Články

6.R: Periodické funkcie (prehľad) - matematika


6.1: Grafy sínusových a kosínusových funkcií

Na cvičeniach 1 - 8 si nakreslite graf funkcií pre dve periódy a určite amplitúdový alebo rozťahovací faktor, periódu, rovnicu stredovej čiary a asymptoty.

1) (f (x) = - 3 cos x + 3 )

Odpoveď

amplitúda: (3 ); bodka: (2 pi ); stredná čiara: (y = 3 );ziadne asymptoty

2) (f (x) = dfrac {1} {4} sin x )

3) (f (x) = 3 cos doľava (x + dfrac { pi} {6} doprava) )

Odpoveď

amplitúda: (3 ); bodka: (2 pi ); stredná čiara: (y = 0 ); ziadne asymptoty

4) (f (x) = - 2 sin doľava (x- dfrac {2 pi} {3} doprava) )

5) (f (x) = 3 sin doľava (x- dfrac { pi} {4} doprava) -4 )

Odpoveď

amplitúda: (3 ); bodka: (2 pi ); stredná čiara: (y = -4 ); ziadne asymptoty

6) (f (x) = 2 doľava ( cos doľava (x- dfrac {4 pi} {3} doprava) +1 doprava) )

7) (f (x) = 6 sin vľavo (3x- dfrac { pi} {6} vpravo) -1 )

Odpoveď

amplitúda: (6 ); bodka: (dfrac {2 pi} {3} ); stredná čiara: (y = -1 ); ziadne asymptoty

8) (f (x) = - 100 sin (50x-20) )

6.2: Grafy ďalších trigonometrických funkcií

Na cvičeniach 1–4 vytvorte graf funkcií pre dve obdobia a určite amplitúdový alebo rozťahovací faktor, periódu, rovnicu stredovej čiary a asymptoty.

1) (f (x) = tan x-4 )

Odpoveď

rozťahovací faktor: žiadny; bodka: ( pi );stredná čiara: (y = -4 );asymptoty: (x = dfrac { pi} {2} + pi k ), kde (k ) je celé číslo

2) (f (x) = 2 tan doľava (x- dfrac { pi} {6} doprava) )

3) (f (x) = - 3 tan (4x) -2 )

Odpoveď

činiteľ rozťahovania: (3 ); bodka: ( dfrac { pi} {4} ); stredná čiara: (y = -2 ); asymptoty: (x = dfrac { pi} {8} + dfrac { pi} {4} k ), kde (k ) je celé číslo

4) (f (x) = 0,2 cos (0,1x) +0,3 )

Pre cviky 5 - 10 nakreslite do grafu dve celé obdobia. Určte periódu, fázový posun, amplitúdu a asymptoty.

5) (f (x) = dfrac {1} {3} s x )

Odpoveď

amplitúda: žiadna; bodka: (2 pi ); žiadny fázový posun; asymptoty: (x = dfrac { pi} {2} k ), kde (k ) je celé číslo

6) (f (x) = 3 detská postieľka x )

7) (f (x) = 4 csc (5x) )

Odpoveď

amplitúda: žiadna; bodka: ( dfrac {2 pi} {5} ); žiadny fázový posun; asymptoty: (x = dfrac { pi} {5} k ), kde (k ) je celé číslo

8) (f (x) = 8 s ľavý ( dfrac {1} {4} x pravý) )

9) (f (x) = dfrac {2} {3} csc doľava ( dfrac {1} {2} x doprava) )

Odpoveď

amplitúda: žiadna; bodka: (4 pi ); žiadny fázový posun; asymptoty: (x = 2 pi k ), kde (k ) je celé číslo

10) (f (x) = - csc (2x + pi) )

Pre cvičenia 11-15 použite tento scenár: Počet obyvateľov mesta stúpal a klesal v intervale (20 ) rokov. Jeho populáciu možno modelovať nasledujúcou funkciou: (y = 12 000 + 8 000 sin (0,628x) ), kde doménou sú roky od roku 1980 a rozsah predstavuje počet obyvateľov mesta.

11) Aký je najväčší a najmenší počet obyvateľov v meste?

Odpoveď

najväčší: (20 000 ); najmenší: (4 000 )

12) Vytvorte graf funkcie na doméne ([0,40] ).

13) Aká je amplitúda, perióda a fázový posun pre funkciu?

Odpoveď

amplitúda: (8 000 ); bodka: (10 ​​); fázový posun: (0 )

14) Kedy v tejto doméne dosahuje populácia (18 000 )? (13 000 )?

15) Aký je predpokladaný počet obyvateľov v roku 2007? 2010?

Odpoveď

V roku 2007 je predpokladaná populácia (4 413 ). V roku 2010 bude počet obyvateľov (11 924 ).

Pri cvičeniach 16a-16d predpokladajme, že na pružinu je pripevnené závažie, ktoré sa pohybuje hore a dole a vykazuje symetriu.

16) Predpokladajme, že graf funkcie posunutia je zobrazený na obrázku nižšie, kde hodnoty na osi (x ) - predstavujú čas v sekundách a os (y ) - predstavuje posun v palcoch.

  1. Dajte rovnicu, ktorá modeluje vertikálne posunutie závažia na pružine.
  2. Aké je posunutie závažia o ( text {time} = 0 )?
Odpoveď

(5 ) v.

  1. Kedy sa posunutie z rovnovážneho bodu rovná nule?
  2. Aký je čas potrebný na to, aby sa hmotnosť vrátila do svojej pôvodnej výšky (5 ) palcov? Inými slovami, aké je obdobie pre funkciu posunutia?
Odpoveď

(10 ​​) sekúnd

6.3: Inverzné trigonometrické funkcie

Pre cvičenia 1–11 vyhľadajte presnú hodnotu bez pomoci kalkulačky.

1) ( sin ^ {- 1} (1) )

2) ( cos ^ {- 1} vľavo ( dfrac { sqrt {3}} {2} vpravo) )

Odpoveď

( dfrac { pi} {6} )

3) ( tan ^ {- 1} (- 1) )

4) ( cos ^ {- 1} vľavo ( dfrac {1} { sqrt {2}} vpravo) )

Odpoveď

( dfrac { pi} {4} )

5) ( sin ^ {- 1} vľavo ( dfrac {- sqrt {3}} {2} vpravo) )

6) ( sin ^ {- 1} doľava ( cos doľava ( dfrac { pi} {6} doprava) doprava) )

Odpoveď

( dfrac { pi} {3} )

7) ( cos ^ {- 1} doľava ( tan doľava ( dfrac {3 pi} {4} doprava) doprava) )

8) ( sin doľava ( sec ^ {- 1} doľava ( dfrac {3} {5} doprava) doprava) )

Odpoveď

Ziadne riesenie

9) ( cot left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {3} {5} right) right) )

10) ( tan doľava ( cos ^ {- 1} doľava ( dfrac {5} {13} doprava) doprava) )

Odpoveď

( dfrac {12} {5} )

11) ( sin doľava ( cos ^ {- 1} doľava ( dfrac {x} {x + 1} doprava) doprava) )

12) Graf (f (x) = cos x ) a (f (x) = sec x ) na intervale ([0,2 pi) ) a vysvetlite všetky pozorovania.

Odpoveď

Grafy nie sú symetrické voči priamke (y = x ).Sú symetrické vzhľadom na os (y ) -.

13) Graf (f (x) = sin x ) a (f (x) = csc x ) a vysvetlite všetky pozorovania.

14) Vytvorte graf funkcie (f (x) = dfrac {x} {1} - dfrac {x ^ 3} {3!} + Dfrac {x ^ 5} {5!} - dfrac {x ^ 7} {7!} ) Na intervale ([- 1,1] ) a porovnajte graf s grafom (f (x) = sin x ) v rovnakom intervale. Popíšte prípadné postrehy.

Odpoveď

Zdá sa, že grafy sú identické.

Praktický test

Na cvičeniach 1-13 načrtnite graf každej funkcie na dve celé obdobia. Určte amplitúdu, periódu a rovnicu pre stredovú čiaru.

1) (f (x) = 0,5 sin x )

Odpoveď

amplitúda: (0,5 ); bodka: (2 pi );stredná čiara (y = 0 )


Fourierova séria - úvod

Fourierove rady sa používajú pri analýze periodicky funkcie.

Mnoho javov študovaných v strojárstve a prírodných vedách má periodickú povahu, napr. prúd a napätie v obvode striedavého prúdu. Tieto periodické funkcie môžu byť analyzované na ich základné zložky (základy a harmonické) pomocou procesu nazývaného Fourierova analýza.

Naším cieľom je nájsť aproximácia pomocou trigonometrických funkcií pre rôzne tvary štvorcov, píl, zubov atď., ktoré sa vyskytujú v elektronike. Robíme to tak, že dokopy pridávame ďalšie a ďalšie trigonometrické funkcie. Súčet týchto špeciálnych trigonometrických funkcií sa nazýva Fourierova séria.


Fourierova séria funkcií s ľubovoľným obdobím

Predpokladáme, že funkcia (f ľavá (x pravá) ) je po častiach spojitá na intervale ( ľavá [<& # 8211 L, L> pravá]. ) Použitím substitúcie (x = ) (< veľké frac <> < pi> normalsize> ) ( left (<& # 8211 pi le x le pi> right) ), môžeme ho transformovať do funkcie

ktorý je definovaný a integrovateľný na ( left [<& # 8211 pi, pi> right]. ) Rozšírenie Fourierovej rady tejto funkcie (F left (y right) ) možno zapísať ako

Fourierove koeficienty pre funkciu sú dané

Návrat k počiatočným premenným, to je nastavenie (y = < large frac << pi x >> normalsize>, ) získame nasledujúcu trigonometrickú sériu pre (f doľava (x doprava): )

Rozšírenie Fourierovej série na intervale ( doľava [ doprava] )

Ak je funkcia (f ľavá (x pravá) ) definovaná na intervale ( ľavá [ pravá], ), potom je jej vyjadrenie Fourierovej rady dané rovnakým vzorcom

kde (L = veľké frac <> <2> normalsize ) a Fourierove koeficienty sa počítajú takto:

Párne a nepárne funkcie

Rozšírenie Fourierovej rady párnej funkcie definované na intervale ( left [<& # 8211 L, L> right] ) má tvar:

Rozšírenie Fourierovej rady nepárnej funkcie definovanej na intervale ( left [<& # 8211 L, L> right] ) je vyjadrené vzorcom

kde sú Fourierove koeficienty


Koniec ročníka (EOG)

Záverečné testy v Severnej Karolíne sú určené na meranie výkonnosti študentov v súvislosti s cieľmi a kompetenciami na úrovni ročníka špecifikovanými v štandardnom študijnom kurze v Severnej Karolíne.

Zdroje

  • Stupne EOG 3. - 8. čítanie bude k dispozícii po prijatí štandardov akademických výsledkov a znížení skóre čítania zo strany Štátnej rady pre vzdelávanie v Severnej Karolíne (očakáva sa v auguste 2021).

Uvoľnené predmety môžu školské systémy použiť na oboznámenie študentov s predmetmi. Tieto materiály sa nesmú používať na osobný alebo finančný prospech. Vydané položky a posudky sú chránené autorským právom oddelenia verejných pokynov v Severnej Karolíne a nemožno ich nahrať do aplikácií tretích strán. K vydaným položkám sa dá dostať cez zabezpečený prehliadač, aplikácie NCTest pre Chromebook a iPad a cez https://data.ncsu.edu/nctest/Destination.html kliknutím na ikonu uvoľnených položiek.

Informácie o autorských právach

V tejto dobe boli zverejnené formuláre na záverečné testy čítania v Severnej Karolíne možno nie zahrnúť všetky výbery čítania pre tlač, pretože NCDPI dokončuje žiadosti o autorské práva pre tieto testy. Z dôvodu rozpočtových obmedzení a neochoty držiteľov autorských práv udeľovať práva na tlač prostredníctvom webových stránok získal NCDPI povolenia iba na prezeranie týchto výberov na webe. Stiahnutie alebo použitie týchto materiálov chránených autorskými právami je obmedzené príslušnými licenčnými zmluvami získanými zákonom NCDPI a autorským zákonom (hlava 17, zákonník Spojených štátov). Povolenie na použitie ľubovoľného materiálu chráneného autorskými právami si musíte vyžiadať priamo od príslušných držiteľov autorských práv. Kontakt na držiteľa autorských práv nájdete v časti Poďakovanie pre každý testovací formulár.


Zhrnutie

Funkcia sínus a kosínus

mať amplitúdu

, bodka, fázový posun a vertikálny posun.

Na intervale nastane jeden úplný cyklus grafu .

Príklad

Nájdite amplitúdu, periódu, fázový posun a vertikálny posun funkcie

.

Graf jeden úplný cyklus.

Riešenie

Ak to porovnáme s všeobecnou formou, vidíme to

a = 1, b = 3, k = 2 a. To nám hovorí, že amplitúda je 3, perióda je, fázový posun je a vertikálny posun je 1. Jeden úplný cyklus grafu sa vyskytuje v intervale Jeden úplný cyklus grafu je znázornený na obrázku 1.

postava 1

The interaktívne príklady nižšie vám umožní vidieť viac grafov pre rôzne hodnoty konštánt a, b, c a k ..


6.R: Periodické funkcie (prehľad) - matematika

Dnes, 30. novembra, je deň AMS! Pripojte sa k našej oslave členov AMS a preskúmajte špeciálne ponuky publikácií AMS, členstva a ďalších. Ponuky sa končia o 23:59 EST.

Online ISSN 1552-4485 Tlač ISSN 0033-569X

O aplikácii eliptických funkcií v nelineárnych vynútených kmitoch


Autor: C. S. Hsu
Časopis: Quart. Appl. Matematika. 17 (1960), 393-407
MSC: Primárne 70,00 Sekundárne 33,00
DOI: https://doi.org/10.1090/qam/110250
Recenzia MathSciNet: 110250
Plný textový bezplatný prístup k PDF

    A. Erdelyi, vyd., Vyššie transcendentálne funkcie, roč. II, McGraw-Hill Book Co., New York, 1953
  • Eugene Jahnke a Fritz Emde, Tabuľky funkcií so vzorcami a krivkami, Dover Publications, New York, 1943. MR 0008332
  • Heinz Helfenstein, Ueber eine spezielle Lamésche Differentialgleichung, mit Anwendung auf eine přibližný Resonanzformel der Duffingschen Schwingungsgleichung, Thesis, Eidgenössische Technische Hochschule in Zürich, 1950 (nemecky). PÁN 0043298
  • C. S. Hsu, Na jednoduchých subharmonikách, Quart. Appl. Matematika.17 (1959), 102 - 105. PÁN 101938, DOI https://doi.org/10.1090/S0033-569X-1959-0101938-7
  • L. M. Milne-Thomson, Jacobské eliptické tabuľky funkcií, Dover Publications, Inc., New York, N.Y., 1950. MR 0088071
  • R. M. Rosenberg, O periodickom riešení rovnice núteného oscilátora, Quart. Appl. Matematika.15 (1958), 341 - 354. PÁN 92051, DOI https://doi.org/10.1090/S0033-569X-1958-92051-1 R. M. Rosenberg, Poznámka o reakcii systémov s nelineárnymi prvkami a bez nich, Proc. Medzinárodný kongres matematikov, roč. I, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1952, s. 649 J. J. Stoker, Nelineárne vibrácie, Interscience Publications, Inc., New York, 1950 E. T. Whittaker a G. N. Watson, Moderná analýza, Cambridge University Press, New York, 1947
    A. Erdelyi, vyd., Vyššie transcendentálne funkcie, roč. II, McGraw-Hill Book Co., New York, 1953 E. Jahnke a F. Emde, Tabuľky funkcií so vzorcami a krivkami, Dover Publications, New York, 1943 H. Helfenstein, Ueber eine spezielle Lamesche Differentialgleichung, mit Anwendung na aproximatívnom Resonanzformel der Duffingschen Schwingungsgleichung, Eidgenoessische Technische Hochschule in Zurich, Promotionsarbeit # 1985, Zürich, 1950 C. S. Hsu, Na jednoduchých subharmonikách, ktorá sa má uverejniť v Quart. Appl. Matematika. L. M. Milne-Thomson, Jacobské eliptické tabuľky funkcií, Dover Publications, Inc., New York, 1950 R. M. Rosenberg, O periodickom riešení rovnice núteného oscilátora, Quart. Appl. Matematika. 15341 (1958) R. M. Rosenberga, Poznámka o reakcii systémov s nelineárnymi prvkami a bez nich, Proc. Medzinárodný kongres matematikov, roč. I, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1952, s. 649 J. J. Stoker, Nelineárne vibrácie, Interscience Publications, Inc., New York, 1950 E. T. Whittaker a G. N. Watson, Moderná analýza, Cambridge University Press, New York, 1947

Načítať články v priečinku Štvrťročník aplikovanej matematiky s MSC: 70,00, 33,00


Vynesenie základnej sínusovej vlny

Ak teraz nakreslíme sínus uhla meraného v radiánoch pozdĺž karteziánskeho súradnicového systému, vidíme, že opäť dostaneme charakteristický vzostup a pokles. Pretože je však miera uhla zakreslená pozdĺž osi x (namiesto kosínusu uhla), výsledným grafom je spojitá krivka v rovine súradníc, ktorá sa podobá fyzickej vlne, ako je vidieť nižšie.

Obrázok 4: Sínusový graf.

Ak sa pozorne pozriete na tento graf, uvidíte, že vlna pretína os x na násobkoch 3,1416 - hodnote pi. Jedna úplná vlna je dokončená na hodnote 6,2832 alebo 2 & # 960, presne po obvode jednotkovej kružnice.

Pochopenie pôvodu sínusovej funkcie uľahčuje pochopenie jej fungovania vo vzťahu k vlnám. Ako sme už videli, základný vzorec predstavujúci sínusovú funkciu je:

V tomto vzorci je y hodnota na osi y získaná, keď sa vykoná funkcia Sin (x) pre body na osi x. Z toho vyplýva graf základnej sínusovej vlny. Ako však môžeme reprezentovať iné formy vĺn, najmä tie, ktoré sú väčšie alebo dlhšie? Aby sme zobrazili vlny rôznych veľkostí, musíme do nášho vzorca pridať ďalšie výrazy. Prvá, na ktorú sa pozrieme, je amplitúda.

Pri tejto úprave vzorca A nám dáva hodnotu amplitúdy vlny - vzdialenosť, ktorú sa pohybuje nad a pod osou x, alebo výšku vlny. V podstate to, čo modifikátor A robí zväčšiť (alebo zosilniť) výsledok funkcie Sin (x), čo vedie k väčším výsledným hodnotám y.

Ak chcete upraviť vlnovú dĺžku vlny alebo vzdialenosť od jedného bodu vlny k rovnakému bodu nasledujúcej vlny, modifikátor k sa používa, ako je zrejmé z nižšie uvedeného vzorca.

Násobiteľ k predlžuje dĺžku vlny. Pamätajte z našej predchádzajúcej diskusie, že vlnová dĺžka našej najjednoduchšej vlny je 2 & # 960, preto sa vlnová dĺžka v konečnom vzorci určuje jednoducho tak, že 2 & # 960 vydelíte multiplikátorom k, takže vlnová dĺžka (& # 955) = 2 & # 960 / k.

Násobiteľ k sa používa na úpravu _____ vlny.


Trieda pani Smithovej a # 039s

Kľúč odpovede na otázky k učebniciam je prístupný tu: Odpovede na učebnice

Informácie o záverečnej skúške & # 8211 Pozrite sa na kartu KONEČNÁ SKÚŠKA MCR3U od gr. 11 Hlavné menu univerzity

Štv. 15. januára
Test jednotiek & amp; binomickej vety

Kontrolné otázky:
& # 8211 str. Učebnica 572 # 1 & # 8211 17, 22 - 26 (str. 572)
& # 8211 Skontrolujte rozšírenie binárnych čísel pomocou pracovného listu Pascal’s Triangle

Osnova:
& # 8211 Jednoduchý záujem
& # 8211 Zložený úrok
& # 8211 Súčasná hodnota
& # 8211 Výška bežnej anuity
& # 8211 Aktuálna hodnota anuity
& # 8211 Hypotéky (musí vedieť, ako prevádzať polročné úrokové sadzby)
& # 8211 Rozširovanie dvojčlenov pomocou Pascalovho trojuholníka

Dostanete vzorce:
& # 8211 Výška bežnej anuity
& # 8211 Súčasná hodnota bežnej anuity

Musíte si zapamätať vzorce:
& # 8211 Jednoduchý záujem
& # 8211 Zložený úrok
& # 8211 Ako prevádzať z jednej úrokovej sadzby na druhú (obvykle sa používa pri hypotékach)

Štv. 18. decembra
Test sekvencií a sériových jednotiek

Otázky k preskúmaniu testu
Str. Učebnica 486 # 2 - 12, 14, 15 (str. 480)

Viac praxe:
Str. Učebnica 480 # 2-4, 7-11, 15-19, 21, 23, 24, 27-29, 33-36, 38 (str. 486)

  • Sekvencie
  • Rozdiel medzi aritmetickými a geometrickými postupnosťami
  • Aritmetické sekvencie
  • Geometrické sekvencie
  • Rekurzívne vzorce
  • Aritmetická séria
  • Geometrická séria
  • Určite to vedieť všetky 4 vzorce : aritmetická postupnosť, geometrická postupnosť, aritmetické rady (2. vzorec) a geometrické rady

Ut. 9. decembra
Test jednotky trigonometrických funkcií

DÔLEŽITÉ! PROSÍM, ČÍTAJTE NÁSLEDUJÚCE: Spúšťanie identít

Kontrolné otázky:
Str. Učebnica 388 # 11 (str. 388)
Str. Učebnica 413 # 11, 13, 14, 15a, b, 17, 19 - 27, 30 - 34 (str. 413)
Str. Učebnica 418 # 3, 5, 9, 11 (str. 418)

Osnova testu:
Ko-koncové uhly
Súvisiace ostré uhly
Nájdenie všetkých možných mier uhla (pomocou uhlov RAA, CAST a Co-terminal)
Spúšťacie pomery ľubovoľného uhla
Špeciálne trojuholníky (hľadanie presných hodnôt)
Modelovanie periodického správania
Skicovanie trigových funkcií
Transformácie periodických funkcií
Spúšťacie aplikácie

  • Bude to obsahovať graf a musí prísť s vašou vlastnou slovnou úlohou, ktorá zodpovedá danému grafu. Rovnicu si budete musieť vymyslieť aj z grafu.
  • Bude slovná úloha, kde dostanete situáciu, a musíte prísť s rovnicou a nakresliť ju do grafu

Aktivácia identity DÔLEŽITÉ! PROSÍM, ČÍTAJTE NÁSLEDUJÚCE: Spúšťanie identít

Ut. 2. decembra
Trigonometrické transformácie Zaradenie otvorenej knihy do triedy

Pia 21. novembra
Jednotkový test trigonometrických pomerov
Kontrolné otázky: str. Učebnica 316 # 1-11 (strany 316 a # 8211 317)
Extra praktické otázky: str. Učebnica 313 # 1-4, # 6-9, # 11, # 13, # 14, # 18, # 19 (str. 313-315)

Pondelok 10. novembra
Test funkcií a transformácií
Kontrolné otázky:
p. Recenzia 254 # 1 & # 8211 13 (str. 254 - 256)
p. Recenzia 248 # 15, 20 a # 8211 22, 24 & # 8211 26, 30, 32, 35, 36, 38, 39, 44 (str. 246-253)
p. 218 # 20, 21, 24 učebnica 3.5 (Pozrite si príklad 5 na str. 214 v učebnici, ktorý vám pomôže!)

Štvrtok 23. októbra
Test kvadratickej jednotky
Kontrolné otázky:
Str. Učebnica 154 # 1–4, 11–15, 17, 19–21, 23–27 (strany 154–157)
Str. Učebnica 158 # 1, 3-8, 11, 12 (strany 158 - 159)
Str. Učebnica 693 # 23 b, g (strany 689 - 693)

Piatok 3. októbra
Test jednotky exponenciálnych funkcií
Kontrolné otázky:
Str. 85 # 1 & # 8211 12 Otázky k recenzovaniu učebníc (str. 85 - 89)
Str. Recenzia testov kapitol 90 # 1 a # 8211 6, 12 (str. 90 - 91)
Nezabudnite tiež skontrolovať otázky týkajúce sa exponenciálneho rastu a rozkladu.

Streda 17. september
Test jednotky Rational Expressions
Kontrolné otázky:
Str. 86 # 13 a # 8211 27 otázok k recenzii učebníc (str. 85 - 89)
Str. 90 # 7 & # 8211 10, 13a Revízia testu kapitoly (str. 90-91)


6.R: Periodické funkcie (prehľad) - matematika

[Nebezpečné a nelegálne operácie v kalkuse]. úvod do Schwartzových zovšeobecnených funkcií / distribúcií.

  • 01 Prehľad prirodzených funkčných priestorov, Gelfand-Pettisove integrály, Levi-Sobolevove priestory
  • 02 Recenzie na
      [ aktualizované 29 október '16]
  • základné výsledky Fourierovej série [ aktualizované 27 október '16]
  • Banachove priestory [ aktualizované 13. novembra '17]
  • aplikácie Banachových vesmírnych nápadov [ aktualizované 12. novembra '16]
    • Úvod do levicko-sobolevských priestorov [ aktualizované 12. novembra '16],
    • Dostatočné všeobecné informácie o topologických vektorových priestoroch [ aktualizované 28. novembra '16]
    • Príklady funkčných priestorov [ aktualizované 11 feb '17]
    • Gelfand-Pettisove vektorové integrály [ aktualizované 28. novembra '16]
    • Holomorfné funkcie s vektorovou hodnotou [ aktualizované 28. novembra '16]
    • Základné výsledky Fourierových transformácií [návrh] [ aktualizované 28. novembra '16]
    • [Fredholmova alternatíva] [ aktualizované 05 Mar '17]
      [ aktualizované 14 feb '17] [ aktualizované 28 feb '17]
    • Spektrálna veta pre ohraničené samoadjungujúce operátory. [ aktualizované 14 január '18]
    • Preskúmanie / objasnenie projektorov / projekčných máp. [ aktualizované 18. apríla '17]
    • [Meromorfné pokračovanie niektorých distribučných rodín] [ aktualizované 7. september '13]
    • [Paley-Wienerove vety] [ aktualizované 7. september '13]

    Funkčná analýza 2012-13, MWF 1:25, Vincent 02

    • .
    • 11 Bez obmedzenia operátorov v Hilbertovych priestoroch
    • 10 Fourierove transformácie, temperované distribúcie
    • 09 Schwartzove distribúcie
      • 09a funkcie na linke, v lietadle atď
      • [09b distribúcie podporované na nule] [ aktualizované 2. júla '13]
      • [09c distribúcie v podpriestoroch] [ aktualizované 2. júla '13]
      • [09d vyhladzovanie distribúcií] [ aktualizované 2. júla '13]
      • [08a Banach-Alaoglu, variant Banach-Steinhaus, druhé póly, princípy slabý až silný]] [ aktualizované 2. júla '13]
      • [08b holomorfné funkcie s vektorovou hodnotou] [ aktualizované 2. júla '13]
      • [07a všeobecné topologické vektorové priestory, konečno-dimenzionálne priestory] [ aktualizované 20. apríla ']
      • [07b semináre verzus lokálne konvexnosť] [ aktualizované 23. apríla '14]
      • [07c Hahn-Banachove vety] [ aktualizované 17. mája '19]
      • [07d úplnosť a kvázi úplnosť] [ aktualizované 24. apríla 2014]
      • [07e Gelfand-Pettis / slabé integrály] [ aktualizované 21 apríla '14]
      • [06 spektrum, kompaktné operátory, operátory Hilbert-Schmidt]] [ aktualizované 31 Mar '14]
      • [06b príklady spektier, operátory. Rellichovo lemma kompaktnosti na produktoch kruhov] [ aktualizované 1. novembra '20]
      • [Aplikácia 06c: harmonická analýza na kompaktných abelianových skupinách] [ aktualizované 23 Mar '13]
      • [06d operátori Hilbert-Schmidt, tenzorové výrobky, Schwartzove jadrá: jadrové priestory I] [ aktualizované 25 Mar '14]
      • [Banachove medzery] [ aktualizované 16 Mar '14] Rieszovo lemma, dôsledky Baire: Banach-Steinhaus / uniformná ohraničenosť, otvorené mapovanie, tiež uzavretý graf, Hahn-Banach
      • [aplikácia Banachových vesmírnych nápadov na Fourierovu sériu] [ aktualizované 25.09.112] základné negatívne výsledky: nekonvergencia Fourierovej rady spojitých funkcií, non-surjektivita mapy Fourierovho koeficientu do priestoru sekvencií idúcich na 0 v nekonečne
      • [cvičenia 02] [ aktualizované 09.10.112]
      • [Funkcie v kruhoch, Fourierova séria I] [ aktualizované 3. apríla '13] Fourierova séria v jednej premennej, Levi-Sobolevove medzery v kruhoch
      • [ukážka integrálov s vektorovou hodnotou], najmä diferenciácia v parametri vo vnútri integrálu! [ aktualizované 18. október '12]
      • [Hilbertove medzery] [ aktualizované 15 Mar '14] Abstraktné Hilbertove priestory, príklady
      • [úvod do levicko-sobolevských priestorov] [ aktualizované 11 Jan '13] dokazujúci Levi-Sobolevovu nerovnosť a vnorenie sa do najjednoduchšieho príkladu
      • cviky 01 [kontrolné cvičenia] [ aktualizované 8. september '12]

      Staršie poznámky

      • [Križovatky otvorení, zväzkov uzavretých, cez kompaktné rodiny] [ aktualizované 18. augusta ']. Všeobecne sú otvorené iba konečné križovatky otvorení a uzavreté sú iba konečné spojenia uzavretých. V štruktúrovanejších situáciách však rovnaké závery platia skôr pre kompaktné rodiny ako pre konečné.
      • [Riesz 'Lemma] [ aktualizované 13. novembra '17]. že pre nehustý podpriestor X v Banachovom priestore Y a pre 0 & ltr & lt1 je y v Y s | y | = 1 a inf | xy | & lt r, kde inf je nad X v X. Užitočné ako akýsi Banach- náhrada priestoru za ortogonalitu v Hilbertových priestoroch, nie je ťažké ju dokázať, ale v textoch ju označujeme len zriedka, a preto je mimoriadne ťažké ju nájsť.
      • [Najjednoduchšie vloženie Levi-Soboleva a lemma Rellich-Kondrachev]] [ aktualizované 20. marca ']]. najjednoduchší prípad vloženia Levi-Soboleva: + 1-index L 2 Levi-Sobolevov priestor na [0,1] je vo vnútri nepretržitý funkcie a Rellich-Kondrachev: zahrnutie + 1-indexového Leviho-Sobolevovho priestoru do L 2 [0,1] je kompaktný .
      • [Youngova nerovnosť (číselný prípad)] [ aktualizované 03 Mar '12]. ab je menšie ako p / p + b q / q pre konjugované exponenty 1 / p + 1 / q = 1. Je to dosť jednoduché, stačí konvexnosť logu, ale p = q = 2 je ešte jednoduchšie, čo niekedy porovnanie záhadne sťažuje. Young citoval články z roku 1912 (miesta načítané z Wiki).
      • [Jednoduchý príklad Friedrichovho rozšírenia obmedzení Laplaciánov] [ aktualizované 01 Mar '12]. čo dáva spektrálny rozklad laplaciánu na [a, b] od rozkladu celej čiary. Získanie okrajovej podmienky Dirichletovho problému v koncových bodoch.
      • [Kritérium nevyhnutnej sebaobsluhy] [ aktualizované 23. február 12]. kritérium jedinečnosti samoadjungovaného rozšírenia symetrických neobmedzených operátorov. Varovné príklady neporovnateľných samonastavovacích rozšírení. Príklady symetrických operátorov so samonastaviteľnými uzávermi.
      • [Hilbert-Schmidt, kompaktné operátory, spektrálna veta] [ aktualizované 01 Mar '12]. Spektrálna veta pre samoadjungujúce kompaktné operátory v Hilbertových priestoroch. Prevádzkovatelia spoločnosti Hilbert-Schmidt sú kompaktní. [Niektoré skutočne hlúpe chyby pri krájaní a vkladaní boli opravené]
      • [Plancherel a spektrálne rozklady] [ aktualizované 25. marca ']]. L 2 diferenciácia, L 2 Levi-Sobolevove priestory, pre Fourierove rady a Fourierove transformácie.
      • [Kompaktné operátory v Banachových priestoroch] [ aktualizované 04 Mar '12]. základná Fredholm-Rieszova teória kompaktných operátorov na Banachových priestoroch: nenulové spektrum pozostáva výlučne z vlastných čísel, vlastné priestory sú konečno-dimenzionálne, jediný akumulačný bod spektra je 0 a Fredholmova alternatíva: pre kompaktné T a nenulový komplex z, buďT-z je bijekcia, alebo jeho jadro a jadro majú rovnakú (konečnú) dimenziu (a obraz je uzavretý).
      • [Kompaktné rezolúcie a poruchy] [ aktualizované 24. júla ']]. Najmä pre neobmedzené operátory v Hilbertovom alebo Banachovom priestore je veľmi dôležitá kompaktnosť rezolúcie a zodpovedajúca meromorfia v spektrálnom parametri. Dokazujeme, že kompaktnosť rezolúcie v ktoromkoľvek jednom bode znamená meromorfiu a kompaktnosť všade od pólov.
      • [jadrové priestory a veta o jadre I] [ aktualizované 19. júla ']]. Hilbertovy-Schmidtove operátory v Hilbertovych priestoroch, najjednoduchšie jadrové Frechetove priestory skonštruované ako Hilbert-Schmidtove limity Hilbertových priestorov, kategorické tenzorové produkty, silné duálne topológie a kolimity, Schwartzova veta o jadre pre Levi-Sobolevove priestory.
      • [nespočetné vedľajšie produkty] [ aktualizované 18. júla '11]. lokálne konvexných topologických vektorových priestorov v kategórii lokálne konvexné, zlyhať byť koproduktmi vo väčšej kategórii nie nevyhnutne lokálne konvexných topologických vektorových priestorov, v podstate z dôvodu existencie špecifických nie lokálne konvexných priestorov L p (I) s 0 & ltp & lt1.
      • [kompaktné spojenia uzavretých sú uzavreté, kompaktné križovatky otvorených sú otvorené] [ aktualizované 18. augusta ']. V topologických skupinách a v topologických vektorových priestoroch.
      • [vyhladenie / zmäkčenie distribúcií] [ aktualizované 13 Mar '13]. Pomocou plynulých aproximovaných identít sa ľubovoľné distribúcie aproximujú v slabej - * - topológii plynulými funkciami. Gelfand-Pettis / slabé integrály hrajú ústrednú úlohu.
      • [slabé duály nie sú úplné] [ aktualizované 2. januára ']]. Slabé duály rozumného topologického vektorového priestoru nie sú kompletný. Toto je známe od roku 1950 prácou Grothendiecka. Našťastie kvázi v praxi postačuje úplnosť. Postupné úplnosť je nedostatočná.
      • [Distribúcie podporované od 0] [ aktualizované 16. decembra '10]. Prvotný výsledok, že distribúcie podporované pri 0 sú konečné lineárne kombinácie Diracovej delty a jej parciálnych derivácií. Známy dávno predtým, ako bol pojem distribúcia výslovne uvedený.
      • [Levi-Sobolevovo včlenenie do Lipschitzových priestorov] [ aktualizované 23. novembra '10] Mierne silnejšia Leviho-Sobolevova veta, ktorá sa netýka iba riešenia nepretržitej diferenciácie, ale aj ďalších Lipschitzových podmienok pre najvyššie deriváty.
      • [Neviazaní operátori, Friedrichsove rozšírenia, rezolventy] [ aktualizované 25. mája '14]
      • [Peetrova veta] [ aktualizované 16. októbra '9]. Lineárny operátor, ktorý nezvyšuje podporu, je diferenciálny operátor.
      • [Hadie lemma, rozšírenia, funkcia gama] [ aktualizované 14. júna '11]. Jednoduché homologické nápady dokazujú jedinečnú rozšíriteľnosť ilustrovanú homogénnymi distribúciami a gama.
      • [Distribúcie podporované na hyperplánoch] [ aktualizované 10. mája '8]. Dôkazom toho, že distribúcie podporované na hyperplánoch sú zloženie priečnych diferenciácií s obmedzením a následným hodnotením proti distribúciám na hyperplánoch.
      • [Heisenbergova nerovnosť neistoty] [ aktualizované 10. mája '8]. Dôkaz nerovnosti týkajúcej sa Fourierových transformácií, ktorého interpretácia sa tradične pripisuje Heisenbergovmu princípu neurčitosti.
      • [nie lokálne konvexné topologické vektorové priestory] [ aktualizované 10. mája '8]. Dôkaz, že medzery ell-p s 0 & # 60 p & # 60 1 nie sú lokálne konvexné
      • [Slabá jemnosť znamená silnú jemnosť] [ aktualizované 21. novembra 2006]. pre funkcie f s hodnotami v kvázi úplnom lokálne konvexnom topologickom vektorovom priestore V. To znamená, že ak je funkcia skalárnej hodnoty (Lf) (x) hladká pre každú spojitú lineárnu funkčnú funkciu L na V, potom samotná funkcia s hodnotou V f je hladký. (Súčasný význam výrazu „slabý“ priamo neodkazuje na distribučné deriváty.)
      • [Jedinečnosť invariantných distribúcií] [ aktualizované 3. augusta '5]. na Lieových skupinách, úplne odpojených skupinách, Adelových skupinách atď.
      • [Metrické medzery]. [ aktualizované 30. augusta '05] Kontrola metrických priestorov. Veta o kategórii Baire, pre úplné metrické aj lokálne kompaktné Hausdorffove priestory.
      • [Priestory funkcií]. [ aktualizované 16. september '8] Základné definície a prehľad. Dôraz na spoločné Banachove priestory k-krát spojito diferencovateľných funkcií. Predstavuje priestory Frechet.
      • (*) Prezrite si cviky, cviky na funkčné priestory. [ aktualizované 03 Feb '06]
      • [Hilbertove medzery]. [ aktualizované 29 Mar '09] Základy. Cauchy-Schwarz-Bunyakovského nerovnosť. Veta o konvexite. Ortogonálnosť. Riesz-Fischerova veta.
      • (*) Prvé cvičenia týkajúce sa Fourierových sérií. [ aktualizované 03 Feb '06]
      • [Banachove priestory] Základy funkčnej analýzy: Banach-Steinhausova veta (Uniform Boundedness), Open Mapping Theorem, Hahn-Banachova veta, v jednoduchom kontexte Banachových priestorov.
      • [Aplikácia Banachových vesmírnych myšlienok na Fourierovu sériu]. [ aktualizované 19 Feb '05] Divergencia Fourierovej rady spojitých funkcií. Riemann-Lebesgueova lemma. Nepreurektivita mapy od integrovateľných periodických funkcií po sekvencie idúce na nulu v nekonečne.
      • (*) Cvičenie súvisiace s Banachovými priestormi. [ aktualizované 03 Feb '06]
      • [operátori v Hilbertovych priestoroch]. [ aktualizované 19. februára 2005] Spojitosť a obmedzenosť, susedné oblasti, vlastné hodnoty, diskrétne / spojité / zvyškové spektrum.
      • [spektrálna veta pre samoadjunkčné kompaktné operátory v Hilbertovych priestoroch]. [ aktualizované 18. február '12]
      • [topologické vektorové priestory]. [ aktualizované 25. júla '11] Všeobecné topologické vektorové priestory, jedinečnosť (Hausdorffovej) topológie v konečných trojrozmerných priestoroch.
      • [Hahn-Banachove vety]. [ aktualizované 17. júla 2008] Základné výsledky týkajúce sa lokálne konvexných topologických vektorových priestorov: dominujúca extenzná veta, separačná veta, dôsledky.
      • [kategorické stavby]. [ aktualizované 9. novembra '10] Produkty, koprodukty, projektívne limity, priame limity, považované za počiatočné alebo konečné objekty vo vhodných kategóriách diagramov, aby poskytli triviálne dôkazy jedinečnosti. Dôkazy podľa hľadiska.
      • (*) niektoré cviky na všeobecné topologické vektorové priestory [ aktualizované 03 Feb '06]
      • [integrály s vektorovou hodnotou]. [ aktualizované 18. júla '11] Kvázi / lokálna úplnosť ako užitočné kritérium pre existenciu Gelfand-Pettis ( slabý ) integrály spojitých kompaktne podporovaných funkcií s vektorovou hodnotou. Dokazuje kvázi / miestnu úplnosť najužitočnejších priestorov vrátane testovacích funkcií, priestorov lineárnych máp atď.
      • [Banach-Alaoglu, variant Banach-Steinhaus, bipolárne, princípy slabé až silné]. [ aktualizované 16. júla '8]
      • (*) Cvičenia zo slabej topológie, integrály. [ aktualizované 03 Feb '06]
      • (*) Cvičenia z distribúcie. [ aktualizované 03 Feb '06]
      • [vektorom ocenené holomorfné funkcie, slabá až silná holomorfia]. [ aktualizované 19. februára 2005]
      • Funkcie merateľného výberu. [ aktualizované 19. január '13] Po Dixmierovi: existencia merateľných funkcií X-> Y s grafom vo vnútri danej merateľnej podmnožiny súčinu X x Y.
      • Schwartzove funkčné obálky sa rýchlo znižujú. [ aktualizované 20 Feb '05] Po Weilovi: v rýchlo klesajúcich funkciách môžu dominovať Schwartzove funkcie, Schwartzove funkcie sa dajú považovať za súčin dvoch atď.
      • [Sturmova alterácia koreňov]. vlastnosť riešení určitých problémov s vlastnými funkciami
      • [Katalóg topologických vektorových priestorov] Niektoré dôležité a populárne topologické vektorové priestory.
      • [Distribučno-teoretický dôkaz Poissonovho súčtového vzorca]
      • ['Dobrá spektrálna veta']. Táto podrobná osnova obsahuje základné predstavy o von Neumannovych algebrách, priamych integráloch Hilbertovych priestorov a obnovuje ako artefakty tradičnejšie (menej osvetľujúce) veci, ako napríklad „rozlíšenie identity“.
      • [Bernsteinovo analytické pokračovanie zložitých síl polynómov]

      University of Minnesota výslovne vyžaduje, aby som to uviedol „Názory a názory vyjadrené na tejto stránke sú výlučne názormi autora stránky. Obsah tejto stránky nebol skontrolovaný ani schválený univerzitou v Minnesote.“


      Arnold, V. I.: Malí delitelia I, O mapovaní kruhu na seba. Izvest. Akad. Nauk., Ser. Mat.251, 21 - 86 (1961).

      —— Dôkaz vety A. N. Kolmogorova o zachovaní kvázioperiodických pohybov pri malých poruchách hamiltoniánu. Uspekhi Mat. Nauk U.S.S.R.18, Ser. 5 (113), 13–40 (1963).

      Charlier, C. L. : Die Mechanik des Himmels. Vol.2, Section 10, § 5, § 6. Leipzig 1907.

      Jacobson, N. : Lie Algebras. New York-London: Interscience 1962.

      Kolmogorov, A. N. : Doklady Akad. Nauk U.S.S.R.98, 527–530 (1954).

      Melnikov, V. K. : On some cases of conservation of conditionally periodic motions under a small change of the Hamiltonian function. Preprint, Joint Inst. for Nucl. Research, Dubna, 1965, also Doklady Akad. Nauk S.S.S.R.165, No. 6, 1245–1248 (1965).

      Moser, J. : Some aspects of non-linear differential equations. 6 lectures, Intl. Math. Summer Cr., held at Varenna, Italy, 1964, to be published in Ann. Scuola Normale Sup. Pisa 1966.

      -- On the theory of quasi-periodic motions. Lectures held at Stanford Univ., Aug. 1965, SIAM Review8, No. 2, 145–172 (1966).

      Poincaré, H. : Méthodes nouvelles de la mécanique célèste, Vol.2, Chap.9. Paris: Gauthier-Villars 1893.

      Pontrjagin, L. S. : Topologische Grouppen, Vol.2, Chap. 10. German translation. Leipzig: Teubner 1958.

      Siegel, C. L. : Vorlesungen über Himmelsmechanik. § 24, p. 168. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1965.

      Sternberg, S. : Infinite Lie groups and the formal aspects of dynamical systems. J. Math. Mech.10, 451–474 (1961).


      Pozri si video: graf funkcie y=cos x (November 2021).