Články

2.1.1E: Cvičenie pre vektory v rovine - matematika


Pri cvičeniach 1 - 10 zvážte body (P (-1,3), Q (1,5), ) a (R (-3,7) ). Určte požadované vektory a vyjadrite každý z nich

(a.) v podobe komponentov a

(b. ) pomocou štandardných jednotkových vektorov.

1) ( vecd {PQ} )

Odpoveď:
a. ( vecd {PQ} = ⟨2,2⟩ )
b. ( vecd {PQ} = 2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

2) ( vecd {PR} )

3) ( vecd {QP} )

Odpoveď:
a. ( vecd {QP} = ⟨− 2, −2⟩ )
b. ( vecd {QP} = - 2 hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )

4) ( vecd {RP} )

5) ( vecd {PQ} + vecd {PR} )

Odpoveď:
a. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = ⟨0,6⟩ )
b. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = 6 hat { mathbf j} )

6) ( vecd {PQ} - vecd {PR} )

7) (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} )

Odpoveď:
a. (2 vecd {PQ} → −2 vecd {PR} = ⟨8, −4⟩ )
b. (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} = 8 hat { mathbf i} −4 hat { mathbf j} )

8) (2 vecd {PQ} + frac {1} {2} vecd {PR} )

9) Jednotkový vektor v smere ( vecd {PQ} )

Odpoveď:
a. ( left langle frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {2}} {2} right rangle )
b. ( frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf i} + frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf j} )

10) Jednotkový vektor v smere ( vecd {PR} )

11) Vektor ({ presahujúci { scriptstyle rightharpoonup} { mathbf v}} ) má počiatočný bod ((- - 1, -3) ) a koncový bod ((2,1) ). Nájdite jednotkový vektor v smere ( vecs v ). Odpoveď vyjadrte ako súčasť.

Odpoveď:
(⟨ Frac {3} {5}, frac {4} {5}⟩ )

12) Vektor ( vecs v ) má počiatočný bod ((- 2,5) ) a koncový bod ((3, -1) ). Nájdite jednotkový vektor v smere ( vecs v ). Odpoveď vyjadrte ako súčasť.

13) Vektor ( vecs v ) má počiatočný bod (P (1,0) ) a koncový bod (Q ), ktorý je na osi (y ) - a nad počiatočným bodom. Nájdite súradnice koncového bodu (Q ) tak, aby veľkosť vektora ( vecs v ) bola ( sqrt {5} ).

Odpoveď:
(Q (0,2) )

14) Vektor ( vecs v ) má počiatočný bod (P (1,1) ) a koncový bod (Q ), ktorý je na osi (x ) - a naľavo od počiatočného bodu. Nájdite súradnice koncového bodu (Q ) tak, aby veľkosť vektora ( vecs v ) bola ( sqrt {10} ).

Pre cvičenia 15 a 16 používajte dané vektory ( vecs a ) a ( vecs b ).

a. Určte vektorový súčet ( vecs a + vecs b ) a vyjadrite ho v zloženom tvare aj pomocou štandardných jednotkových vektorov.

b. Nájdite vektorový rozdiel ( vecs a - vecs b ) a vyjadrite ho ako vo forme komponentov, tak aj pomocou štandardných jednotkových vektorov.

c. Overte, či vektory ( vecs a, , vecs b, ) a ( vecs a + vecs b ) a ( vecs a, , vecs b ) a ( vecs a− vecs b ) uspokoja nerovnosť trojuholníka.

d. Určte vektory (2 vecs a, - vecs b, ) a (2 vecs a− vecs b. ) Vyjadrite vektory ako vo forme komponentov, tak aj pomocou štandardných jednotkových vektorov.

15) ( vecs a = 2 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}, vecs b = hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} )

Odpoveď:
(a. , vecs a + vecs b = ⟨3,4⟩, quad vecs a + vecs b = 3 hat { mathbf i} +4 hat { mathbf j} )
(b. , vecs a− vecs b = ⟨1, -2⟩, quad vecs a− vecs b = hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )
(asi.) Odpovede sa budú líšiť
(d. , 2 vecs a = ⟨4,2⟩, quad 2 vecs a = 4 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j}, quad - vecs b = ⟨ −1, −3⟩, quad - vecs b = - hat { mathbf i} −3 hat { mathbf j}, quad 2 vecs a− vecs b = ⟨3, −1⟩, quad 2 vecs a− vecs b = 3 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

16) ( vecs a = 2 hat { mathbf i}, vecs b = −2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

17) Nech ( vecs a ) je vektor so štandardnou pozíciou s koncovým bodom ((- 2, −4) ). Nech ( vecs b ) je vektor s počiatočným bodom ((1,2) ) a koncovým bodom ((- 1,4) ). Nájdite veľkosť vektora (- 3 vecs a + vecs b − 4 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. )

Odpoveď:
(15)

18) Nech ( vecs a ) je vektor so štandardnou pozíciou s koncovým bodom v ((2,5) ). Nech ( vecs b ) je vektor s počiatočným bodom ((- 1,3) ) a koncovým bodom ((1,0) ). Nájdite veľkosť vektora ( vecs a − 3 vecs b + 14 hat { mathbf i} −14 hat { mathbf j}. )

19) Nech ( vecs u ) a ( vecs v ) sú dva nenulové vektory, ktoré nie sú rovnocenné. Zvážte vektory ( vecs a = 4 vecs u + 5 vecs v ) a ( vecs b = vecs u + 2 vecs v ) definované z hľadiska ( vecs u ) a ( vecs v ). Nájdite skalár (λ ) taký, aby vektory ( vecs a + λ vecs b ) a ( vecs u− vecs v ) boli ekvivalentné.

Odpoveď:
(λ = -3)

20) Nech ( vecs u ) a ( vecs v ) sú dva nenulové vektory, ktoré nie sú rovnocenné. Zvážte vektory ( vecs a = 2 vecs u − 4 vecs v ) a ( vecs b = 3 vecs u − 7 vecs v ) definované z hľadiska ( vecs u ) a ( vecs v ). Nájdite skaláre (α ) a (β ) také, aby vektory (α vecs a + β vecs b ) a ( vecs u− vecs v ) boli ekvivalentné.

21) Uvažujme vektor ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) s komponentmi, ktoré závisia od skutočného čísla (t ). Pretože sa počet (t ) líši, menia sa aj komponenty ( vecs a (t) ) v závislosti od funkcií, ktoré ich definujú.

a. Napíšte vektory ( vecs a (0) ) a ( vecs a (π) ) v podobe komponentov.

b. Ukážte, že veľkosť (∥ vecs a (t) ∥ ) vektora ( vecs a (t) ) zostáva konštantná pre akékoľvek reálne číslo (t ).

c. Pretože (t ) sa mení, ukážte, že koncový bod vektora ( vecs a (t) ) popisuje kružnicu so stredom v počiatku polomeru (1 ).

Odpoveď:
(a. , vecs a (0) = ⟨1,0⟩, quad vecs a (π) = ⟨− 1,0⟩ )
(b. ) Odpovede sa môžu líšiť
(asi.) Odpovede sa môžu líšiť

22) Zvážte vektor ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) so zložkami, ktoré závisia od skutočného čísla (x∈ [−1,1] ). Pretože sa počet (x ) líši, menia sa aj komponenty ( vecs a (x) ) v závislosti od funkcií, ktoré ich definujú.

a. Napíšte vektory ( vecs a (0) ) a ( vecs a (1) ) v podobe komponentov.

b. Ukážte, že veľkosť (∥ vecs a (x) ∥ ) vektora ( vecs a (x) ) zostáva konštantná pre akékoľvek reálne číslo (x ).

c. Pretože (x ) sa mení, ukážte, že koncový bod vektora ( vecs a (x) ) popisuje kružnicu so stredom v počiatku polomeru (1 ).

23) Ukážte, že vektory ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) a ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) sú ekvivalentné pre (x = 1 ) a (t = 2kπ ), kde (k ) je celé číslo.

Odpoveď: Odpovede sa môžu líšiť

24) Ukážte, že vektory ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) a ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) sú opačné pre (x = 1 ) a (t = π + 2kπ ), kde (k ) je celé číslo.

Pre cvičenia 25 - 28 nájdite vektor ( vecs v ) s danou veľkosťou a v rovnakom smere ako vektor ( vecs u ).

25) ( | vecs v | = 7, quad vecs u = ⟨3,4⟩ )

Odpoveď:
( vecs v = ⟨ frac {21} {5}, frac {28} {5}⟩ )

26) (‖ vecs v‖ = 3, quad vecs u = ⟨− 2,5⟩ )

27) (‖ vecs v‖ = 7, quad vecs u = ⟨3, −5⟩ )

Odpoveď:
( vecs v = ⟨ frac {21 sqrt {34}} {34}, - frac {35 sqrt {34}} {34}⟩ )

28) (‖ vecs v‖ = 10, quad vecs u = ⟨2, −1⟩ )

Pre cvičenia 29-34 nájdite zložkovú formu vektora ( vecs u ) vzhľadom na jeho veľkosť a uhol, ktorý vektor s pozitívnou osou (x ) -. Ak je to možné, dajte presné odpovede.

29) (‖ vecs u‖ = 2, θ = 30 ° )

Odpoveď:
( vecs u = ⟨ sqrt {3}, 1⟩ )

30) (‖ vecs u‖ = 6, θ = 60 ° )

31) (‖ vecs u‖ = 5, θ = frac {π} {2} )

Odpoveď:
( vecs u = ⟨0,5⟩ )

32) (‖ vecs u‖ = 8, θ = π )

33) (‖ vecs u‖ = 10, θ = frac {5π} {6} )

Odpoveď:
( vecs u = ⟨− 5 sqrt {3}, 5⟩ )

34) (‖ vecs u‖ = 50, θ = frac {3π} {4} )

Pri cvičeniach 35 a 36 je uvedený vektor ( vecs u ). Nájdite uhol (θ∈ [0,2π) ), ktorý vektor ( vecs u ) zviera s kladným smerom osi (x ) - proti smeru hodinových ručičiek.

35) ( vecs u = 5 sqrt {2} hat { mathbf i} −5 sqrt {2} hat { mathbf j} )

Odpoveď:
(θ = frac {7π} {4} )

36) ( vecs u = - sqrt {3} hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) Nech ( vecs a = ⟨a_1, a_2⟩, vecs b = ⟨b_1, b_2⟩ ) a ( vecs c = ⟨c_1, c_2⟩ ) sú tri nenulové vektory. Ak (a_1b_2 − a_2b_1 ≠ 0 ), potom ukážte, že existujú dva skaláre (α ) a (β ) také, že ( vecs c = α vecs a + β vecs b. )

Odpoveď: Odpovede sa môžu líšiť

38) Zvážte vektory ( vecs a = ⟨2, −4⟩, vecs b = ⟨− 1,2⟩, ) a ( vecs c = vecs 0 ) Určte skaláre (α ) a (β ) také, že ( vecs c = α vecs a + β vecs b ).

39) Nech (P (x_0, f (x_0)) ) je pevný bod v grafe diferencovateľnej funkcie (f ) s doménou, ktorá je množinou reálnych čísel.

a. Určte skutočné číslo (z_0 ) také, aby bod (Q (x_0 + 1, z_0) ) bol umiestnený na priamke dotyčnicu ku grafu (f ) v bode (P ).

b. Určte jednotkový vektor ( vecs u ) s počiatočným bodom (P ) a koncovým bodom (Q ).

Odpoveď:
(a. quad z_0 = f (x_0) + f ′ (x_0); quad b. quad vecs u = frac {1} { sqrt {1+ [f ′ (x_0)] ^ 2} } ⟨1, f ′ (x_0)⟩ )

40) Zvážte funkciu (f (x) = x ^ 4, ) kde (x∈R ).

a. Určte skutočné číslo (z_0 ) také, aby bod (Q (2, z_0) ) s ležal na priamke dotýkajúcej sa grafu (f ) v bode (P (1,1) ).

b. Určte jednotkový vektor ( vecs u ) s počiatočným bodom (P ) a koncovým bodom (Q ).

41) Uvažujme (f ) a (g ) dve funkcie definované pre rovnakú množinu reálnych čísel (D ). Nech ( vecs a = ⟨x, f (x)⟩ ) a ( vecs b = ⟨x, g (x)⟩ ) sú dva vektory, ktoré popisujú grafy funkcií, kde (x∈ D ). Ukážte, že ak sa grafy funkcií (f ) a (g ) nepretínajú, potom vektory ( vecs a ) a ( vecs b ) nie sú ekvivalentné.

42) Nájdite (x∈R ) také, aby vektory ( vecs a = ⟨x, sin x⟩ ) a ( vecs b = ⟨x, cos x⟩ ) boli ekvivalentné.

43) Vypočítajte súradnice bodu (D ) tak, že (ABCD ) je rovnobežník, s (A (1,1), B (2,4) ) a (C (7,4 ) ).

Odpoveď:
(D (6,1) )

44) Zvážte body (A (2,1), B (10,6), C (13,4) ) a (D (16, -2) ). Určte zložkovú formu vektora ( vecd {AD} ).

45) rýchlosť objektu je veľkosť jeho súvisiaceho vektora rýchlosti. Futbal vyhodený rozohrávačom má počiatočnú rýchlosť (70 ) mph a uhol prevýšenia (30 ° ). Určte vektor rýchlosti v mph a vyjadrite ho v zloženom tvare. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

Odpoveď:
(⟨60.62,35⟩)

46) Hráč bejzbalu hodí bejzbalku pod uhlom (30 ° ) s vodorovnou čiarou. Ak je počiatočná rýchlosť lopty (100 ) mph, nájdite vodorovnú a zvislú zložku vektora počiatočnej rýchlosti bejzbalu. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

47) Guľka je vystrelená s počiatočnou rýchlosťou (1500 ) ft / s pod uhlom (60 ° ) s horizontálou. Nájdite vodorovnú a zvislú zložku vektora rýchlosti strely. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

Odpoveď:
Horizontálna a vertikálna zložka sú (750 ) ft / s, respektíve (1299,04) ft / s.

48) [T] Šprintér s hmotnosťou 65 kg vyvíja silu (798 ) N v uhle (19 ° ) vzhľadom na zem na štartový blok v okamihu, keď sa začne závod. Nájdite vodorovnú zložku sily. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

49) [T] Dve sily, horizontálna sila (45 ) lb a ďalšia z (52 ) lb, pôsobia na ten istý objekt. Uhol medzi týmito silami je (25 ° ). Nájdite veľkosť a smerový uhol od kladnej osi (x ) výslednej sily, ktorá pôsobí na objekt. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

Odpoveď:
Veľkosť výslednej sily je (94,71 ) lb; smerový uhol je (13,42 ° ).

50) [T] Dve sily, vertikálna sila (26 ) lb a ďalšia z (45 ) lb, pôsobia na ten istý objekt. Uhol medzi týmito silami je (55 ° ). (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

51) [T] Na objekt pôsobia tri sily. Dve zo síl majú veľkosti (58 ) N a (27 ) N a zvierajú uhly (53 ° ) a (152 ° ) s kladnou osou (x ) . Nájdite veľkosť a smerový uhol od kladnej osi (x ) tretej sily tak, aby výsledná sila pôsobiaca na objekt bola nulová. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

Odpoveď:
Veľkosť tretieho vektora je (60,03 ) N; smerový uhol je (259,38 ° ).

52) Tri sily s veľkosťami 80 lb, 120 lb a 60 lb pôsobí na objekt v uhloch (45 °, 60 ° ) a (30 ° ) s kladnou osou (x ). Nájdite veľkosť a smerový uhol od kladnej osi (x ) - výslednej sily. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

53) [T] Letún letí v smere (43 ° ) východne na sever (tiež v skratke (N43E ) rýchlosťou (550 ) mph. Vietor s rýchlosťou (25 ) km / h pochádza z juhozápadu so zameraním (N15E ). Aká je pozemná rýchlosť a nový smer letúna?

Odpoveď:
Nová pozemná rýchlosť letúna je (572,19 ) mph; nový smer je (N41.82E. )

54) [T] Loď cestuje vo vode rýchlosťou (30) míľ / h v smere (N20E) (to znamená (20 °) na východ od severu). Silný prúd sa pohybuje rýchlosťou (15 ) mph v smere (N45E ). Aká je nová rýchlosť a smer člna?

55) [T] Závažie 50 lb je zavesené za kábel tak, aby jeho dve časti zvierali s horizontálou uhly (40 ° ) a (53 ° ). Nájdite veľkosti síl napätia ( vecs T_1 ) a ( vecs T_2 ) v kábloch, ak je výsledná sila pôsobiaca na objekt nulová. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

Odpoveď:
( | vecs T_1 | = 30,13 , lb, quad | vecs T_2 | = 38,35 , lb )

56) [T] Závažie 62 lb visí z lana, ktoré zviera s horizontálou uhly (29 ° ) a (61 ° ). (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

57) [T] Loď s hmotnosťou 1 500 lb je zaparkovaná na rampe, ktorá s horizontálou zviera uhol (30 ° ). Váhový vektor člna smeruje nadol a je súčtom dvoch vektorov: horizontálneho vektora ( vecs v_1 ), ktorý je rovnobežný s rampou, a vertikálneho vektora ( vecs v_2 ), ktorý je kolmý na šikmú plochu. Veľkosti vektorov ( vecs v_1 ) a ( vecs v_2 ) sú vodorovnou a zvislou zložkou vektora hmotnosti člna. Nájdite veľkosti ( vecs v_1 ) a ( vecs v_2 ). (Zaokrúhlené na celé číslo.)

Odpoveď:
( | vecs v_1 | = 750 , lb, quad | vecs v_2 | = 1299 , lb )

58) [T] Skrinka s hmotnosťou 85 lb je v pokoji v svahu (26 ° ). Určte veľkosť sily rovnobežnej so sklonom, ktorá je nevyhnutná na zabránenie kĺzania skrinky. (Zaokrúhlené na celé číslo.)

59) Guyanský drôt podporuje tyč, ktorá je vysoká (75) stôp. Jeden koniec drôtu je pripevnený k hornej časti stĺpa a druhý koniec je ukotvený k zemi od základne stĺpa. Určte vodorovnú a zvislú zložku sily napätia v drôte, ak je jeho veľkosť (50 lb) (zaokrúhlené na najbližšie celé číslo).

Odpoveď:
Dve horizontálne a vertikálne zložky sily v ťahu sú (28 ) lb a (42 ) lb.

60) Kotevný drôt telefónneho stožiara má uhol vyvýšenia (35 ° ) vzhľadom na zem. Sila napätia v kotvovom drôte je (120 ) lb. Nájdite vodorovnú a zvislú zložku sily napätia. (Zaokrúhlené na celé číslo.)

Prispievatelia

Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah spoločnosti OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.


2.1.1E: Cvičenie pre vektory v rovine - matematika

Toto je dosť krátka kapitola. V krátkosti sa pozrieme na vektory a niektoré z ich vlastností. Niektoré z týchto materiálov budeme potrebovať v nasledujúcej kapitole a tí z vás, ktorí sa vydáte smerom k kalkulu III, tiež použijú jeho značné množstvo.

Tu je zoznam tém v tejto kapitole.

Základné pojmy - V tejto časti predstavíme niektoré bežné zápisy pre vektory, ako aj niektoré základné pojmy o vektoroch, ako je veľkosť vektora a jednotkové vektory. Tiež ilustrujeme, ako nájsť vektor z jeho počiatočných a koncových bodov.

Vektorová aritmetika - V tejto časti sa budeme zaoberať matematickou a geometrickou interpretáciou súčtu a rozdielu dvoch vektorov. Definujeme a poskytneme geometrickú interpretáciu skalárneho násobenia. Uvádzame tiež niektoré zo základných vlastností vektorovej aritmetiky a uvádzame spoločnú (i ), (j ), (k ) notáciu pre vektory.

Bodový produkt - V tejto časti definujeme bodový produkt dvoch vektorov. Dáme niektoré zo základných vlastností bodových produktov a definujeme ortogonálne vektory a ukážeme, ako pomocou bodového produktu určiť, či sú dva vektory ortogonálne. V tejto časti tiež diskutujeme o nájdení vektorových projekcií a smerových kosínusov.

Krížový produkt - V tejto časti definujeme krížový produkt dvoch vektorov a uvedieme niektoré základné fakty a vlastnosti krížových produktov.


Viacrozmerná štatistika

Bude užitočné hovoriť o tom vektorové priestory. Jedná sa o množiny vektorov, ktoré je možné sčítať alebo násobiť skalárom. Mali by ste ich poznať z vysokoškolského štúdia. Neuvádzame tu formálnu definíciu, ale skutočný vektorový priestor (V ) si môžete predstaviť ako množinu vektorov, ktorá pre ľubovoľné ( mathbf v_1, mathbf v_2 vo V ) a ( alpha_1, alpha_2 v mathbb), máme [ alpha_1 mathbf v_1 + alpha_2 mathbf v_2 vo V ], t. j. vektorové priestory sú uzavreté pri sčítaní a skalárnom násobení.


Podmnožina (U podmnožina V ) vektorového priestoru (V ) sa nazýva vektor podpriestor ak (U ) je aj vektorový priestor.

2.2.1 Lineárna nezávislosť

2.2.2 Medzery medzi riadkami a stĺpcami

O množení matíc a vektorov ( mathbf A mathbf x ) môžeme uvažovať dvoma spôsobmi. Zvyčajným spôsobom je vnútorný produkt medzi riadkami (A ) a (x ).

Ale lepší spôsob, ako myslieť na ( mathbf A mathbf x ), je lineárna kombinácia stĺpcov (A ).

Pre [A = doľava ( začiatok 1 a zosilňovač 2 3 a amp4 5 a amp6 koniec right) ] vidíme, že priestor stĺpcov je 2-rozmerná rovina v ( mathbb^ 3 ). Matica ( mathbf B ) má rovnaký priestor v stĺpci ako ( mathbf A ) [ mathbf B = left ( begin 1 & amp; 2 & amp3 & amp4 3 & amp4 & amp7 & amp10 5 & amp6 & amp11 & amp16 endsprávny) ]

Počet lineárne nezávislých stĺpcov ( mathbf A ) sa nazýva poradie stĺpca ( mathbf A ) a rovná sa rozmeru priestoru stĺpca ( mathcal( mathbf A) ). The poradie stĺpca z ( mathbf A ) a ( mathbf B ) sú 2.

The riadkový priestor z ( mathbf A ) je definovaný ako priestor stĺpcov ( mathbf A ^ top ) a radová hodnosť je počet lineárne nezávislých riadkov ( mathbf A ).

Môžeme sa teda jednoducho odvolať na hodnosť matice.

2.2.3 Lineárne transformácie

Maticu (n krát p ) môžeme zobraziť ( mathbf A ) ako lineárnu mapu medzi dvoma vektorovými priestormi: [ begin mathbf A: mathbb^ p & amp rightarrow mathbb^ n mathbf x & amp mapsto mathbf A mathbf x end]

The obrázok of ( mathbf A ) je presne priestor stĺpcov ( mathbf A ): [ operatorname( mathbf A) = < mathbf A mathbf x: mathbf x v mathbb^ p > = mathcal( mathbf A) podmnožina mathbb^ n ]

The jadro of (A ) je množina vektorov mapovaných na nulu: [ operatorname( mathbf A) = < mathbf x: mathbf A mathbf x = boldsymbol 0 > podmnožina mathbb^ p ] a niekedy sa nazýva prázdny priestor z ( mathbf A ) a označené ( mathcal( mathbf A) ).

Ak uvažujeme o maticiach, potom ( dim mathcal( mathbf A) + dim mathcal( mathbf A) = p ) alebo ekvivalentne to
( operatorname( mathbf A) + dim mathcal( mathbf A) = p ).

Už sme povedali, že priestor riadkov ( mathbf A ) je ( mathcal( mathbf A ^ top) ). Ľavý-nulový priestor je ( < mathbf x in mathbb^ n: mathbf x ^ top mathbf A = 0 > ) alebo ekvivalentne (^ n: mathbf A ^ top mathbf x = 0 > = mathcal( mathbf A ^ top) ). Takže podľa vety o nulite musíme mať [n = dim mathcal( mathbf A ^ top) + dim mathcal( mathbf A ^ top) = operatorname( mathbf A) + dim operatorname( mathbf A ^ hore). ]

Príklad 2.10 Zvážte znova maticu (D: mathbb^ 3 rightarrow mathbb^ 2 ) [D = vľavo ( začať 1 a zosilňovač 2 a amp3 2 a amp4 a amp6 koniec right) = left ( begin 1 2 koniec vpravo) vľavo ( začať1 & amp2 & amp3 end right) ] To sme už videli [ mathcal(D) = operatorname left < left ( begin1 2 koniec right) right > ] a tak ( dim mathcal(D) = operatorname(D) = 1 ). Jadro alebo prázdny priestor ( mathbf D ) je množina vektorov, pre ktoré ( mathbf D mathbf x = boldsymbol 0 ), tj [x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 ] Toto je jednoduchá rovnica s tromi neznámymi, a preto musí existovať rovina riešení. Na jej opísanie potrebujeme v tejto rovine dva lineárne nezávislé vektory. Presvedčte sa sami, že [ mathcal(D) = operatorname left < left ( begin0 3 - 2 koniec right), left ( begin2 - 1 0 koniec right) right > ] Takže máme [ dim mathcal(D) + dim mathcal(D) = 1 + 2 = 3 ], ako to vyžaduje veta o neplatnosti.

Ak vezmeme do úvahy (D ^ top ), už vieme ( dim mathcal(D ^ top) = 1 ) (ako row-rank = stĺpec rank) a veta o nullite poradia nám hovorí, že dimenzia nulového priestoru (D ^ top ) musí byť (2- 1 = 1 ). Toto sa dá ľahko potvrdiť, pretože (D ^ top x = 0 ) znamená [x_1 + 2x_2 = 0 ], čo je riadok v ( mathbb^ 2 ) [ mathcal(D ^ top) = operatorname left < left ( begin-2 1 koniec right) right > ]

Otázka: Kedy má štvorcová matica ( mathbf A ) inverznú hodnotu?

  • Presne vtedy, keď jadro ( mathbf A ) obsahuje iba nulový vektor, tj má dimenziu 0. V tomto prípade je stĺpcový priestor ( mathbf A ) pôvodný priestor a ( mathbf A ) je surjektívny, a preto musí mať inverzný režim. Jednoduchší spôsob, ako zistiť, či ( mathbf A ) má inverznú hodnotu, je zvážiť jej determinant.

Otázka: Predpokladajme, že dostaneme (n krát p ) maticu ( mathbf A ) a n-vektor ( mathbf y ). Kedy má [ mathbf A mathbf x = mathbf y ] riešenie?


2.1.1E: Cvičenie pre vektory v rovine - matematika

Matice a determinanty sa objavujú v dvoch ďalších dôležitých kontextoch, jedným je riešenie simultánnych lineárnych rovníc vo viacerých premenných. Druhá predstavuje lineárne transformácie vektorov. Prvý z nich je podrobne opísaný v Kapitola 32 .

V druhom kontexte matica predstavuje transformáciu, ktorá vezme bázové vektory stĺpcov do vektorov, ktoré sú zodpovedajúcimi stĺpcami matice.

Súčty pôvodných bázových vektorov sa transformujú na rovnaké súčty zodpovedajúcich stĺpcov. Táto skutočnosť definuje transformáciu na všetkých vektoroch.

Keď je determinant matice nula, je objem oblasti so stranami danými jej stĺpcami alebo riadkami nulový, čo znamená, že matica považovaná za transformáciu vezme základné vektory do vektorov, ktoré sú lineárne závislé a definujú 0 objem.

Toto sa stáva, determinant je nula, keď sú stĺpce (a riadky) matice lineárne závislé.

4.2 Aká je matica transformácie, ktorá vezme jednotkový vektor v smere osi x do jedného v smere osi y a podobne jednu pozdĺž osi y do jednej pozdĺž osi z a jednu pozdĺž osi z do jednej pozdĺž osi x?

4.3 Aká matica popisuje transformáciu, ktorá zdvojnásobuje zložku vektorov v smere x, polovičné zložky v smere y a ponecháva komponenty v smere z osamotené.

4.4 Aká matica popisuje transformáciu v troch dimenziách, ktorá premieta vektory do roviny (x, y)? na os x? na uhlopriečku v rovine (x, y)?


Z koplanárnej časti vyššie
c =λa +μb

Keď sa používajú pozičné vektory,

r =(1 - & # 955-u)a+ λb +μc je vektorová rovnica roviny.

Pretože & # 955 a b sú premenné, bude pre rovinu veľa možných rovníc.

Nájdite vektorovú rovnicu roviny prechádzajúcu bodmi
A (-1, -2, -3), B (-2,0,1) a C (-4, -1, -1)

Keď je A známy bod v rovine,
R je akýkoľvek starý bod v rovine a b a c sú vektory
rovnobežne s rovinou,

the vektorová rovnica roviny je
r = a +λb +μc


Vektor má veľkosť a smer.

Vektory môžu byť použité na predstavenie mnohých fyzikálnych veličín, ktoré majú veľkosť a smer, ako sú sily.

Vektory môžu byť reprezentované ako šípky, kde dĺžka šípky označuje veľkosť a šípka ukazuje smer vektora.

Na karteziánskej rovine je možné nakresliť vektory v dvoch rozmeroch.

Vektory môžu byť pridané graficky pomocou metódy hlava-chvost alebo chvost.

Uzavretý vektorový diagram je sada vektorov nakreslených na karteziánskom princípe metódou chvost-k-hlave, ktorá má výslednicu s nulovou veľkosťou.

Vektory môžu byť pridané algebraicky pomocou Pythagorovej vety alebo pomocou komponentov.

Smer vektora možno zistiť pomocou jednoduchých trigonometrických výpočtov.

Komponenty vektora sú radom vektorov, ktoré keď skombinujete, dajú pôvodný vektor ako svoj výsledok.

Spravidla sa vytvárajú komponenty, ktoré sa zarovnávajú s kartézskymi súradnicovými osami. Pre vektor ( vec) ktorý zviera uhol ( theta ) s kladnou osou (x ) - osou (x ) - komponentom je ( vec_x = R cos ( theta) ) a (y ) - komponent je ( vec_y = R sin ( theta) ).


Otázky k revízii vektorov a # 8211 IGCSE z 11. ročníka


Náhľad zadarmo:

Prémiový obsah:

Toto si môžu pozrieť iba platení zákazníci, toto si môžete kúpiť TU
Ak ste za tento kurz zaplatili, prihláste sa.
Pre viac informácií nás kontaktujte.

Kurzy

Kurz poistno-matematickej štatistiky (CS1) v elektronickom videu nový

Nové IBSL s analýzou a prístupmi

IGCSE Add Maths (0606) 10. ročník špeciálneho úvodného kurzu nové

Riešenia STEP Maths Exam Solution nové

Celý zoznam riešení pre kurzy a skúšky TU

Už čoskoro & # 8230

  • Aktuárska matematika (CM1) Prebieha kurz eVideo
  • Prebiehajú pohotovostné udalosti CT5 (poistno-matematická matematika)
  • Prebieha účtovníctvo na úrovni Cambridge International AS a amp
  • AS Level Physics 9702 skúška riešenia podľa rozpracovaných tém
  • Prebieha kurz A2 Level Physics 9702 e videí
  • IBSL s prebiehajúcimi aplikáciami a interpretáciami

Váš inštruktor

Pán Ravee Menon je štrnásť rokov generálnym riaditeľom a zakladateľom jeho vzdelávacieho centra v Subang Jaya v Malajzii. Viac ako dvadsať rokov sa venuje lektorovaniu matematických a štatistických kurzov na magisterskej a magisterskej úrovni. viac

Lineárna algebra a jej aplikácie, cvičenie 3.4.24

Cvičenie 3.4.24. Ako je uvedené na strane 178, prvé tri Legendrove polynómy sú 1,, a. Nájdite ďalší polynóm Legendre, bude to kubický polynóm definovaný pre a bude kolmý na prvé tri polynómy Legendre.

Odpoveď: Proces hľadania štvrtého legendárneho poloynomu je v podstate aplikáciou Gram-Schmidtovej ortogonalizácie. Prvé tri polynómy sú

Štvrtý Legendrov polynóm môžeme nájsť začatím a odčítaním projekcií prvých troch polynómov:

Prvý termín máme

aby sa prvý výraz neobjavil vo výraze pre.

Tretí termín vypadáva z rovnakého dôvodu: jeho čitateľ je

Ostáva teda druhé volebné obdobie s čitateľom

POZNÁMKA: Toto pokračuje v sérii príspevkov obsahujúcich vypracované cvičenia z knihy (z tlače) knihy Lineárna algebra a jej aplikácie, tretie vydanie, Gilbert Strang.

Ak sa vám tieto príspevky zdajú užitočné, odporúčam vám pozrieť si aj aktuálnejšiu úvodnú učebnicu Linear Algebra and its Applications, štvrté vydanie, Dr. Strang & # 8217s Úvod do lineárnej algebry, piate vydanie a sprievodný bezplatný online kurz, a Dr. Strang & # 8217s ďalšie knihy.


Cvičenie 3.4.24. Ako je uvedené na strane 178, prvé tri Legendrove polynómy sú 1,, a. Nájdite ďalší polynóm Legendre, bude to kubický polynóm definovaný pre a bude kolmý na prvé tri polynómy Legendre. & hellip Pokračovať v čítaní & rarr

Cvičenie 3.4.23. Vzhľadom na krokovú funkciu s pre a pre nájdite nasledujúce Fourierove koeficienty: Odpoveď: Pre čitateľa je a menovateľ je taký, že. Pre čitateľa je to tak. Pre čitateľa je a & hellip Pokračovať v čítaní & rarr


Pododdiel 2.2.2 Rozpätia

Bude dôležité vedieť, čo sú všetko lineárne kombinácie množiny vektorov

Inými slovami by sme chceli porozumieť množine všetkých vektorov

také, že vektorová rovnica (v neznámych

má riešenie (t.j. je konzistentné).

Definícia

je súhrn všetkých lineárnych kombinácií

je podmnožina preklenutý alebo generované vektory

Vyššie uvedená definícia je prvou z niekoľkých základné definície ktoré uvidíme v tejto učebnici. Sú nevyhnutné v tom, že tvoria podstatu predmetu lineárna algebra: učenie sa lineárnej algebre znamená (čiastočne) učenie sa týchto definícií. Všetky definície sú dôležité, ale je nevyhnutné, aby ste sa naučili a porozumeli definíciám označeným ako také.

Nastaviť staviteľskú notáciu

znie ako: „množina všetkých vecí formulára

„Vertikálna čiara je„ taká, že “všetko naľavo od nej je„ súbor všetkých vecí tejto formy “a všetko napravo je podmienkou, ktorú musia tieto veci spĺňať, aby boli v množine. Určenie množiny týmto spôsobom sa nazýva set builder notácia.

Celá matematická notácia je iba skratka: akákoľvek postupnosť symbolov sa musí prekladať do obvyklej vety.