Články

5.5: Zložitejšie počiatočné / okrajové podmienky - matematika


Pri oddelení premenných nie je vždy možné oddeliť počiatočné alebo okrajové podmienky v podmienke na jednej z týchto dvoch funkcií. Buď môžeme problém zmapovať na jednoduchšie pomocou superpozície okrajových podmienok, spôsobom popísaným nižšie, alebo môžeme previesť ďalšie integračné konštanty.

Uvediem príklad týchto postupov. Zvážte vibračnú strunu pripevnenú k dvom vzduchovým ložiskám, ktorá kĺže po tyčiach vzdialených 4 m. Zobrazí sa výzva, aby ste vždy našli posunutie, ak počiatočný posun, tj. Pri (t = 0 ) s je jeden meter a počiatočná rýchlosť je (x / t_0 ~ rm m / s ).

Diferenciálna rovnica a jej okrajové podmienky sa dajú ľahko zapísať,

[ begin {zarovnané} dfrac { čiastočné ^ 2} { čiastočné x ^ 2} u & = frac {1} {c ^ 2} dfrac { čiastočné ^ 2} { čiastočné t ^ 2} u, nonumber dfrac { čiastočné} { čiastočné x} u (0, t) & = dfrac { čiastočné} { čiastočné x} u (4, t) = 0, ; t> 0 , nonumber u (x, 0) & = 1, nonumber dfrac { partial} { čiastočné t} u (x, 0) & = x /t_0.end {zarovnané} ]

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Čo sa stane, ak pridám dve riešenia (v ) a (w ) diferenciálnej rovnice, ktoré vyhovujú rovnakým BC ako vyššie, ale rozdielnym IC,

[ begin {aligned} v (x, 0) = 0 &, & dfrac { partial} { partial t} v (x, 0) = x / t_0, nonumber w (x, 0) = 1 &, & dfrac { čiastočné} { čiastočné t} w (x, 0) = 0? Koniec {zarovnané} ]

Odpoveď

(u ) = (v + w ), môžeme pridať BC.

Ak oddelíme premenné, (u (x, t) = X (x) T (t) ), zistíme, že dostaneme ľahké okrajové podmienky pre (X (x) ), [X '(0) = X '(4) = 0, ], ale nemáme šťastie pre ((t) ). Rovnako ako predtým vyriešime rovnicu vlastných čísel pre (X ) a nájdeme riešenie pre ( lambda_n = frac {n ^ 2 pi ^ 2} {16} ), (n = 0,1, .. . ) a (X_n = cos ( frac {n pi} {4} x) ). Pretože pre (T (t) ) nemáme žiadne okrajové podmienky, musíme použiť úplné riešenie,

[ begin {aligned} T_0 (t) & = A_0 + B_0 t, nonumber T_n (t) & = A_n cos frac {n pi} {4} ct + B_n sin frac {n pi} {4} ct, end {zarovnané} ] a teda [u (x, t) = dfrac {1} {2} (A_0 + B_0 t) + sum_ {n = 1} ^ infty left (A_n cos frac {n pi} {4} ct + B_n sin frac {n pi} {4} ct right) cos frac {n pi} {4} x. ]

Teraz uložte počiatočné podmienky

  • [u (x, 0) = 1 = dfrac {1} {2} A_0 + sum_ {n = 1} ^ infty A_n cos frac {n pi} {4} x, ] z čoho vyplýva (A_0 = 2 ), (A_n = 0, n> 0 ).
  • [ dfrac { čiastočné} { čiastočné t} u (x, 0) = x / t_0 = dfrac {1} {2} B_0 + sum_ {n = 1} ^ infty frac {n pi c} {4} B_n cos frac {n pi} {4} x. ] Toto je Fourierova sínusová séria (x ), s ktorou sme sa už predtým stretli, a vedie k koeficientom (B_0 = 4 ) a (B_n = - frac {64} {n ^ 3 pi ^ 3c} ), ak (n ) je nepárne a inak nula.

Takže konečne [u (x, t) = (1 + 2t) - frac {64} { pi ^ 3} sum_ {n ~ rm odd} frac {1} {n ^ 3} sin frac {n pi ct} {4} cos frac {n pi x} {4}. ]


Pozri si video: Krácení lomených výrazů (December 2021).