Články

13.4E: Seriály a ich zápisy (cvičenia) - Matematika


21. Pomocou súčtovej notácie napíšeme súčet výrazov ( frac {1} {2} m + 5 ) od (m = 0 ) do (m = 5 ).

22. Pomocou súčtovej notácie napíšeme súčet, ktorý je výsledkom dvadsaťnásobného sčítania čísla 13.

23. Pomocou vzorca pre súčet prvých (n ) členov aritmetickej rady nájdeme súčet prvých jedenástich členov aritmetickej rady (2,5,4,5,5, ldots )

24. Rebrík má 15 skosených priečok, ktorých dĺžky sa zväčšujú o spoločný rozdiel. Prvá priečka je dlhá 5 palcov a posledná priečka má dĺžku 20 palcov. Aký je súčet dĺžok priečok?

25. Pomocou vzorca pre súčet prvých (n ) výrazov geometrickej rady nájdite (S_ {9} ) pre rad (12,6,3, frac {3} {2} , ldots )

26. Poplatky za prvé tri roky členstva v poľovníckom klube sú uvedené v tabuľke 1. Ak budú poplatky stále stúpať rovnakou rýchlosťou, aké budú celkové náklady za prvých desať rokov členstva?

stôl 1
RokČlenské poplatky
1$1500
2$1950
3$2535

27. Nájdite súčet nekonečných geometrických radov ( sum_ {k = 1} ^ { infty} 45 cdot left (- frac {1} {3} right) ^ {k-1} ) .

28. Lopta má pomer odrazu od výšky predchádzajúceho odrazu ( frac {3} {5} ). Napíšte sériu predstavujúcu celkovú vzdialenosť urazenú loptou za predpokladu, že bola pôvodne spadnutá z výšky 5 stôp. Aká je celková vzdialenosť? (Rada: Celková vzdialenosť, ktorú lopta prejde pri každom odraze, je súčtom výšok stúpania a klesania.).
29. Alejandro vloží ( $ 80 ) zo svojich mesačných zárobkov na anuitu, ktorá vynáša (6,25 \% ) ročný úrok, zložený mesačne. Koľko peňazí ušetrí po 5 rokoch?

30. Dvojčatá Sarah a Scott si otvorili dôchodkové účty v deň svojich (21 ^ { text {st}} ). Sarah vklady ( 4 800,00 $ ) každý rok, pričom zarába (5,5 \% ) ročný úrok, zložený mesačne. Scott vklady ( 3 600,00 $) každý rok, pričom zarába (8,5 \% ) ročný úrok, zložený mesačne. Ktoré dvojča si najviac zarobí, keď bude mať 55 rokov? Koľko ešte?


Pracovné listy prepočtu číselného systému

Od robotiky cez obranu k počítačom sa konverzia z jedného číselného systému na druhý z diskurzu nikdy celkom nevytratí. Zdokonalte umenie premeny medzi binárnym, osmičkovým, desatinným a hexadecimálnym číselným systémom pomocou tohto sortimentu pracovných listov na prevod číselného systému! Vďaka množstvu štandardných problémov s konverziou a MCQ, ktoré majú skrášliť vašu prax, sú tieto pracovné hárky vo formáte PDF presne to, čo vyžaduje od študentov stredných škôl, aby zmenili svoje imanie. Získajte prístup k niektorým z týchto pracovných listov zadarmo!


Matematické metódy pre fyzikov: Komplexný sprievodca

Teraz v 7. vydaní, Matematické metódy pre fyzikov naďalej poskytuje všetky matematické metódy, s ktorými sa nádejní vedci a inžinieri pravdepodobne stretnú ako študenti aj ako začínajúci výskumníci. Tento najpredávanejší text poskytuje matematické vzťahy a ich dôkazy nevyhnutné pre štúdium fyziky a príbuzných odborov. Nové vydanie si zachováva kľúčové vlastnosti 6. vydania a poskytuje dôkladnejšiu rovnováhu medzi vysvetlením, teóriou a príkladmi. Vďaka prístupu založenému na riešení problémov pri začleňovaní viet do aplikácií bude vylepšené zameranie knihy pomáhať študentom uspieť počas celej svojej akademickej kariéry a vo svojich profesiách. Medzi pozoruhodné vylepšenia patrí vylepšený a zameraný obsah dôležitých tém, vylepšená organizácia, aktualizované notácie, rozsiahle vysvetlenia a intuitívne cvičebné súbory, širšia škála riešení problémov, vylepšenie rozmiestnenia a širšia škála náročnosti cvičení.


Nastaviť notáciu

Na týchto lekciách sa naučíme pojem množiny, metódy definovania množín, zápis množiny, prázdna množina, symboly pre ‘je prvkom’, podmnožina, priesečník a spojenie. Tieto lekcie sú súčasťou série lekcií o zostavách.

V nasledujúcej tabuľke je zhrnutie symbolov použitých v množinách.

Sada je presne definovaná kolekcia odlišných objektov.

Jednotlivé objekty v množine sa nazývajú členov alebo prvkov súpravy.

Niektoré notácie pre množiny sú:
<1, 2, 3> = skupina celých čísel väčších ako 0 a menších ako 4 =

Prázdnu množinu máme označenú znakom <> alebo Ø, čo znamená, že množina neobsahuje žiadne prvky.

Môžeme mať nekonečné množiny, napríklad <1, 2, 3, & hellip>, čo znamená, že množina má nekonečný počet prvkov.

Máme symbol znázorňujúci členstvo. Spojíme člen a množinu pomocou symbolu ∈. Ak je objekt x prvkom množiny A, napíšeme x ∈ A. Ak objekt z nie je prvkom množiny A, napíšeme z ∉ A.

∈ označuje „je prvkom“ alebo „je členom“ alebo „patrí“

∉ označuje „nie je členom“ alebo „nie je členom“ alebo „nepatrí do“

Príklad:
Ak A = <1, 3, 5>, potom 1 ∈ A a 2 ∉ A

Videá

Toto video predstavuje koncept množiny a rôzne metódy definovania množín.

Set Setation (s): Diskusia o množinovej notácii: zoznamy, popisy a notácia súpravy nástrojov.

Nasledujúce video popisuje: Set Notations, Empty Set, Symbols for „is a element of“ podmnožina, priesečník a spojenie.

Set Notation: Metóda súpisu, Set Builder Notation.

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, ktoré vám pomôžu precvičiť rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


Cvičenia z analýzy

Cvičenia z analýzy budú publikované v dvoch zväzkoch. Tento prvý diel pojednáva o problémoch v piatich základných témach matematickej analýzy: metrické topologické miery priestorových priestorov, integrácia a Martingalesova miera a topológia a funkčná analýza. Každá z piatich tém zodpovedá inej kapitole so zahrnutím základnej teórie a sprievodných hlavných definícií a výsledkov, po ktorých nasledujú vhodné poznámky a poznámky pre lepšie pochopenie materiálu. Pre každú tému je predstavených najmenej 170 cvičení / problémov a ich riešenia sú dostupné na konci každej kapitoly. Celá zbierka cvičení ponúka vyvážený a užitočný obraz pre aplikáciu okolo každej témy.

Toto takmer encyklopedické pokrytie cvičení z matematickej analýzy je prvé svojho druhu a je prístupné širokej verejnosti. Postgraduálnym študentom bude zbierka problémov cenná pri príprave na predbežné alebo kvalifikačné skúšky, ako aj pri testovaní ich hlbšieho porozumenia materiálu. Cvičenia sú označené stupňom náročnosti. Inštruktori výučby kurzov, ktoré zahŕňajú jednu alebo všetky vyššie uvedené témy, nájdu cvičenia veľkej pomoci pri príprave kurzu. Výskumní pracovníci v oblasti analýzy môžu považovať túto prácu za užitočnú ako súhrn analytických teórií publikovaných v jednom prístupnom zväzku.

Leszek Gasińksi je predsedom teórie optimalizácie a riadenia na Ústave informatiky Jagellonskej univerzity v poľskom Krakove. Spolu s Nikolaosom S. Papageorgiouom je spoluautorom „Nelineárnej analýzy“ (CRC 2005) a „Nonsmooth Critical Point Theory and Nonlinear Boundary Value Problems“ (CRC 2006). Nikolaos S. Papageorgiou je profesorom matematiky na Fakulte aplikovaných matematických a fyzikálnych vied na Národnej technickej univerzite v Aténach v Grécku. Spolu s Leszekom Gasińksim je spoluautorom „Nelineárnej analýzy“ (CRC 2005) a „Nonsmooth Critical Point Theory and Nonlinear Boundary Value Problems“ (CRC 2006).

„Kniha predstavuje najštandardnejšie vety v reálnej analýze, topológii a funkčnej analýze, ako aj rôzne problémy s ich riešeniami. … Prezentácia je prehľadná a elegantná. Poznámky v celom texte sú štandardné. ... užitočné pre postgraduálnych študentov a učiteľov, ktorých záujmy sú v pravdepodobnosti, financiách, teórii meraní, topológii, parciálnych diferenciálnych rovniciach a teórii operátorov .... Takáto kniha musí určite žiť v každej knižnici, kde sa nachádzajú ďalšie knihy z matematiky s podobnými témami. “ (Dhruba Adhikari, Recenzie MAA, maa.org, december 2015)

„Témy, ktorých sa to týka, prenesú takmer každého vážneho študenta z postgraduálnej matematiky až po absolventské kvalifikačné skúšky…. Zhrnutie: Odporúčané. Vysokoškoláci a postgraduálni študenti vyšších odborov. “ (D. V. Feldman, Choice, roč. 52 (9), máj 2015)

„Tento zväzok je zbierkou zaujímavých problémov v oblasti reálnej analýzy a funkčnej analýzy. Je určená pre pokročilých študentov postgraduálneho a postgraduálneho štúdia, ako aj pre výskumných pracovníkov v oblasti čistej a aplikovanej analýzy. ... Celá zbierka cvičení ponúka vyvážený a užitočný obraz pre aplikáciu súvisiacu s každou témou. Recenzent túto knihu veľmi odporúča všetkým matematickým knižniciam. “ (Vicenţiu D. Rădulescu, zbMATH, roč. 1298, 2014)


Zlepšite svoju klavírnu techniku ​​cvičením Hanon!

Cvičenie na klavír Hanon bolo precízne skonštruované tak, aby poskytovalo optimálnu úroveň praxe pre klaviristov všetkých úrovní a schopností. Celá séria cvičení má preukázané výsledky v zlepšovaní technických zručností, rýchlosti a presnosti pretiahnutia späť už viac ako jedno storočie.

Prvýkrát publikovaný v roku 1873, Virtuózny klavirista Charles Louis Hanon sa stal cenným zdrojom inšpirácie pre pedagógov, študentov a interpretov klavíra. Pôvodných 60 cvičení Hanon bolo teraz zdokonalených a transponovaných do všetkých hlavných kľúčov, vďaka čomu majú účastníci k dispozícii maximálny výkonnostný tréning a prax.

Aby ste dosiahli čo najväčší úžitok z logického postupu cvikov Hanon, odporúča sa cvičiť tieto cviky na klavír každý deň. Takto si žiaci rýchlo všimnú rozdiel, keď budú mať prsty silnejšie a oveľa zručnejšie v náročných prácach a technikách.

Kľúčovým prvkom cvičení klavírneho prsta je zameranie na každodenné opakovanie posilňovania rúk a prstov. Primárnou myšlienkou je vštepiť nezávislosť a flexibilitu interpretačných číslic, čo umožní vnútornému virtuózovi každého klaviristu dostať sa na hudobnú scénu.

Cieleným a sústredeným precvičovaním týchto cvičení môžu všetci študenti získať základy vynikajúceho výkonu a hrania.

Vďaka sile, vytrvalosti a všeobecnej zdatnosti, ktorú môžu cvičenia na klavírnych prstoch povzbudiť, nie je žiadnym prekvapením, že nádherne osvetľujúca práca Charlesa Louisa Hanona zostala hlavným textom pre všetkých klaviristov, ktorí si želali vylepšiť celú škálu svojich schopností klavírnej hry.


Interaktívna reálna analýza

Sady sú najzákladnejším stavebným prvkom v matematike a nie je ľahké poskytnúť presnú definíciu množiny matematických objektov. Len čo sú sady zavedené, je možné ich porovnávať, definovať operácie podobné sčítaniu a násobeniu a použiť ich na definovanie nových objektov, ako sú rôzne druhy číselných systémov. V skutočnosti je väčšina tém modernej analýzy nakoniec založená na množinách.

Preto je dobré mať základné vedomosti o množinách a v tejto časti si zopakujeme niekoľko základných faktov. Väčšina, ak nie všetky, tejto časti by mala byť známa a jej hlavným účelom je definovať základnú notáciu tak, aby vo zvyšku tohto textu nedošlo k zámene.

  • A B: A je podmnožina B znamená, že každý prvok v A je tiež obsiahnutý v B.
  • A B: Spojenie B je množina všetkých prvkov, ktoré sú buď v A alebo v B alebo v oboch.
  • A B: Priesečník B je množina všetkých prvkov, ktoré sú v obidvoch množinách A a B.
  • A B: Mínus B sú všetky prvky z A, ktoré nie sú v B.
  • komp (A): Doplnok A sa skladá zo všetkých prvkov, ktoré nie sú v A.
  • Dve množiny sú disjunktné, ak A B = 0 (prázdna množina)
  • Dve množiny A a B sú rovnaké, ak A B a B A

Najčastejšie používanými množinami sú množiny prirodzených čísel, celých čísel, racionálnych a reálnych čísel a prázdna množina. Spravidla sa označujú týmito symbolmi:

  • N = <1, 2, 3, 4,. > = prirodzené čísla (niekedy sa aj 0 považuje za súčasť prirodzených čísel)
  • Z = <. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,. > = celé čísla
  • Q =

    (čítaj ako „celé číslo p / q, takže p a q sú prvky Z“) = racionálne čísla

  • R = reálne čísla
  • 0 = prázdna množina (množina, ktorá neobsahuje žiadne prvky)
  • Definujte nasledujúce množiny: E = , O = , A = , B = < xR: -1 & lt x & lt; 7 a I = . Potom:
    1. Čo sú, slovami, množiny E, O a ja?
    2. Nájdite A B, A B, A B, komp (A).
    3. Nájdite O E, O I, comp (I).

Sady je možné kombinovať pomocou vyššie uvedených operácií, podobne ako pri sčítaní a vynásobení čísel. Pre množiny budú platiť známe zákony, ako sú asociačné, komutatívne a distribučné zákony. Ako príklad bude nasledujúci výsledok ilustrovať distribučné právo, ostatné zákony ponechané ako cvičenia.

Mnoho výsledkov v teórii množín je možné ilustrovať pomocou Vennovho diagramu, ako je to v predchádzajúcom dôkaze. Takéto diagramy však nepredstavujú matematicky dôkladné dôkazy. Pred vypracovaním skutočného dôkazu je však najprv potrebné utvoriť mentálny obraz predpokladov, záverov a implikácií vety. Pre tento proces môže byť veľmi užitočný Vennov diagram. Vennove diagramy môžete cvičiť tak, že ich použijete pri niektorých pravdivých / nepravdivých tvrdeniach v cvičeniach.

Existuje mnoho ďalších viet zaoberajúcich sa prevádzkou na množinách. Obzvlášť zaujímavá je veta o De Morganových zákonoch, ktorá sa zaoberá ľubovoľným počtom množín (dokonca nekonečne veľa). Nakresliť Vennov diagram v takejto situácii by bolo nemožné, ale matematický dôkaz sa dá ľahko vyriešiť:

Veta 1.1.4: De Morganove zákony
tj. doplnok priesečníka ľubovoľného počtu množín sa rovná spojeniu ich doplnkov.

tj. doplnok spojenia ľubovoľného počtu množín sa rovná priesečníku ich doplnkov.

Doteraz sme preskúmali niekoľko základných faktov z teórie množín a tiež sme dostali predstavu o tom, ako bude kurz Real Analysis prebiehať:

Najprv existujú definície, ktoré presne uvádzajú, o čom hovoríme. Z týchto definícií odvodíme nové výsledky založené na starých výsledkoch, notácii a logike. Nové výsledky sa nazývajú vety (ak sú dôležité alebo široké), propozície (ak sú zaujímavé, ale nie tak široko použiteľné) a dodatky (ktoré sú zvyčajne preformulovaním viet alebo propozícií v osobitných situáciách). Takto budeme postupovať v celom texte.

Najťažšou časťou Real Analysis je pokúsiť sa porozumieť dôkazom nových výsledkov alebo dokonca pripraviť si vlastné dôkazy. Aj keď existuje niekoľko „všeobecných“ metód preukazovania, predtým, ako sa oboznámite s poskytovaním vlastných dôkazov, je potrebných veľa skúseností a praxe. Iba niekoľko dôkazov však vyžaduje skutočnú vynaliezavosť a mnohým ďalším dôkazom sa dá porozumieť dôkladným preštudovaním definícií použitých pojmov. Preto spravidla:

Pamätajte, že dôkaz (takmer) nikdy nemožno poskytnúť pomocou príkladov. Vypracovanie niekoľkých príkladov môže byť určite užitočné - a malo by sa to urobiť vždy pred začatím dokazovania - ale nemôže to predstavovať dôkladný dôkaz o všeobecnom tvrdení.

Často sa stretnú s dvoma typmi dôkazov, ktoré si zaslúžia osobitnú pozornosť:


Obsah

Učíme sa robením. Učíme sa matematiku robením problémov. Táto kniha je prvým dielom série kníh problémov v matematickej analýze. Je určený hlavne študentom študujúcim základné princípy analýzy. Avšak vzhľadom na svoju organizáciu, úroveň a výber problémov by to bola tiež ideálna voľba pre semináre alebo semináre zamerané na riešenie problémov, najmä tie, ktoré sú zamerané na Putnamovu skúšku. Objem je vhodný aj na samoštúdium.

Každá časť knihy začína relatívne jednoduchými cvičeniami, môže však obsahovať aj dosť náročné problémy. Niekoľko po sebe nasledujúcich cvičení sa veľmi často zaoberá rôznymi aspektmi jednej matematickej úlohy alebo vety. Cieľom tejto prezentácie materiálu je pomôcť študentom porozumieť a povzbudiť ich, aby sa pýtali na svoje vlastné otázky a zahájili výskum. Zbierka problémov v knihe má pomôcť aj učiteľom, ktorí si želajú problémy začleniť do prednášok. Riešenia všetkých problémov sú poskytované.

Kniha pokrýva tri témy: reálne čísla, postupnosti a série a je rozdelená na dve časti: cvičenia a / alebo problémy a riešenia. Medzi konkrétne témy obsiahnuté v tomto zväzku patria: základné vlastnosti reálnych čísel, pokračovacie zlomky, monotónne sekvencie, limity sekvencií, Stolzova veta, súčet radov, testy konvergencie, dvojité rady, usporiadanie radov, Cauchyov produkt a nekonečné produkty .


Súčet pojmov geometrickej postupnosti (geometrická séria)

Ak chcete zistiť súčet prvých n výrazov geometrickej postupnosti, použite vzorec,
S n = a 1 (1 & mínus r n) 1 & mínus r, & thinsp & thinsp r & ne 1,
kde n je počet členov, a 1 je prvý člen a r je spoločný pomer.

Nájdite súčet prvých 8 členov geometrickej rady, ak a 1 = 1 a r = 2.

S 8 = 1 (1 a mínus 2 8) 1 a mínus 2 = 255

Nájdite S 10 geometrického radu 24 + 12 + 6 + ⋯.

S 10 = 24 (1 & mínus (1 2) 10) 1 & mínus 1 2 = 3069 64

(Nachádzate S 10 pre sériu 3 a mínus 6 + 12 a mínus 24 + ⋯, ktorých spoločný pomer je & mínus 2.)

S n = a 1 (1 & mínus r n) 1 & mínus r S 10 = 3 [1 & mínus (& mínus 2) 10] 1 & mínus (& mínus 2) = 3 (1 & mínus 1024) 3 = & mínus 1023

Stiahnite si naše bezplatné aplikácie výučbových nástrojov a testujte prípravné knihy

Názvy štandardizovaných testov sú vlastnené držiteľmi ochranných známok a nie sú spojené so spoločnosťou Varsity Tutors LLC.

Hodnotenie spokojnosti 4,9 / 5,0 za posledných 100 000 relácií. K 27.4.18.

Ochranné známky mediálnych výstupov sú majetkom príslušných médií a nie sú spojené s firmou Varsity Tutors.

Ocenená žiadosť založená na cenách CBS Local a Houston Press.

Varsity Tutors nemá vzťah k univerzitám uvedeným na svojej webovej stránke.

Varsity Tutors spája študentov s odborníkmi. Inštruktori sú nezávislí dodávatelia, ktorí prispôsobujú svoje služby každému klientovi pomocou ich vlastného štýlu, metód a materiálov.


MathHelp.com

Ak vezmete & quot 2 & quot; na pravej strane znaku & quotequals & quot z pod n a prepočítajte ho na polovicu vynásobenú zátvorkami, uvidíte, že vzorec pre súčet je v skutočnosti n krát & quotaverage & quot prvého a posledného výrazu.

Takéto uvažovanie o súčtovom vzorci môže byť užitočným spôsobom zapamätania si tohto vzorca. (Mimochodom: Súčetový vzorec je možné dokázať pomocou indukcie.)

Súčet prvého n pojmy zo série sa nazývajú & quot; n -tý čiastočný súčet & quot, a často sa označuje ako & quot Sn & quot.

Nájdite 35. čiastočný súčet, S 35, aritmetickej postupnosti s členmi

35. čiastočný súčet tejto postupnosti je súčtom prvých tridsaťpäť členov. Prvých pár výrazov postupnosti je:

Výrazy majú spoločný rozdiel, takže ide skutočne o aritmetickú postupnosť. Posledný termín v čiastočnej sume bude:

Po zapojení do vzorca je 35. čiastočný súčet:

35. čiastočný súčet: S 35 = 350

Spoločný rozdiel vo vyššie uvedenej postupnosti som mohol nájsť jednoducho tak, že sa pozriem na vzorec výrazov postupnosti. Pretože sa jedná o aritmetickú postupnosť, potom je každý výraz pevnou sumou väčšou ako predchádzajúci výraz. Keby sme používali spojitú premennú, napríklad & quot X & quot, ktoré sme použili pri grafe priamok, namiesto diskrétnej premennej n , potom bude & quot; & quot; priama čiara, ktorá sa v každom kroku zvyšuje o polovicu.

To, čo sme sa dozvedeli o strmosti priamky, a ako to súvisí s rovnicou priamky, môžeme použiť na odčítanie spoločného rozdielu od vzorca pre výrazy. čo môže ušetriť nejaký čas na teste.

Nájdite hodnotu nasledujúcej sumácie:

Z vzorca & quot 2n & ndash 5 & quot, pre n -tý člen, vidím, že každý člen bude o dve jednotky väčší ako predchádzajúci člen. (Ak som si tým nebol istý, vždy by som mohol pripojiť nejaké hodnoty pre n potvrdiť.) Takže toto je skutočne aritmetický súčet. Ale tento súčet sa začína o n = 15, nie o n = 1, a súčtový vzorec platí pre sumy začínajúce na n = 1. Ako teda môžem s touto sumáciou pracovať? Pomocou malého triku:

Najrýchlejším spôsobom, ako zistiť hodnotu tohto súčtu, je nájsť 14. a 47. čiastočné sumy a potom odčítať 14. a 47. S 14 je súčet prvého až štrnásteho člena. Týmto odpočítaním odrátam prvé až štrnáste volebné obdobie od prvého do štyridsiateho siedmeho, takže mi zostane súčet 15. až 47. volebných období.

Ďalšími nevyhnutnými termínmi sú štrnásty a štyridsiaty siedmy deň:

S týmito hodnotami mám teraz všetko, čo potrebujem, aby som našiel dva čiastkové súčty pre moje odčítanie: