Články

8.8: Opatrenia týkajúce sa produktu. Iterované integrály


Nech ((X, mathcal {M}, m) ) a ((Y, mathcal {N}, n) ) sú merné medzery s (X v mathcal {M} ) a (Y in mathcal {N}. ) Nech ( mathcal {C} ) je rodina všetkých "obdĺžnikov", tj množín.

[A krát B, ]

s (A in mathcal {M}, B v mathcal {N}, m A < infty, ) a (n B < infty ).

Definujte premeasu (s: mathcal {C} rightarrow E ^ {1} ) pomocou

[s (A krát B) = m A cdot n B, quad A krát B v mathcal {C}. ]

Nech (p ^ {*} ) je (s ) indukovaná vonkajšia miera v (X krát Y ) a

[p: mathcal {P} ^ {*} rightarrow E ^ {*} ]

miera indukovaná (p ^ {*} ) ("miera produktu", (p = m krát n )) v poli ( sigma ) - ( mathcal {P} ^ {* } ) zo všetkých (p ^ {*} ) - merateľné množiny v (X krát Y ) (kapitola 7, §§ 5-6).

Zvažujeme funkcie (f: X krát Y pravá šípka E ^ {*} ) (rozšírená realita).

I. Začíname niekoľkými definíciami.

Definície

(1) Daná funkcia (f: X rightarrow Y rightarrow E ^ {*} ) (z dvoch premenných (x, y )), nech (f_ {x} ) alebo (f ( x, cdot) ) označuje funkciu na (Y ) danú

[f_ {x} (y) = f (x, y); ]

vzniká z (f ) opravou (x ).

Podobne (f ^ {y} ) alebo (f ( cdot, y) ) je dané znakom (f ^ {y} (x) = f (x, y) ).

(2) Definujte (g: X rightarrow E ^ {*} ) pomocou

[g (x) = int_ {Y} f (x, cdot) dn, ]

a nastaviť

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = int_ {X} g dm, ]

aj písomné

[ int_ {X} dm (x) int_ {Y} f (x, y) dn (y). ]

Toto sa nazýva iterovaný integrál (f ) na (Y ) a (X, ) v tomto poradí.

Podobne

[h (y) = int_ {X} f ^ {y} dm ]

a

[ int_ {Y} int_ {X} f dm dn = int_ {Y} h dn. ]

Upozorňujeme, že podľa pravidiel §5 sú tieto integrály vždy definované.

(3) S (f, g, h ) ako je uvedené vyššie, hovoríme, že (f ) je mapa Fubini alebo má vlastnosti Fubini (po matematikovi Fubini) iff

(a) (g ) je (m ) - merateľný na (X ) a (h ) je (n ) - merateľný na (Y );

(b) (f_ {x} ) je (n ) - merateľné na (Y ) pre takmer všetky (x ) (tj pre (x v XQ ), (m Q = 0); f ^ {y} ) je (m ) - merateľné na (X ) pre (y v YQ ^ { prime}, n Q ^ { prime} = 0; ) a

c) vyššie uvedené iterované integrály vyhovujú

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = int_ {Y} int_ {X} f dm dn = int_ {X krát Y} f dp ]

(hlavný bod).

Pre monotónne sekvencie

[f_ {k}: X krát Y pravá šípka E ^ {*} štvorca (k = 1,2, ldots), ]

teraz získavame nasledujúcu lemu.

Lemma ( PageIndex {1} )

If (0 leq f_ {k} nearrow f ) (pointwise) on (X times Y ) and if each (f_ {k} ) has Fubini property (a), (b), or (c), potom (f ) má rovnakú vlastnosť.

Dôkaz

Pre množinu (k = 1,2; ldots, )

[g_ {k} (x) = int_ {Y} f_ {k} (x, cdot) dn ]

a

[h_ {k} (y) = int_ {X} f_ {k} ( cdot, y) dm. ]

Assumpsion,

[0 leq f_ {k} (x, cdot) nearrow f (x, cdot) ]

bodom na (Y. ) Teda podľa vety 4 v §6,

[ int_ {Y} f_ {k} (x, cdot) nearrow int_ {Y} f (x, cdot) dn, ]

tj (g_ {k} nearrow g ) (bodovo) na (X, ) s (g ) ako v definícii 2.

Znova, podľa vety 4 §6,

[ int_ {X} g_ {k} dm nearrow int_ {X} g dm; ]

alebo podľa definície 2,

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = lim _ {k rightarrow infty} int_ {X} int_ {Y} f_ {k} dn dm. ]

Podobne pre

[ int_ {Y} int_ {X} f dm dn ]

a

[ int_ {X krát Y} f dp. ]

Preto (f ) vyhovuje (c), ak všetky (f_ {k} ) fungujú.

Ďalej nechajme (f_ {k} ) vlastnosť (b); takže (( forall k) f_ {k} (x, cdot) ) je (n ) - merateľné na (Y ), ak (x v X-Q_ {k} ) ( (m Q_ {k} = 0 )). Poďme

[Q = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} Q_ {k}; ]

takže (m Q = 0, ) a všetky (f_ {k} (x, cdot) ) sú (n ) - merateľné na (Y, ) pre (x v XQ. ) Preto je

[f (x, cdot) = lim _ {k rightarrow infty} f_ {k} (x, cdot). ]

Podobne pre (f ( cdot, y). ) Takto (f ) vyhovuje (b).

Vlastnosť (a) vyplýva z (g_ {k} rightarrow g ) a (h_ {k} rightarrow h. Quad square )

Pomocou úloh 9 a 10 z §6 čitateľ ľahko overí aj nasledujúcu lemmu.

Lemma ( PageIndex {2} )

(i) Ak (f_ {1} ) a (f_ {2} ) nie sú záporné, (p ) - merateľné mapy Fubini, tak je (af_ {1} + b f_ {2} ) pre (a, b geq 0 ).

ii) Ak navyše

[ int_ {X krát Y} f_ {1} d p < infty text {alebo} int_ {X krát Y} f_ {2} d p < infty, ]

potom (f_ {1} -f_ {2} ) je tiež mapa Fubini

Lemma ( PageIndex {3} )

Nech (f = sum_ {i = 1} ^ { infty} f_ {i} ) (bodovo), s (f_ {i} geq 0 ) na (X krát Y ).

(i) Ak sú všetky (f_ {i} ) (p ) - merateľné mapy Fubini, tak sú aj (f ).

(ii) Ak (f_ {i} ) má vlastnosti Fubini (a) a (b), potom

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = sum_ {i = 1} ^ { infty} int_ {X} int_ {Y} f_ {i} dn dm ]

a

[ int_ {Y} int_ {X} f dm dn = sum_ {i = 1} ^ { infty} int_ {Y} int_ {X} f_ {i} dm dn. ]

II. Podľa vety 4 kapitoly 7 §3 je rodina ( mathcal {C} ) semiring, ktorý je produktom dvoch krúžkov,

[ {A v mathcal {M} | mA < infty } text {a} {B v mathcal {N} | poznámka < infty }. ]

(Verifikovať!) Použitím vety 2 v kapitole 7, §6 teraz ukážeme, že (p ) je rozšírením (s: mathcal {C} rightarrow E ^ {1}. )

Veta ( PageIndex {1} )

Premisa produktu je ( sigma ) - aditívum na semiring ( mathcal {C}. )

(i) ( mathcal {C} subseteq mathcal {P} ^ {*} ) a (p = s < infty ) na ( mathcal {C}, ) a

(ii) charakteristická funkcia (C_ {D} ) ľubovoľnej množiny (D in mathcal {C} ) je mapa Fubini.

Dôkaz

Nech (D = A krát B v mathcal {C}; ) tak

[C_ {D} (x, y) = C_ {A} (x) cdot C_ {B} (y). ]

(Prečo?) Teda pre pevné (x, C_ {D} (x, cdot) ) je iba násobok ( mathcal {N} ) - jednoduchej mapy (C_ {B}, ) preto (n ) - merateľné na (Y. ) Tiež,

[g (x) = int_ {Y} C_ {D} (x, cdot) dn = C_ {A} (x) cdot int_ {Y} C_ {B} dn = C_ {A} (x ) cdot nB; ]

takže (g = C_ {A} cdot n B ) je ( mathcal {M} ) - jednoduché na (X, ) s

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {D} dn dm = int_ {X} g dm = nB int_ {X} C_ {A} dm = nB cdot m A = sD. ]

Podobne pre (C_ {D} ( cdot, y), ) a

[h (y) = int_ {X} C_ {D} ( cdot, y) dm. ]

Takže (C_ {D} ) má vlastnosti Fubini (a) a (b) a pre každé (D in mathcal {C} )

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {D} dn dm = int_ {Y} int_ {X} C_ {D} dm dn = sD. ]

Aby sme dokázali ( sigma ) - aditivitu, nech

[D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} text {(disjunktný),} D_ {i} v mathcal {C}; ]

tak

[C_ {D} = sum_ {i = 1} ^ { infty} C_ {D_ {i}}. ]

(Prečo?) Ako je uvedené vyššie, každé (C_ {D_ {i}} ) má vlastnosti Fubini (a) a (b); takže (1) a Lemma 3,

[sD = int_ {X} int_ {Y} C_ {D} dn dm = sum_ {i = 1} ^ { infty} int_ {X} int_ {Y} C_ {D_ {i}} dn dm = sum_ {i = 1} ^ { infty} sD_ {i}, ]

podľa potreby.

Tvrdenie (i) teraz nasleduje veta 2 v kapitole 7, §6. Preto

[sD = pD = int_ {X krát Y} C_ {D} dp; ]

takže podľa vzorca (1) má (C_ {D} ) tiež vlastnosť Fubini (c) a všetko je dokázané. ( quad square )

Ďalej nech je kruh ( mathcal {P} ) kruhom ( sigma ) generovaným semiring ( mathcal {C} ) (takže ( mathcal {C} subseteq mathcal {P } subseteq mathcal {P} ^ {*} )).

Lemma ( PageIndex {4} )

( mathcal {P} ) je najmenej nastavená rodina ( mathcal {R} ) taká, že

(i) ( mathcal {R} supseteq mathcal {C} );

(ii) ( mathcal {R} ) je uzavretý v počítateľných disjunktných zväzkoch; a

(iii) (H-D v mathcal {R} ) ak (D v mathcal {R} ) a (D subseteq H, H v mathcal {C} ).

Toto je jednoducho veta 3 v kapitole 7, §3, so zmenenou notáciou.

Lemma ( PageIndex {5} )

Ak (D in mathcal {P} ) ( ( sigma ) - generované ( mathcal {C}), ), potom (C_ {D} ) je mapa Fubini.

Dôkaz

Nech ( mathcal {R} ) je rodina všetkých (D in mathcal {P} ) taká, že (C_ {D} ) je mapa Fubini. Ukážeme, že ( mathcal {R} ) vyhovuje (i) - (iii) Lemmy 4, a teda ( mathcal {P} subseteq mathcal {R}. )

(ii) Nech

[D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} text {(disjunktný),} quad D_ {i} v mathcal {R}. ]

Potom

[C_ {D} = sum_ {i = 1} ^ { infty} C_ {D_ {i}}, ]

a každé (C_ {D_ {i}} ) je mapa Fubini. Preto teda (C_ {D} ) od Lemmy 3. Takto (D in mathcal {R} ), dokazujúce (ii).

(iii) Musíme ukázať, že (C_ {HD} ) je mapa Fubini, ak (C_ {D} ) je a ak (D subseteq H, H in mathcal {C}. ) Teraz , (D subseteq H ) znamená

[C_ {H-D} = C_ {H} -C_ {D}. ]

(Prečo?) Podľa vety 1, (H in mathcal {C} ) znamená

[ int_ {X krát Y} C_ {H} d p = p H = s H < infty, ]

a (C_ {H} ) je mapa Fubini. Rovnako je to (C_ {D} ) za predpokladu. Takže tiež je

[C_ {H-D} = C_ {H} -C_ {D} ]

podľa lemmy 2 (ii). Teda (H-D v mathcal {R}, ) dokazujúce (iii).

Do Lemmy 4 potom ( mathcal {P} subseteq mathcal {R}. ) Preto (( allall D in mathcal {P}) C_ {D} ) je mapa Fubini. ( quad square )

Teraz môžeme založiť jednu z hlavných viet kvôli Fubinimu.

Veta ( PageIndex {2} ) (Fubini I)

Predpokladajme, že (f: X krát Y pravá šípka E ^ {*} ) je ( mathcal {P} ) - merateľné na (X krát Y ) ( ( mathcal {P} ) ako vyššie) rom. Potom (f ) je mapa Fubini, ak existuje

(i) (f geq 0 ) na (X krát Y, ) alebo

ii) jeden z

[ int_ {X krát Y} | f | dp, int_ {X} int_ {Y} | f | dn dm, o r int_ {Y} int_ {X} | f | dm dn ]

je konečný.

V oboch prípadoch,

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = int_ {Y} int_ {X} f dm dn = int_ {X krát Y} f dp. ]

Dôkaz

Najprv nechajme

[f = sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} C_ {D_ {i}} quad left (a_ {i} geq 0, D_ {i} in mathcal {P }správny),]

tj. (f ) je ( mathcal {P} ) - elementárne, teda určite (p ) - merateľné. (Prečo?) Od Lemmas 5 a 2 je každé (a_ {i} C_ {D_ {i}} ) mapa Fubini. Preto je aj (f ) (lemma 3). Vzorec (2) je jednoducho Fubiniho vlastnosť (c).

Teraz vezmite ľubovoľné ( mathcal {P} ) - merateľné (f geq 0. ) od Lemmy 2 v §2,

[f = lim _ {k rightarrow infty} f_ {k} text {on} X krát Y ]

pre nejakú postupnosť ( left {f_ {k} right } uparrow ) ( mathcal {P} ) - základné mapy, (f_ {k} geq 0. ) ako je uvedené vyššie , každé (f_ {k} ) je mapa Fubini. Preto je (f ) lemmou 1. Týmto sa vyrieši prípad (i).

Ďalej predpokladajme (ii). Pretože (f ) je ( mathcal {P} ) - merateľné, tak sú aj (f ^ {+}, f _ {-}, ) a (| f | ) (veta 2 v § 2 ). Pretože nie sú záporné, sú to Fubiniho mapy podľa prípadu (i).

Takže (f = f ^ {+} - f ^ {-} ) od Lemmy 2 (ii), pretože (f ^ {+} leq | f | ) znamená

[ int_ {X krát Y} f ^ {+} d p < infty ]

podľa nášho predpokladu (ii). (Tri integrály sú rovnaké, pretože (| f | ) je mapa Fubini.)

Takto je dokázané všetko. ( Quad square )

III. Teraz chceme nahradiť ( mathcal {P} ) za ( mathcal {P} ^ {*} ) v Leme 5 a Vete 2. Funguje to iba za určitých ( sigma ) - podmienok konečnosti, ako je uvedené nižšie.

Lemma ( PageIndex {6} )

Nech (D in mathcal {P} ^ {*} ) je ( sigma ) - konečné, t.j.

[D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} text {(disjunktný)} ]

pre niektoré (D_ {i} in mathcal {P} ^ {*}, ) s (pD_ {i} < infty ) ((i = 1,2, ldots). )

Potom existuje (K v mathcal {P} ) taký, že (p (K-D) = 0 ) a (D subseteq K ).

Dôkaz

Pretože ( mathcal {P} ) je ( sigma ) - krúžok obsahujúci ( mathcal {C}, ), obsahuje tiež ( mathcal {C} _ { sigma}. ) podľa vety 3 v kapitole 7, §5, (p ^ {*} ) je ( mathcal {P} ) - pravidelné.

Pri zvyškoch postupujte rovnako ako vo vetách 1 a 2 v kapitole 7, §7. ( Quad square )

Lemma ( PageIndex {7} )

Ak (D in mathcal {P} ^ {*} ) je ( sigma ) - konečné (Lemma 6), potom (C_ {D} ) je mapa Fubini.

Dôkaz

Od Lemma 6,

[( existuje K v mathcal {P}) quad p (K-D) = 0, D subseteq K. ]

Nech (Q = KD, ) takže (p Q = 0, ) a (C_ {Q} = C_ {K} -C_ {D}; ), to znamená (C_ {D} = C_ {K} -C_ {Q} ) a

[ int_ {X krát Y} C_ {Q} d p = p Q = 0. ]

Pretože (K in mathcal {P}, C_ {K} ) je mapa Fubini. Podľa Lemmy 2 (ii) sa všetko redukuje na dokázanie toho istého pre (C_ {Q}. )

Teraz, keďže (p Q = 0, Q ) je určite ( sigma ) - konečné; takže Lemma 6,

[( existuje Z v mathcal {P}) quad Q subseteq Z, p Z = p Q = 0. ]

Opäť (C_ {Z} ) je mapa Fubini; tak

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {Z} d n d m = int_ {X krát Y} C_ {Z} d p = p Z = 0. ]

Ako (Q subseteq Z, ) máme (C_ {Q} leq C_ {Z}, ) a tak

[ begin {aligned} int_ {X} int_ {Y} C_ {Q} dn dm & = int_ {X} left [ int_ {Y} C_ {Q} (x, cdot) dn vpravo] dm & leq int_ {X} doľava [ int_ {Y} C_ {Z} (x, cdot) dn doprava] dm = int_ {X krát Y} C_ {Z} dp = 0. end {zarovnané} ]

Podobne

[ int_ {Y} int_ {X} C_ {Q} dm dn = int_ {Y} doľava [ int_ {X} C_ {Q} ( cdot, y) dm doprava] dn = 0. ]

Takto nastavenie

[g (x) = int_ {Y} C_ {Q} (x, cdot) dn text {a} h (y) = int_ {X} C_ {Q} ( cdot, y) dm, ]

máme

[ int_ {X} g dm = 0 = int_ {Y} h dn. ]

Preto podľa vety 1 (h) v §5, (g = 0 ) a.e. na (X, ) a (h = 0 ) a.e. na (Y. ) Takže (g ) a (h ) sú „takmer“ merateľné (definícia 2 v §3); (C_ {Q} ) má vlastnosť Fubini (a).

Podobne sa ustanoví (b) a (3) sa získa Fubiniho vlastnosť (c), pretože

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {Q} dn dm = int_ {Y} int_ {X} C_ {Q} dm dn = int_ {X krát Y} C_ {Q} dp = 0, ]

podľa potreby. ( quad square )

Veta ( PageIndex {3} ) (Fubini II)

Predpokladajme, že (f: X krát Y pravá šípka E ^ {*} ) je ( mathcal {P} ^ {*} ) - merateľné na (X krát Y ) a splní podmienku (i) alebo ii) vety 2.

Potom (f ) je mapa Fubiniho za predpokladu, že (f ) má ( sigma ) - konečnú podporu, tj (f ) zmizne mimo niektorých ( sigma ) - konečná množina (H subseteq X krát Y ).

Dôkaz

Najprv nechajme

[f = sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} C_ {D_ {i}} quad left (a_ {i}> 0, D_ {i} in mathcal {P} ^ {*} vpravo), ]

s (f = 0 ) na (- H ) (ako je uvedené vyššie).

Ako (f = a_ {i} neq 0 ) na (A_ {i}, ) musíme mať (D_ {i} subseteq H; ), takže všetky (D_ {i} ) sú ( sigma ) - konečné. (Prečo?) Takto podľa Lemmy 7 je každý (C_ {D_ {i}} ) mapa Fubiniho, a tak je aj (f.) (Prečo?)

Ak (f ) je ( mathcal {P} ^ {*} ) - merateľné a nezáporné a (f = 0 ) na (- H, ) môžeme postupovať ako v prípade vety 2, čím všetky (f_ {k} ) zmiznú na (- H. ) Potom (f_ {k} ) a (f ) sú mapy Fubini podľa toho, čo bolo uvedené vyššie.

Nakoniec, v prípade (ii), (f = 0 ) na (- H ) znamená

[f ^ {+} = f ^ {-} = | f | = 0 text {on} -H. ]

Takže (f ^ {+}, f ^ {-}, ) a (f ) sú mapy Fubini podľa časti (i) a argumentu vety 2. ( Quad square )

Poznámka 1. ( Sigma ) - konečná podpora je automatická, ak (f ) je (p ) - integrovateľná (Dodatok 1 v §5), alebo ak (p ) alebo obidva (m ) a (n ) sú ( sigma ) - konečné (pozri úlohu 3). Podmienka je tiež nadbytočná, ak (f ) je ( mathcal {P} ) - merateľná (veta 2; pozri tiež úlohu 4).

Poznámka 2. Indukciou sa naše definície a vety 2 a 3 rozširujú na akýkoľvek konečný počet (q ) merných medzier

[ left (X_ {i}, mathcal {M} _ {i}, m_ {i} right), quad i = 1, ldots, q. ]

Jeden píše

[p = m_ {1} krát m_ {2} ]

ak (q = 2 ) a množiny

[m_ {1} krát m_ {2} krát cdots krát m_ {q + 1} = vľavo (m_ {1} krát cdots krát m_ {q} vpravo) krát m_ {q +1}. ]

Vety 2 a 3 s podobnými predpokladmi potom uvádzajú, že poradie integrácií je nepodstatné.

Poznámka 3. Lebesgueovu mieru v (E ^ {q} ) možno považovať za produkt (q ) jednorozmerných mier. Podobne pre opatrenia (L S ) produktu (ale táto metóda je menej všeobecná ako metóda popísaná v Problémy 9 a 10 v kapitole 7, §9).

IV. Vety 2 (ii) a 3 (ii) platia aj pre funkcie

[f: X krát Y pravá šípka E ^ {n} ľavá (C ^ {n} pravá) ]

ak sú definície 2 a 3 upravené takto (aby pre takéto mapy mali zmysel): v definícii 2 nastavte

[g (x) = int_ {Y} f_ {x} dn ]

ak (f_ {x} ) je (n ) - integrovateľný na (Y, ) a (g (x) = 0 ) inak. Podobne pre (h (y). ) V definícii 3 nahraďte výraz „merateľný“ výrazom „integrovateľný“.

Pre dôkaz viet použite vety 2 (i) a 3 (i) na (| f |. ).

[ int_ {Y} int_ {X} | f | dm dn = int_ {X} int_ {Y} | f | dn dm = int_ {X krát Y} | f | dp. ]

Ak je teda jeden z týchto integrálov konečný, (f ) je (p ) - integrovateľný na (X krát Y, ), a teda aj jeho (q ) komponenty. Výsledok potom nasleduje po zistení, že (f ) je mapa Fubini (v upravenom zmysle), ak sú jej komponenty. (Overte!) Pozri tiež problém 12 nižšie.

V. Na záver si uvedomte, že integrály formulára

[ int_ {D} f dp quad left (D in mathcal {P} ^ {*} right) ]

znížiť na

[ int_ {X krát Y} f cdot C_ {D} dp. ]

Postačuje teda zohľadniť integrály nad (X krát Y ).


Pozri si video: Křivkové integrály I. druhupostup (December 2021).