Články

3.3: Veta Q-R a Mod - matematika


Keď vydelíme kladné celé číslo (dividendu) iným kladným celým číslom (deliteľ), dostaneme podiel. Takéto rozdelenie vedie k dvom výsledkom: kvocientu a zvyšku.

Takto bežne rozdelíme 23 na 4:

[ vyžadovať {enclose}
begin {pole} {rll}
5 && [- 3 body]
4 enclose {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
underline { phantom {0} 20} && [- 3 body]
phantom {00} 3
end {pole} ]

Všeobecne má delenie (b div a ) formu

[ vyžadovať {enclose}
begin {pole} {rll}
q && [- 3 body]
a enclose {longdiv} { phantom {0} b} kern-.2ex [- 3 pt]
underline { phantom {0} aq} && [- 3 body]
phantom {00} r
end {pole} ]

takže (r = b-aq ) alebo ekvivalentne (b = aq + r ). Samozrejme (q ) aj (r ) sú celé čísla. Nasledujúce „divízie“

[{ vyžadovať {enclose} begin {pole} {rll}
4 && [- 3 body]
4 enclose {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
underline { phantom {0} 16} && [- 3 body]
phantom {00} 7
end {pole}} { vyžadovať {enclose}
begin {pole} {rll}
2 && [- 3 body]
4 enclose {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
underline { phantom {0} 8} && [- 3 body]
phantom {00} 15
end {pole}} { vyžadovať {enclose}
begin {pole} {rll}
6 && [- 3 body]
4 enclose {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
underline { phantom {0} 24} && [- 3 body]
phantom {00} -1
end {pole}} { vyžadovať {enclose}
begin {pole} {rll}
7 && [- 3 body]
4 enclose {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
underline { phantom {0} 28} && [- 3 body]
phantom {00} -5
end {pole}} ]

tiež vyhovieť požiadavke (b = aq + r ), ale to nie je to, čo bežne robíme. To znamená, že samotné (b = aq + r ) nestačí na definíciu toho, čo je kvocient a zvyšok. Potrebujeme prísnejšiu definíciu.

Veta ( PageIndex {1} ) Veta zvyšku kvocientu

Vzhľadom na celé čísla (a ) a (d ), kde (d> 0 ) existujú celé čísla (q ) a (r ) také, že [a = dq + r, ] kde (0 leq r

Celé čísla (d ), (a ), (q ) a (r ) sa nazývajú dividenda, deliteľ, kvocienta zvyšok, resp. Všimnite si, že (d ) je násobkom (a ) práve vtedy, ak (r = 0 ).

Poznámka

Toto je osnova dôkazu:

Pokiaľ ide o poslednú časť dôkazu: ukázať, že určité číslo (x ) je jednoznačne určené, je typickým prístupom predpokladať, že (x ') je ďalšou voľbou, ktorá spĺňa danú podmienku, a ukázať, že musíme mať (x = x ').

Dôkaz

Tento dôkaz tu nie je, pretože tento dôkaz vyžaduje zásadu princípu objednávania, ktorej sa čoskoro budeme venovať.

Vyššie uvedený obrys však popisuje všeobecný formát dôkazu.

Poznámky:

Nemali by ste mať problém s rozdelením kladného celého čísla na ďalšie kladné celé číslo. Toto je druh dlhého rozdelenia, ktorý bežne vykonávame. Náročnejšie je vydeliť záporné celé číslo kladným celým číslom. Keď je záporné (b ), bude záporný aj kvocient (q ), ale zvyšok (r ) musí byť nezáporné. Svojím spôsobom je (r ) rozhodujúcim faktorom: volíme (q ) tak, aby zvyšok (r ) spĺňal podmienku (0 leq r

Všeobecne pre každé celé číslo (b ) vydelením (b ) číslom (a ) vznikne desatinné číslo. Ak výsledkom nie je celé číslo, zaokrúhli ho dole na ďalšie menšie celé číslo (pozri príklad 3.3.1). Je to kvocient (q ), ktorý chceme, a zvyšok (r ) sa získa odčítaním (r = b-aq ). Napríklad [ frac {-22} {; ; 7} = -3,1428 ldots ,. ] Zaokrúhlením nadol sa vytvorí kvocient (q = -4 ) a zvyšok je (r = -22-7 (-4) = 6 ); a máme (- 22 = 7 cdot (-4) +6 ).

Príklad ( PageIndex {1} )

Podľa vety o zvyšku podielu vypočítajte podiely (q ) a zvyšky (r ), keď (m ) je delené (d ):

(a) (m = 47), (d = 5) a (b) (m = -47), (d = 5) a (c) (m = -41) , (d = 12 )

Riešenie

(a) 47 = 9 (5) +2, takže (q = 5 ), (r = 2 )
(b) -47 = -10 (5) +3, takže (q = -10 ), (r = 3 )
(c) -41 = -4 (12) +7, takže (q = -4 ), (r = 7 )

praktické cvičenie ( PageIndex {1} label {he: divalgo-01} )

Podľa vety o zvyšku podielu vypočítajte podiely (q ) a zvyšky (r ), keď (b ) je delené (a ):

(a) (b = 128 ), (a = 7 ) & (b) (b = -128 ), (a = 7 ) & (c) (b = -389 ) , (a = 16 )

Nezabudnite skontrolovať, či (b = aq + r ).

Definícia MOD (a div)

Vzhľadom na celé čísla (a ) a (b ), s (a> 0 ),

[b bmod a = r ľavá šípka b = aq + r ]

kde (q in mathbb {Z}, ) (r in mathbb {Z} ) a (0 leq r

Ďalej [b mbox {div} a = q zľava šípka b = aq + r. ]

kde (q in mathbb {Z}, ) (r in mathbb {Z} ) a (0 leq r

( mbox {div} ) a ( bmod ) sú binárne operátory, kde (b mbox {div} a ) dáva podiel a (b bmod a ) dáva zvyšok celého čísla divízia (b div a ). Poznámka (b mbox {div} a ) môže byť kladné, záporné alebo dokonca nulové. Ale (b bmod a ) je vždy nezáporné celé číslo menšie ako (a ). V skutočnosti (b bmod a ) prevezme jednu z hodnôt od 0, 1, 2, ..., (a-1. )

príklad ( PageIndex {2} štítok {napr. divalgo-02} )

Nech (n ) je celé číslo také, že (n bmod6 = 4. ) Určte hodnotu ((2n + 5) bmod6 ).

Riešenie

Daná informácia znamená, že (n = 6q + 4 ) pre celé číslo (q ). Potom [2n + 5 = 2 (6q + 4) +5 = 12q + 8 + 5 = 12q + 13 = 12q + 12 + 1 = 6 (2q + 2) +1. ] Preto ((2n + 5) bmod6 = 1 ).

praktické cvičenie ( PageIndex {2} label {he: divalgo-02} )

Nech (n ) je celé číslo také, že (n bmod11 = 5. ) vypočítajte hodnotu d ((6n-4) bmod11 ).

príklad ( PageIndex {3} štítok {napr. divalgo-03} )

Predpokladajme, že dnes je streda. Ktorý deň v týždni je to o rok?

Riešenie

Označte nedeľu, pondelok, ..., sobotu ako deň 0, 1, ... 6. Dnes je deň 3. Rokom (za predpokladu 365 dní v roku) bude od dnešného dňa deň 368. Od [368 = 7 cdot52 + 4, ] bude deň 4 v týždni. Preto bude od dnešného roka štvrtok.

praktické cvičenie ( PageIndex {3} label {he: divalgo-03} )

Predpokladajme, že dnes je piatok. Ktorý deň v týždni je to 1000 dní odo dneška?

Zastúpenie celých čísel pomocou Modulo

Z vety o zvyšku podielu vieme, že každé celé číslo delené kladným celým číslom bude mať stanovený počet zvyškov, a teda stanovený počet reprezentácií.

Napríklad akékoľvek celé číslo delené 7 vyprodukuje zvyšok medzi 0 a 6 vrátane. Takže každé celé číslo, (n ), môže byť reprezentované jedným z nasledujúcich:

(n = 7q quad n = 7q + 1 quad n = 7q + 2 quad n = 7q + 3 quad n = 7q + 4 quad n = 7q + 5 quad n = 7q + 6, quad ) kde (q v mathbb {Z}. )

Na preukázanie tvrdenia je možné použiť tieto vyjadrenia: Štvorec druhého nepárneho celého čísla má tvar (8m + 1 ) pre nejaké celé číslo (m. )

Začnite výberom ľubovoľného nepárneho celého čísla (n ). Stav, že podľa vety o zvyšku kvocientu je možné celé číslo reprezentovať jedným z týchto spôsobov:

(n = 4q quad n = 4q + 1 quad n = 4q + 2 quad n = 4q + 3, quad ) pre celé číslo (q ).

Vďaka skutočnosti, že (n ) je nepárne, budete môcť vylúčiť dve z týchto reprezentácií a ponechať iba dve možnosti.

Zvyšok dôkazu vychádza z dôkazu podľa prípadov (2 zvyšné prípady). (Pozri cvičenia.)

Príklad ( PageIndex {5} label {napr. Directpf-05} )

Ukážte, že ak celé číslo (n ) nie je deliteľné číslom 3, potom (n ^ 2-1 ) musí byť násobkom 3.

Poznámka

Písmeno (n ) bolo použité na identifikáciu celého čísla, ktoré nás zaujíma, a objavuje sa v hypotéze implikácie, ktorú chceme dokázať. Mnoho autorov by však začalo svoje dôkazy známou frázou „Nech (n ) bude ...“.

Odpoveď

Nech (n ) je celé číslo, ktoré nie je deliteľné číslom 3. Keď sa vydelí číslom 3, zvyšok je 1 alebo 2. Preto (n = 3q + 1 ) alebo (n = 3q + 2 ) pre celé číslo (q ).

Prípad 1: Ak (n = 3q + 1 ) pre celé číslo (q ), potom algebrou [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 6q = 3 (3q ^ 2 + 2q), ] kde (3q ^ 2 + 2q ) je celé číslo, pretože ( mathbb {Z} ) je uzavretý násobením a sčítaním. V tomto prípade je teda (n ^ 2-1 ) násobkom 3, podľa definície násobku.

Prípad 2: Ak (n = 3q + 2 ) pre celé číslo (q ), potom algebrou [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 12q + 3 = 3 (3q ^ 2 + 4q + 1 ), ] kde (3q ^ 2 + 4q + 1 ) je celé číslo, pretože ( mathbb {Z} ) je uzavreté pri násobení a sčítaní. V tomto prípade je teda (n ^ 2-1 ) násobkom 3, podľa definície násobku ..

V oboch prípadoch sme ukázali, že (n ^ 2-1 ) je násobok 3. Preto, ak celé číslo (n ) nie je deliteľné číslom 3, potom (n ^ 2-1 ) musí byť násobok 3.

(W ^ 5 )

praktické cvičenie ( PageIndex {6} label {he: directpf-06} )

Ukážte, že (n (n + 1) (2n + 1) ) je deliteľné 6 pre všetky (n v mathbb {N} ).

Pomôcka

Jedno z dvoch celých čísel (n ) a (n + 1 ) musí byť párne (MÔŽETE sa odvolávať na vetu: Postupné celé čísla majú opačnú paritu.), takže môžeme ľahko preukázať, že produkt (n (n + 1) (2n + 1) ) je násobkom 2. Zostáva teda dokázať, že ide aj o násobok 3. Zvážte tri prípady : (n = 3q ), (n = 3q + 1 ) alebo (n = 3q + 2 ), kde (q ) je celé číslo.

Veta o absolútnej hodnote a nerovnosti trojuholníka

Definícia

Pre všetky reálne čísla (x ),

(| x | = begin {cases} -x & text {if} x <0 x & text {if} x geq 0 end {cases} )

Veta ( PageIndex {1} ) Veta o nerovnosti trojuholníka

Pre všetky reálne čísla (x ) a (y ) platí nasledujúca nerovnosť: (| x + y | leq | x | + | y ​​| ).

Dôkaz

dôkaz ešte len príde

Zhrnutie a preskúmanie

Cvičenia

cvičenie ( PageIndex {1} label {ex: divalgo-01} )

Nájsť

(a) (300 bmod 13 = )

(b) (-115 bmod 11 = )

(c) (145 bmod -22 = )

Riešenie

(a) 1, pretože 23 (13) = 299 a 300 = 23 (13) +1
(b) 6, pretože -11 (11) = -121 a -115 = -11 (11) + 6
(c) nemožné, pretože -22 nie je väčšie ako 0.

cvičenie ( PageIndex {2} label {ex: divalgo-02} )

Nájdite (b bmod a ), kde

(a) (79 bmod 19 = )

(b) (59 bmod 18 = )

(c) (- 823 bmod 16 = )

(d) (172 bmod -8 = )

(e) (- 134 bmod 20 = )

cvičenie ( PageIndex {3} label {ex: divalgo-03} )

Nech (m ) a (n ) sú celé čísla také, že [m bmod5 = 1, n bmod5 = 3. ] Určte

(a) ((m + n) bmod5 )

(b) ((mn) bmod5 )

cvičenie ( PageIndex {4} label {ex: divalgo-04} )

Dokážte, že medzi tromi po sebe nasledujúcimi celými číslami je jedným z nich násobok 3.

Pomôcka

Nech sú tri po sebe nasledujúce celé čísla (n ), (n + 1 ) a (n + 2 ). Aké sú možné hodnoty (n bmod3 )? Čo z toho vyplýva podľa algoritmu delenia? Ako by v obidvoch prípadoch vyzerali (n ), (n + 1 ) a (n + 2 )?

cvičenie ( PageIndex {5} label {ex: divalgo-05} )

Dokážte, že (n ^ 3-n ) je vždy násobkom 3 pre celé číslo (n ) o

  1. Analýza jednotlivých prípadov.
  2. Faktoring (n ^ 3-n ).

cvičenie ( PageIndex {6} label {ex: divalgo-06} )

Dokázať Štvorec druhého nepárneho celého čísla má tvar (8m + 1 ) pre nejaké celé číslo (m. )

(Pozri komentáre v texte, Zastúpenie celých čísel pomocou Modulo, o tomto dôkaze.)

cvičenie ( PageIndex {7} label {ex: divalgo-07} )

Nech (m ) a (n ) sú celé čísla také, že [a bmod5 = 4, b bmod5 = 2. ]

Preukázať [(ab) bmod5 = 3.]


Pozri si video: 9, JS, iostate: Виды Математических Операций. (December 2021).