Články

2.4: Algebraické výrazy (časti skladačky) - matematika


Ak ste ako väčšina Kanaďanov, zamestnávateľ vám ich vypláca každé dva týždne. Ako si vypočítate výplatný šek v každom výplatnom období? Vaše zárobky sa počítajú takto:

[ 12,00 $ krát text {(hodiny odpracované počas dvojtýždenného výplatného obdobia)} nonumber ]

Hodiny odpracované počas obdobia výplaty za dva týždne sú neznámou premennou. Keď píšete vysvetlenie premennej, výraz sa zdá byť zdĺhavý. Algebra je spôsob, ako uľahčiť manipuláciu s takýmito výrazmi. Na skrátenie výrazu a uľahčenie jeho čítania priradí algebra písmeno alebo skupinu písmen, ktoré reprezentujú premennú. V takom prípade môžete zvoliť h na vyjadrenie „hodín odpracovaných počas dvojmesačného výplatného obdobia“. Týmto sa vyššie uvedený výraz prepíše takto:

[ 12,00 $ krát h text {alebo} $ 12 h nonumber ]

Slovo algebra, bohužiaľ, mnohým ľuďom rozjasní oči. Pamätajte však, že algebra je iba spôsobom riešenia numerickej úlohy. Ukazuje, ako kúsky puzzle zapadajú do seba, aby dospeli k riešeniu.

Využili ste napríklad svoje algebraické schopnosti, ak ste niekedy programovali vzorec do programu Microsoft Excel. Programu Excel ste povedali, že medzi bunkami v tabuľke existuje vzťah. Možno váš výpočet vyžadoval, aby bola bunka A3 rozdelená bunkou B6 a potom vynásobená bunkou F2. Toto je algebraická rovnica. Excel potom vzal vašu algebraickú rovnicu a vypočítal riešenie automatickým nahradením príslušných hodnôt z odkazovaných buniek (vaše premenné).

Ako je znázornené na obrázku vyššie, algebra zahŕňa integráciu mnohých vzájomne súvisiacich konceptov. Tento obrázok zobrazuje iba tie pojmy, ktoré sú dôležité pre obchodnú matematiku, ktoré táto učebnica predstavuje kúsok po kúsku. Vaše porozumenie algebry bude úplnejšie, pretože sa v tejto knihe budeme zaoberať ďalšími pojmami.

V tejto časti sa dozviete jazyk algebry, pravidlá exponentov, základné pravidlá prevádzky a substitúciu. V časti 2.5 uvedieme tieto koncepty do praxe pri riešení jednej lineárnej rovnice pre jednu neznámu premennú spolu s dvoma lineárnymi rovnicami s dvoma neznámymi premennými. Na záver v časti 2.6 preskúmame koncepty logaritmov a prirodzených logaritmov.

Jazyk algebry

Pochopenie pravidiel algebry si vyžaduje oboznámenie sa so štyrmi kľúčovými definíciami.

Algebraický výraz

Matematický algebraický výraz označuje vzťah medzi matematickými operáciami, ktoré sa musia vykonať na rade čísel alebo premenných, a medzi nimi. Napríklad výraz 12 dolárov hovorí, že musíte vziať hodinovú mzdu 12 dolárov a vynásobiť ju odpracovanými hodinami. Upozorňujeme, že výraz neobsahuje znamienko rovnosti alebo „=“. Iba vám povie, čo máte robiť, a vyžaduje, aby ste neznámymi premennými nahradili hodnotu, ktorú chcete vyriešiť. Neexistuje jedno definovateľné riešenie výrazu.

Algebraická rovnica

Matematická algebraická rovnica má dva algebraické výrazy a rovná sa im. Túto rovnicu je možné vyriešiť tak, že sa nájde riešenie pre neznáme premenné. Na nasledujúcej ilustrácii uvidíte, ako algebraické výrazy a algebraické rovnice navzájom súvisia.

Termín

V akomkoľvek algebraickom výraze sú pojmy komponenty, ktoré sú oddelené sčítaním a odčítaním. Pri pohľade na vyššie uvedený príklad je výraz (6x + 3y ) zložený z dvoch výrazov. Tieto výrazy sú „ (6x )“ a „ (3y ).“ Nominál označuje počet výrazov, ktoré sa vyskytujú v algebraickom výraze. Ak algebraický výraz obsahuje iba jeden výraz, napríklad „ ( 12,00 h )“, nazýva sa to monomiál. Ak výraz obsahuje dva alebo viac výrazov, napríklad „ (6x + 3y )“, nazýva sa to polynóm.

Faktor

Výrazy môžu pozostávať z jedného alebo viacerých faktorov, ktoré sú oddelené znakmi násobenia alebo delenia. Použitie 6x zhora pozostáva z dvoch faktorov. Tieto faktory sú „6“ a „ (x )“; spája ich násobenie.

  • Ak je faktor číselný, nazýva sa to číselný koeficient.
  • Ak je faktorom jedna alebo viac premenných, nazýva sa to doslovný koeficient.

Nasledujúca grafika ukazuje, ako algebraické výrazy, algebraické rovnice, pojmy a faktory navzájom súvisia v rámci rovnice.

Exponenti

Exponenti sa často používajú v obchodnej matematike a sú neoddeliteľnou súčasťou finančnej matematiky. Pri uplatňovaní zloženia úrokovej sadzby na akúkoľvek investíciu alebo pôžičku musíte použiť exponenty (pozri kapitolu 9 a ďalej).

Exponentmi je matematická skratková notácia, ktorá udáva, koľkokrát sa kvantita sama vynásobí. Formát exponenta je zobrazený nižšie.

Predpokladajme, že máte (2 ^ {3} = 8 ). Exponent 3 hovorí, že má základ 2 vynásobený trikrát, alebo (2 krát 2 krát 2 ). Sila je 8. Správny spôsob vyjadrenia tohto výrazu je „2 až exponent 3 má za následok mocninu 8.“

Ako to funguje

Na zjednodušenie exponentov sa vzťahuje veľa pravidiel, ako je uvedené v nasledujúcej tabuľke.

PravidloIlustráciaVysvetlenie
1. Násobenie (y ^ {a} krát y ^ {b} = y ^ {a + b} )Ak sú základy rovnaké, pridajte exponenty a ponechajte nezmenenú základňu.
2. Rozdelenie ( dfrac {y ^ {a}} {y ^ {b}} = y ^ {a-b} )Ak sú základy identické, odčítajte exponenty a zachujte nezmenenú základňu.
3. Zvyšovanie síl na exponenty

( left (y ^ {b} z ^ {c} right) ^ {a} = y ^ {b times a} z ^ {c times a} )

alebo

( left ( dfrac {y ^ {b}} {z ^ {c}} right) ^ {a} = dfrac {y ^ {b times a}} {z ^ {c times a} } )

Ak je jeden výraz zvýšený na exponenta, každý faktor si musí zachovať svoju základňu a vy musíte vynásobiť exponenty každého z nich zvýšeným exponentom. Upozorňujeme, že ak má výraz v zátvorkách viac ako jeden výraz, napríklad ( left (y ^ {b} + z ^ {c} right) ^ {2} ), ktorý má dva výrazy, nemôžete ho vynásobiť exponent a v zátvorkách.
4. Nulové exponenty (y ^ {0} = 1 )Akákoľvek báza k nulovému exponentu bude vždy produkovať mocninu 1. To je vysvetlené ďalej v tejto časti, keď si pozriete koncept algebraického delenia.
5. Negatívne exponenty (y ^ {- a} = dfrac {1} {y ^ {a}} )Záporné znamienko označuje, že sila bola presunutá medzi čitateľom a menovateľom. V tejto učebnici sa bežne používa na zjednodušenie vzhľadu. Upozorňujeme, že na kalkulačke BAII Plus je na zadanie záporného exponenta potrebné zadať hodnotu (y ), stlačiť (y ^ x ), zadať hodnotu a, stlačiť ( pm ), a potom stlačte = pre výpočet.
6. Frakčné exponenty (y ^ { dfrac {a} {b}} = sqrt [b] {y ^ {a}} )Zlomkový exponent je iný spôsob písania radikálneho znamienka. Všimnite si, že báza sa najskôr vezme k exponentu a, potom sa nájde koreň b, aby sa získala sila. Napríklad Toto je to isté ako. Ak chcete zadať zlomkový exponent na kalkulačke BAII Plus, zadajte hodnotu (y ), stlačte (y ^ x ), otvorte množinu zátvoriek, zadajte (a div b ), zatvorte zátvorky a stlačte = pre výpočet.

Dôležité poznámky

Pripomeňme, že matematici bežne nenapíšu číslo 1, keď sa vynásobí iným faktorom, pretože to nemení výsledok. To isté platí pre exponenty. Ak je exponent číslo 1, spravidla sa to nepíše, pretože ľubovoľné číslo vynásobené iba raz je rovnaké číslo. Napríklad číslo 2 možno napísať ako 21, ale sila je stále 2. Alebo vezmite prípad ((y z) ^ {2} ). Toto by sa dalo napísať ako ( left (y ^ {1} z ^ {1} right) ^ {a} ), ktoré sa po zjednodušení stane (y ^ {1 krát a} z ^ {1 krát a} ) alebo (y ^ {a} z ^ {a} ). Teda aj keď nevidíte napísaného exponenta, viete, že hodnota je 1.

Príklad ( PageIndex {1} ): Exponenty v algebre

Zjednodušte nasledujúce výrazy:

  1. (h ^ {3} krát h ^ {6} )
  2. ( dfrac {h ^ {14}} {h ^ {8}} )
  3. ( doľava [ dfrac {h k ^ {5} m ^ {3}} {n ^ {4}} doprava] ^ {3} )
  4. (1.49268^{0})
  5. ( dfrac {x ^ {2} y ^ {4}} {x y ^ {- 2}} )
  6. (6^{3 / 5})

Riešenie

Boli ste požiadaní, aby ste zjednodušili výrazy. Všimnite si, že výrazy (d) a (f) obsahujú iba číselné koeficienty, a preto je možné ich vyriešiť numericky. Všetky ostatné výrazy zahŕňajú doslovné koeficienty a na zjednodušenie vyžadujú algebraické schopnosti.

Čo už viete

Boli vám poskytnuté výrazy a máte šesť pravidiel na zjednodušenie exponentov v algebre.

Ako sa tam dostanete

  1. Tento výraz zahŕňa znásobenie dvoch mocností s rovnakou základňou. Použite pravidlo č. 1.
  2. Tento výraz zahŕňa rozdelenie dvoch mocností na rovnakom základe. Použite pravidlo č. 2.
  3. Tento výraz zahŕňa jediný výraz, v ktorom sú produkty a kvocient všetky zvýšené na exponent. Použite pravidlo č. 3.
  4. Táto sila zahŕňa nulový exponent. Použite pravidlo č. 4.
  5. Tento výraz zahŕňa násobenie, delenie a záporné exponenty. Použite pravidlá č. 1, 2 a 5.
  6. Táto sila zahŕňa zlomkový exponent. Použite pravidlo č. 6.

Hrať

  1. (h ^ {3} krát h ^ {6} = h ^ {3 + 6} = h ^ {9} )
  2. ( dfrac {h ^ {14}} {h ^ {8}} = h ^ {14-8} = h ^ {6} )
  3. ( left [ dfrac {hk ^ {5} m ^ {3}} {n ^ {4}} right] ^ {3} = dfrac {h ^ {1 krát 3} k ^ {5 krát 3} m ^ {3 krát 3}} {n ^ {4 krát 3}} = dfrac {h ^ {3} k ^ {15} m ^ {9}} {n ^ {12}} )
  4. (1.49268^{0}=1)
  5. ( dfrac {x ^ {2} y ^ {4}} {xy ^ {- 2}} = dfrac {x ^ {2} y ^ {4} y ^ {2}} {x ^ {1} } ( text {Rule} # 5) = dfrac {x ^ {2} y ^ {4 + 2}} {x ^ {1}} ( text {Rule} # 1) = dfrac {x ^ {2} y ^ {6}} {x ^ {1}} = x ^ {2-1} y ^ {6} ( text {Rule} # 2) = xy ^ {6} )
  6. (6^{3 / 5}=2.930156)

Pokyny pre kalkulačku

d. (1,49268 r ^ {x} 0 = )

f. (6 r ^ {x} (3 div 5) = )

Tu sú zjednodušené riešenia:

  1. (h ^ {9} )
  2. (h ^ 6 )
  3. ( dfrac {h ^ {3} k ^ {15} m ^ {9}} {n ^ {12}} )
  4. 1
  5. (x y ^ {6} )
  6. (2.930156)

Sčítanie a odčítanie

Na zvýšenie porozumenia a zníženie pravdepodobnosti chyby je vždy lepšie zjednodušiť zbytočne dlhé alebo zložité algebraické výrazy. Predpokladajme napríklad, že ste vedúci výroby a chcete si objednať skrutky pre výrobok, ktorý vyrábate. Vaša spoločnosť vyrába tri produkty, všetky v rovnakom množstve. Produkt A vyžaduje sedem skrutiek, produkt B vyžaduje štyri skrutky a produkt C vyžaduje štrnásť skrutiek. Ak (q ) predstavuje požadovaný počet produktov, musíte si objednať (7q + 4q + 14q ) skrutky. Tento výraz vyžaduje zakaždým štyri výpočty (každý výraz je potrebné vynásobiť (q ) a potom musíte všetko sčítať). Pomocou nasledujúcich pravidiel algebry môžete tento výraz zjednodušiť na (25q ). Na vyriešenie je potrebný iba jeden výpočet. Aké sú teda pravidlá?

Ako to funguje

V matematike sa pojmy s rovnakými doslovnými koeficientmi nazývajú ako pojmy. Pomocou nasledujúceho postupu možno pridať alebo odčítať iba výrazy s rovnakými literálnymi koeficientmi:

Krok 1: Zjednodušte všetky numerické koeficienty vykonaním potrebných matematických operácií alebo prevodom zlomkov na desatinné miesta. Napríklad výrazy ako ( dfrac {1} {2} y ) by sa mali zmeniť na (0,5 roka ).

Krok 2: Pričítajte alebo odčítajte numerické koeficienty podobných výrazov, ako je uvedené v operácii, pri dodržaní pravidiel BEDMAS.

Krok 3: Ponechajte a nemeňte bežné doslovné koeficienty. Nový číselný koeficient napíšte pred zachované číselné koeficienty.

Z predchádzajúceho príkladu požadujete (7q + 4q + 14q ) skrutky. Všimnite si, že existujú tri členy, z ktorých každý má rovnaký doslovný koeficient. Preto môžete vykonať požadované doplnenie.

Krok 1: Všetky numerické koeficienty sú už zjednodušené. Prejdite na krok 2.

Krok 2: Vezmite číselné koeficienty a pridajte čísla: (7 + 4 + 14 ) sa rovná 25.

Krok 3: Ponechať doslovný koeficient (q ). Dajte nový číselný koeficient a literálny koeficient dohromady. Teda (25q ). Preto je (7q + 4q + 14q ) rovnaké ako (25q ).

Na čo si dať pozor

Častou chybou pri sčítaní a odčítaní je spájanie výrazov, ktoré nemajú rovnaký doslovný koeficient. Musíte pamätať na to, že doslovný koeficient musí byť identický. Napríklad (7q ) a (4q ) majú rovnaký literálny koeficient (q ). Avšak (7q ) a (4q ^ 2 ) majú rôzne doslovné koeficienty (q ) a (q ^ 2 ) a nemožno ich sčítať ani odčítať.

Cesty k úspechu

Pamätajte, že ak narazíte na literálny koeficient, ktorý nemá pred sebou žiadne číslo, predpokladá sa, že je číslo 1. Napríklad (x ) nemá napísaný číselný koeficient, ale je rovnaký ako (1x ). Ďalším príkladom je ( dfrac {x} {4} ) je rovnaké ako ( dfrac {1 x} {4} ) alebo ( dfrac {1} {4} x ).

Podobnou poznámkou tiež matematici nevypisujú doslovné koeficienty, ktoré majú nulový exponent. Napríklad (7x ^ 0 ) je iba (7 (1) ) alebo (7 ). Doslovný koeficient teda vždy existuje; má však nulový exponent. Pamätať si to vám pomôže neskôr, keď sa množíte a delíte v algebre.

Cvičenie ( PageIndex {1} ): Zamyslite sa

Preskúmajte nasledujúce algebraické výrazy a uveďte, koľko výrazov je možné kombinovať pomocou sčítania a odčítania. Nie sú potrebné žiadne výpočty. Nepokúšajte sa to zjednodušiť.

  1. ( dfrac {3} {2} x + 4 x ^ {2} -10 x-2 y + dfrac {x} {3} )
  2. (23 g ^ {2} - dfrac {17 g ^ {2}} {5} + g ^ {4} + g ^ {2} - dfrac {2} {3} g ^ {2} -0,15 g + g ^ {3} )
Odpoveď
  1. Tri výrazy (všetky (x ))
  2. Štyri výrazy (všetky (g ^ 2 ))

Príklad ( PageIndex {2} ): Sčítanie a odčítanie v algebre

Zjednodušte nasledujúce tri algebraické výrazy.

  1. (9 x + 3 roky - dfrac {7} {2} x + 4 roky )
  2. (P vľavo (1 + 0,11 krát dfrac {121} {365} vpravo) + dfrac {15 P} {1 + 0,11 krát dfrac {36} {365}} )
  3. (x doľava (1+ dfrac {0,1} {4} doprava) ^ {3} + dfrac {x} { doľava (1+ dfrac {0,1} {4} doprava) ^ {4} } - dfrac {3 x} { doľava (1+ dfrac {0,1} {4} doprava) ^ {2}} )

Riešenie

Boli ste požiadaní, aby ste zjednodušili tri algebraické výrazy. Všimnite si, že každý výrazový výraz je spojený s ostatnými výrazom sčítaním alebo odčítaním. Preto na každý výraz použite pravidlá sčítania a odčítania.

Čo už viete

Tri algebraické výrazy už boli poskytnuté.

Ako sa tam dostanete

Ak použijete tri kroky na sčítanie a odčítanie, mali by ste riešenie zjednodušiť, skombinovať a napísať.

Hrať

    (9 x + 3 roky - dfrac {7} {2} x + 4 roky )Krok 1: Zjednodušte číselné koeficienty.
    (9 x + 3 roky - mathbf {3,5} x + 4 roky )Krok 2: Skombinujte numerické koeficienty podobných výrazov. Máte dva výrazy s (x ), z ktorých musíte vziať 9 - 3,5 = 5,5. Máte tiež dva výrazy s (y ), z ktorých musíte vziať 3 + 4 = 7
    ( mathbf {5,5} x + mathbf {7} y ​​)Krok 3: Napíšte číselné koeficienty pred nezmenené literálne koeficienty.
      (P vľavo (1 + 0,11 krát dfrac {121} {365} vpravo) + dfrac {15 P} {1 + 0,11 krát dfrac {36} {365}} )Krok 1: Zjednodušte číselné koeficienty.
      ( mathbf {1.036465} P + dfrac { mathbf {15}} { mathbf {1.062383}} P )Krok 1: Pokračujte v zjednodušovaní druhého funkčného obdobia.
      (1,036465 P + mathbf {14.119194} P )Krok 2: Skombinujte číselné koeficienty vykonaním sčítania.
      ( mathbf {15.15566} P )Krok 3: Napíšte číselný koeficient pred nezmenený literálny koeficient.
        (x doľava (1+ dfrac {0,1} {4} doprava) ^ {3} + dfrac {x} { doľava (1+ dfrac {0,1} {4} doprava) ^ {4} } - dfrac {3 x} { doľava (1+ dfrac {0,1} {4} doprava) ^ {2}} )Krok 1: Zjednodušte číselné koeficienty.
        ( mathbf {1.076890} x + dfrac { mathbf {1}} { mathbf {1.103812}} x- dfrac { mathbf {3}} { mathbf {1,050625}} x )Krok 1: Pokračujte v zjednodušovaní druhého a tretieho pojmu.
        ( mathbf {1,076890} x + mathbf {0,905950} x- mathbf {2,855443} x )Krok 2: Kombinujte numerické koeficienty prostredníctvom zadaných operácií.
        ( mathbf {-0,872602} x )Krok 3: Napíšte číselný koeficient pred nezmenený literálny koeficient.

        Algebraické výrazy sa zjednodušujú takto:

        1. (5,5x + 7r )
        2. (15.15566P )
        3. (- 0,872602x )

        Všimnite si, o koľko ľahšie sa s nimi pracuje ako s pôvodnými výrazmi.

        Násobenie

        Či už násobíte monomiál iným monomiálom, monomiál polynomom alebo polynóm iným polynómom, pravidlá pre násobenie zostávajú rovnaké.

        Ako to funguje

        Podľa nasledujúcich pokynov postupujte podľa viacerých algebraických výrazov:

        Krok 1: Skontrolujte, či existuje spôsob, ako najskôr zjednodušiť algebraický výraz. Existujú nejaké podobné výrazy, ktoré môžete kombinovať? Pred pokusom o násobenie môžete napríklad zjednodušiť ((3x + 2 + 1) (x + x + 4) ) na ((3x + 3) (2x + 4) ).

        Krok 2: Vezmite každý výraz v prvom algebraickom výraze a vynásobte ho každým výrazom v druhom algebraickom výraze. To znamená, že číselné koeficienty v obidvoch termínoch sa navzájom znásobujú a doslovné koeficienty v obidvoch termínoch sa navzájom znásobujú. Najlepšie je pracovať metodicky zľava doprava, aby vám nič nechýbalo. Pri práci s príkladom v ((3x + 3) (2x + 4) ) vezmite prvý člen prvého výrazu, (3x ), a vynásobte ho (2x ) a potom 4. Potom presunieme sa na druhý člen prvého výrazu, 3, a vynásobíme ho (2x ) a potom 4 (pozri obrázok).

        Stane sa: (6x ^ 2 + 12x + 6x + 12 )

        Krok 3: Vykonajte všetky posledné kroky zjednodušenia pridaním alebo odčítaním podobných výrazov podľa potreby. V príklade obsahujú dva výrazy literálny koeficient (x ), takže výraz zjednodušíte na (6x ^ 2 + 18x + 12 ).

        Dôležité poznámky

        Ak násobenie zahŕňa viac ako dva výrazy, ktoré sa navzájom násobia, je najjednoduchšie pracovať iba s jedným párom výrazov súčasne, počínajúc párom úplne zľava. Napríklad ak násobíte ((4x + 3) (3x) (9y + 5x) ), najskôr vyriešte ((4x + 3) (3x) ). Potom vezmite riešenie, držte ho v zátvorkách, pretože ste matematickú operáciu nedokončili, a vynásobte ho ((9y + 5x) ). To znamená, že ste povinní opakovať krok 2 v postupe násobenia, kým nevyriešite všetky množenia.

        Na čo si dať pozor

        Znamienko mínus nespôsobuje u mnohých ľudí koniec práce v multiplikácii. Po prvé, ak nie je číselný koeficient napísaný explicitne, predpokladá sa, že je 1. Napríklad sa pozrite na (2 (4a + 6b) - (2a - 3b) ). To je to isté ako (2 (4a + 6b) + (−1) (2a - 3b) ).

        Keď vynásobíte zápor pomocou výrazu, všetky znaky v zátvorkách sa zmenia. Pokračovaním druhého výrazu vo vyššie uvedenom príklade sa z (- (2a - 3b) ) stáva (- 2a + 3b ). Výraz potom vyzerá ako (2 (4a + 6b) - 2a + 3b ).

        Cesty k úspechu

        Na poradí, v akom píšete výrazy algebraického výrazu, nezáleží, pokiaľ dodržiavate všetky pravidlá BEDMAS. Napríklad, či už píšete (3 krát 4 ) alebo (4 krát 3 ), odpoveď je rovnaká, pretože násobenie môžete robiť v ľubovoľnom poradí. To isté platí pre (4 + 3 - 1 ) alebo (3 - 1 + 4 ). Poďme na to zložitejšie. Či už píšete (3x ^ 2 + 5x - 4 ) alebo (5x - 4 + 3x ^ 2 ), odpoveď je rovnaká, pretože ste neporušili žiadne pravidlá BEDMAS. Stále sa vynásobíte ako prví a pridáte posledné zľava doprava.

        Aj keď sa všeobecne dáva prednosť zostupnému exponenciálnemu formátu na písanie výrazov, napríklad (3x ^ 2 + 5x + 4 ), v ktorom sú najskôr uvedené doslovné koeficienty s vyššími exponentmi, nezáleží na tom, či to urobíte alebo nie. Pri porovnávaní vašich riešení s riešeniami uvedenými v tejto učebnici musíte iba zabezpečiť, aby sa každý z vašich výrazov zhodoval s podmienkami v poskytnutom riešení.

        Príklad ( PageIndex {3} ): Násobenie v algebre

        Zjednodušte tento algebraický výraz: ((6x + 2 + 2) (3x - 2) )

        Riešenie

        Boli ste požiadaní, aby ste zjednodušili výraz.

        Čo už viete

        Násobíte navzájom dva výrazy. Každý výraz obsahuje dva alebo tri výrazy.

        Ako sa tam dostanete

        Použitím troch krokov na znásobenie algebraických výrazov zjednodušíte, znásobíte každý výraz a spojíte ich.

        Hrať

        Krok 1: Najskôr zjednodušte výraz.

        [ begin {zarovnané}
        & (6 x + 2 + 2) (3 x-2)
        & (6 x + bf {4}) (3 x-2)
        end {zarovnané} nonumber ]

        Krok 2: Znásobte všetky výrazy v každom výraze so všetkými výrazmi v druhom výraze.

        [( bf {6 x}) ( bf {3 x}) + ( bf {6 x}) ( bf {-2}) + ( bf {4}) ( bf {3 x} ) + ( bf {4}) ( bf {-2}) nonumber ]

        Krok 2 (pokračovanie): Vyriešte množenie.

        [18 x ^ {2} -12 x + 12 x-8 nonumber ]

        Krok 3: Vykonajte posledné zjednodušenia. Môžete spojiť stredné dva výrazy.

        [18 x ^ {2} -8 nonumber ]

        Toto je konečné riešenie.

        Zjednodušený algebraický výraz je (18x ^ 2 - 8 ).

        Príklad ( PageIndex {4} ): Náročnejšie algebraické násobenie

        Zjednodušte nasledujúci algebraický výraz: (- (3ab) (a ^ 2 + 4b - 2a) - 4 (3a + 6) )

        Riešenie

        Boli ste požiadaní, aby ste zjednodušili výraz.

        Čo už viete

        Bol vám poskytnutý výraz. Všimnite si, že prvý výraz sa skladá z troch výrazov, ktoré sa vynásobia. Druhý výraz zahŕňa dva výrazy, ktoré sa vynásobia. Aplikujte pravidlá násobenia.

        Ako sa tam dostanete

        Použitím troch krokov na znásobenie algebraických výrazov zjednodušíte, znásobíte každý výraz a spojíte ich.

        Hrať

        Krok 1: Nemôžete nič zjednodušiť. Pri negatívach buďte opatrní a vypíšte ich.

        [- (3 a b) vľavo (a ^ {2} +4 b-2 a vpravo) -4 (3 a + 6) nonumber ]

        Krok 2: Pracujte s prvou dvojicou výrazov v prvom termíne a vynásobte ich.

        [( bf {-1}) (3 a b) doľava (a ^ {2} +4 b-2 a doprava) + ( bf {-4}) (3 a + 6) nonumber ]

        Vynásobte výslednú dvojicu výrazov v prvom termíne.

        [( bf {-3 a b}) doľava (a ^ {2} +4 b-2 a doprava) + (- 4) (3 a + 6) nonumber ]

        Pracujte s dvojicou výrazov v pôvodnom druhom semestri a vynásobte ich.

        [( bf {-3 a ^ {3} b-12 a b ^ {2} +6 a ^ {2} b}) + (- 4) (3 a + 6) nonumber ]

        Krok 3: Pre zjednodušenie zahoďte zátvorky.

        [- 3 a ^ {3} b-12 a b ^ {2} +6 a ^ {2} b + [ bf {-12 a-24}] nonumber ]

        Neexistujú podobné výrazy. Tento výraz už nemôžete zjednodušiť.

        [- 3 a ^ {3} b-12 a b ^ {2} +6 a ^ {2} b-12 a-24 nonumber ]

        Zjednodušený algebraický výraz je (- 3 a ^ {3} b-12 a b ^ {2} +6 a ^ {2} b-12 a-24 ).

        Divízia

        Často sa vyžaduje, aby ste monomiál rozdelili na monomiál alebo polynóm. V prípadoch, keď menovateľ pozostáva z polynómu, nie je možné alebo mimoriadne ťažké algebraicky zjednodušiť výraz. Diskutuje sa tu iba o divízii, kde menovateľmi sú monomálie.

        Ako to funguje

        Ak chcete zjednodušiť výraz, keď je jeho menovateľ monomiál, použite tieto pravidlá:

        Krok 1: Rovnako ako v násobení, pred dokončením rozdelenia určite, či existuje nejaký spôsob kombinovania podobných výrazov. Napríklad pomocou ( dfrac {3 a b + 3 a b-3 a ^ {2} b + 9 ab ^ {2}} {3 ab} ) môžete čitateľa zjednodušiť na ( dfrac {6 a b-3 a ^ {2} b + 9 ab ^ {2}} {3 ab} ).

        Krok 2: Vezmite každý výraz v čitateľovi a vydeľte ho výrazom v menovateli. To znamená, že musíte rozdeliť numerický aj literárny koeficient. Rovnako ako pri násobení, aj tu je zvyčajne najlepšie pracovať metodicky zľava doprava, aby vám nič nechýbalo. V našom príklade teda dostaneme:

        [ dfrac {6 a b} {3 a b} - dfrac {3 a ^ {2} b} {3 a b} + dfrac {9 a b ^ {2}} {3 a b} nonumber ]

        [(2) (1) (1) - (1) (a) (1) + (3) (1) (b) nečíslo ]

        [2 - a + 3b nonumber ]

        Krok 3: Vykonajte akékoľvek konečné zjednodušenie pridaním alebo odčítaním podobných výrazov podľa potreby. Pretože už neexistujú podobné výrazy, konečný výraz zostáva (2 - a + 3b ).

        Na čo si dať pozor

        Možno ste počuli o výsledku zvanom „vzájomné rušenie“. Napríklad pri riešení rozdelenia ( dfrac {4 a} {4 a} ) by veľa ľudí povedalo, že sa tieto výrazy navzájom rušia. Mnoho ľudí si to tiež mylne vyloží tak, že kvocient je nulový a povedia ( dfrac {4 a} {4 a} = 0 ). V skutočnosti, keď sa podmienky navzájom rušia, kvocient je jeden, nie nula. Číselný koeficient je ( frac {4} {4} = 1 ). Doslovný koeficient je ( dfrac {a} {a} = 1 ). Teda ( dfrac {4 a} {4 a} = (1) (1) = 1 ). To tiež vysvetľuje, prečo sa nulový exponent rovná jednému: ( dfrac {a ^ {1}} {a ^ {1}} = a ^ {1-1} = a ^ {0} = 1 ).

        Cesty k úspechu

        Mnoho ľudí nemá rád zlomky a je pre nich ťažké pracovať. Pamätajte, že keď zjednodušíte akýkoľvek algebraický výraz, môžete ľubovoľnú frakciu transformovať na desatinné miesto. Ak je napríklad váš výraz, môžete previesť zlomok na desatinné miesta: (0,4x + 0,75x ). V tomto formáte je jednoduchšie vyriešiť.

        Príklad ( PageIndex {5} ): Monomické rozdelenie

        Zjednodušte nasledujúci algebraický výraz: ( dfrac {30 x ^ {6} +5 x ^ {3} +10 x ^ {3}} {5 x} )

        Riešenie

        Boli ste požiadaní, aby ste zjednodušili výraz.

        Čo už viete

        Všimnite si, že poskytnutý výraz je polynóm vydelený monomémom. Preto použite pravidlá rozdelenia.

        Ako sa tam dostanete

        Použitím troch krokov na rozdelenie algebraického výrazu zjednodušíte, rozdelíte každý výraz a skombinujete ich.

        Hrať

        Krok 1: Čitateľ má dva členy s rovnakým doslovným koeficientom ( (x ^ 3 )). Kombinujte ich pomocou pravidiel pridávania.

        [ dfrac {30 x ^ {6} +5 x ^ {3} +10 x ^ {3}} {5 x} nonumber ]

        Krok 2: Teraz, keď je čitateľ zjednodušený, vydeľte každý z jeho výrazov menovateľom.

        [ dfrac {30 x ^ {6} + bf {15 x ^ {3}}} {5 x} nonumber ]

        Delenia vyriešte vydelením číselných aj literálnych koeficientov.

        [ dfrac {30 x ^ {6}} {5 x} + dfrac { bf {15 x ^ {3}}} {5 x} nonumber ]

        Krok 3: Neexistujú podobné výrazy, takže toto je konečné riešenie.

        [6 x ^ {5} +3 x ^ {2} nonumber ]

        Zjednodušený algebraický výraz je (6 x ^ {5} +3 x ^ {2} ).

        Príklad ( PageIndex {6} ): Náročnejšia divízia

        Zjednodušte nasledujúci algebraický výraz: ( dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3} +25 xy ^ {2} -x y + 10 x ^ {4} y + 5 xy ^ {2}} {5 xy} )

        Riešenie

        Boli ste požiadaní, aby ste zjednodušili výraz.

        Čo už viete

        Všimnite si, že poskytnutý výraz je polynóm vydelený monomémom. Preto použite pravidlá rozdelenia.

        Ako sa tam dostanete

        Použitím troch krokov na rozdelenie algebraických výrazov zjednodušíte, rozdelíte každý výraz a spojíte ich.

        Hrať

        Krok 1: Čitateľ má dva členy s rovnakým doslovným koeficientom ( (xy ^ 2 )). Kombinujte ich podľa pravidiel pridávania.

        [ dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3} +25 x y ^ {2} -x y + 10 x ^ {4} y + 5 x y ^ {2}} {5 x y} nonumber ]

        Krok 2: Teraz, keď je čitateľ zjednodušený, vydeľte každý z jeho výrazov menovateľom.

        [ dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3} + bf {30 x y ^ {2}} - x y + 10 x ^ {4} y} {5 x y} nonumber ]

        Delenia vyriešte vydelením číselných aj literálnych koeficientov.

        [ dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3}} {5 xy} + dfrac {30 xy ^ {2}} {5 xy} - dfrac {xy} {5 xy} + dfrac { 10 x ^ {4} y} {5 xy} nonumber ]

        Krok 3: Zjednodušte a skombinujte všetky podobné výrazy.

        [3 x y ^ {2} +6 (1) (y) -0,2 (1) (1) +2 doľava (x ^ {3} doprava) (1) nonumber ]

        Neexistujú podobné výrazy, takže toto je konečné riešenie.

        [3 x y ^ {2} +6 y-0,2 + 2 x ^ {3} nonumber ]

        Zjednodušený algebraický výraz je (3 x y ^ {2} +6 y-0,2 + 2 x ^ {3} ).

        Striedanie

        Konečným cieľom algebry je predstaviť vzťah medzi rôznymi premennými. Aj keď je výhodné tieto vzťahy, kde je to možné, zjednodušiť a skrátiť algebraické výrazy, nakoniec chcete vypočítať riešenie. Substitúcia spočíva v nahradení doslovných koeficientov algebraického výrazu známymi číselnými hodnotami. Len čo dôjde k zámene, vyriešite výraz pre konečnú hodnotu.

        Ako to funguje

        Podľa týchto pokynov vykonajte algebraickú substitúciu:

        Krok 1: Identifikujte hodnotu vašich premenných. Predpokladajme, že algebraická rovnica je (PV = dfrac {FV} {1 + r t} ). Musíte vypočítať hodnotu (PV ). Je známe, že (FV = 5 543,84 ), (r = 0,12 ) a (t = dfrac {270} {365} ).

        Krok 2: Vezmite známe hodnoty a vložte ich do rovnice, kde sa nachádzajú ich príslušné premenné, čo vedie k (PV = dfrac { $ 5,443.84} {1+ (0,12) doľava ( dfrac {270} {365} doprava) )} ).

        Krok 3: Vyriešte rovnicu, ktorá sa má vyriešiť pre premennú. Vypočítajte (PV = dfrac { 5 443,84} {1,088767} = 5 000,00 $ ).

        Na čo si dať pozor

        V algebre je bežné predstavovať premennú s viac ako jedným písmenom. Ako vidíte z vyššie uvedeného príkladu, (FV ) je premenná a predstavuje budúcu hodnotu. Toto by sa nemalo interpretovať ako dve premenné, (F ) a (V ). Podobne (PMT ) predstavuje anuitnú splátku. Keď sa naučíte nové vzorce a premenné, pozorne si všimnite, ako je premenná zastúpená.

        Niektoré doslovné koeficienty majú takisto indexy. Napríklad môžete vidieť (d_1 ) a (d_2 ) v rovnakom vzorci. Niekedy sa stane, že pre tú istú premennú existuje viac ako jedna hodnota. Ako sa dozviete v kapitole 6 o merchandisingu, pri kúpe položky môžete získať viac ako jednu diskontnú sadzbu (čo znamená d). Preto prvá zľava získa dolný index 1 alebo (d_1 ) a druhá zľava získa dolný index 2 alebo (d_2 ). Takto môžete rozlíšiť dve hodnoty v rovnici a nahradiť správnu hodnotu na správnom mieste.

        Cesty k úspechu

        Ak si nie ste istí, či ste výraz primerane zjednodušili, nezabudnite, že pre akýkoľvek literálny koeficient môžete vytvoriť vlastné hodnoty a tieto hodnoty nahradiť pôvodným aj zjednodušeným výrazom. Ak ste dodržali všetky pravidlá a primerane ste sa zjednodušili, obidva výrazy prinesú rovnakú odpoveď. Predpokladajme napríklad, že ste zjednodušili (2x + 5x ) na (7x ), ale nie ste si istí, či máte pravdu. Rozhodnete sa nechať (x = 2 ). Dosadením do (2x + 5x ) získate (2 (2) + 5 (2) = 14 ). Dosadením do svojho zjednodušeného výrazu získate (7 (2) = 14 ). Pretože obidva výrazy priniesli rovnakú odpoveď, máte priame potvrdenie, že ste zjednodušili správne.

        Príklad ( PageIndex {7} ): Nahradenie

        Nahraďte a vyriešte nasledujúcu rovnicu:

        [N = L krát vľavo (1-d_1 vpravo) krát vľavo (1-d_2 vpravo) krát vľavo (1-d_3 vpravo) nečíslo ]

        Kde (L = 1 999,99 $ ), (d_1 = 35 \% ), (d_2 = 15 \% ), (d_3 = 5 \% )

        Riešenie

        Musíte získať hodnotu dolára pre literárny koeficient (N ).

        Čo už viete

        Dostanete rovnicu a hodnoty štyroch literárnych koeficientov.

        Ako sa tam dostanete

        Krok 1: Hodnoty (L ), (d_1 ), (d_2 ) a (d_3 ) sú známe.

        Krok 2: Nahraďte tieto hodnoty do rovnice.

        Krok 3: Vyriešiť pre (N ).

        Hrať

        Krok 1:

        (L = 1 999,99 $ ), (d_1 = 0,35 ), (d_2 = 0,15 ), (d_3 = 0,05 )

        Krok 2:

        [N = 1 999,99 $ krát (1-0,35) krát (1-0,15) krát (1-0,05) nonumber ]

        Krok 3:

        [N = 1 999,99 $ krát 0,65 krát 0,85 krát 0,95 nonumber ]

        (N = 1 049,74 $ )

        Hodnota (N ) je 1 049,74 dolárov.


        Pozri si video: Mnohočleny - sčítání, odčítání, násobení - příklady (December 2021).