Články

1.5: Rotácie a odrazy uhlov - matematika


Teraz, keď vieme, ako zaobchádzať s uhlami akejkoľvek miery, sa pozrieme na to, ako môžu určité geometrické operácie pomôcť zjednodušiť použitie trigonometrických funkcií ľubovoľného uhla a ako je možné vytvoriť niektoré základné vzťahy medzi týmito funkciami. V tejto časti sa budeme venovať dvom operáciám rotácia a odraz.

To otočiť uhol znamená otočiť jeho koncovú stranu okolo začiatku, keď je uhol v štandardnej polohe. Predpokladajme napríklad, že otočíme uhol ( theta ) okolo počiatku o (90 ^ circ ) v smere proti smeru hodinových ručičiek. Na obrázku 1.5.1 vidíme uhol ( theta ) v QI, ktorý je otočený o (90 ^ circ ), výsledkom čoho je uhol ( theta + 90 ^ circ ) v QII. Všimnite si, že doplnok ( theta ) v pravom trojuholníku v QI je rovnaký ako doplnok uhla ( theta + 90 ^ circ ) v QII, pretože súčet ( theta ) , jeho doplnok a (90 ^ circ ) sa rovná (180 ^ circ ). Toto vynúti, aby druhý uhol pravého trojuholníka v QII bol ( theta ).

Pravý trojuholník v QI je teda podobný pravému trojuholníku v QII, pretože trojuholníky majú rovnaké uhly. Rotácia ( theta ) o (90 ^ cirkus ) nezmení dĺžku (r ) jeho koncovej strany, takže hypotény podobných pravých trojuholníkov sú rovnaké, a teda podobnosťou zostávajúcich zodpovedajúce strany sú si tiež rovné. Použitie obrázka 1.5.1 na porovnanie týchto zodpovedajúcich strán ukazuje, že bod ((- y, x) ) je na terminálnej strane ( theta + 90 ^ circ ), keď ((x, y) ) je na terminálovej strane ( theta ). Podľa definície teda

[ nonumber sin ; ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ frac {x} {r} ~ = ~ cos ; theta ~, ~~
cos ; ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ frac {-y} {r} ~ = ~ - sin ; theta ~, ~~
tan ; ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ frac {x} {- y} ~ = ~ - cot ; theta ~. ]
Aj keď sme to v QI ukázali pre ( theta ), je ľahké (pozri Cvičenie 4) použiť podobné argumenty pre ostatné kvadranty. Všeobecne platí, že pre všetky uhly ( theta ) platia nasledujúce vzťahy:

[ sin ; ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ cos ; theta label {1.4} ]

[ cos ; ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ - sin ; theta label {1.5} ]

[ tan ; ( theta + 90 ^ circ) ~ = ~ - cot ; theta label {1.6} ]

Príklad 1.26

Pripomeňme, že ktorúkoľvek nevertikálnu čiaru v rovine súradníc (xy ) možno zapísať ako (y = mx + b ), kde (m ) je sklon riadku (definované ako (m = frac { text {vzostup}} { text {beh}} )) a (b ) je (y ) -odpočúvať}, tj. kde čiara prechádza cez os (y ) - (pozri obrázok 1.5.2 (a)). Ukážeme si, že svahy kolmých čiar sú záporné recipročné hodnoty. To znamená, že ak (y = m_ {1} x + b_1 ) a (y = m_ {2} x + b_2 ) sú neververtické a nehorizontálne kolmé čiary, potom (m_2 = - frac {1} { m_1} ) (pozri obrázok 1.5.2 (b)).

Najprv predpokladajme, že priamka (y = mx + b ) má nenulový sklon. Čiara niekde pretína os (x ) - takže nech ( theta ) predstavuje uhol, ktorý kladná os (x ) - robí s časťou čiary nad osou ((x ) -) , ako na obrázku 1.5.3. Pre (m> 0 ) vidíme, že ( theta ) je akútna a ( tan ; theta = frac { text {rise}} { text {run}} = m ).

Ak (m <0 ), potom vidíme, že ( theta ) je tupé a stúpanie je záporné. Pretože chod je vždy pozitívny, naša definícia ( tan ; theta ) z časti 1.4 znamená, že ( tan ; theta = frac {- text {rise}} {- text {beh }} = frac { text {rise}} { text {run}} = m ) (predstavte si na obrázku 1.5.3 (b), že celá čiara je posunutá vodorovne, aby prechádzala počiatkom, takže ( theta ) sa nezmení a bod ((- text {run}, - text {rise}) ) je na terminálnej strane ( theta )). Preto:

Pre priamku (y = mx + b ) s (m ne 0 ) je sklon daný (m = tan ; theta , ), kde ( theta ) je uhol tvorený kladnou osou (x ) a časťou čiary nad osou (x ).}

Teraz na obrázku 1.5.2 (b) vidíme, že ak sú dva riadky (y = m_ {1} x + b_1 ) a (y = m_ {2} x + b_2 ) kolmé, potom sa jeden riadok otočí proti smeru hodinových ručičiek. o (90 ^ circ ) okolo priesečníka nám dá druhý riadok. Takže ak ( theta ) je uhol, ktorý úsečka (y = m_ {1} x + b_1 ) zviera s kladnou osou (x ) -, potom ( theta + 90 ^ circ ) je uhol, ktorý úsečka (y = m_ {2} x + b_2 ) zviera s kladnou osou (x ) -. Takže tým, čo sme práve ukázali, (m_1 = tan ; theta ) a (m_2 = tan ; ( theta + 90 ^ circ) ). Ale podľa vzorca Rovnica ref {1.6} vieme, že ( tan ; ( theta + 90 ^ circ) = - cot ; theta ). Preto (m_2 = - cot ; theta = - frac {1} { tan ; theta} = - frac {1} {m_1} ). ( textbf {QED} )

Otočenie uhla ( theta ) o (90 ^ circ ) v smere hodinových ručičiek vedie k uhlu ( theta - 90 ^ circ ). Na odvodenie trigonometrických vzťahov zahŕňajúcich ( theta - 90 ^ circ ) by sme mohli použiť iný geometrický argument, ale je jednoduchšie použiť jednoduchý trik: pretože Rovnice ref {1.4} - ref {1.6} platia pre akýkoľvek uhol ( theta ), v každom vzorci stačí nahradiť ( theta ) znakom ( theta - 90 ^ circ ). Pretože (( theta - 90 ^ circ) + 90 ^ circ = theta ), toto nám dáva:

[ label {1.7} sin ; ( theta - 90 ^ circ) ~ = ~ - cos ; theta ]

[ label {1.8} cos ; ( theta - 90 ^ circ) ~ = ~ sin ; theta ]

[ label {1.9} tan ; ( theta - 90 ^ circ) ~ = ~ - cot ; theta ]

Teraz uvažujeme o otočení uhla ( theta ) o (180 ^ circ ). Z obrázku 1.5.4 si všimnite, že uhly ( theta pm 180 ^ circ ) majú rovnakú koncovú stranu a sú v kvadrante oproti ( theta ).

Pretože ((- x, -y) ) je na terminálnej strane ( theta pm 180 ^ circ ), keď ((x, y) ) je na terminálnej strane ( theta ), dostaneme nasledujúce vzťahy, ktoré platia pre všetky ( theta ):

[ label {1.10} sin ; ( theta pm 180 ^ circ) ~ = ~ - sin ; theta ]

[ label {1.11} cos ; ( theta pm 180 ^ circ) ~ = ~ - cos ; theta ]

[ label {1.12} tan ; ( theta pm 180 ^ circ) ~ = ~ tan ; theta ]

A odraz je jednoducho zrkadlový obraz objektu. Napríklad na obrázku 1.5.5 je pôvodný objekt v QI, jeho odraz okolo osi (y ) - je v QII a jeho odraz okolo (x ) - osi je v QIV. Všimnite si, že ak najskôr odrážame objekt v QI okolo osi (y ) - a potom to sledujeme odrazom okolo osi (x ) -, dostaneme obraz v QIII. Tým obrazom je odraz okolo pôvodu pôvodného objektu a je to ekvivalent k rotácii (180 ^ circ ) okolo začiatku. Všimnite si tiež, že odraz okolo osi (y ) - je ekvivalentný odrazu okolo osi (x ) -, po ktorom nasleduje rotácia (180 ^ circ ) okolo počiatku.

Ak to aplikujeme na uhly, vidíme, že odrazom uhla ( theta ) okolo osi (x ) - je uhol (- theta ), ako na obrázku 1.5.6.

Vidíme teda, že odrážanie bodu ((x, y) ) okolo osi (x ) - nahradzuje (y ) iba (- y ). Preto:

[ label {1.13} sin ; (- theta) ~ = ~ - sin ; theta ]

[ label {1.14} cos ; (- theta) ~ = ~ cos ; theta ]

[ label {1.15} tan ; (- theta) ~ = ~ - tan ; theta ]

Všimnite si, že kosínusová funkcia sa v Rovnici ref {1.14} nemení, pretože závisí od (x ), a nie od (y ), pre bod ((x, y) ) na strane terminálu z ( theta ).

Všeobecne platí, že funkcia (f (x) ) je rovnomerná funkcia ak (f (-x) = f (x) ) pre všetky (x ), a nazýva sa to nepárna funkcia ak (f (-x) = -f (x) ) pre všetky (x ). Kosínová funkcia je teda párna, zatiaľ čo sínusová a tangenciálna funkcia sú nepárne.

Nahradenie ( theta ) za (- theta ) v Equations ref {1.4} - ref {1.6}, potom použitie rovníc ref {1.13} - ref {1.15}, dáva:

[ label {1.16} sin ; (90 ^ circ - theta) ~ = ~ cos ; theta ]

[ label {1.17} cos ; (90 ^ circ - theta) ~ = ~ sin ; theta ]

[ label {1.18} tan ; (90 ^ circ - theta) ~ = ~ cot ; theta ]

Všimnite si, že Rovnice ref {1.16} - ref {1.18} rozširujú vetu o funkcii z časti 1.2 na všetko ( theta ), nielen ostré uhly. Podobne Rovnice ref {1.10} - ref {1.12} a ref {1.13} - ref {1.15} dávajú:

[ label {1.19} sin ; (180 ^ circ - theta) ~ = ~ sin ; theta ]

[ label {1.20} cos ; (180 ^ circ - theta) ~ = ~ - cos ; theta ]

[ label {1.21} tan ; (180 ^ circ - theta) ~ = ~ - tan ; theta ]

Všimnite si, že odraz okolo osi (y ) - je ekvivalentný odrazu okolo osi (x ) - ( ( theta mapsto - theta )), po ktorom nasleduje rotácia (180 ^ circ ) ( (- theta mapsto - theta + 180 ^ circ = 180 ^ circ - theta )), ako na obrázku 1.5.7.

Môže sa zdať, že tieto geometrické operácie a vzorce nie sú potrebné na vyhodnotenie trigonometrických funkcií, pretože by sme mohli použiť iba kalkulačku. Existujú však dva dôvody, prečo sú užitočné. Najprv vzorce fungujú pre akékoľvek uhly, takže sa často používajú na preukázanie všeobecných vzorcov v matematike a iných odboroch, ako uvidíme ďalej v texte. Po druhé, môžu pomôcť pri určovaní, ktoré uhly majú danú hodnotu trigonometrickej funkcie.

Príklad 1.27

Nájdite všetky uhly (0 ^ circ le theta <360 ^ circ ) také, že ( sin ; theta = -0,682 ).

Riešenie

Pomocou tlačidla ( fbox { ( sin ^ {- 1} )} ) na kalkulačke s (- 0,682 ) ako vstupom dostaneme ( theta = -43 ^ circ ) , ktoré nie je medzi (0 ^ circ ) a (360 ^ circ ). Pretože ( theta = -43 ^ circ ) je v QIV, jeho odraz (180 ^ circ - theta ) okolo osi (y ) - bude v QIII a bude mať rovnakú sínusovú hodnotu. Ale (180 ^ circ - theta = 180 ^ circ - (-43 ^ circ) = 223 ^ circ ) (pozri obrázok 1.5.8). Tiež vieme, že (- 43 ^ circ ) a (- 43 ^ circ + 360 ^ circ = 317 ^ circ ) majú rovnaké hodnoty trigonometrických funkcií. Pretože uhly v QI a QII majú kladné hodnoty sínusu, vidíme, že jediné uhly medzi (0 ^ circ ) a (360 ^ circ ) so sínusom (- 0,682 ) sú ( zabalené { theta = 223 ^ circ ~ text {a} ~ 317 ^ circ} ~ ).


Odrazy, rotácie a preklady

V tejto úlohe pomocou počítačového softvéru použijete odrazy, rotácie a preklady na trojuholník. Potom budete študovať, čo sa stane s dĺžkami strán a mierami uhla trojuholníka po vykonaní týchto transformácií. V každej časti otázky je uvedený vzorový obrázok trojuholníka spolu s čiarou odrazu, uhlom rotácie a segmentom posunu: priložený softvér GeoGebra vám umožní experimentovať so zmenou umiestnenia čiary odrazu, zmena miery uhla rotácie a zmena umiestnenia a dĺžky segmentu posunu.

Dole je trojuholník $ ABC $ a čiara $ overleftrightarrow$:

Pomocou dodávanej aplikácie GeoGebra odrážajte $ trojuholník ABC $ nad $ overleftrightarrow$. Označte odrazený trojuholník $ A'B'C '$. Aké sú bočné dĺžky a rozmery uhla trojuholníka $ A'B'C '$? Čo sa stane, keď zmeníte umiestnenie jedného z vrcholov $ trojuholníka ABC $? Čo sa stane, keď zmeníte umiestnenie riadku $ overleftrightarrow$?

Dole je trojuholník $ ABC $ a bod $ E $. Nakreslite rotáciu $ trojuholníka ABC $ okolo $ E $ o uhol 85 stupňov v smere proti smeru hodinových ručičiek.

Označte obrázok $ trojuholníka ABC $ ako $ trojuholník A'B'C '$. Čo sa stane s dĺžkami a mierami strán $ trojuholníka A'B'C '$, keď zmeníte mieru uhla natočenia? Čo sa stane, keď posuniete stred otáčania $ E $?

Dole je trojuholník $ ABC $ a nasmerovaný úsečka $ overline$.

Nakreslite preklad znaku $ trojuholník ABC $ znakom $ overline$ a označte ho $ trojuholník A'B'C '$. Čo sa stane s dĺžkami a mierami strán trojuholníka $ A'B'C '$, keď zmeníte jeden z vrcholov, $ A $, $ B $ alebo $ C $? Čo ak zmeníte polohu, dĺžku alebo smer nasmerovaného úsečky $ overline$?


    Videá
    R.1 Riešenie rovníc

R.3 Tvar priamky sklonu čiary

R.4 Riešenie systému rovníc

R.5 Násobenie polynómov

R.10 Základy oblasti a obvodu

1.3 Sadzby, pomery a proporcie

1.4 Preklad v rovine súradníc

1.6 Odraz, rotácia a symetria

1.7 Zloženie transformácií

2. Podobné obrázky a dilatácia

2.2 Dilatácia a podobné obrázky

2.3 Podobnosť, polygóny a kruhy

2.4 Podobnosť a transformácie

3.2 Podmienené vyhlásenia

4. Paralelné a kolmé čiary

4.2 Viac informácií o rovnobežných priamkach a uhloch

4.4 Paralelné čiary, Kolmé čiary a Sklon

4.5 Paralelné čiary a trojuholníky

    Videá
    5.1 Rovnoramenné a rovnostranné trojuholníky

5.3 Dokazovanie trojuholníkov zhodných s SSS a SAS

5.4 Dokazovanie trojuholníkov zhodných s ASA a AAS

6. Vzťahy v trojuholníkoch

6.2 Kolmé a uhlové uhly

6.4 Centroidy a ortocentrá

6.6 Nepovinné: Nerovnosti v jednom trojuholníku

6.7 Voliteľné: Nepriame odôvodnenie

7. Podobnosť a trigonometria

7.2 Podobné trojuholníky: Veta o bočnom uhle

7.4 Podobné pravé trojuholníky

7.5 Špeciálne pravé trojuholníky

7.7 Voliteľné: Inverzie trigonometrických funkcií

7.8 Kosinové právo a sínusové právo

8.4 Viac o akordoch a uhloch

    Videá
    9.1 Paralelogramy a ich uhlopriečky

9.2 Rozhodnutie, či je rovnobežník tiež obdĺžnik, štvorec alebo kosoštvorec

9.3 Rozhodnutie, či je štvoruholník rovnobežník

9.4 Voliteľné: Polygóny a ich uhly

9.6 Plochy a súradnicová rovina

9.7 Oblasť pravidelných polygónov

    Videá
    10.1 Trojrozmerné obrázky, prierezy a výkresy


1.5: Rotácie a odrazy uhlov - matematika

3844 dni odvtedy
Zimné prázdniny

ZDROJE UČITEĽOV - ŠTUDENTOV

PREKLAD A REFLEXIA zosilňovača

GEOMETRICKÁ TRANSFORMÁCIA

cieľ: Študenti budú schopní

Študenti budú schopní identifikovať a porovnať tri transformácie kongruencie,

použiť tri transformácie kongruencie na súradnice vrcholov čísel,

identifikovať a aplikovať dilatácie a aplikovať transformácie na situácie v reálnom svete.

- reprezentovať / kresliť a interpretovať výsledky transformácií a postupných

transformácie na obrázkoch v súradnicovej rovine.

• rotácie (90 °, 180 °, v smere a proti smeru hodinových ručičiek okolo pôvodu)

- identifikovať polohy, aplikovať transformácie a opísať vzťahy pomocou súradnicovej geometrie.

Porovnajte transformácie, ktoré zachovávajú vzdialenosť a uhly, s tými, ktoré to nerobia.

Vyriešte problémy spojené s transformáciami s cieľom vyriešiť problém v reálnom svete.

Schopnosť vytvárať spojenia medzi transformáciami funkcií (F.BF.3) a geometrickými

 Vedomie, že tuhé transformácie zachovávajú tvar postavy

Schopnosť používať vhodnú slovnú zásobu na opis rotácií a odrazov

 Schopnosť použiť vlastnosti figúry na určenie a následné opísanie toho, čo sa stane s

postava, keď sa otáča (napríklad os súmernosti, zhodné uhly alebo strany ...).

Schopnosť interpretovať a vykonať danú postupnosť transformácií a vyvodiť výsledok

 Schopnosť presne používať geometrický slovník na popísanie postupnosti transformácií, ktoré

prenesie danú figúru na inú

Pomocou transformačnej geometrie vytvorte odraz, preklad, rotáciu, kĺzavý odraz a dilatáciu a

obrázok a použiť transformácie a pomocou symetrie analyzovať matematické situácie

 Experimentujte s transformáciami v rovine

Klastrová poznámka: Stavajte na skúsenostiach študentov s tvrdými pohybmi z predchádzajúcich ročníkov. Poukázať na základ rigidné

pohyby v geometrických konceptoch, napr. preklady posúvajú body o určenú vzdialenosť pozdĺž čiary rovnobežnej so zadanou čiarou rotácie posúvajú objekty po kruhovom oblúku so zadaným stredom o určený uhol

G.CO.2 Reprezentujte transformácie v rovine napríklad pomocou softvéru pre priehľadné fólie a geometriu

transformácie ako funkcie, ktoré berú body v rovine ako vstupy a iné body dávajú ako výstupy. Porovnaj

transformácie, ktoré zachovávajú vzdialenosť a uhol voči tým, ktoré to nerobia (napr. preklad verzus vodorovný úsek)

Robte geometrické konštrukcie

G.CO.3 Zadajte obdĺžnik, rovnobežník, lichobežník alebo pravidelný mnohouholník a popíšte rotácie a odrazy, ktoré ho nesú na seba.

G.CO.4 Vytvorte definície rotácií, odrazov a prekladov, pokiaľ ide o uhly, kruhy, kolmé čiary, rovnobežné čiary a úsečky

G.CO.5 Na základe geometrického útvaru a rotácie, odrazu alebo posunu nakreslite transformovaný obrazec napríklad pomocou milimetrového papiera, pauzovacieho papiera alebo geometrického softvéru. Zadajte postupnosť transformácií, ktoré prenesú danú figúru na inú.

Čo znamená „transformácia“ a čo nám umožňuje porozumieť?

Prečo je dôležité byť schopný

Aké sú podobnosti a rozdiely medzi obrázkami a predobrazmi

generované prekladmi?

Aký je vzťah medzi súradnicami vrcholov postavy a

súradnice vrcholov obrázka vygenerovaného prekladmi?

Ako možno preklady použiť v reálnych situáciách?

Manipulácia s geometrickými obrazcami môže

byť užitočným nástrojom v situáciách skutočného sveta

predobraz obrazu alebo originál

prekladový prekladový vektor

uhol natočenia stred otáčania

línia odrazu tuhá transformácia

Pracovné listy, uhlomer, pravítko, papier, Mira ™

Voliteľné - softvér pre dynamickú geometriu

ZAHREJTE SA: Na zodpovedanie otázky použite matice uvedené nižšie,

Ktorá matica predstavuje výraz?

Odraz cez čiaru k (zápis rk ) je transformácia, pri ktorej má každý bod pôvodnej figúry (predobrazu) obraz, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od čiary odrazu ako pôvodný bod, ale nachádza sa na opačnej strane čiary. Pamätajte, že odraz je flip. Pod odrazom sa veľkosť nezmení.
Línia odrazu je kolmá os úsečky segmentu spájajúceho každý bod a jeho obraz.

Odraz čiary vytvorí postavu, ktorá je zhodná s pôvodnou postavou a nazýva sa izometria (transformácia, ktorá zachováva dĺžku). Pretože pomenovanie (písmom) postavy v odraze vyžaduje zmenu poradia písmen (napríklad z pravotočivého na ľavotočivý), odraz sa konkrétnejšie nazýva nepriama alebo opačná izometria.

Vlastnosti zachované (invariantný) pod čiarovým odrazom:
1. vzdialenosť (dĺžky segmentov sú rovnaké) 2. uhlové miery (zostávajú rovnaké)
3. rovnobežnosť (rovnobežné čiary zostávajú rovnobežné)
4. kolineárnosť (body zostávajú na rovnakých čiarach)
5. stred (stredy zostávajú rovnaké na každom obrázku)
6. orientácia (poradie písma NIE zachované. Poradie je obrátené.)

Odráža nad X - os : (the X-osa ako čiara odrazu)

Keď odrážate bod cez X-osi, X-koordinátor zostáva rovnaký, ale r-koordinát sa transformuje na jeho opak.

Odraz bodu cez os x je bod.

Tip: Ak pri grafe zabudnete na pravidlá pre odrazy, jednoducho preložte milimetrový papier pozdĺž čiary odrazu (v tomto príklade: X-osi) a uvidíte, kde sa bude nachádzať vaša nová postava. Alebo môžete zmerať, ako ďaleko sú vaše body od čiary odrazu, aby ste našli nový obrázok. Takéto procesy vám umožnia vidieť, čo sa deje so súradnicami, a pomôžu vám zapamätať si pravidlo.

Odráža sa : (rovnobežne s osou x)

Keď odrážate bod naprieč, X-koordinátor zostáva rovnaký, ale r-koordinát sa transformuje na 2k-r.

Odraz bodu cez os x je bod.

Odráža nad r - os : (the r-osa ako čiara odrazu)

Keď odrážate bod cez r-osi, r-koordinátor zostáva rovnaký, ale X-koordinát sa transformuje na jeho opak. Odraz bodu cez os y je bodový.

Odráža nad : (paralelne s r- os)

Keď odrážate bod naprieč, r-koordinátor zostáva rovnaký, ale X-koordinátor sa transformuje na. Odraz bodu cez os y je bodový.

Odrazom cez pôvod sa tiež nazýva rotácia o 180 stupňov

Keď odrážate bod naprieč pôvod , r-koordinát sa transformuje na jeho opak a X-koordinát sa transformuje na jeho opak. v podstate stačí zmeniť znamienka. Odraz bodu cez pôvod je bod.

Odráža iný bod Odraz bodu cez bod je bod.

Odráža nad čiarou y = x alebo y = -x :

(čiary y = x alebo y = -x ako čiary odrazu) Keď odrážate bod cez čiaru y = x, X-koordinovaný a r-koordinované zmeny miest. Keď odrážate bod cez čiaru y = -x, the X-koordinovaný a r-koordinované miesta zmeny a sú negované (znaky sú zmenené).

Odrazom bodu cez čiaru je bod.

Odrazom bodu cez čiaru je bod.

Odrážanie cez akýkoľvek riadok:

Každý bod odrážaného obrazu je v rovnakej vzdialenosti od čiary odrazu ako zodpovedajúci bod pôvodného obrázku. Inými slovami, čiara odrazu leží priamo v strede medzi figúrou a jej obrazom - je to kolmá priamka segmentu spájajúceho ktorýkoľvek bod s jej obrazom. Pamätajte na túto myšlienku, keď pracujete s riadkami odrazov, ktoré nie sú ani X- os ani r- os.

Každý bod pôvodnej figúry a jej obraz sú v rovnakej vzdialenosti od čiary odrazu (čo sa dá na tomto diagrame ľahko spočítať, pretože čiara odrazu je zvislá).

Poradie otočení x a y. Zmeňte značky podľa toho, v akom kvadrante je.

Potom rotácia bodu M okolo uhla okolo počiatku mapuje tento bod na bod taký, ktorým je rotácia matice okolo počiatku v uhle.
Ak chcete rotovať okolo bodu, ktorý nie je počiatkom, najskôr posuňte všetky body tak, aby stred bol počiatkom, použite obvyklú maticu otáčania a potom posuňte všetky body späť na miesto, kde ste ich našli.

Príklad: Ak sa otáča o uhol, určte bod obrazu.

tu , , . Matica rotácie je daná vzťahovou značkou

Nahradenie vyššie uvedených hodnôt

Preto je obrazový bod daný znakom

NEZÁVISLÁ PRAX

Vytvorte graf obrázku pomocou použitej transformácie

1) odraz cez os x

2) odraz cez y = 3

odraz cez y = 1

odraz cez os x

odraz cez os x

odraz cez y = −2

Napíšte pravidlo, ktoré opíše každú transformáciu

Nakreslite obrázok podľa pravidla a identifikujte typ transformácie

Dokončite pravidlo usporiadaných párov, ktoré transformuje každý trojuholník na jeho obraz. Identifikujte transformáciu. Nájdite všetky chýbajúce súradnice.

BCR: Systém riadenia letovej prevádzky na letisku Little Rock National (LIT), ktorý sa nachádza na (2, 3) na mriežke nižšie, používa radarový systém, ktorý vysiela signály na určenie polohy lietadiel. Tento systém dokáže detekovať roviny v kruhovej oblasti s polomerom 35 míľ od LIT. Každá jednotka mriežky predstavuje 5 míľ.

Letún smeruje priamo k LIT z polohy predstavovanej súradnicami v mriežke.

1. Môže byť lietadlo detekované radarom? Podporte svoju odpoveď matematickými dôkazmi.

2. Riadiaci letovej prevádzky dáva pokyn pilotovi, aby začal krúžiť okolo letiska v polovici cesty medzi letiskom

a jej aktuálna poloha. Aké budú súradnice polohy lietadla, keď začne pilot

krúžiť na letisku? Ukážte svoju prácu alebo vysvetlite svoju odpoveď.

1) je zobrazený nižšie

Ak sa točí okolo počiatku v smere hodinových ručičiek, aké budú súradnice obrazu bodu T?

2) Na zodpovedanie otázok použite nasledujúci graf

Ktorý graf zobrazuje odraz cez os x na obrázku vyššie?

3) Obrázok nižšie sa otáča v smere hodinových ručičiek okolo počiatku, potom sa odráža cez os y.

4) Josh navrhuje obálku pre brožovanú knihu. Použije grafiku uvedenú vyššie. Plánuje odrážať grafiku cez os y. Aké budú súradnice odrazu bodu A?

5) Roberto je návrhár počítačovej grafiky a pracuje na reklame pre miestnu kaviareň. Obrázok vyššie zobrazuje hrnček na kávu v dvoch rôznych polohách. Čo popisuje transformáciu hrnčeka na kávu v polohe I na obrázok v polohe II?

A. odraz nad vodorovnou čiarou a preklad nadol

* B. posunutie nadol a odraz nad zvislou čiarou C. rotácia o 180 °

D. preklad doprava a odraz nad zvislou čiarou

6) Obrázok uvedený nižšie je otočený v smere hodinových ručičiek okolo začiatku a preložený o 1 jednotku.

Aký je výsledný obrázok?

7) Ktorý obrázok bude výsledkom obrázka nižšie, ktorý sa otočí o 90q v smere hodinových ručičiek okolo začiatku a potom

odráža sa cez os y?

8) Polygon STUVW je zobrazený nižšie.

Po tom, čo sa polygón STUVW odráža cez os y, aké súradnice S ′, obraz bodu S

9) Obrázok nižšie je preložený o 3 jednotky doprava, potom o 5 jednotiek nadol a nakoniec sa odráža nad osou x.

Aké sú súradnice obrazu bodu X po transformáciách?

Ak sa otočí v smere hodinových ručičiek o pôvode, aké budú súradnice

11) Keby bol paralelogram nižšie preložený o 3 jednotky doľava a 6 jednotiek nadol, čo by to bolo

súradnice nového obrázka W′X′Y′Z ′?

A. W '(- 2, –1), X' (0, 3), Y '(5, 3), Z' (3, -1) B. W '(- 1, -2), X' (3, 0), Y '(3, 5), Z' (- 1, 3)

C. W ′ (4, –1), X ′ (6, 3), Y ′ (11, 3), Z ′ (9, –1) D. W ′ (7, 8), X ′ (9, 12), Y '(14, 12), Z' (12, 8)

12) Trojuholník JKL je preložený o 4 jednotky doľava a 5 jednotiek hore. Aké súradnice

A. (2, 6) B. (3, –3) * C. (- 6, 6) D. (–2, 6)

13) Ako by vyzeral obrázok nižšie, ak by sa odrážal nad osou x?

14) Trojuholník QRS je znázornený na nasledujúcom grafe.

Ktorý z nasledujúcich grafov zobrazuje ∆QRS otočený o 90 stupňov proti smeru hodinových ručičiek okolo začiatku?

15) Segment JK sa odráža cez os y, aby sa vytvoril. Aké sú súradnice J 'a K'

A. J '(- 4, –5), K' (- 2, 1) B. J '(5, - 4), K' (- 1, 2)

16) Šípka hore predstavuje ihlu na kompase. Ihla sa otáča o 180 ° v smere hodinových ručičiek. Aké sú súradnice bodu A po otočení?

17) Trojuholník PQR má vrcholy P (–2, –1), Q (1, 6) a R (3, –2). Aké sú súradnice vrcholov obrazu ∆PQR, ak je obrázok preložený o 4 jednotky vpravo a 3 jednotky hore?

A. P '(2, 2), Q' (5, 9), R '(7, 1) B. P' (1, 3), Q '(4, 10), R' (0, 2)

C. P '(- 6, 2), Q' (- 3, 9), R '(- 1, 1) D. P' (- 8, -3), Q '(4, 18), R' (12, - 6)

18) Bod srdca (H) má súradnicu (–5, –7), ako je uvedené vyššie. Srdce sa odráža nad osou y a potom sa odráža nad osou x. Aké sú súradnice bodu H po obidvoch odrazoch?

19) Polygón hore je mapovanie budovy školy. Aké pravidlo prekladu posúva bod A

20) Ktorá transformácia popisuje zmenu z obrázku M na obrázok N?

A. dilatácia * B. reflexia C. rotácia D. preklad

21) Sacha naplánoval návrh textílie tak, že zrkadlil vyššie uvedený trojuholník nad osou x. Ktorý

zoznam súradníc predstavuje vrcholy trojuholníka odrážané nad osou x?

A. (–2, –3), (–4, –6), (–8, 1) B. (–2, 3), (–4, 6), (–8, 1)

C. (2, –3), (4, –6), (8, –1) D. (3, 2), (6, 4), (1,8)

22) Čo by presunulo vlajku A na vlajku B v nižšie uvedenom grafe?

* A. otáčanie v smere hodinových ručičiek o 180 ° B. odraz nad osou x, potom otáčanie v smere hodinových ručičiek o 90 °

C. preklad zostáva 8 jednotiek a 7 jednotiek dole

D. odraz nad osou y, potom preklad 8 jednotiek doľava a 7 jednotiek dole

23) Ak chcete naplánovať scénu v animovanom filme, Roger otočí nižšie uvedený obrázok okolo bodu P o 90 ° v smere hodinových ručičiek. Na ktorom výkrese je predobraz a konečný obrázok?

24) Dizajn prešívaných prikrývok sa vytvorí preložením mnohouholníka cez rovinu súradníc, ako je znázornené na obrázku nižšie. Čo je prekladové pravidlo, ktoré prevedie bod A do bodu B?

A. B. C. * D.

25) Po tomto preklade bodu T, aké súradnice nového bodu?

A. (–1, 3) B. (0, 4) C. (3, –2) D. (5, –1)

26) Janelle a Franz hrajú hru. Pravidlom hry je, že každý hráč musí prejsť jednou transformáciou. Janelle odráža kúsok X nad čiarou 3. Kde pristane kúsok X?

A. na kus A * B. na kus B C. na kus C D. na kus D

27) Ktorý graf predstavuje obrázok nižšie odrážaný cez os y?

28) Súradnice C sú (--4,1). Do ktorého prekladu sa presúva?

A. preložiť 8 jednotiek doľava, 4 jednotky hore B. preložiť 3 jednotky doľava, 8 jednotiek hore

C. preložiť 3 jednotky vpravo, 8 jednotiek dole * D. preložiť 8 jednotiek vpravo, 4 jednotky dole

29) Bod na mriežke sa odráža cez os y. Aké sú jeho nové súradnice?

A. (- 5, 2) B. (-2, 5) C. (2, - 5) D. (2, 5)

30) Po preložení bodu (x, y) o štyri jednotky doprava, aké sú jeho nové súradnice?

A. B. C. D.

31) Ktorý obrázok predstavuje rotáciu z obrázku 1?

A. obrázok 2 * B. obrázok 3 C. obrázok 4 D. obrázok 5

32) Aké sú súradnice PQRS po preklade 6 jednotiek doprava a 6 jednotiek hore?

33) Trojuholník ABC sa odráža nad osou x. Aké budú súradnice A ', B' a C '?

34) Ktorý tieň zobrazuje odraz zodpovedajúcej postavy?

35) Ktorý z nasledujúcich obrázkov predstavuje otáčanie vlajky v smere hodinových ručičiek okolo bodu A?


Rotácie

Matematická škola zo stredných škôl založená na témach požadovaných pre regentskú skúšku uskutočnenú organizáciou NYSED.

Geometria rotácie
Rotácia je izometrická transformácia: pôvodný obrázok a obrázok sú zhodné. Orientácia obrázka tiež zostane rovnaká, na rozdiel od odrazov. Aby sme vykonali rotáciu geometrie, musíme najskôr poznať bod rotácie, uhol rotácie a smer (buď v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek). Otočenie je tiež rovnaké ako zloženie odrazov cez pretínajúce sa čiary.

Nasledujúce obrázky ukazujú rotáciu okolo bodu a rotáciu ako dvojitý odraz.

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, aby ste si precvičili rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


Čo je to preklad?

Okrem odrážania alebo otáčania objektu môžeme objekt tiež preložiť na iné miesto v rovine súradníc. Preklad je akt „kĺzania“ nášho bodu alebo tvaru pozdĺž súradnicovej roviny v konkrétnom smere.

Tvar je možné preložiť hore alebo dole (alebo oboje!) Na ľubovoľnú vzdialenosť pozdĺž roviny. Udržuje si svoj tvar a nosnosť, ale je jednoducho umiestnený inde v rovine.

Spôsob, ako zaznamenať, že dôjde k prekladu, je povedať:

To znamená, že vaše konečné súradnice pre tento bod budú:

Aký je nový bod pre $ T_ <5, -2> (- 3,6) $?

Vieme, že musíme preložiť naše preložené body k zodpovedajúcim hodnotám $ x $ a $ y $ našich pôvodných súradníc. Takže:

Naše nové súradnice pre tento bod sú $ (2, 4) $

Prečo je to pravda, uvidíte, keď sa na to pozrieme v grafe.

Tu máme východiskový bod $ (- 3, 6) $.

Teraz sa posúvame kladne (doprava) o 5 medzier a negatívne (nadol) o 3 medzery. Ak by sme začínali na $ (- 3, 6) $, náš nový bod by sa nastavil na $ (2, 4) $.

Naša konečná odpoveď je B , $(2, 4)$.


Rotačná symetria

A nakoniec, figúra v rovine má rotačnú symetriu, ak je možné ju mapovať na seba otočením o 180 ° alebo menej. To znamená, že ak otočíme objekt o 180 ° alebo menej, nový obrázok bude vyzerať rovnako ako pôvodný obraz. A pri opise rotačnej symetrie je vždy užitočné identifikovať poradie rotácií a veľkosť rotácií.

The poradie rotácií je počet opakovaní, ktoré môžeme otočiť objektom, aby vytvorili symetriu, a znak veľkosť rotácií je uhol v stupňoch pre každú zákrutu, ako to pekne uvádza Math Bits Notebook.

V nasledujúcom videu sa pozriete na to, ako:

  1. Describe and graph rotational symmetry.
  2. Describe the rotational transformation that maps after two successive reflections over intersecting lines.
  3. Identify whether or not a shape can be mapped onto itself using rotational symmetry.

Translation
A translation moves a shape. A translation is a slide of a shape: without rotating, reflecting or resizing it.
Each point on the shape moves the same direction and the same distance.

Translate a Shape
To translate a shape, break the translation down into:

- how far we move the shape in a horizontal direction (left or right).
- how far we move the shape in a vertical direction (up or down).

Use a column vector to describe how far to move the shape in these directions.

- find how far a shape has moved in a horizontal direction (left or right).
- find how far a shape has moved in a vertical direction (up or down).

Write these in a column vector.


Rotation

In geometry, a rotation is a type of transformation where a shape or geometric figure is turned around a fixed point. It may also be referred to as a turn. A rotation is a type of rigid transformation, which means that the size and shape of the figure does not change the figures are congruent before and after the transformation. Below are two examples.

In the figure above, the wind rotates the blades of a windmill. On the right, a parallelogram rotates around the red dot.

The term "preimage" is used to describe a geometric figure before it has been transformed and the term "image" is used to describe it after it has been transformed. For 2D figures, a rotation turns each point on a preimage around a fixed point, called the center of rotation, a given angle measure. Two Triangles are rotated around point R in the figure below. For 3D figures, a rotation turns each point on a figure around a line or axis.


Rotational Symmetry

These lessons help Geometry students learn about rotational symmetry, with video lessons, examples and solutions.

In these lessons, we will learn

  • what is rotational symmetry?
  • how to find the order of rotation.
  • how to find the angle of rotation.

The following table gives the order of rotational symmetry for parallelogram, regular polygon, rhombus, circle, trapezium, kite. Scroll down the page for examples and solutions.

What Is Rotational Symmetry?

Symmetry in a figure exists if there is a reflection, rotation, or translation that can be performed and the image is identical. Rotational symmetry exists when the figure can be rotated and the image is identical to the original.

A regular polygon has a degree of rotational symmetry equal to its number of sides.

What Is The Order Of Rotation And Angle Of Rotation?

A figure has rotational symmetry if it coincides with itself in a rotation less than 360°.

The order of rotation of a figure is the number of times it coincides with itself in a rotation of 360°.

The angle of rotation for a regular figure is 360 divided by the order of rotation.

How To Find The Order Of Rotational Symmetry Of A Shape?

The order of rotational symmetry is the number of times you can rotate a shape so that it looks the same. The original position is counted only once (i.e. not when it returns to its original position)

The order of rotational symmetry of a regular polygon is the same as the number of sides of the polygon.

You can also deduce the order of rotational symmetry by knowing the smallest angle you can rotate the shape through to look the same.
180° = order 2,
120° = order 3,
90° = order 4.

The product of the angle and the order would be 360°.

How to relate between a reflection and a rotation and examine rotational symmetry within an individual figure

The following video will give the solutions for the Rotations, Reflections and Symmetry Worksheet. (Common Core, Geometry Lesson 15, Module 1)

Opening Exercise
The original triangle, labeled A, has been reflected across the first line, resulting in the image labeled B. Reflect the image across the second line. Carlos looked at the image of the reflection across the second line and said, “That’s not the image of triangle A after two reflections that’s the image of triangle A after a rotation!” Do you agree? Why or why not?

Discussion
When you reflect a figure across a line, the original figure and its image share a line of symmetry, which we have called the line of reflection. When you reflect a figure across a line and then reflect the image across a line that intersects the first line, your final image is a rotation of the original figure. The center of rotation is the point at which the two lines of reflection intersect. The angle of rotation is determined by connecting the center of rotation to a pair of corresponding vertices on the original figure and the final image. The figure above is a 210° rotation (or 150° clockwise rotation).

Exploratory Challenge
Line of symmetry of a figure: This is an isosceles triangle. By definition, an isosceles triangle has at least two congruent sides. A line of symmetry of the triangle can be drawn from the top vertex to the midpoint of the base, decomposing the original triangle into two congruent right triangles. This line of symmetry can be thought of as a reflection across itself that takes the isosceles triangle to itself. Every point of the triangle on one side of the line of symmetry has a corresponding point on the triangle on the other side of the line of symmetry, given by reflecting the point across the line. In particular, the line of symmetry is equidistant from all corresponding pairs of points. Another way of thinking about line symmetry is that a figure has line symmetry if there exists a line (or lines) such that the image of the figure when reflected over the line is itself.

Does every figure have a line of symmetry?

How to find the angle of rotation for regular polygons?

The angle of rotation of a regular polygon is equal to 360° divided by the number of sides.

Rotational Symmetry

The order of Rotational Symmetry tells us how many times a shape looks the same when it rotate 360 degrees. Determine the order of rotational symmetry for a square, a rectangle and an equilateral triangle.

Basic Rotational Symmetry

Introduction to rotational symmetry with fun shapes.

Rotational Symmetry

Learn to identify and describe rotational symmetry.

Tell whether each figure has rotational symmetry. If it does, find the smallest fraction of a full turn needed for it to look the same.

How many times will the figure show rotational symmetry within one full rotation?

Also, identify the degree of rotational symmetry.

Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

We welcome your feedback, comments and questions about this site or page. Please submit your feedback or enquiries via our Feedback page.


Pozri si video: SČÍTANIE a ODČÍTANIE UHLOV v STUPŇOCH a MINÚTACH (December 2021).