií, musíme si uvedomiť, že polynomiálna funkcia stupňa n s vedúcim koeficientom a n má tvar

P (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . . + a 1 x + a 0.

Príklad 3.67. Identifikujme stupeň a vedúci koeficient niekoľkých polynomických funkcií.

  1. Q (x) = 3 - x + 6 x 4, stupeň 4, vodiaci koeficient 6.
  2. P (x) = - x 3 + 6 x 2 + x, stupeň 3, vodiaci koeficient - 1.
  3. P (x) = 6, stupeň 0, vodiaci koeficient 6.

V nasledujúcich troch príkladoch uvažujeme o stratégii použitej na vyhodnotenie nekonečných limitov racionálnych funkcií.

Príklad 3.68. Pre limit

lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 3 - x - x 2 2 x 2 + x,

identifikujeme najväčšiu mocninu polynómov v čitateľovi a menovateli - v tomto prípade 2. Vydelíme čitateľa a menovateľa x 2 a zistíme to

3 - x - x 2 2 x 2 + x = 3 x 2 - 1 x - 1 2 + 1 x.

Na záver k tomu použijeme Propozíciu 3.16, Vetu 3.23 a Príklad 3.65 vyššie

Čiara y = - 1 2 je vodorovný asymptot.

Všimnite si, že keď sú stupeň čitateľa a menovateľa rovnaký, limit je - 1 (vedúci koeficient polynómu čitateľa) nad 2 (vedúci koeficient polynómu menovateľa).

Príklad 3.69. V tomto príklade postupujeme ako v príklade 3.68 vyššie.

najväčšia sila je 2. Vydelením čitateľa aj menovateľa x 2 dostaneme

3 - x 2 x 2 + x = 3 x 2 - 1 x 2 + 1 x.

Čiara y = 0 je vodorovná asymptota.

V tomto prípade je stupeň čitateľa menší ako stupeň menovateľa.

Príklad 3.70. V limite

lim x & # x2192 - & # x221E & # x00A0 3 - x 3 2 x 2 + x,

Vydelením čitateľa aj menovateľa x 3 dostaneme

3 - x 3 2 x 2 + x = 3 x 3 - 1 2 x + 1 x 2 = 3 x 3 - 1 1 2 x + 1 x 2.

  1. lim x & # x2192 & # x2212 & # x221E 3 x 3 & # x2212 1 = & # x2212 1 & # x003C 0 podľa príkladu 3.65 a vety 3.23.
  2. lim x & # x2192 & # x2212 & # x221E 2 x + 1 x 2 = 0 podľa príkladu 3.65 a vety 3.23.
  3. 2 x + 1 x 2 & # x003C 0 pre x & # x2192 & # x2212 & # x221E & # x2009 (x & # x003C 0).
  4. lim x & # x2192 & # x2212 & # x221E 1 2 x + 1 x 2 = & # x2212 & # x221E od (a) a (b) vyššie a veta 3.17 (f).

lim x & # x2192 - & # x221E & # x00A0 3 - x 3 2 x 2 + x = lim x & # x2192 - & # x221E 3 x 3 - 1 1 2 x + 1 x 2 = & # x221E.

Všimnite si, že racionálna funkcia

R (x) = 3 - x 3 2 x 2 + x & # x003E 0,

pre x & # x2192 - & # x221E, (x & # x003C 0). Ak to chcete vidieť, vezmite veľmi malú zápornú hodnotu x, povedzme x = - 1 0 0 0, a skontrolujte, či R (- 1 0 0 0) & # x003E 0.

V tomto prípade je stupeň čitateľa väčší ako stupeň menovateľa.

Stratégia, ktorú sme použili v posledných troch príkladoch, by nás mala presvedčiť, že stupeň čitateľa a menovateľa určuje limity v nekonečnosti racionálnych funkcií. Máme teda nasledujúci výsledok.

Veta 3.29. Ak R (x) = p (x) q (x) je racionálna funkcia, potom

  1. lim x & # x2192 & # x00B1 & # x221E p (x) q (x) = vedúci & # x2009 koeficient & # x2009 z & # x2009 p (x) vedúci & # x2009 koeficient & # x2009 & # x2009 q ( x) ak stupeň p (x) = stupeň q (x).
  2. lim x & # x2192 & # x00B1 & # x221E p (x) q (x) = 0, ak stupeň p (x) & # x003C stupeň q (x).
  3. lim x & # x2192 & # x221E p (x) q (x) = & # x221E (& # x2212 & # x221E), ak stupeň p (x) & # x003E stupeň & # x00A0 q (x) & # x00A0 a R (x) = p (x) q (x) & # x003E 0 (& # x003C 0) pre x & # x2192 & # x221E.
  4. lim x & # x2192 & # x2212 & # x221E p (x) q (x) = & # x221E (& # x2212 & # x221E), ak stupeň p (x) & # x003E stupeň & # x00A0 q (x) & # x00A0 a R (x) = p (x) q (x) & # x003E 0 (& # x003E 0) pre x & # x2192 & # x2212 & # x221E.

Preto vidíme, že racionálna funkcia má horizontálnu asymptotu, iba ak je stupeň čitateľa menší alebo rovný stupňu menovateľa.

Príklad 3.71. Z vety 3.29 máme

Príklad 3.72. Z definície absolútnej hodnoty máme

x 2 = x pre x & # x2265 0 a x 2 = - x pre x & # x003C 0.

3 x 2 + 4 x = x 2 3 + 4 x = x 3 + 4 x pre x & # x2192 & # x221E,

3 x 2 + 4 x = x 2 3 + 4 x = - x 3 + 4 x pre x & # x2192 - & # x221E.

lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 3 x 2 + 4 xx + 7 = lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 x 3 + 4 xx (1 + 7 x) = lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 3 + 4 x (1 + 7 x) = lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 3 + 4 x lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 (1 + 7 x) = 3

Príklad 3.73. Pre x & # x2192 & # x221E

Z bodov (a) a (b) vyššie a vetu 3.21 máme

lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 x 2 3 - 3 x 2 + 1 x 3 2 + 3 x 2 = & # x221E

lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 3 x 3 - 3 x + 1 2 x 2 + 3 = lim x & # x2192 & # x221E & # x00A0 x 2 3 - 3 x 2 + 1 x 3 2 + 3 x 2 = & # x221E.

Poznámka: V posledných dvoch príkladoch sme zohľadnili faktor $ color <# 384877>$ s najväčšou silou a zjednodušené, až kým nebudeme môcť použiť jeden alebo niekoľko z vyššie uvedených výsledkov.

Príklad 3.74. Pre limit

lim x & # x2192 - & # x221E & # x00A0 x 2 - 2 x 4 + x 2,

používame inú stratégiu. Tu sa vynásobíme konjugátom a potom postupujeme ako v predchádzajúcich príkladoch.

(x 2 & # x2212 2 x 4 + x 2) (x 2 + 2 x 4 + x 2 x 2 + 2 x 4 + x 2) = x 4 & # x2212 (2 x 4 + x 2) x 2 + 2 x 4 + x 2 = & # x2212 x 4 & # x2212 x 2 x 2 + 2 x 4 + x 2

& # x2212 x 4 & # x2212 x 2 x 2 + 2 x 4 + x 2 = & # x2212 x 4 (1 + 1 x 2) x 2 (1 + 2 + 1 x 2) = & # x2212 x 4 ( 1 + 1 x 2) x 2 (1 + 2 + 1 x 2) = & # x2212 x 2 (1 + 1 x 2 1 + 2 + 1 x 2)

  1. lim x & # x2192 & # x2212 & # x221E x 2 = & # x221E, so, lim x & # x2192 & # x2212 & # x221E & # x2212 x 2 = & # x2212 & # x221E by Theorem 3.21 (a).
  2. lim x & # x2192 & # x2212 & # x221E 1 + 1 x 2 1 + 2 + 1 x 2 = 1 1 + 2 & # x003E 0 podľa Corollary 3.26, vety 3.23 a príkladu 3.65.

Z bodov (a) a (b) vyššie a vetu 3.21 máme

lim x & # x2192 - & # x221E & # x00A0 - x 2 1 + 1 x 2 1 + 2 + 1 x 2 = - & # x221E

lim x & # x2192 - & # x221E & # x00A0 x 2 - 2 x 4 + x 2 = lim x & # x2192 - & # x221E & # x00A0 - x 2 1 + 1 x 2 1 + 2 + 1 x 2 = - & # x221E.

Príklad 3.75. Na vyhodnotenie limitu

použijeme skutočnosť, že pre akékoľvek nenulové x, - 1 & # x2264 cos & # x2009 x & # x2264 1. Pretože x 2 & # x003E 0, vynásobíme 1 x 2 a dostaneme

a dospejeme k záveru, že použijeme Squeeze theorem

Príklad 3.76. Podľa vety 3.29,

[Ak to chcete vidieť, vezmite veľkú kladnú hodnotu x, povedzme 10 000.]

Poznámka 3.2

Polynómy nemajú ani vertikálne, ani horizontálne asymptoty, pretože polynómy sa zväčšujú alebo znižujú bez hraníc buď pre x & # x2192 & # x221E alebo x & # x2192 - & # x221E. Skutočne, ak

P (x) = c n x n + c n - 1 x n - 1 +. . . + c 1 x + c 0

je polynóm stupňa n, potom

c n x n + c n - 1 x n - 1 +. . . + c 1 x + c 0 = x n c n + c n - 1 x +. . . + c 1 x n - 1 + c 0 x n

lim x & # x2192 & # x00B1 & # x221E & # x00A0 c n x n + c n - 1 x n - 1 +. . . + c 1 x + c 0 = lim x & # x2192 & # x00B1 & # x221E & # x00A0 c n x n = & # x00B1 & # x221E.


Limit 1 / n, keď n ide na nekonečno cvičení

Som na tomto webe nový a myslím si, že by mi mohol pomôcť pri budúcich matematických štúdiách. Snažím sa ukázať, či problém $ lim_ [0, 1 - 1 / n] = [0, 1) $, $ lim_ [0, 1 - 1 / n) = [0, 1) $, $ lim_ [0, 1 + 1 / n] = [0, 1] $ a $ lim_ [0, 1 + 1 / n) = [0, 1] $. Skúsil som použiť $ [0, 1 - lim_ 1 / n] = [0, 1) $, pretože $ 1 / n = 0 $ v limite, pretože $ n $ ide do nekonečna. Je to správny prístup? Tiež mám ťažkosti s pochopením, či by sa mal limit obmedziť na uzavretý alebo otvorený interval (t. J. $ [0, 1) $ a $ [0, 1] $). Myslím si, že to súvisí s limitom nižší / nadradený, ale nemôže to dať logiku dohromady. Tieto cvičenia boli v častiach základnej teórie množín a monotónnej postupnosti. Ďakujem.


2.5E: Limity pre nekonečno CVIČENIA - Matematika

Chystáte sa vymazať svoju prácu na túto činnosť. Naozaj to chcete urobiť?

K dispozícii je aktualizovaná verzia

Existuje aktualizovaná verzia tejto činnosti. Ak aktualizujete na najnovšiu verziu tejto aktivity, bude vymazaný váš súčasný pokrok v tejto aktivite. Bez ohľadu na to, váš záznam o dokončení zostane. Ako by ste chceli postupovať?

Editor matematických výrazov

Je tu pre vás príležitosť precvičiť si zákony o obmedzení a Squeeze Theorem.

Správne - limitné zákony vám v tejto situácii nepomôžu. Tu je graf tejto funkcie, ktorý vám pomôže zistiť, čo sa & # x2019s deje. Na zväčšenie použite tlačidlo +.

Na základe grafu by ste to predpovedali

Poďme & # x2019s overiť túto predpoveď pomocou Squeeze Theorem.

Najprv ste si to mohli všimnúť

Predtým, ako budete pokračovať, vytvorte graf a spolu s použitím aplikácie Desmos vyššie. Vidíte, ako a „stlačiť“ nablízku?

takže Squeeze Theorem nám umožňuje dospieť k záveru, že

Vyplňte prázdne miesta, aby ste pomocou zákonov o limitoch vyhodnotili nasledujúci limit. Najprv by sa dalo povedať

Konštantné viacnásobné právo Sumové / rozdielové právo Produktové právo Kvocientové právo Mocenské právo Root Law, ktoré môžete použiť, pretože

Do čitateľa je teraz možné prepísať pomocou

Konštantné viacnásobné právo Zákon o súčtoch / rozdieloch Zákon o produktoch Zákon o kvocientoch Zákon o sile Zákon o koreňoch:

Ďalej môžete vyhodnotiť všetky limity, ktoré sa zobrazujú jednotlivo:

  • konštantným viacnásobným zákonom súčtový / rozdielový zákon produktové právo kvocientové právo mocninové právo a konštantným viacnásobným zákonom súčet / rozdiel zákon zákona produktové právo kvocientové právo mocenské právo koreňový zákon.
  • konštantným viacnásobným zákonom zákon súčtu / rozdielu zákon produktu produkt kvocientového zákona mocenské právo koreňový zákon
  • konštantným viacnásobným zákonom zákon súčtu / rozdielu zákon produktu produkt kvocientového zákona mocenské právo koreňový zákon

Kombináciou všetkých týchto informácií môžete dospieť k záveru

Predpokladajme, že a. Na základe týchto informácií vyhodnotte nasledujúce limity.

Využite to na vyhodnotenie nasledujúcich limitov.

Zvážte vyhlásenie uvedené nižšie a potom naznačte, či je niekedy, vždy alebo nikdy pravdivé.

„„ Ak sa nedá priamo vyhodnotiť pomocou zákona o kvocientoch, potom neexistuje. “


Hranica hriechu (x) / x, dôkaz

Je ľahké nájsť limit

číselne. Ak chcete dokázať, aký je limit, musíte použiť geometriu.

Aby sa z limitu stalo ľahké číslo, musíte na meranie uhlov používať radiány. To je dôvod, prečo sa pri výpočte počtu stupňov nikdy nepoužívajú stupne. Táto hranica sa používa na nájdenie derivácie trigonometrických funkcií.

Cvičenie 4

Používanie zápisov v pracovnom hárku vyššie:

Nájdite oblasti trojuholníkov ( Delta OAP ), ( Delta OAB ) a oblasť sektoru (OAP ). Popíšte oblasti z hľadiska ( alpha ), ( sin ( alpha) ) a ( cos ( alpha) ).

Na vyhľadanie limitu použite nerovnosti ( Delta OAP lt OAP lt Delta OAB )

Usporiadajte nerovnosti, aby ste našli hranicu

Malin Christersson pod licenciou Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden


Matematický prehľad

Je dôležité oceniť správanie exponenciálnych funkcií, keď sa ich vstupom stane veľké kladné číslo alebo veľké záporné číslo. Toto správanie sa líši od správania polynómov alebo racionálnych funkcií, ktoré sa správajú podobne pre veľké vstupy bez ohľadu na to, či je vstup veľký pozitívne alebo veľké negatívny. Naopak pre exponenciálne funkcie je správanie radikálne odlišné pre veľké pozitívne alebo veľké negatívny.

Na pripomenutie a vysvetlenie si pripomeňme, že exponenciálny zápis začínal jednoducho ako skratka: pre kladné celé číslo $ n $, $ 2 ^ n = 2 krát 2 krát 2 krát ldots krát 2 \ hbox <($ n $ faktory)> $ $ 10 ^ n = 10 krát 10 krát 10 krát ldots krát 10 \ hbox <($ n $ faktory)> $ $ vľavo (<1 nad 2> vpravo) ^ n = vľavo (<1 nad 2 > right) times left (<1 over 2> right) times left (<1 over 2> right) times ldots times left (<1 over 2> right) \ hbox <(faktory $ n $)> $

Z tejto myšlienky nie je ťažké pochopiť základné vlastnosti exponentov (nie sú zákony vôbec): $ a ^ = podpera_\ hbox <($ m + n $ faktory)> $ $ = podprsenka <(a krát a krát a krát ldoty krát a)> _ times underbrace <(a times a times a times ldots times a)> _ = a ^ m krát a ^ n $ a tiež $ a ^ = podprsenka <(a krát a krát krát ldots krát a)> _ = $ $ = podprsenka < podprsenka <(a krát a krát a krát ldots krát a)> _ times ldots times underbrace <(a times a times a times ldots times a)> _ > _n = (a ^ m) ^ n $ aspoň pre kladné celé čísla $ m, n $. Aj keď iba ľahko vidíme, že tieto vlastnosti sú pravdivé, keď sú exponenty kladné celé čísla, znak predĺžený zápis je zaručený (jeho význam, nie tým zákon) dodržiavať rovnaké pravidlá.

Použitie iné čísla v exponente sú niečo, čo prišlo neskôr, a sú tiež len an skratka, ktorá šťastne bola usporiadané aby zodpovedali intuitívnejšej jednoduchšej verzii. Napríklad $ a ^ <-1> = <1 nad a> $ a (ako dôsledky) $ a ^ <-n> = a ^ = (a ^ n) ^ <-1> = <1 nad a ^ n> $ (bez ohľadu na to, či je $ n $ pozitívny alebo nie). Len aby sme skontrolovali jeden príklad konzistencie s vyššie uvedenými vlastnosťami, všimnite si, že $ a = a ^ 1 = a ^ <(- 1) krát (-1)> = <1 nad ^ <-1>> = <1 over 1 / a> = a $ To by nemalo byť prekvapujúce, ale skôr upokojujúce, že takýmito manipuláciami nedospejeme k falošným záverom.

Potom pre svojvoľné racionálne exponenty $ m / n $ môžeme udržiavať rovnaké vlastnosti: po prvé, definícia je iba $ a ^ = ( sqrt [n]) ^ m $

Jedným z rizík je, že ak chceme, aby sa zobrazovali iba reálne čísla (na rozdiel od komplexných čísel), nemali by sme sa pokúšať brať druhú odmocninu, $ 4 ^ < rm th> $ root, $ 6 ^ < rm th> $ korene, alebo hocijaké dokonca poradie záporných čísel.

Pre všeobecné reálny exponenty $ x $ by sme tiež mali nie skúste pochopiť $ a ^ x $ okrem $ a> 0 $, alebo budeme musieť použiť komplexné čísla (čo by nebolo také hrozné). Ale hodnotu $ a ^ x $ je možné definovať iba ako a limit: nech $ r_1, r_2, ldots $ je sekvencia racionálne čísla blížiace sa k $ x $ a definujte $ a ^ x = lim_i a ^$ Budeme musieť skontrolovať, či táto definícia náhodne nezávisí od postupnosti blížiacej sa k $ x $ (neplatí), a že stále fungujú rovnaké vlastnosti (fungujú).

Číslo $ e $ nie je niečo, čo by vyšlo v skutočne elementárnej matematike, pretože jej dôvod existencie nie je skutočne elementárny. Každopádne je to približne $ e = 2,71828182845905 $, ale ak by na tom niekedy skutočne záležalo, mali by ste po svojom boku kalkulačku.

S ohľadom na definície je jednoduchšie pochopiť otázky týkajúce sa limity exponenciálnych funkcií. Tieto dva sprievodné problémy sú vyhodnotenie $ lim_ a ^ x $ $ lim_ a ^ x $ Pretože umožňujeme exponent $ x $ reálny, mali by sme požadovať, aby $ a $ bolo pozitívny skutočný číslo (ak sa chceme aj tak vyhnúť zložitým číslam). Potom $ lim_ a ^ x = left < matrix <+ infty & amp hbox & amp a> 1 cr 1 & amp hbox & amp a = 1 cr 0 & amp hbox & amp 0 1 cr 1 & amp hbox & amp a = 1 cr + infty & amp hbox & amp 0 1 $ a $ <1 nad 2> $ za 1 $ a $ <1 nad 2> $ za


Limity

V ďalších troch častiach uvažujeme o vyhodnotení limitov v bode a, na ktorý sa nevzťahuje Veta 3.14, teda limitov funkcií, ktoré nie sú spojité v a.

Čo sa stane, keď zjednodušíme algebraické výrazy? Napríklad pre zjednodušenie

postupovali by sme podľa tohto postupu:

x 2 - 4 x - 2 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) x - 2 = x + 2 thus x 2 - 4 x - 2 = x + 2 .

When we are evaluating functions, this answer is not quite correct. What is correct in this equality is that

x 2 - 4 x - 2 = x + 2 is true (holds) for all  x ਎xcept  2 .

The function f ( x ) = x 2 - 4 x - 2 is not defined at 2 , whereas the function g ( x ) = x + 2 is defined for all x .

These two functions are not equal, because two functions f and g are equal only if they have the same domain and if f ( x ) = g ( x ) for all x in their domains.

The functions f ( x ) = x 2 - 4 x - 2 and g ( x ) = x + 2 do not have the same domain.

Figures 3.16 and 3.17, below, show the graphs of f ( x ) = x 2 - 4 x - 2 and g ( x ) = x + 2 , respectively. As you can see, while the graph of f has a hole because it is not defined at 2 , the graph of g is continuous.

To evaluate the limit, we must consider only values of f ( x ) for x around 2 . For these x s, we have f ( x ) = g ( x ) that is, f ( x ) = g ( x ) for x → a . Moreover, from the graphs of these functions, we see that indeed

lim x → 2 f ( x ) = lim x → 2 g ( x ) .

Figure 3.16. Function f ( x ) = x 2 - 4 x - 2

Figure 3.17. Function g ( x ) = x + 2

Theorem 3.14 does not apply when we want to evaluate the limit lim x → 2 f ( x ) , because f is not continuous at 2 , but it does apply to the limit lim x → 2 g ( x ) . [Why?] Hence, we conclude that

lim x → 2 f ( x ) = lim x → 2 g ( x ) = lim x → 2   x + 2 = 4 .

In summary, we may be able to evaluate the limit lim x → a f ( x ) of a function f which is not continuous at a , if we can obtain, through an algebraic manipulation of f , a function g , such that

f ( x ) = g ( x ) for all x around a , and lim x → a g ( x ) exists.

lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) .

This conclusion is possible because of the following proposition.

Proposition 3.16.

If f ( x ) = g ( x ) for all x close to a from the right, but not at a , then

lim x → a + f ( x ) = lim x → a + g ( x ) .

If f ( x ) = g ( x ) for all x close to a from the left, but not at a , then

lim x → a - f ( x ) = lim x → a - g ( x ) .

If f ( x ) = g ( x ) for all x close to a , but not at a , then

lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) .

To use this approach in the evaluation of limits, we must learn which algebraic manipulations we can try for which functions. Here is where our algebraic skills will pay off. In the following examples, we try to cover the most common cases you may be able to find other examples on your own.

Example 3.34. Rational functions.

lim x → 3   x 2 + x - 1 2 3 x 2 - 7 x - 6 .

f ( x ) = x 2 + x - 1 2 3 x 2 - 7 x - 6

If we evaluate the polynomials p ( x ) = x 2 + x - 1 2 and q ( x ) = 3 x 2 - 7 x - 6 at 3 , we get 0 (try it).

There is a theorem that says that if p ( 3 ) = 0 , then p can be factored as a product of the form ( x - 3 ) r ( x ) , where r ( x ) is a polynomial. The same is true for q ( x ) : there is a polynomial s ( x ) such that q ( x ) = ( x - 3 ) s ( x ) . As we indicated in Unit 1,

p ( x ) = ( x - 3 ) ( x + 4 ) and q ( x ) = ( x - 3 ) ( 3 x + 2 ) .

x 2 + x - 1 2 3 x 2 - 7 x - 6 = ( x - 3 ) ( x + 4 ) ( x - 3 ) ( 3 x + 2 ) = x + 4 3 x + 2

is continuous at 3 , and we conclude that

lim x → 3   x 2 + x - 1 2 3 x 2 - 7 x - 6 = lim x → 3   x + 4 3 x + 2 = 7 1 1 .

Poznámka: If you do not remember how to factor a polynomial, but you know one of the factors, you can always use long division to find the other factor, as is shown below (see also Unit 1).

3 x + 2 x − 3 − 3 x 2 − 7 x − 6 − 3 x 2 + 9 x _ − 6 − 3 x 2 − 2 x − 6 − 3 x 2 − 2 x + 6 _ − 3 x 2 − 2 x − 0

Hence, 3 x 2 - 7 x - 6 = ( x - 3 ) ( 3 x + 2 ) .

Warning: It is incorrect to write

lim x → 3   x 2 + x - 1 2 3 x 2 - 7 x - 6 = x + 4 3 x + 2 = 7 1 1 .

This simply does not make sense: it is not true that

lim x → 3   x 2 + x - 1 2 3 x 2 - 7 x - 6 = x + 4 3 x + 2 .

A limit is not equal to an algebraic expression, and the equality

is even worse: it is an equation and is not what we mean or want to mean.

Example 3.35. Algebraic operations.

The function in the limit

lim h → 0   ( 4 + h ) 2 - 1 6 h 2 + h

is also rational and discontinuous at 0 . To simplify it, we do the algebraic operations and factorization as follows:

( 4 + h ) 2 - 1 6 h 2 + h = 1 6 + 8 h + h 2 - 1 6 h ( h + 1 ) = 8 h + h 2 h ( h + 1 ) = 8 + h h + 1 .

This is true for all h ≠ 0 . We arrive at a continuous function at 0 , namely

lim h → 0   ( 4 + h ) 2 - 1 6 h 2 + h = lim h → 0   8 + h h + 1 = 8 .

Example 3.36. Fractions.

To simplify the function in the limit

we must perform the operations of the indicated fractions.

1 t - 1 t 2 + t = t 2 + t - t t ( t 2 + t ) = t 2 t 2 ( t + 1 ) = 1 t + 1 for   t ≠ 0 .

We again arrive at a continuous function at 0 .

lim t → 0   1 t - 1 t 2 + t = lim t → 0   1 t + 1 = 1 .

Example 3.37. Rationalization.

The function in the limit

is not continuous at 0 and it involves square roots. So, we rationalize the function as follows:

9 + h - 3 h 9 + h + 3 9 + h + 3 = 1 9 + h + 3 for   h ≠ 0 .

We can apply Theorem 3.14 to conclude that

lim h → 0   9 + h - 3 h = lim h → 0   1 9 + h + 3 = 1 6 .

Example 3.38. Special Polynomials.

we use the factorization of the difference of cubes.

x 1 / 3 − 2 x − 8 = x 1 / 3 − 2 ( x 1 / 3 ) 3 − 2 3 = x 1 / 3 − 2 ( x 1 / 3 − 2 ) ( x 2 / 3 + 2 x 1 / 3 + 2 2 ) = 1 x 2 / 3 + 2 x 1 / 3 + 2 2 for  x ≠ 8

lim x → 8   x 1 ∕ 3 - 2 x - 8 = lim x → 8   1 x 2 ∕ 3 + 2 x 1 ∕ 3 + 2 2 = 1 1 2 .


Limits

  1. apply the trigonometric identities. See the addition and subtraction formulas, the double-angle formulas and the half-angle formulas on the &ldquoReference Pages&rdquo at the beginning of your textbook or on pages 362-363.
  2. simplify algebraic expressions. See Unit 1 in this Study Guide and the PDF document titled &ldquoReview of Algebra,&rdquo available through the website that accompanies your textbook:

Keep in mind as well the factorization of special polynomials as listed in the &ldquoReference Pages&rdquo at the front of your textbook.

In this section, we combine all of our previous results and definitions to evaluate limits of functions that are the sum, product, quotient or composition of two or more functions. The next theorem gives the conditions for the arithmetic operations of limits that are known as &ldquoLaws of Limits.&rdquo

Theorem 3.23. Laws of Limits.

If c is a constant and lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M , then

  1. lim x → a f ( x ) ± g ( x ) = lim x → a f ( x ) ± lim x → a g ( x ) = L ± M
  2. lim x → a   c f ( x ) = c   lim x → a f ( x ) = c L
  3. lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) lim x → a g ( x ) = L M
  4. lim x → a   f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) lim x → a g ( x ) = L M if M ≠ 0

This theorem holds if x → a is replaced by x → a + or x → a - .

For the composition of functions, we have the following results.

Theorem 3.24. If lim x → a g ( x ) = b and lim x → b f ( x ) = L , then

This theorem also holds if x → a is replaced by x → a + or x → a - .

We can see that if u = g ( x ) , then u = g ( x ) → b as x → a , and Theorem 3.24 states that

lim x → a f ( g ( x ) ) = lim u → b f ( u ) = L .

Two particular cases of Theorem 3.24 are important. The first occurs when the function f is continuous at b . In this case, lim x → a f ( x ) = f ( a ) and we have the following corollary.

Corollary 3.25. If lim x → a g ( x ) = b and f is continuous at b , then

The second case occurs when the outside function f is the power function f ( x ) = x r . Then the function f is continuous at b if lim x → b   x r = b r (the number b r is well defined). Hence, a direct application of Theorem 3.24 gives the following corollary.

Corollary 3.26. If lim x → a g ( x ) = b and f ( x ) = x r is continuous at b , then

lim x → a f ( g ( x ) ) = lim x → a ( g ( x ) ) r = ( lim x → a g ( x ) ) r = b r

This corollary holds if x → a is replaced by x → a + or x → a - .

Observe that in order to apply Theorem 3.23, we must know that the limits of f and g are finite. To apply the Laws of Limits, we may need to manipulate the function first, and use Proposition 3.16.

Example 3.57. The function

resembles the function in the limit of Example 3.56, above. We change it so that we can use this limit.

f ( x ) = x sin   x = 1 sin   x x .

lim x → 0   x sin   x = lim x → 0   1 sin   x x = lim x → 0   1 lim x → 0   sin   x x = 1 1 = 1.

Example 3.58. Let us evaluate the limit

where c is a nonzero constant.

We can see that if t = c   θ , then θ = t c and t → 0 as θ → 0 .

Example 3.59. Similarly, to evaluate the limit

where c is a nonzero constant, we use Example 3.57 and Theorem 3.23(c), setting t = c   θ .

Example 3.60. If c and b are two nonzero constants, we see from Examples 3.58 and 3.59, above, and Theorem 3.23(c) that

lim x → 0   sin   ( c x ) sin   ( b x ) = lim x → 0   sin   ( c x ) x   x sin   ( b x ) = lim x → 0   sin   ( c x ) x   lim x → 0     x sin   ( b x ) = c   1 b = c b .

Example 3.61. We will use Theorem 3.14, Proposition 3.16, and Theorem 3.23 to evaluate the limit

First, we multiply the numerator by its conjugate to obtain the product of two functions whose limits at 0 are finite.

( cos   x − 1 x ) ( cos   x + 1 cos   x + 1 ) = cos 2 − 1 x ( cos   x + 1 ) = − ( sin   x ) 2 x ( cos   x + 1 ) = sin   x x   − sin   x cos   x + 1 .

lim x → 0   sin   x cos   x + 1 = 0 ,

lim x → 0   cos   x − 1 x = lim x → 0   ( sin   x x ) ( − sin   x cos   x + 1 ) = lim x → 0   sin   x x lim x → 0   − sin   x cos   x + 1 = ( 1 ) ( 0 ) = 0.

Example 3.62.

lim x → − 1   sin  ( x + 1 ) x 2 − 3 x − 4 = lim x → − 1   sin ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x − 4 ) = lim x → − 1   ( sin ( x + 1 ) x + 1 ) ( 1 x − 4 ) .

If t = x + 1 , then t → 0 as x → - 1 , and by Corollary 3.25 and Example 3.56,

lim x → - 1   sin ( x + 1 ) x + 1 = lim t → 0   sin   t t = 1 .

lim x → − 1   sin  ( x + 1 ) x 2 − 3 x − 4 = lim x → − 1   sin ( x + 1 ) ( x + 1 ) 1 x − 4 = lim x → − 1   sin ( x + 1 ) x + 1 lim x → − 1   1 x − 4 = ( 1 ) 1 − 5 = − 1 5

Exercises
  1. Read the section titled &ldquoLaws of Limits&rdquo on page 72 of the textbook.
  2. Do Exercises 1 and 2 on page 79 of the textbook.
  3. Do Exercises 35-44 on page 151 of the textbook.

Indicate which examples and results are applied in each step in the evaluation of the following limits.

lim x → 0 sin   x x 2 − 3 x = lim x → 0 ( sin   x x ) ( 1 x − 3 ) = lim x → 0 sin   x x   lim x → 0   1 x − 3 = − 1 3 .

For x → 0 + , we have cos   x - 1 x < 0 and lim x → 0   cos   x - 1 x = 0 hence, lim x → 0   x cos   x - 1 = - ∞ .

lim x → 3   x 2 + 9 x 2 - 9 = lim x → 3   1 x 2 - 9 ( x 2 + 9 ) (this limit does not exist).

lim x → 0   sin ( 2 x ) ( x − 1 ) ( sin ( 5 x ) ) = lim x → 0   ( sin ( 2 x ) sin ( 5 x ) ) ( 1 x − 1 ) = 2 5 ( − 1 ) = − 2 5 .


Homework Equations

Hello everyone, I am just new to this forum and also a beginner at calculus.
I have a question from my textbook. It's:
Find an example of f(x) that satisfies the following conditions :
f(x) is differentiable for all x>0
limx->∞f(x) =2
limx->∞f'(x) does not exist

I think that if f(x) satisfies the second condition it must have a horizontal tangent at infinity,which means f'(x) = 0 at infinity, am I right? and what does "f'(x) does not exist" really mean?
Thanks in advance.

You are right about the horizontal asymptote (not horizontal "tangent") of y = 2 as x → ∞. And many graphs you have seen to have the curve "leveling out" as the graph approaches the asymptote, in which case you would have

What you need to do is find an example that has the y = 2 asymptote but the slope doesn't get close to 0, maybe because it "wobbles back and forth", to phrase it informally.