Články

Oddiel 12.3 Odpovede - Matematika


1. (u (x, y) = frac {8} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh (2n-1) pi (1 -y)} {(2n-1) ^ {3} sinh (2n-1) pi} sin (2n-1) pi x )

2. (u (x, y) = - frac {32} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {(1 + (- 1) ^ {n } 2) sinh n pi (3-r) / 2} {n ^ {3} sinh 3n pi / 2} sin frac {n pi x} {2} )

3. (u (x, y) = frac {8} { pi ^ {2}} sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} frac { sinh (2n-1) pi (1-y / 2)} {(2n-1) ^ {2} sinh (2n-1) pi} sin frac {(2n-1) pi x} {2} )

4. (u (x, y) = frac { pi} {2} frac { sinh (1-r)} { sinh 1} sin x- frac {16} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {n sinh 2n (1-r)} {(4n ^ {2} -1) ^ {2} sinh 2n} sin 2nx )

5. (u (x, y) = 3y + frac {108} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} frac { sinh n pi y / 3} {n ^ {3} cosh 2n pi / 3} cos frac {n pi x} {3} )

6. (u (x, y) = frac {y} {2} + frac {4} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh (2n-1) pi y} {(2n-1) ^ {3} cosh 2 (2n-1) pi} cos (2n-1) pi x )

7. (u (x, y) = - frac {8y} {3} + frac {32} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} frac { sinh n pi y / 2} {n ^ {3} cosh n pi} cos frac {n pi x} {2} )

8. (u (x, y) = frac {y} {3} + frac {4} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh n pi y} {n ^ {3} cosh n pi} cos n pi x )

9. (u (x, y) = frac {128} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { cosh (2n-1) pi (x -3) / 4} {(2n-1) ^ {3} cosh 3 (2n-1) pi / 4} sin frac {(2n-1) pi y} {4} )

10. (u (x, y) = - frac {96} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} doľava [1 + (- 1) ^ {n} frac {4} {(2n-1) pi} vpravo] frac { cosh (2n-1) pi (x-2) / 2} {(2n-1) ^ {3} cosh ( 2n-1) pi} sin frac {(2n-1) pi y} {2} )

11. (u (x, y) = frac {768} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} doľava [1 + (- 1) ^ {n} frac {2} {(2n-1) pi} vpravo] frac { cosh (2n-1) pi (x-2) / 4} {(2n-1) ^ {3} cosh (2n -1) pi / 2} sin frac {(2n-1) pi y} {4} )

12. (u (x, y) = frac {96} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} doľava [3 + (- 1) ^ {n} frac {4} {(2n-1) pi} vpravo] frac { cosh 3 (2n-1) pi (x-2) / 2} {(2n-1) ^ {3} cosh ( 2n-1) pi / 2} sin frac {(2n-1) pi y} {2} )

13. (u (x, y) = - frac {16} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { cosh (2n-1) x / 2} {(2n -3) (2n + 1) (2n-1) sinh (2n-1) / 2} cos frac {(2n-1) y} {2} )

14. (u (x, y) = - frac {432} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} dolava [1+ frac {4 (-1) ^ {n}} {(2n-1) pi} vpravo] frac { cosh (2n-1) pi x / 6} {(2n-1) ^ {3} sinh (2n-1) pi / 3} cos frac {(2n-1) pi y} {6} )

15. (u (x, y) = - frac {64} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} frac { cosh (2n-1 ) x / 2} {(2n-1) ^ {4} sinh (2n-1) / 2} cos frac {(2n-1) y} {2} )

16. (u (x, y) = - frac {192} { pi ^ {4}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { cosh (2n-1) pi x / 2} {(2n-1) ^ {4} sinh (2n-1) pi / 2} doľava [(- 1) ^ {n} + frac {2} {(2n-1) pi } vpravo] cos frac {(2n-1) pi y} {2} )

17. (u (x, y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh n pi y / a} { sinh n pi b / a} sin frac {n pi x} {a}, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) sin frac {n pi x} {a} dx, quad u (x, y) = frac {72} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh (2n- 1) pi y / 3} {(2n-1) ^ {3} sinh 2 (2n-1) pi / 3} sin frac {(2n-1) pi x} {3} )

18. (u (x, y) = alpha_ {0} (1-r / b) + sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh n pi ( podľa) / a} { sinh n pi b / a} cos frac {n pi x} {a}, quad alpha_ {0} = frac {1} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) dx, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) cos frac {n pi x} { a} dx, quad n geq 1, quad u (x, y) = frac {8 (1-r)} {15} - frac {48} { pi ^ {4}} sum_ { n = 1} ^ { infty} frac { sinh n pi (1-r)} { sinh n pi} cos n pi x )

19. (u (x, y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh (2n-1) pi (o) / 2a} { sinh ( 2n-1) pi b / a} cos frac {(2n-1) pi x} {2a}, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) cos frac {(2n-1) pi x} {2a} dx, quad u (x, y) = frac {288} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh (2n-1) pi (2-y) / 6} {(2n-1) ^ {3} sinh (2n-1) pi / 3} sin frac {(2n-1) pi x} {6} )

20. (u (x, y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh (2n-1) pi (podľa) / 2a} { sinh ( 2n-1) pi b / 2a} sin frac {(2n-1) pi x} {2a}, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) sin frac {(2n-1) pi x} {2a} dx, quad u (x, y) = frac {32} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} left [(-1) ^ {n} 5+ frac {18} {(2n-1) pi} right] frac { sinh (2n-1) pi (2-y) / 2} {(2n-1) ^ {3} sinh (2n-1) pi} cos frac {(2n-1) pi x} {2} )

21. (u (x, y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { cosh n pi (yb) / a} { cosh n pi b / a} sin frac {n pi x} {a}, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) sin frac { n pi x} {a} dx, quad u (x, y) = - 12 sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} frac { cosh n (y- 2)} {n ^ {3} cosh 2n} sin nx )

22. (u (x, y) = alpha_ {0} + sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { cosh n pi y / a} { cosh n pi b / a} cos frac {n pi x} {a}, quad alpha_ {0} = frac {1} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) dx , quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) cos frac {n pi x} {a} dx, quad n geq 1, quad u (x, y) = frac { pi ^ {4}} {30} -3 sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {n ^ {4}} frac { cosh 2ny} { cos 2n} cos 2nx )

23. (u (x, y) = frac {a} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh n pi (yb) / a } {n cosh n pi b / a} sin frac {n pi x} {a}, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a } f (x) sin frac {n pi x} {a} dx, quad u (x, y) = frac {4} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} (-1) ^ {n + 1} frac { sinh (2n-1) (y-1)} {(2n-1) ^ {3} cosh (2n-1)} sin (2n-1 )X)

24. (u (x, y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha _ {n} frac { cosh n pi x / b} { cosh n pi a / b } sin frac {n pi y} {b}, quad alpha_ {n} = frac {2} {b} int_ {0} ^ {b} g (y) sin frac {n pi y} {b} dy, quad u (x, y) = frac {96} { pi ^ {5}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { cosh (2n -1) pi x} {(2n-1) ^ {5} cosh (2n-1) pi} sin (2n-1) pi y )

25. (u (x, y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { cosh (2n-1) pi x / 2b} { cosh (2n- 1) pi a / 2b} cos frac {(2n-1) pi y} {2b}, quad alpha_ {n} = frac {2} {b} int_ {0} ^ {b } g (y) cos frac {(2n-1) pi y} {2b} dy, quad u (x, y) = - frac {128} { pi ^ {3}} sum_ { n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} frac { cosh (2n-1) pi x / 4} {(2n-1) ^ {3} cosh (2n-1) pi / 2} cos frac {(2n-1) pi y} {4} )

26. (u (x, y) = frac {b} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { cosh n pi x / b} { n sinh n pi a / b} sin frac {n pi y} {b}, quad alpha_ {n} = frac {2} {b} int_ {0} ^ {b} g (y) sin frac {n pi y} {b} dy, quad u (x, y) = frac {64} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} frac { cosh (2n-1) pi x / 4} {(2n-1) ^ {3} sinh (2n-1) pi / 4} sin frac {(2n-1) pi y} {4} )

27. (u (x, y) = - frac {2b} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { cosh (2n-1) pi (xa) / 2b} {(2n-1) sinh (2n-1) pi a / 2b} sin frac {(2n-1) y} {2b}, quad alpha_ {n} = frac {2} {b} int_ {0} ^ {b} g (y) sin frac {(2n-1) pi y} {2b} dy, quad u (x, y) = 192 suma_ {n = 1} ^ { infty} doľava [1 + (- 1) ^ {n} frac {4} {(2n-1) pi} doprava] frac { cosh (2n-1 ) (x-1) / 2} {(2n-1) ^ {4} sinh (2n-1) / 2} sin frac {(2n-1) y} {2} )

28. (u (x, y) = alpha_ {0} (xa) + frac {b} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh n pi (xa) / b} {n cosh n pi a / b} cos frac {n pi y} {b}, quad alpha_ {0} = frac {1} {b } int_ {0} ^ {b} g (y) cos frac {n pi y} {b} dy, quad alpha_ {n} = frac {2} {b} int_ {0} ^ {b} g (y) cos frac {n pi y} {b} dy, quad u (x, y) = frac { pi (x-2)} {2} - frac { 4} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh (2n-1) (x-2)} {(2n-1) ^ {3} cosh 2 (2n- 1)} cos (2n-1) y )

29. (u (x, y) = alpha_ {0} + sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} e ^ {- n pi y / a} cos frac { n pi x} {a}, quad alpha_ {0} = frac {1} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) dx, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) cos frac {n pi x} {a} dx, quad n geq 1, quad u (x, y) = frac { pi ^ {3}} {2} - frac {48} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {(2n-1) ^ {4} } e ^ {- (2n-1) y} cos (2n-1) x )

30. (u (x, y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} e ^ {- (2n-1) pi y / 2a} cos frac {(2n -1) pi x} {2a}, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) cos frac {(2n-1) pi x} {2a} dx, quad u (x, y) = - frac {288} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {(- 1 ) ^ {n}} {(2n-1) ^ {3}} e ^ {- (2n-1) pi y / 6} cos frac {(2n-1) pi x} {6} )

31. (u (x, y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} e ^ {- (2n-1) pi y / 2a} sin frac {(2n -1) pi x} {2a}, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) sin frac {(2n-1) pi x} {2a} dx, quad u (x, y) = frac {32} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {(2n-1) ^ {3}} e ^ {- (2n-1) y / 2} sin frac {(2n-1) x} {2} )

32. (u (x, y) = - frac {a} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { alpha_ {n}} {n} e ^ {- n pi y / a} sin frac {n pi x} {a}, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) sin frac {n pi x} {a} dx, quad u (x) = 4 sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {(1 + (- 1) ^ {n} 2) } {n ^ {4}} e ^ {- ny} sin nx )

33. (u (x, y) = - frac {2a} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { alpha_ {n}} {2n-1} e ^ { - (2n-1) pi y / 2a} cos frac {(2n-1) pi x} {2a}, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0 } ^ {a} f (x) cos frac {(2n-1) pi x} {2a} dx, quad u (x, y) = frac {5488} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {(2n-1) ^ {3}} doľava [1+ frac {4 (-1) ^ {n}} {(2n- 1) pi} vpravo] e ^ {- (2n-1) pi y / 14} cos frac {(2n-1) pi x} {14} )

34. (u (x, y) = - frac {2a} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { alpha _ {n}} {2n-1} e ^ {- (2n-1) pi y / 2a} sin frac {(2n-1) pi x} {2a}, quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ { 0} ^ {a} f (x) sin frac {(2n-1) pi x} {2a} dx, quad u (x, y) = - frac {2000} { pi ^ {3 }} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {(2n-1) ^ {3}} doľava [(- 1) ^ {n} + frac {4} {(2n -1) pi} vpravo] e ^ {- (2n-1) pi y / 10} sin frac {(2n-1) pi x} {10} )

35. (u (x, y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {A_ {n} sinh n pi (podľa) / a + B_ {n} sinh n pi y / a} { sinh n pi b / a} sin frac {n pi x} {a} + sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {C_ {n} sinh n pi (ax) / b + D_ {n} sinh n pi x / b} { sinh n pi a / b} sin frac {n pi y} {b} )

36. (u (x, y) = C + frac {a} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {B_ {n} cosh n pi y / a-A_ {n} cosh n pi (yb) / a} {n sinh n pi b / a} cos frac {n pi x} {a} + frac {b} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {D_ {n} cosh n pi x / b-C_ {n} cosh n pi (xa) / b} {n sinh n pi a / b} cos frac {n pi y} {b} )


12.3 Zákony o sadzbách

Ako je opísané v predchádzajúcom module, rýchlosť reakcie je často ovplyvnená koncentráciami reaktantov. Hodnotiť zákony (niekedy sa nazývajú zákony o diferenciálnej sadzbe) alebo rýchlostné rovnice sú matematické výrazy, ktoré popisujú vzťah medzi rýchlosťou chemickej reakcie a koncentráciou jej reaktantov. Ako príklad zvážte reakciu opísanú chemickou rovnicou

kde a a b sú stechiometrické koeficienty. Zákon o sadzbách pre túto reakciu je napísaný ako:

v ktorom [A] a [B] predstavujú molárne koncentrácie reaktantov a k je rýchlostná konštanta, ktorá je špecifická pre konkrétnu reakciu pri konkrétnej teplote. Exponenty m a n sú reakčné poriadky a sú to väčšinou celé kladné čísla, hoci môžu byť zlomkové, záporné alebo nulové. Rýchlostná konštanta k a reakčné príkazy m a n sa musí stanoviť experimentálne pozorovaním toho, ako sa mení rýchlosť reakcie pri zmene koncentrácií reaktantov. Rýchlostná konštanta k je nezávislý od koncentrácií reaktantov, ale mení sa s teplotou.

Reakčné poriadky v zákone o rýchlosti popisujú matematickú závislosť rýchlosti na koncentráciách reaktantov. Reakcia je podľa vyššie uvedeného zákona o všeobecných sadzbách m poriadok s ohľadom na A a n poriadok s ohľadom na B. Napríklad ak m = 1 a n = 2, reakcia je prvého poriadku A a druhého rádu v B. Celkové poradie reakcie je jednoducho súčet objednávok pre každého reaktanta. Pre príklad zákonu o rýchlosti tu je reakcia celkovo tretieho rádu (1 + 2 = 3). Ďalej je uvedených niekoľko konkrétnych príkladov na ďalšiu ilustráciu tohto konceptu.

opisuje reakciu prvého poriadku v peroxide vodíka a vôbec prvého poriadku. Zákon o sadzbách:

popisuje reakciu druhého stupňa v C4H6 a celkovo druhého rádu. Zákon o sadzbách:

popisuje reakciu prvého rádu v H +, prvého rádu v OH- a druhého rádu celkovo.

Príklad 12.3

Písanie zákonov o sadzbách z reakčných príkazov

je druhý rád v NO2 a nultý poriadok v CO pri 100 ° C. Aký je zákon o sadzbách pre reakciu?

Riešenie

Reakcia je druhého rádu v NO2 teda m = 2. Reakcia je teda v CO nulového rádu n = 0. Zákon o sadzbách je:

Pamätajte, že číslo zdvihnuté na nulový výkon sa rovná 1, teda [CO] 0 = 1, a preto možno zo zákona o rýchlosti vynechať pojem koncentrácie CO: rýchlosť reakcie závisí výlučne od koncentrácie NO2. V ďalšej časti kapitoly o reakčných mechanizmoch sa vysvetlí, ako nemôže mať koncentrácia reaktantu žiadny vplyv na reakčnú rýchlosť napriek tomu, že je účastníkom reakcie.

Skontrolujte svoje učenie

bol určený ako sadzba = k[NO] 2 [H2]. Aké sú poradia vo vzťahu k jednotlivým reaktantom a aké je celkové poradie reakcie?

Odpoveď:

poradie v NO = 2 poradie v H2 = 1 celková objednávka = 3

Skontrolujte svoje učenie

Zákon o rýchlosti reakcie medzi metanolom a etylacetátom sa za určitých podmienok stanoví ako:

Aké je poradie reakcie vo vzťahu k metanolu a etylacetátu a aké je celkové poradie reakcie?

Odpoveď:

objednávka v CH3OH = 1 objednávka v CH3CH2OCOCH3 = 0 celková objednávka = 1

Spoločným experimentálnym prístupom k určovaniu zákonitostí sadzieb je metóda počiatočných sadzieb. Táto metóda zahrnuje meranie reakčných rýchlostí pre viac experimentálnych pokusov uskutočňovaných s použitím rôznych počiatočných koncentrácií reaktantu. Porovnanie nameraných rýchlostí pre tieto pokusy umožňuje určiť reakčné poriadky a následne rýchlostnú konštantu, ktoré sa spoločne použijú na formulovanie rýchlostného zákona. Tento prístup je ilustrovaný v nasledujúcich dvoch príkladoch cvičení.

Príklad 12.4

Stanovenie sadzobného zákona z počiatočných sadzieb

Táto reakcia bola študovaná v laboratóriu a nasledujúce údaje o rýchlosti boli stanovené pri 25 ° C.

Stanovte rýchlostný zákon a rýchlostnú konštantu pre reakciu pri 25 ° C.

Riešenie

Určte hodnoty m, na k z experimentálnych údajov pomocou tohto trojdielneho procesu:

Určte hodnotu m z údajov, v ktorých sa [NO] líši a [O3] je konštantná. V posledných troch experimentoch sa [NO] líši, zatiaľ čo [O.3] zostáva konštantná. Keď sa [NO] zdvojnásobí z pokusu 3 na 4, sadzba sa zdvojnásobí, a keď sa [NO] strojnásobí z pokusu 3 až 5, sadzba sa tiež strojnásobí. Miera je teda tiež priamo úmerná hodnote [NO] a m v zákone o sadzbách sa rovná 1.

Určte hodnotu n z údajov, v ktorých [O3] sa líši a hodnota [NO] je konštantná. V prvých troch experimentoch je [NO] konštantné a [O3] sa líši. Reakčná rýchlosť sa mení priamo úmerne so zmenou v [O3]. Keď [O.3] sa zdvojnásobí z pokusu 1 na 2, miera sa zdvojnásobí, keď [O3] strojnásobuje od skúšky 1 do 3, sadzba sa zvyšuje aj trojnásobne. Miera je teda priamo úmerná [O.3] a n sa rovná 1. Zákon o sadzbách je teda:

Určte hodnotu k z jednej sady koncentrácií a zodpovedajúcej rýchlosti. Údaje zo skúšky 1 sa používajú nižšie:

Skontrolujte svoje učenie

Stanovte rýchlostný zákon a rýchlostnú konštantu pre reakciu z nasledujúcich experimentálnych údajov:


12.3 Druhý zákon termodynamiky: entropia

Na konci tejto časti budete môcť urobiť nasledovné:

  • Popíšte entropiu
  • Popíšte druhý zákon termodynamiky
  • Riešiť problémy týkajúce sa druhého zákona termodynamiky

Podpora učiteľov

Podpora učiteľov

Ciele vzdelávania v tejto časti pomôžu vašim študentom osvojiť si nasledujúce štandardy:

  • (6) Prírodovedné koncepty. Študent vie, že zmeny sa vyskytujú vo fyzickom systéme, a uplatňuje zákony zachovania energie a hybnosti. Od študenta sa očakáva, že:
    • (G) analyzovať a vysvetliť každodenné príklady, ktoré ilustrujú zákony termodynamiky vrátane zákona zachovania energie a zákona entropie

    Kľúčové pojmy v časti

    Entropia

    Podpora učiteľov

    Podpora učiteľov

    [BL] [OL] [AL] Skontrolujte teplo a absolútnu teplotu. Pripomeňme si predchádzajúce diskusie o účinnosti motora. Posúďte, ako študenti chápu efektívnosť.

    Pripomeňme si z úvodu kapitoly, že nie je ani teoreticky možné, aby boli motory stopercentne efektívne. Tento jav je vysvetlený druhým termodynamickým zákonom, ktorý sa opiera o koncept známy ako entropia. Entropia je mierou poruchy systému. Entropia tiež popisuje, koľko energie je nie k dispozícii na prácu. Čím viac je neusporiadaný systém a vyššia entropia, tým menej energie systému je k dispozícii na prácu.

    Podpora učiteľov

    Podpora učiteľov

    Význam entropie je ťažké pochopiť, pretože sa to môže javiť ako abstraktný pojem. Príklady entropie však vidíme v našom každodennom živote. Napríklad pri defekte pneumatiky v automobile sa vzduch rozptýli do všetkých smerov. Keď je voda v miske postavená na pulte, nakoniec sa odparí a jednotlivé molekuly sa rozšíria v okolitom vzduchu. Ak je horúci predmet umiestnený v miestnosti, rýchlo šíri tepelnú energiu do všetkých strán. Entropiu možno považovať za mieru rozptylu energie. Meria, koľko energie sa rozptýlilo v procese. Tok akejkoľvek energie je vždy od najvyššieho po najnižší. Preto má entropia vždy tendenciu stúpať.

    Aj keď na prácu možno použiť všetky formy energie, nie je možné na prácu využiť celú dostupnú energiu. V dôsledku toho nie je možné všetku energiu prenášanú teplom premeniť na prácu a časť z nej sa stratí vo forme odpadového tepla - to znamená tepla, ktoré nie je určené na vykonávanie práce. Nedostupnosť energie je v termodynamike dôležitá, pole pochádzalo zo snáh o premenu tepla na prácu, ako to robia motory.

    Rovnica pre zmenu entropie, Δ S Δ S, je

    kde Q je teplo, ktoré prenáša energiu počas procesu, a T je absolútna teplota, pri ktorej proces prebieha.

    Q je pozitívny na prenesenú energiu do systém teplom a negatívom pre prenesenú energiu z systém teplom. V SI je entropia vyjadrená v jednotkách joulov na kelvin (J / K). Ak sa teplota počas procesu zmení, potom je zvyčajne dobrý odhad (pre malé zmeny teploty) T byť priemernou teplotou, aby sa zabránilo zložitejšej matematike (počtu).

    Tipy na úspech

    Absolútna teplota je teplota nameraná v Kelvinoch. Kelvinova stupnica je stupnica absolútnej teploty, ktorá sa meria ako počet stupňov nad absolútnou nulou. Všetky teploty sú preto kladné. Použitie teplôt z inej, nie absolútnej stupnice, ako je Fahrenheit alebo Celzia, dá nesprávnu odpoveď.

    Druhý zákon termodynamiky

    Hrali ste niekedy kartovú hru 52? Ak je to tak, dostali ste sa na konci praktického žartu a v priebehu tohto procesu ste sa naučili cennú lekciu o podstate vesmíru, ako ho popisuje druhý zákon termodynamiky. V hre s 52 vyzvedačmi vrhne vtipálek na podlahu celý balíček hracích kariet a vy si ich môžete vyzdvihnúť. V procese vyberania kariet ste si mohli všimnúť, že množstvo práce potrebnej na uvedenie kariet do usporiadaného stavu v balíčku je oveľa väčšie ako množstvo práce potrebnej na odhodenie kariet a vytvorenie poruchy.

    Druhý zákon termodynamiky to hovorí celková entropia systému sa buď zvyšuje alebo zostáva konštantná v akomkoľvek spontánnom procese, nikdy sa neznižuje. Dôležitým dôsledkom tohto zákona je, že teplo prenáša energiu spontánne z objektov s vysokou a nízkou teplotou, ale nikdy nie spontánne v opačnom smere. Je to tak preto, lebo sa zvyšuje entropia pri prenose tepla z tepla do chladu (obrázok 12.9). Pretože zmena entropie je Q/T, nastáva väčšia zmena v Δ S Δ S pri nižších teplotách (menšie T). Zníženie entropie horúceho (väčšie T) objekt je preto menší ako nárast entropie chladu (menší T) objekt, ktorý vytvára celkové zvýšenie entropie pre systém.

    Ďalším spôsobom premýšľania o tom je, že je nemožné, aby akýkoľvek proces mal ako jediný výsledok teplo prenášajúcu energiu z chladiča na teplejší objekt. Teplo nemôže prenášať energiu spontánne z chladnejšieho na teplejšie, pretože by sa znížila entropia celého systému.

    Po prvé, prečo sa entropia zvýšila? Zmiešanie týchto dvoch vodných útvarov má rovnaký účinok ako prenos tepla energie z látky s vyššou teplotou na látku s nižšou teplotou. Miešanie znižuje entropiu teplejšej vody, ale zvyšuje entropiu chladnejšej vody o väčšie množstvo, čo vedie k celkovému zvýšeniu entropie.

    Po druhé, po zmiešaní dvoch hmôt vody už nezostáva žiadny teplotný rozdiel, ktorý by poháňal prenos energie teplom, a teda robiť prácu. Energia je stále vo vode, ale je teraz nedostupný robiť prácu.

    Po tretie, zmes je menej usporiadaná alebo môže použiť iný výraz, menej štruktúrovaný. Namiesto dvoch hmôt pri rôznych teplotách a s rôznymi distribúciami molekulárnych rýchlostí máme teraz jednu hmotu so širokou distribúciou molekulárnych rýchlostí, ktorej priemer poskytuje strednú teplotu.

    Tieto tri výsledky - entropia, nedostupnosť energie a porucha - nielenže súvisia, ale sú v podstate rovnocenné. Prenos tepla z tepla do chladu súvisí s tendenciou v prírode k poruchám systémov a k tomu, aby bolo k dispozícii menej energie na použitie ako práca.

    Čo sa na základe tohto zákona nemôže stať? Studený predmet v kontakte s horúcim nikdy spontánne neprenáša energiu teplom na horúci predmet, čím sa ochladzuje, zatiaľ čo sa horúci predmet zahrieva. Ani horúci, stojaci automobil sa nikdy spontánne neochladí a nezačne sa hýbať.

    Ďalším príkladom je expanzia šluku plynu zavedeného do jedného rohu vákuovej komory. Plyn sa rozširuje, aby naplnil komoru, ale nikdy sa sám v rohu nepreskupí. Náhodný pohyb molekúl plynu by ich mohol všetky vrátiť späť do rohu, ale nikdy sa to nestalo (Obrázok 12.10).

    Vysvetlili sme, že teplo nikdy neprenáša energiu spontánne z chladnejšieho na teplejší objekt. Kľúčové slovo tu je spontánne. Keby sme pracovať v systéme je možné prenášať energiu teplom z chladnejšieho na teplejší objekt. Viac sa o tom dozvieme v nasledujúcej časti, ktorá sa zaoberá chladničkami ako jednou z aplikácií zákonov termodynamiky.

    Ľudia niekedy nepochopia druhý zákon termodynamiky v domnienke, že na základe tohto zákona je nemožné, aby sa entropia znížila na konkrétnom mieste. Ale vlastne je možné pre entropiu jedna časť vesmíru klesať, pokiaľ sa zvyšuje celková zmena entropie vesmíru. Vo forme rovnice to môžeme napísať ako

    Δ S tot = Δ S syst + Δ S envir> 0. Δ S tot = Δ S syst + Δ S envir> 0.

    Ako je možné, že entropia systému klesá? Je potrebný prenos energie. Ak vezmete guličky, ktoré sú rozptýlené po miestnosti a dáte ich do pohára, vaša práca znížila entropiu tohto systému. Ak zhromaždíte železnú rudu zo zeme a premeníte ju na oceľ a postavíte most, vaša práca znížila entropiu tohto systému. Energia pochádzajúca zo slnka môže znižovať entropiu miestnych systémov na Zemi - to znamená, že Δ S syst Δ S syst je negatívny. Ale celková entropia zvyšku vesmíru sa zvyšuje o väčšie množstvo - to znamená, že Δ S envir Δ S envir je pozitívny a má väčšiu veľkosť. V prípade železnej rudy ste síce spravili systém mosta a ocele štruktúrovanejším, ale urobili ste to na úkor vesmíru. Entropiu vesmíru celkovo zvyšuje porucha, ktorá vzniká kopaním rudy a jej premenou na oceľ. Preto

    a druhý zákon termodynamiky je nie porušené.

    Zakaždým, keď rastlina ukladá solárnu energiu vo forme chemickej potenciálnej energie alebo stúpajúci prúd teplého vzduchu zdvíha stúpajúceho vtáka, Zem zažije lokálny pokles entropie, pretože na prácu využíva časť prenosu energie zo slnka do hlbokého vesmíru . Z tohto masívneho prenosu energie vyplýva veľké celkové zvýšenie entropie. Malá časť tohto prenosu energie teplom je uložená v štruktúrovaných systémoch na Zemi, čo vedie k oveľa menšiemu lokálnemu poklesu entropie.

    Podpora učiteľov

    Podpora učiteľov

    [AL] Spýtajte sa študentov, čo by sa stalo, keby druhý zákon termodynamiky nebol pravdivý. Čo ak by nebol smer toku energie predvídateľný? Bol by život na Zemi schopný fungovať?

    Riešenie problémov zahŕňajúcich druhý zákon termodynamiky

    Entropia súvisí nielen s nedostupnosťou energie na prácu, je to tiež miera neporiadku. Napríklad v prípade topiaceho sa bloku ľadu sa vysoko štruktúrovaný a usporiadaný systém molekúl vody zmení na neusporiadanú kvapalinu, v ktorej molekuly nemajú pevné polohy (obrázok 12.11). Ako vidíme v nasledujúcom spracovanom príklade, pre tento proces dochádza k veľkému nárastu entropie.

    Spracovaný príklad

    Entropia spojená s poruchou

    Nájdite nárast entropie 1,00 kg ľadu, ktorý bol pôvodne pri 0 ° C 0 ° C a topí sa za vzniku vody pri 0 ° C 0 ° C.

    Stratégia

    Zmena entropie sa dá vypočítať z definície Δ S Δ S, akonáhle nájdeme energiu, Q, potrebné na rozpustenie ľadu.

    Zmena entropie je definovaná ako

    Tu, Q je teplo potrebné na roztopenie 1,00 kg ľadu a je dané

    Pretože Q je množstvo energie, ktoré teplo dodáva ľadu, jeho hodnota je pozitívna a T je teplota topenia ľadu, T = 273 K T = 273 K Takže zmena entropie je

    Zmena entropie je pozitívna, pretože teplo prenáša energiu do ľad spôsobí fázovú zmenu. Ide o výrazné zvýšenie entropie, pretože k nej dochádza pri relatívne nízkej teplote. Je sprevádzané nárastom porúch molekúl vody.

    Problémy s praxou

    1. 1,84 krát 10 ^ <3> , text
    2. 3,67 krát 10 ^ <3> , text
    3. 1,84 krát 10 ^ <8> , text
    4. 3,67 krát 10 ^ <8> , text

    Skontrolujte svoje porozumenie

    Podpora učiteľov

    Podpora učiteľov

    Pomocou týchto otázok môžete posúdiť, ako študenti dosiahli učebné ciele sekcie. Ak študenti bojujú s konkrétnym cieľom, tieto otázky pomôžu určiť, ktoré študentov nasmerujú k príslušnému obsahu.

    1. Entropia je mierou potenciálnej energie systému.
    2. Entropia je mierou čistej práce vykonanej systémom.
    3. Entropia je mierou poruchy systému.
    4. Entropia je mierou prenosu tepla do systému.

    Ktoré formy energie sa dajú použiť na prácu?

    1. Iba práca je schopná robiť prácu.
    2. Iba teplo je schopné robiť prácu.
    3. Iba vnútorná energia je schopná robiť prácu.
    4. Teplo, práca a vnútorná energia sú všetci schopní pracovať.
    1. Všetky spontánne procesy vedú k zníženiu celkovej entropie systému.
    2. Všetky spontánne procesy vedú k zvýšeniu celkovej entropie systému.
    3. Výsledkom všetkých spontánnych procesov je znížená alebo konštantná celková entropia systému.
    4. Výsledkom všetkých spontánnych procesov je zvýšená alebo konštantná celková entropia systému.

    Čo sa zvyčajne stane s entropiou celého systému pri prenose energie z vysokej na nízku teplotu?

    1. Znižuje sa.
    2. Musí zostať konštantná.
    3. Entropiu systému nemožno predpovedať bez konkrétnych hodnôt teplôt.
    4. Zvyšuje sa.

    Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

    Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution License 4.0 a musíte pripísať Texas Education Agency (TEA). Originálny materiál je dostupný na: https://www.texasgateway.org/book/tea-physics. V pôvodnom materiáli boli urobené zmeny, vrátane aktualizácií umenia, štruktúry a ďalších aktualizácií obsahu.

      Ak distribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledovné uvedenie zdroja:

    • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
      • Autori: Paul Peter Urone, Roger Hinrichs
      • Vydavateľ / web: OpenStax
      • Názov knihy: Fyzika
      • Dátum zverejnenia: 26. marca 2020
      • Miesto: Houston, Texas
      • URL knihy: https://openstax.org/books/physics/pages/1-introduction
      • URL sekcie: https://openstax.org/books/physics/pages/12-3-second-law-of-thermodynamics-entropy

      © 29. januára 2021 Texas Education Agency (TEA). Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


      Pracovný list Gemdas - Riešenie

      Zhodnoťte nasledujúci výraz

      & # xa0 = & # xa0 & # xa0 5 & ​​# xa0 5 & # xa0 - & # xa016 & # xa0 (vykonanie násobenia, 5 (5) & # xa0 = 25)

      & # xa0 = & # xa0 & # xa0 25 - & # xa0 16 (vykonať odčítanie)

      Zhodnoťte nasledujúci výraz

      = & # xa0 2 [5 & # xa0 + & # xa0(30 & # xa0 ÷ 6) ²] (Vyhodnoťte najväčšiu zátvorku)

      = & # xa0 2 [5 & # xa0 + & # xa05²] (Vyhodnoťte výkon)

      Zhodnoťte nasledujúci výraz

      = & # xa0 & # xa0 (6 + 4 ²) / (3 ² & # xa0 ⋅ 4) (vyhodnotiť právomoci)

      Zhodnoťte nasledujúci výraz

      Zhodnoťte nasledujúci výraz

      Vyhodnocovanie znakov v najväčšej vnútornej zátvorke,

      Zľava doprava máme najskôr násobenie. Musíme teda vynásobiť 4 a 17 a potom ho vydeliť 2.

      Vydelením čitateľa aj menovateľa číslom 2 dostaneme

      Po absolvovaní vyššie uvedených vecí dúfame, že študenti pochopia „pracovný list Gemdas s odpoveďami“. & # xa0

      Okrem vyššie uvedených vecí, ak sa chcete dozvedieť viac o „pracovnom hárku Gemdas s odpoveďami“, kliknite sem

      Okrem vecí uvedených v tejto časti, ak potrebujete ďalšie veci z matematiky, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

      Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

      Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

      Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


      Oregon presadzuje myšlienku, že matematika je rasistická, povzbudzuje učiteľov k demontáži nadradenosti bielej pleti

      Katedra minulý týždeň rozposlala online brožúru s kurzom s názvom & # 8220A Cesta k rovnej matematickej výučbe, ktorá obsahuje časť s názvom „Demontáž rasizmu vo výučbe matematiky“. Pamflet obsahuje materiály, ktoré sú v zásade kurzom šírenia bdelosti vo vnútri tried.

      Kurz propagovaný metódou ODE sa označuje ako „integrovaný prístup k matematike, ktorý sústreďuje študentov čiernej, latinskej a viacjazyčnej triedy v 6. až 8. ročníku, rieši prekážky matematickej rovnosti a prispôsobuje výučbu štandardom priority na úrovni ročníka.“ Kurz spochybňuje realitu, že niektoré odpovede sú jednoducho nesprávne, zatiaľ čo všeobecne spochybňuje základné princípy Ameriky a # 8217.

      Podľa študijného programu je päť & # 8220strides & # 8221, ktoré môžu pedagógom pomôcť vylúčiť z učebnice matematiku & # 8220racism & # 8221 z matematiky. V časti Demontáž rasizmu kurz žiada učiteľov, aby preskúmali svoje „činy, viery a hodnoty týkajúce sa výučby matematiky“ so zjavným cieľom zahnať ich do lekcií o politike identity.

      „Kultúra bielej nadvlády infiltruje učebne matematiky do každodenných činností učiteľov. Spolu s presvedčením, ktoré je základom týchto činov, udržiavajú školské škody na [menšinových] študentoch a bránia im v plnom prístupe do sveta matematiky, “uvádza sa v časti.

      V časti Kurz sú tiež identifikované „spôsoby, ako sa v matematických učebniach ukazuje nadradenosť bielej pleti“.

      Podľa učebných materiálov je príliš veľa zamerania na to, aby sme od študentov vyžadovali pri riešení matematických úloh „správnu“ odpoveď, spojené s bielou nadradenosťou, ako aj samostatná práca. Kurz uprednostňuje skupinovú matematickú prácu pre študentov.

      „Často sa kladie dôraz na výučbu matematiky v„ skutočnom svete “, akoby naše učebne neboli súčasťou skutočného sveta. To posilňuje predstavy buď / alebo myslenia, pretože matematika sa považuje za užitočnú, iba ak je v konkrétnom kontexte, “uvádza sa v časti venovanej demontáži rasizmu. "To však môže viesť k použitiu matematiky na podporu kapitalistických a imperialistických spôsobov bytia a chápania sveta."

      Kurz sa zameriava na „kapitalizmus“ aj „imperializmus“, pričom navrhuje, aby sa hodiny matematiky využili na rozvoj susedských skupín znevýhodnených detí.

      Materiály tiež vyzývajú učiteľov, aby sa pýtali, ako „môže matematika pomôcť pri riešení problémov ovplyvňujúcich komunity študentov“, a aby rozpoznali „spôsoby, ako sa spoločenstvá farieb zapájajú do matematiky a riešenia problémov v ich každodennom živote“.

      Kurz ďalej požiada učiteľov, aby identifikovali a „spochybnili spôsoby, ako sa matematika používa na podporu kapitalistických, imperialistických a rasistických názorov“.

      & # 8220 Koncept čisto objektívnej matematiky je jednoznačne nepravdivý a výučba je o to menej, & # 8221, uvádza sa v kurze. & # 8220 Udržiavanie myšlienky, že vždy existujú správne a nesprávne odpovede, vedie k objektivite a obavám z otvoreného konfliktu. “

      Kurz sa javí ako dobrovoľný pre učiteľov, ktorí sa chcú naučiť lepšie spôsoby propagácie marxistických ideálov. Ale je to kritická teória závodov o steroidoch² # 8211 1 776 + 1 619.

      Napríklad marxistické materiály uvádzajú: „Nemôžeme demontovať rasizmus v systéme, ktorý vykorisťuje ľudí na súkromný zisk & # 8230 Ak chceme demontovať rasizmus, potom musíme vytvoriť hnutie za ekonomickú spravodlivosť.“

      Toto je stav alebo prinajmenšom budúcnosť vzdelávacieho systému krajiny. Učitelia v mestách po celej krajine v súčasnosti zadržiavajú okresy ako rukojemníkov pomocou pandémie koronavírusov, vďaka ktorej sú školy zatvorené. Once many of those teachers finally get around to doing their jobs, some kids will likely be further underserved by lessons that are not relevant to promoting critical thinking — at least in the Beaver State.

      The course, more or less, seems to be an attack on the fundamentals of the country while using objective number-crunching as a pretext. It also infers that minorities do not have the ability to solve problems — which itself seems kind of racist.

      In Oregon, the idea that there are wrong answers to math problems is being challenged, as is the notion that minority kids are capable of competing in STEM activities without assistance.

      Apparently every lesson will be one where slackers all sit around the smart kid waiting for that person to come up with the correct answer. Weren’t those rare group opportunities fun?

      It isn’t clear, beyond the Marxist-rhetoric-serving adults, how students are supposed to actually benefit from the absurd social experiment that the course is.

      If you’re wondering where something so brazenly anti-American originated from, the lesson thanks the Bill and Melinda Gates Foundation for its “generous financial support.”


      Detailed Answer Key

      Find the simple interest on $6,900 at 16 ⅔% per year ਏor 2 years.

      Formula for simple interest is

      Plug these values in the above formula

      Hence, the interest earned is $240.

      If a sum of money is doubled in 10 years in simple interest, in how many years will it be tripled ? 

      Let P be the sum of money. 

      Dané:  P is doubled in 10 years

      Now we can calculate interest for ten years as given below 

      From the above calculation, P is the interest for the first 10 years. 

      In simple interest, interest earned will be same for every year.

      Interest earned in the next 10 years will also be P. 

      It has been explained below.

      Hence, the sum of money will be tripled in 20 years. 

      If a sum of money amounts to $ 6200 in 2 years and $ 7400 in 3 years under simple interest, then find the principal.

      From the given given information we have the following points.

      At the end of 2 years, we get $6200

      At the end of 3 years, we get $7400

      From the above two points,  we can get the interest earned in the 3rd year. 

      It has been explained below. 

      In simple interest, interest will be same for every year.

      So, we can calculate the principal as given below.

      Hence, the principal is $3800.

      If a sum of money produces $3900 as interest in 3 years and 3 months at 16% per year simple interest, find the principal.  

      Formula for simple interest is

      The value of "t" must always be in "years". But in the question, it is given in both years and months. 

      To convert months into years, we have to divide the given months by 12.

      Multiply both sides by 25/13.

      Hence, the required principal is $7500. 

      Arthur invests his inheritance of $24,000 in two different accounts which pay 6% and 5% annual interest. After one year, he received $1330 in interest. How much did he invest in each account ?  

      Let "x" be the amount invested in 6% account. 

      Then, the amount invested in 5% account is

      Dané:  Total interest earned on both the accounts is $1340.

      Interest in 6% account + Interest in 5% account  =  1330

      Subtract 1200 from both sides

      Hence, the amount invested in 6% account is $13,000 and in 5% account is $11,000.

      Mr. Garret invested twice as much money at 6% as he did at 7%. After one year, his earnings at 6% were $95 more than his earnings at 7%. Find the amount invested at each rate.   

      Let "x" be the amount invested at 7% rate. 

      Then, the amount invested in 6% rate is

      Interest earned after 1 year at 7% rate is 

      Interest earned after 1 year at 6% rate is 

      Dané: Earnings at 6% were $95 more than his earnings at 7%. 

      That is, earnings in (2) were $95 moire than the earnings in (1). 

      Hence, the amount invested at 7% rate $1900 and at 6% rate is $3800. 

      Apart from the stuff given in this section , if  you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

      Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

      Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

      Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


      Section 12.3 Answers - Mathematics

      Inscribed angles

      Before we begin, let’s state a few important theorems.

      THEOREM: If two angles inscribed in a circle intercept the same arc, then they are equal to each other.

      THEOREM: If an angle inside a circle intercepts a diameter, then the angle has a measure of (90^circ ).

      Now let’s use these theorems to find the values of some angles!

      PRÍKLAD: Find the measure of the angle indicated.

      SOLUTION: First we see that (measuredangle DNC) and (measuredangle DEC) both intercept the same arc. So, by our first theorem, we know that (measuredangle DNC = measuredangle DEC). And since (measuredangle DNC = 37^circ ), we conclude that (measuredangle DEC = 37^circ ).

      Next, since (measuredangle EDC) intercepts a diameter of the circle, we can conclude, by our second theorem, that (measuredangle EDC = 90^circ ).

      So two of the angles in triangle (EDC) are (90^circ ) and (37^circ ). Then, by using the fact that the tree angles of a triangle must sum to (180^circ ), we know that the measure of the desired angle is (53^circ ).

      PRÍKLAD: Find the measure of the indicated angle.

      SOLUTION: Since (measuredangle NBM) and (measuredangle NLM) intercept the same arc, they are equal, so that (measuredangle NLM = 52^circ ). Next, since (measuredangle NML) intersects a diameter of the circle, we know that (measuredangle NML = 90^circ ). Then since two of the angles of triangle (LMN) are (90^circ ) and (52^circ ), we know that the desired angle must be (38^circ ), by the fact that the three angles of a triangle must sum to (180^circ ). Solution: The desired angle is (38^circ ).

      Below you can Stiahnuť ▼ niektoré zadarmo math worksheets and practice.


      This question requires you to write out all the steps, even though the math itself isn't too complicated.

      You're trying to figure out the price per pound of beef (b) when it was equal to the price per pound of chicken (c). In other words, when b = c, or 2.35 + 0.25x = 1.75 + 0.40x. So you need to find the value of x in order to plug it back into the "b" equation, writes Dora Seigel of PrepScholar.

      Subtract 1.75 from each side:

      2.35(−1.75) + 0.25x = 1.75(−1.75) + 0.40x

      That leaves you with 0.6 + 0.25x = 0.40x. So subtract 0.25x from each side:

      The last step is to reduce the equation:

      Now that you know the value of x, you can put it into the equation for the price of beef:

      The correct answer is "D," $3.35.


      General Knowledge

      The Mathematics Subtest consists of approximately 40 multiple-choice questions and is 100 minutes long.

      Each of the questions will contain four response options. You will choose the best response out of the available options, and indicate A, B, C.alebo D. For the Mathematics Subtest, an on-screen 4-function calculator and a mathematics reference sheet will be provided.

      The table below presents types of questions on the exam and directs you to examples of these formats among the sample items that follow.

      Table of Question Formats

      Type of Question Sample Question
      Scenario
      Examine a situation, problem, or case study. Then answer a question, make a diagnosis, or recommend a course of action by selecting the best response option.
      Question 2
      Word Problem
      Apply mathematical principles to solve a real-world problem.
      Question 7
      Direct Question
      Choose the response option that best answers the question.
      Question 18
      Command
      Select the best response option.
      Question 19
      Graphics
      Choose the option that best answers a question involving a number line, a geometric figure, graphs of lines or curves, a table, or a chart.
      Question 34

      Sample Questions

      The following questions represent both the form and content of questions on the examination. These questions will acquaint you with the general format of the examination however, these sample questions do not cover all of the competencies and skills that are tested and will only approximate the degree of examination difficulty.


      Geometry: Answer Key

      This provides the answers and solutions for the Put Me in, Coach! exercise boxes, organized by sections.

      Taking the Burden out of Proofs

      1. Áno
      2. Theorem 8.3: If two angles are complementary to the same angle, then these two angles are congruent.

      ?A and ?B are complementary, and ?C and ?B are complementary.

      Given: ?A and ?B are complementary, and ?C and ?B are complementary.

      Proving Segment and Angle Relationships

      Given: E is between D and F

      StatementsReasons
      1.E is between D and FDané
      2.D, E, and F are collinear points, and E is on DFDefinition of between
      3.DE + EF = DFSegment Addition Postulate
      4.DE = DF ? EFSubtraction property of equality

      2. If ?BD divides ?ABC into two angles, ?ABD and ?DBC, then m?ABC = m?ABC - m?DBC.

      ?BD divides ?ABC into two angles, ?ABD and ?DBC.

      Given: ?BD divides ?ABC into two angles, ?ABD and ?DBC

      StatementsReasons
      1.?BD divides ?ABC into two angles, ?ABD and ?DBCDané
      2.m?ABD + m?DBC = m?ABCAngle Addition Postulate
      3.m?ABD = m?ABC - m?DBCSubtraction property of equality

      3. The angle bisector of an angle is unique.

      ?ABC with two angle bisectors: ?BD and ?BE.

      Given: ?ABC with two angle bisectors: ?BD and ?BE.

      4. The supplement of a right angle is a right angle.

      ?A and ?B are supplementary angles, and ?A is a right angle.

      Given: ?A and ?B are supplementary angles, and ?A is a right angle.

      StatementsReasons
      1.?A and ?B are supplementary angles, and ?A is a right angleDané
      2.m?A + m?B = 180Definition of supplementary angles
      3.m?A = 90Definition of right angle
      4.90 + m?B = 180Substitution (steps 2 and 3)
      5.m?B = 90Algebra
      6.?B is a right angleDefinition of right angle

      Proving Relationships Between Lines

      1. m?6 = 105 , m?8 = 75
      2. Theorem 10.3: If two parallel lines are cut by a transversal, then the alternate exterior angles are congruent.

      l ? ? m cut by a transversal t.

      Given: l ? ? m cut by a transversal t.

      3. Theorem 10.5: If two parallel lines are cut by a transversal, then the exterior angles on the same side of the transversal are supplementary angles.

      l ? ? m cut by a transversal t.

      Given: l ? ? m cut by a transversal t.

      Prove: ?1 and ?3 are supplementary.

      Interested in 3D Printing?

      We?ve researched the top things you should consider when purchasing a 3Dprinter, and have chosen the best printers of 2020 based on your needs.

      4. Theorem 10.9: If two lines are cut by a transversal so that the alternate exterior angles are congruent, then these lines are parallel.

      Lines l and m are cut by a transversal t.

      Given: Lines l and m are cut by a transversal t, with ?1

      5. Theorem 10.11: If two lines are cut by a transversal so that the exterior angles on the same side of the transversal are supplementary, then these lines are parallel.

      Lines l and m are cut by a t transversal t.

      Given: Lines l and m are cut by a transversal t, ?1 and ?3 are supplementary angles.

      Two's Company. Three's a Triangle

      Given: ?ABC is a right triangle, and ?B is a right angle.

      Prove: ?A and ?C are complementary angles.

      StatementReasons
      1.?ABC is a right triangle, and ?B is a right angleDané
      2.m?B = 90Definition of right angle
      3.m?A + m?B + m?C = 180Theorem 11.1
      4.m?A + 90 + m?C = 180Substitution (steps 2 and 3)
      5.m?A + m?C = 90Algebra
      6.?A and ?C are complementary anglesDefinition of complementary angles

      3. Theorem 11.3: The measure of an exterior angle of a triangle equals the sum of the measures of the two nonadjacent interior angles.

      ?ABC with exterior angle ?BCD.

      StatementReasons
      1.?ABC with exterior angle ?BCDDané
      2.?DCA is a straight angle, and m?DCA = 180Definition of straight angle
      3.m?BCA + m?BCD = m?DCAAngle Addition Postulate
      4.m?BCA + m?BCD = 180Substitution (steps 2 and 3)
      5.m?BAC + m?ABC + m?BCA = 180Theorem 11.1
      6.m?BAC + m?ABC + m?BCA = m?BCA + m?BCDSubstitution (steps 4 and 5)
      7.m?BAC + m?ABC = m?BCDSubtraction property of equality

      6. No, a triangle with these side lengths would violate the triangle inequality.

      Congruent Triangles

      Symmetric property: If ?ABC

      Transitive property: If ?ABC

      = ?DCB as shown in Figure 12.5, then ?ACB

      = ?DCB, as shown in Figure 12.8, then ?ACB

      = ?CDB, as shown in Figure 12.10, then ?ACB

      = CD, as shown in Figure 12.12, then ?ACB

      = ?R and M is the midpoint of PR, as shown in Figure 12.17, then ?N

      Smiliar Triangles

      Opening Doors with Similar Triangles

      1. If a line is parallel to one side of a triangle and passes through the midpoint of a second side, then it will pass through the midpoint of the third side.

      DE ? ? AC and D is the midpoint of AB.

      Given: DE ? ? AC and D is the midpoint of AB.

      Prove: E is the midpoint of BC.

      2. AC = 4?3 , AB = 8? , RS = 16, RT = 8?3

      Putting Quadrilaterals in the Forefront

      Trapezoid ABCD with its XB CY four altitudes shown.

      3. Theorem 15.5: In a kite, one pair of opposite angles is congruent.

      4. Theorem 15.6: The diagonals of a kite are perpendicular, and the diagonal opposite the congruent angles bisects the other diagonal.


      Pozri si video: MATEMATIKA 2. ročník (December 2021).