Články

7.6: Metóda Frobenia I. - matematika


Oddiely 7.5-7.7 sa zaoberajú tromi rôznymi prípadmi, ktoré vyhovujú predpokladom uvedeným v oddiele 7.4. Vo všetkých troch prípadoch má (A) najmenej jedno riešenie formulára

[y_1 = x ^ r sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n, nonumber ]

kde (r ) nemusí byť celé číslo. Problém je v tom, že existujú tri možnosti - každá si vyžaduje iný prístup - pre formu druhého riešenia (y_2 ), takže ( {y_1, y_2 } ) je základnou dvojicou riešení riešenia (A) .

V tejto časti začneme študovať sériové riešenia homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice druhého rádu s pravidelným singulárnym bodom v (x_0 = 0 ), takže ju môžeme zapísať ako

[ label {eq: 7.5.1} x ^ 2A (x) y '+ xB (x) y' + C (x) y = 0, ]

kde (A ), (B ), (C ) sú polynómy a (A (0) ne0 ).

Uvidíme, že rovnica ref {eq: 7.5.1} má vždy aspoň jedno riešenie formulára

[y = x ^ r sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n nonumber ]

kde (a_0 ne0 ) a (r ) je vhodne zvolené číslo. Metóda, ktorú použijeme pri hľadaní riešení tejto formy a ďalších foriem, s ktorými sa v nasledujúcich dvoch častiach stretneme metóda Frobeniusa my im zavoláme Riešenia Frobenius.

Je možné ukázať, že výkonový rad ( sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) vo Frobeniovom riešení Rovnice ref {eq: 7.5.1} konverguje na nejaký otvorený interval ((- rho, rho) ), kde (0 < rho le infty ). Pretože (x ^ r ) môže byť komplexné pre záporné (x ) alebo nedefinované, ak (x = 0 ), zvážime riešenia definované pre kladné hodnoty (x ). Ľahké úpravy našich výsledkov poskytujú riešenia definované pre záporné hodnoty (x ). (Cvičenie 7.5.54).

Obmedzíme svoju pozornosť na prípad, keď (A ), (B ) a (C ) sú polynómy stupňa nie väčšieho ako dva, takže Rovnica ref {eq: 7.5.1} sa stane

[ label {eq: 7.5.2} x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2) y '' + x ( beta_0 + beta_1x + beta_2x ^ 2) y '+ ( gamma_0 + gamma_1x + gamma_2x ^ 2) y = 0, ]

kde ( alpha_i ), ( beta_i ) a ( gamma_i ) sú skutočné konštanty a ( alpha_0 ne0 ). Väčšina rovníc, ktoré vznikajú v aplikáciách, sa dá napísať týmto spôsobom. Niektoré príklady sú

[ alpha x ^ 2y '+ + beta xy' + gamma y = 0 quad text {(Eulerova rovnica)} nonumber ]

[x ^ 2y '+ xy' + (x ^ 2- nu ^ 2) y = 0 quad text {(Besselova rovnica)} nonumber ]

a

[xy '+ + (1-x) y' + lambda y = 0 nonumber ]

kde by sme poslednú rovnicu vynásobili (x ), aby sme ju dostali do tvaru Rovnica ref {eq: 7.5.2}. Metódu Frobenia však možno rozšíriť na prípad, keď (A ), (B ) a (C ) sú funkcie, ktoré môžu byť reprezentované mocninovými radmi v (x ) v nejakom intervale, ktorý obsahuje nulu a (A_0 (0) ne0 ) (Cvičenia 7.5.57 a 7.5.58).

Nasledujúce dve vety nám umožnia vyvinúť systematické metódy na hľadanie Frobeniových riešení Rovnice ref {eq: 7.5.2}.

Veta ( PageIndex {1} )

Poďme

[Ly = x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2) y "+ x ( beta_0 + beta_1x + beta_2x ^ 2) y" + ( gamma_0 + gamma_1x + gamma_2x ^ 2) y, nečíslo ]

a definovať

[ begin {aligned} p_0 (r) & = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0, [4pt] p_1 (r) & = alpha_1r (r-1) + beta_1r + gamma_1, [4pt] p_2 (r) & = alpha_2r (r-1) + beta_2r + gamma_2. koniec {zarovnané} nonumber ]

Predpokladajme sériu

[ label {eq: 7.5.3} y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ {n + r} ]

konverguje na ((0, rho) ). Potom

[ label {eq: 7.5.4} Ly = sum_ {n = 0} ^ infty b_nx ^ {n + r} ]

na ((0, rho), ) kde

[b_ {0} = p_ {0} (r) a_ {0} nonumber ]

[ label {eq: 7.5.5} b_ {1} = p_ {0} (r + 1) a_ {1} + p_ {1} (r) a_ {0} ]

[b_n = p_0 (n + r) a_n + p_1 (n + r-1) a_ {n-1} + p_2 (n + r-2) a_ {n-2}, quad n ge2 nonumber ]

Dôkaz

Začneme tým, že ak (y ) je dané rovnicou ref {eq: 7.5.3} a ( alpha ), ( beta ) a ( gamma ) sú konštanty, potom

[ label {eq: 7.5.6} alpha x ^ 2y '+ + beta xy' + gamma y = sum_ {n = 0} ^ infty p (n + r) a_nx ^ {n + r }, ]

kde

[p (r) = alfa r (r-1) + beta r + gama. nonumber ]

Dvojnásobné rozlíšenie výnosov

[ label {eq: 7.5.7} y '= sum_ {n = 0} ^ infty (n + r) a_nx ^ {n + r-1} ]

a

[ label {eq: 7.5.8} y '' = sum_ {n = 0} ^ infty (n + r) (n + r-1) a_nx ^ {n + r-2}. ]

Násobenie rovnice ref {eq: 7.5.7} (x ) a rovnice ref {eq: 7.5.8} (x ^ 2 )

[xy '= sum_ {n = 0} ^ infty (n + r) a_nx ^ {n + r} nonumber ]

a

[x ^ 2y '' = sum_ {n = 0} ^ infty (n + r) (n + r-1) a_nx ^ {n + r}. nonumber ]

Preto

[ begin {aligned} alpha x ^ 2y '' + beta xy '+ gamma y & = sum_ {n = 0} ^ infty left [ alpha (n + r) (n + r- 1) + beta (n + r) + gamma doprava] a_n x ^ {n + r} [4pt] & = sum_ {n = 0} ^ infty p (n + r) a_nx ^ { n + r}, end {zarovnané} nonumber ]

čo dokazuje Rovnica ref {ekv: 7.5.6}.

Vynásobením rovnice ref {eq: 7.5.6} výťažkami (x )

[ label {eq: 7.5.9} x ( alpha x ^ 2y '+ beta xy' + gamma y) = sum_ {n = 0} ^ infty p (n + r) a_nx ^ { n + r + 1} = sum_ {n = 1} ^ infty p (n + r-1) a_ {n-1} x ^ {n + r}. ]

Vynásobenie rovnice ref {eq: 7.5.6} výťažkom (x ^ 2 )

[ label {eq: 7.5.10} x ^ 2 ( alpha x ^ 2y '' + beta xy '+ gamma y) = sum_ {n = 0} ^ infty p (n + r) a_nx ^ {n + r + 2} = sum_ {n = 2} ^ infty p (n + r-2) a_ {n-2} x ^ {n + r}. ]

Ak chcete použiť tieto výsledky, prepisujeme

[Ly = x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2) y "+ x ( beta_0 + beta_1x + beta_2x ^ 2) y" + ( gamma_0 + gamma_1x + gamma_2x ^ 2) y nečíslo ]

ako

[ label {eq: 7.5.11} begin {array} {ccl} Ly & = left ( alpha_0x ^ 2y '' + beta_0xy '+ gamma_0y right) + x left ( alpha_1x ^ 2y' '+ beta_1xy' + gamma_1y right) & + x ^ 2 left ( alpha_2x ^ 2y '' + beta_2xy '+ gamma_2y right). end {pole} ]

Z rovnice ref {eq: 7.5.6} s (p = p_0 ),

[ alpha_0x ^ 2y '' + beta_0xy '+ gamma_0y = sum_ {n = 0} ^ infty p_0 (n + r) a_nx ^ {n + r}. nonumber ]

Z rovnice ref {eq: 7.5.9} s (p = p_1 ),

[x left ( alpha_1x ^ 2y '+ + beta_1xy' + gamma_1y right) = sum_ {n = 1} ^ infty p_1 (n + r-1) a_ {n-1} x ^ { n + r}. nonumber ]

Z rovnice ref {eq: 7.5.10} s (p = p_2 ),

[x ^ 2 vľavo ( alpha_2x ^ 2y '' + beta_2xy '+ gamma_2y vpravo) = sum_ {n = 2} ^ infty p_2 (n + r-2) a_ {n-2} x ^ {n + r}. nonumber ]

Preto môžeme rovnicu ref {eq: 7.5.11} prepísať na

[ begin {aligned} Ly = sum_ {n = 0} ^ infty p_0 (n + r) a_nx ^ {n + r} + sum_ {n = 1} ^ infty p_1 (n + r-1 ) a_ {n-1} x ^ {n + r} [4pt] + sum_ {n = 2} ^ infty p_2 (n + r-2) a_ {n-2} x ^ {n + r }, end {zarovnané} nonumber ]

alebo

[ begin {aligned} Ly & = p_0 (r) a_0x ^ r + left [p_0 (r + 1) a_1 + p_1 (r) a_2 right] x ^ {r + 1} & + sum_ {n = 2} ^ infty left [p_0 (n + r) a_n + p_1 (n + r-1) a_ {n-1} + p_2 (n + r-2) a_ {n-2} right] x ^ {n + r}, end {zarovnané} nonumber ]

z čoho vyplýva Rovnica ref {eq: 7.5.4} s ( {b_n } ) definované ako v Rovnici ref {eq: 7.5.5}.

Veta ( PageIndex {2} )

Poďme

[Ly = x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2) y "+ x ( beta_0 + beta_1x + beta_2x ^ 2) y" + ( gamma_0 + gamma_1x + gamma_2x ^ 2) y, nečíslo ]

kde ( alpha_0 ne0, ) a definovať

[ begin {aligned} p_0 (r) & = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0, [4pt] p_1 (r) & = alpha_1r (r-1) + beta_1r + gamma_1, [4pt] p_2 (r) & = alpha_2r (r-1) + beta_2r + gamma_2. koniec {zarovnané} nonumber ]

Predpokladajme, že (r ) je reálne číslo také, že (p_0 (n + r) ) je nenulové pre všetky kladné celé čísla (n. )

[ label {eq: 7.5.12} begin {array} {ccl} a_0 (r) & = 1, a_1 (r) & = - {p_1 (r) over p_0 (r + 1)} , [4pt] a_n (r) & = - {p_1 (n + r-1) a_ {n-1} (r) + p_2 (n + r-2) a_ {n-2} (r) nad p_0 (n + r)}, quad n ge2. end {pole} ]

Potom séria Frobenius

[ label {eq: 7.5.13} y (x, r) = x ^ r sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r) x ^ n ]

zbližuje a uspokojuje

[ label {eq: 7.5.14} Ly (x, r) = p_0 (r) x ^ r ]

na intervale ((0, rho), ) kde ( rho ) je vzdialenosť od začiatku po najbližšiu nulu (A (x) = alpha_0 + alpha_1 x + alpha_2 x ^ 2 ) v komplexnej rovine (ak (A ) je konštantné, potom ( rho = infty ).)

Ak je ( {a_n (r) } ) určené rekurentným vzťahom Rovnica ref {eq: 7.5.12}, potom do rovnice ref {eq: 7.5 dosadíme (a_n = a_n (r) ). 5} prinesie (b_0 = p_0 (r) ) a (b_n = 0 ) pre (n ge1 ), takže rovnica ref {eq: 7.5.4} sa zníži na rovnicu ref {eq: 7.5 .14}. Vynecháme dôkaz, že rad Rovnica ref {eq: 7.5.13} konverguje na ((0, rho) ).

Ak ( alpha_i = beta_i = gamma_i = 0 ) pre (i = 1 ), (2, ) potom (Ly = 0 ) redukuje na Eulerovu rovnicu

[ alpha_0x ^ 2y '' + beta_0xy '+ gamma_0y = 0. nonumber ]

Veta 7.4.3 ukazuje, že riešenia tejto rovnice sú určené nulami indiciálneho polynómu

[p_0 (r) = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0. nonumber ]

Pretože rovnica ref {eq: 7.5.14} znamená, že to platí aj pre riešenia (Ly = 0 ), povieme tiež, že (p_0 ) je indiciálny polynóm rovnice ref {eq: 7.5.2}, a (p_0 (r) = 0 ) je indiciálna rovnica z (Ly = 0 ). Budeme brať do úvahy iba prípady, keď indická rovnica má skutočné korene (r_1 ) a (r_2 ), s (r_1 ge r_2 ).

Veta ( PageIndex {3} )

Nech (L ) a ( {a_n (r) } ) sú rovnaké ako vo vete ( PageIndex {2} ) a predpokladajme indiciálnu rovnicu (p_0 (r) = 0 ) z (Ly = 0 ) má skutočné korene (r_1 ) a (r_2, ) kde (r_1 ge r_2. ) Potom

[y_1 (x) = y (x, r_1) = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_1) x ^ n nonumber ]

je Frobeniove riešenie (Ly = 0 ). Navyše (, ) ak (r_1-r_2 ) nie je celé číslo

[y_2 (x) = y (x, r_2) = x ^ {r_2} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_2) x ^ n nonumber ]

je tiež Frobeniove riešenie (Ly = 0, ) a ( {y_1, y_2 } ) je základná sada riešení.

Dôkaz

Pretože (r_1 ) a (r_2 ) sú koreňmi (p_0 (r) = 0 ), indiciálny polynóm možno považovať za

[ label {eq: 7.5.15} p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2). ]

Preto

[p_0 (n + r_1) = n alpha_0 (n + r_1-r_2), nonumber ]

ktorá je nenulová, ak (n> 0 ), od (r_1-r_2 ge0 ). Preto predpoklady vety ((PageIndex {2}) držte s (r = r_1 ) a rovnica ref {eq: 7.5.14} znamená, že (Ly_1 = p_0 (r_1) x ^ {r_1}) = 0 ).

Teraz predpokladajme, že (r_1-r_2 ) nie je celé číslo. Z rovnice ref {eq: 7.5.15},

[p_0 (n + r_2) = n alpha_0 (n-r_1 + r_2) ne0 quad text {if} quad n = 1,2, cdots. nonumber ]

Preto predpoklady vety ((PageIndex {2}) sú držané s (r = r_2 ) a z rovnice ref {eq: 7.5.14} vyplýva, že (Ly_2 = p_0 (r_2) x ^ {r_2 } = 0 ). Ponechávame dôkaz, že ( {y_1, y_2 } ) je základná sada riešení ako Cvičenie 7.5.52.

Nie je vždy možné získať explicitné vzorce pre koeficienty v riešeniach Frobenius. Vzťahy opakovania však môžeme kedykoľvek nastaviť a pomocou nich vypočítať toľko koeficientov, koľko chceme. Nasledujúci príklad to ilustruje.

Príklad ( PageIndex {1} )

Nájdite základnú sadu riešení Frobenius z

[ label {eq: 7.5.16} 2x ^ 2 (1 + x + x ^ 2) y '+ x (9 + 11x + 11x ^ 2) y' + (6 + 10x + 7x ^ 2) y = 0.]

Vypočítajte iba prvých šesť koeficientov (a_0 ), ..., (a_5 ) v každom riešení.

Riešenie

Pre danú rovnicu sú polynómy definované v vety ( PageIndex {2} )

[ begin {array} {ccccc} p_0 (r) & = 2r (r-1) + 9r + 6 & = (2r + 3) (r + 2), [4pt] p_1 (r) & = 2r (r-1) + 11r + 10 & = (2r + 5) (r + 2), [5pt] p_2 (r) & = 2r (r-1) + 11r + 7 & = (2r + 7) (r +1). end {pole} nonumber ]

Nuly indiciálneho polynómu (p_0 ) sú (r_1 = -3 / 2 ) a (r_2 = -2 ), takže (r_1-r_2 = 1/2). Preto to veta ( PageIndex {3} ) naznačuje

[ label {eq: 7.5.17} y_1 = x ^ {- 3/2} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (-3/2) x ^ n quad mbox {a} quad y_2 = x ^ {- 2} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (-2) x ^ n ]

tvoria základnú sadu Frobeniových riešení Rovnice ref {ekv: 7.5.16}. Na vyhľadanie koeficientov v týchto sériách používame vzťah rekurencie vety ( PageIndex {2} ); teda

[ begin {aligned} a_0 (r) & = 1, a_1 (r) & = - {p_1 (r) over p_0 (r + 1)} = - {(2r + 5) (r + 2 ) over (2r + 5) (r + 3)} = - {r + 2 over r + 3}, [4pt] a_n (r) & = - {p_1 (n + r-1) a_ { n-1} + p_2 (n + r-2) a_ {n-2} nad p_0 (n + r)} [4pt] & = - {(n + r + 1) (2n + 2r + 3 ) a_ {n-1} (r) + (n + r-1) (2n + 2r + 3) a_ {n-2} (r) over (n + r + 2) (2n + 2r + 3) } [4pt] & = - {(n + r + 1) a_ {n-1} (r) + (n + r-1) a_ {n-2} (r) nad n + r + 2 }, quad n ge2. end {zarovnané} nonumber ]

Nastavením (r = -3 / 2 ) v týchto rovniciach sa získajú výnosy

[ label {eq: 7.5.18} begin {array} {lll} a_0 (-3/2) & = 1, a_1 (-3/2) & = - 1/3, a_n ( -3/2) & = - {(2n-1) a_ {n-1} (- 3/2) + (2n-5) a_ {n-2} (- 3/2) over2n + 1}, quad n ge2, end {pole} ]

a nastavenie (r = -2 ) výnosov

[ label {eq: 7.5.19} begin {array} {lll} a_0 (-2) & = 1, a_1 (-2) & = 0, a_n (-2) & = - { (n-1) a_ {n-1} (- 2) + (n-3) a_ {n-2} (- 2) n,} quad n ge2. end {pole} ]

Výpočet pomocou rovnice ref {eq: 7.5.18} a rovnice ref {eq: 7.5.19} a dosadením výsledkov do rovnice ref {eq: 7.5.17} sa získa základná sada riešení Frobenius

[ begin {aligned} y_1 & = x ^ {- 3/2} vľavo (1- {1 over3} x + {2 over5} x ^ 2- {5 over21} x ^ 3 + {7 over135 } x ^ 4 + {76 over1155} x ^ 5 + cdots right), [4pt] y_2 & = x ^ {- 2} doľava (1+ {1 over2} x ^ 2- {1 over3} x ^ 3 + {1 over8} x ^ 4 + {1 over30} x ^ 5 + cdots right). end {zarovnané} nonumber ]

Špeciálne prípady s dvojakými opakovanými vzťahmi

Pre (n ge2 ), vzťah opakovania Rovnica ref {eq: 7.5.12} vety ( PageIndex {2} ) zahŕňa tri koeficienty (a_n (r) ), (a_ { n-1} (r) ) a (a_ {n-2} (r) ). Teraz zvážime niektoré špeciálne prípady, keď sa rovnica ref {eq: 7.5.12} zníži na dvojčlenný vzťah opakovania; to znamená vzťah zahŕňajúci iba (a_n (r) ) a (a_ {n-1} (r) ) alebo iba (a_n (r) ) a (a_ {n-2} (r ) ). Toto zjednodušenie často umožňuje získať explicitné vzorce pre koeficienty riešení Frobenius.

Najprv zvážime rovnice tvaru

[x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_1x) y "+ x ( beta_0 + beta_1x) y" + ( gamma_0 + gamma_1x) y = 0 nonumber ]

s ( alpha_0 ne0 ). Pre túto rovnicu ( alpha_2 = beta_2 = gamma_2 = 0 ), takže (p_2 equiv0 ) a vzťahy opakovania vo Vete ( PageIndex {2} ) sa zjednodušia na

[ label {eq: 7.5.20} begin {pole} {lll} a_0 (r) & = 1, a_n (r) & = - {p_1 (n + r-1) nad p_0 (n + r)} a_ {n-1} (r), quad n ge1. end {pole} ]

Príklad ( PageIndex {2} )

Nájdite základnú sadu riešení Frobenius z

[ label {eq: 7.5.21} x ^ 2 (3 + x) y '' + 5x (1 + x) y '- (1-4x) y = 0. ]

Uveďte explicitné vzorce pre koeficienty v riešeniach.

Riešenie

Pre túto rovnicu sú polynómy definované v vety ( PageIndex {2} )

[ begin {array} {ccccc} p_0 (r) & = 3r (r-1) + 5r-1 & = (3r-1) (r + 1), [4pt] p_1 (r) & = r (r-1) + 5r + 4 & = (r + 2) ^ 2, [4pt] p_2 (r) & = 0. end {pole} nonumber ]

Nuly indiciálneho polynómu (p_0 ) sú (r_1 = 1/3 ) a (r_2 = -1 ), teda (r_1-r_2 = 4/3 ). Preto to veta ( PageIndex {3} ) naznačuje

[y_1 = x ^ {1/3} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (1/3) x ^ n quad mbox {a} quad y_2 = x ^ {- 1} sum_ { n = 0} ^ infty a_n (-1) x ^ n nonumber ]

tvoria základnú sadu Frobeniových riešení Rovnice ref {ekv: 7.5.21}. Na nájdenie koeficientov v týchto sériách používame rekurentný vzťah Rovnica ref {eq: 7.5.20}; teda

[ label {eq: 7.5.22} begin {pole} {lll} a_0 (r) & = 1, a_n (r) & = - {p_1 (n + r-1) nad p_0 (n + r)} a_ {n-1} (r) [4pt] & = - {(n + r + 1) ^ 2 over (3n + 3r-1) (n + r + 1)} a_ { n-1} (r) [4pt] & = - {n + r + 1 over3n + 3r-1} a_ {n-1} (r), quad n ge1. end {pole} ]

Nastavenie (r = 1/3 ) vo výťažku Rovnica ref {ekvivalent: 7.5.22}

[ begin {aligned} a_0 (1/3) & = 1, a_n (1/3) & = - {3n + 4 over9n} a_ {n-1} (1/3), quad n ge1. end {zarovnané} nonumber ]

Použitím označenia produktu uvedeného v časti 7.2 a postupu, ktorý je uvedený v príkladoch v tejto časti, sa získa produkt

[a_n (1/3) = {(- 1) ^ n prod_ {j = 1} ^ n (3j + 4) over9 ^ nn!}, quad n ge0. nonumber ]

Preto

[y_1 = x ^ {1/3} sum_ {n = 0} ^ infty {(- 1) ^ n prod_ {j = 1} ^ n (3j + 4) over9 ^ nn!} x ^ n nečíslo ]

je Frobeniusovo riešenie rovnice ref {eq: 7.5.21}.

Nastavenie (r = -1 ) vo výťažku Rovnica ref {ekv.: 7.5.22}

[ begin {aligned} a_0 (-1) & = 1, a_n (-1) & = - {n over3n-4} a_ {n-1} (- 1), quad n ge1, end {zarovnané} nonumber ]

tak

[a_n (-1) = {(- 1) ^ nn! over prod_ {j = 1} ^ n (3j-4)}. nonumber ]

Preto

[y_2 = x ^ {- 1} sum_ {n = 0} ^ infty {(- 1) ^ nn! over prod_ {j = 1} ^ n (3j-4)} x ^ n nonumber ]

je Frobeniusovo riešenie rovnice ref {eq: 7.5.21} a ( {y_1, y_2 } ) je základná sada riešení.

Teraz uvažujeme rovnice tvaru

[ label {eq: 7.5.23} x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_2x ^ 2) y '' + x ( beta_0 + beta_2x ^ 2) y '+ ( gamma_0 + gamma_2x ^ 2) y = 0 ]

s ( alpha_0 ne0 ). Pre túto rovnicu ( alpha_1 = beta_1 = gamma_1 = 0 ), takže (p_1 equiv0 ) a vzťahy opakovania vo Vete ( PageIndex {2} ) sa zjednodušia na

[ begin {aligned} a_0 (r) & = 1, a_1 (r) & = 0, [4pt] a_n (r) & = - {p_2 (n + r-2) over p_0 ( n + r)} a_ {n-2} (r), quad n ge2. end {zarovnané} nonumber ]

Pretože (a_1 (r) = 0 ), posledná rovnica znamená, že (a_n (r) = 0 ) ak (n ) je nepárne, takže Frobeniove riešenia majú tvar

[y (x, r) = x ^ r sum_ {m = 0} ^ infty a_ {2m} (r) x ^ {2m}, nonumber ]

kde

[ label {eq: 7.5.24} begin {array} {lll} a_0 (r) & = 1, a_ {2m} (r) & = - {p_2 (2m + r-2) nad p_0 (2m + r)} a_ {2m-2} (r), quad m ge1. end {pole} ]

Príklad ( PageIndex {3} )

Nájdite základnú sadu riešení Frobenius z

[ label {eq: 7.5.25} x ^ 2 (2-x ^ 2) y '- x (3 + 4x ^ 2) y' + (2-2x ^ 2) y = 0. ]

Uveďte explicitné vzorce pre koeficienty v riešeniach.

Riešenie

Pre túto rovnicu sú polynómy definované v vety ( PageIndex {2} )

[ begin {array} {ccccc} p_0 (r) & = 2r (r-1) -3r + 2 & = (r-2) (2r-1), [4pt] p_1 (r) & = 0 [4pt] p_2 (r) & = - doľava [r (r-1) + 4r + 2 doprava] & = - (r + 1) (r + 2). end {pole} nonumber ]

Nuly indiciálneho polynómu (p_0 ) sú (r_1 = 2 ) a (r_2 = 1/2), takže (r_1-r_2 = 3/2). Preto to veta ( PageIndex {3} ) naznačuje

[y_1 = x ^ 2 sum_ {m = 0} ^ infty a_ {2m} (1/3) x ^ {2m} quad mbox {a} quad y_2 = x ^ {1/2} suma_ {m = 0} ^ infty a_ {2m} (1/2) x ^ {2m} nonumber ]

tvoria základnú sadu Frobeniových riešení Rovnice ref {ekv.: 7.5.25}. Na nájdenie koeficientov v týchto radoch používame rekurentný vzťah Rovnica ref {eq: 7.5.24}; teda

[ label {eq: 7.5.26} begin {array} {lll} a_0 (r) & = 1, a_ {2m} (r) & = - {p_2 (2m + r-2) nad p_0 (2m + r)} a_ {2m-2} (r) [4pt] & = {(2m + r) (2m + r-1) nad (2m + r-2) (4m + 2r- 1)} a_ {2m-2} (r), quad m ge1. end {pole} ]

Nastavením (r = 2 ) na rovnicu ref {ekv: 7.5.26} sa dosiahnu výťažky

[ begin {aligned} a_0 (2) & = 1, a_ {2m} (2) & = {(m + 1) (2m + 1) nad m (4m + 3)} a_ {2m- 2} (2), quad m ge1, end {zarovnané} nonumber ]

tak

[a_ {2m} (2) = (m + 1) prod_ {j = 1} ^ m {2j + 1 over4j + 3}. nonumber ]

Preto

[y_1 = x ^ 2 sum_ {m = 0} ^ infty (m + 1) vľavo ( prod_ {j = 1} ^ m {2j + 1 over4j + 3} vpravo) x ^ {2m } nečíslo ]

je Frobeniusovo riešenie rovnice ref {eq: 7.5.25}.

Nastavenie (r = 1/2 ) vo výťažku Equation ref {eq: 7.5.26}

[ begin {aligned} a_0 (1/2) & = 1, a_ {2m} (1/2) & = {(4m-1) (4m + 1) over8m (4m-3)} a_ {2m-2} (1/2), quad m ge1, end {zarovnané} nonumber ]

tak

[a_ {2m} (1/2) = {1 nad8 ^ mm!} prod_ {j = 1} ^ m {(4j-1) (4j + 1) over4j-3}. nonumber ]

Preto

[y_2 = x ^ {1/2} sum_ {m = 0} ^ infty {1 over8 ^ mm!} left ( prod_ {j = 1} ^ m {(4j-1) (4j + 1) over4j-3} vpravo) x ^ {2m} nonumber ]

je Frobeniusovo riešenie rovnice ref {eq: 7.5.25} a ( {y_1, y_2 } ) je základná sada riešení.

Poznámka

Zatiaľ sme brali do úvahy iba prípad, keď inditálna rovnica má skutočné korene, ktoré sa nelíšia o celé číslo, čo nám umožňuje aplikovať Vetu ( PageIndex {3} ). Avšak pre rovnice tvaru Rovnica ref {eq: 7.5.23} je definovaná postupnosť ( {a_ {2m} (r) } ) v Rovnici ref {eq: 7.5.24} pre (r = r_ {2} ) ak (r_ {1} - r_ {2} ) nie je párne celé číslo. Môže sa to ukázať Cvičenie 7.5.56 že v tomto prípade

[y_ {1} = x ^ {r_ {1}} sum_ {m = 0} ^ { infty} a_ {2m} (r_ {1}) x ^ {2m} quad text {a} štvorkolka y_ {2} = x ^ {r_ {2}} sum_ {m = 0} ^ { infty} a_ {2m} (r_ {2}) x ^ {2m} nonumber ]

tvoria základnú sadu Frobeniových riešení Rovnice ref {ekv.: 7.5.23}.

Používanie technológie

Ako sme už povedali na konci časti 7.2, ak máte záujem skutočne používať série na výpočet numerických aproximácií riešení diferenciálnej rovnice, potom je v podstate irelevantné, či existuje jednoduchá uzavretá forma koeficientov; rekurzívny výpočet je zvyčajne efektívnejší. Pretože je to tiež namáhavé, odporúčame vám písať krátke programy na implementáciu vzťahov opakovania na kalkulačke alebo počítači, a to aj v cvičeniach, kde to nie je výslovne požadované.

Pri praktickom použití metódy Frobenius, keď (x_0 = 0 ) je pravidelný singulárny bod, nás zaujíma, ako dobre fungujú funkcie

[y_N (x, r_i) = x ^ {r_i} sum_ {n = 0} ^ N a_n (r_i) x ^ n, quad i = 1,2, nonumber ]

približné riešenie danej rovnice, keď (r_i ) je nula indiciálneho polynómu. Pri riešení zodpovedajúcej úlohy pre prípad, keď (x_0 = 0 ) je obyčajný bod, sme pomocou numerickej integrácie vyriešili diferenciálnu rovnicu podliehajúcu počiatočným podmienkam (y (0) = a_0, quad y '(0 ) = a_1 ) a porovnal výsledok s hodnotami Taylorovho polynómu

[T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ Na_nx ^ n. nonumber ]

Tu to nemôžeme urobiť, pretože vo všeobecnosti nemôžeme predpísať ľubovoľné počiatočné hodnoty pre riešenia diferenciálnej rovnice v singulárnom bode. Preto motivovaní teorémom ( PageIndex {2} ) (konkrétne rovnica ref {eq: 7.5.14}) navrhujeme nasledujúci postup.

Postup overovania

Nech (L ) a (Y_ {n} (x; r_ {i}) ) sú definované

[L_ {y} = x ^ {2} ( alpha _ {0} + alpha _ {1} x + alpha _ {2} x ^ {2}) y '' + x ( beta _ { 0} + beta_ {1} x + beta _ {2} x ^ {2}) y '+ ( gamma _ {0} + gamma _ {1} x + gamma _ {2} x ^ {2 }) y nečíslo ]

a

[y_ {N} (x; r_ {i}) = x ^ {r_ {i}} sum_ {n = 0} ^ {N} a_ {n} (r_ {i}) x ^ {n} nečíslo ]

kde sa koeficienty ( {a_ {n} (r_ {i}) } _ {n = 0} ^ {N} ) počítajú ako v rovnici ref {eq: 7.5.12}, Veta ( PageIndex {2} ). Vypočítajte chybu

[ label {eq: 7.5.27} E_ {N} (x; r_ {i}) = x ^ {- r_ {i}} L_ {yN} (x; r_ {i}) / alpha _ { 0} ]

pre rôzne hodnoty (N ) a rôzne hodnoty (x ) v intervale ((0, rho) ) s ( rho ), ako je definované vo Vete ( PageIndex {2} )

Násobiteľ (x ^ {- r_i} / alpha_0 ) napravo od rovnice ref {eq: 7.5.27} eliminuje účinky malých alebo veľkých hodnôt (x ^ {r_i} ) v blízkosti ( x = 0 ) a násobenie ľubovoľnou konštantou. Pri niektorých cvičeniach budete požiadaní o odhad maximálnej hodnoty (E_N (x; r_i) ) na intervale ((0, delta] ) výpočtom (E_N (x_m; r_i) ) na (M ) body (x_m = m delta / M, ; m = 1 ), (2 ), ..., (M ) a nájdenie maxima absolútnych hodnôt:

[ label {eq: 7.5.28} sigma_N ( delta) = max {| E_N (x_m; r_i) |, ; m = 1,2, bodky, M }. ]

(Pre jednoduchosť tento zápis ignoruje závislosť pravej strany rovnice od (i ) a (M ).)

Ak chcete implementovať tento postup, budete musieť napísať počítačový program, ktorý vypočíta ( {a_n (r_i) } ) z príslušného vzťahu opakovania a vyhodnotí (E_N (x; r_i) ).

Ďalšia sada cvičení obsahuje päť cvičení, ktoré sú konkrétne určené tým, ktoré vás vyzvú na implementáciu postupu overenia. Tieto konkrétne cvičenia boli vybrané ľubovoľne, rovnako dobre môžete formulovať také laboratórne problémy pre ktorúkoľvek z rovníc v ktorejkoľvek z nich Cvičenia 7.5.1-7.5.10, 7.5.14-7.4.25a 7.5.28-7.5.51 .


Pozri si video: Простая задача линейного программирования 2. Симплекс-метод для поиска максимума. (December 2021).