Články

1.5: Algebraické výrazy - matematika


Asociatívna vlastnosť násobenia je platná pre všetky čísla.

Asociačná vlastnosť násobenia

Nech (a ), (b ) a (c ) sú ľubovoľné čísla. Potom: [a cdot (b cdot c) = (a cdot b) cdot c nonumber ]

Asociačná vlastnosť násobenia je užitočná v mnohých situáciách.

Príklad ( PageIndex {1} )

Zjednodušte: (- 3 (4r) ).

Riešenie

V súčasnosti zoskupenie (- 3 (4y) ) vyžaduje, aby sme najskôr vynásobili (4 ) a (y ). Môžeme však použiť asociačnú vlastnosť násobenia na preskupenie, najskôr vynásobením (- 3 ) a (4 ).

[ begin {aligned} -3 (4 roky) = & (- 3 cdot 4) y quad color {červená} text {asociatívna vlastnosť násobenia.} & = - 12 y quad farba {červená} text {znásobiť:} -3 cdot 4 = -12 koniec {zarovnaný} nonumber ]

Teda (- 3 (4y) = - 12y ).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Zjednodušte: (2 (3 x) ).

Odpoveď

(6x )

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad ( PageIndex {2} )

Zjednodušte: (- 2 (-4 x y) ).

Riešenie

V súčasnosti zoskupenie (- 2 (-4xy) ) vyžaduje, aby sme najskôr vynásobili (- 4 ) a (xy ). Môžeme však použiť asociačnú vlastnosť násobenia na preskupenie, najskôr vynásobením (- 2 ) a (- 4 ).

[ begin {aligned} -2 (-4 x y) & = (- 2 cdot (-4)) x y quad color {červená} text {asociatívna vlastnosť násobenia. } & = 8 x y quad color {červená} text {Vynásobiť:} -2 cdot (-4) = 8 end {zarovnaný} nonumber ]

Teda (- 2 (-4xy) = 8xy ).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Zjednodušte: (- 3 doľava (-8 u ^ {2} doprava) ).

Odpoveď

(24 u ^ {2} )

V praxi sa môžeme pohybovať rýchlejšie, ak vykonáme preskupenie mentálne, potom si odpoveď jednoducho zapíšeme. Napríklad:

[- 2 (-4 t) = 8 t quad text {a} quad 2 doľava (-5 z ^ {2} doprava) = - 10 z ^ {2} quad text {a} quad-3 vľavo (4 u ^ {3} vpravo) = - 12 u ^ {3} nonumber ]

Distribučný majetok

Teraz diskutujeme o vlastnosti, ktorá spája a násobí páry. Zvážte výraz (2 cdot (3 + 5) ). The Pravidlá Hlavný poriadok operácií požadujeme, aby sme najskôr zjednodušili výraz v zátvorkách.

[ begin {aligned} 2 cdot (3 + 5) & = 2 cdot 8 quad color {Red} text {Add:} 3 + 5 = 8 & = 16 quad color {červená } text {Násobiť:} 2 cdot 8 = 16 end {zarovnaný} nonumber ]

Namiesto toho môžeme v zátvorkách rozdeliť (2 ) -krát každý výraz. To znamená, že najskôr (3 ) vynásobíme (2 ), potom (5 ) vynásobíme (2 ). Potom pridáme výsledky.

[ begin {aligned} 2 cdot (3 + 5) & = 2 cdot 3 + 2 cdot 5 quad color {Red} text {Distribute the 2.} & = 6 + 10 quad color {červená} text {znásobiť:} 2 cdot 3 = 6 text {a} 2 cdot 5 = 10 & = 16 quad color {červená} text {pridať:} 6 + 10 = 16 end {zarovnané} nonumber ]

Upozorňujeme, že obe metódy poskytujú rovnaký výsledok, konkrétne 16. Tento príklad demonštruje mimoriadne dôležitú vlastnosť čísel nazývanú distribučný majetok.

Distribučný majetok

Nech (a ), (b ) a (c ) sú ľubovoľné čísla. Potom: [a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c nonumber ] To znamená, že násobenie je distribučné vzhľadom na sčítanie.

Príklad ( PageIndex {3} )

Pomocou distribučnej vlastnosti rozbaľte (2 (3x + 7) ).

Riešenie

Najskôr distribuujte (2 ) -krát každý výraz v zátvorke. Potom zjednodušte.

[ begin {aligned} 2 (3 x + 7) & = 2 (3 x) +2 (7) quad color {Red} text {Použite distribučnú vlastnosť. } & = 6 x + 14 quad color {Red} text {Násobenie:} 2 (3 x) = 6 x text {a} 2 (7) = 14 end {zarovnané} nonumber ]

Teda (2 (3 x + 7) = 6 x + 14 ).

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Rozbaliť: (5 (2 y + 7) ).

Odpoveď

(10r + 35 )

Násobenie je tiež distribučné, pokiaľ ide o odčítanie.

Príklad ( PageIndex {4} )

Pomocou distribučnej vlastnosti rozbaľte (- 2 (5y-6) ).

Riešenie

Zmeňte pridanie pridaním opaku, potom použite distribučnú vlastnosť.

[ begin {aligned} -2 (5 y-6) & = - 2 (5 y + (- 6)) quad color {Red} text {Pridať opak. } & = - 2 (5 r.) + (- 2) (- 6) quad color {červená} text {Použite distribučnú vlastnosť. } & = - 10 rokov + 12 štvorkolka farba {červená} text {Násobenie:} -2 (5 rokov) = - 10 rokov text {a} (- 2) (- 6) = 12 koniec {zarovnané} nonumber ]

Teda (- 2 (5 r-6) = - 10 r + 12 )

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Rozbaliť: (- 3 (2z-7) ).

Odpoveď

(- 6 z + 21 )

Urýchliť veci trochu

V príklade ( PageIndex {4} ) sme zmenili odčítanie na sčítanie, použili distribučnú vlastnosť a potom sme o niekoľko krokov skončili. Ak však pochopíte, že odčítanie je skutočne to isté ako pridanie opaku, a ak ste ochotní urobiť v hlave niekoľko krokov, mali by ste byť schopní jednoducho napísať odpoveď bezprostredne nadväzujúcu na daný problém.

Ak sa znova pozriete na výraz (- 2 (5y-6) ) z príkladu ( PageIndex {4} ), iba tentokrát si myslite „vynásobiť (- 2 ) krát (5y ), potom vynásobte (- 2 ) krát (- 6 ), potom je výsledok okamžitý. [- 2 (5y-6) = -10y + 12 nonumber ]

Vyskúšajme túto techniku ​​„zrýchlenia“ na niekoľkých ďalších príkladoch.

Príklad ( PageIndex {5} )

Pomocou distribučnej vlastnosti rozbaľte (- 3 (-2 x + 5 y-12) ).

Riešenie

Pri distribúcii (- 3 ) si jednoducho myslíme nasledovne: „ (- 3 (-2x) = 6x ), (- 3 (5y) = - 15y ) a (- 3 (- 12) = 36 ). “ Tento spôsob myslenia nám umožňuje zapísať si odpoveď okamžite bez ďalších krokov. [- 3 (-2 x + 5 y-12) = 6 x-15 y + 36 nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Rozbaliť: (- 3 (-2 a + 3 b-7) ).

Odpoveď

(6 a-9 b + 21 )

Príklad ( PageIndex {6} )

Pomocou distribučnej vlastnosti rozbaľte (- 5 (-2 a-5 b + 8) ).

Riešenie

Pri distribúcii (- 5 ) si jednoducho myslíme nasledovne: „ (- 5 (-2a) = 10a ), (- 5 (-5b) = 25 b ) a (- 5 ( 8) = -40 ). “ Tento spôsob myslenia nám umožňuje zapísať si odpoveď okamžite bez ďalších krokov. [- 5 (-2 a-5 b + 8) = 10 a + 25 b-40 nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Rozbaliť: (- 4 (-x-2-y-7) ).

Odpoveď

(4 x + 8 y + 28 )

Distribúcia negatívneho znamienka

Pripomeňme, že negácia čísla je ekvivalentná vynásobeniu čísla (- 1 ).

Multiplikatívna vlastnosť mínus jedna

Ak (a ) je akékoľvek číslo, potom: [(- 1) a = -a nonumber ]

To znamená, že ak negujeme výraz, je to ekvivalent vynásobenia výrazu (- 1 ).

Príklad ( PageIndex {7} )

Rozbaliť (- (7 x-8 y-10) ).

Riešenie

Po prvé, negácia je ekvivalentná násobeniu (- 1 ). Potom môžeme zmeniť odčítanie na sčítanie „pridaním opaku“ a pomocou distribučnej vlastnosti dokončiť expanziu.

[ begin {aligned} - (7 x-8 y-10) & = - 1 (7 x-8 y-10) quad color {Red} text {Negovanie je ekvivalent vynásobenia}} & = - 1 (7 x + (- 8 r.) + (- 10)) quad color {červená} text {Pridať opak. } & = - 1 (7 x) + (- 1) (- 8 r.) + (- 1) (- 10) quad color {červená} text {Distribuovať} -1 & = - 7 x + 8 y + 10 quad color {červená} text {násobiť.} End {zarovnaný} nonumber ]

Teda (- (7 x-8 r-10) = - 7 x + 8 r + 10 )

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Rozbaliť: (- (- a-2 b + 11) ).

Odpoveď

(a + 2 b-11 )

Technika z príkladu ( PageIndex {7} ) je síce matematicky presná, ale dá sa zjednodušiť tak, že sa dá poznamenať, že zrušenie výrazu obklopeného zátvorkami jednoducho zmení znamienko každého výrazu v zátvorke na opačné znamienko.

Keď to pochopíme, môžeme jednoducho „distribuovať znamienko mínus“ a napísať:

[- (7 x-8 r-10) = - 7 x + 8 r + 10 nečíslo ]

Podobným spôsobom

[- (- 3 a + 5 b-c) = 3 a-5 b + c nečíslo ]

a

[- (- 3 x-8 r. + 11) = 3 x + 8 r. -11 nečíslo ]

Kombinácia podobných výrazov

Distribučnú vlastnosť môžeme použiť na distribúciu niekoľkokrát za sumu. [a (b + c) = a b + a c nečíslo ]

Distribučnú vlastnosť je však možné použiť aj opačne, na „násobné“ vyjadrenie alebo faktorizáciu výrazu. Môžeme teda začať výrazom (ab + ac ) a „vyradiť“ spoločný faktor a takto:

[a b + a c = a (b + c) nečíslo ]

Spoločný faktor môžete vylúčiť aj napravo.

[a c + b c = (a + b) c nečíslo ]

Túto druhú techniku ​​môžeme použiť na kombinovanie ako termíny.

Príklad ( PageIndex {8} )

Zjednodušte: (7 x + 5 x ).

Riešenie

Použite distribučnú vlastnosť na vytriedenie spoločného faktora (x ) z každého výrazu a potom výsledok zjednodušte.

[ begin {aligned} 7x + 5x & = (7 + 5) x quad color {Red} text {Factor out an} x text {pomocou distribučnej vlastnosti. } & = 12x quad color {Red} text {Zjednodušiť:} 7 + 5 = 12 end {zarovnaný} nonumber ]

Teda (7x + 5x = 12x ).

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Zjednodušte: (3 roky + 8 rokov ).

Odpoveď

(11r )

Príklad ( PageIndex {9} )

Zjednodušte: (- 8 a ^ {2} +5 a ^ {2} ).

Riešenie

Pomocou distributívnej vlastnosti z každého výrazu vytraste spoločný faktor (a ^ 2 ) a výsledok potom zjednodušte.

[ begin {aligned} -8 a ^ {2} +5 a ^ {2} & = (- 8 + 5) a ^ {2} quad color {Red} text {Factor out an} a ^ {2} text {pomocou distribučnej vlastnosti. } & = - 3 a ^ {2} quad color {červená} text {Zjednodušiť:} -8 + 5 = -3 end {zarovnané} nonumber ]

Teda (- 8 a ^ {2} +5 a ^ {2} = - 3 a ^ {2} ).

Cvičenie ( PageIndex {9} )

Zjednodušte: (- 5 z ^ {3} +9 z ^ {3} ).

Odpoveď

(4z ^ 3 )

Príklady ( PageIndex {8} ) a ( PageIndex {9} ) kombinujú tzv. Podobné výrazy. Príklady ( PageIndex {8} ) a ( PageIndex {9} ) tiež navrhujú možnú skratku na kombinovanie podobných výrazov.

Páči sa mi Podmienky

Dva termíny sa nazývajú ako termíny, ak majú identické premenné časti, čo znamená, že termíny musia obsahovať rovnaké premenné, ktoré sú vyjadrené rovnakým exponentom.

Napríklad (2x ^ 2y ) a (11x ^ 2y ) sú ako výrazy, pretože obsahujú identické premenné spojené s rovnakými exponentmi. Na druhej strane (- 3st ^ 2 ) a (4s ^ 2t ) nie sú ako výrazy. Obsahujú rovnaké premenné, ale premenné sa nezvyšujú na rovnakých exponentov.

Zvážte podobné výrazy (2x ^ 2y ) a (11x ^ 2y ). Čísla (2 ) a (11 ) sa nazývajú koeficienty podobných výrazov. Distribučnú vlastnosť môžeme použiť na kombináciu podobných výrazov, ako sme to urobili v príkladoch ( PageIndex {8} ) a ( PageIndex {9} ), pričom sa vyčísli spoločný faktor (x ^ 2y ).

[ begin {aligned} 2 x ^ {2} y + 11 x ^ {2} y & = (2 + 11) x ^ {2} y & = 13 x ^ {2} y end {zarovnané } nečíslo ]

Oveľa rýchlejším prístupom je však jednoducho pridať koeficienty podobných výrazov pri zachovaní rovnakej variabilnej časti. To znamená (2 + 11 = 13 ), takže:

[2 x ^ {2} y + 11 x ^ {2} y = 13 x ^ {2} y nonumber ]

Toto je postup, ktorým sa odteraz budeme riadiť.

Príklad ( PageIndex {10} )

Zjednodušte: (- 8 w ^ {2} +17 w ^ {2} ).

Riešenie

Sú to ako pojmy. Ak pridáme koeficienty (- 8 ) a (17 ), dostaneme (9 ). Takto:

[- 8 w ^ {2} +17 w ^ {2} = 9 w ^ {2} quad color {červená} text {Pridajte koeficienty a opakujte premennú časť.} Nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {10} )

Zjednodušte: (4 a b-15 a b ).

Odpoveď

(- 11ab )

Príklad ( PageIndex {11} )

Zjednodušte: (- 4 u v-9 u v ).

Riešenie

Sú to ako pojmy. Ak pridáme (- 4 ) a (- 9 ), dostaneme (- 13 ). Takto:

[- 4 u v-9 u v = -13 u v quad color {červená} text {Pridajte koeficienty a opakujte premennú časť.} Nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {11} )

Zjednodušte: (- 3 x y-8 x y ).

Odpoveď

(- 11xy )

Príklad ( PageIndex {12} )

Zjednodušiť: (- 3 x ^ {2} y + 2 x y ^ {2} )

Riešenie

Nie sú to ako výrazy. Nemajú rovnaké variabilné časti. Majú rovnaké premenné, ale premenné sa nezvyšujú na rovnakých exponentov. V dôsledku toho je tento výraz už čo najviac zjednodušený.

[- 3 x ^ {2} y + 2 x y ^ {2} quad color {červená} text {Na rozdiel od výrazov. Už zjednodušené.} Nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {12} )

Zjednodušte: (5ab + 11bc ).

Odpoveď

(5ab + 11bc )

Niekedy máme viac než len jeden pár podobných výrazov. V takom prípade chceme podobné výrazy zoskupiť a spojiť.

Príklad ( PageIndex {13} )

Zjednodušte: (- 8 u-4 v-12 u + 9 v ).

Riešenie

Na zmenu poradia a preskupenie použite asociatívnu a komutatívnu vlastnosť pridania a potom skombinujte riadkové výrazy.

[ begin {aligned} -8u-4v-12u + 9v & = (- 8u-12u) + (- 4v + 9v) quad color {červená} text {Znovu zoradiť a preskupiť. } & = - 20u + 5v quad color {Red} text {Kombinujte ako termíny. } end {zarovnané} nonumber ]

Upozorňujeme, že (- 8u-12u = -20u ) a (- 4v + 9v = 5 v ).

Alternatívne riešenie

Ak chcete, môžete krok preskupenia a preskupenia preskočiť a jednoducho kombinovať mentálne podobné výrazy. To znamená, že je úplne možné objednať si svoju prácu nasledovne:

[- 8 u-4 v-12 u + 9 v = -20 u + 5 v quad color {červená} text {Kombinujte ako výrazy.} Nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {13} )

Zjednodušte: (- 3 z ^ {2} +4 z-8 z ^ {2} -9 z ).

Odpoveď

(- 11 z ^ {2} -5 z )

V Príklade ( PageIndex {13} ) nám „Alternatívne riešenie“ umožňuje postupovať rýchlejšie a bude to technika, od ktorej sa budeme riadiť ďalej, a budeme mentálne zoskupovať a kombinovať výrazy.

Poradie operácií

Teraz, keď vieme, ako kombinovať podobné výrazy, poďme sa venovať komplikovanejším výrazom, ktoré vyžadujú Pravidlá Hlavný poriadok operácií.

Pravidlá Hlavný poriadok operácií

Pri hodnotení výrazov postupujte v nasledujúcom poradí.

  1. Najskôr vyhodnotte výrazy obsiahnuté v zoskupovacích symboloch. Ak sú zoskupovacie symboly vnorené, najskôr vyhodnotte výraz v najvnútornejšej dvojici zoskupovacích symbolov.
  2. Vyhodnoťte všetky exponenty, ktoré sa objavia vo výraze.
  3. Vykonajte všetky násobenia a delenia v poradí, v akom sa vyskytujú vo výraze, pohybom zľava doprava.
  4. Vykonajte všetky sčítania a odčítania v poradí, v akom sa nachádzajú vo výraze, pohybom zľava doprava.

Príklad ( PageIndex {14} )

Zjednodušte: (4 (-3 a + 2 b) -3 (4 a-5 b) ).

Riešenie

Pomocou distribučnej vlastnosti distribuujte (4 ) a (- 3 ) a potom ich kombinujte ako podobné výrazy.

[ begin {aligned} 4 (-3a + 2b) -3 (4a-5b) & = - 12a + 8b-12a + 15b quad color {červená} text {distribuovať. } & = - 24a + 23b quad color {červená} text {Kombinujte ako termíny. } end {zarovnané} nonumber ]

Upozorňujeme, že (- 12a-12a = -24a ) a (8b + 15b = 23b )

Cvičenie ( PageIndex {14} )

Zjednodušte: (- 2x-3 (5-2x) ).

Odpoveď

(4 x 15)

Príklad ( PageIndex {15} )

Zjednodušte: (- 2 (3 x-4 r.) - (5 x 2 r.) ).

Riešenie

Použite distribučnú vlastnosť na násobenie (- 2 ) krát (3x-4y ), potom rozdeľte krát znamienko mínus každý člen výrazu (5x-2y ). Potom kombinujte ako pojmy.

[ begin {aligned} -2 (3x-4y) - (5x-2y) & = - 6x + 8y-5x + 2y quad color {Red} text {Distribute. } & = - 11x + 10y quad color {Red} text {Kombinujte ako termíny. } end {zarovnané} nonumber ]

Upozorňujeme, že (- 6x-5x = -11x ) a (8y + 2y = 10 rokov ).

Cvičenie ( PageIndex {15} )

Zjednodušte: (- 3 (u + v) - (u-5 v) ).

Odpoveď

(- 4 u + 2 v )

Príklad ( PageIndex {16} )

Zjednodušte: (- 2 doľava (x ^ {2} y-3 x y ^ {2} doprava) -4 doľava (-x ^ {2} y + 3 x y ^ {2} doprava) ).

Riešenie

Použite distribučnú vlastnosť na násobenie (- 2 ) krát (x ^ 2y-3xy ^ 2 ) a (- 4 ) krát (- x ^ 2y + 3xy ^ 2 ). Potom kombinujte ako pojmy.

[ begin {aligned} -2 left (x ^ {2} y-3 xy ^ {2} right) -4 left (-x ^ {2} y + 3 xy ^ {2} right) & = - 2 x ^ {2} y + 6 xy ^ {2} +4 x ^ {2} y-12 xy ^ {2} & = 2 x ^ {2} y-6 xy ^ {2} end {zarovnané} nonumber ]

Upozorňujeme, že (- 2 x ^ {2} y + 4 x ^ {2} y = 2 x ^ {2} y ) a (6 xy ^ {2} -12 xy ^ {2} = - 6 xy ^ {2} ).

Cvičenie ( PageIndex {16} )

Zjednodušte: (8 u ^ {2} v-3 vľavo (u ^ {2} v + 4 u v ^ {2} vpravo) ).

Odpoveď

(5 u ^ {2} v-12 u v ^ {2} )

Keď sú zoskupovacie symboly vnorené, najskôr vyhodnotte výraz vo vnútri najvnútornejšej dvojice zoskupovacích symbolov.

Príklad ( PageIndex {17} )

Zjednodušte: (- 2 x-2 (-2 x-2 [-2 x-2]) ).

Riešenie

V zátvorkách máme výraz (- 2 x-2 [-2 x-2] ). Pravidlá Hlavný poriadok operácií diktujeme, že by sme sa mali najskôr množiť, rozširovať (- 2 [-2 x-2] ) a kombinovať podobné výrazy.

[ begin {aligned} -2x-2 ({ color {Red} -2x-2 [-2x-2]}) & = - 2x-2 ({ color {Red} -2x + 4x + 2} ) & = - 2x-2 ({ color {Red} 2x + 2}) end {zarovnaný} nonumber ]

Vo zvyšnom výraze opäť najskôr vynásobíme, rozšírime (- 2 (2x + 2) ) a kombinujeme podobné členy.

[ begin {aligned} & = - 2x-4x-4 & = - 6x-4 end {aligned} nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {17} )

Zjednodušte: (x-2 [-x + 4 (x + 1)] ).

Odpoveď

(- 5 x 8)


Pozri si video: Calculus II: Trigonometric Integrals Level 7 of 7. Identities, Conjugate, Factoring (December 2021).