Články

13.4: Tečné roviny, lineárne aproximácie a celkový rozdiel


Učebné ciele

  • Určte rovnicu dotyčnice roviny k danej ploche v bode.
  • Dotykovou rovinou aproximujte funkciu dvoch premenných v bode.
  • Vysvetlite, kedy je funkcia dvoch premenných diferencovateľná.
  • Použite celkový diferenciál na aproximáciu zmeny funkcie dvoch premenných.

V tejto časti sa zaoberáme problémom hľadania dotyčnicovej roviny k povrchu, ktorý je analogický k nájdeniu rovnice dotyčnice k krivke, keď je krivka definovaná grafom funkcie jednej premennej, (y = f (x) ). Sklon dotyčnice v bode (x = a ) je daný vzťahom (m = f ′ (a) ); aký je sklon dotyčnej roviny? O rovnici roviny sme sa dozvedeli v Rovniciach priamok a Rovín vo vesmíre; v tejto časti vidíme, ako sa dá použiť na daný problém.

Tangenciálne roviny

Intuitívne sa zdá zrejmé, že v rovine môže byť iba jedna čiara dotyčnica krivky v bode. V trojrozmernom priestore však môže byť k danému bodu tangenciálnych mnoho čiar. Ak tieto čiary ležia v rovnakej rovine, určujú dotykovú rovinu v danom bode. Intuitívnejším spôsobom myslenia na dotykovú rovinu je predpoklad, že povrch je v danom bode hladký (bez rohov). Potom dotyčnica k povrchu v danom bode v ľubovoľnom smere nemá žiadne prudké zmeny sklonu, pretože smer sa mení plynulo. Preto v susedstve s dostatočnými malými bodmi okolo bodu sa dotyčná rovina dotýka povrchu iba v tomto bode.

Definícia: tangenciálne čiary

Nech (P_0 = (x_0, y_0, z_0) ) je bod na povrchu (S ) a nech (C ) je ľubovoľná krivka prechádzajúca cez (P_0 ) a ležiaca celá v (S ). Ak dotyčnice všetkých týchto kriviek (C ) v (P_0 ) ležia v rovnakej rovine, potom sa táto rovina nazýva dotyčnicová rovina do (S ) v (P_0 ) (Obrázok ( PageIndex {1} )).

Aby dotyčná rovina k povrchu existovala v bode na tejto ploche, stačí, aby bola funkcia, ktorá definuje povrch, v tomto bode diferencovateľná. Definujeme tu pojem dotyčná rovina a potom túto myšlienku intuitívne preskúmame.

Definícia: dotyčné roviny

Nech (S ) je povrch definovaný diferencovateľnou funkciou (z = f (x, y), ) a nech (P_0 = (x_0, y_0) ) je bod v doméne (f ). Potom je rovnica dotykovej roviny k (S ) v (P_0 ) daná vzťahom

[z = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0). label {tanplane} ]

Aby sme zistili, prečo je tento vzorec správny, najskôr nájdeme dve dotyčnicové čiary k povrchu (S ). Rovnica dotyčnice k krivke, ktorá je reprezentovaná priesečníkom (S ) so zvislou stopou danou (x = x_0 ), je (z = f (x_0, y_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) ). Podobne rovnica dotyčnice ku krivke, ktorá je reprezentovaná priesečníkom (S ) so zvislou stopou danou (y = y_0 ), je (z = f (x_0, y_0) + f_x ( x_0, y_0) (x − x_0) ). Paralelný vektor k prvej dotyčnici je ( vecs a = , hat { mathbf j} + f_y (x_0, y_0) , hat { mathbf k} ); paralelný vektor k druhej dotyčnici je ( vecs b = hat { mathbf i} + f_x (x_0, y_0) , hat { mathbf k} ). Môžeme vziať krížový produkt týchto dvoch vektorov:

[ begin {align *} vecs a times vecs b & = (, hat { mathbf j} + f_y (x_0, y_0) , hat { mathbf k}) × (, hat { mathbf i} + f_x (x_0, y_0) , hat { mathbf k}) [4pt] & = begin {vmatrix} hat { mathbf i} & hat { mathbf j} & hat { mathbf k} [4pt] 0 & 1 & f_y (x_0, y_0) [4pt] 1 & 0 & f_x (x_0, y_0) end {vmatrix} [4pt] & = f_x (x_0, y_0) , hat { mathbf i} + f_y (x_0, y_0) , hat { mathbf j} - , hat { mathbf k}. end {zarovnať *} ]

Tento vektor je kolmý na obe čiary, a preto je kolmý na dotykovú rovinu. Tento vektor môžeme použiť ako normálny vektor k dotyčnej rovine spolu s bodom (P_0 = (x_0, y_0, f (x_0, y_0)) ) v rovnici pre rovinu:

[ begin {align *} vecs n · ((x − x_0) , hat { mathbf i} + (y − y_0) , hat { mathbf j} + (z − f (x_0, y_0)) , hat { mathbf k}) & = 0 [4pt] (f_x (x_0, y_0) , hat { mathbf i} + f_y (x_0, y_0) , hat { mathbf j} - , hat { mathbf k}) · ((x − x_0) , hat { mathbf i} + (y − y_0) , hat { mathbf j} + (z − f (x_0, y_0)) , hat { mathbf k}) & = 0 [4pt] f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) - (z −f (x_0, y_0)) & = 0. end {zarovnať *} ]

Vyriešením tejto rovnice pre (z ) získate rovnicu ref {tanplane}.

Príklad ( PageIndex {1} ): Nájdenie tangenciálnej roviny

Nájdite rovnicu dotykovej roviny s povrchom definovaným funkciou (f (x, y) = 2x ^ 2−3xy + 8y ^ 2 + 2x − 4y + 4 ) v bode ((2, −1) . )

Riešenie

Najskôr musíme vypočítať (f_x (x, y) ) a (f_y (x, y) ), potom použiť rovnicu s (x_0 = 2 ) a (y_0 = -1):

[ begin {align *} f_x (x, y) & = 4x − 3y + 2 [4pt] f_y (x, y) & = - 3x + 16y − 4 [4pt] f (2, - 1) & = 2 (2) ^ 2−3 (2) (- 1) +8 (−1) ^ 2 + 2 (2) −4 (−1) + 4 = 34 [4pt] f_x (2 , −1) & = 4 (2) -3 (−1) + 2 = 13 [4pt] f_y (2, −1) & = - 3 (2) +16 ((1) −4 = −26 . end {align *} ]

Potom sa stane Rovnica ref {tanplane}

[ begin {align *} z & = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) [4 pt] z & = 34 +13 (x − 2) −26 (y - (- 1)) [4pt] z & = 34 + 13x − 26−26y − 26 [4pt] z & = 13x − 26y − 18. end {zarovnať *} ]

(Pozri nasledujúci obrázok).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Nájdite rovnicu dotykovej roviny k povrchu definovanej funkciou (f (x, y) = x ^ 3 − x ^ 2y + y ^ 2−2x + 3y − 2 ) v bode ((−1, 3) ).

Pomôcka

Najskôr vypočítajte (f_x (x, y) ) a (f_y (x, y) ), potom použite rovnicu ref {tanplane}.

Odpoveď

(z = 7x + 8y − 3 )

Príklad ( PageIndex {2} ): Nájdenie ďalšej tangenciálnej roviny

Nájdite rovnicu dotykovej roviny k povrchu definovanej funkciou (f (x, y) = sin (2x) cos (3y) ) v bode ((π / 3, π / 4). )

Riešenie

Najskôr vypočítajte (f_x (x, y) ) a (f_y (x, y) ), potom použite rovnicu ref {tanplane} s (x_0 = π / 3 ) a (y_0 = π / 4 ):

[ begin {align *} f_x (x, y) & = 2 cos (2x) cos (3y) [4pt] f_y (x, y) & = - 3 sin (2x) sin ( 3y) [4pt] f doľava ( dfrac {π} {3}, dfrac {π} {4} doprava) & = sin doľava (2 doľava ( dfrac {π} {3}) right) right) cos left (3 left ( dfrac {π} {4} right) right) = left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) left (- dfrac { sqrt {2}} {2} vpravo) = - dfrac { sqrt {6}} {4} [4pt] f_x dolava ( dfrac {π} {3}, dfrac {π} {4} vpravo) & = 2 cos doľava (2 doľava ( dfrac {π} {3} doprava) doprava) cos doľava (3 doľava ( dfrac {π}) {4} right) right) = 2 left (- dfrac {1} {2} right) left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) = dfrac { sqrt {2}} {2} [4pt] f_y doľava ( dfrac {π} {3}, dfrac {π} {4} doprava) & = - 3 sin doľava (2 doľava ( dfrac {π} {3} right) right) sin left (3 left ( dfrac {π} {4} right) right) = - 3 left ( dfrac { sqrt {3 }} {2} right) left ( dfrac { sqrt {2}} {2} right) = - dfrac {3 sqrt {6}} {4}. end {zarovnať *} ]

Potom sa stane Rovnica ref {tanplane}

[ begin {align *} z & = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) [4pt] & = - dfrac { sqrt {6}} {4} + dfrac { sqrt {2}} {2} vľavo (x− dfrac {π} {3} vpravo) - dfrac {3 sqrt {6} } {4} doľava (y− dfrac {π} {4} doprava) [4pt] & = dfrac { sqrt {2}} {2} x− dfrac {3 sqrt {6} } {4} y− dfrac { sqrt {6}} {4} - dfrac {π sqrt {2}} {6} + dfrac {3π sqrt {6}} {16} end {zarovnať *} ]

Dotyková rovina k povrchu nemusí vždy existovať v každom bode povrchu. Zvážte funkciu po častiach

[f (x, y) = begin {cases} dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}, & & (x, y) ≠ (0,0) [4 b. ] 0, & & (x, y) = (0,0) koniec {prípadov}. label {oddfunction} ]

Nasleduje graf tejto funkcie.

Obrázok ( PageIndex {3} ): Graf funkcie, ktorá nemá na začiatku tangenciálnu rovinu. Dynamická postava založená na CalcPlot3D.

Ak buď ​​(x = 0 ) alebo (y = 0 ), potom (f (x, y) = 0, ), takže hodnota funkcie sa nezmení ani na (x )- alebo (y )-os. Preto (f_x (x, 0) = f_y (0, y) = 0 ), takže buď ​​(x ), alebo (y ) sa blížia k nule, tieto čiastkové derivácie zostávajú rovné nule. Ich nahradením do rovnice vznikne (z = 0 ) ako rovnica dotyčnice. Ak však pristupujeme k pôvodu z iného smeru, dostaneme iný príbeh. Predpokladajme napríklad, že sa k počiatku priblížime pozdĺž čiary (y = x ). Ak dáme (y = x ) do pôvodnej funkcie, stane sa

[f (x, x) = dfrac {x (x)} { sqrt {x ^ 2 + (x) ^ 2}} = dfrac {x ^ 2} { sqrt {2x ^ 2}} = dfrac {| x |} { sqrt {2}}. ]

Keď (x> 0, ) je sklon tejto krivky rovný ( sqrt {2} / 2 ); keď (x <0 ), sklon tejto krivky sa rovná (- ( sqrt {2} / 2). ) To predstavuje problém. Pri definícii dotyčnicovej roviny sme predpokladali, že všetky dotyčné čiary prechádzajúce bodom (P ) (v tomto prípade pôvodom) ležia v rovnakej rovine. Zjavne to tak nie je. Keď študujeme diferencovateľné funkcie, uvidíme, že táto funkcia nie je diferencovateľná na začiatku.

Lineárne aproximácie

Pripomeňme z lineárnych aproximácií a diferenciálov, že vzorec pre lineárnu aproximáciu funkcie (f (x) ) v bode (x = a ) je daný

[y≈f (a) + f '(a) (x − a). ]

Schéma lineárnej aproximácie funkcie jednej premennej je uvedená v nasledujúcom grafe.

Tangensu možno použiť ako aproximáciu funkcie (f (x) ) pre hodnoty (x ) primerane blízke (x = a ). Pri práci s funkciou dvoch premenných je dotyčnica nahradená dotykovou rovinou, ale aproximačná myšlienka je takmer rovnaká.

Definícia: Lineárna aproximácia

Keď dostaneme funkciu (z = f (x, y) ) s spojitými parciálnymi deriváciami, ktoré existujú v bode ((x_0, y_0) ), lineárna aproximácia (f ) v bode ((x_0 , y_0) ) je dané rovnicou

[L (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0). label {cca} ]

Všimnite si, že táto rovnica tiež predstavuje dotykovú rovinu k povrchu definovanému (z = f (x, y) ) v bode ((x_0, y_0) ). Myšlienka použitia lineárnej aproximácie spočíva v tom, že ak existuje bod ((x_0, y_0) ), v ktorom je známa presná hodnota (f (x, y) ), potom pre hodnoty (( x, y) ) primerane blízko k ((x_0, y_0) ), lineárna aproximácia (tj. tangenciálna rovina) vedie k hodnote, ktorá je tiež primerane blízko k presnej hodnote (f (x, y) ) (Obrázok). Rovina, ktorá sa používa na nájdenie lineárnej aproximácie, je tiež dotykovou rovinou k povrchu v bode ((x_0, y_0). )

Príklad ( PageIndex {3} ): Použitie aproximácie tangenciálnej roviny

Vzhľadom na funkciu (f (x, y) = sqrt {41−4x ^ 2 − y ^ 2} ), aproximujte (f (2.1,2.9) ) pomocou bodu ((2,3) ) pre ((x_0, y_0). ) Aká je približná hodnota (f (2.1; 2,9) ) na štyri desatinné miesta?

Riešenie

Ak chcete použiť rovnicu ref {približne}, najskôr musíme vypočítať (f (x_0, y_0), f_x (x_0, y_0), ) a (f_y (x_0, y_0) ) pomocou (x_0 = 2 ) a (y_0 = 3: )

[ begin {align *} f (x_0, y_0) & = f (2,3) = sqrt {41−4 (2) ^ 2− (3) ^ 2} = sqrt {41−16−9 } = sqrt {16} = 4 [4pt] f_x (x, y) & = - dfrac {4x} { sqrt {41−4x ^ 2 − y ^ 2}} text {so} ; f_x (x_0, y_0) = - dfrac {4 (2)} { sqrt {41−4 (2) ^ 2− (3) ^ 2}} = - 2 [4pt] f_y (x, y) & = - dfrac {y} { sqrt {41−4x ^ 2 −y ^ 2}} text {so} ; f_y (x_0, y_0) = - dfrac {3} { sqrt {41−4 (2) ^ 2− (3) ^ 2}} = - dfrac {3} {4}. end {zarovnať *} ]

Teraz tieto hodnoty dosadíme do rovnice ref {cca}:

[ begin {align *} L (x, y) & = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) [4 b. ] & = 4−2 (x − 2) - dfrac {3} {4} (y − 3) [4pt] & = dfrac {41} {4} −2x− dfrac {3} {4 } r. end {zarovnať *} ]

Na záver dosadíme (x = 2,1 ) a (y = 2,9 ) do (L (x, y): )

[L (2.1,2.9) = dfrac {41} {4} -2 (2,1) - dfrac {3} {4} (2,9) = 10,25−4,2−2,175 = 3,875. nonumber ]

Približná hodnota (f (2.1, 2,9) ) na štyri desatinné miesta je

[f (2.1,2.9) = sqrt {41−4 (2,1) ^ 2− (2,9) ^ 2} = sqrt {14,95} ≈3,8665, nonumber ]

čo zodpovedá chybe (0,2% ) v aproximácii.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vzhľadom na funkciu (f (x, y) = e ^ {5−2x + 3y}, ) aproximujte (f (4.1.0.9) ) pomocou bodu ((4,1) ) pre (( x_0, y_0) ). Aká je približná hodnota (f (4.1,0.9) ) na štyri desatinné miesta?

Pomôcka

Najskôr vypočítajte (f (x_0, y_0), f_x (x_0, y_0), ) a (f_y (x_0, y_0) ) pomocou (x_0 = 4 ) a (y_0 = 1 ), potom použite Rovnica ref {pribl.}

Odpoveď

(L (x, y) = 6-2x + 3y, ) takže (L (4.1,0.9) = 6-2 (4,1) +3 (0,9) = 0,5 ) (f (4,1,0,9) = e ^ {5-2 (4,1) +3 (0,9)} = e ^ {- 0,5} ≈0,6065. )

Diferencovateľnosť

Pri práci s funkciou (y = f (x) ) jednej premennej sa hovorí, že táto funkcia je diferencovateľná v bode (x = a ), ak (f ′ (a) ) existuje. Ďalej, ak je funkcia jednej premennej v bode diferencovateľná, graf je v danom bode „hladký“ (tj. Neexistujú žiadne rohy) a dotyčnica je v danom bode dobre definovaná.

Myšlienka diferencovateľnosti funkcie dvoch premenných je spojená s myšlienkou hladkosti v tomto bode. V takom prípade sa povrch považuje za hladký v bode (P ), ak v tomto bode existuje dotyčná rovina k povrchu. Ak je funkcia v bode diferencovateľná, potom v tomto bode existuje dotyčná rovina k povrchu. Pripomeňme si vzorec (Rovnica ref {tanplane}) pre dotyčnicu v bode ((x_0, y_0) ) je daný

[z = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) nonumber ]

Aby tangenciálna rovina existovala v bode ((x_0, y_0), ), musia v tomto bode existovať aj čiastkové derivácie. To však nie je dostatočná podmienka pre plynulosť, ako je znázornené na obrázku. V takom prípade parciálne derivácie existovali na začiatku, ale funkcia mala tiež roh v grafe na začiatku.

Definícia: diferencovateľné funkcie

Funkcia (f (x, y) ) je diferencovateľný v bode (P (x_0, y_0) ), ak pre všetky body ((x, y) ) v (δ ) disku okolo (P ) môžeme písať

[f (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) + E (x, y), label { rozdiel1} ]

kde vyhovuje chybový výraz (E )

[ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 . label {diff2} ]

Posledný výraz v rovnici ref {diff1} je ako chybný výraz a predstavuje to, ako blízko sa dotyčná rovina dostane k povrchu v malom susedstve ( (δ ) disk) bodu (P ). Aby bola funkcia (f ) diferencovateľná v (P ), musí byť plynulá - to znamená, že graf (f ) musí byť blízko bodovej roviny pre body v blízkosti (P ) .

Príklad ( PageIndex {4} ): Preukázanie odlišnosti

Ukážte, že funkcia (f (x, y) = 2x ^ 2−4y ) je v bode ((2, -3). ) Diferencovateľná.

Riešenie

Najskôr vypočítame (f (x_0, y_0), f_x (x_0, y_0), ) a (f_y (x_0, y_0) ) pomocou (x_0 = 2 ) a (y_0 = -3, ) potom použijeme Rovnicu ref {diff1}:

[ begin {align *} f (2, −3) & = 2 (2) ^ 2−4 (−3) = 8 + 12 = 20 [4pt] f_x (2, −3) & = 4 (2) = 8 [4pt] f_y (2, -3) & = - 4. end {zarovnať *} ]

Preto (m_1 = 8 ) a (m_2 = −4, ) a rovnica ref {diff1} sa stávajú

[ begin {align *} f (x, y) & = f (2, −3) + f_x (2, −3) (x − 2) + f_y (2, -3) (y + 3) + E (x, y) [4pt] 2x ^ 2−4y & = 20 + 8 (x − 2) −4 (y + 3) + E (x, y) [4pt] 2x ^ 2−4y & = 20 + 8x −16−4y −12 + E (x, y) [4pt] 2x ^ 2−4y & = 8x −4y −8 + E (x, y) [4pt] E (x , y) & = 2x ^ 2-8x + 8. end {zarovnať *} ]

Ďalej vypočítame limit v rovnici ref {diff2}:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x + 0) ^ 2 + (y− y_0) ^ 2}} & = lim _ {(x, y) → (2, −3)} dfrac {2x ^ 2−8x + 8} { sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2}} [4 body]
& = lim _ {(x, y) → (2, −3)} dfrac {2 (x ^ 2−4x + 4)} { sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2}} [4 body]
& = lim _ {(x, y) → (2, −3)} dfrac {2 (x − 2) ^ 2} { sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2} } [4 body]
& = lim _ {(x, y) → (2, −3)} dfrac {2 ((x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2)} { sqrt {(x − 2) ^ 2+ (y + 3) ^ 2}} [4 body]
& = lim _ {(x, y) → (2, −3)} 2 sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2} [4pt]
& = 0. end {zarovnať *} ]

Pretože (E (x, y) ≥0 ) pre ľubovoľnú hodnotu (x ) alebo (y ), pôvodný limit musí byť rovný nule. Preto je (f (x, y) = 2x ^ 2−4y ) v bode ((2, -3) ) diferencovateľné.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Ukážte, že funkcia (f (x, y) = 3x − 4y ^ 2 ) je v bode ((- 1,2) ) diferencovateľná.

Pomôcka

Najskôr vypočítajte (f (x_0, y_0), f_x (x_0, y_0), ) a (f_y (x_0, y_0) ) pomocou (x_0 = -1 ) a (y_0 = 2 ), potom pomocou rovnice ref {diff2} nájdeme (E (x, y) ). Na záver vypočítajte limit.

Odpoveď

[ begin {align *} f (−1,2) & = - 19, quad f_x (−1,2) = 3, quad f_y (−1,2) = - 16, quad E (x , y) = - 4 (y − 2) ^ 2. [4 body]
lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} & = lim_ {(x, y) → (−1,2)} dfrac {4 (y − 2) ^ 2} { sqrt {(x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2}} [4 b.]
& ≤ lim _ {(x, y) → (−1,2)} dfrac {4 ((x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2)} { sqrt {(x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2}} [4 body]
& = lim _ {(x, y) → (2, −3)} - 4 sqrt {(x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2} [4pt]
& = 0. end {zarovnať *} ]

Táto funkcia od (Rovnica ref {oddfunkcia})

[f (x, y) = begin {cases} dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}, & & (x, y) ≠ (0,0) [4 b. ] 0, & & (x, y) = (0,0) koniec {prípadov} nečíslo ]

nie je rozlíšiteľné v počiatku (obrázok ( PageIndex {3} )). Vidíme to výpočtom parciálnych derivácií. Táto funkcia sa objavila skôr v časti, kde sme ukázali, že (f_x (0,0) = f_y (0,0) = 0 ). Dosadením týchto informácií do rovníc ref {diff1} a ref {diff2} pomocou (x_0 = 0 ) a (y_0 = 0 ) dostaneme

[ begin {align *} f (x, y) & = f (0,0) + f_x (0,0) (x − 0) + f_y (0,0) (y − 0) + E (x , y) [4pt] E (x, y) & = dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}. end {zarovnať *} ]

Výpočet

[ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} ]

dáva

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} & = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac { dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {xy} {x ^ 2 + y ^ 2}. end {zarovnať *} ]

V závislosti od cesty k začiatku má tento limit rôzne hodnoty. Preto limit neexistuje a funkcia (f ) nie je pri pôvode diferencovateľná, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Diferencovateľnosť a spojitosť pre funkcie dvoch alebo viacerých premenných sú spojené, rovnako ako pre funkcie jednej premennej. V skutočnosti je pri niektorých úpravách zápisu základná veta rovnaká.

Veta: Diferencovateľnosť znamená kontinuitu

Nech (z = f (x, y) ) je funkcia dvoch premenných s ((x_0, y_0) ) v doméne (f ). Ak (f (x, y) ) je diferencovateľné na ((x_0, y_0) ), potom (f (x, y) ) je spojité na ((x_0, y_0). )

Poznámka ukazuje, že ak je funkcia v bode diferencovateľná, potom je tam spojitá. Ak je však funkcia v určitom okamihu spojitá, nemusí sa v danom bode nevyhnutne rozlišovať. Napríklad funkcia diskutovaná vyššie (Rovnica ref {oddfunction})

[f (x, y) = begin {cases} dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}, & & (x, y) ≠ (0,0) [4 b. ] 0, & & (x, y) = (0,0) koniec {prípadov} nečíslo ]

je nepretržitý pri vzniku, ale je nediferencovateľné pri vzniku. Toto pozorovanie je podobné situácii v prípade kalkulu s jednou premennou.

Môžeme ďalej skúmať súvislosť medzi kontinuitou a diferencovateľnosťou v jednom bode. Táto ďalšia veta hovorí, že ak sú funkcia a jej parciálne derivácie spojité v danom bode, je funkcia diferencovateľná.

Veta: Kontinuita prvých častíc znamená diferenciáciu

Nech (z = f (x, y) ) je funkcia dvoch premenných s ((x_0, y_0) ) v doméne (f ). Ak (f (x, y) ), (f_x (x, y) ) a (f_y (x, y) ) všetky existujú v susedstve ((x_0, y_0) ) a sú spojité na ((x_0, y_0) ), potom (f (x, y) ) je tam diferencovateľné.

Pripomeňme, že skôr sme ukázali, že funkcia v Rovnici ref {oddfunkcia} nebola v počiatku diferencovateľná. Vypočítajme čiastkové deriváty (f_x ) a (f_y ):

[ dfrac {∂f} {∂x} = dfrac {y ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} ]

a

[ dfrac {∂f} {∂y} = dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}}. ]

Kontrapositív predchádzajúcej vety tvrdí, že ak funkcia nie je diferencovateľná, potom musí byť najmenej jedna z hypotéz nepravdivá. Pozrime sa na podmienku, že (f_x (0,0) ) musí byť spojité. Aby to bola pravda, musí to byť pravda

[ lim _ {(x, y) → (0,0)} f_x (x, y) = f_x (0,0) ]

preto

[ lim _ {(x, y) → (0,0)} f_x (x, y) = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {y ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}}. ]

Nech (x = ky ). Potom

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {y ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} & = lim_ {y → 0} dfrac {y ^ 3} {((ky) ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} [4pt]
& = lim_ {y → 0} dfrac {y ^ 3} {(k ^ 2y ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} [4pt]
& = lim_ {y → 0} dfrac {y ^ 3} {| y | ^ 3 (k ^ 2 + 1) ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {1} {(k ^ 2 + 1) ^ {3/2}} lim_ {y → 0} dfrac {| y |} {y}. end {zarovnať *} ]

Ak (y> 0 ), potom sa tento výraz rovná (1 / (k ^ 2 + 1) ^ {3/2} ); ak (y <0 ), potom sa rovná (- (1 / (k ^ 2 + 1) ^ {3/2}) ). V obidvoch prípadoch hodnota závisí od (k ), takže limit neexistuje.

Diferenciály

V časti Lineárne aproximácie a diferenciály sme najskôr študovali koncept diferenciálov. Rozdiel (y ), napísaný (dy ), je definovaný ako (f '(x) dx ). Diferenciál sa používa na aproximáciu (Δy = f (x + Δx) −f (x) ), kde (Δx = dx ). Rozšírením tejto myšlienky na lineárnu aproximáciu funkcie dvoch premenných v bode ((x_0, y_0) ) sa získa vzorec pre celkový rozdiel pre funkciu dvoch premenných.

Definícia: Celkový rozdiel

Nech (z = f (x, y) ) je funkcia dvoch premenných s ((x_0, y_0) ) v doméne (f ), a nech (Δx ) a (Δy ) zvoliť tak, aby ((x_0 + Δx, y_0 + Δy) ) bolo tiež v doméne (f ). Ak je (f ) v bode ((x_0, y_0) ) diferencovateľné, potom sú diferenciály (dx ) a (dy ) definované ako

[dx = Δx ]

a

[dy = Δy. ]

Diferenciál (dz ), nazývaný tiež celkový rozdiel z (z = f (x, y) ) v ((x_0, y_0) ), je definované ako

[dz = f_x (x_0, y_0) dx + f_y (x_0, y_0) dy. label {total} ]

Všimnite si, že symbol (∂ ) sa nepoužíva na označenie celkového rozdielu; skôr sa (d ) objaví pred (z ). Teraz definujme (Δz = f (x + Δx, y + Δy) −f (x, y). ) Na aproximáciu (Δz ) použijeme (dz ), takže

[Δz≈dz = f_x (x_0, y_0) dx + f_y (x_0, y_0) dy.]]

Preto sa diferenciál používa na aproximáciu zmeny funkcie (z = f (x_0, y_0) ) v bode ((x_0, y_0) ) pre dané hodnoty (Δx ) a (Δy ). Pretože (Δz = f (x + Δx, y + Δy) −f (x, y) ), je možné ho ďalej použiť na aproximáciu (f (x + Δx, y + Δy): )

[f (x + Δx, y + Δy) = f (x, y) + Δz≈f (x, y) + fx (x_0, y_0) Δx + f_y (x_0, y_0) Δy. ]

Viď nasledujúci obrázok.

Jednou z takýchto aplikácií tejto myšlienky je určenie šírenia chyby. Napríklad, ak vyrábame modul gadget a do určitej miery sme pri meraní daného množstva vypnutí, pomocou rozdielu je možné odhadnúť chybu v celkovom objeme modulu gadget.

Príklad ( PageIndex {5} ): Aproximácia pomocou diferenciálov

Nájdite rozdiel (dz ) funkcie (f (x, y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 ) a použite ho na aproximáciu (Δz ) v bode ((2, -3 ). ) Použite (Δx = 0,1 ) a (Δy = −0,05. ) Aká je presná hodnota (Δz )?

Riešenie

Najskôr musíme vypočítať (f (x_0, y_0), f_x (x_0, y_0), ) a (f_y (x_0, y_0) ) pomocou (x_0 = 2 ) a (y_0 = -3: )

[ begin {align *} f (x_0, y_0) & = f (2, −3) = 3 (2) ^ 2−2 (2) (- 3) + (- 3) ^ 2 = 12 + 12 + 9 = 33 [4pt] f_x (x, y) & = 6x − 2y [10pt] f_y (x, y) & = - 2x + 2y [4pt] f_x (x_0, y_0) & = fx (2, -3) [4pt] & = 6 (2) -2 (−3) = 12 + 6 = 18 [10pt] f_y (x_0, y_0) & = f_y (2, -3) [4pt] & = - 2 (2) +2 (−3) [4pt] & = - 4−6 = −10. end {zarovnať *} ]

Potom tieto veličiny dosadíme do rovnice ref {celkom}:

[ begin {align *} dz & = f_x (x_0, y_0) dx + f_y (x_0, y_0) dy [4pt] dz & = 18 (0,1) −10 (−0,05) = 1,8 + 0,5 = 2,3 . end {zarovnať *} ]

Toto je aproximácia (Δz = f (x_0 + Δx, y_0 + Δy) −f (x_0, y_0). ) Presná hodnota (Δz ) je daná vzťahom

[ begin {align *} Δz & = f (x_0 + Δx, y_0 + Δy) −f (x_0, y_0) [4pt] & = f (2 + 0,1, −3-0,05) −f (2 , -3) [4pt] & = f (2,1; -3,05) −f (2, -3) [4pt] & = 2,3425. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Nájdite rozdiel (dz ) funkcie (f (x, y) = 4y ^ 2 + x ^ 2y − 2xy ) a použite ho na aproximáciu (Δz ) v bode ((1, −1 ) ). Použite (Δx = 0,03 ) a (Δy = -0,02 ). Aká je presná hodnota (Δz )?

Pomôcka

Najskôr vypočítajte (f_x (x_0, y_0) ) a (f_y (x_0, y_0) ) pomocou (x_0 = 1 ) a (y_0 = 1 ), potom použite rovnicu ref {total} .

Odpoveď

(dz = 0,18 )

(Δz = f (1,03; -1,02) −f (1; -1) = 0,180682 )

Diferencovateľnosť funkcie troch premenných

Všetky predchádzajúce výsledky týkajúce sa diferencovateľnosti funkcií dvoch premenných možno zovšeobecniť na funkcie troch premenných. Najskôr definícia:

Definícia: Diferencovateľnosť v danom okamihu

Funkcia (f (x, y, z) ) je v bode diferencovateľná (P (x_0, y_0, z_0) ), ak pre všetky body ((x, y, z) ) v a ( δ ) disk okolo (P ), môžeme písať

[f (x, y) = f (x_0, y_0, z_0) + f_x (x_0, y_0, z_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0, z_0) (y − y_0) + f_z (x_0, y_0, z_0) (z − z_0) + E (x, y, z), ]

kde chybný výraz E uspokojuje

[ lim _ {(x, y, z) → (x_0, y_0, z_0)} dfrac {E (x, y, z)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2 + (z − z_0) ^ 2}} = 0. ]

Ak je funkcia troch premenných v bode ((x_0, y_0, z_0) ) diferencovateľná, potom je tam spojitá. Kontinuita prvých čiastkových derivátov v tomto bode navyše zaručuje diferencovateľnosť.

Kľúčové koncepty

  • Analógom dotykovej čiary ku krivke je dotyčná rovina k povrchu pre funkcie dvoch premenných.
  • Tangenty môžu byť použité na aproximáciu hodnôt funkcií blízko známych hodnôt.
  • Funkcia je v danom bode diferencovateľná, ak je v danom bode „hladká“ (tj. V danom bode neexistujú žiadne rohy alebo diskontinuity).
  • Celkový rozdiel možno použiť na aproximáciu zmeny funkcie (z = f (x_0, y_0) ) v bode ((x_0, y_0) ) pre dané hodnoty (Δx ) a (Δy ).

Kľúčové rovnice

  • Tangenciálna rovina

(z = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) )

  • Lineárna aproximácia

(L (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) )

  • Celkový rozdiel

(dz = f_x (x_0, y_0) dx + f_y (x_0, y_0) dy ).

  • Diferencovateľnosť (dve premenné)

(f (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) + E (x, y), )

kde vyhovuje chybový výraz (E )

( Displaystyle lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 ).

  • Diferencovateľnosť (tri premenné)

(f (x, y) = f (x_0, y_0, z_0) + f_x (x_0, y_0, z_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0, z_0) (y − y_0) + f_z (x_0, y_0, z_0) (z − z_0) + E (x, y, z), )

kde vyhovuje chybový výraz (E )

( Displaystyle lim _ {(x, y, z) → (x_0, y_0, z_0)} dfrac {E (x, y, z)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y− y_0) ^ 2 + (z − z_0) ^ 2}} = 0 ).

Glosár

diferencovateľný

funkcia (f (x, y) ) je diferencovateľná na ((x_0, y_0) ), ak (f (x, y) ) možno vyjadriť v tvare (f (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) + E (x, y), )

kde chybový výraz (E (x, y) ) vyhovuje ( lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0 ) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2}} = 0 )

lineárna aproximácia
vzhľadom na funkciu (f (x, y) ) a dotykovú rovinu k funkcii v bode ((x_0, y_0) ) môžeme aproximovať (f (x, y) ) pre body v blízkosti ((x_0, y_0) ) pomocou vzorca dotyčnicovej roviny
dotyčnicová rovina
vzhľadom na funkciu (f (x, y) ), ktorá je v bode ((x_0, y_0) ) diferencovateľná, je rovnica dotykovej roviny k povrchu (z = f (x, y) ) je dané (z = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) )
celkový rozdiel
celkový rozdiel funkcie (f (x, y) ) v ((x_0, y_0) ) je daný vzorcom (dz = f_x (x_0, y_0) dx + fy (x_0, y_0) dy )

Kľúčové koncepty

Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike licencia 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

    Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

  • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
    • Autori: Gilbert Strang, Edwin „Jed“ Herman
    • Vydavateľ / web: OpenStax
    • Názov knihy: Calculus Volume 3
    • Dátum zverejnenia: 30. marca 2016
    • Miesto: Houston, Texas
    • URL knihy: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • URL sekcie: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/4-key-concepts

    © 21. decembra 2020 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


    Obsah

    Predhovor
    1 vektory v rovine
    1.1 Vektory a vektorové operácie
    1.2 Produkt Dot
    1.3 Niektoré aplikácie vektorov (voliteľné)
    Prezrite si cvičenia k prvej kapitole
    2 Vektorové funkcie, vektorová diferenciácia a parametrické rovnice v R2
    2.1 Vektorové funkcie a parametrické rovnice
    2.2 Rovnica dotyčnice k parametrickej krivke
    2.3 Diferenciácia a integrácia vektorovej funkcie
    2.4 Niektoré diferenciačné vzorce
    2,5 oblúkovej dĺžky znovu navštívená
    2.6 Dĺžka oblúka ako parameter
    2.7 Rýchlosť, zrýchlenie, sila a hybnosť
    2.8 Zakrivenie a vektor akcelerácie (voliteľné)
    Prezrite si cvičenia k druhej kapitole
    3 vektory vo vesmíre
    3.1 Obdĺžnikový súradnicový systém vo vesmíre
    3.2 Vektory v R3
    3.3 Riadky v R3
    3.4 Krížový produkt dvoch vektorov
    3,5 roviny
    3.6 Štvorcové povrchy
    3.7 Vesmír Rn a skalárny produkt
    3.8 Vektorové funkcie a parametrické rovnice v R3
    3.9 Valcové a guľové súradnice
    Prezrite si cvičenia k tretej kapitole
    4 Diferenciácia funkcií dvoch alebo viacerých premenných
    4.1 Funkcie dvoch alebo viacerých premenných
    4.2 Limity a kontinuita
    4.3 Čiastočné deriváty
    4.4 Čiastkové deriváty vyššieho rádu
    4.5 Diferencovateľnosť a gradient
    4.6 Reťazové pravidlá
    4.7 Tečné roviny, normálne čiary a prechody
    4.8 Smerové deriváty a gradient
    4.9 Konzervatívne vektorové polia a gradient (voliteľné)
    4.10 Celkový rozdiel a aproximácia
    4.11 Presné vektorové polia alebo ako získať funkciu z jej gradientu
    4.12 Maximá a minimá pre funkciu dvoch premenných
    4.13 Obmedzené maximá a minimá - Lagrangeove multiplikátory
    Zopakujte cvičenia k štvrtej kapitole
    5 Viacnásobná integrácia
    5.1 Zväzok pod povrchom a dvojitý integrál
    5.2 Výpočet dvojitých integrálov
    5.3 Hustota, hmotnosť a ťažisko (voliteľné)
    5.4 Dvojité integrály v polárnych súradniciach
    5.5 Povrchová plocha
    5.6 Trojitý integrál
    5.7 Trojitý integrál vo valcových a sférických súradniciach
    Prezrite si cvičenia k piatej kapitole
    6 Úvod do vektorovej analýzy
    6.1 Vektorové polia
    6.2 Práca, líniové integrály v rovine a nezávislosť cesty
    6.3 Zelená veta & # 39s v rovine
    6.4 Integrálne čiary vo vesmíre
    6.5 Povrchové integrály
    6.6 Divergencia a zvlnenie vektorového poľa v R3
    6.7 Stokesova veta
    6.8 Veta o divergencii
    6.9 Zmena premenných vo viacerých integráloch a jakobiáne
    Prezrite si cvičenia k šiestej kapitole
    7 matíc a lineárnych systémov rovníc
    7.1 Matice
    7.2 Matičné produkty
    7.3 Lineárne sústavy rovníc
    7.4 Matice a lineárne sústavy rovníc
    7.5 Inverzia štvorcovej matice
    7.6 Transpozícia matice
    Prezrite si cvičenia k siedmej kapitole
    8 Determinanty
    8.1 Definície
    8.2 Vlastnosti determinantov
    8.3 Determinanty a inverzie
    8.4 Pravidlo Cramer & # 39s (voliteľné)
    Prezrite si cvičenia k ôsmej kapitole
    9 Vektorové priestory a lineárne transformácie
    9.1 Vektorové priestory
    9.2 Medzipriestory
    9.3 Lineárna nezávislosť, lineárna kombinácia a rozpätie
    9.4 Základ a dimenzia
    9.5 Zmena základu (voliteľné)
    9.6 Lineárne transformácie
    9.7 Vlastnosti lineárnych transformácií: rozsah a jadro
    9.8 Pozícia a neplatnosť matice
    9.9 Maticová reprezentácia lineárnej transformácie
    9.10 Vlastné hodnoty a vlastné vektory
    9.11 Ak to čas umožňuje: model populačného rastu
    9.12 Podobné matice a diagonalizácia
    Prezrite si cvičenia k deviatej kapitole
    10 počet v Rn
    10.1 Taylorova veta v # Premenné
    10.2 Inverzné funkcie a veta o implicitnej funkcii: I
    10.3 Funkcie od Rn do Rm
    10.4 Deriváty a jakobiánska matica
    10.5 Inverzné funkcie a veta o implicitnej funkcii: II
    Prezrite si cvičenia k kapitole 10
    11 Obyčajné diferenciálne rovnice
    11.1 Úvod
    11.2 Rovnice prvého rádu - oddelenie premenných
    11.3 Presné rovnice (voliteľné)
    11.4 Lineárne rovnice prvého rádu
    11.5 Jednoduché elektrické obvody (voliteľné)
    11.6 Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu: teória
    11.7 Použitie jedného riešenia na nájdenie iného
    11.8 Homogénne rovnice s konštantnými koeficientmi: skutočné korene
    11.9 Homogénne rovnice s konštantnými koeficientmi: komplexné korene
    11.10 nehomogénne rovnice: metóda neurčitých koeficientov
    11.11 nehomogénne rovnice: variácie konštánt
    11.12 Eulerove rovnice
    11.13 Vibračný pohyb (voliteľný)
    11.14 More On Electric Circuits (Optional)
    11.15 Higher-Order Linear Differential Equations
    11.16 Numerical Solution of Differential Equations: Euler's Methods
    Review Exercises for Chapter Eleven
    12 Matrices And Systems Of Differential Equations
    12.1 The Method of Elimination for Linear Systems with Constant Coefficients
    12.2 Linear Systems: Theory
    12.3 The Solution of Homogeneous Linear Systems with Constant Coefficients: The Method of Determinants
    12.4 Matrices and Systems of Linear First-Order Equations
    12.5 Fundamental Sets and Fundamental Matrix Solutions of a Homogeneous System of Differential Equations
    12.6 The Computation of the Principal Matrix Solution to a Homogeneous System of Equations
    12.7 Nonhomogeneous Systems
    12.8 An Application of Nonhomogeneous Systems: Forced Oscillations (Optional)
    Review Exercises for Chapter Twelve
    13 Taylor Polynomials, Sequences, And Series
    13.1 Taylor's Theorem and Taylor Polynomials
    13.2 A Proof of Taylor's Theorem, Estimates on the Remainder Term, and a Uniqueness Theorem (Optional)
    13.3 Approximation Using Taylor Polynomials
    13.4 Sequences of Real Numbers
    13.5 Bounded and Monotonic Sequences
    13.6 Geometric Series
    13.7 Infinite Series
    13.8 Series with Nonnegative Terms I: Two Comparison Tests and the Integral Test
    13.9 Series with Nonnegative Terms II: The Ratio and Root Tests
    13.10 Absolute and Conditional Convergence: Alternating Series
    13.11 Power Series
    13.12 Differentiation and Integration of Power Series
    13.13 Taylor and Maclaurin Series
    13.14 Using Power Series to Solve Ordinary Differential Equations (Optional)
    Review Exercises for Chapter Thirteen
    Appendix 1 Mathematical Induction
    Appendix 2 The Binomial Theorem
    Appendix 3 Complex Numbers
    Appendix 4 Proof Of The Basic Theorem About Determinants
    Appendix 5 Existence And Uniqueness For First Order Initial Value Problems
    Table Of Integrals
    Answers to Odd-Numbered Problems and Review Exercises
    Index


    Tangent Planes

    We can use the direction of the normal line to define a plane. With a = f x ⁢ ( x 0 , y 0 ) , b = f y ⁢ ( x 0 , y 0 ) and P = ( x 0 , y 0 , f ⁢ ( x 0 , y 0 ) ) , the vector n → = ⟨ a , b , - 1 ⟩ is orthogonal to f at P . The plane through P with normal vector n → is therefore tangent to f at P .

    Definition 13.7.3 Tangent Plane

    Let z = f ⁢ ( x , y ) be differentiable on an open set S containing ( x 0 , y 0 ) , where a = f x ⁢ ( x 0 , y 0 ) , b = f y ⁢ ( x 0 , y 0 ) , n → = ⟨ a , b , - 1 ⟩ and P = ( x 0 , y 0 , f ⁢ ( x 0 , y 0 ) ) .

    The plane through P with normal vector n → is the tangent plane to f at P . The standard form of this plane is

    a ⁢ ( x - x 0 ) + b ⁢ ( y - y 0 ) - ( z - f ⁢ ( x 0 , y 0 ) ) = 0 .

    Example 13.7.6 Finding tangent planes

    Find the equation of the tangent plane to z = - x 2 - y 2 + 2 at ( 0 , 1 ) .

    Solution Note that this is the same surface and point used in Example 13.7.3 . † † margin: Figure 13.7.6: Graphing a surface with tangent plane from Example 13.7.6 . There we found n → = ⟨ 0 , - 2 , - 1 ⟩ and P = ( 0 , 1 , 1 ) . Therefore the equation of the tangent plane is

    The surface z = - x 2 - y 2 + 2 and tangent plane are graphed in Figure 13.7.6 .

    Example 13.7.7 Using the tangent plane to approximate function values

    The point ( 3 , - 1 , 4 ) lies on the surface of an unknown differentiable function f where f x ⁢ ( 3 , - 1 ) = 2 and f y ⁢ ( 3 , - 1 ) = - 1 / 2 . Find the equation of the tangent plane to f at P , and use this to approximate the value of f ⁢ ( 2.9 , - 0.8 ) .

    Solution Knowing the partial derivatives at ( 3 , - 1 ) allows us to form the normal vector to the tangent plane, n → = ⟨ 2 , - 1 / 2 , - 1 ⟩ . Thus the equation of the tangent line to f at P is:

    2 ⁢ ( x - 3 ) - 1 / 2 ⁢ ( y + 1 ) - ( z - 4 ) = 0 ⇒ z = 2 ⁢ ( x - 3 ) - 1 / 2 ⁢ ( y + 1 ) + 4 . (13.5)

    Just as tangent lines provide excellent approximations of curves near their point of intersection, tangent planes provide excellent approximations of surfaces near their point of intersection. So f ⁢ ( 2.9 , - 0.8 ) ≈ z ⁢ ( 2.9 , - 0.8 ) = 3.7 .

    This is not a new method of approximation. Compare the right hand expression for z in Equation ( 13.5 ) to the total differential:

    d ⁢ z = f x ⁢ d ⁢ x + f y ⁢ d ⁢ y and z = 2 ⏟ f x ⁢ ( x - 3 ) ⏟ d ⁢ x + - 1 / 2 ⏟ f y ⁢ ( y + 1 ) ⏟ d ⁢ y ⏟ d ⁢ z + 4 .

    Thus the “new z -value” is the sum of the change in z (i.e., d ⁢ z ) and the old z -value (4). As mentioned when studying the total differential, it is not uncommon to know partial derivative information about a unknown function, and tangent planes are used to give accurate approximations of the function.


    Horizontal and Vertical Tangent Lines

    Sometimes we want to know at what point(s) a function has either a horizontal alebo vertical tangent line (if they exist). For a horizontal tangent line ( 0 slope), we want to get the derivative, set it to 0 (or set the numerator to 0 ), get the (x) value, and then use the original function to get the (y) value we then have the point. (We also have to make sure that that the denominator isn’t 0 at these points).

    For a vertical tangent line (undefined slope), we want to get the derivative, set the bottom or denominator to 0 , get the (x) value, and then use the original function to get the (y) value we then have the point. (We also to have to make sure the numerator isn’t 0 at these points).

    Note that where functions have vertical tangent lines, they are not differentiable at that point.

    To get the point(s) of the horizontal tangent line, set this to 0 (which means setting the numerator to 0 ) and solve for (x): (displaystyle frac<<<^<2>>-5>><<<^<2>>>>=0,,,,<^<2>>-5=0,,,,,x=pm sqrt<5>).

    Plug these (x) values into the original function to get the corresponding (y) values: (displaystyle fleft( > ight)=sqrt<5>+frac<5><>>cdot frac<>><>>=2sqrt<5>). Similarly, (displaystyle fleft( <-sqrt<5>> ight)=-sqrt<5>+frac<5><<-sqrt<5>>>cdot frac<>><>>=-2sqrt<5>). Thus, the points where there is a horizontal tangent line are (left( ,2sqrt<5>> ight)) and (left( <-sqrt<5>,-2sqrt<5>> ight)).

    We can see that the numerator can never be 0 , so there are no horizontal tangent lines.

    To get the point(s) of the vertical tangent line, set the denominator to 0 and solve for (x) : (displaystyle 3sqrt[3] <<<< ight)>>^<2>>>>=0,,,,, < ight)>^<2>>=0,,,,x=1).

    To get the point(s) of the horizontal tangent line, set this to 0 (which means setting the numerator to 0 ), and solve for (x) : (displaystyle frac<<3x-1>><<2sqrt>>=0,,,,3x-1=0,,,,,x=frac<1><3>). (We notice that this (x) value doesn’t make the denominator 0 ).

    Plug this (x) value into the original function to get the corresponding (y) value: (displaystyle fleft( <3>> ight)=<<3>> ight)>^<<2>>>>-,,<<3>> ight)>^<<2>>>>approx -.385). The point where there is a horizontal tangent line is (displaystyle left( <3>,-.385> ight)).

    To get the point(s) of the vertical tangent line, set the denominator to 0 and solve for (x): (displaystyle 2sqrt=0,,,,x=0) (We notice that this X value doesn’t make the numerator 0 ). Plug this (x) value into the original function to get the corresponding (y) value: (displaystyle fleft( 0 ight)=<<0>^<<2>>>>-<<0>^<<2>>>>=0) the point where there is a vertical tangent line is (left( <0,0> ight)) (on an endpoint!). Again, note that this point is non-differentiable.


    13.4: Tangent Planes, Linear Approximations, and the Total Differential

    For a function of one variable, we can construct the (unique) tangent line to the function at a given point using information from the derivative. The derivative at a point tells us the slope of the tangent line from which we can find the equation of the tangent line:

    The graph below shows the function y(x)=x^2-3x+3 with the tangent line throught the point (3,3).

    For functions of two variables (a surface), there are many lines tangent to the surface at a given point. If we have a nice enough function, all of these lines form a plane called the tangent plane to the surface at the point. The tangent plane to the surface z=-x^2-y^2 at the point (0,2) is shown below. The logical questions are under what conditions does the tangent plane exist and what is the equation of the tangent plane to a surface at a given point.

    The Tangent Plane

    Let P_0(x_0,y_0,z_0) be a point on the surface z=f(x,y) where f(x,y) is a differentiable function. The equation of any plane passing through P_0 has the form A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0. If we divide through by C and set a=-A/C and b=-B/C then we have a(x-x_0)+b(y-y_0)-(z-z_0)=0. If we hold y constant (say y=y_0 for convenience), then we have a curve H=f(x,y_0) passing through P_0 in the surface z=f(x,y) and a line z-z_0=a(x-x_0) passing through P_0 in the plane.

    As illustrated by the figure, we want this line in the plane to be tangent to the surface z=f(x,y) at P_0 and thus tangent to the curve in the surface. This means we want the number a to be the slope of the tangent line to the curve H=f(x,y_0). This slope is by definition the partial derivative of f with respect to x at (x_0,y_0). Hence, a=f_x(x_0,y_0). By holding x constant, we can similarly show b=f_y(x_0,y_0). Therefore, the equation of the plane tangent to the surface z=f(x,y) at the point P_0(x_0,y_0,z_0) is

    Notice the similarity between the formula for the tangent line given in the introduction and the formula for the tangent plane. We can easily identify the normal vector to the plane:

    This vector is also then normal to the surface z=f(x,y) at the point P_0(x_0,y_0,z_0).

    Príklad

    To find the equation of the tangent plane to the surface z=2x^2-xy^3 at the point (1,2), we first need to find the partials of z with respect to x and y at (1,2):

    Then, a normal vector to the surface at (1,2) is <-4,-12,-1> which implies the equation of the tangent plane to the surface at (1,2) is -4(x-1)-12(y-2)-(z+6)=0 or equivalently 4x+12y+z=22.

    Differentials

    Given a function y=f(x) and a point (c,f(c)) on the curve, the quantity

    is the change in y along the curve y=f(x) produced by a change (delta)x in x. The differential dy=f '(x)dx is the change in y along the tangent line at c produced by a change dx in x. The differential closely approximates (delta)y for small (delta)x=dx (see the figure below) and is much easier to compute. We seek a similar approximation for functions of two variables.

    For a function z=f(x,y) the quantity

    is the change in z along the surface z=f(x,y) produced by small changes (delta)x and (delta)y in x and y, respectively. To find a corresponding formula for dz, consider a point P_0(x_0,y_0,z_0) on the surface with tangent plane

    This equation implies the surface has height z_0 at (x_0,y_0) and height

    when x_0 and y_0 are changed by dx and dy, respectively. Thus, the change in the height of the tangent plane is

    This is the total differential of z=f(x,y) at (x_0,y_0), and it closely approximates the functional change (delta)z for small (delta)x=dx and (delta)y=dy.

    Príklad

    The total differential of the function z=ln(xy)+x^2+y is

    If x changes from 1 to 1.05 and y changes from 2 to 1.98, then the values of dz and (delta)z are


    13.4: Tangent Planes, Linear Approximations, and the Total Differential

    Approximation by Differentials

    A method for approximating the value of a function near a known value. The method uses the tangent line at the known value of the function to approximate the function's graph. In this method ΔX and Δr represent the changes in X a r for the function, and dx a dy represent the changes in X a r for the tangent line.

    (sqrt <10>) is near so we will use (fleft( x ight) = sqrt x ) with and Note that

    (eqalign < sqrt <10>&= fleft( ight) &approx fleft( x ight) + f'left( x ight)Delta x &= sqrt x + frac<1><<2sqrt x >>Delta x &= sqrt 9 + frac<1><<2sqrt 9 >>left( 1 ight) &= 3frac<1> <6>>) .

    Thus we see that (sqrt <10>approx 3frac<1> <6>= 3.166ar 6). This is very close to the correct value of (sqrt <10>approx 3.1623).


    APEX Calculus

    Subsection 14.4.1 Tangent Lines

    Derivatives and tangent lines go hand-in-hand. Given (y=f(x) ext<,>) the line tangent to the graph of (f) at (x=x_0) is the line through (ig(x_0,f(x_0)ig)) with slope (fp(x_0) ext<>) that is, the slope of the tangent line is the instantaneous rate of change of (f) at (x_0 ext<.>)

    When dealing with functions of two variables, the graph is no longer a curve but a surface. At a given point on the surface, it seems there are many lines that fit our intuition of being “tangent” to the surface.

    In Section 13.3.2 we introduced the concept of the tangent plane, which could be thought of as consisting of all possible lines tangent to the surface at a given point. In this section, we explore this idea in more detail.

    In Figure 14.4.1 we see lines that are tangent to curves in space. Since each curve lies on a surface, it makes sense to say that the lines are also tangent to the surface. The next definition formally defines what it means to be “tangent to a surface.”

    Definition 14.4.2 . Directional Tangent Line.

    Let (z=f(x,y)) be differentiable on a set (S) containing ((x_0,y_0)) and let (vec u = la u_1, u_2 a) be a unit vector.

    The line (ell_x) through (ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig)) parallel to (la 1,0,f_x(x_0,y_0) a) is the .

    The line (ell_y) through (ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig)) parallel to (la 0,1,f_y(x_0,y_0) a) is the .

    The line (ell_) through (ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig)) parallel to (la u_1,u_2,D_f(x_0,y_0) a) is the .

    It is instructive to consider each of three directions given in the definition in terms of “slope.” The direction of (ell_x) is (la 1,0,f_x(x_0,y_0) a ext<>) that is, the “run” is one unit in the (x)-direction and the “rise” is (f_x(x_0,y_0)) units in the (z)-direction. Note how the slope is just the partial derivative with respect to (x ext<.>) A similar statement can be made for (ell_y ext<.>) The direction of (ell_) is (la u_1,u_2,D_f(x_0,y_0) a ext<>) the “run” is one unit in the (vec u) direction (where (vec u) is a unit vector) and the “rise” is the directional derivative of (z) in that direction.

    Definition 14.4.2 leads to the following parametric equations of directional tangent lines:

    Example 14.4.3 . Finding directional tangent lines.

    Find the lines tangent to the surface (z=sin(x) cos(y)) at ((pi/2,pi/2)) in the (x) and (y) directions and also in the direction of (vec v = la -1,1 a ext<.>)

    The partial derivatives with respect to (x) and (y) are:

    At ((pi/2,pi/2) ext<,>) the (z)-value is 0.

    Thus the parametric equations of the line tangent to (f) at ((pi/2,pi/2)) in the directions of (x) and (y) are:

    The two lines are shown with the surface in Figure 14.4.4.(a).

    To find the equation of the tangent line in the direction of (vec v ext<,>) we first find the unit vector in the direction of (vec v ext<:>) (vec u = la -1/sqrt<2>,1/sqrt<2> a ext<.>) The directional derivative at ((pi/2,pi,2)) in the direction of (vec u) is

    Thus the directional tangent line is

    The curve through ((pi/2,pi/2,0)) in the direction of (vec v) is shown in Figure 14.4.4.(b) along with (ell_(t) ext<.>)

    Example 14.4.5 . Finding directional tangent lines.

    Let (f(x,y) = 4xy-x^4-y^4 ext<.>) Find the equations of všetko directional tangent lines to (f) at ((1,1) ext<.>)

    First note that (f(1,1) = 2 ext<.>) We need to compute directional derivatives, so we need ( abla f ext<.>) We begin by computing partial derivatives.

    Thus ( abla f(1,1) = la 0,0 a ext<.>) Let (vec u = la u_1,u_2 a) be any unit vector. The directional derivative of (f) at ((1,1)) will be (D_f(1,1) = la 0,0 acdot la u_1,u_2 a = 0 ext<.>) It does not matter what direction we choose the directional derivative is always 0. Therefore

    Figure 14.4.6 shows a graph of (f) and the point ((1,1,2) ext<.>) Note that this point comes at the top of a “hill,” and therefore every tangent line through this point will have a “slope” of 0.

    That is, consider any curve on the surface that goes through this point. Each curve will have a relative maximum at this point, hence its tangent line will have a slope of 0. The following section investigates the points on surfaces where all tangent lines have a slope of 0.

    Subsection 14.4.2 Normal Lines

    When dealing with a function (y=f(x)) of one variable, we stated that a line through ((c,f(c))) was tangent to (f) if the line had a slope of (fp(c)) and was normal (or, perpendicular, orthogonal) to (f) if it had a slope of (-1/fp(c) ext<.>) We extend the concept of normal, or orthogonal, to functions of two variables.

    Let (z=f(x,y)) be a differentiable function of two variables. By Definition 14.4.2, at ((x_0,y_0) ext<,>) (ell_x(t)) is a line parallel to the vector (vec d_x=la 1,0,f_x(x_0,y_0) a) and (ell_y(t)) is a line parallel to (vec d_y=la 0,1,f_y(x_0,y_0) a ext<.>) Since lines in these directions through (ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig)) are tangent to the surface, a line through this point and orthogonal to these directions would be orthogonal, or normal, to the surface. We can use this direction to create a normal line.

    The direction of the normal line is orthogonal to (vec d_x) and (vec d_y ext<,>) hence the direction is parallel to (vec d_n = vec d_x imes vec d_y ext<.>) It turns out this cross product has a very simple form:

    It is often more convenient to refer to the opposite of this direction, namely (la f_x,f_y,-1 a ext<.>) This leads to a definition.

    Definition 14.4.7 . Normal Line.

    Let (z=f(x,y)) be differentiable on a set (S) containing ((x_0,y_0)) where

    A nonzero vector parallel to (vec n=la a,b,-1 a) is to (f) at (P=ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig) ext<.>)

    The line (ell_n) through (P) with direction parallel to (vec n) is the to (f) at (P ext<.>)

    Thus the parametric equations of the normal line to a surface (f) at (ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig)) is:

    Example 14.4.8 . Finding a normal line.

    Find the equation of the normal line to (z=-x^2-y^2+2) at ((0,1) ext<.>)

    We find (z_x(x,y) = -2x) and (z_y(x,y) = -2y ext<>) at ((0,1) ext<,>) we have (z_x = 0) and (z_y = -2 ext<.>) We take the direction of the normal line, following Definition 14.4.7, to be (vec n=la 0,-2,-1 a ext<.>) The line with this direction going through the point ((0,1,1)) is

    The surface (z=-x^2-y^2+2 ext<,>) along with the found normal line, is graphed in Figure 14.4.9.

    The direction of the normal line has many uses, one of which is the definition of the tangent plane which we define shortly. Another use is in measuring distances from the surface to a point. Given a point (Q) in space, it is a general geometric concept to define the distance from (Q) to the surface as being the length of the shortest line segment (overline) over all points (P) on the surface. This, in turn, implies that (overrightarrow) will be orthogonal to the surface at (P ext<.>) Therefore we can measure the distance from (Q) to the surface (f) by finding a point (P) on the surface such that (overrightarrow) is parallel to the normal line to (f) at (P ext<.>)

    Example 14.4.10 . Finding the distance from a point to a surface.

    Let (f(x,y) = 2-x^2-y^2) and let (Q = (2,2,2) ext<.>) Find the distance from (Q) to the surface defined by (f ext<.>)

    This surface is used in Example 14.4.5, so we know that at ((x,y) ext<,>) the direction of the normal line will be (vec d_n = la -2x,-2y,-1 a ext<.>) A point (P) on the surface will have coordinates ((x,y,2-x^2-y^2) ext<,>) so (overrightarrow = la 2-x,2-y,x^2+y^2 a ext<.>) To find where (overrightarrow) is parallel to (vec d_n ext<,>) we need to find (x ext<,>) (y) and (c) such that (coverrightarrow = vec d_n ext<.>)

    egin c(2-x) amp = -2x c(2-y) amp = -2y c(x^2+y^2) amp = -1 end

    In each equation, we can solve for (c ext<:>)

    The first two fractions imply (x=y ext<,>) and so the last fraction can be rewritten as (c=-1/(2x^2) ext<.>) Then

    This last equation is a cubic, which is not difficult to solve with a numeric solver. We find that (x= 0.689 ext<,>) hence (P = (0.689,0.689, 1.051) ext<.>) We find the distance from (Q) to the surface of (f) is

    We can take the concept of measuring the distance from a point to a surface to find a point (Q) a particular distance from a surface at a given point (P) on the surface.

    Example 14.4.11 . Finding a point a set distance from a surface.

    Let (f(x,y) = x-y^2+3 ext<.>) Let (P = ig(2,1,f(2,1)ig) = (2,1,4) ext<.>) Find points (Q) in space that are 4 units from the surface of (f) at (P ext<.>) That is, find (Q) such that ( orm>=4) and (overrightarrow) is orthogonal to (f) at (P ext<.>)

    We begin by finding partial derivatives:

    The vector (vec n=la 1,-2,-1 a) is orthogonal to (f) at (P ext<.>) For reasons that will become more clear in a moment, we find the unit vector in the direction of (vec n ext<:>)

    Thus a the normal line to (f) at (P) can be written as

    An advantage of this parametrization of the line is that letting (t=t_0) gives a point on the line that is (abs) units from (P ext<.>) (This is because the direction of the line is given in terms of a unit vector.) There are thus two points in space 4 units from (P ext<:>)

    The surface is graphed along with points (P ext<,>) (Q_1 ext<,>) (Q_2) and a portion of the normal line to (f) at (P ext<.>)

    Subsection 14.4.3 Tangent Planes

    We can use the direction of the normal line to define a plane. With (a=f_x(x_0,y_0) ext<,>) (b=f_y(x_0,y_0)) and (P = ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig) ext<,>) the vector (vec n=la a,b,-1 a) is orthogonal to (f) at (P ext<.>) (See Definition 13.3.10.) The plane through (P) with normal vector (vec n) is therefore tangent to (f) at (P ext<.>)

    When we introduced the tangent plane in Section 13.3, we computed the normal vector to be (vec=la -f_x(x_0,y_0),-f_y(x_0,y_0),1 a ext<.>) Here, for convenience, we take the negative of this vector, and use (vec=la f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1 a ext<.>)

    Definition 14.4.13 . Tangent Plane.

    Let (z=f(x,y)) be differentiable on a set (S) containing ((x_0,y_0) ext<,>) where (a = f_x(x_0,y_0) ext<,>) (b=f_y(x_0,y_0) ext<,>) (vec n= la a,b,-1 a) and (P=ig(x_0,y_0,f(x_0,y_0)ig) ext<.>)

    The plane through (P) with normal vector (vec n) is the to (f) at (P ext<.>) The standard form of this plane is

    Example 14.4.14 . Finding tangent planes.

    Find the equation of the tangent plane to (z=-x^2-y^2+2) at ((0,1) ext<.>)

    Note that this is the same surface and point used in Example 14.4.8. There we found (vec n = la 0,-2,-1 a) and (P = (0,1,1) ext<.>) Therefore the equation of the tangent plane is

    The surface (z=-x^2-y^2+2) and tangent plane are graphed in Figure 14.4.15.

    Example 14.4.16 . Using the tangent plane to approximate function values.

    The point ((3,-1,4)) lies on the surface of an unknown differentiable function (f) where (f_x(3,-1) = 2) and (f_y(3,-1) = -1/2 ext<.>) Find the equation of the tangent plane to (f) at (P ext<,>) and use this to approximate the value of (f(2.9,-0.8) ext<.>)

    Knowing the partial derivatives at ((3,-1)) allows us to form the normal vector to the tangent plane, (vec n = la 2,-1/2,-1 a ext<.>) Thus the equation of the tangent line to (f) at (P) is:

    Just as tangent lines provide excellent approximations of curves near their point of intersection, tangent planes provide excellent approximations of surfaces near their point of intersection. So (f(2.9,-0.8) approx z(2.9,-0.8) = 3.7 ext<.>)

    This is not a new method of approximation. Compare the right hand expression for (z) in Equation (14.4.1) to the total differential:

    Thus the “new (z)-value” is the sum of the change in (z) (i.e., (dz)) and the old (z)-value (4). As mentioned when studying the total differential, it is not uncommon to know partial derivative information about a unknown function, and tangent planes are used to give accurate approximations of the function.

    Subsection 14.4.4 The Gradient and Normal Lines, Tangent Planes

    The methods developed in this section so far give a straightforward method of finding equations of normal lines and tangent planes for surfaces with explicit equations of the form (z=f(x,y) ext<.>) However, they do not handle implicit equations well, such as (x^2+y^2+z^2=1 ext<.>) There is a technique that allows us to find vectors orthogonal to these surfaces based on the gradient.

    Definition 14.4.17 . Gradient.

    Let (w=F(x,y,z)) be differentiable on a set (D) that contains the point ((x_0,y_0,z_0) ext<.>)

    The of (F) is ( abla F(x,y,z) = la f_x(x,y,z),f_y(x,y,z),f_z(x,y,z) a ext<.>)

    Recall that when (z=f(x,y) ext<,>) the gradient ( abla f = la f_x,f_y a) is orthogonal to level curves of (f ext<.>) An analogous statement can be made about the gradient ( abla F ext<,>) where (w= F(x,y,z) ext<.>) Given a point ((x_0,y_0,z_0) ext<,>) let (c = F(x_0,y_0,z_0) ext<.>) Then (F(x,y,z) = c) is a that contains the point ((x_0,y_0,z_0) ext<.>) The following theorem states that ( abla F(x_0,y_0,z_0)) is orthogonal to this level surface.

    Theorem 14.4.18 . The Gradient and Level Surfaces.

    Let (w=F(x,y,z)) be differentiable on a set (D) containing ((x_0,y_0,z_0)) with gradient ( abla F ext<,>) where (F(x_0,y_0,z_0) = c ext<.>)

    The vector ( abla F(x_0,y_0,z_0)) is orthogonal to the level surface (F(x,y,z)=c) at ((x_0,y_0,z_0) ext<.>)

    The gradient at a point gives a vector orthogonal to the surface at that point. This direction can be used to find tangent planes and normal lines.

    Example 14.4.19 . Using the gradient to find a tangent plane.

    Find the equation of the plane tangent to the ellipsoid (frac <12>+frac<6>+frac<4>=1) at (P = (1,2,1) ext<.>)

    We consider the equation of the ellipsoid as a level surface of a function (F) of three variables, where (F(x,y,z) = frac <12>+frac<6>+frac<4> ext<.>) The gradient is:

    At (P ext<,>) the gradient is ( abla F(1,2,1) = la 1/6, 2/3, 1/2 a ext<.>) Thus the equation of the plane tangent to the ellipsoid at (P) is

    The ellipsoid and tangent plane are graphed in Figure 14.4.20.

    Tangent lines and planes to surfaces have many uses, including the study of instantaneous rates of changes and making approximations. Normal lines also have many uses. In this section we focused on using them to measure distances from a surface. Another interesting application is in computer graphics, where the effects of light on a surface are determined using normal vectors.

    The next section investigates another use of partial derivatives: determining relative extrema. When dealing with functions of the form (y=f(x) ext<,>) we found relative extrema by finding (x) where (fp(x) = 0 ext<.>) We can začať finding relative extrema of (z=f(x,y)) by setting (f_x) and (f_y) to 0, but it turns out that there is more to consider.

    Exercises 14.4.5 Exercises

    Podmienky a koncepcie

    Explain how the vector (vec v=la 1,0,3 a) can be thought of as having a “slope” of 3.

    Explain how the vector (vec v=la 0.6,0.8, -2 a) can be thought of as having a “slope” of (-2 ext<.>)


    Snapshots


    Calculus: The Language of Change

    Calculus with Computers
    1.1 Previews of Coming Attractions
    1.2 An Introduction to Computing
    1.3 Linearity in Local Coordinates
    1.4 Derivatives for Explicit Formulas
    1.5 Review of High School Math
    1.6 Free Advice

    Linear Functions with CAS

    Derivatives as Limits by CAS

    Using Calculus to Model Epidemics
    2.1 The First Model
    2.2 Shortening the Time Steps
    2.3 The Continuous Variable Model
    2.4 Analysis of Change
    2.5 Long-Term Change
    2.6 Calculus and the S-I-R Invariant
    2.7 Chapter Summary
    2.8 Projects

    Linearity vs. Local Linearity
    3.1 Approximation of Ox-bows
    3.2 Graphical Increments
    3.3 Algebra of Microscopes
    3.4 Symbolic Increments
    3.5 Projects

    Differential Equations and Derivatives
    4.1 The Cool Canary
    4.2 Instantaneous Rates of Change
    4.3 Projects

    Symbolic Increments
    5.1 The Gap for Power Functions
    5.2 Moving the Microscope
    5.3 Trigonometric Derivatives
    5.4 Derivatives of Log and Exp
    5.5 Continuity and the Derivative
    5.6 Projects and Theory

    Symbolic Differentiation
    6.1 Rules for Special Functions
    6.2 The Superposition Rule
    6.3 The Product Rule
    6.4 The Chain Rule
    6.5 General Exponentials
    6.6 Derivative of the Natural Log
    6.7 Combined Symbolic Rules
    6.8 Review - Inside the Microscope
    6.9 Projects

    Related Rates and Implicit Derivatives
    7.1 Differentiation with Parameters
    7.2 Implicit Differentiation
    7.3 Implicit Tangents and Derivatives
    7.4 Related Rates
    7.5 Implicitly Linked Variables
    7.6 Projects

    The Natural Log and Exponential
    8.1 The Official Natural Exponential
    8.2 e as a "Natural" Base
    8.3 Growth of Log, Exp, and Powers
    8.4 Official Properties
    8.5 Projects

    Exact Solution of y'=k y
    Exponentials and Percentage
    Orders of Infinity
    Rapid Exponential Growth
    Slow Logarithmic Growth

    Graphs and the Derivative
    9.1 Graphs from Formulas
    9.2 Graphs Without Formulas
    9.3 Ups and Downs of the Derivative
    9.4 Bending & the Second Derivative
    9.5 Graphing Differential Equations
    9.6 Projects

    Velocity, Acceleration, and Calculus
    10.1 Acceleration
    10.2 Galileo's Law of Gravity
    10.3 Projects

    Maxima and Minima in One Variable
    11.1 A Graphical Minimum
    11.2 Critical Points
    11.3 Max - min with Endpoints
    11.4 Max - min without Endpoints
    11.5 Supply and Demand
    11.6 Constrained Max-Min
    11.7 Max-min with Parameters
    11.8 Projects

    Basic Integration
    12.1 Slice Approximations
    12.2 Distance When Speed Varies
    12.3 The Definite Integral
    12.4 Computer Summation
    12.5 The Algebra of Summation
    12.6 The Algebra of Integration
    12.7 Fundamental Theorem, Part 1
    12.8 Fundamental Theorem, Part 2

    Sums with CASs
    The Disk Method
    Numerical Approximation

    Symbolic Integration
    13.1 Indefinite Integrals
    13.2 Špecifické integrálne vzorce
    13.3 Superpozícia protichodných látok
    13.4 & quot; Nahradenie & quot; pre integrály
    13.5 Zmena limitov integrácie
    13.6 Spúšťacie zámeny
    13.7 Integrácia po častiach
    13.8 Nemožné integrály

    Aplikácie integrácie
    14.1 Dĺžka krivky
    14.2 Duhamelov princíp
    14.3 Geometrické integrály
    14.4 Nesprávne integrály

    Základná vektorová geometria
    15.1 karteziánske súradnice
    15.2 Pozičné vektory
    15.3 Geometria sčítania vektorov
    15.4 Skalárne násobenie
    15.5 Rozdiely a posuny
    15.6 Uhol a priemet
    15.7 Krížový výrobok v 3 rozmeroch
    15.8 Geometria a algebra Lexikón

    Parametrické krivky
    16.1 Vektorová parametrická čiara
    16.2 Parametrické kruhy
    16.3 Polárne krivky
    16,4 3-D parametrické krivky
    16.5 Tangenty a vektory rýchlosti
    16.6 Projekty

    Grafy vo viacerých premenných
    17.1 Explicitné lietadlo v 3D
    17.2 Zvislé plátky a kurací drôt
    17.3 Implicitné lineárne rovnice
    17.4 Prechody a obrysové grafy
    17.5 Vodorovné rezy a obrysy
    17.6 Explicitné, implicitné, parametrické
    17.7 Čiary, krivky a roviny zosilňovača

    Diferenciácia vo viacerých premenných
    18.1 Čiastočné a úplné deriváty
    18.2 Príklady čiastočnej diferenciácie
    18.3 Diferenciálne aproximácie
    18.4 Geometria diferenciálu
    18.5 Význam gradientu
    18.6 Implicitná diferenciácia (opäť)
    18.7 Revízne cvičenia

    Niekoľko optimalizácií premenných
    19.1 Kritické body na prešetrenie
    19.2 Existencia extrémnych hodnôt
    19.3 Kompaktné regióny
    19.4 Implicitné obmedzenia
    19,5 Nekompaktný extrém v 2-D
    19.6 Projekty na max. - min

    Diskrétne dynamické systémy
    20.1 Modely na úpravu ceny
    20.2 Pavučiny
    20.3 Lineárny systém
    20.4 Logistický rast
    20.5 Kalkul a nelinearita
    20.6 Projekty

    Kontinuálne dynamické systémy v 1-D
    21.1 Exponenciálny rast a rozklad
    21.2 Zákony o logistickom raste
    21.3 Niektoré užitočné teórie
    21.4 Oddelenie premenných
    21.5 Projekty

    Kontinuálne dynamické systémy v 2D
    22.1 Základná teória v 2-D
    22.2 Geometrické riešenie v 2-D
    22.3 Toky vs. explicitné riešenia
    22.4 Analýza toku modelov
    22.5 Projekty

    Lineárne dynamické systémy
    23.1 Rovnica tlmiča nárazov
    23.2 Systémy s konštantnými koeficientmi
    23.3 Symbolické exponenciálne riešenia
    23.4 Rotácia a Eulerov vzorec
    23.5 Základné riešenia
    23.6 Superpozícia a všetky riešenia
    23.7 IVP druhého rádu
    23.8 Projekty

    Geometrická séria
    25.1 Geometrické série: konvergencia
    25.2 Konvergencia porovnaním
    25.3 Zložený úrok

    Power Series
    26.1 Výpočet výkonových radov
    26.2 Test pomeru
    26.3 Integrácia sérií
    26.4 Diferenciácia výkonových sérií

    Okraj konvergencie
    27.1 Striedavé série
    27.2 Teleskopická séria
    27.3 Integrály v porovnaní so sériou
    27.4 Porovnanie limitov
    27,5 Fourierova séria

    Recenzia na strednej škole s výpočtovou technikou
    28.1 Lineárne funkcie
    28.2 Polynómy
    28.3 Funkcie zo vzorcov
    28.4 Funkcie napájania
    28.5 Funkcie spúšťania
    28.6 Denníky a exponenciály
    28.7 Reťazenie alebo zloženie
    28.8 Parametre
    28.9 Funkčné identity

    Komplexné čísla
    29.1 Algebra zložitých čísel
    29.2 Geometria čísel